Untuk menentukan latak suatu titik dalam ruang tiga

Koordinat Kartesius Dan Vektor Dalam Ruang Dimensi
Tiga
Untuk menentukan letak suatu titik dalam ruang tiga dimensi diperlukan patokan
mula. Salah satu patokan mula yang diambil adalah tiga garis lurus yang saling
berpotongan tegak lurus yang biasanya diberi nama sumbu x, sumbu y, dan sumbu z.
sistem ini dinamakan system koordinat cartesius dalm ruang tiga dimensi. Dalam system
ini suatu titik ditentukan oleh pasangan tiga bilangan (tripel), misalnya P( x1 , y1 , z1 ).
Disebut koordinat absis, y disebut koordinat y atau ordinat dan z disebut koordinat z atau
aplikat dari titik P. tiap dua sumbu menentukan sebuah bidang yang dinamakan bidang
koordinat. Tiga bidang koordinat yaitu xy, yz, dan xz membagi ruang menjadi 8 ruang
bagian yang masing-masing disebut oktan.
Oktan-oktan I, II, III dan IV diatas bidang xy dan lainnnya dibawah bidang xy.
Oktan-oktan V, VI, VII, VIII berturut-turut berada tepat dibawah oktan oktan I, II, III
dan IV
Pada gambar berikut berturut-turut adalah contoh letak titik P (2,3,4) dan Q (4,-2,3)
Jarak dua titik
Jarak dua titik P( x1 , y1 , z1 ) dan Q ( x2 , y2 , z 2 ) adalah
|PQ | =
( x2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  ( z 2  z1 )
2
Vektor dalam ruang tiga dimensi
Vector posisi titik P ( x1 , y1 , z1 ) terhadap titik asal O adalah
OP=( x1 , y1 , z1 )= x1i  y1 j  z1k , i,j,k disebut vektor-vektor basis yang berturut-turut
adalah vector-vektor satuan yang searah dengan sumbu x positif, y positif dan z positif.
Rumus perbandingan vektor
Jika a =( x1 , y1 , z1 ) adalah vektor posisi dari titik A, dan b=( x2 , y2 , z 2 ) adalah vector
posisi titk B, serta titik C berada pada ruas garis AB sedemikian sehingga |AC| : |CB| =
m : n , maka vektor posisi titik C adalah
n a  mb
mn
Jika vector posisi titik C adalah c = ( xc , y c , z c ) diperoleh hubungan bahwa
c
xc 
nx1  mx2
;
mn
yc 
ny1  my2
;
mn
zc 
nz1  mz2
mn

Jika a = ( a1 , a 2 , a3 ) maka panjang vector a adalah:
a  a1  a2  a3
2
2
2
Jika a =( a1 , a 2 , a3 ) adalah vector posisi A, dan b =( b1 , b2 , b3 ) vector posisi B, maka
| AB |= (b1  a1 ) 2  (b2  a2 ) 2  (b3  a3 ) 2
Perkalian dua vector
Jika u = (u1 , u 2 , u3 ) dan v = (v1 , v2 , v3 ) maka perkalian titiknya adalah
u  v  u  v cos dengan 0<  < 
j  (0,1,0)
Mengingat i  (1,0,0) ,
dan k  (0,0,1)
Maka, mudah dimengerti dari sefinisi tersebut bahwa
i  j  j  k  i  k  0 dan
i i  j  j  k k 1
Sehingga dapat diturunkan
u  v  (u1 , u 2 , u3 )  (v1 , v2 , v3 )
u  v  u1v1  u 2 v2  u3 v3
Hasil kali kedua vector adalah suatu skalar.
Jika dua vektor saling tegak lurus, maka hasil kali titiknya sama dengan nol
u  v  0  u  v atau u  0 atau v  0
Untuk menentukan besarnya sudut yang dibentuk oleh dua vektor u  v1 , v2 , v3  dapat
digunakan rumus:
cos  
u v
uv
Atau
cos  
u1v1  u 2 v 2  u 3 v3
u1  u 2  u 3  v1  v 2  v3
2
2
2
2
2
2
Kosinus arah suatu vector
Misalkan a  (a1 , a 2 , a3 )  (a1 i  a 2 j  a3 k ) adalah vektor posisi titik A dengan A
berimpit dengan O, sudut-sudut antara vektor a dengan vektor satuan i, j , k maka sudutsudut arah vektor a . Sudut-sudut  ,  dan 
Maka cos  , cos  , dan cos 
a
a i
 1
ai
a
a j
a
cos  
 2
a
a j
cos  
cos  
a
ak
 3
ak
a
Dengan cos 2   cos 2   cos 2   1
Hasil kali silang dua vektor
a  a1 i  a2 j  a3 k dan b  b1 i  b 2 j  b 3 k
 =sudut yang dibentuk oleh a dan b dengan 0<  < 
a  b  a  b  sin 
Dengan u = vektor satuan, maka
a  b  a  b  sin 
b  a  b  a  sin   (u)
= - a  b sin  (u)
= -( a  b )
b  a = -( a  b ) sifat anti komutataif
Apabila a sejajar dengan b yaitu  =0 maka,
a  b  a  b  sin  u
ab= 0
Hasil kali silang dua vektor-vektor bersifat distributif terhadap penjumlahan vektor yaitu:
a  (b  c)  (a  b)  (a  c)
(a  b)  c  (a  c)  (b  c)
Untuk vektor i , j dan k :
i  j  i  j  sin

2
k
i j  k
Dengan cara yang sama kita peroleh:
jk  i
j  i  k
i i  o
k i  j
k  j  i
j j  o
i  k  i
k k  o
Selanjutnya dapat diturunkan teknik perhitungan dengan menggunakan determinan:
i
j
k
a  b  a1
a2
a3
b1
b2
b3
b  a  (a  b)  Sifat determinan
Luas jajaran genjang
Luas jajaran genjang yang sisi-sisinya a dan b adalah;
a  b  a  b  sin 
Volume balok genjang
Volume balok genjang yang rusuknya a , b dan c adalah a  b  c
a1
a2
a3
a  b  c = b1
c1
b2
b3
c2
c3