suku banyak - SMAN 15 Kota Tangerang

SK / KD
Peta Konsep
Pendahuluan
Materi
Latihan
End
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Standar Kompetensi
Home
2. Menurunkan rumus
trigonometri dan
penggunaannya.
KD 2.1
KD 2.2
KD 2.3
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Kompetensi Dasar
Home
2.1 Menggunakan rumus sinus dan kosinus
jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan
sudut ganda untuk menghitung sinus dan
kosinus sudut tertentu.
Indikator
●
●
Menggunakan rumus sinus jumlah dan
selisih dua sudut.
Menggunakan rumus kosinus jumlah dan
selisih dua sudut.
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Kompetensi Dasar
Home
2.2 Menurunkan rumus jumlah dan selisih sinus
dan kosinus
Indikator
●
●
●
●
Menyatakan perkalian sinus dan kosinus dalam
jumlah atau selisih sinus atau kosinus
Menggunakan rumus trigonometri jumlah dan
selisih dua sudut dalam pemecahan masalah
Membuktikan rumus trigonometri jumlah dan
selisih dua sudut
Membuktikan rumus trigonometri jumlah dan
selisih dari sinus dan kosinus dua sudut
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Kompetensi Dasar
Home
2.3 Menggunakan rumus jumlah dan selisih
sinus dan kosinus
Indikator
●
●
Merancang dan membuktikan identitas
trigonometri
Menyelesaikan masalah yang melibatkan
rumus jumlah dan selisih dua sudut
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
PETA KONSEP
Home
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Pendahuluan
Monas Tempoe Doeloe
Home
Apakah benar tinggi monumen nasional (Monas)
±130 meter? Untuk membuktikannya, kita dapat
menerapkan konsep trigonometri yaitu menggunakan tangen suatu sudut pada perbandingan
trigonometri. Caranya dengan mengukur besar
nya sudut yang terbentuk oleh garis pandang
pengamat ke puncak Monas melalui garis horizontal. Misalnya jika pengamat berada pada
sudut 30o, maka pengamat harus berjalan mendekati Monas sampai terbentuk sudut 45°.
Apabila jarak dari tempat pengamatan pertama
sejauh1 km, maka dengan aturan sudut ganda
pengamat dapat menentukan tinggi Monas. Nah,
pada bab ini kamu akan mempelajari rumus
trigonometri dan penggunaannya.
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Home
Dalam segitiga siku-siku ABC berlaku:
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
∠ AOB = ∠ A
∠ BOC = ∠ B
maka ∠AOC = ∠ A + ∠ B
Dengan mengingat kembali tentang
Koordinat Cartesius, maka:
a. koordinat titik A (1, 0)
b. koordinat titik B (cos A, sin A)
c. koordinat titik C {cos (A + B), sin (A + B)}
d. koordinat titik D {cos (–B), sin (–B)}
atau (cos B, –sin B)
AC = BD
AC2 = DB2
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
AC = BD
AC2 = DB2
{cos(A+B)–1}2+{sin(A+B)–0}2={cosB–cosA}2+{–sinB–sinA}2
cos2 (A + B) – 2 cos (A + B) + 1 + sin2 (A + B)
= cos2B – 2cosBcosA + cos2A + sin2B + 2sinBsinA + sin2A
2 – 2 cos (A + B) = 2 – 2 cos A cos B + 2 sin A sin B
2 cos (A + B) = 2 (cos A cos B – sin A sin B)
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
Rumus Cosinus Jumlah Dua Sudut
cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Dengan cara yang sama, maka:
cos (A – B) = cos (A + (–B))
cos (A – B) = cos A cos (–B) – sin A sin (–B)
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
Rumus cosinus selisih dua sudut:
cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Contoh :
1. Cos 105o = ….
Jawab:
cos (A + B) = cosA.cosB - sinA.sinB
cos1050 = cos(600 + 450)
= cos600cos450 - sin600sin450
= ½.½√2 - ½√3.½ √2
= ¼√2 - ¼√6
= ¼ (√2 - √6 )
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Contoh :
1. cos 63o cos18o + sin63osin18o = ….
Jawab:
cos 63o cos18o + sin63osin18o .
= cos(630 - 180)
= cos450
= ½√2
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Contoh :
1. cos 57 cos 1328  sin 57 sin 1328  ....
Jawab:
cosAcosB + sinAsinB = cos(A - B)
5
13
5
13
5
13
cos(

)
cos 7 cos 28  sin 7 sin 28 
7
28
7
cos(
)
=
28

cos(
)
=
4
= 1 2
2
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
2. Sederhanakanlah bentuk cos( a  b )  ....
cos a .cos b
Jawab :
cos( a  b )

cos a . cos b
=
cos a . cos b  sin a . sin b
cos a . cos b
cos a . cos b sin a . sin b

cos a . cos b cos a . cos b
= 1 – tana.tanb
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
3. Tentukan nilai cos56°+ sin56°.tan28°
Jawab: cos56° + sin56°.tan28°
sin 28 0
= cos56° + sin56°.
0
cos
28
0
0
sin
56
.
sin
28
= cos56° +
cos 28 0
0
0
0
0
cos
56
cos
28

sin
56
.
sin
28
=
0
cos
28
0
0
0
= cos(56  28 )
cos 280

sin 28
cos 280
=1
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
4. Pada suatu segitiga siku-siku ABC berlaku
cosA.cosB = ½. Maka cos(A – B) =….
Jawab:  siku-siku ABC; cosA.cosB = ½
maka ΔABC siku-siku di C C = 90°
A + B + C = 180°  A + B = 90°
A = 90° – B  B = 90° – A
cos(A – B) = cosA.cosB + sinA.sinB
= ½ + sin(90 – B).sin(90-A)
= ½ + cosB.cosA
=½+½
=1
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Perhatikan rumus berikut ini.
sin (A + B) = cos { 90o – (A + B)}
= cos ( 90o – A – B)
= cos { (90o – A) – B}
= cos ( 90o – A) cos B + sin ( 90o – A) sin B
= sin A cos B + cos A sin B
Maka rumus sinus jumlah dua sudut:
sin(A + B) = sinA.cosB + cosA.sinB
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Dengan cara yang sama, maka:
sin (A – B) = sin {A + (–B)}
= sin A cos (–B) + cos A sin (–B)
= sin A cos B – cos A sin B
Rumus sinus selisih dua sudut:
sin(A - B) = sinA.cosB - cosA.sinB
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Contoh :
1. Sin 75o = ….
Jawab:
sin( + ) = sin.cos + cos.sin
sin750 = sin(450 + 300)
= sin450cos300 + cos450sin300
= ½√2.½√3 + ½√2.½
= ¼√6 + ¼√2
= ¼√2(√2 + 1)
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
3
2. Diketahui sin A =
cos B =
5
7
25
A dan B adalah sudut-sudut lancip
sin(A – B) =….
Jawab:
sin(A – B)= sinAcosB – cosAsinB
3
5
5
4
cosA =
5
A
7
cos B = 25
25 sin B = 24
25
B
sinA =
3
4
24
7
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
sin(A – B) = sinAcosB – cosAsinB
3
7
= 5 . 25
21
96

=
125 125
75
=
125
-
4
5
.
24
25
3

5
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Rumus Tangen jumlah dan selisih dua sudut :
tan A  tan B
tan A  tan B
tan(A + B) =
tan(A - B) =
1  tan A. tan B
1  tan A. tan B
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Contoh :
1. tan 105° = ….
Jawab:
tan105° = tan(60° + 45°)
tan 60o  tan 45o

1  tan 60o. tan 45o
3 1

1  3.1
1 3 1  3

x
1 3 1  3
=
=
=
=
1 3
1 3
1 3
x 1
3
( 1  3 )2
13
1 2 3  3
13
42 3
2
= -2 - √3
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut
2. Diketahui A + B = 135° dan
tan B = ½. Nilai tan A= ….
Jawab:
A + B = 135°
tan(A + B) = tan 135°
tan A  tan B = -1
1  tan A . tan B
tan A  21 = -1
1  tan A . 21
tan A  21
= -1
1  tan A . 21
tan A + ½= -1 + ½tan A
tan A - ½tan A = -1 - ½
½tan A = -1½
Jadi, tan A = -3
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut
3. Jika tan q = ½ dan p – q = ¼π
maka tan p = ….
Jawab:
p – q = ¼π
tan(p – q) = tan ¼π
tan p  tan q = 1
1  tan p . tan q
tan p  21
1  tan p .
1
2
=1
tan p  21 = 1
1  tan p . 21
tan p - ½ = 1 + ½tan p
tan p - ½tan p = 1 + ½
½tan p = 1½
Jadi, tan p = 3
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Sinus sudut Ganda (Rangkap)
Dengan menggunakan rumus sin (A + B), untuk
A = B maka diperoleh:
sin 2A = sin (A + B)
= sin A cos A + cos A sin A
= 2 sin A cos A
sin2A = 2 sinA.cosA
contoh: 1. sin10° = 2sin5°.cos5°
2. sin6P = 2sin3P.cos3P
3. sin t = 2sin½t.cos½t
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Sinus sudut Ganda (Rangkap)
Contoh :
1. Diketahui cos = 3
5
Nilai sin 2 =….
Jawab:
cos  =
sin =
3
5
4
5
4

Jadi sin2 = 2sin.cos
= 2. 4 x
5
3
5
= 24
25
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Sinus sudut Ganda (Rangkap)
2. Jika tan A = ½ maka sin 2A =….
Jawab:
tan A = ½
1
sinA = 5
2
2
2

1
1
2
cosA =
A
5
2
sin2A = 2 sinA.cosA
4
1
2
=2x
x
=
5
5
 5
5
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Sinus sudut Ganda (Rangkap)
3. Jika sinx – cosx = p , maka harga sin 2x =….
Jawab:
sinx – cosx = p
(sinx – cosx)2 = p2
sin2x – 2sinx.cosx + cos2x = p2
sin2x – 2sinx.cosx + cos2x = p2
sin2x + cos2x – 2sinx.cosx = p2
1 – sin2x = p2
1 – p2 = sin2x
Jadi, harga sin2x = 1 – p2
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Sinus sudut Ganda (Rangkap)
4. Diketahui A adalah sudut lancip, cos½A =
Nilai sin A = ….
Jawab: cos½A =
x 1
2x
dengan phytagoras
cos½A =
sin½A =
x1
2x
x1
t2 = 2x – (x + 1)
t = √x - 1
√2x
t = √x - 1
½A
√x+ 1
x1
2x
2x
sinA = 2sin½A.cos½A
=2x
=
x1
2x
x
x1
2x
x2  1
x
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Cosinus sudut Ganda (Rangkap)
Dengan menggunakan rumus cos (A + B),
untuk A = B maka diperoleh:
cos 2A = cos (A + A)
= cos A cos A – sin A sin A
= cos2 A – sin2 A ……………..(1)
atau
cos 2A = cos2 A – sin2 A
sin2 A + cos2 A = 1
2 A = 1 - cos2 A
sin
2
2
= cos A – (1 – cos A)
= cos2 A – 1 + cos2 A
= 2 cos2 A – 1 ……………..(2)
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Cosinus sudut Ganda (Rangkap)
cos 2A = cos2 A – sin2 A
= (1 – sin2 A) – sin2 A
= 1 – 2 sin2 A …………(3)
sin2 A + cos2 A = 1
cos2 A = 1 - sin2 A
cos 2A = cos2A – sin2A
cos 2A = 2cos2A – 1
cos 2A = 1 – 2sin2A
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Cosinus sudut Ganda (Rangkap)
1. Diketahui cos =
maka cos 2 =….
1
3
2. Diketahui sinx = ½
maka cos 2x =….
Jawab:
Jawab:
cos2 = 2cos2 - 1
cos2x = 1 – 2sin2x
=
=
=
1 2
2( 3 )
2
-1
9
7
9
–1
= 1 – 2(½)2
=1–½
=½
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Cosinus sudut Ganda (Rangkap)
3. Diketahui tan p = ½
maka cos 2p =….
Jawab:
tan p = ½  sin p =
1
5
cos2p = 1 – 2sin2p
= 1 – 2(
=1–
= 3
2
5
1
5
)2
√5
1
p
2
5
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Cosinus sudut Ganda (Rangkap)
4. Diketahui sudut lancip A dengan cos 2A =
Nilai tan A = ….
1
3
Jawab:
• cos 2A = 1 –
2sin2A
=1–
2sin2A
=1–
1
3
1
3
2sin2A
=
• cos 2A = 2cos2A – 1
1 = 2cos2A – 1
3
2cos2A
2
3
tan2A =
2sin2A
2cos2A
=
2
3
4
3
tan2A = ½
A lancip  Jadi, tan A = ½√2
1
4
= +1=
3
3
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Cosinus sudut Ganda (Rangkap)
x1
2x
5. Diketahui A adalah sudut lancip, cos½A =
Nilai sin A adalah….
Jawab:
cos A = 2cos2½A – 1
= 2

x1

2x 

2
-1
= 2  x  1  - 1
cos A = 2
1
x
-1
cos A = 2 x  2  2 x
1 2x
cos A =

x
 2x 
=
 x  1


 2x 
√x2
sin A =
x2 1
x
x
–1
A
1
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Cosinus sudut Ganda (Rangkap)
Dengan menggunakan rumus tan (A + B),
untuk A = B diperoleh:
tan 2A = tan (A + A)
tan A  tan A

1  tan A. tan A
2 tan A
tan 2A =
2
1  tan A
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Cosinus sudut Ganda (Rangkap)
Contoh:
1. tan 20°=
3. Jika tan A = 3
0
2 tan 10
1  tan 2 10 0
2 tan 5 x
2. tan 10x =
1  tan 2 5 x
maka tan 2A =….
Jawab:
2. tan A
tan 2A =
1  tan 2 A
= 2.3
1  32
=
6
8
= 3
4
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Cosinus sudut Ganda (Rangkap)
4. Jika cos x = 5
13
Jawab:
maka tan 2x =….
2. tan A
tan 2x =
1  tan 2 A
= 2. 125
tan 2x =
=
1   125 
2
13
12
x
=
5
tan x =
12
5
=
24
5
144
25
1
Jadi, tan 2x = 
120
119
24
5
144
25
1
24
5
25  144
25
24.5
 119
=  120
119
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Perkalian Cosinus dan Cosinus
Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat
diperoleh rumus sebagai berikut
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B +
cos (A + B) + cos (A – B) = 2 cos A cos B
2cosA.cosB = cos(A + B) + cos(A - B)
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Perkalian Cosinus dan Cosinus
Contoh :
1.Nyatakan 2cos100°.cos35° bentuk penjumlahan.
Jawab :2cos.cos = cos( + ) + cos( - )
2cos100°.cos35°= cos(100 + 35)° + cos(100 - 35)°
= cos135° + cos 65°
2. Nyatakan 2cos45°.cos15° sebagai bentuk
penjumlahan,kemudian tentukan nilainya.
Jawab: 2cos.cos = cos( + ) + cos( - )
2cos45°.cos15° = cos(45 + 15)° + cos(45 - 15)°
= cos60° + cos 30°
= ½ + ½√3 = ½(1 + √3)
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Perkalian Cosinus dan Cosinus
3. Sederhanakan 2cos(p + ¼π)cos(p - ¼π)
Jawab :
2cos.cos = cos( + ) + cos( - )
2cos(p + ¼π).cos(p - ¼π)
= cos{(p + ¼π) + (p - ¼π)} + cos{(p + ¼π) – (p - ¼π)}
= cos2p +cos½π
= cos2p + 0
Jadi, bentuk sederhana dari
2cos(p + ¼π).cos(p - ¼π) = cos2p
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Perkalian Sinus dan Sinus
Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat
diperoleh rumus sebagai berikut:
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B _
cos (A + B) – cos (A –B) = –2 sin A sin B
atau
2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B)
2sinA.sinB = cos(A - B) - cos(A + B)
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Perkalian Sinus dan Sinus
Contoh :
1.Nyatakan 2sin40°.sin20°
sebagai bentuk penjumlahan.
Jawab :
2sin.sin = cos( - ) - cos( + )
2sin40°.sin20° = cos(40 - 20)° - cos(40 + 20)°
= cos20° - cos60°
= cos20° - ½
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Perkalian Sinus dan Sinus
2. Hitunglah sin75°.sin15°
Jawab:
2sin.sin = cos( - ) - cos( + )
sin75°.sin15°= ½(2sin75°.sin15°)
= ½{cos(75 - 15)° - cos(75 + 15)°}
= ½(cos60° - cos90°)
= ½( ½ - 0)
=¼
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Perkalian Sinus dan Sinus
3. Nyatakan bentuk 2sin½π.sin¼π sebagai bentuk
penjumlahan, kemudian tentukan nilainya.
Jawab: 2sin.sin = cos( - ) - cos( + )
2sin½π.sin¼π = cos(½π - ¼π) - cos(½π + ¼π)
= cos¼π - cos¾π
= ½√2 – (-½√2)
= ½√2 + ½√2
=√2
Jadi, nilai 2sin½π.sin¼π adalah √2
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Perkalian Sinus dan Cosinus
Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat
diperoleh rumus sebagai berikut.
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B +
sin (A + B) + sin (A – B) = 2 sin A cos B atau
2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)
Dengan cara yang sama didapat rumus:
2sinA.cosB = sin(A + B) + sin(A - B)
2cosA.sinB = sin(A + B) – sin(A - B)
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Perkalian Sinus dan Cosinus
Contoh :
1. Nyatakan 2sin80°.cos50° dalam bentuk penjumlahan.
Jawab: 2sincos = sin( + ) + sin( - )
2sin80°cos50° = sin(80 + 50)° + sin(80 - 50)°
= sin130° + sin 30°
= sin 130 + ½
2. Sederhanakan bentuk 2cos75°.sin15°
Jawab: 2cossin = sin( + ) - sin( - )
2cos75°sin15° = sin(75 + 15)° - sin(75 - 15)°
= sin90° - sin 60°
= 1 - ½√3
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Perkalian Sinus dan Cosinus
3. Nyatakan 2sin3A.cosA sebagai bentuk penjumlahan.
Jawab : 2sincos = sin( + ) + sin( - )
2sin3AcosA = sin(3A + A)° + sin(3A - A)°
= sin4A + sin A
4. Nyatakan cos2.sin5
Jawab : 2cossin = sin( + ) - sin( - )
cos2.sin5 = ½(2cos2.sin5)
=½{sin(2 + 5)° - sin(2 –5)}
= ½{(sin7 - sin(-3)}
= ½(sin7 + sin3)
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Perkalian Sinus dan Cosinus
5. Hitunglah nilai 4 sin 81  cos 83 
Jawab:
2sin.cos = sin( + ) + sin( - )
4 sin 18  cos 83  = 2.2 sin 81  cos 83 
= 2.sin 81   83    sin 81   83  
= 2. sin 1   sin 1  
2
4
= 2.{1 - sin¼π}
= 2(1 - ½√2)
= 2 - √2
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Perkalian Sinus dan Cosinus
6. Hitunglah cos82,5°.sin37,5°
Jawab: 2cossin = sin( + ) - sin( - )
cos82,5°.sin37,5°
= ½(2cos82,5°.sin37,5°)
= ½{sin(82,5 + 37,5)° - sin(82,5 – 37,5)°}
= ½(sin120° - sin 45°)
= ½(½ - ½√2)
= ¼ - ¼√2
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Cosinus
Rumus Penjumlahan Cosinus
Berdasarkan rumus perkalian cosinus, diperoleh
hubungan penjumlahan dalam cosinus yaitu
sebagai berikut :
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)
Misalkan:
A+B=α
A+B=α
A–B=β+
A–B=β_
2A = α + β
2B = α – β
A = ½ (α + β)
B = ½(α – b)
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Cosinus
Selanjutnya, kedua persamaan itu disubstitusikan.
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)
2 cos½(α + β) cos ½(α – β) = cosα + cosβ atau
cos + cos = 2cos½(+).cos½( - )
Rumus Pengurangan Cosinus
Dari rumus 2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A +
B), dengan memisalkan A + B = α dan A – B = β,
terdapat rumus:
cos - cos = -2sin½(+).sin½( - )
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Cosinus
1. Nyatakan cos6x + cos2x sebagai bentuk perkalian.
Jawab: cos + cos = 2cos½( + ).cos½( - )
cos6x + cos2x = 2cos½(6x + 2x).cos½(6x – 2x)
= 2cos5x.cos2x
2.Nyatakan cos160° + cos80°sebagai bentuk perkalian.
Jawab: cos + cos = 2cos½( + ).cos½( - )
cos160° + cos80°= 2cos½(160 + 80)°.cos½(160 – 80)°
= 2cos120°.cos40°=2.(-½).cos40°
= -cos40°
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Cosinus
3. Nilai cos105° – cos15°
Jawab:
cos - cos = -2sin½( + ).sin½( - )
cos105°-cos15°= -2sin½(105 +15)°.sin½(105 –15)°
= -2sin60°.sin45°
= -2.½√3.½√2
= -½√6
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Penjumlahan dan pengurangan Sinus
Dari rumus 2 sin A cos B = sin (A+B)+sin(A–B),
dengan memisalkan
A + B = α dan A – B = β, maka didapat rumus:
sin + sin = 2sin½( + ).cos½( - )
sin - sin = 2cos½( + ).sin½( - )
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Penjumlahan dan pengurangan Sinus
Contoh :
1. Nyatakan sin6A + sin4A sebagai bentuk perkalian.
Jawab: sin + sin = 2sin½( + ).cos½( - )
sin6A + sin4A = 2sin½(6A + 4A).cos½(6A – 4A)
= 2sin5A.cosA
2. Nyatakan sin4x – sin6x sebagai bentuk perkalian.
Jawab: sin - sin = 2cos½( + ).sin½( - )
sin4x – sin6x = 2cos½(4x + 6x).sin½(4x – 6x)
= 2cos5x.sin(-x)
= -2cos5x.sinx
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Penjumlahan dan pengurangan Sinus
3. Sederhanakan sin160° + sin20°
Jawab : sin + sin = 2sin½( + ).cos½( - )
sin160° + sin20° = 2sin½(160 + 20)°.cos½(160 – 20)°
= 2sin90°.cos70° = 2.1.cos70°
= cos70°
4. Sederhanakan sin155° - sin25°
Jawab: sin - sin = 2cos½( + ).sin½( - )
sin155°- sin25° = 2cos½(155 + 25)°.sin½(155 – 25)°
= 2cos90°.sin65° = 2.0.sin65°
=0
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Rumus Penjumlahan dan pengurangan Sinus
5. Sederhanakan sin(⅓π + p) + sin(⅓π – p)
Jawab:
sin + sin = 2sin½( + ).cos½( - )
sin(⅓π + p) + sin(⅓π – p)
= 2sin½{(⅓π+p)+(⅓π-p)} x cos½{(⅓π+p)-(⅓π-p)}
= 2.sin½(⅔π).cos½(2p)
= 2.sin⅓π.cosp = 2. ½√3.cosp
= √3.cosp
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Merancang dan Membuktikan Identitas Trigonometri
Identitas adalah suatu persamaan yang selalu
benar untuk konstanta yang manapun juga. Cara
membuktikan identitas trigonometri dapat
menggunakan:
a. rumus sinus dan cosinus jumlah dan selisih
dua sudut,
b. rumus perkalian sinus dan cosinus dalam
jumlah atau selisih sinus atau cosinus,
c. rumus trigonometri jumlah dan selisih dua
sudut dalam pemecahan masalah.
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Merancang dan Membuktikan Identitas Trigonometri
Contoh :
1  cos a
1. Buktikan:
 tan 21 a
sin a
Bukti:
1  cos a
2 1
 1  (1  2 sin 2 1 a)
2
sin
2a
2
sin a

1
1
2 sin 12 a cos 12 a
2 sin 2 a cos 2 a
2 sin 2 12 a
sin 12 a


1
1
cos 12 a
2 sin 2 a cos 2 a
 tan 12 a (Terbukti)
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Merancang dan Membuktikan Identitas Trigonometri
2. Buktikan sin 5 x  sin 3x  tan 4 x
cos 5 x  cos 3 x
Jawab:
sin 5 x  sin 3 x 2sin½(5x + 3x).cos½(5x – 3x)

cos 5 x  cos 3 x 2cos½(5x + 3x).cos½(5x – 3x)
sin4x
=
cos4x
= tan4x (terbukti)
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Merancang dan Membuktikan Identitas Trigonometri
3. Nilai cos 800  cos 400
Jawab:
sin 400
1

3 sec 20o
2
cos 800  cos 400 -2sin½(80 + 40).sin½(80 – 40)

0
sin 40
sin40°
-2sin60°.sin20°
=
2sin20°.cos20°
 12 3

cos 20 0
= -½√3sec20°(terbukti)
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Merancang dan Membuktikan Identitas Trigonometri
4. Nilai cos 4a  cos 8a  1
Jawab:
6 sin 6a. sin 2a
3
-2sin½(4a + 8a).sin½(4a – 8a)
cos 4a  cos 8a

6 sin 6a. sin 2a
6sin6a.sin2a
=
-2sin6a.sin(-2a)
6sin6a.sin2a
2.sin2a
=
6.sin2a
= ⅓ (terbukti)
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
Merancang dan Membuktikan Identitas Trigonometri
5. Nilai
Jawab:
sin 810  sin 210
 3
0
0
sin 69  sin 171
2sin½(81 + 21).cos½(81 – 21)
sin 810  sin 210

0
0
sin 69  sin 171
2cos½(69 + 171).sin½(69 – 171)
=

sin51°.cos30°
cos120°.sin(-51°)
1
2
1
2
3 . sin 510
 .(  sin 510 )
= √3 (terbukti)
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
LATIHAN
Hadapi dengan
senyuman
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
LATIHAN
Hadapi dengan
senyuman
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
LATIHAN
Hadapi dengan
senyuman
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
LATIHAN
Hadapi dengan
senyuman
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1
ilhammath Production.
Copyright 2014-2015
Bahan Ajar ICT Matematika SMA Kelas XI IPA Semester 1