trigonometri-3-(bentuk cos x + sin x)

1
Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menyelesaikan
pertidaksamaan trigonometri
dan persamaan trigonometri
bentuk acosx + bsinx
2
Pertidaksamaan Trigonomteri
pertidaksamaan yang memuat
fungsi trigonometri dengan peubah
sudutnya belum diketahui
3
Contoh
bentuk-bentuk
pertidaksamaan trigonometri
1. sinx < 0, untuk 0 ≤ x ≤ 360°
2. √2.cosx - 1 ≥ 0, untuk 0 ≤ x ≤ 2π
3. tanx ≤ √3, untuk 0 ≤ x ≤ 180°
4. sin2x > ¼, untuk –π ‹ x ‹ π
4
Himpunan penyelesaian dari suatu
pertidaksamaan trigonometri
berupa satu atau beberapa
interval peubah sudut
5
Himpunan penyelesaian dari suatu
pertidaksamaan trigonometri
ditentukan dengan dua cara:
• sketsa grafik fungsi trigonometri
• garis bilangan
6
Dengan garis bilangan
langkah-langkahnya
1. Tentukan harga-harga nol
(pembuat nol fungsi).
2. Gambarkan harga-harga nol
pada garis bilangan.
7
3. Tentukan tanda (positif atau
negatif) pada setiap ruas garis
dengan menguji salah satu
harga x di salah satu ruas garis.
4. Tentukan himpunan penyelesaian
sesuai dengan soal.
8
Contoh 1
Himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan sinx° > ½,
untuk 0 ≤ x ≤ 360
adalah….
9
Penyelesaian
▪ Harga nol dari persamaan sinx° = ½,
pada interval 0 ≤ x ≤ 360° adalah
30° dan 150°
▪ 0°
+
30°
150°
360°
▪ tentukan nilai sinx - ½ pada salah
satu ruas garis (interval garis)
misal x = 90°  sin90° - ½ = ½ > 0
10
▪ x = 90°  sin90° - ½ = 1 - ½ > 0
+
0°
30°
150°
360°
▪ karena sinx >½ atau sinx - ½ > 0
maka himpunan penyelesaiannya
adalah {x / 30° < x < 150°}
11
Contoh 2
Himpunan penyelesian dari
pertidaksamaan cosx° ≤ ½√2,
untuk 0 ≤ x ≤ 360
adalah….
12
Penyelesaian
▪ Harga nol dari cosx° = ½√2,
pada interval 0 ≤ x ≤ 360° adalah
45° dan 315°
▪ 0°
+
+
45°
315°
360°
▪ uji interval 0°≤ x < 45° dengan
mengambil x = 30°→ cosx - ½√2 =
cos30°- ½√2 = ½√3 - ½√2 > 0
13
▪ x = 30°  cos30° - ½√2 > 0
+
+
0°
45°
315°
360°
▪ karena cosx ≤ ½√2 atau
cosx - ½√2 ≤ 0 (berarti negatif)
maka himpunan penyelesaiannya
adalah {x / 45° ≤ x ≤ 315°}
14
Contoh 3
Himpunan penyelesian dari
pertidaksamaan 2sin2x° < 1,
untuk 0 ≤ x ≤ 180
adalah….
15
Penyelesaian
▪ Pembuat nol dari 2sin2x = 1
→ sin2x = ½ → sin2x = sin 30
2x = 30 + k.360
x = 15 + k.180
k = 0 diperoleh x = 15°
2x = (180 – 30) + k.360
x = 75 + k.180
16
x = 75 + k.180
k = 0 → x = 75°
▪ harga x = 15° dan x = 75° digambar
pada garis bilangan
+
0°
15°
75°
180°
▪ diuji x = 45° → sin2x - ½ = 1 - ½ > 0
▪ yang diminta sin2x - ½ < 0 (negatif)
jadi, himpunan penyelesaiannya:
{x/0° ≤ x < 15° atau 75°< x ≤ 180°}
17
Contoh 4
Himpunan penyelesian dari
pertidaksamaan cos(2x + 30)° < ½,
untuk 0 ≤ x ≤ 180
adalah….
18
Penyelesaian
▪ Pembuat nol dari cos(2x + 30) = ½
→ cos(2x + 30) = cos 60
2x + 30 = 60 + k.360
2x = 30 + k.360
x = 15 + k.180
k = 0 diperoleh x = 15°
2x + 30 = -60 + k.360
19
cos(2x + 30) = cos 60
2x + 30 = -60 + k.360
2x = -90 + k.360
x = -45 + k.180
k = 1 diperoleh x = 135°
▪ harga x = 15° dan x = 135°
digambar pada garis bilangan
0° 15°
135°
180°
20
+
0°
+
15°
135°
180°
▪ Diuji interval 15 < x < 135 dengan
mengambil x = 30 →
cos(2x + 30) - ½ = cos90 - ½ < 0
▪ yang diminta cos(2x + 30)° - ½ < 0
(negatif). Jadi, himpunan
penyelesaiannya adalah
{x / 15°< x < 135°}
21
Bentuk : a.cosx + b.sinx
Bentuk acosx + bsinx
dapat diubah ke bentuk
k.cos(x – α)
dengan k = a  b
2
tan α =
2
b
a
0 ≤ α ≤ 360
22
b
a
tan α =
sudut α dapat terletak
di kuadran I, II, III atau IV
tergantung tanda a dan b
tanda a dan b
a > 0, b > 0
a < 0, b > 0
a < 0, b < 0
a > 0, b < 0
α di kuadran
I
II
III
IV
23
Contoh 1
Ubahlah bentuk cosx + √3sinx
menjadi bentuk kcos(x – α)
24
Jawab
cosx + √3sinx  a = 1 dan b = √3
2
2
k = a b
k = 12  ( 3)2  2
3
b
tan α = 
 3 ( di kuadran I)
a
1
α = 60°
Jadi, cosx + √3sinx dapat di ubah
menjadi 2cos(x – 60°)
25
Contoh 2
Ubahlah bentuk -√3cosx + sinx
menjadi bentuk kcos(x – α)
26
Jawab
-√3cosx + sinx  a = -√3 dan b = 1
k = a 2  b2
2
2
k = ( 3 )  1  2
1
b
  13 3 (  di kuadran II)
tan α = 
a
 3
α = (180 – 30)° = 150°
Jadi, -√3cosx + sinx dapat di ubah
menjadi 2cos(x – 150°)
27
Contoh 3
Ubahlah bentuk cosx – sinx
menjadi bentuk kcos(x – α)
28
Jawab
cosx – sinx  a = 1 dan b = -1
2
2
k = a b
2
2
k = 1  (1) 
b
1
 1 (  di kuadran IV)
tan α = a 
1
α = (360 – 45)° = 315°
Jadi, cosx - sinx dapat di ubah
menjadi √2cos(x – 315°)
2
29
Contoh 4
Bentuk √3cosx – sinx dapat diubah
menjadi bentuk kcos(x – α)
adalah….
a. 2cos(x - 16  )
b. 2cos(x - 13  )
c. 2cos(x - 56  )
d. 2cos(x - 43  )
e. 2cos(x - 116  )
30
Jawab
√3cosx – sinx  a = √3 dan b = -1
k = a 2  b2
2
2
k = ( 3)  (1)  2
1
b
  13 3 ( di kuadran IV)
tan α = a 
3
11
1
α = (2π – 6  ) = 6 
Jadi, √3cosx - sinx dapat di ubah
menjadi 2cos(x – 116  ) → e
31
Contoh 4
Bentuk √3cosx – sinx dapat diubah
menjadi bentuk kcos(x – α)
adalah….
a. 2cos(x - 16  )
b. 2cos(x - 13  )
c. 2cos(x - 56  )
d. 2cos(x - 43  )
e. 2cos(x - 116  )
32
Persamaan : a.cosx + b.sinx = c
Langkah-langkah penyelesaiannya:
▪ ruas kiri ubah ke bentuk kcos(x – α)
▪ kcos(x – α) = c → cos(x – α) = c/k
▪ selesaikan persamaan sederhananya
Syarat dapat diselesaikan:
2
2
a

b
-k ≤ c ≤ k atau lcl ≤
33
Contoh 1
Nilai x yang memenuhi persamaan
-√2 cosx° + √2 sinx° = 1
untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah….
jawab:
▪ a = -√2 dan b = √2
2
2
→ k = ( 2 )  ( 2 )  2  2  2
2
 1 ( di kuadran II)
tanα =
 2
34
tanα =
2
 1 (α di kuadran II)
 2
→ α = 135
▪ 2cos(x – 135) = 1
→ cos(x – 135) = ½
x – 135 = 60 + k.360
x = 195 + k.360
k = 0 → x = 195
35
→ cos(x – 135) = ½
x – 135 = -60 + k.360
x = 75 + k.360
k = 0 → x = 75
Jadi, nilai x yang memenuhi
adalah 75 atau 195
36
Contoh 2
Himpunan penyelesaian persamaan
√3 cosx° - 3sinx° = √3
untuk 0 ≤ x < 360 adalah….
jawab:
▪ a = √3 dan b = -3
2
2
→ k = ( 3 )  (3)  12  2 3
3
  3 (α di kuadran IV)
tanα =
3
37
tanα =
3
  3 ( α di kuadran IV)
3
→ α = 300
▪ 2√3cos(x – 300) = √3 1
→ cos(x – 300) = ½
x – 300 = 60 + k.360
x = 360 + k.360
k = -1 → x = 0
38
→ cos(x – 300) = ½
x – 300 = -60 + k.360
x = 240 + k.360
k = 0 → x = 240
Jadi, himpunan penyelesaiannya
adalah { 0, 240 }
39
Contoh 3
Himpunan penyelesaian persamaan
2√3 cos2x° - 4sinxcosx = 2
untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah….
jawab:
▪ 2√3cos2x – 2.2sinxcosx = 2
2√3cos2x – 2.sin2x = 2 1
√3cos2x – sin2x = 1
40
▪ √3cos2x – sin2x = 1
a = √3, b = -1 → k =
( 3 )2  12
=2
1
  31 3 ( α di kuadran IV)
3
tan α =
α = 360° – 30° = 330°
▪ 2cos(2x - 330°) = 1
cos(2x – 330°) = ½
2x – 330 = 60 + k.360
41
▪ 2x – 330° = 60° + k.360°
2x = 390° + k.360°
x = 195° + k.180°
1

12
k = -1 → x = 15° → x =
k = 0 → x = 195°→ x = 
▪ 2x – 330° = -60° + k.360°
2x = 270° + k.360°
x = 135° + k.180°
13
12
42
x = 135° + k.180°
k = 0 → x = 135° → x = 34 
7
k = 1 → x = 315° → x = 4 
Jadi, himpunan penyelesaiannya
13
1
adalah 12
 , 34  , 12
 , 74  
43
SELAMAT BELAJAR
44