Bab 5 Rotasi

BAB 5 ROTASI
 KINEMATIKA ROTASI
• Bila terjadi perubahan sudut dalam selang waktu tertentu,
didefinisikan kecepatan sudut rata-rata sebagai :

 2  1
t 2  t1
• Bila terjadi perubahan kecepatan sudut dalam selang waktu tertentu,
didefinisikan percepatan sudut rata-rata sebagai :
 
2  1
t 2  t1
 = Sudut [radian]
 = Kecepatan sudut [radian/s]
 = Percepatan sudut
[radian/s2 ]
t = Waktu [s]
• Kecepatan dan percepatan sudut sesaat :
 d
  lim

t 0 t
dt
 d
  lim

t 0 t
dt
• Persamaan-persamaan kinematika rotasi :
  o   t
  o
  o 
t
2
1 2
   o  o t   t
2
1 2
  o   t   t
2
 2  o2  2 (   o )
Contoh Soal 5.1
Sebuah roda gila (grindstone wheel) berputar dengan percepatan
konstan sebesar 0,35 rad/s2. Roda ini mulai berputar dari keadaan diam
(o = 0) dan sudut mula-mulanya o = 0.
Berapa sudut dan kecepatan sudutnya pada saat t=18 s ?
Jawab :
1 putaran  360o  2 radian
1 2
  o t   t
2
1
 0(18)  (0,35)(18) 2
2
 56,7 rad  3200 o  9 putaran
  o   t
 0  (0,35)(18)  6,3rad / s
 6,3 rad / s  360o / s  1 putaran / s
Contoh Soal 5.2
Dalam suatu analisis mesin helikopter diperoleh informasi bahwa
kecepatan rotornya berubah dari 320 rpm menjadi 225 rpm dalam
waktu 1,5 menit ketika mesinnya dihentikan.
a). Berapa percepatan sudut rata-ratanya ?
a). Berapa lama baling-balingnya berhenti ?
b). Berapa kali baling-balingnya berputar sampai berhenti ?
Jawab :
  o
225  320
a ).  

 63,3 putaran / s 2
t
1,5
   0  320
b). t 

 5,1 menit

 63,3
 2  o2 0  320 2
c).  

 809 putaran
2
2(63,3)
• Hubungan antara kecepatan linier dan kecepatan sudut
ds
s  r v 
dt
d
v
r  r
dt
• Hubungan antara percepatan linier dan percepatan sudut
dv dr d
at 


r  r
dt
dt
dt
v 2 (r ) 2
r  
  2r
r
r
• Momen Inersia (rotasi)

massa (translasi)
Untuk sistem partikel energi kinetiknya :
1
1
1
2
2
m
v

m
(

r
)



i i
i
i
2
2
2
1
I   mi ri 2  K  I 2
2
K
 m r 
2
2
i i
I disebut momen inersia dari sistem partikel
Untuk benda tegar momen inersianya dapat dihitung dari :
I   r 2 dm
Contoh Soal 5.3
Suatu sistem terdiri dari dua buah benda bermassa sama m yang
dihubungkan dengan sebuah batang kaku sepanjang L dengan massa
yang dapat diabaikan.
a). Bila sistem tersebut berputar dengan sumbu ditengah batang
tentukan momen inersianya
b). Tentukan momen inersianya bila berputar dengan sumbu pada ujung
batang
Jawab :
2
2
1 2
L
L
a). I   mi ri  m   m   mL
2
2
2
2
b). I   mi ri  m0  mL   mL2
2
2
2
 DINAMIKA
ROTASI
Sebuah benda berputar pada suatu sumbu disebabkan karena adanya
momen gaya atau torka/torsi (torque)
  Ft r  F sin  r  (r sin  ) F  r F
  rF
Hukum Newton II untuk rotasi :
  I

 F  ma
 KERJA DAN DAYA ROTASI
dW  F  ds  Ft rd  ( Ft r )d
f
W    d
i
 dW   d
xf
 W   Fdx
dW  d
P

 
dt
dt
xi
 P  Fv
Contoh Soal 5.4
Sebuah batang homogen bermassa 1,5 kg sepanjang 2 m dapat
berputar pada salah satu ujungnya. Mula-mula batang ini berada
dalam keadaan diam dan membuat sudut 40o terhadap horisonta
seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Hitung :
a). Percepatan sudut pada saat dilepaskan
b). Kecepatan sudut pada posisi horisontal disebelah kiri
R
Mg
40o
Jawab :
I
1
ML2
3
R
Mg
40o
1
1
a ). I  ML2  (1,5)( 2) 2  2 kgm 2
3
3
   I   F R  Mg R  (1,5)(9,8)(0,5(2) cos 40 o )  11,26  2 
11,26
 5,63 rad / s 2
2
1 2
1 2
b).
I1  Mgh 1  I 2  Mgh 2 h 1  0,5L sin 40 o h 2  0
2
2
1
1
(2)(0)  (1,5)(9,8)(0,5)( 2) sin 40 o  (2)  22  (1,5)(9,8)(0)
2
2
9,45   22    3,08 rad / s

Contoh Soal 5.5.
Sebuah batang homogen bermassa 0,5 kg sepanjang 80 cm
dapat berputar pada salah satu ujungnya. Mula-mula batang ini
berada dalam keadaan horisontal seperti terlihat pada gambar
di bawah ini. Bila diberi kecepatan sudut awal sebesar 5 rad/s,
tentukan :
a). Momen inersia batang tersebut, I
b). Momen gaya yang dialami pada saat horisontal, o
c). Percepatan sudut awal, o
d). Kecepatan sudut pada posisi vertikal, 
Jawab :
L/2
ho
h=0
o
mg

1
1
a ) I  mL2  (0,5)(0,8) 2  0,107 kg.m 2
3
3
L
b) o  mg  (0,5)(9,8)(0,4)  1,96 Nm
2
o 1,96
c) o  I o   o 

 18,318 rad / s 2
I 0,107
1
1
d ) I o2  mgh o  I 2  mgh
2
2
1
1
(0,107) (5) 2  (0,5)(9,8)(0,4)  (0,107) 2  (0,5)(9,8)(0)
2
2
3,2975
2
0,0535  1,3375  1,96  3,2975   
 7,851 rad / s
0,0535
• Momentum Sudut
Momentum sudut didefinisikan sebagai perkalian antara momen
inersia dan kecepatan sudut
L  I  p  m v
Hukum Newton II :
dL dI
   dt  dt  I 
dp dmv
 F  dt  dt  ma
Hukum kekekalan momentum sudut :
  0
 Li  Lf  kons tan
Contoh Soal 5.6
Sebuah cakram (disk) dengan momen inersia I1 berputar dengan
kecepatan sudut I terhadap poros yang licin. Cakram ini jatuh
mengenai cakram lain dengan momen inersia I2 yang sedang
diam. Akibat gesekan pada permukaannya cakram lain ini ikut
berputar sampai akhirnya mempunyai kecepatan sudut yang
sama. Tentukan kecepatan sudut akhir ini.
Jawab :
Li  Lf
I1i  I 2 (0)  (I1  I 2 )f
Ii
f 
i
Ii  I 2
Contoh Soal 5.7
Sebuah komedi putar mempunyai jari-jari 2 m dan momen inersia
sebesar 500 kgm2. Seorang anak bermassa 25 kg berlari
sepanjang garis yang tangensial terhadap tepi komedi putar yang
semula diam dengan kecepatan 2,5 m/s dan melompat seperti
terlihat pada gambar. Akibatnya komedi putar bersama-sama
dengan anak tersebut ini berputar. Hitung kecepatan sudut
komedi putar tersebut.
Jawab :
I anak  mr 2  25(2 2 )  100kgm 2
Li  Lf
 mvr  (I anak  I kp )f
25(2,5)( 2)  (100  500)f
125
f 
 0,208rad / s
600
• Gerak Menggelinding
Sebuah bola menggelinding di atas bidang datar tanpa slip
Titik kontak antara bola dan bidang datar bergerak sejauh s
Pusat massa terletak di atas titik kontak juga bergerak sejauh s
Vpm
ds
d

R
dt
dt
d

dt
Kondisi menggelinding :
Vpm  R
dR

dt
dt
A pm  R
dVpm
d

dt
• Bola bergerak translasi dengan kecepatan v tanpa
rotasi,sehingga baik titik kontak maupun titik puncak mempunyai
kecepatan yang sama dengan kecepatan pusat massa.
• Bola berputar dengan kecepatan sudut  tanpa translasi,
sehingga kecepatan pusat massa nol sedangkan kecepatan titik
kontak dan titik puncak mempunyai kecepatan yang sama tetapi
berlawanan arah sebesar R
• Bola menggelinding (translasi dan rotasi dengan v = R),
sehingga kecepatan titik kontak nol, kecepatan pusat masa v
dan kecepatan titik puncak 2v
• Tidak ada gerakan relatip antara bola dan bidang datar, gaya
gesekan statik, karena diam  tidak ada energi yang hilang
Contoh Soal 5.7
Sebuah bola berjari-jari 12 cm dan bermassa 30 kg sedang
menggelinding tanpa slip pada sebuah lantai horisontal dengan
kecepatan 2 m/s. Berapa energi kinetiknya ?
Jawab :
1 2 1 2
K  K translasi  K rotasi  mv  I
2
2
1 2 12
2  v 
 mv   mR  
2
25
 R 
1 2 1 2 7
 mv  mv  mv 2
2
5
10
7
 (30)( 2) 2  84 J
10
2
2
I  mR 2
5
Contoh Soal 5.8
Sebuah bola bermassa M dan berjari-jari R dilemparkan
sedemikian rupa sehingga saat menyentuh lantai ia bergerak
secara horisontal dengan kecepatan 5 m/s dan tidak berputar.
Koefisien gesekan kinetik antara bola dan lantai adalah 0,3.
a). Berapa lama bola meluncur sebelum menggelinding ?
b). Berapa lama jauh meluncur sebelum menggelinding ?
Jawab :
Kinematika dan dinamika selama meluncur :
f
f   N   Mg  a 
 g  v  vo  at  vo  g t
M
2
  Mg R 5 g
2
  f R   Mg R
I  MR    

2
5
I
MR 2 2 R
5
a). Pada saat kondisi menggelinding tercapai :
5 g
v  R
  t 
t
2 R
5 g
5
v  vo  g t  R 
t R  gt
2 R
2
2 vo
7
2(5)
gt  vo  t 

 0,485 s
2
g 7(0,3)(9,8)
b). Pada saat kondisi menggelinding tercapai :
1
1
2
x  vot  gt  5(0,485)  (0,3)(9,8)(0,485) 2  2,08 m
2
2