Ekonometrika

Ekonometrika
Program Studi Statistika, semester Ganjil 2012/2013
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Model Regresi Non Linier


Konteksnya: Intrinsically non linier models
Dengan transformasi apapun tidak dapat membuat model
menjadi linier dalam parameter.
1
Yi  1   2
 ui
Xi
Model reciprocal
Yi  1  2 ln X i  ui
Model semilogarithmic
Semuanya masih
intrinsically linier
ln Yi  1   2 X i  ui
Model inverse semilogarithmic
lnYi  ln  1   2 ln X i  ui
Model double logarithmic
1
ln Yi  1   2
 ui
Xi
Model logarithmic reciprocal
Menjadi linier dengan transformasi ln
Intrinsically linier
Dengan transformasi ln dan trik:
Intrinsically linier: model
regresi logistik
Contoh: Fungsi Produksi Cobb Douglas 1




Y = output
X1 = input tenaga kerja
X2 = input modal
Dengan transformasi ln, model menjadi linier: intrinsically
linier
Contoh: Fungsi Produksi Cobb Douglas 2



Dengan peubah yang sama
Unsur galat bersifat multiplikatif bersama-sama peubah yang
lain
Dengan transformasi ln, model menjadi linier: intrinsically
linier
Contoh: Fungsi Produksi Cobb Douglas 3


Dengan peubah yang sama
Unsur galat bersifat aditif, padahal antar peubah berhubungan
secara multiplikatif
Intrinsically non linier models

Dengan transformasi apapun tidak dapat membuat model
menjadi linier dalam parameter.
Contoh: Fungsi Produksi Constant Elasticity
of Substitution (CES)







Y = output
A = parameter skala
K = input modal
δ = parameter distribusi, 0<δ<1
β = parameter substitusi, β≥-1
Apapun bentuk galat dan hubungannnya dengan peubah
yang lain, model tidak dapat dibuat linier dalam parameter
Intrinsically non linier model
Pendugaan Parameter Model Non Linier



Tetap dengan prinsip meminimumkan jumlah kuadrat galat
Masalah: tidak dapat diperoleh solusi secara analitik untuk
persamaan normal
Solusi diperoleh secara iteratif dengan menggunakan
metode numerik


Steepest descent
Newton Rhapson
Jumlah kuadrat galat pada model non linier

Contoh: exponential regression model

Untuk mengukur pertumbuhan GDP atau supply uang

Jumlah kuadrat galat:
2
 X

u

Y


e
i  i 1
2 i
i
i

2
Pendugaan Parameter dengan fungsi Non
Linier Least Square




Pada eviews atau Gretl terdapat dialog box untuk mengetikkan
perintah Non Linier Least Square (NLS)
Dibutuhkan definisi nilai awal parameter yang digunakan
Definisi fungsi
Turunan pertama dari masing-masing parameter
Contoh Fee vs Asset



Fees = uang yang harus dibayarkan untuk menyewa jasa
penasehat untuk me-manage asset
Asset = nilai asset perusahaan
Perusahaan dengan nilai asset besar tidak terlalu membutuhkan
jasa penasehat.
Contoh Dialog Box NLS pada Gretl

Untuk menduga parameter dari model berikut:
Fee  1e  2 Asset
Definisi dari nilai awal
parameter
Definisi dari fungsi
Turunan pertama dari
masing-masing
parameter
Pendugaan Parameter dengan fungsi Non
Linier Least Square

Model 3: NLS, using observations 1-12

Fee = beta1*exp(beta2*Asset)
estimate

std. error
t-ratio
p-value

----------------------------------------------------------

beta1

beta2
0.508802
-0.00592068
0.00736005
69.13
0.000477622
-12.40
9.78e-015 ***
2.15e-07
***

Mean dependent var
0.432737
S.D. dependent var
0.049803

Sum squared resid
0.001656
S.E. of regression
0.012869

R-squared
0.939304
Adjusted R-squared
0.933235

Log-likelihood
36.30232
Akaike criterion
-68.60465

Schwarz criterion
Hannan-Quinn
-68.96371
-67.63483
Perlu diperhatikan dalam NLS




Hasil pengujian, t, F hanya berlaku valid jika ukuran sampel
cukup besar
R2 tidak valid jika ukuran sampel kecil
Walaupun galat menyebar normal, untuk ukuran sampel
kecil penduga NLS tidak menyebar normal, tidak bias dan
tidak mempunyai ragam kecil.
Hasil pengujian di output sebelumnya berlaku secara
asimptotik jika sampel berukuran besar.