Mekstat Chap 7a Aplikasi Distribusi Fermi Dirac part 1
advertisement
Chap 7a Aplikasi Distribusi Fermi Dirac (part-1) Teori Bintang Katai Putih • Apakah bintang Katai Putih – Bintang yg warnanya pudar/pucat krn hanya memancarkan sedikit cahaya krn supply hidrogennya sudah tinggal sedikit berubah menjadi helium. • Tipikal data bintang katai putih – Isi : sebagian besar helium – Kerapatan massa 107 gr/cm3 (107 ο²0) – Massa : 1033 gr ( 1 MO) – Suhu pusat : 107 K (=T0 ) Teori Bintang Katai Putih • Jadi bintang katai putih : suhu tinggi dengan tekanan tinggi. Sehingga atom-atom sudah terionisasi. Sehingga bintang bisa dianggap terdiri dari inti helium dan elektron. • Jadi dianggap sebagai gas elektron yg bersifat seperti gas Fermi ideal dengan kerapatan sekitar 1030 elektron/cm3 yang setara dengan energi Fermi : • ππΉ = β2 1 2π 23 π£ = 20 πππ • Dengan temperature Fermi setara TF = 1011K. • Karena ternyata TF >>> T bintang, maka praktis bintang katai putih bisa dianggap sebagai gas Fermion degenerate dekat ground state. Model • Model Bintang Katai Putih: – Sistem N gas elektron dalam kondisi ground state dengan kerapatan bahwa elektron diperlakukan secara relativistik. – Gas Elektron bergerak dengan latar belakang inti helium sejumlah N/2 yg diam yg memberikan daya tarik gravitasi. – Ada tiga efek : prinsip Pauli, dinamika relativistik, hukum gravitasi. Energi Elektron • Elektron dengan spin = ½ dengan momentum p. Elektron memiliki energi : ππ,π = ππ 2 + ππ π 2 2 Dengan me : massa elektron. • Energi ground state dari gas Fermi: πΈ0 = 2 ππ 2 + ππ π 2 2 π <ππΉ 2π = 3 β ππΉ ππ 4ππ2 0 ππ 2 + ππ π 2 2 Energi Elektron Dengan momentum Fermi pF didefinisikan sbg (untuk elektron ): π 4 3 2∗ 3 πππΉ = π → ππΉ = β β 3 Dengan substitusi π₯ = π , ππ π 1/3 2 3π maka integral dalam E0 dapat dituliskan sbg: πΈ0 ππ4 π 5 = 2 2 π£π π₯πΉ π π β Dengan π£ π₯πΉ ππ₯ π₯ 2 1 + π₯ 2 π π₯πΉ = 0 Energi Elektron 1 2 Untuk x<<1 maka : π₯ 2 1 + π₯ 2 = π₯ 2 1 + π₯ 2 + 1 2 1 −1 2 2 π₯4 + Zero Point Pressure Dengan aproksimasi tsb maka: 1 3 3 2 π₯πΉ (1 + π₯πΉ + β― . ) 3 10 π π₯πΉ = 1 4 1 π₯πΉ (1 + 2 + β― . ) 4 π₯πΉ Dengan π₯πΉ = ππΉ ππ π = β 3π2 ππ π π£ π₯πΉ βͺ 1 π₯πΉ β« 1 1/3 Tekanan zero point yang ditimbukan gas Fermi diberikan oleh: π0 = π0 = ππΈ − 0 ππ ππ4 π 5 1 3 π₯ π 2 β3 3 πΉ = ππ4 π 5 π 2 β3 −π π₯πΉ − π 1 + π₯πΉ2 − π π₯πΉ ππ π₯πΉ ππ₯πΉ πxπΉ ππ Zero Point Pressure Untuk kasus non relativistik (xF<<1) π0 ≈ ππ4 π 5 1 3 π₯ π 2 β3 3 πΉ 1+ π₯πΉ2 1 3 − π₯πΉ (1 3 3 2 + π₯πΉ 10 ππ4 π 5 1 3 1 2 1 3 3 2 π0 ≈ 2 3 π₯πΉ (1 + π₯πΉ ) − π₯πΉ (1 + π₯πΉ π β 3 2 3 10 ππ4 π 5 5 π0 ≈ π₯πΉ 2 3 15π β Untuk kasus relativistik ekstreem (xF>>1): ππ4 π 5 1 3 1 4 1 2 π0 ≈ 2 3 π₯πΉ 1 + π₯πΉ − π₯πΉ (1 + 2 ) π β 3 4 π₯πΉ Zero Point Pressure ππ4 π 5 1 4 1 2 1 4 1 2 ππ4 π 5 4 2 π0 ≈ 2 3 π₯πΉ + π₯πΉ − π₯πΉ − π₯πΉ = π₯ − π₯ πΉ π β 3 6 4 4 12π 2 β3 πΉ • Jika massa total bintang M dan jari-jarinya R, maka: • π = ππ + 2ππ π ≈ 2ππ π • π = 3π 1/3 4π • Dengan mp:massa proton. Memakai besaran ini maka : π£= π π = 4 ππ 3 3 π = 8πππ π 3 3π Zero Point Pressure Dan : π₯πΉ = β 1 9π π ππ π π 8 ππ 1/3 1/3 ≡ π π Dengan definisi π= 9π π 8 ππ dan π = π ππ π Zero Point Pressure • Memakai definisi π dan π tsb, dan • πΎ= ππ π 2 12π2 ππ π 3 , β maka: 5/3 π0 ≈ 4 π πΎ 5 5 π π π0 ≈ πΎ( (kasus non relativistik) 4/3 π 4 relativistik) − π 2/3 π 2 ) (kasus extrem Kesetimbangan Bintang Katai Putih • Kesetimbangan bisa dihitung sbb: – Andai tak ada gravitasi, maka perlu tekanan dari luar untuk melawan tekanan gas fermi. Besar usaha untuk memampatkan gas tsb dari R=ο₯ hingga jari-jari tertentu R: π π0 4ππ 2 ππ π=− ∞ – Jika sekarang gravitasi ada, maka akan ada gaya tarik antar massa di dalam bintang tsb, kita hitung usaha untuk membentuk bintang tsb oleh gaya gravitasi (gravitational self-energy ), berdasarkan analisa dimensionalitas bentuknya : Kesetimbangan Bintang Katai Putih πΌπΎπ2 ππ = − π Dengan ο‘ konstanta pembanding (sekitar 1) dan ο§ tetapan gravitasi umum. Perlu info ttg distribusi massa bintang untuk menghitung ο‘. • Pada jari-jari kesetimbangan mestilah usaha oleh gaya luar tsb = - usaha oleh gaya gravitasi 0 2 πΌπΎπ π0 4ππ 2 ππ = − π ∞ Syarat Kesetimbangan Ambil turunan thd R pers. Di atas, maka syarat kesetimbangan: P0 = πΌπΎπ2 4ππ 4 = 2 πΌπΎ 8ππ 2 ππ π 4 π 4 4π 9π β π (*) Sebenarnya persamaan ini mendefinisikan konstanta ο‘! Hubungan M dan R, akan diperoleh untuk 3 kasus : a. Misal suhu elektron jauh lebih tinggi dari suhu Fermi, sehingga distribusi Fermi-Dirac ο gas Boltzmann , sehingga: ππ 3ππ π π0 = = π£ 8πππ π 3 Hubungan M-R • Substitusi ke (*) diperoleh: ππ πΎ 2 π = πΌπ 3 ππ Jadi R sebanding dengan M. Hubungan ini tak pernah dijumpai untuk bintang katai putih. b. Misal bintang katai putih memiliki kerapatan (1/v) yang rendah dan bersifat non relativistik (xF<<1), menggunakan P0 untuk kasus ini diperoleh: 5/3 2 4 π π ′ πΎ 5 =πΎ 4 5 π π Hubungan M-R Dengan πΌπΎ 8ππ ′ πΎ = 4π 9π Sehingga diperoleh persamaan: π 5/3 π 2 ππ π β 4 4πΎ = 5 πΎ′ Artinya : jika massa bintang besar maka jari-jarinya kecil. Cocok dengan aproksimasi yg adalah density rendah, ketika R besar dan M kecil. Hubungan M-R • C. Misal gas elektron memiliki kerapatan besar sehingga efek relativistik penting (xF>>1), maka dengan P0 yg sesuai didapatkan: • πΎ 4 π3 π 4 − 2 π3 π 2 = πΎ′ π π 2 4 atau π = π 2/3 1 − π/π0 2/3 • Dengan • π0 = πΎ 3/2 πΎ′ = 27π 3/2 64πΌ βπ 2 πΎππ 3/2 πππππ π0 ≈ 1033 ππ =massa matahari • Aproksimasi ini valid untuk kerapatan tinggi, atau Rο 0. Jadi ketika massa mendekati massa matahari. Limit Chandrasekhar • Berarti : tidak ada bintang katai putih yg massanya lebih besar dari matahari (kalau tidak jari-jarinya akan imajiner)!. Secara fisis hal ini dijelaskan karena kalau massa terlalu besar maka tekanan (tolak-menolak) karena prinsip Pauli tidak akan cukup melawan oleh keruntuhan bintang karena gaya gravitasinya. Note: Perhitungan yg lebih akurat memberikan estimate thd M’0 = 1,4 M0 yg dikenal dengan nama limit Chandrasekhar. Jadi tak akan ada bintang yg bisa jadi bintang katai putih kalau massanya lebih dari massa Chandrasekhar. Diamagnetism Landau • Diamagnetism : gejala terinduksinya suatu bahan oleh medan magnet luar, dan menghasilkan medan magnet induksi yang berlawanan dengan medan magnet luar penginduksi sehingga terjadi tolak-menolak. • Landau mendemonstrasikan sumber diagmagnetism dari kuantisasi orbit partikel bermuatan di bawah pengaruh medan magnet • Susceptibilitas magnetik per volum didefinisiknan sbg: π ≡ ππ/ππ» • Dengan M: momen dipol magnet/volume yg searah dengan 1 medan magnet H: π ≡ < −ππ»0 /ππ» > π Diamagnetism Landau • Diamagnetism : gejala terinduksinya suatu bahan oleh medan magnet luar, dan menghasilkan medan magnet induksi yang berlawanan dengan medan magnet luar penginduksi sehingga terjadi tolak-menolak. • Landau mendemonstrasikan sumber diagmagnetism dari kuantisasi orbit partikel bermuatan di bawah pengaruh medan magnet • Susceptibilitas magnetik per volum didefinisiknan sbg: π ≡ ππ/ππ» • Dengan M: momen dipol magnet/volume yg searah dengan 1 medan magnet H: π ≡ < −ππ»0 /ππ» > π Diamagnetism Landau • Dengan H0: hamiltonian sistem dengan adanya medan magnet luar H. π ln ππ /π dan ππ» π ln π ππ ππ» π π,π,π§ • Untuk Ensembel Kanonik: π = ππ • Ensembel Grand Kanonik π = • Jika π < 0 maka sistem bersifat diagmagnetik dan jika π > 0 bersifat paramagnetik Model Diamagnetism • Sumber sifat magnetik bahan : • (a) elektron (bebas/terikat) yg bergerak di orbit yg terkuantisasi di bawah medan magnet luar. Hal ini terkait dengan diagmagnetism • (b) spin elektron yg cenderung paralel dengan medan magnet luar. Hal ini terkait dengan paramagnetism. • Model diagmagnetism : gas elektron bebas (spinless) di bawah pengaruh medan magnet luar. Elektron non relativistik. Model Diamagnetism Hamiltonian diberikan oleh: • π»0 = 1 2π ππ + π π π¨ π • Dengan p momentum dan A: vektor potensial magnetik . Konstanta e: besar muatan elektron (+). Sedangkan π― = π» × π¨ • Pers. Schrodinger sistem ini : π»0 π = πΈπ • Asumsi : medan magnet luar : π― = ππ», dengan H: konstan (uniform external field), dengan ini maka : π¨ = −π»π¦ π kita pilih Ay=Az=0. Hamiltonian Sistem • Substitusikan ke pers. Schrodinger akan menghasilkan: 1 ππ» 2 2 2 2 2 β ππ₯ + β ππ§ + ππ¦ + π¦ 2π π 2 2ππ» − βππ₯ π¦ π = πΈπ π β2 2 1 2 1 ππ» 2 ππ₯ + ππ§ + ππ¦ + π¦ 2π 2π 2π π = πΈπ 2 − βππ₯ ππ» π¦ ππ π Pers. Schrodinger System ππ» Pakai definisi frekuensi cyclotron :π0 ≡ , maka: ππ β2 2 1 2 1 2 ππ₯ + ππ§ + ππ¦ + ππ02 π¦ 2 − π0 βππ₯ π¦ π = πΈπ 2π 2π 2 Selanjutnya kuantitas dalam [..] dapat dituliskan sbg: [..] 1 = p2y 2m + 1 ππ02 2 π¦ − π¦0 2 − β2 ππ₯2 2π dengan π¦0 ≡ Sehingga persamaan Schrodinger menjadi: 1 2 1 ππ¦ + ππ02 π¦ − π¦0 2 π π¦ = πΈ ′ π(π¦) 2π 2 Dengan E′ =E− β2 ππ§2 2π βπ π ππ» π₯ Energi eigen sistem Arti: 1 2 1 ππ¦ + ππ02 π¦ − π¦0 2 2π 2 Suku : Energi kinetik + potensial dari osilator harmonis dengan pusat osilasi di y0 dengan frekuensi ω0. Oleh karena itu energi eigen sistem osilator ini adalah: Energi kinetik dari 1 βπ0 π + , π = 0,1,2, … gerak sejajar medan 2 luar (z) Dan energi eigen sistem keseluruhan adalah: 2π2 2 β 1 π 1 π§ π§ ′ πΈ =πΈ− = βπ0 π + ππ‘ππ’ πΈ(ππ§ , π) = + βπ0 π + 2π 2 2π 2 E’ : kontribusi energi dari komponen gerak arah XY = βπ0 (n+1/2 ). Ingat π0 ≡ ππ» ππ Energi krn gerak di bidang tegak lurus medan luar (XY) Analisa Energi & Level Landau • Jika H=0, maka eigenstates hanyalah gerak di bidang XY saja, dengan spektrum energi diberikan oleh : • πΈ′ = β2 ππ₯2 2π + 2 β2 ππ¦ 2π • Tapi sejalan dengan L (ukuran sistem) ο ο₯, maka praktis spektrum energi ini kontinu. • Jika HοΉ0, maka spektrum energi yg kontinu akan pecah menjadi satu set tingkat energi diskrit yg degenerate yg dilabeli bilangan kuantum n, dengan energi E’ = βπ0 π + 1 2 Analisa Energi & Level Landau • Untuk tiap nilai n tertentu, ada banyak status degenerate yg dilabeli kx. Set yg dilabeli satu nilai n disebut level Landau. πβ π». ππ • Jarak antara 2 Level Landau adalah βπ0 = Jelas semakin besar medan luar, semakin besar juga jarak ini. • Misal elektron ini berada dalam kotak LxLxL. Dengan syarat batas periodik, maka nilai-nilai kx yg diijinkan adalah • ππ₯ = 2πππ₯ , πΏ dengan nx=0, ο±1, ο±2,… Degenerasi Level Landau • Tetapi ada batasan nx sebab y0 mestilah: 0ο£y0 ο£L, sehingga nx mestilah positif. • π¦0 = βπ π ππ» π₯ = βπ ππ₯ ππ» πΏ • Berarti nx max : ππ₯,πππ₯ = ππ» 2 πΏ βπ ≡π g: degenerasi tiap level Landau! Susceptibility Magnetik • Fungsi partisi Grand Kanonik: (1 + π§π −π½ππ ) π= π • Dengan m =(pz,n,ο‘) dengan ο‘=1,2,..,g. π ∞ ln(1 + π§π −π½πππ§,π,πΌ ) ln π = πΌ=1 π=0 ππ§ mengingat ππ§ = βππ§ = πΏ 2 ∫ ππ: β β 2π π 2π πΏ π§ = β π , πΏ π§ banyak momentum pz :−∞, … , ∞ sehingga Σππ§ → Susceptibility Magnetik Sehingga: 2ππΏ ln π ≈ β ∞ ππ ln(1 + π§π −π½π π,π ) π=0 0 Jumlah rata-rata elektron: 2ππΏ N≈ β ∞ ππ π=0 0 1 π§ −1 ππ½π + 1 Pada daerah klasik, yaitu T>>. Pada limit ini zο 0 agar N tetap berhingga. Sehingga persamaan di ln οΊ di ekspansi dan diambil order-1: ln 1 + π§π −π½π ≈ π§π −π½π Susceptibility Magnetik Sehingga: 2ππΏπ§ ln π ≈ β ∞ πππ§π −π½π π=0 0 2ππΏπ§ = β ∞ π2 1 −π½(2π+βπ0 π+2 ) πππ§π π=0 0 ∞ 1 π2 2ππΏπ§ −π½βπ0 π+2 ln π ≈ π πππ§π −π½(2π) β 0 π=0 ∞ 1 2ππΏπ§ 2πmkT −π½βπ0 π+ 2 ≈ π β 2 π=0 π½βπ0 − π 2 ππΏπ§ ππΏπ§ π −π₯ ln π ≈ = −π½βπ 0 π 1−π π 1 − π −2π₯ Aproksimasi suhu Tinggi β Dengan π = πππ π₯ = 2πmkt −π₯ π 1 = π₯ −2π₯ 1−π π − π −π₯ ≈ π½βπ0 , 2 aproksimasi untuk x kecil: 1 π₯2 π₯3 π₯2 π₯3 1 + π₯ + + + β― − (1 − π₯ + − + β― ) 2 6 2 6 −1 1 1 1 2 1 1 2 ≈ ≈ 1 + π₯ +. . ≈ (1 − π₯ + β― ) 1 6 2π₯ 6 2π₯ + π₯ 3 + β― . 2π₯ 3 Sehingga 2 ππΏπ§ 1 1 2 ππΏπ§ ππ 1 βπ0 ln π ≈ 1− π₯ = 1− π 2π₯ 6 π βπ0 24 ππ Susceptibilitas Magnetik Dengan mengingat definisi π = ππΏβ ππ0 ππ» 2 πΏ βπ dan π0 = ππ» , ππ maka faktor = π dengan V=L3. Sehingga : π§π 1 βπ0 ln π ≈ 3 1 − π 24 ππ 2 Sekarang kita bisa menghitung susceptibilitas magnetik : π π ln π π= π ππππππ π = ππ ππ» ππ» π Maka akan diperoleh : 2 π§ eβ π=− 3πππ3 2ππ Susceptibilitas Magnetik • Jelas π <0 faktor dalam (..) tak lain adalah Bohr Magneton. Variabel z dapat dieliminasi dengan bantuan N dengan mempertahankan hingga order satu dalam z. • Hasil akhirnya dapat diperoleh: 1 πβ π=− 3πππ£ 2ππ 2 Hasil ini sesuai dengan hukum Curie yang terkenal bahwa π 1 ~ π