Sistem Bilangan Real

Kania Evita Dewi
SISTEM BILANGAN REAL
DEFINISI HIMPUNAN BILANGAN REAL

Himpunan bilangan real adalah gabungan dari
himpunan bilangan rasional dan himpunan
bilangan irasional.
DEFINISI SISTEM BILANGAN REAL

Sistem Bilangan Real adalah himpunan
bilangan real yang disertai dengan operasi
penjumlahan
dan
perkalian
sehingga
memenuhi aksioma tertentu, ini merupakan
semesta pembicaraan dalam Kalkulus
SIFAT-SIFAT MEDAN
Jika x, y, z adalah anggota bilangan real, maka
berlaku sifat-sifat medan sebagai berikut:
1. x + y = y + x (komutatif penjumlahan)
2. x + (y + z) = (x + y) + z (asosaitif penjumlahan)
3. x(y + z) = xy + xz (distributif kiri)
4. (x + y)z = xz + yz (distributif kanan)
5. Elemen identitas penjumlahan (0)
SIFAT-SIFAT MEDAN (LANJUTAN)
Invers penjumlahan (-x)
7. x . y = y . x (komutatif perkalian)
8. x(y.z) = (x.y)z (asosiatif perkalian)
9. Elemen identitas perkalian (1)
10. Invers Perkalian (1/x) kecuali x = 0
6.
SIFAT URUTAN
1.
2.
Trikotomi
Jika x dan y adalah bilangan real, maka pasti
berlaku salah satu x > y atau x < y atau x = y
Transitif
x  y dan y  z maka x  z
x  y dan y  z maka x  z
x  y dan y  z maka x  z
SIFAT URUTAN (LANJUTAN)
3.
Penjumlahan
x  y maka x  z  y  z
x  y maka x  z  y  z
x  y maka x  z  y  z
SIFAT URUTAN (LANJUTAN)
4.
Perkalian
x  y maka xz  yz
x  y maka xz  yz
Jika z > 0
x  y maka xz  yz
x  y maka xz  yz
Jika z < 0
x  y maka xz  yz
x  y maka xz  yz
Ada Pertanyaan????
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
KALIMAT MATEMATIKA
1.
2.
Kalimat matematika terbuka: belum tentu
kebenarannya
Kalimat matematika tertutup: sudah pasti
kebenarannya
PERSAMAAN
Persamaan
adalah kalimat matematika terbuka
yang memiliki relasi “sama dengan” atau “=”.
 Solusi adalah nilai yang membuat persamaan
bernilai benar.
LATIHAN
Tentukan solusi
dibawah ini!
dari
1. 2 x  10  16
2. 2 x 2  13x  15
3. x  13 x  36  0
4. x3  2 x 2  x  2  0
5. x  16  0
4
persamaan-persamaan
PERTIDAKSAMAAN


Pertidaksamaan adalah kalimat matematika
terbuka yang memiliki relasi , “<, >, ≤, ≥”.
Bentuk Umum:
f  x  h x 

g x  k x 
SELANG
Himpunan bilangan real dapat digambarkan
suatu garis yang disebut garis bilangan.
 Selang merupakan himpunan bagian dari garis
bilangan.

JENIS SELANG
Selang terbuka, a < x < b, himpunan titik yang
terdiri dari semua bilangan antara a dan b,
tidak termasuk titik ujung a dan b. Lambang
penulisan (a,b)
 Selang tertutup, a≤ x ≤b, himpunan titik yang
terdiri dari semua bilangan antara a dan b yang
mencakup titik-titik ujungnya. Lambang
penulisan [a,b].

PENENTUAN HIMPUNAN PENYELESAIAN
1.
2.
3.
4.
5.
Buat ruas kanan pertidaksamaan menjadi nol,
Samakan penyebutnya,
Tentukan faktor linier dari pembilang dan
penyebut
Cari pembuat nolnya dari masing-masing
faktor linier, lalu gambarkan dalam garis
bilangan
Pilih titik-titik uji untuk menentukan tanda (+
atau -) dalam garis bilangan.
NILAI MUTLAK

Nilai mutlak adalah suatu bilangan real x
dinyatakan oleh x , didefinisikan sebagai
 x , jika x  0
x 
 x , jika x  0
SIFAT HARGA MUTLAK
1. a.b  a b
a a
2. 
b b
3. a  b  a  b
4. a  b  a  b
KETAKSAMAAN HARGA MUTLAK

Jika a ≥ 0 maka
x  a  a  x  a
x  a  x  a atau x  a
AKAR KUADRAT

Setiap bilangan positif mempunyai dua akar
kuadrat.
2
x =| x |
KUADRAT
KETAKSAMAAN KUADRAT
x ax a
2
2
x =| x |
2
2
x  a  x2  a2
LATIHAN
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut!
1. x 2  2 x  8  0
7
2.
3
2x
3.  3  4 x  9  11
x
4.  7  2
2
5. 2 x  5  x  4
SELAMAT MENCOBA..