matriks - Directory UMM

MATRIKS
OLEH :
S U C I P U S P O R I NI ( 0 9 3 20 0 1 4 )
RISKY NOORWIYADI (09320020)
MATKOM 3-A
KAPITA SELEKTA SMA
Sub Bahasan
Definsi Matriks
→ Macam – macam Matriks
→ Operasi Matriks
→ Determinan, Adjoin dan Invers
→
MATRIKS
merupakan susunan bilangan-bilangan yang
berbentuk siku-empat terdiri dari baris dan kolom
dengan diapit oleh sepasang kurung siku.
Back
Macam – Macam Matriks
 Berdasarkan ordonya terdapat 5 jenis matriks
go
 Berdasarkan elemen-elemen penyusunnya
terdapat 9 jenis matriks
go
Back
Berdasar Ordonya
 Matriks Persegi
 Matriks Baris
 Matriks Kolom
 Matriks Tegak
 Matriks Datar
next
a) Matriks persegi
matriks yang berordo nxn atau banyaknya baris
sama
dengan banyaknya kolom.
b) Matriks Baris
matriks yang berordo 1xn atau hanya memiliki satu
baris.
c) Matriks Kolom
matriks yang hanya memiliki satu kolom.
d) Matriks Tegak
matriks yang berordo mxn dengan m>n.
e) Matriks Datar
matriks yang berordo mxn dengan m<n
back
Berdasar elemen penyusunnya
 Matriks Nol
 Matriks Diagonal
 Matriks Skalar
 Matriks Simetri
 Matriks Simetri Miring
 Matriks Identitas (satuan)
 Matriks Segitiga Atas
 Matriks Segitiga Bawah
 Matriks Transpose
nex
t
Matriks Nol
matriks yang semua elemen penyusunnya adalah nol dan dinotasikan sebagai O.
Matriks Diagonal
matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonal utamanya adalah
nol.
Matriks Skalar
matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama dan elemen-elemen
selain diagonal utama adalah 0.
Matriks Simetri
matriks dimana susunan elemen-elemen antara matriks dengan transposenya
sama. C=CT; maka C adalah matriks simetris
Matriks Simetri Miring
Matriks simetri yang elemen-elemennya selain elemen diagonal saling berlawanan
Matriks Identitas (satuan)
matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya adalah satu dan
elemen yang lain adalah nol dan dinotasikan sebagai I.
Matriks Segitiga Atas
dikatakan segitiga atas jika aij = 0 untuk i>j dengan kata lain matriks persegi yang
elemen-elemen di bawah diagonal utamanya adalah nol.
Matriks Segitiga Bawah
dikatakan segitiga bawah jika aij = 0 untuk i<j dengan kata lain matriks persegi yang
elemen-elemen di atas diagonal utamanya adalah nol.
back
Matriks Transpose
matriks yang diperoleh dari memindahkan elemen-elemen baris menjadi elemen
pada kolom atau sebaliknya
Operasi Matriks
 Operasi kesamaan
go
 Penjumlahan dan Pengurangan dua Matriks
go
 Perkalian matriks dengan skalar
go
 Perkalian Dua Matriks
go
back
Operasi Kesamaan
dua buah matriks atau lebih dikatakan sama jika
dan hanya jika mempunyai ordo sama dan elemenelemen yang seletak juga sama
contoh :
A=
B=
C=
A = B, B ≠ C, A ≠ C
back
Penjumlahan dan Pengurangan Dua
Matriks
Penjumlahan
Suatu dapat dijumlahkan apabila kedua matriks
memiliki ordo yang sama.
contoh :
A=
B=
, maka A + B =
+
=
=C
elemen-elemen C diperoleh dari penjumlahan
elemen-elemen A dan B yang seletak, yaitu cij = aij
+bij
go
Pengurangan
Pengurangan matriks, jika A – B = C, maka elemenelemen C diperoleh dari pengurangan elemen-elemen
A dan B yang seletak, yaitu cij = aij-bij atau
pengurangan dua matriks dapat dipandang sebagai
penjumlahan matriks yaitu A + (-B)
contoh :
A=
B=
, maka A – B =
-
=
back
Perkalian Matriks dengan Skalar
Perkalian sebuah matriks dengan skalar, maka setiap
unsur matriks tersebut terkalikan dengan skalar
Contoh :
A=
, maka 2A = 2
=
back
Perkalian Dua Matriks
 Dua buah matriks atau lebih (misal matriks AB) dapat
dikalikan jika dan hanya jika jumlah kolom pada
matriks A sama dengan jumlah baris pada matriks B
A
B
AB
mxn
nxr
=
mxr
Contoh:
A=
B=
, A3x3 B3x1=
=
back
Determinan, Adjoin dan Invers Matriks
 Determinan.
 Adjoin matriks
 Invers Matriks
back
Determinan
 Determinan matriks adalah jumlah semua hasil perkalian
elementer yang bertanda dari Matriks A dan dinyatakan
dengan det(A) atau |A| (Howard Anton, 1991 : hal 67). Yang
dimaksud dengan perkalian dengan elemen bertanda adalah
perkalian elemen matriks dengan tanda +1 atau -1.
 Untuk mengetahui tanda +1 atau -1 dalam menentukan
determinan suatu matriks yaitu dengan menggunakan
permutasi sesuai besar peringkat matriks tersebut dan ada
atau tidaknya invers pada kolom.
 Invers terjadi pada suatu permutasi jika terdapat bilangan
yang lebih besar mendahului bilangan yang lebih kecil pada
hasil permutasi. Jika banyak invers genap dan nol maka tanda
+1 dan jika banyak invers ganjil maka tanda -1.
Contoh :
Matriks ordo 2x2
maka permutasi dari bilangan
bulat 1 dan 2 diambil bersamaan adalah 2!=2 yaitu
1 2 dan 2 1(untuk kolom) sedangkan baris selalu
berurutan.
Maka determinan dari matriks ordo 2x2 adalah
+1(a11.a22)-1(a12.a21) = a11.a22 – a12.a21
maka determinannya adalah
Jika matriks dalam bentuk
ad-bc
Determinan untuk 3x3 dapat dicari dengan cara :
1. Metode Sarrus
2. Metode Minor dan Kofaktor
1. Metode Sarrus.
Misal matriks A =
- - + + +
 Maka |A| = aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi.
Cara ini hanya berlaku pada matriks berordo 3x3.
2. Metode minor dan kofaktor.
Minor suatu matriks A dilambangkan dengan Mij adalah
matriks bagian dari A yang diperoleh dengan cara
menghilangkan elemen-elemennya pada baris ke-i dan
elemen-elemen pada kolom ke-j.
Contoh : A=
maka :
M11 =
=
M12 =
=
M13 =
=
Kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari
matriks A dilambangkan dengan α ij = (-1)i+j
Untuk mencari det(A) dengan metode minor dan kofaktor cukup
mengambil satu ekspansi saja misal ekspansi baris ke-1 atau kolom
ke-1.
Contoh : H =
Untuk mencari |H| dengan metode minor dan kofaktor adalah
harus mencari determinan minornya terlebih dahulu yang diperoleh
dari ekspansi baris ke-1, yaitu det(M11), det(M12), det(M13), maka,
|M11| = (2x2)-(1x0) = 4
|M12| = (0x2)-(1x2) = -2
|M13| = (0x0)-(2x2) = -4
|H| = h11α11 + h12α12 + h13α13
= h11.(-1)1+1|M11| + h12.(-1)1+2|M12| + h13.(-1)1+3|M13|
= (1.4) + (2.(-1.-2)) + (1.-4)
=4+4–4=4
Adjoin Matriks
Adjoin Matriks adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks
tersebut, dilambangkan dengan adj A = (αij)T
Contoh :
H=
kita telah mengetahui sebelumnya α11= 4, α12= 2, α13= -4,
α21= (-1)2+1
-4, α22= (-1)2+2
α23= (-1)2+3
, α31= (-1)3+1
α32= (-1)3+2
-1, α33= (-1)3+3
maka adj H =
=
0
=0
=2
Invers Matriks
Jika A dan B matriks persegi nxn sedemikian hingga
AB=BA=I, B disebut invers A (B=A-1) dan A disebut
invers B (A=B-1) sehingga berlaku A A-1= A-1A=I, I
adalah identitas.
Invers matriks A dirumuskan A-1 = .Adj(A)
Contoh : matriks H=
Kita ketahui sebelumnya |H| = 4, dan Adj(H)=
=
Maka H-1= .
=