PROBABILITAS

PROBABILITAS
1. Pendahuluan.
Dalam setiap bisnis, sebagian besar keputusan bersifat tidak pasti. Misalnya manajer operasi
tidak dapat mengetahui dengan pasti mengenai kapan suatu mesin akan rusak ? Berapa peluang
mesin tersebut akan rusak minggu depan?.
Manajer bank ingin mengetahui berapa peluang nasabah akan mengambil uang 1 milyar besok?
Sebagian besar analisis statistik adalah nferensal dan probabilitas merupakan pondasi bag
statistik inferensial, karena harus menggunakan sampel dari populasi dan menghitung statistik
terhadap sampel tersebut dan kemudian mengambl kesmpulan dari nilai statistik yang
menyerminkan populasi.
Nilai parameter untuk populasi tidak diketahui dengan pasti dengan mengambil sampel
tersebut.
Estimate parameter with statistic
(Probability of confidence in result
assigned)
Population parameter
unknown, exp μ
Sample statistic
computed, exp Ẋ
Extract sample
Contoh.
Manajer pengendalian kualitas mengambil sampel sebanyak 40 bola lampu secara acak dari
populasi bola lampu untuk dihitung rata-rata durasi bolamp dari sampel tersebut.
Manajer tersebut mengestimasi rata-rata durasi bolamp untuk populasi bolamp berdasarkan
informasi dari sampel tersebut. Oleh karena bolamp yang dianalisis tersebut hanya sampel dari
populasi, maka rata-rata durasi 40 bolamp tersebut bisa jadi merupakan estmasi yang akurat
atau tidak akurat untuk diberlakukan bagi populasi bolamp. Hasilnya tidak pasti.
Oleh karena, manajer operasi menetapkan nilai probabilitas terhadap estimasi tersebut.
2. Metode Penentuan Probabilitas.
Ada 3 metode dalam menentukan probabilitas:
a) Classical probability
b) Relative frequency of occurrence
c) Subjective probability
Classical probability
Metode klasik penentuan probabilitas menggunakan asumsi setiap outcome memiliki peluang
yang sama untuk terjadi.
Classical probablity menggunakan aturan dan hukum serta melibatkan exsperiment dan event.
Exsperiment adalah proses untuk menghasilkan outcomes
Event adalah coutcome dari suatu experiment
P(E) =
𝐧𝐞
𝐍
N = Jumlah outcomes yang mungkin terjadi dari suatu experiment
ne = Jumlah outcomes dimana event terjadi dalam N outcomes
Probabilitas 0 ≤ P(E) ≤1
Relative frequency of occurrence
Metode Relative frequency of occurrence untuk penentuan probabilitas didasarkan pada
akumulasi data historis
Probability
𝐉𝐮𝐦𝐥𝐚𝐡 𝐞𝐯𝐞𝐧𝐭 𝐭𝐞𝐫𝐣𝐚𝐝𝐢
Frekuensi Relatif = 𝐉𝐮𝐦𝐥𝐚𝐡 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐞𝐯𝐞𝐧𝐭 𝐭𝐞𝐫𝐣𝐚𝐝𝐢 ,
Dari kejadian
Contoh.
 Suatu perusahaan ingin menentukan probabilitas yang akan digunakan oleh bagian
pengendalian kualitas untuk menolak kiriman bahan baku dalam ukuran batch
berkutnya dari supplier. Data yang dikumpulkan dari catatan perusahaan
menunjukkan bahwa supplier telah mengirimkan ke perusahaan sebanyak 90 batch
pada waktu yang lalu dan bagan pengendalilan telah menolak 10 batch. Dengan
menggunakan metode ini, maka probabilitas bahwa bagan pengendalian akan
menolak untuk batch berikutnya adalah 10/90 (0.11). Jika batch berikutnya di tolak,
the relative frequency of occurrence probability untuk pengiriman berikutnya akan
menjadi 11/91 = 0.12
 Jika seorang pemain telah melakukan pertandingan basket sebanyak 310 dan
berhasil memasukkan ke jaring sebanyak 85 bola, maka rata-rata probabilitas bola
kejaring=85/310 =0.274
Subjective Probablity
Metode ini menggunakan asumsi perasaan seseorang dalam menentukan probabilitas.
Metode ini bukan merupakan pendekatan ilmiah, tapi hanya didasarkan akumulasi
pengetahuan, pemahaman, dan pengalaman yang ada dalam pikiran sesorang.
4.3 Struktur Probabilitas
Experiment.
Ekspermen adalah proses menghasilkan outcomes. Experiment dapat berupa suatu aktivitas
seperti melempar koin, pemilihan komponen dari departemen produksi, dan mengambil kartu.
Event.
Event adalah outcome dari suatu experiment.
•Jika experimentnya adalah melempar 2 koin , maka eventnya adalah 2 muka belakang
•Jika experimentnya adalah melempar dadu , maka satu eventnya adalah angka ganjil, event
yang lain mungkin angka genap, event yang lain lagi mungkin angka diatas 2.
Elementary event.
Events yang diperinci dalam event yang lain dsebut dengan elementary events (dengan simbol
huruf cil e1,e2, e3..,en).
Pada experiment melempar dadu, elementary eventnya adalah angka 1, angka 2, angka 3, …,
angka 6. Angka ganjil merupakan event, tapi bukan merupakan elementary event.
Pada pelemparan sepasang dadu akan menghasilkan 36 elementary events yang mungkin
(outcomes). Untuk setiap 6 elementary events yang mungkin untuk satu dadu, maka ada 6
kemungkinan juga untuk dadu yang kedua.
Ruang sampel
Ruang sampel adalah semua elementary events yang mungkin
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6.1)
(6.2)
(6.3)
(6.4)
(6.5)
(6.6)
a) Ruang sampel untuk experiment pelemparan 1 koin adalah (H,T)
b) Ruang sampel untuk experiment pelemparan 2 koin adalah (H1H1, H1T1, H2T1, H2T2)
c) Ruang sampel untuk experiment pelemparan 1 dadu adalah (1,2,3,4,5,6)
Unions dan Intersections
Union dari X dan Y adalah X U Y
Jika X = (1,4,7,9) dan Y = (2,3,4,5,6)
X U Y = (1,2,3,4,5,6,7,9)
X
Y
Intersection dinyatakan X n Y
Union dari X dan Y adalah X n Y
Jika X = (1,4,7,9) dan Y = (2,3,4,5,6)
X n Y = (4)
X
Y
Mutually Exclusive Event.
Mutually excluisive events itu suatu kondisi dimana satu peristiwa terjadi menghalangi peristiwa
yang lain dan sebaliknya (tidak mungkin terjadi secara bersama sama, sehingga tidak ada
interseksi/irisan dalam himpunan).
Contoh.
Melempar koin
Probabilitas the mutually exclusive events pada waktu yang sama adalah nol, sehingga
notasinya:
P(XnY) = 0 atau P(XUY) = 0
Independent Events.
Ndependents events terjadi jika satu peristiwa terjadi atau (tidak terjadi) tidak menghalangi
peristiwa lain untuk terjadi (atau tidak terjadi).
Contoh.
Pelemparan koin atau dadu. Jika pada pelemparan pertama keluar angka 6, maka pada
pelemparan kedua tidak menghalangi angka 6 untuk keluar lagi. Probabilitas angka 6 pada angka
6 tetap 1/6 berapapun pelemrana yang dilakukan.
Banyak eksperimen yang menggunakan seleksi random menghasilkan independent atau
dependent events.
Jika seorang ingn mengambil sampel secara random baut yang rusak dari sebuah kotak yang
berisi baut rusak sebanyak 5%, maka probabilitas kerusakan pada pengambilan baut pertama
adalah 5% dan jika baut pertama dikembalikan ke kotak, maka probabilitas tngkat kerusakan
tetap 5%.
P(X I Y) =P(X) dan P(Y I X) =P(Y)
Probabilitas terjadinya peristwa X dengan syarat peristwa Y terjadi dan Probabilitas terjadinya
peristwa Y dengan syarat peristwa X terjadi.
Independent Events.
Ndependents events terjadi jika satu peristiwa terjadi atau (tidak terjadi) tidak menghalangi
peristiwa lain untuk terjadi (atau tidak terjadi).
Contoh.
Pelemparan koin atau dadu. Jika pada pelemparan pertama keluar angka 6, maka pada
pelemparan kedua tidak menghalangi angka 6 untuk keluar lagi. Probabilitas angka 6 pada angka
6 tetap 1/6 berapapun pelemrana yang dilakukan.
Collectively Exhausted Events.
Collectively exhausted events menjelaskan all possible elemetary events untuk suatu
eksperimen. Jadi all sample space (seluruh ruang sampel) adalah Collectively exhaustive lists.
Contoh collectively exhaustive lists.
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6.1)
(6.2)
(6.3)
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Complementary Events.
Komplemen event A (dengan simbol Ᾱ).
Semua elementary events dari suatu eksperimen yang bukan aggota A merupakan
komplementary A.
Contoh.
Jika event A adalah memperoleh angka 5, maka komplementary A adalah 1,2,3,4,6.
P ( Ᾱ) = 1 – P(A)
Ruang sampel untuk pelemparan 2 koin adalah {H1H2, H1T2, T1H2, T1T2}. Jika event A adalah
outcome H1,H2, maka komplementary A adalah {H1T2, T1H2, T1T2}
4.4 Empat Jenis Probabilitas
Ada 4 jenis probabilitas:
1) Marginal probablity P(E) dihitung dengan membag antara subtotal dan total. E adalah event.
Contoh, probabilitas seseorang memiliki 1 mobil ford dihitung dengan membagi jumlah
pemilik ford dan jumlah pemilik mobil. Probabilitas orang menggunakan kacamata dalah
membagi jumlah orang berkacamata dan jumlah orang.
2) Union probability