analisis portofolio efisien pada no short selling dengan

COMPROMISE PROGRAMMING UNTUK PEMILIHAN PORTOFOLIO
Nama Mahasiswa
: Putri Ciptaningrum
NRP
: 1206 100 018
Jurusan
: Matematika
Dosen Pembimbing
: Drs. Sulistiyo, MT
Abstrak
Portofolio merupakan gabungan atas sekumpulan asset yang dimiliki oleh investor. Dengan
memiliki beberapa asset, resiko dapat dikurangi. Pada tugas akhir ini asset yang digunakan berupa
saham, terdiri dari 5 saham perusahaan yaitu PT Gudang Garam, Indofood Sukses, Kalbe Farma
tbk, Ultra Jaya Milk, dan JAPFA tbk, sehingga portofolio yang dapat dibentuk dari kombinasi 5
saham tersebut sebanyak 26 portofolio. Dalam model optimasi pemilihan portofolio terdapat 2 fungsi
obyektif yang harus dipertimbangkan investor, yaitu memaksimalkan nilai expected return portofolio
dan meminimalkan nilai resiko portofolio.
Pada tugas akhir ini, digunakan compromise programming untuk menyelesaikan permasalahan
multi-objective pada model optimasi portofolio, dengan meminimalkan penyimpangan antara fungsi
obyektif dengan nilai ideal fungsi obyektif. Penyelesaian dengan menggunakan compromise
programming akan mendapatkan proporsi dana yang harus diinvestasikan pada masing-masing
saham. Pada tugas akhir ini juga didapatkan 5 portofolio efisien. Portofolio efisien didapatkan
dengan cara membandingkan portofolio yang mempunyai nilai resiko yang hampir sama, kemudian
dicari portofolio yang memberikan nilai expected return yang terbesar atau dari portofolio yang
mempunyai nilai expected return yang hampir sama, dicari portofolio yang memberikan nilai resiko
terkecil.
Kata kunci: Compromise Programming, Pemilihan Portofolio, Multi-Objective Programming.
investor yaitu memaksimalkan nilai expected
return dan meminimalkan nilai resiko.
I. PENDAHULUAN
Portofolio adalah gabungan atau
Teori
dasar tentang pemilihan
kombinasi dari berbagai instrumen atau saham
potofolio pertama kali dicetuskan oleh
yang disusun untuk mencapai tujuan investor
Markowitz (1952). Pemilihan portofolio
dalam melakukan investasi. Investor harus
membahas tentang permasalahan bagaimana
memilih dan mengalokasikan kekayaannya di
mengalokasikan
sebuah
modal
agar
tengah berbagai sekuritas. Saham adalah salah
penanaman
tersebut
dapat
membawa
satu jenis sekuritas yang diperdagangkan di
keuntungan terbanyak namun dengan resiko
pasar finansial. Jika para investor membeli
yang terkecil. Pada penelitian sebelumnya
saham, berarti mereka membeli prospek
yang dilakukan oleh Sastri Endhartia (2009)
perusahaan dari saham tersebut. Kalau prospek
membahas tentang pemilihan portofolio dari
perusahaan membaik, harga saham tersebut
kumpulan saham dengan menggunakan
akan meningkat. Dengan gambaran seperti itu,
algoritma Markowitz.
orang semakin tertarik untuk melakukan
Pada tugas akhir ini, digunakan
investasi, sehingga investasi di sektor finansial
compromise
programming
dalam
menjadi primadona di kalangan investor,
menyelesaikan permasalahan multi-objective
karena menjanjikan tingkat return yang lebih
pada model optimasi portofolio. Compromise
tinggi dibandingkan dengan investasi di sektor
programming memberikan solusi kompromi
real asset. Namun perlu diketahui bahwa
dari mengoptimalkan dua atau lebih fungsi
semakin besar return maka tingkat resikonya
objektif dengan meminimalkan penyimpangan
semakin meningkat pula. Investor pada
antara fungsi objektif dengan nilai ideal fungsi
umumnya merupakan pihak yang sangat tidak
objektif. Penyelesaian dengan menggunakan
menyukai resiko tetapi menginginkan return
compromise programming akan mendapatkan
yang maksimal, sehingga jika dirumuskan
proporsi dana yang harus diinvestasikan pada
dalam sebuah model optimasi, akan terdapat
masing-masing saham. Selain itu akan
dua fungsi objektif yang dipertimbangkan
didapatkan pula portofolio efisien dari
sekumpulan portofolio yang sudah terbentuk.
1
II. TINJAUAN PUSTAKA
= Opening Price
= Dividen
2.4.2Expected Return Saham Individual
Expected return secara sederhana adalah
rata-rata tertimbang dari berbagai return,
faktor penimbangnya adalah probabilitas
masing-masing return. Expected return atas
saham individual dapat dihitung dengan:
2.1 Studi Pendahuluan
Pada penelitian sebelumnya, Sastri
Endhartia (2009) pada tugas akhirnya,
membahas tentang pemilihan portofolio dari
kumpulan saham dengan menggunakan
algoritma Markowitz. Dalam model meanvariance Markowitz terdapat dua macam
model dalam menentukan proporsi dana yaitu,
meminimalkan resiko dengan menetapkan
expected return terlebih dahulu, dan
Memaksimalkan expected return dengan
mempertahankan resiko pada tingkat tertentu.
2.2 Investasi
Investasi pada hakikatnya merupakan
penempatan dana pada saat ini dengan harapan
memperoleh keuntungan di masa mendatang.
Umumnya investasi dibedakan menjadi dua
yaitu investasi pada financial assets dan
investasi pada real assets. Investasi pada
financial assets dilakukan di pasar uang,
misalnya berupa deposito, commercial paper,
surat berharga, pasar uang dan lainnya. Atau
dilakukan di pasar modal misalnya berupa
saham, obligasi, waran, opsi, dan lainnya.
Sedangkan investasi pada real assets
diwujudkan dalam bentuk pembelian assets
produktif, pendirian pabrik, pembukaan
pertambangan, pembukaan perkebunan, dan
lainnya.
2.3 Portofolio
Portofolio merupakan kombinasi atau
gabungan atau sekumpulan assets, baik berupa
real assets maupun financial assets yan
dimiliki oleh investor. Hakikat pembentukan
portofolio adalah unuk mengurangi resiko
dengan
cara
diversifikasi,
yaitu
mengalokasikan sejumlah dana pada berbagai
alternatif investasi. Dalam pembentukan
portofolio investor selalu menginginkan return
yang maksimal dengan resiko yang minimal.
2.4 Return dalam Investasi
Dalam konteks manajemen investasi,
return merupakan imbalan yang diperoleh dari
investasi.
2.4.1Return Saham Individual
Return saham individual dapat dihitung
berdasarkan data historis harga saham.
Selanjutnya return dapat dihitung dengan :
Dengan,
= return yang terjadi pada periode
pengamatan
2.4.3Expected Return Portofolio
Expected Return secara sederhana adalah
rata-rata tertimbang dari expected return
saham individual, faktor penimbangnya adalah
proporsi dana yang diinvestasikan pada
masing-masing saham. Expected return
portofolio dapat dihitung dengan formula
sebagai berikut :
Dengan,
= expected return portofolio
= expected return dari investasi saham i
= proporsi dana yang diinvestasikan
pada saham i
2.5 Resiko dalam Investasi
Dalam konteks manajemen investasi,
resiko merupakan besarnya penyimpangan
antara tingkat pengembalian yang diharapkan
(expected return) dengan tingkat pengembalian
yang dicapai secara nyata (actual return).
Semakin besar penyimpangannya maka
semakin besar tingkat resikonya. Alat yang
digunakan sebagai ukuran penyebaran tersebut
adalah varian atau standard deviasi.
2.5.1 Resiko Saham Individual
Resiko saham individual dapat dihitung
sebagai berikut :
Dengan
adalah return yang terjadi
pada periode pengamatan.
2.5.2 Resiko Portofolio
= return saham i pada waktu j
= Closing Price
2
Secara umum, bagi portofolio dengan aktiva
sebanyak , varians portofolio adalah
Dengan rumus
koefisien resiko lebih besar daripada 1, berarti
memiliki resiko lebih besar dari resiko ratarata pasar, misalnya nilai koefisien resiko
adalah 1,5, maka saham tersebut akan bergerak
1,5 kali perubahan IHSG. Oleh karena itu,
semakin besar koefisien resiko , maka akan
semakin peka excess return suatu saham
terhadap perubahan excess return portofolio
pasar, sehingga saham itu akan semakin
beresiko. Dengan demikian dapat dikatakan
bahwa, tingkat return portofolio ditentukan
oleh resiko sistematis ataun resiko pasar yang
diukur dengan resiko dan tingkat return pasar.
2. Resiko Tidak Sistematis (Unsystematic
Risk)
Resiko tidak sistematis (unsystematic risk)
merupakan resiko yang dapat dihilangkan
dengan melakukan diversifikasi, karena resiko
ini hanya ada dalam satu perusahaan atau
industri tertentu. Fluktuasi resiko ini besarnya
berbeda-beda antara satu saham dengan yang
lain. Karena perbedaan itulah maka masingmasing saham memiliki tingkat sensitivitas
yang berbeda terhadap setiap perubahan pasar.
Misalnya faktor: struktur modal, struktur asset,
tingkat likuiditas, tingkat keuntungan, dan
sebagainya. Resiko ini juga disebut diversiable
risk.
2.6 Compromise programming
Compromise
programming
diperkenalkan
oleh
Zeleny
(1974).
Compromise programming digunakan untuk
mencari solusi kompromi terbaik dari
mengoptimalkan dua atau lebih fungsi obyektif
yang menghasilkan penyimpangan minimal
dari solusi ideal. Dalam permasalahan
maksimasi, nilai ideal
dapat ditulis sebagai
= maksimasi
Dengan kendala :
,
adalah fungsi
obyektif ke- .
dimana S adalah daerah yang mungkin
(feasible region),
Sedangkan dalam permasalahan minimasi,
nilai ideal
dapat ditulis sebagai
= minimasi
Dengan kendala :
,
adalah fungsi
obyektif ke- .
dengan S adalah daerah yang mungkin
(feasible region).
Jarak antara titik efisien
dengan titik ideal (jarak terdekat dari
adalah
: kovarian return saham
dengan saham
2.5.3 Jenis Resiko
Sementara itu secara umum dalam
konteks portofolio, resiko dibedakan menjadi
dua yaitu :
1. Resiko Sistematis (Systematic Risk)
Resiko Sistematis (Systematic Risk)
merupakan resiko yang tidak dapat dihilangkan
dengan melakukan diversifikasi, karena
fluktuasi resiko ini dipengaruhi oleh faktor
makro yang dapat mempengaruhi pasar secara
keseluruhan. Misalnya adanya perubahan
tingkat bunga, kurs valas, kebijakan
pemerintah, dan sebagainya.
Koefisien resiko adalah suatu ukuran
untuk resiko sistematis. Koefisien resiko
dihitung dengan membandingkan return
history asset dengan return pasar dengan
formulasi sebagai berikut :
Dimana,
: koefisien resiko saham ke: return pasar (diwakili oleh Indeks
Harga Saham Gabungan (IHSG))
, dengan t = periode
pengamatan
: varian pasar
Koefisien resiko mengukur korelasi
antara nilai investasi dan gerakan pasar secara
keseluruhan. Jika nilai koefisien resiko adalah
1 berarti memiliki resiko yang sama dengan
nilai resiko rata-rata pasar. Misalnya, jika
IHSG naik 5per sen maka harga pasar saham
tersebut cenderung meningkat 5per sen. Jika
nilai koefisien resiko kurang dari 1 berarti
memiliki resiko lebih kecil dari resiko rata-rata
pasar, misalnya nilai koefien resiko adalah 0,5,
maka saham tersebut akan bergerak 0,5 kali
perubahan IHSG. Selanjutnya, jika nilai
3
titik efisien dan titik ideal) dapat dijelaskan
pada persamaan (2.13).
data lima perusahaan terlengkap di Bursa Efek
Indonesia.Perusahaan yang memiliki data
terlengkap tersebut adalah PT Gudang Garam
(GGRM), Indofood Sukses (INDF), Kalbe
Farma tbk (KLBF), Ultra Jaya Milk (ULTJ),
dan JAPFA tbk (JPFA)
2. Menghitung Return dan Expected Return
Saham Individual
3. Menghitung Varian dan Kovarian Saham
4. Menghitung Koefisien Resiko Masingmasing Saham
5. Membentuk Portofolio
6. Merancang Model Optimasi Portofolio
7. Menentukan Proporsi Dana
8. Memilih Portofolio yang Efisien
9. Penarikan Kesimpulan
IV. ANALISIS DAN PEMBAHASAN
,
Penyimpangan individu
dapat
ditingkatkan ke setiap
, sebelum
dijumlahkan,
dan
bobot
1
=1
=1 dapat ditambahkan pada
fungsi tujuan yang berbeda. Oleh karena itu
penting untuk menggunakan penyimpanganpenyimpangan relatif daripada penyimpangan
absolut. Hal ini dapat ditunjukkan pada
persamaan (2.14).
4.1 Perhitungan Return dan Expected
Return Saham Individual
Untuk masalah multi-objective, titik ideal
didefinisikan sebagai solusi ideal individu,
, dimana semua multiobjective bertujuan meminimasi penyimpangan
dari setiap fungsi individu. Formulasi
compromise programming dapat dilihat pada
persamaan (2.15).
Min
Hasil dari investasi diukur dari
pengembalian (return) yang diperoleh dalam
periode waktu tertentu. Dengan menggunakan
persamaan (2.1), didapatkan return masingmasing saham pada setiap periode. Return
saham Gudang Garam tbk pada periode
Januari 2009 adalah 0,270588 atau tingkat
pengembaliannya
sebesar
27,0588%,
sedangkan pada bulan Februari 2009 return
saham tersebut adalah -0,037037 atau 3,7037%. Hal ini menunujukkan bahwa pada
bulan Februari saham tersebut mengalami
kerugian.
Selanjutnya adalah menghitung nilai
expected return dari masing-masing saham.
Dengan persamaan (2.3), didapatkan hasil
yang disajikan pada Tabel 4.1.
Tabel 4.1 Nilai Expected Return MasingMasing Saham
Nama Saham
GGRM
0.008702
INDF
0.016529
KLBF
0.023984
ULTJ
0.016079
JPFA
0.044146
4.2 Perhitungan Varian dan Kovarian
Saham
Dengan menggunakan persamaan (2.8)
dan (2.12) varian dan kovarian antar saham
didapatkan hasil yang disajikan pada Tabel
4.2.
Dengan kendala,
Dengan
adalah bobot dari tujuan, dan
adalah solusi optimal individu.
2.7 Pemilihan portofolio yang efisien
Suatu portofolio dikatakan efisien apabila
portofolio tersebut bila dibandingkan dengan
portofolio lain memenuhi kondisi sebagai
berikut :
1. Menawarkan ekspektasi return terbesar
dengan resiko yang sama.
2. Menawarkan resiko terkecil dengan
ekspektasi return yang sama.
III. METODE PENELITIAN
1. Pengumpulan Data
Data saham yang digunakan dalam tugas
akhir ini adalah data sekunder yang diperoleh
dari Bursa Efek Indonesia. Data yang
digunakan meliputi data opening price, data
closing price dan data dividen saham serta data
Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) mulai
bulan Januari 2005 sampai dengan bulan
Oktober 2009. Data yang digunakan adalah
4
Tabel 4.2 Nilai Varian dan Kovarian Saham
GGRM
INDF
KLBF
ULTJ
JPFA
GGRM
0.013545
0.009765
0.006554
-0.001573
0.004426
INDF
KLBF
ULTJ
JPFA
0.021936
0.008554
0.000033
0.012123
0.019749
0.000999
0.004489
0.025389
0.007557
0.04314
5. Portofolio 5 : GGRM -KLBF-ULTJ-JPFA
6. Portofolio 6 : INDF-KLBF-ULTJ-JPFA
7. Portofolio 7 : GGRM-INDF-KLBF
8. Portofolio 8 : GGRM-INDF-ULTJ
9. Portofolio 9 : GGRM-INDF-JPFA
10. Portofolio 10 : GGRM -KLBF-ULTJ
11. Portofolio 11 : GGRM- KLBF- JPFA
12. Portofolio 12 : GGRM- ULTJ-JPFA
13. Portofolio 13 : INDF-KLBF-ULTJ
14. Portofolio 14 : INDF-KLBF-JPFA
15. Portofolio 15 : INDF- ULTJ-JPFA
16. Portofolio 16 : KLBF-ULTJ-JPFA
17. Portofolio 17 : GGRM-INDF
18. Portofolio 18 : GGRM- KLBF
19. Portofolio 19 : GGRM- ULTJ
20. Portofolio 20 : GGRM- JPFA
21. Portofolio 21 : INDF-KLBF
22. Portofolio 22 : INDF-ULTJ
23. Portofolio 23 : INDF-JPFA
24. Portofolio 24 : KLBF-ULTJ
25. Portofolio 25 : KLBF- JPFA
26. Portofolio 26 : ULTJ-JPFA
Jadi dari kumpulan 5 saham tersebut dapat
dibentuk 26 portofolio.
Sehingga
dengan
menggunakan
persamaan (2.9), standar deviasi masingmasing saham disajikan pada Tabel 4.3.
Tabel 4.3 Nilai Standard Deviasi Saham
Saham
Standar Deviasi
GGRM
0.116383
INDF
0.148108
KLBF
0.140531
ULTJ
0.159339
JPFA
0.207694
4.3 Perhitungan Koefisien Resiko
Koefisien
resiko
dihitung
dengan
membandingkan kovarian saham-return pasar
dengan varians return pasar, maka perlu
dihitung varian return pasar dan kovarian
saham-return
pasar,
dengan
hasil
perhitungannya disajikan pada Tabel 4.4.
Tabel 4.4 Nilai Kovarian Saham-Return Pasar
Rm
GGRM
0.00501
INDF
0.00857
KLBF
0.0064
ULTJ
0.00136
JPFA
0.00691
Rm
0.00638
Setelah diketahui varian return pasar dan
kovarian antara masing-masing saham dengan
return pasar, maka dengan persamaan (2.5)
dapat dihitung koefisien resiko atau koefisien
resiko masing-masing saham disajikan pada
Tabel 4.5.
Tabel 4.5 Nilai Koefisien Resiko Saham
Saham
Koefisien Resiko
GGRM
0.785433
INDF
1.342461
KLBF
1.002898
ULTJ
0.213426
JPFA
1.082042
4.4 Pembentukan Portofolio
Kombinasi yang dapat dihasilkan dari
kumpulan lima saham tersebut antara lain:
1. Portofolio 1 : GGRM-INDF-KLBF-ULTJJPFA
2. Portofolio 2 : GGRM-INDF-KLBF-ULTJ
3. Portofolio 3 : GGRM-INDF-KLBF-JPFA
4. Portofolio 4 : GGRM-INDF -ULTJ-JPFA
4.5 Model Optimasi Portofolio
Model optimasi portofolio terdiri dari dua
fungsi obyektif yaitu memaksimalkan nilai
expected return dan meminimalkan resiko
portofolio, resiko dalam hal ini adalah varian.
Sedangkan variabel keputusannya adalah
mendapatkan proporsi dana yang akan
diinvestasikan pada masing-masing saham
dalam portofolio tersebut. Pendefinisian
variabel keputusannya adalah sebagai berikut :
: jumlah proporsi dana yang diinvestasikan
pada saham PT Gudang Garam,
: jumlah proporsi dana yang diinvestasikan
pada saham Indofood Sukses,
: jumlah proporsi dana yang diinvestasikan
pada saham Kalbe Farma tbk,
: jumlah proporsi dana yang diinvestasikan
pada saham Ultra Jaya Milk, dan,
: jumlah proporsi dana yang diinvestasikan
pada saham JAPFA tbk (JPFA).
4.5.1 Perumusan Fungsi Obyektif Model
Penentuan fungsi obyektif model
portofolio mempertimbangkan dua aspek yaitu
return dan resiko dari portofolio, sebagai
berikut :
1. Fungsi Obyektif Maksimasi Expected
Return
5
Perumusan fungsi obyektif maksimasi
expected return dapat dilihat pada
persamaan (2.4)
Maks
2. Fungsi Obyektif Minimasi Resiko
Perumusan fungsi obyektif minimasi
resiko dapat dilihat pada persamaan (2.10)
Min
4.6 Compromise programming
Sebelum merumuskan kedalam fungsi
objektif compromise programming, maka perlu
didapatkan terlebih dahulu nilai ideal dari
masing-masing fungsi objektif, dengan cara
mengoptimasi masing-masing fungsi objektif
dengan fungsi kendala yang ada. Untuk
memudahkan perhitungan digunakan software
LINDO 6.1.
4.6.1 Nilai Ideal Expected Return Portofolio
Nilai ideal expected return dari masingmasing portofolio dapat dicari dengan
menyelesaikan persamaan (4.1). Expected
return masing-masing saham disajikan pada
tabel 4.1. Sedangkan nilai koefisien resiko
masing-masing saham disajikan pada tebel 4.5.
Untuk portofolio 1 terdiri dari 5 saham
yaitu PT Gudang Garam, Indofood Sukses,
Kalbe Farma tbk, Ultra Jaya Milk, dan JAPFA
tbk maka dirumuskan:
....(4.2)
4.5.2Perumusan Fungsi Kendala
Dalam memenuhi tujuan optimasi
portofolio tersebut ada beberapa kendala,
antara lain:
1. Fungsi Kendala Koefisien Resiko
Koefisien resiko mengukur korelasi antara
nilai investasi dan gerakan pasar secara
keseluruhan. Perumusan fungsi kendala
koefisien resiko adalah sebagai berikut :
Dengan,
= nilai koefisien resiko saham
.
Karena investor cenderung menghindari
resiko, maka koefisien resiko harus kurang
dari atau sama dengan satu.
2. Fungsi Kendala Jumlah Proporsi Dana
yang Diinvestasikan
Perumusan fungsi kendala jumlah proporsi
dana yang diinvestasikan adalah sebagai
berikut
Dengan
return pada
adalah nilai ideal expected
portofolio 1. Didapatkan
.
Dengan perumusan yang sama, nilai ideal
untuk masing-masing portofolio didapatkan
sebagai berikut :
Tabel 4.6 Nilai Ideal Expected Return
Portofolio
Portofolio
Portofolio
1
0.033017
14
infeasible
2
0.020919
15
0.037892
3
0.027398
16
0.039332
4
0.035033
17
0.011717
5
0.035779
18
0.022456
6
0.036131
19
0.015341
7
0.020648
20
0.034342
8
0.015632
21
infeasible
9
0.028469
22
0.016392
10
0.021665
23
infeasible
11
0.33272
24
0.023194
12
0.037795
25
infeasible
13
0.022448
26
0.041339
Jumlah proporsi dana yang diinvestasikan
pada masing-masing saham adalah satu.
3. Fungsi Kendala Batas Bawah Dana yang
Diinvestasikan
Agar dana yang diinvestasikan dapat terisi
untuk semua saham, diasumsikan batas
bawah penanaman modal adalah 10per sen
Jadi model optimasi portofolio dapat
diformulasikan sebagai berikut :
Maks
Min
Dengan kendala :
6
programming dapat dilihat pada persamaan
(2.16). Dengan asumsi
dan bobot
masing-masing untuk
(ekspektasi
return) dan
(resiko). Sehingga untuk
masing-masing
portofolio
dapat
diformulasikan sebagai berikut :
Min
4.6.2 Nilai Ideal Resiko Portofolio
Nilai ideal resiko dari masing-masing
portofolio dapat dicari dengan menyelesaikan
persamaan (4.2). Varian dan kovarian untuk
masing-masing saham disajikan pada tabel 4.2.
Untuk portofolio 1 maka nilai ideal resiko
portofolionya dapat dirumuskan sebagai
berikut:
–
Min
4.6.4 Perhitungan Proporsi Dana
Setelah didapatkan nilai ideal masingmasing fungsi objektif dan fungsi objektif
compromise programming, maka untuk
portofolio 1 dapat dirumuskan sebagai berikut:
Min
Dengan kendala
–
+
Dengan
adalah nilai ideal varian pada
portofolio 1. Didapatkan
Dengan perumusan yang sama, nilai ideal
resiko portofolio untuk masing-masing
portofolio disajikan pada Tabel 4.7.
Tabel 4.7 Nilai Ideal Resiko Portofolio
Portofolio
Portofolio
1
0.007528
14
infeasible
2
0.007363
15
0.011774
3
0.010187
16
0.010821
4
0.007966
17
0.012649
5
0.007408
18
0.011124
6
0.009565
19
0.008112
7
0.010903
20
0.011806
8
0.007889
21
infeasible
9
0.011614
22
0.011785
10
0.007411
23
infeasible
11
0.010141
24
0.011599
12
0.007999
25
infeasible
13
0.009543
26
0.019436
4.6.3
Perumusan
Fungsi
Objektif
Compromise programming
Perhitungan pada fungsi compromise
programming ini dengan menganggap semua
fungsi objektif mempunyai bobot yang sama
dan nilai dari
adalah sama dengan satu.
Perumusan fungsi objektif dalam compromise
Dengan kendala
Sehingga didapatkan proporsi dana pada
portofolio 1 disajikan pada Tabel 4.8.
Tabel 4.8 Nilai Proporsi Dana Pada Portofolio 1
Investasi Saham
Proporsi Dana
0.279902
0.100000
0.242181
0.266208
0.111708
Dengan nilai expected return pada portofolio 1
atau
adalah 0.019109. Nilai varian
pada portofolio 1 atau
adalah 0.007762
dan standar deviasi sebesar 0.088101.
7
Dengan cara
yang sama,
hasil
return dan varian portofolio tidak ada yang
perhitungan proporsi dana untuk masingmemenuhi sehingga portofolio ini tidak
masing portofolio disajikan pada tabel 4.9.
dipakai dalam perhitungan selanjutnya.
Pada portofolio 14, 21, 23,dan 25, nilai ideal
Tabel 4.9 Nilai Proporsi Dana Pada Masing-Masing Portofolio
Portofolio
1
0.2799
0.1
0.24218 0.26621 0.11171 0.01911 0.00776
0.0881
2
0.27928 0.10944 0.30138 0.3099
0.01645 0.00773 0.08793
3
0.26425
0.1
0.37776
0.25799 0.0244
0.01143 0.10691
4
0.45820
0.1
0.30867 0.13312 0.01648 0.00818 0.09045
5
0.35256
0.25468 0.26348 0.12927 0.01911 0.00768 0.08763
6
0.17704 0.37896 0.29104 0.15294 0.02345 0.009911 0.099556
7
0.40722 0.2522
0.34067
0.01588 0.01123 0.10596
8
0.45071
0.1
0.44929
0.0128
0.00834 0.09133
9
0.40569 0.14703
0.44728 0.02571
0.0157
0.1253
10
0.35842
0.32653 0.31505
0.01602 0.00775 0.08803
11
0.37677
0.37494
0.24829 0.02323 0.01087 0.10428
12
0.53741
0.31292 0.14967 0.01632 0.00825 0.09085
13
0.25113 0.41273 0.33614
0.01945 0.00967 0.09835
15
0.3503
0.35323 0.29648 0.02456 0.01376
0.1173
16
0.48566 0.30206 0.21229 0.02588 0.011106 0.105385
17
0.6148
0.3852
0.01172
0.013
0.11402
18
0.46616
0.53384
0.01686 0.01183 0.10878
19
0.59437
0.40563
0.01169
0.0082
0.09057
20
0.68197
0.31803 0.01997 0.01258 0.11217
22
0.53996
0.46005
0.01632 0.01179 0.10856
24
0.61119 0.38881
0.02091 0.01169 0.10812
26
0.54261 0.45739 0.02892 0.02025 0.14231
return yang diberikan sekitar 2.34 per sen
4.7 Pemilihan Portofolio Efisien
Titik-titik diatas menunjukkan portofolio
untuk portofolio 6 dan sekitar 2.46 per sen
dengan masing-masing sumbu koordinatnya
untuk portofolio 15, namun portofolio 6
adalah standard deviasi atau nilai resiko
menawarkan nilai resiko yang lebih kecil yaitu
portofolio dan expected return atau tingkat
sekitar 9.96 per sen, sedangkan portofolio 15
pengembalian yang diharapkan dari portofolio.
memberikan 11.7per sen. Portofolio 1 dan 5
Nilai expected return dan standard deviasi
lebih efisien daripada portofolio 13 karena
portofolio disajikan pada lampiran 5.
dengan nilai expected return yang hampir
Karena untuk mendapatkan portofolio
sama yaitu sekitar 1.91 per sen untuk
yang
efisien
adalah
dengan
cara
portofolio 1 dan 5, dan 1.95 per sen untuk
membandingkan portofolio-portofolio yang
portofolio 13, portofolio 1 dan 5 memberikan
memiliki nilai resiko yang sama atau
nilai resiko yang lebih rendah yaitu sekitar
membandingkan portofolio-portofolio yang
8.81 per sen untuk portofolio 1 dan 8.76 per
memiliki nilai expected return yang sama,
sen untuk portofolio 5, sedangkan portofolio
maka dari gambar grafik diatas, terlihat bahwa
13 memberikan nilai resiko sekitar 9.83 per
portofolio 16 lebih efisien daripada portofolio
sen. Portofolio 1 juga lebih efisien daripada
9, karena dengan nilai expected return yang
portofolio 2 dan portofolio 10, karena dengan
hampir sama yaitu sekitar 2.59 persen untuk
nilai resiko yang hampir sama yaitu sekitar
portofolio 16 dan sekitar 2.57 per sen untuk
8.81 per sen untuk portofolio 1, 8.79 per sen
portofolio 9, portofolio 16 memberikan nilai
untuk portofolio 2, dan 8.80 per sen untuk
resiko lebih rendah yaitu sekitar 10.5per sen,
portofolio 10, portofolio 1 memberikan nilai
sedangkan portofolio 9 menawarkan nilai
expected return lebih tinggi yaitu sekitar 1.91
resiko sekitar 12.5per sen. Portofolio 6 lebih
per sen, sedangkan portofolio 2 memberikan
efisien daripada portofolio 15, nilai expected
8
sekitar 1.64 per sen dan portofolio 10
memberikan sekitar 1.60 per sen.
0.035
0.03
26
16
E (Rp)
0.025
15
3
6
11
24
20
5
13
1
18
2 12
22
10 4
7
0.02
0.015
8
19
9
17
0.01
0.005
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
Standard Deviasi (Rp)
Gambar 4.1 Grafik Resiko dan Expected Return Portofolio
Sehingga sesuai gambar grafik diatas
(titik-titik yang berwarna merah) didapatkan 5
portofolio yang efisien yaitu portofolio 1,
portofolio 5, portofolio 6, portofolio 16, dan
portofolio 26.
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan analisis dan pembahasan yang
telah dilakukan, dapat diambil beberapa
kesimpulan sebagai berikut :
1. Model optimasi portofolio adalah multiobjective programming, dengan dua fungsi
tujuan yaitu memaksimalkan expected
return portofolio dan meminimalkan
resiko portofolio.
Model
optimasi
portofolio dapat dirumuskan sebagai
berikut :
Maks
Min
Dengan kendala :
Oleh karena itu, dalam peyelesaiannya
digunakan Compromise Programming
untuk mendapatkan berapa proporsi dana
yang akan diinvestasikan pada masingmasing saham. Sebelum pada tahap
pembentukan fungsi obyektif Compromise
Programming dihitung nilai ideal dari
masing-masing fungsi obyektif. Nilai ideal
dari masing-masing fungsi obyektif
disajikan pada Tabel 4.6 dan Tabel 4.7.
Nilai ideal tersebut digunakan dalam
pembentukan fungsi obyektif Compromise
9
Programming,
sehingga
dengan
menyelesaikannya didapatkan jumlah
proporsi dana yang diinvestasikan pada
masing-masing saham yang disajikan pada
Tabel 4.9.
2. Setelah didapatkan jumlah proporsi dana
yang diinvestasikan, maka diketahui nilai
expected return dan nilai resiko masingmasing portofolio. Portofolio yang sudah
terbentuk, digambarkan pada sebuah grafik
sesuai dengan expected return dan nilai
resiko
masing-masing
portofolio.
Portofolio yang efisien adalah portofolio
yang menawarkan expected return terbesar
dengan
resiko
yang
sama
atau
menawarkan resiko terkecil dengan
expected return yang sama. Dari hasil
analisis gambar grafik tersebut didapatkan
5 portofolio efisien dari 22 portofolio yang
sudah dibentuk. Portofolio efisien yang
didapat disajikan pada Tabel 5.1.
Tabel 5.1 Portofolio Efisien
Portofolio
1
0.019109
0.088101
5
0.019119
0.087638
6
0.023453
0.099556
16
0.025876
0.105385
26
0.028916
0.142305
DAFTAR PUSTAKA
Abdelaziz, F., Belaid Aouni, dan Rimeh El
Fayedh. Nov. 2005. “Multi-Objective
Stochastic Programming for Portfolio
Selection ”. European Journal of
Operational Research 177 (2007)
1811-1823.
Chen, Wei, Margaret M. Wiecek, dan Jinhuang
Zhang. Okt. 1998. “Quality Utility-A
Compromise Programming Approach
to
Robust
Design”.
Modified
Manuscript to JMD 14.
Endhartia, S..2009. “Analisis Portofolio
Efisien pada No Short Selling dengan
Menggunakan
Algoritma
Markowitz”.Tugas
Akhir,
Matematika.Surabaya:Institut
Teknologi Sepuluh Nopember.
Fabozzi, F.J. 1995. Manajemen Investasi
(buku satu). Jakarta.
Halim, A. 2003. Analisis Investasi. Jakarta:
Penerbit Salemba Empat.
Sierliawati,
Widdya
P.2009.”Optimasi
Perencanaan Produksi pada Multi-Item
Produk
dengan
Pendekatan
Compromise
Programming”.Tugas
Akhir, Matematika.Surabaya:Institut
Teknologi Sepuluh Nopember.
TIM BEI.Februari.2008.Investasi di Bursa
Efek
Indonesia
Selalu
Lebih
Menarik,URL:http//economy.okezone.
com
Zeleny, M. 1974. “A Concept of Compromise
Solutions and The Method of the
displaced Ideal ”. Computers and
Operations Research I. 479-496.
5.2 Saran
Saran yang dapat diberikan pada tugas akhir
ini adalah:
1. Disarankan selain mendapatkan portofolio
yang efisien dari sekumpulan portofolio
yang sudah terbentuk, dicari pula
portofolio optimal dari portofolioportofolio yang efisien.
2. Diharapkan pada penelitian selanjutnya,
fungsi obyektif yang digunakan tidak
hanya melihat dari segi ekspektasi return
dan nilai resiko portofolio saja, sehingga
ada penambahan fungsi obyektif baru
dalam pemilihan portofolio. Selanjutnya
dapat dibandingkan seberapa besar
pengaruh penambahan fungsi obyektif
tersebut dalam hal pemilihan portofolio.
10