KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

Hak Cipta
Dilindungi Undang-undang
SOLUSI
OLIMPIADE SAINS NASIONAL
TAHUN 2015
ASTRONOMI
RONDE TEORI
Waktu: 210 menit
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN MENENGAH
DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS
TAHUN 2015
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN MENENGAH
DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS
Pilihan Berganda
No.
Pilihan
1
C
2
B
3
D
4
A
5
A
6
D
7
8
C
A
9
C
10
11
B
A
12
E
13
C
14
C
15
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
E
Halaman 1 dari 15
Essay
1. [Supergugus dan Kosmologi] Sebuah gugus galaksi yang menjadi anggota supergugus galaksi berada pada jarak 100 juta tahun cahaya dari pusat supergugus. Gugus galaksi itu diamati meninggalkan
supergugus yang berbentuk bola dan bermassa 1 trilyun massa Matahari.
a. Hitunglah perbandingan kecepatan gugus akibat pengembangan alam semesta terhadap kecepatan
lepas gugus dari kelompoknya! Manakah yang lebih dominan? Berikan penjelasan!
b. Berapa besar pergeseran panjang gelombang 550 nm yang berasal dari pusat supergugus dan diamati
dari gugus tersebut?
c. Berapa kerapatan supergugus agar dapat melawan pengembangan alam semesta dan menahan lepasnya gugus galaksi? Nyatakan dalam satuan g cm−3 !
Solusi:
Massa kelompok gugus:
M = 1012 M⊙
dengan M⊙ = 2 × 1030 kg
Jarak
d = 108 tahun cahaya × 3 × 107 detik × 3 × 108 = 9 × 1023 m
Dalam parsek, jarak menjadi 30,66 Mparsek,
Konstanta Hubble: 72 km/detik/Mparsek
V = H0 d = 72 km/detik/Mparsek × 30, 66 Mparsek = 2208 km/detik
(Nilai 10)
Dari
v
∆λ
=
λ
c
diperoleh
2208
× λ(5500) = 40, 48
300000
40, 48 + 5500 = 5540, 48 Angstrom = 554, 05 nm
(Nilai 10)
Kecepatan Gugus lepas dari Gravitasi Grup adalah
V =
r
2GM
=
d
r
2 × 2, 667 × 10−11 × 1012 × 1033
= 16, 7 km/detik
9 × 1023
(Nilai 20)
Kecepatan pengembangan alam semesta dibagi kecepatan lepas ternyata 132 kali. Medan gravitasi GrupGugus tidak cukup kuat melawan pengembangan alam semesta. Gugus lepas oleh “Pengembangan Alam
Semesta”
(Nilai 10)
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
Halaman 2 dari 15
Dengan menyamakan kecepatan pengembangan alam dengan kecepatan lepas diperoleh:
H02 d2 =
2G 43 π d3 ρ
2GM
=
d
d
(Nilai 30)
Didapat kerapatan gugus:
ρ=3
(7, 6 × 10−18 /s)2
H02
=3
= 1, 03 × 10−28 gram/cm3
8π G
8π 6, 67 × 10−8
(Nilai 20)
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
Halaman 3 dari 15
2. [Eksoplanet] Bintang induk sebuah eksoplanet memperlihatkan paralaks 0,02′′ . Fluks bintang adalah
7 × 10−9 Watt/m2 dengan puncak spektrum pada λmax = 500 nm.
a. Untuk bintang ini, berlaku hubungan luminositas dan massa dalam bentuk
L ∝ M 3,5
Tentukan massa bintang dalam satuan Matahari!
b. Hitung suhu kesetimbangan planet dengan pendekatan
250
Tplanet = √
d
dengan d adalah jarak planet-bintang dalam satuan sa.
c. Apakah planet tersebut layak huni bagi manusia? Jelaskan!
Solusi:
a.
p = 0, 02′′
Terang semu = 7 × 10−9 Watt/m2
λefektif = 500 nm = 500 × 10−9 m,
Dari
d=
1
= 1, 5 × 1018 m
p
Terang semu:
L
= 7 × 10−9 Watt/m2 ,
2
4πd
diperoleh
L = 2 × 1029 Watt
(Nilai 10)
Dari Hukum Wien,
λefektif (m) =
0, 0029
,
T (K)
diperoleh T = 5800 K. (Nilai 10)
Pakai Hukum Stefan Boltzmann, maka luminositas dan jejari bintang ditentukan dari :
L = 4 π R2 σ T 4 ,
diperoleh jejari bintang R = 1, 6 × 1010 m (Nilai 20)
Dalam satuan Matahari:
L = 519 L⊙
R = 23 R⊙
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
(Nilai 5)
(Nilai 5)
Halaman 4 dari 15
b. Dari hubungan massa-luminositas
L ≈ M 3,5
diperoleh M ≈ 6 M⊙ (Nilai 10)
Jarak planet dari bintang induk di dapat dari Hukum Kepler 3 (nyatakan P dalam tahun)
a3 = P 2 M = 0, 00877 tahun × 8 M⊙
a = 0, 41 sa = 0, 41 × 150 juta km = 60 juta km
(Nilai 10)
Kecepatan pada t = 77 jam adalah V = 143, 72 cm/detik (Nilai 5), kecepatan adalah kecepatan
radial (Nilai 5)
250
= 390 K.
Tplanet = √
0, 41
(Nilai 20)
c. Tidak layak huni karena:
• untuk bintang bermassa besar ini, jarak planet ke bintang jauh lebih dekat dibanding dengan
jarak Bumi-Matahari
• temperatur planet terlalu tinggi (dekat ke temperatur didih H2 O)
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
Halaman 5 dari 15
3. [Wahana Antariksa] Wahana antariksa Dawn mengorbit planet kerdil Ceres pada orbit lingkaran dengan
radius 1200 km. Setelah 22 hari survey, Dawn mengubah orbit menjadi elips dengan jarak terdekat
beberapa ratus kilometer dan jarak terjauh beberapa ribu kilometer. Berapakah jarak terdekat dan terjauh
wahana tersebut dari pusat Ceres? Perhatikan bahwa hal itu dilakukan Dawn dengan cara mengurangi
momentum sudut menjadi 60% harga semula dan menjaga energi totalnya tetap saat perubahan orbit
berlangsung!
Solusi:
Dari perubahan momentum sudut L = 0, 6 Lc , didapat
m V R = 0, 6 m Vc Rc .
Jadi
V = 0, 6
V c Rc
R
atau
V = 0, 6
(Nilai 20)
Rc
p
GM/Rc
R
Dari energi total
1
GM m
GM m
1
mVc2 −
= mV 2 −
2
Rc
2
R
(Nilai 20)
V2 =
0, 36Vc2
Rc2
R2
=
2GM
2GM
2GM
2GM
+ Vc2 −
=
+ Vc2 − 2Vc2 =
− Vc2
R
Rc
R
R
2GM
− Vc2
R
dengan
GM = Vc2 Rc
Vc2
Rc2
Rc
0, 36 2 + 1 = 2Vc2 ,
R
R
didapat
0, 36
R2 − 2Rc R + 0, 36Rc2 = 0
(Nilai 20)
R=
(Nilai 20)
Rc2
Rc
+1−2
=0
R2
R
i
p
1h
1p
2Rc ± (4Rc2 − 1, 44Rc2 ) = (1 ±
2, 56)Rc = (1 ± 0, 8)Rc
2
2
Jadi jarak maksimum R = 1, 8Rc = 2160 km dan jarak minimum R = 0, 2Rc = 240 km
(Nilai 20)
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
Halaman 6 dari 15
4. [Materi Antar Bintang] Diketahui sebuah bintang dalam catalog BMSS (Bosscha M Star Survey) No
8-24 (IRAS 17154-3407) pada posisi koordinat bujur dan lintang galaksi masing-masing
l = 352◦,48
b = 1◦, 92.
Diketahui pula spektrum bintang adalah M6.5 (late M star, bintang kelas spektrum M tipe akhir). Hasil
pengamatan magnitudo inframerah-dekat dan warna bintang menunjukkan
I = 7,8
(R − I) = 3,3.
Diketahui bintang M6.5 mempunyai warna intrinsik, magnitudo semu pada panjang gelombang 12 µm
(m12 ), dan warna inframerah (m12 −m25 ) (dengan m25 adalah magnitudo semu pada panjang gelombang
25 µm) masing-masing sebesar
(R − I)0 = 1,6
m12 = 1,4
m12 − m25 = 0,87.
Pelemahan (ekstingsi) di arah tersebut adalah
AV ≈ 1,5 − 2,0 mag/kpc.
Telaah menunjukkan informasi tersebut berlaku hingga jarak 4 kpc. Hukum pemerahan umum dianggap
R = 3,55
AV
,
R =
EB−V
EV −I = 1,5 EB−V , dan
EV −R = 0,8 EB−V .
dengan EB−V , EV −I , dan EV −R masing-masing adalah ekses warna dalam B − V , V − I, dan V − R.
Dari hasil telaah bintang-bintang inframerah diperoleh 3 (tiga) hubungan magnitudo mutlak dalam 12
µm:
[1] : M12 = −8,458 − 2,219 (m12 − m25 ),
[2] : M12 = −8,846 − 2,619 (m12 − m25 ), dan
[3] : M12 = −8,895 − 3,075 (m12 − m25 ).
a. Bila pelemahan pada panjang gelombang 12 µm dan 25 µm diabaikan, hitung jarak rata-rata bintang
dengan menggunakan informasi inframerah!
b. Nyatakan AI , AR , dan AV sebagai fungsi dari ER−I !
c. Hitung EB−V dan ER−I !
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
Halaman 7 dari 15
Solusi:
Point penilaian [dalam skala 100]:
Step 1 [25 point]:
Jarak secara umum dapat ditentukan dengan rumus:
m − M = −5 + 5 log d(pc) + A
m = magnitudo semu, M = magnitudo absolute, d = jarak (parsek), dan A = pelemahan dalam skala
magnitudo.
m12 − M12 = −5 + 5 log d(pc) + A
m12 = magnitudo semu pada panjang gelombang 12 mikron, M12 = magnitudo absolut pada panjang
gelombang 12 mikron, d = jarak (parsek), dan A = pelemahan dalam skala magnitudo pada panjang
gelombang 12 mikron. Bila pelemahan dianggap bisa diabaikan maka A = 0.
Diketahui m12 = 1.40 dan m12 − m25 = 0.87; maka kemungkinan:
M12 = −8.458 − 2.219(m12 − m25 )
M12 = −10.39
d = 2.28 kpc
atau
M12 = −8.846 − 2.619(m12 − m25 )
M12 = −11.12
d = 3.20 kpc
atau
M12 = −8.895 − 3.075(m12 − m25 )
M12 = −11.57
d = 3.93 kpc
Step 2 [30 point]:
Diketahui
E(V − I) = 1.5 E(B − V ) dan
AV
3.55 =
atau
E(B − V )
AV = 3.55 E(B − V )
maka
AV − AI
= 1.5 E(B − V ) atau
3.55 E(B − V ) − AI = 1.5 E(B − V ) atau
AI
AI
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
= 2.05 E(B − V ) atau
AV
= 0.58 AV
= 2.05
3.55
Halaman 8 dari 15
Diketahui
E(V − R) = 0.80 E(B − V ) dan
AV
atau
3.55 =
E(B − V )
AV = 3.55 E(B − V )
maka
AV − AR = 0.80 E(B − V ) atau
3.55 E(B − V ) − AR = 0.80 E(B − V ) atau
AR = 2.75 E(B − V ) atau
AV
AR = 2.75
= 0.77 AV
3.55
Maka
E(R − I) = AR − AI = 2.75 E(B − V ) − 2.05 E(B − V ) = 0.70 E(B − V ) dan
E(R − I)
= 2.93 E(R − I) atau
AI = 2.05 E(B − V ) = 2.05
0.70
AI = 2.93 E(R − I) dan
AI
= 0.58 AV
maka
AV
= 5.05 E(R − I) dan
AR = 0.77 AV
maka
AR = 3.89 E(R − I)
Step 3 [30 point]:
E(R − I) = (R − I) − (R − I)0 = 3.3 − 1.6 = 1.7 dan
AI
= 2.93 E(R − I) = 2.93 × 1.7 = 4.981
maka
AV
AR
4.981
AI
=
= 8.59 dan
0.58
0.58
= 3.89 E(R − I) = 6.61
=
Step 4 [15 point]:
E(B − V ) =
E(B − V ) =
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
AV
R
8.59
= 2.42
3.55
Halaman 9 dari 15
5. [Fisika Bintang] Pada reaksi nuklir proton-proton di dalam suatu bintang seukuran Matahari, energi yang
dihasilkan per gram per detik adalah sebesar
6 2/3
10
eA
Epp = 2, 5 × 106 ρ X 2
T
"
6 1/3 #
10
A =
−33, 8
T
dengan
ρ = rapat massa pusat bintang
X = fraksi massa hidrogen = massa hidrogen dalam 1 gram materi
T
= temperatur pusat bintang
Untuk bintang tersebut, diketahui
ρ = 55 g cm−3
X = 0,88
T
= 107 K
dan reaksi nuklir berlangsung hingga sejauh 0,2 R dari pusat bintang. Radiasi keluar secara seragam ke
semua arah. Dengan mengabaikan faktor serapan dan emisi, tentukanlah temperatur permukaan bintang
tersebut!
Solusi:
A =
Epp
"
−33, 8
106
107
1/3 #
= −15, 688570258
106
= 2, 5 × 10 × 55 × (0, 88) ×
107
= 3, 533 erg/g/detik
[20 poin]
6
2
2/3
e(−15,688570258)
4
L = Epp × π (0, 2 R)3 ρ
[40 poin]
3
4
= 4π R2 σ Teff
[10 poin]
4
Teff
=
=
=
=
Teff =
≈
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
L
4π R2 σ
Epp × 34 π (0, 2 R)3 ρ
4π R2 σ
Epp × (0, 2)3 R ρ
3σ
8 R ρ Epp
[20 poin]
r3000 σ
4 8 R ρ Epp
3000 σ
5020 K
[10 poin]
Halaman 10 dari 15
6. [Tata Surya] Sebuah planet ekstrasolar beralbedo 0,06, berada diantara dua bintang yang memberikan tarikan gravitasi sama kuatnya. Bintang pertama sama seperti Matahari dan berjarak seperti jarak
Bumi-Matahari, sedangkan bintang kedua massanya 3 kali bintang pertama. Bintang pertama dan kedua
merupakan bintang deret utama. Jika fluks yang diserap planet sama dengan yang diemisikannya, berapakah temperatur permukaan planet ekstrasolar tersebut? Gunakan pendekatan dengan mengabaikan
interaksi antar bintang.
Solusi:
Pengaruh gravitasi sama kuat:
F1 = F2
GM2 mp
GM1 mp
=
2
r1
r22
M1 r22 = M2 r12
1 2
r12 =
r2
3 r
1
r1 = r2
3
Dari hubungan massa-luminositas:
L2
≃ 33.5
L1
Kesetimbangan fluks di planet:
Eout = Ein
L2
L1
+ (1 − a)
4πr12
4πr22
1
L1
L2
1
=
(1 − 0.06)
+ (1 − 0.06)
2
σ
σ
4πr1
4πr22
= 784K
σT 4 = (1 − a)
T4
T
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
Halaman 11 dari 15
7. [Gravitasi] Seorang astronot yang mengikuti misi ke Planet Mars memiliki hobi bermain bola. Dia
berharap bisa melanjutkan hobinya ketika tinggal di Mars. Dia menyadari bahwa kondisi di Mars berbeda
dengan di Bumi. Di Bumi, dia menendang bola bermassa 500 g dengan laju awal 25 m/s pada sudut 45◦ .
Dengan energi yang biasa dikerahkan saat bermain bola di Bumi, apakah bola akan lepas dari gravitasi
Mars? Hitunglah rasio kecepatannya! Agar dapat bermain bola di Mars dengan nyaman, dia memodifikasi
massa bola sehingga bola melambung dengan ketinggian yang sama seperti di Bumi. Berapakah massa
bola tersebut setelah diubah?
Solusi:
Kecepatan lepas
p
p
Ve = 2GM/r = 2 ∗ 6.67 ∗ 10−11 ∗ 0.107 ∗ 5.97 ∗ 1024 /(0.532 ∗ 6378000)
Ve = 5011 m/s
Tidak. Bola tidak lepas dari Mars karena dibutuhkan kecepatan yang jauh lebih besar. Rasio kecepatannya
25/5011 = 0.004
Untuk mengubah massa dengan mengetahui ketinggian saat menendang, gunakan persamaan gerak peluru.
Ketinggian bola di Bumi dan di Mars (gravitasi di Mars 0.376 g):
hBumi = hMars
v0m (sin α)2
v0b (sin α)2
=
gBumi
gMars
2
2
v0m = 0.376 v0b
v0m = 15.32 m/s
Momentum saat menendang sama:
mb v0b = mm v0m
Massa bola yang dimodifikasi:
mm = mb
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
v0b
≃ 0.815 kg
v0m
Halaman 12 dari 15
8. [Pemetaan Materi Gelap] Sebagaimana diberitakan dalam majalah Nature bulan April 2015, sebuah tim
telah berhasil memetakan distribusi materi gelap (dark matter ) di sebagian belahan langit selatan. Menggunakan teleskop Victor M. Blanco yang dilengkapi kamera dengan resolusi 24000×24000 pixel2 , mereka
mampu memetakan area seluas 700 kali piringan Matahari. Berapakah resolusi sudut yang dihasilkan?
Nyatakan dalam detik busur per pixel!
Solusi:
Luas piringan Matahari:
2
πδ⊙
4
π(30 · 60)2
=
4
= 2,5447 × 106 arcsec2
A =
Resolusi kamera:
r
700 × A
24000 × 24000
p
=
3,0925 = 1,758563867 arcsec/pixel
α =
Poin penilaian:
• Proses perhitungan 50%.
• Hasil perhitungan 50%
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
Halaman 13 dari 15
Daftar Konstanta dan Data Astronomi
Nama konstanta
Simbol
Harga
2,99792458 × 108 m/s
Kecepatan cahaya
c
Konstanta gravitasi
G
6,673 × 10−11 m3 /kg/s2
Konstanta Planck
h
6,6261 × 10−34 J s
Konstanta Boltzmann
k
1,3807 × 10−23 J/K
Konstanta kerapatan radiasi
a
Konstanta Stefan-Boltzmann
σ
5,6705 × 10−8 W/m2 /K4
Muatan elektron
e
1,6022 × 10−19 C
Massa elektron
me
9,1094 × 10−31 kg
Massa proton
mp
1,6726 × 10−27 kg
Massa neutron
mn
Massa atom 1 H1
1,6749 × 10−27 kg
mH
Massa atom 2 He4
1,6735 × 10−27 kg
mHe
6,6465 × 10−27 kg
Massa inti 2 He4
Konstanta gas
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
7,5659 × 10−16 J/m3 /K4
6,6430 × 10−27 kg
R
8,3145 J/K/mol
Halaman 14 dari 15
Nama besaran
Notasi
Harga
Satuan astronomi
sa
1,49597870 × 1011 m
Parsek
pc
Tahun cahaya
ly
3,0857 × 1016 m
0,9461 × 1016 m
Tahun sideris
365,2564 hari
Tahun tropik
365,2422 hari
Tahun Gregorian
365,2425 hari
Tahun Julian
365,2500 hari
Periode sinodis Bulan (synodic month)
29,5306 hari
Periode sideris Bulan (sidereal month)
Hari Matahari rerata (mean solar day )
27,3217 hari
24j 3m 56d,56
Hari sideris rerata (mean sidereal day )
23j 56m 4d,09
Massa Matahari
M⊙
Jejari Matahari
R⊙
Temperatur efektif Matahari
Teff,⊙
L⊙
Luminositas Matahari
Magnitudo semu visual Matahari
1,989 × 1030 kg
6,96 × 108 m
5785 K
3,9 × 1026 W
V
Indeks warna Matahari
−26,78
B−V
0,62
U −B
0,10
Magnitudo mutlak visual Matahari
MV
4,79
Magnitudo mutlak biru Matahari
MB
5,48
Magnitudo mutlak bolometrik Matahari
Massa Bulan
Mbol
M%
Jejari Bulan
R%
Jarak rerata Bumi–Bulan
4,72
7,348 ×
1738000 m
H0
69,3 km/s/Mpc
Jejari
Merkurius
Venus
Bumi
Mars
Jupiter
Saturnus
Uranus
Neptunus
Massa
ekuatorial
(kg)
(km)
3,30 × 1023
4,87 × 1024
5,97 × 1024
6,42 × 1023
ke Matahari
(103 km)
57910
6052
243,019 hari
23j 56m 4d,1
244,7018
108200
365,2500
149600
24j 37m 22d,6
9j 55m 30d
686,9257
227940
4330,5866
778330
10746,9334
1429400
30588,5918
2870990
59799,8258
4504300
6378
3397
60268
Hak Cipta Dilindungi Undang-undang
Psideris
(hari)
87,9522
5,69 × 1026
1,03 × 1026
Protasi
58,646 hari
71492
8,66 × 1025
Jarak rerata
2440
1027
1,90 ×
kg
384399000 m
Konstanta Hubble
Objek
1022
25559
24764
10j 39m 22d
17j 14m 24d
16j 6m 36d
Halaman 15 dari 15