fungsi elementer - eltatialdianisa

FUNGSI ELEMENTER
28. FUNGSI EKSPONENESIAL
Sebelum mengetahui lebih lanjut ( bagian 13 ), disini kita definisikn fungsi
eksponensial 𝑒 𝑧 dapat ditulis
𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑒 𝑖𝑦
(1)
(𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦)
Dimana rumus sebslumnya ( lihat bagian 6 )
𝑒 𝑖𝑦 = cos 𝑦 + 𝑖 sin 𝑦
(2)
Dan gunakan 𝑦 untuk mendapatkan radians. Dari sini didapat definisi bahwa 𝑒 𝑧 mengurangi
ke fungsi eksponensial yang biasa dalam kalkulus dimana 𝑦 = 0; dan beberapa penjelasan di
kalkulus, sering ditulis exp 𝑧 untuk 𝑒 𝑧 .
𝑛
Catatan bahwa pada saat suku ke – 𝑛 positif akar √𝑒 dari 𝑒 adalah untuk menentukan
1
𝑒 𝑧 dimana 𝑥 = 𝑛 (𝑛 = 2 , 3 , … ), pernyataan ( 1 ) menceritakan bahwa fungsi eksponensial
1
𝑛
komplek 𝑒 𝑧 adalah juga. √𝑒 dimana 𝑥 = 𝑛 (𝑛 = 2 , 3 , … ). Kecuali untuk penjelasan (
1
bagian 8 ) bahwa biasanya mengharuskan untuk menggantikan 𝑒 𝑛 seperti kumpulan dari suku
ke – 𝑛 akar dari 𝑒.
Sesuai dengan definisi ( 1 ), 𝑒 𝑥 𝑒 𝑖𝑦 = 𝑒 𝑥+𝑖𝑦 ; dan titik – titik keluar di bagian 13,
definisi ini mengingatkan dari penyebab sifat
𝑒 𝑥1 𝑒 𝑥2 = 𝑒 𝑥1+𝑥2
𝑒 𝑥 adalah merupakan perluasan dari sifat di kalkulus,
(3)
𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1
dan
𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2
Maka
𝑒 𝑧1 𝑒 𝑧2 = (𝑒 𝑥1 𝑒 𝑖𝑦1 )(𝑒 𝑥2 𝑒 𝑖𝑦2 ) = (𝑒 𝑥1 𝑒 𝑥2 )(𝑒 𝑖𝑦1 𝑒 𝑖𝑦2 )
Tetapi 𝑥1 dan 𝑥2 keduanya real, dan kita mengetahuinya dari bagian 7, bahwa
𝑒 𝑖𝑦1 𝑒 𝑖𝑦2 = 𝑒 𝑖(𝑦1 +𝑦2)
Dari sini
𝑒 𝑧1 𝑒 𝑧2 = 𝑒 (𝑥1 +𝑥2 ) 𝑒 𝑖(𝑦1 +𝑦2 ) ;
Dan didapat
(𝑥1 + 𝑥2 ) + 𝑖(𝑦1 + 𝑦2 ) = (𝑥1 + 𝑖𝑦1 ) + (𝑥1 + 𝑖𝑦2 ) = 𝑧1 + 𝑧2
The right – hand terakhir karena dari pernyataan 𝑒 𝑧1 +𝑧2 . sifat ( 3 ) tidak dapat di tegakkan.
Bagaimana melihat sifat ( 3 ) memungkinkan untuk menulis 𝑒 𝑧1 −𝑧2 𝑒 𝑧2 = 𝑒 𝑧1 , atau
𝑒 𝑧1
(4)
𝑒 𝑧2
= 𝑒 𝑧1 −𝑧2
Dari sini dinyatakan fakta bahwa 𝑒 0 = 1 , ini mengikuti bahwa 1⁄𝑒 𝑧 = 𝑒 −𝑧 .
Ada suatu bilangan dari sifat sebelumnya bahwa 𝑒 𝑧 yang diharapkan. Sesuai dengan
contoh 1 bagian 21, untuk contoh,
𝑑
(5)
𝑑𝑧
𝑒𝑧 = 𝑒𝑧
Masing – masing dimana pada bidang 𝑧. Catatan bahwa perbedaan dari 𝑒 𝑧 untuk semua 𝑧
menceritakan bahwa 𝑒 𝑧 adalah seluruhnya ( bagian 23 ). Itu benar juga bahwa
𝑒𝑧 ≠ 0
(6)
untuk sembarang bilangan komplek 𝑧
Ini jelas ditulis pada definisi ( 1 ) di bentuk
𝑒 𝑧 = 0𝑒 𝑖∅
dimana
0 = 𝑒 𝑥 dan ∅ = 𝑦
arg(𝑒 𝑧 ) = 𝑦 + 2𝑛𝜋
(𝑛 = 0 , ±1, ±2, . . . )
Yang mana menceritakan bahwa
(7)
|𝑒 𝑧 | = 𝑒 𝑥
dan
Pernyataan ( 6 ) maka mengikuti pengamatan dari bagian |𝑒 𝑧 | adalah selalu positif.
Sementara sifat dari 𝑒 𝑧 ini, bagaimanapun, tidak diharapkan. Untuk contoh,
dimisalkan
𝑒 𝑧+2𝜋𝑖 = 𝑒 𝑧 𝑒 2𝜋𝑖
dan
𝑒 2𝜋𝑖 = 1
Kita tentukan bahwa 𝑒 𝑧 adalah berkala, dengan teory periode imajiner 2𝜋𝑖 :
(8)
𝑒 𝑧+2𝜋𝑖 = 𝑒 𝑧
Menurut contoh illustrasi lainnya sifat dari 𝑒 𝑧 bahwa 𝑒 𝑥 tidak mempunyai . yaitu , saat
𝑒 𝑥 tidak pernah negative, maka nilai dari 𝑒 𝑧 ada.
Contoh.
Nilai di 𝑧 ada, dari contoh, tunjukkan bahwa
𝑒 𝑧 = −1
(9)
Untuk menentukan , kita tulis persamaan ( 9 ) 𝑒 𝑥 𝑒 𝑖𝑦 = 1𝑒 𝑖𝜋 . Maka , pandanglah dari
pernyataan dalam yang bercetak miring diawal bagian 8 mengenai persamaan dua bilangan
komplek nonzero dalam bilangan eksponensial ,
𝑒𝑥 = 1
dan
𝑦 = 𝜋 + 2𝑛𝜋
(𝑛 = 0 , ±1 , ±2 , . . . )
Jadi = 0 , dan kita tentukan bahwa
( 10 )
𝑧 = (2𝑛 + 1)𝜋𝑖
(𝑛 = 0 , ±1 , ±2 , … ).
29. FUNGSI LOGARITMA
Alasan untuk definisi dari fungsi logaritma adalah dasar memecahkan persamaan
𝑒𝑤 = 𝑧
(1)
Untuk 𝑤, dimana 𝑧 adalah bilangan kompleks tidak nol, dengan ini dicatat dimana 𝑧 𝑑𝑎𝑛 𝑤
dapat ditulis 𝑧 = 𝑟𝑒 𝑖𝜃 (−𝜋 < 𝜃 ≤ 𝜋) dan 𝑤 = 𝑢 + 𝑖𝑣, persamaan (1) menjadi :
𝑒 𝑢 𝑒 𝑖𝑣 = 𝑟𝑒 𝑖𝜃
Pada pernyataan Italy di bagian 8 memiliki persamaan pada dua bilangan kompleks yang tepat
pada bentuk eksponen :
𝑒 𝑢 = 𝑟 𝑑𝑎𝑛 𝑣 = 𝜃 + 2𝑛𝜋
Dimana n adalah integer, dari persamaan 𝑟 𝑢 = 𝑟 adalah sama pada 𝑢 = ln 𝑟, itu mengikuti
persamaan (1) adalah sesuai jika hanya jika w bernilai 1.
𝑤 = ln 𝑟 + (𝜃 + 2𝑛𝜋)
𝑛 = (0, ±1, ±2, … )
Sehingga dapat ditulis
log 𝑧 = ln 𝑟 + (𝜃 + 2𝑛𝜋)
𝑛 = (0, ±1, ±2, … )
(2)
𝑧≠0
(3)
Memiliki hubungan sederhana,
𝑒 log 𝑧 = 𝑧
Dengan alasan yang sesuai pada persamaan (2) pada definisi (multiple-value) fungsi logaritma
dari bilangan kompleks tidak nol 𝑧 = 𝑟𝑒 𝑖𝜃 .
Contoh 1.
Jika 𝑧 = −1 − √3𝑖 , 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑟 = 2 𝑑𝑎𝑛 𝜃 = −
2𝜋
3
oleh karena itu,
𝑙𝑜𝑔(−1 − √3𝑖) = ln 2 + 𝑖 (−
2𝜋
+ 2𝑛𝜋)
3
1
= ln 2 + 2 (𝑛 − 3) 𝜋𝑖
𝑛 = (0, ±1, ±2, … )
Jika diperjelas lebih lanjut hal itu adalah tidak benar pada ruas kanan dari persamaan (3)
dengan urutan dari eksponen dan fungsi logaritma mereduksi 𝑧, sangat jelas dipersamaan (2)
bisa ditulis :
log 𝑧 = ln|𝑧| + 𝑖 arg 𝑧
Dari bagian 28
|𝑒 𝑧 | = 𝑒 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑎𝑟𝑔(𝑒 𝑧 ) = 𝑦 + 2𝑛𝜋
𝑛 = (0, ±1, ±2, … )
Dimana 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 diketahui bahwa
𝑙𝑜𝑔(𝑒 𝑧 )𝑙𝑛|𝑒 𝑧 | + 𝑖 𝑎𝑟𝑔(𝑒 𝑧 ) = 𝑙𝑛(𝑒 𝑥 ) + 𝑖(𝑦 + 2𝑛𝜋) = (𝑥 + 𝑖𝑦) + 2𝑛𝜋𝑖
[𝑛 = (0, ±1, ±2, … )]
Lalu,
𝑙𝑜𝑔(𝑒 𝑧 ) = 𝑧 + 2𝑛𝜋𝑖
𝑛 = (0, ±1, ±2, … )
(4)
Dengan nilai utama dari log 𝑧 adalah nilai yang diperoleh dari persaman (2) saat 𝑛 = 0
ada dan ditandai dengan log 𝑧. Sehingga
log 𝑧, lalu,log 𝑧 = ln 𝑟 + 𝑖𝜃
(5)
Dengan catatan log 𝑧 terdefinisi dengan baik dan single – value (nilai tunggal) dimana 𝑧 ≠ 0
dan kemudian,
log 𝑧 = log 𝑧 + 2𝑛𝜋𝑖
𝑛 = (0, ±1, ±2, … )
(6)
Hal ini mengulang kembali sifat logaritma pada kalkulus dimana 𝑧 adalah bilangan real positif
𝑧 = 𝑟 dapat dilihat ini satu – satunya yang ditulis 𝑧 = 𝑟𝑒 𝑖𝜃 yang mana dari persamaan (5)
menjadi
log 𝑧 = ln 𝑟, kemudian log 𝑟 = ln 𝑟
Contoh 2.
Dari pernyataan (2), ditemukan
log 1 = ln 1 + 𝑖(0 + 2𝑛𝜋)
= 2𝑛𝜋𝑖
𝑛 = (0, ±1, ±2, … )
Yng mana, log 1 = 0
Pada contoh terakhir ini mengingatkan kembali, walaupun tidak digunakan untuk
menemukan logaritma bilangan real negative pada kalkulus, kita dapat menggunakannya saat
ini.
Contoh 3
Diamati bahwa,
𝑙𝑜𝑔(−1) = ln 1 + 𝑖(𝜋 + 2𝑛𝜋)
= (2𝑛 + 1)𝜋𝑖
Dan
log(−1) = 𝜋𝑖
𝑛 = (0, ±1, ±2, … )
31. Beberapa Ciri-Ciri Logaritma
Seperti hubungan dari persamaan (3) dan (4) dari subbab 29, seperti pada Latihan 3,
4, dan 5 pada subbab 30, beberapa identitas dari logaritma pada kalkulus kepada analisis
komplek dan beberapa lainnya yang bukan. Pada bab ini, akan kita turunkan beberapa
diantaranya. Pada subbab 32 dapat mengacu kepada hasil yang dibutuhkan.
Jika 𝑧1 dan 𝑧2 merupakan sembarang nilai komplek yang tidak nol, secara tidak
langsung menunjukkan bahwa
(1)
log(𝑧1 𝑧2 ) = 𝑙𝑜𝑔 𝑧1 + 𝑙𝑜𝑔 𝑧2
Pernyataan ini meliputi sebuah fungsi perkalian nilai, dengan jalan yang sama dengan
menggunakan pernyataan
arg(𝑧1 𝑧2 ) = 𝑎𝑟𝑔 𝑧1 + 𝑎𝑟𝑔 𝑧2
(2)
Pada subbab. 7. Jika dua nilai pada tiga logaritma yang spesifik, maka ada nilai ke-tiga
logaritma sedemikian sehingga persamaan (1) dapat dijadikan acuan.
Pembuktian dari persamaan (1) dapat menjadi dasar persamaan (2). Karena |𝑧1 𝑧2 | =
|𝑧1 ||𝑧2 | dan karena moduli adalah semua nilai real positif, kita ketahui sebelumnya dengan
logaritma pada nilai-nilai dalam kalkulus
𝑙𝑛|𝑧1 𝑧2 | = 𝑙𝑛|𝑧1 | + 𝑙𝑛|𝑧2 |
Persamaan diatas mengikuti dari persamaan (2), sehingga diperoleh
𝑙𝑛|𝑧1 𝑧2 | + 𝑖 arg(𝑧1 𝑧2 ) = (𝑙𝑛|𝑧1 | + 𝑖 arg 𝑧1 ) + (𝑙𝑛 |𝑧2 | + 𝑖 arg 𝑧2 ).
(3)
Akhirnya, karena dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan (3) seperti persamaan (1).
Contoh.
Gambarkan persamaan (1), tulis 𝑧1 = 𝑧2 = −1 dan catat bahwa 𝑧1 𝑧2 = 1. jika nilai
𝑙𝑜𝑔 𝑧1 = 𝜋𝑖 dan 𝑙𝑜𝑔 𝑧2 = −𝜋𝑖, persamaan (1) memenuhi ketika nilai log(𝑧1 𝑧2 ) = 0.
Amati bahwa, untuk nilai yang sama 𝑧1 dan 𝑧2 ,
Log(𝑧1 𝑧2 ) = 0 dan Log 𝑧1 + 𝐿𝑜𝑔 𝑧2 = 2 𝜋𝑖
Verifikasi persamaan
𝑧
𝑙𝑜𝑔 (𝑧1 ) = log 𝑧1 − log 𝑧2 ,
(4)
2
Yang ditunjukkan pada persamaan (1).
Meliputi dua kelengkapan lainnya untuk log z pada Subbab. 32. Jika z adalah nilai komplek
tidak nol, maka
𝑧 𝑛 = 𝑒 𝑛 log 𝑧
(𝑛 = 0, ±1, ±2, … )
(5)
Untuk sembarang nilai log 𝑧. Ketika n=1, berkurang, tentu, hubungan (3), subbab. 29.
Persamaan (5) dapat ditulis 𝑧 = 𝑟𝑒 𝑖𝜃 dan masing-masing sisi menjadi 𝑟 𝑛 𝑒 𝑖𝑛𝜃 .
Hal ini juga berlaku ketika 𝑧 ≠ 0
1
𝑧1/𝑛 = 𝑒𝑥𝑝 ( log 𝑧)
𝑛
(𝑛 = 1, 2, … ).
(6)
Dan nilai akar ke-n pada z. kita tulis 𝑧 = 𝑟 exp(𝑖Θ), dimana Θ adalah nilai principal untuk
arg z. maka
1
1
𝑖(Θ + 2kπ)
𝑒𝑥𝑝 ( log 𝑧) = 𝑒𝑥𝑝 [ ln 𝑟 +
],
𝑛
𝑛
𝑛
Dimana 𝑘 = 0, ±1, ±2, … maka
1
Θ 2𝑘𝜋
𝑛
𝑒𝑥𝑝 ( log 𝑧) = √𝑟𝑒𝑥𝑝 [𝑖 ( +
)]
𝑛
𝑛
𝑛
Karena exp(
𝑖2𝑘𝜋
𝑛
(7)
(𝑘 = 0, ±1, ±2, … ).
) diperoleh nilai berbeda ketika 𝑘 = 0, 1, . . . , 𝑛 − 1, pada persamaan (7)
hanya nilai n. sebuah gambaran untuk akar ke-n pada z, dan dapat ditulis 𝑧1/𝑛 . Dibangunnya
kelengkapan persamaan (6), benar-benar sah ketika n adalah negative integer juga.
32. Eksponen kompleks
Ketika 𝑧 𝑐 ≠ 0 dan eksponen c adalah beberapa bilangan kompleks, fungsi 𝑧 𝑐 digambarkan
dengan persamaan
𝑧 𝑐 = 𝑒 𝑐 log 𝑧
Ketika log z dinotasikan hasil perkalian fungsi logaritma. Persamaan (1) melengkapi definisi
yang bersesusaian dari 𝑧 𝑐 di dalam pengertian bahwa hal ini telah diketahui menjadi benar.
1
(lihat bagian 31) ketika 𝑐 = 𝑛(𝑛 = 0, ±1, ±2, … ) dan 𝑐 = 𝑛 (𝑛 = ±1, ±2, … ) definisi (1) ada,
pada kenyataannya mengusulkan dengan keterangan pilihan c
Contoh 1 . kuasa z ada, secara umum,hasil kalil, sebagai ilustrasi dengan menulis
𝑖 −21 = exp(−2𝑖 log 𝑖)
Dan
𝜋
1
log 𝑖 = ln 1 + 𝑖 ( + 2𝑛𝜋) = 𝑖 (2𝑛 + ) 𝜋
2
2
(𝑛 = 0, ±1, ±2, … )
Ini menunjukkan bahwa
𝑖 −21 = exp(4𝑛 + 1) 𝜋
(𝑛 = 0, ±1, ±2, … )
Perhatiakn bahwa hasil dari adalah semua bilangan real. Karena fungsi eksponensialnya
mempunyai sifat, sekali lagi kita dapat memperlihatkan bahwa
1
1
=
= exp(−𝑐 log 𝑧) = 𝑧 −𝑐
𝑧 𝑐 exp(𝑐 log 𝑧)
1
Dan , dalm kenyataan ini bahwa 𝑖 2𝑖 = 𝑖 −2𝑖 berdasarkan persamaan (2) , kemudian
1
= exp(4𝑛 + 1) 𝜋
𝑖 2𝑖
(𝑛 = 0, ±1, ±2, … )
Jika 𝑧 = 𝑟𝑒 𝑖𝜃 dan 𝛼 adalah bilangan real, cabang
log 𝑧 = ln 𝑟 + 𝑖𝜃
𝑟 > 0, 𝛼 < 𝜃 < 𝛼 + 2𝜋
Dari fungsi logaritma adalah hasil satu-satunya dan analitik di daerah asal ditunjukkan
(bagian 30). Ketika cabang itu digunakan, hal ini manunjukkan bahwa fungsi 𝑧 =
exp(𝑐 𝑙𝑜𝑔 𝑧) adalah satu-satunya hasil dan analitik di beberapa daerah asal yang sama.
Turunan seperti cabang dari 𝑧 𝑐 didirikan dengann terlebih dahulu menggunakan aturan rantai
untuk menuliskan
𝑑 𝑐
𝑑
𝑐
𝑧 =
exp(𝑐 log 𝑧) = exp(𝑐 log 𝑧)
𝑑𝑧
𝑑𝑧
𝑧
Dan kemudian memanggil kembali (bagian 29) identitas 𝑧 = exp(log 𝑧). Hasil iut
mengakibatkan
𝑑 𝑐
𝑑
𝑐
𝑧 =
exp(𝑐 log 𝑧) = exp(𝑐 log 𝑧)
𝑑𝑧
𝑑𝑧
𝑧
Atau
𝑑 𝑐
𝑧 = 𝑐𝑧 𝑐−1
𝑑𝑧
(|𝑧| > 0, 𝛼 < arg 𝑧 < 𝛼 + 2𝜋)
Hasil utama dari 𝑧 𝑐 terjadi ketika diganti dengan log 𝑧 pada definisi (1)
𝑃. 𝑉. 𝑧 𝑐 = 𝑒 𝑐 log 𝑧
Persamaan (5) juga dapat mendefinisikan cabang utama dari funngsi 𝑧 𝑐 di daerah asal .
Contoh 2.
Hasil utama dari (−𝑖)𝑖 adalah
𝜋
𝜋
exp[𝑖 log(−𝑖)] = exp[𝑖(ln 1 − 𝑖 )] = exp
2
2
Itu adalah
𝑃. 𝑉. (−𝑖)𝑖 = exp
𝜋
2
Contoh 3. Cabang utama dari dapat ditulis
2
2
2
2
3
exp( log 𝑧) = exp( ln 𝑟 + 𝑖 ) = √𝑟 2 exp(𝑖 )
3
3
3
3
Lalu
2
3
2
3
2
𝑃. 𝑉. 𝑧 3 = √𝑟 2 cos 3 + √𝑟 2 sin 3
Fungsi ini adalah analitik di daerah asal 𝑟 > 0, −𝜋 <  < 𝜋 dapat dilihat secara langsung
dari teorema di bagian 22.
Berdasarkan definisi (1) fungsi eksponensial dengan pusat c, dimana c adalah bilangan bukan
non konstanta kompleks, ditulis
2
3
2
3
2
𝑃. 𝑉. 𝑧 3 = √𝑟 2 cos 3 + √𝑟 2 sin 3
Harus diperhatikan bahwa meskipun 𝑒 𝑧 ada, secara umum hasil kali berdasarkan definsi (8),
penafsiran secara umum dari 𝑒 𝑧 terjadi ketika hasil utama dari logaritma taken. Untuk hasil
utama dari kesatuan
Ketiak hasil dari log 𝑐 𝑧 seluruh fungsi z pada kenyataannya
𝑑 𝑧
𝑑 z log c
𝑐 =
e
= ez log c log 𝑐
𝑑𝑧
𝑑𝑧
Dan ini menunjukan bahwa
𝑑 𝑧
𝑐 = 𝑐 𝑧 log 𝑐
𝑑𝑧
33. Fungsi Trigonometri
Persamaan (sec.6) menjelaskan bahwa
e ix  cos x  i sin x
dan
e  ix  cos x  i sin x
Pada setiap bilangan rill x, dan diikuti dari pertanyaan bahwa
e ix  e ix  2i sin x
dan
e ix  e  ix  2 cos x
dan
cos x 
Sehingga,
sin x 
e ix  e ix
2i
e ix  e ix
2
Oleh karena itu, secara alamiah untuk menetapkan sinus itu dan fugsi cosinus dari suatu
variabel kompleks z seperti berikut :
(1) sin z 
e iz  e iz
e iz  e iz
, cos z 
2i
2
Fungsi itu adalah keseluruhan saat menggabungkan garis-garis lurus (latihan 3, bagian.24)
dari keseluruhan fungsi e iz dan e  iz . Diketahui turunannya dari fugsi eksponensial itu,
ditemukan dari pertanyaan (1) bahwa
(2)
d
sin z  cos z ,
dz
d
cos z   sin z.
dz
Itu adalah mudah dengan melihat dari defenisi (1) bahwa
(3)  sin(  z )   sin z dan cos(  z )  cos z
Dan suatu variasi identitas yang lain dari trigonometri adalah benar pada variabel kompleks.
Contoh. Tunjukkan bahwa
(4) 2 sin z1 cos z 2  sin( z1  z 2 )  sin( z1  z 2 ),
Gunakan defenisi (1) dan baik dari fungsi ekspoesial, pertama ditulis
2 sin z1 cos z 2  2(
e iz1  e iz1 e iz 2  e iz 2
)(
)
2i
2
Kemudian dilakukan perkalian untuk menghilangkan di sebelah kanan
(
e i ( z1 z 2)  e i ( z1 z 2) e i ( z1 z 2)  e i ( z1iz 2)

2i
2i
Atau
sin( z1  z 2 )  sin( z1  z 2 );
Dan identik (4) yang tidak bisa dipungkiri
Idetik (4) dipelajari pada identitas (lihat latihan 3 dan 4)
(5) sin( z1  z 2 )  sin z1 cos z 2  cos z1 sin z 2 ,
(6) cos( z1  z 2 )  cos z1 cos z 2  sin z1 sin z 2 ,
Dan dari persamaan diatas ditujukkan bahwa
(7) sin 2 z  cos 2 z  1,
(8) sin 2 z  2 sin z cos z,
(9) sin( z 

2
cos 2 z  cos 2 z  sin 2 z,

)  cos z ,
sin( z  )   cos z.
2
Ketika y adalah suatu bilangan rill, pertama dapat digiakan defenisi (1) dan fungsi hiperbola
sinh y 
e y  e y
2
e y  e y
2
dan
cosh y 
dan
cos(iy )  cosh y
Pada kalkulus dituliskan
(10) sin( iy )  i sinh y
Merupakan rill dan bagian imajiner dari sin z dan cos z kemudian diperlihatkan dengan mudah
degan menulis z1  x dan z 2  iy pada identitas (5) dan (6):
(11) sin z  sin x cosh y  i cos x sinh y,
(12) cos z  cos x cosh y  i sin x sinh y,
Dimana z  x  iy.
Suatu bilangan dibutuhkan benar dari sin z dan cos z dengan mendekati dari ekspresi (11) dan
(12).sifat berkala dari fungsi itu, sebagai contoh, adalah jelas :
(13) sin( z  2 )  sin z,
sin( z   )   sin z,
(14) cos( z  2 )  cos z,
cos( z   )   cos z.
Juga (lihat latihan 9)
2
(15) sin z  sin 2 x  sinh 2 y,
(16)
|cos 𝑧|2 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛ℎ2 𝑦
Karena sinh 𝑦 tak terbatas, ini benar dari dua persamaan sin 𝑧 dan cos 𝑧 adalah tidak
berbatas pada bidang kompleks, di mana nilai mutlak dari sin 𝑥 dan cos 𝑥 adalah kecil atau
sama dengan semua nilai pada 𝑥.(lihat definisi dari batas pada akhir bagian 17).
Nilai nol pada sebuah fungsi 𝑓(𝑧) merupakan nilai dari 𝑧0 sedemikian sehingga
𝑓(𝑧0 ) = 0.karen a sin 𝑧 merupakan fungsi sinus biasa dalam kalkulus di mana 𝑧 adalah real,
diketahui bahwa nilai real 𝑧 = 𝑛𝜋 (𝑛 = 0, ±1, ±2, … ) semuaqnya bernilai nol pada sin 𝑧.
Untuk menunjukkan bahwa tidak ada nilai nol yang lain, diasumsikan bahwa sin 𝑧 = 0 dan
caranya mengikuti dari persamaan (15) bahwa
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛ℎ2 𝑦 = 0
Jadi,
sin 𝑥 = 0
𝑑𝑎𝑛
sinh 𝑦 = 0
Dengan jelas, dimana 𝑥 = 𝑛𝜋 (𝑛 = 0, ±1, ±2, … ) dan 𝑦 = 0, sehingga
(17)
sin 𝑧 = 0 jika dan hanya jika 𝑧 = 𝑛𝜋 (𝑛 = 0, ±1, ±2, … )
Karena
𝜋
cos 𝑧 = − sin (𝑧 − )
2
Berdasarkan identitas (9) yang ke 2
(18)
𝜋
cos 𝑧 = 0 jika dan hanya jika 𝑧 = 2 + 𝑛𝜋 (𝑛 = 0, ±1, ±2, … )
Jadi, ini merupakan keadaan yang sebenarnya dengan sin 𝑧, nilai nol pada cos 𝑧
semuanya real.
Empat fungsi trigonometri lainnya menegaskan hubungan dari fungsi sinus dan
cosinus dengan hubungan-hubungan:
(19)
tan 𝑧 =
(20)
sec 𝑧 =
sin 𝑧
, cot 𝑧 =
cos 𝑧
1
, csc 𝑧 =
cos 𝑧
cos 𝑧
sin 𝑧
1
sin 𝑧
Selidiki bahwa persamaan tan 𝑧 dan sec 𝑧 adalah analitik di mana-mana kecuali pada
keistimewaan (bagian 23)
𝑧=
𝜋
+ 𝑛𝜋 (𝑛 = 0, ±1, ±2, … )
2
Di mana nilai nol pada cos 𝑧. Demikian juga, cot 𝑧 dan csc 𝑧 mempunyai
keistimewaan pada nol dari sin 𝑧, yakni
𝑧 = 𝑛𝜋 (𝑛 = 0, ±1, ±2, … )
Dengan menurunkan persamaan sebelah kanan (19) dan (20), didapatkan rumus
turunan
(21)
(22)
𝑑
𝑑𝑧
𝑑
𝑑𝑧
tan 𝑧 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑧
,
sec 𝑧 = sec 𝑧 𝑡𝑎𝑛 𝑧
𝑑
𝑑𝑧
,
cot 𝑧 = −𝑐𝑠𝑐 2 𝑧
𝑑
𝑑𝑧
csc 𝑧 = −csc 𝑧 cot 𝑧
Kadangkala tiap fungsi trigonometri ditegaskan dengan persamaan (19) dan (20) ikut
dijelaskan dari persamaan (13) dan (14). Untuk contoh:
(23)
tan(𝑧 + 𝜋) = 𝑡𝑎𝑛 𝑧
Pemetaan properties dari transformasi 𝑤 = sin 𝑧 adalah sangat penting untuk aplikasi
selanjutnya. Saat belajar memilih properties cukup dengan membaca bagian 89 (chap 8), di
mana pemetaan tersebut didiskusikan.
34. Fungsi Hiperboliks
Fungsi hiperbolik sinus dan hiperbolik kosinus dari suatu variabel kompleks didifinisikan
sebagai dengan suatu variabel riil ; yaitu
(1)
sinh 𝑧 =
𝑒 𝑧 − 𝑒 −𝑧
,
2
cosh 𝑧 =
𝑒 𝑧 + 𝑒 −𝑧
2
Karena 𝑒 𝑧 dan 𝑒 −𝑧 adalah fungsi lengkap, berdasarkan dari definisi ( 1) sinh 𝑧 dan cosh 𝑧
adalah fungsi lengkap. Sedemikian sehingga,
𝑑
= sinh 𝑧 = cosh 𝑧,
𝑑𝑧
(2)
𝑑
cosh 𝑧 = sinh 𝑧
𝑑𝑧
Karena cara yang digunakan oleh fungsi eksponensial ada pada definisi ( 1) dan dari definisi
( Bagian 33), maka
sin 𝑧 =
𝑒 𝑖𝑧 − 𝑒 −𝑖𝑧
,
2𝑖
cos 𝑧 =
𝑒 𝑖𝑧 + 𝑒 −𝑖𝑧
2
Dari sin 𝑧 dan cos 𝑧, fungsi hiperbolik sinus dan fungsi kosinus saling berhubungan dengan
fungsi trigonometri, sehingga
(3)
−𝑖 sinh(𝑖𝑧) = sin 𝑧,
cosh(𝑖𝑧) = cos 𝑧,
(4)
−𝑖 sin(𝑖𝑧) = sinh 𝑧,
cos(𝑖𝑧) = cosh 𝑧.
Beberapa dari persamaan yang sering digunakan yang selalu menyertakan fungsi
hiperbolik sinus dan fungsi kosinus yaitu
(5)
sinh(−𝑧) = − sinh 𝑧,
cosh(−𝑧) = cosh 𝑧,
(6)
cosh2 𝑧 − sinh2 𝑧 = 1,
(7)
sinh(𝑧1 + 𝑧2 ) = sinh 𝑧1 cosh 𝑧2 + cosh 𝑧1 sinh 𝑧2 ,
(8)
cosh(𝑧1 + 𝑧2 ) = cosh 𝑧1 cosh 𝑧2 + sinh 𝑧1 sinh 𝑧2 ,
dan
(9)
sinh 𝑧 = sinh 𝑥 cos 𝑦 + 𝑖 cosh 𝑥 sin 𝑦,
(10)
cosh 𝑧 = cosh 𝑥 cos 𝑦 + 𝑖 sinh 𝑥 sin 𝑦,
(11)
|sinh 𝑧|2 = sinh2 𝑥 + sin2 𝑦,
(12)
|cosh 𝑧|2 = sinh2 𝑥 + cos 2 𝑦,
dimana 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦. Ketika persamaan ini mengikuti secara langsung dari definisi ( 1), dengan
mudah diperoleh dari hubungan persamaan trigonometri, dengan bantuan dari persamaan (3)
dan (4).
contoh
Untuk menggambarkan cara dari pembuktian yang tepat, misalkan dengan menggunakan
persamaan (11). Berdasarkan persamaan (4), |sinh 𝑧|2 = |sin(𝑖𝑧)|2. Yaitu
|sinh 𝑧|2 = |sin(−𝑦 + 𝑖𝑥)|2 ,
(13)
Dimana 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦. Dari persamaan (15), pada bagian 33, kita ketahui bahwa
|sin(𝑥 + 𝑖𝑦)|2 = sin2 𝑥 + sinh2 𝑦 ;
dan ini memungkinkan kita untuk menuliskan persamaan (13) ke dalam bentuk persamaan
(11).
Maksud dari sin 𝑧 dan cos 𝑧, mengikuti hubungan persamaan (4) bahwa sinh 𝑧 dan
cosh 𝑧 adalah periodik dengan periode 2𝜋𝑖. Persamaan (4) juga menyatakan bahwa
(14)
(𝑛 = 0, ±1, ±2, ⋯ ).
sinh 𝑧 = 0 jika dan hanya jika
𝑧 = 𝑛𝜋𝑖
cosh 𝑧 = 0 jika dan hanya jika
𝑧 = ( 2 + 𝑛𝜋) 𝑖
dan
(15)
𝜋
(𝑛 = 0, ±1, ±2, ⋯ ).
Fungsi hiperbolik tangen dari 𝑧 didefinisikan oleh persamaan
(16)
tanh 𝑧 =
sinh 𝑧
cosh 𝑧
dan analitik di setiap daerah di mana cosh 𝑧 ≠ 0. Fungsi coth 𝑧, sech 𝑧, dan csch 𝑧 adalah
kebalikan dari tanh 𝑧, cosh 𝑧, dan sinh 𝑧. Secara langsung mengikuti rumus turunan, yang
mana sama dengan yang ditetapkan pada Kalkulus dari fungsi yang bersesuaian dengan
variabel riil :
(17)
𝑑
tanh 𝑧 = 𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑧,
𝑑𝑧
𝑑
coth 𝑧 = −𝑐𝑠𝑐ℎ2 𝑧,
𝑑𝑧
(18)
𝑑
sech 𝑧 = − sech 𝑧 tan 𝑧 ,
𝑑𝑧
𝑑
csch 𝑧 = − csch 𝑧 coth 𝑧 .
𝑑𝑧