Regresi linear

ANALISIS REGRESI
Dalam analisis data sering dilakukan pembuatan suatu kurve yang dapat mewakili suatu
rangkaian data yang diberikan dalam suatu sistem koordinat x-y. Data tersebut dapat
berupa hasil percobaan di laboratorium atau pengamatan di lapangan. Karena adanya
kesalahan-kesalahan atau ketidakpastian dalam pengujian, pengukuran atau variasi
perubahan data dari waktu ke waktu, maka titik-titik data tersebar dalam koordinat x-y.
Dalam analisis regresi akan dibuat kurve atau fungsi berdasarkan sebaran titik data.
Kurve yang terbentuk diharapkan dapat mewakili titik-titik data tersebut. Seringkali,
setelah kurve terbentuk, dilakukan pula ekstrapolasi untuk mendapatkan nilai y yang
berkaitan dengan nilai x yang berada di luar rangkaian data yang ada.
Metode yang akan digunakan untuk membuat kurve tersebut adalah metode kuadrat
terkecil (least square method). Metode tersebut memungkinkan untuk membuat kurve
yang paling mendekati titik-titik data.
Gambar 5.1, adalah penyebaran titik-titik data hasil dari suatu percobaan pada sistem
koordinat x-y. Penetapan bentuk kurve, apakah linier (garis lurus) atau lengkung
(logaritmik atau berpangkat), tergantung dari kecenderungan (trend) dari penyebaran
titik data, seperti pada Gambar 5.1a. dan 5.1b. Seringkali dijumpai adanya beberapa
data yang mempunyai kesalahan sangat besar seperti titik A dan titik B pada Gambar 5.1.
Pembuatan kurve dengan menggunakan titik A dan B pada gambar akan menghasilkan
nilai yang juga mempunyai kesalahan, oleh karena itu data A dan B dapat dihilangkan.
Gambar 5.1. Plot data pengukuran
5.1 Metode Kuadrat Terkecil (least square method)
Gambar 5.2, menunjukkan sebaran dari titik-titik data hasil pengukuran pada bidang
x-y. Akan dicari suatu kurve g (x) yang dapat mewakili titik percobaan tersebut.
Cara termudah adalah membuat kurve secara visual yang merupakan fungsi terbaik
g (x) yang digambarkan oleh titik-titik data. Tetapi cara ini tidak bisa memberikan
hasil yang memuaskan, terutama apabila penyebaran titik data cukup besar.
Diinginkan suatu metode yang lebih pasti untuk mendapatkan kurve tersebut, yaitu
dengan membuat kurve yang meminimumkan perbedaan (selisih) antara titik-titik
data dan kurve. Teknik untuk mendapatkan kurve tersebut dikenal dengan regresi
kuadrat terkecil.
Teknik Komputer
1
Gambar 5.2. Kurve mewakili titik-titik data
Teknik tersebut dilakukan dengan prosedur berikut ini:
1) Titik-titik percobaan digambar pada suatu sistem koordinat. Dari gambar
sebaran titik data tersebut dapat diketahui trend (pola) secara umum dari
kumpulan titik data, sehingga dapat ditentukan apakah kurve yang mewakili
berupa garis lurus (linier) atau lengkung.
2) Dipilih suatu fungsi g (x) yang dianggap bisa mewakili f (x) yang mempunyai
bentuk umum berikut ini:
g (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + … + ar xr
(5.1)
Fungsi tersebut tergantung pada parameter a0, a1, …, ar.
3) Ditentukan parameter a0, a1, …, ar sedemikian rupa sehingga g (xi ; a0, a1, …, ar)
melalui sedekat mungkin titik-titik data. Bentuk g (xi ; a0, a1, …, ar) mempunyai
arti fungsi g (xi) dengan parameter a0, a1, …, ar.
4) Apabila koordinat dari titik-titik percobaan adalah M (xi , yi), dengan nilai i = 1,
2, …, n maka selisih ordinat antara titik-titik tersebut dengan fungsi g (xi ; a0, a1,
…, ar) adalah:
Ei = Mi Gi = yi – g (xi ; a0, a1, …, ar)
= yi – (a0 + a1 xi + a2 xi 2 + a3 xi 3 + … + ar xi r)
5) Dipilih suatu fungsi g (x) yang mempunyai kesalahan Ei terkecil. Dalam metode
ini jumlah kuadrat dari kesalahan adalah terkecil.
n
n
D 2   Ei   { yi  g ( xi )}2
i 1
2
i 1
(5.2)
6) Dicari parameter a0, a1, …, ar sedemikian sehingga D2 adalah minimum. Nilai
D2 akan minimum apabila turunan pertamanya terhadap a0, a1, …, ar adalah nol,
sehingga:
Teknik Komputer
2
 D2
0
 a0
 D2
0
 a1

2
D
0
 ar
(5.3)
7) Penyelesaian dari persamaan (5.3) akan memberikan hasil parameter a0, a1, …,
ar. Dengan demikian persamaan kurve terbaik yang mewakili titik-titik data telah
diperoleh.
5.2 Metode Kuadrat Terkecil Untuk Kurve Linier
Bentuk paling sederhana dari regresi kuadrat terkecil adalah apabila kurve yang
mewakili titik-titik data merupakan garis lurus, sehingga persamaannya adalah:
g (x) = a + bx
(5.4)
Dalam hal ini, a0 = a dan a1 = b.
Jumlah kuadrat dari kesalahan dihitung dengan persamaan (5.2):
n
n
D 2   Ei   { yi  a  b xi }2
i 1
2
i 1
(5.5)
Agar nilai D2 adalah minimum, maka persamaan (5.5) diturunkan terhadap
parameter a dan b, kemudian disama-dengankan nol.
Turunan pertama terhadap parameter a adalah:
 D2
0
a
 n
(  yi  a  b xi ) 2  0
 a i 1
n
 2  ( yi  a  b xi )  0
i 1
 yi   a   b xi  0
(5.6)
Turunan pertama terhadap parameter b adalah:
 D2
0
b
 n
(  yi  a  b xi ) 2  0
 b i 1
n
 2  [ ( yi  a  b xi ) xi ]  0
i 1
 yi xi   a xi   b xi  0
2
(5.7)
Penjumlahan masing-masing suku persamaan (5.6) dan (5.7) adalah dari 1 hingga n.
Teknik Komputer
3
Persamaan (5.6) dan (5.7) dapat ditulis dalam bentuk:
n a  Σ xi b  Σ yi
(5.8)
Σ xi a  Σ xi b  Σ xi y i
(5.9)
2
dengan  a = n a
Selanjutnya persamaan (5.8) dapat ditulis menjadi:
n a =  yi   xi b
a=
1
(Σ yi  Σ xi b )
n
a=
1
1
Σ yi  Σ x i b
n
n
(5.10)
atau
a = y  bx
(5.11)
Interpolasi persamaan (5.10) ke dalam persamaan (5.9),
 xi
1
2
(  yi   xi b )   xi b   xi y i
n
2
 x i  yi  (  xi ) b  n  xi b  n  xi yi
2
b [ n  xi  (  xi ) 2 ]  n  xi y i   xi  yi
2
atau
b
n  xi yi   xi  yi
2
n  xi  (  xi ) 2
(5.12)
Dengan menggunakan persamaan (5.11) dan persamaan (5.12) untuk menghitung
koefisien a dan b, maka fungsi g (x) dapat dicari.
Persamaan garis lain, selain persamaan (5.4) memberikan jumlah kuadrat kesalahan
yang lebih besar, namun persamaan (5.4) adalah perkiraan terbaik dari data. Untuk
mengetahui derajat kesesuaian dari persamaan yang didapat, dihitung nilai koefisien
korelasi yang berbentuk:
Dt  D 2
2
Dt
2
r
(5.13)
dengan r adalah koefisien korelasi, sedang D2 dan Dt2 diberikan oleh bentuk:
n
Dt   ( yi  y ) 2
2
i 1
n
D 2   ( yi  a0  a1 x )2
i 1
Nilai r bervariasi antara 0 dan 1, untuk perkiraan yang sempurna nilai r = 1, bila r =
0 perkiraan suatu fungsi sangat jelek. Koefisien korelasi ini juga dapat digunakan
Teknik Komputer
4
untuk memilih suatu persamaan dari beberapa alternatif yang ada, terutama di dalam
regresi garis tidak lurus. Kurve lengkung dapat didekati dengan beberapa tipe
persamaan, misalnya bentuk y = a xb; y = a eb; y = a0 + a1 x + a2 x2, atau persamaan
lain. Dari beberapa alternatif tersebut dipilih persamaan yang mempunyai nilai
koefisien korelasi terbesar (paling mendekati 1).
Contoh soal:
Tentukan persamaan garis yang mewakili data berikut.
x
4
6
8
10
14
16
20
22
24
28
y
30
18
22
28
14
22
16
8
20
8
Penyelesaian
Penggambaran titik-titik data pada sistem koordinat x-y diberikan dalam Gambar 5.3,
yang dapat diwakili oleh garis lurus. Penyelesaian dilakukan dengan menggunakan
Tabel 5.1.
Gambar 5.3. Sebaran titik-titik data pada sistem koordinat
Dari hitungan dalam Tabel 5.1, nilai rerata dari x dan y adalah:
 x 152

 15,2
n
10
 y 186
y

 18,6
n
10
x
Persamaan garis yang mewakili titik-titik data adalah:
y = a + bx
Tabel 5.1. Hitungan regresi linier
Teknik Komputer
5
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

xi
4
6
8
10
14
16
20
22
24
28
152
yi
30
18
22
28
14
22
16
8
20
8
186
xi yi
120
108
176
280
196
352
320
176
480
224
2432
xi2
16
36
64
100
196
256
400
484
576
784
2912
dengan:
b

n Σ xi y i  Σ xi Σ y i
n ( Σ x i )  (Σ x i ) 2
2
(10  2432)  (152  186)
3952

 0,6569
2
6016
(10  2912)  (152)
a  y  b x  18,6  (0,6569  15,2)  28,5849
Jadi persamaan garis adalah:
y  28,5849  0,6569 x
5.3 Linierisasi Kurve Tidak Linier
Dalam praktek sering dijumpai bahwa sebaran titik-titik pada sistem koordinat
mempunyai kecenderungan (trend) yang berupa kurve lengkung, sehingga
persamaan (5.4) tidak bisa langsung digunakan. Gambar 5.4, menunjukkan sebaran
data pada sistem koordinat x-y. Dalam Gambar 5.4a, titik data diwakili oleh kurve
linier, sedang Gambar 5.4b, diwakili oleh kurve lengkung. Terlihat bahwa
pendekatan dengan kurve lengkung memberikan hasil yang lebih baik daripada garis
lurus (kurve linier). Agar persamaan regresi linier dapat digunakan untuk
mempresentasikan kurve lengkung, maka perlu dilakukan transformasi koordinat
sedemikian rupa sehingga sebaran titik data bisa dipresentasikan dalam kurve linier.
Berikut ini diberikan dua fungsi transformasi data yang bisa digunakan, yaitu fungsi
eksponensial dan fungsi berpangkat.
1) Persamaan berpangkat
Persamaan berpangkat diberikan oleh bentuk berikut ini.
y  a2 x b2
(5.14)
dengan a2 dan b2 adalah koefisien konstan.
Teknik Komputer
6
Gambar 5.4. Titik data didekati dengan garis lurus dan lengkung
Persamaan tersebut dapat dilinier-kan dengan menggunakan fungsi logaritmik
sehingga didapat:
log y = b2 log x + log a2
(5.15)
yang merupakan hubungan log-log antara log y dan log x. Persamaan tersebut
mempunyai bentuk garis lurus dengan kemiringan b2 dan memotong sumbu log
y pada log a2. Gambar 5.5, menunjukkan transformasi dari fungsi asli menjadi
fungsi logaritmik.
2) Fungsi exponensial
Contoh lain dari kurve tak linier adalah fungsi eksponensial seperti diberikan
oleh bentuk berikut:
(5.16)
y  a1 e b1 x
dengan a1 dan b1 adalah konstanta.
Persamaan tersebut dapat dilinier-kan dengan menggunakan logaritma natural
sehingga menjadi:
ln y = ln a1 + b1x ln e
Karena ln e = 1, maka:
ln y = ln a1 + b1x
(5.17)
Persamaan (5.15) merupakan hubungan semi logaritmik antara ln y dan x.
Persamaan tersebut mempunyai bentuk garis lurus dengan kemiringan b1 dan
memotong sumbu ln y pada ln a1. Gambar 5.6, menunjukkan transformasi dari
fungsi asli menjadi fungsi logaritmik.
Gambar 5.5. Transformasi fungsi logaritma
Teknik Komputer
7
Gambar 5.6. Transformasi fungsi eksponensial
Contoh soal:
Tentukan persamaan kurve lengkung yang mewakili data berikut ini.
x
1
2
3
4
5
y
0,5
1,7
3,4
5,7
8,4
Penyelesaian:
Gambar 5.7, menunjukkan sebaran titik data pada sistem koordinat x-y, untuk
mencari kurve dengan menggunakan dua bentuk transformasi, yaitu transformasi
log dan ln.
Gambar 5.7. Sebaran data dan kurve lengkung
a). Transformasi log
Misalkan persamaan kurve yang dicari adalah:
y = a xb
Transformasi dengan menggunakan fungsi log, sehingga:
log y = log a xb 
log y = log a + b log x
Dilakukan transformasi berikut:
p = log y
B=b
A = log a
q = log x
Sehingga persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk:
p =A+B q
Teknik Komputer
8
Hitungan dilakukan dengan menggunakan Tabel 5.2, dari hitungan dalam
Tabel 5.2, didapat beberapa parameter berikut ini.
q
Σ log xi 2,0791

 0,4158
n
5
p
Σ log yi 2,1411

 0,42822
n
5
Tabel 5.2. Hitungan regresi linier dengan transformasi log
No
1
2
3
4
5

xi
1
2
3
4
5
15
yi
0,5
1,7
3,4
5,7
8,4
19,7
qi = log xi
0
0,3010
0,4771
0,6020
0,6990
2,0791
pi = log yi
-0,3010
0,2304
0,5315
0,7559
0,9243
2,1411
qi pi
0
0,0693
0,2536
0,4550
0,6461
1,4240
qi2
0
0,0906
0,2276
0,3624
0,4886
1,1692
Koefisien A dan B dihitung dengan persamaan (5.11) dan (5.12).
B

n Σ qi pi Σ qi Σ pi
2
n Σ qi  (Σ qi ) 2
5(1,4240)  (2,0791)( 2,1411)
2,6684

 1,7517
(5  1,1692)  (2,0791  2,0791) 1,5233
Setelah nilai B didapat kemudian dicari nilai A:
A  p  B q  0,42822  (1,7517  0,4158)  0,3001
Dengan demikian persamaan transformasi adalah:
p  0,3001  1,7517 q
Mengingat:
A = log a

0,3001 = log a
B=b

b = 1,7517

a = 0,5011
maka persamaan yang dicari adalah:
y = 0,5011 x1,7517
b). Transformasi In
Misalkan persamaan kurve mempunyai bentuk:
y = a ebx
Transformasi dengan menggunakan fungsi ln, sehingga persamaan diatas
menjadi:
ln y = ln a ebx = ln a + ln ebx
ln y = ln a + bx
Teknik Komputer
9
Dilakukan transformasi berikut:
p = ln y
A = ln a
q=x
B=b
Sehingga persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk:
p=A+Bq
Hitungan dilakukan dengan menggunakan Tabel 5.3.
Dari hitungan Tabel 5.3, didapat beberapa parameter berikut ini:
q
Σ qi 15

3
n
5
p
Σ pi 4,93

 0,986
n
5
Tabel 5.3 Hitungan regresi linier dengan trasnformasi ln
No xi = qi
yi
qi2 = xi2 pi = ln yi
qi pi
1
1
0,5
1
-0,6931
-0,6931
2
2
1,7
4
0,5306
1,0612
3
3
3,4
9
1,2238
3,6714
4
4
5,7
16
1,7405
6,962
5
5
8,4
25
2,1282
10,641
15
19,7
55
4,93
21,6425

Koefisien A dan B dihitung dengan persamaan (5.11) dan (5.12).
B

n Σ qi pi  Σ qi Σ pi
n (Σ q i )  (Σ q i ) 2
2
(5  21,6425)  (15  4,93) 34,2625

 0,68525
50
(5  55)  (15) 2
Setelah nilai B didapat kemudian dicari nilai A, yaitu:
A  p  B q  0,986  (0,68525  3,0)  1,06975
Dengan demikian persamaan transformasi adalah:
P = 1,06975 + 0,68525 q
Mengingat:
A = ln a

1,06975 = ln a
B=b

b = 0,68525

a = 0,3431
Maka persamaan yang dicari adalah:
y = 0,3431 e0,68525x
Teknik Komputer
10
5.4 Regresi Polinomial
Untuk kurve lengkung persamaannya dapat diturunkan dengan melakukan
transformasi data asli ke bentuk lain yang sesuai. Selain dengan menggunakan
regresi polinomial. Penurunan persamaan dilakukan dengan menggunakan metode
kuadrat terkecil.
Persamaan polinomial order r mempunyai bentuk:
y = a0 + a1 x + a2 x2 + … + ar xr
Jumlah kuadrat dari kesalahan adalah:
n
D 2   ( yi  ( a0  a1 xi  a2 xi  ...  ar xi )) 2
2
r
i 1
Persamaan diatas diturunkan terhadap tiap koefisien dari polinomial dan kemudian
disama-dengankan nol, sehingga diperoleh:
n
 D2
2
r
 2  ( yi  ( a0  a1 xi  a 2 xi  ...  a r xi ))  0
i 1
 a0
n
 D2
2
r
 2  xi ( yi  ( a0  a1 xi  a 2 xi  ...  a r xi ))  0
i 1
 a1
n
 D2
2
2
r
 2  xi ( yi  ( a0  a1 xi  a 2 xi  ...  a r xi ))  0
i 1
 a2

n
 D2
r
2
r
 2  xi ( yi  ( a0  a1 xi  a 2 xi  ...  a r xi ))  0
i 1
 ar
(5.18)
Persamaan (5.18) dapat ditulis dalam bentuk:
2
 n
Σ xi
Σ xi

2
3
Σ xi
 Σ xi Σ xi
 2
3
4
Σ xi
Σ xi
Σ xi
 



r
r 1
r2
Σ xi Σ xi
Σ xi
r
Σ xi  a0 
  
r 1
 Σ xi   a1 
r2 
 Σ xi  a2  =
  
  
rr
 Σ xi   ar 

 Σ yi 


 Σ xi yi 
Σ x 2 y 
 i i
  
 r 
Σ xi yi 
(5.19)
Dengan semua penjumlahan adalah dari i = 1 sampai n. Dari r + 1 persamaan
tersebut akan dicari bilangan tak diketahui a0, a1, a2, …, ar dengan metode yang
telah dibicarakan dalam pembahasan sistem persamaan linier. Koefisien matriks dari
persamaan tersebut biasanya sangat padat (sangat sedikit koefisien nol) dan masingmasing koefisien sangat berbeda. Namun demikian biasanya nilai r adalah kecil
sehingga sistem persamaan tersebut masih mudah diselesaikan.
Contoh soal:
Cari persamaan kurve polinomial order dua yang mewakili data
berikut:
xi
0
1
2
3
4
5
yi
2,1
7,7
13,6
27,2
40,9
61,1
Teknik Komputer
11
Penyelesaian:
Persamaan polinomial dari order 2 mempunyai bentuk:
g (x) = a0 + a1 x + a2 x2
(c.1)
Ei = yi – g (x)
Ei2 =  ( yi – a0 – a1 x – a2 x2 )2
D2 =  Ei 2
Untuk polinomial order dua, diferensial dari D2 terhadap tiap koefisien dari
polinomial dan kemudian disama-dengankan nol menghasilkan bentuk:
2
 n
Σ xi Σ xi   a 0 

  
2
3
 Σ xi Σ xi Σ xi   a1  =
 2
3
4 

Σ xi Σ xi Σ xi   a 2 
 Σ yi 


 Σ xi yi 
Σ x 2 y 
 i i
(c.2)
Hitungan dilakukan dengan menggunakan Tabel 5.4.
Tabel 5.4. Hitungan regresi polinomial order dua
xi
yi
xi2
xi3
xi4
xi yi
xi 2 yi
0
2,1
0
0
0
0
0
1
7,7
1
1
1
7,7
7,7
2
13,6
4
8
16
27,2
54,4
3
27,2
9
27
81
81,6
244,8
4
40,9
16
64
256
163,6
654,4
5
61,1
25 125
625
305,5
1527,5
15 152,6 55 225
979
585,6
2488,8
Dengan melakukan hitungan dalam Tabel 5.4, maka sistem persamaan (c.2)
No
1
2
3
4
5
6
menjadi:
6 a0 + 15 a1 + 55 a2 = 152,6
15 a0 + 55 a1 + 225 a2 = 585,6
(c.3)
55 a0 + 225 a1 + 979 a2 = 2488,8
Dengan menggunakan sistem persamaan linier, maka penyelesaian dari persamaan
diatas adalah a2 = 1,860714; a1 = 2,359286; dan a0 = 2,478571.
Dengan demikian persamaan kurve adalah:
y = 2,478571 + 2,359286 x + 1,860714 x2
5.5 Regresi Linier Dengan Banyak Variabel
Metode regresi linier dapat dikembangkan untuk kasus dimana y adalah fungsi linier
dari dua atau lebih variabel. Misalnya, y merupakan fungsi linier terhadap x1 dan x2
dalam bentuk:
y = a0 + a1 x1 + a2 x2
Teknik Komputer
12
Persamaan tersebut dapat digunakan untuk mempresentasikan data pengamatan
dimana variabel yang dipelajari merupakan fungsi dari dua variabel.
Nilai terbaik dari koefisien a0, a1, dan a2 diperoleh dengan mencari kuadrat dari
kesalahan yang dihitung dengan persamaan berikut:
n
D 2   ( yi  ( a0  a1 x1,i  a2 x2,i )) 2
i 1
Persamaan diatas diturunkan terhadap tiap koefisien dari polinomial, dan kemudian
disama-dengankan nol, sehingga diperoleh:
n
 D2
 2  ( yi  a0  a1 x1,i  a2 x2,i )  0
i 1
 a0
n
 D2
 2  x1,i ( yi  a0  a1 x1,i  a2 x2,i )  0
i 1
 a1
(5.20)
n
 D2
 2  x2,i ( yi  a0  a1 x1,i  a2 x2,i )  0
i 1
 a2
Persamaan (5.20) dapat ditulis dalam bentuk:
n a0
+  x1,i a1
 x1,i a0 +  x1,i2 a1
+  x2,i a2
=  yi
+  x1,i x2,i a2 =  x1,i yi
 x2,i a0 +  x1,i x2,i a1 +  x2,i 2 a2
=  x2,i yi
atau dalam bentuk matriks menjadi:
 n
Σ x1,i
Σ x2 , i 


2
Σ x1,i
Σ x1,i x2,i 
Σ x1,i
2 
Σ x
 2,i Σ x1,i x2,i Σ x2,i 
a0 
 
 a1  =
a 
 2
 Σ yi 


Σ x1,i yi 
Σ x y 
 2 ,i i 
(5.21)
Sistem persamaan (5.21) dapat diselesaikan dengan menggunakan metode pada
sistem persamaan linier untuk mendapatkan koefisien a0, a1, dan a2.
Secara umum persamaan regresi linier dengan m variabel mempunyai bentuk
berikut:
y = a0 + a1 x1 + a2 x2 + … + am xm
di mana koefisien a0, a1, a2 sampai am dapat dihitung dari sistem persamaan berikut:
Σ x1,i
Σ x2 ,i
 n

2
Σ x1,i
Σ x2,i x1,i
 Σ x1,i
2
Σ x
Σ x2,i x1,i
Σ x2 ,i
 2 ,i
 



Σ xm ,i Σ xm ,i x1,i Σ xm ,i x2,i
Σ xm ,i 

 Σ x1,i xm ,i 
 Σ x2 ,i x m , i 




2
 Σ xm ,i 

 a0 
 
 a1 
a  =
 2
 
 
 am 
 Σ yi 


Σ x1,i yi 
Σ x y 
 2 ,i i 
  


2
 Σ xm ,i 
(5.22)
Koefisien korelasi dapat dihitung dengan persamaan (5.13).
Contoh soal:
Teknik Komputer
13
Buat persamaan kurve yang mewakili data berikut:
x1
0
2
2,5
1
4
7
x2
0
1
2
3
6
2
y
5
10
9
0
3
27
Penyelesaian:
Penyelesaian dilakukan dengan menggunakan Tabel 5.5.
Tabel 5.5. Hitungan regresi linier dengan banyak variabel
y
5
10
9
0
3
27
54

x1
0
2
2,5
1
4
7
16,5
x2
0
1
2
3
6
2
14
x12
0
4
6,25
1
16
49
76,25
x2 2
0
1
4
9
36
4
54
x1x2
0
2
5
3
24
14
48
x1 y
0
20
22,5
0
12
189
243,5
x2 y
0
10
18
0
18
54
100
Nilai-nilai yang diperoleh dalam Tabel 5.5, dimasukkan dalam sistem persamaan
(5.21), sehingga diperoleh:
16,5 14   a 0 
 6

  
16,5 76,25 48  a1  =
 14
48
54  a 2 

 54 


243,5
 100 


(c.1)
Persamaan (c.1) dapat diselesaikan dengan metode penyelesaian sistem persamaan
linier, dan hasilnya adalah a0 = 5, a1 = 4, a2 = 3.
Persamaan kurve yang dihasilkan adalah: y = 5 + 4 x1 – 3 x2
Teknik Komputer
14