Geometri Taxicab - ahmadihetsugaya

Geometri Taxicab
1.
2.
3.
4.
Kelompok:
Sri Lestari
Mia Saskia
Ayu Wulansari
Ahmadi
(093174202)
(093174204)
(093174212)
(093174218)
Berapa jarak terpendek antara dua titik pada
bidang dimensi dua di bawah ini?
Teorema Pythagoras ?
a b  c
2
2
2
3 4 c
2
9  16  c
2
2
2
25  c
2
25  5
Jadi jarak antara dua titik di atas adalah 5 unit (SP).
Rumus Jarak (The Distance Formula)
Jarak terpendek antara dua titik adalah sebuah
garis lurus.
Rumus jarak terpendek antara dua titik pada
bidang dimensi dua adalah:
Dalam Geometri Euclidean, dapatkah
Anda ditemukan lintasan lain yang sama
dengan jarak terpendek?
Tidak, dalam Geometri Euclid
hanya satu lintasan yang
merupakan jarak terpendek.
Realistislah!
Ketika Anda bepergian dengan mobil jarak
terpendek antara dua lokasi ini tetap garis
lurus, tapi jalur ini tidak mungkin menjadi
pilihan untuk dilalui.
Jarak Bergantung pada Ruangnya
 Pada abad ke-19, Hermann
Minkowski, mengusulkan sebuah
keluarga metrik dimana konsep
jarak berbeda bergantung pada
ruang yang dimaksud
 Gagasan Minkowski membantu
Albert Einstein mengembangkan
Teori Relativitas.
"Geometri Taxicab" Pertama dicetuskan
• Karl Menger adalah orang pertama
yang menggunakan istilah "taxicab"
untuk menggambarkan metrik
Minkowski dalam buklet "You Will
Like Geometry".
• Istilah lain taxicab metrik:
Manhattan Distance, city block
distance, or Manhattan length.
• Pada tahun 1952, Menger
mengadakan sebuah pameran
geometri taxicab di Museum Sains
dan Industri di Chicago.
Sejak diperkenalkan pada 1800-an, Geometri Taxicab telah
mengalami periode aplikasi yang sangat menarik dan
praktis, sekaligus periode marjinalisasi dan menerima
perhatian kembali pada tahun 1975 ketika Eugene Krause,
seorang profesor Matematika di University of Michigan,
menerbitkan sebuah buku terperinci berjudul
"Taxicab Geometry: An Adventure in Non-Euclidean
Geometry".
Geometri Taxicab
Geometri Non-Euclid
Rute yang akan dilalui taksi
Tidak dapat memotong bangunan
Terbatas untuk jalan-jalan berpetak dan
arus lalu lintas satu arah
Jarak Taxicab
Lintasan terpendek antara 2 titik
• sedikitnya jumlah blok taksi harus menempuh
sepanjang jalan
• titik pada persimpangan (x, y)
• Koordinat berupa bilbul
Contoh :
Berapa jarak terpendek
taksi dari titik (0, 0) ke
(1, 2)?
Aktivitas Jarak Taxicab
File GeoGebra
1.
2. Rumus Jarak Taxicab
Lokasi
Awal
Lokasi
Akhir
Jarak Taxicab
(0,0)
(2,1)
3 blok
(0,0)
(1,3)
4 blok
(0,0)
(3,2)
5 blok
(1,3)
(2,1)
3 blok
(1,3)
(3,2)
3 blok
(2,1)
(3,2)
2 blok
dT  | x2  x1 |  | y2  y1 |
Pada tahun 1975, dengan menggunakan
metrik dierent di R2 for A = (x1, y1); B = (x2,
y2); E. F. Krause telah menetapkan
geometri baru, dinamakan geometri
taxicab. Dia menyebutkan dalam bukunya,
Taxicab Geometry, bahwa geometri
taxicab adalah geometri non-Euclidean
dan berbeda dari geometri Euclidean
yang hanya satu aksioma (S-Sd-S)
0
S-Sd-S tidak berlaku dalam geometri taxicab
(Schattschneider, 1984:2)
Ringkasan…
• Jarak
– Lintasan terpendek antara dua titik.
• Geometri Euclid
– Ada satu lintasan, suatu garis lurus, yang menggambarkan jarak
terpendek antara dua titik.
• Ditemukan menggunakan:
d  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2
• Geometri Taxicab
– Lintasan terpendek antara dua titik yang dibatasi oleh garis petak
dan jalan-jalan.
• Ditemukan menggunakan:
dT  | x2  x1 |  | y2  y1 |
– Apakah hanya ada "satu" lintasan terpendek antara dua titik?????
Berapa banyak lintasan yang dapat
ditemukan??
Berapa jumlah lintasan yang ada?
Apakah jumlah lintasan berkaitan dengan jarak?
Berapa banyak lintasan
yang ditemukan antara
titik A (0,0) dan B (2,2)?
Pikirkan Kombinasi “!”
Apakah ada cara agar kita dapat menemukan
jumlah lintasan ?
Dengan menggunakan kombinasi, kita
dapat menemukan jumlah lintasan dengan
rumus untuk C (m, k ) ; dengan m adalah jarak
antara dua titik:
 m
m!
  
 k  (m  k )! k!
m=jarak
Kita definisikan jarak antara dua titik awal sebagai perubahan
horisontal (x) ditambah perubahan vertikal (y).
yk
x
n
Aljabar !
• Sekarang kita dapat menentukan jarak n dan
k, dimana n mewakili x dan k mewakili y.
jika  m 
m!
  
 k  (m  k )! k!
• Subtitusikan n+k untuk jarak m, maka:
n  k 
(n  k )!
(n  k )!

 

n!k!
 k  (n  k  k )! k!
Mari kita cek…
n  k 
(n  k )!
(n  k )!

 

n!k!
 k  (n  k  k )! k!
 2  2  (2  2)! 4!

 

2!2!
2!2!
 2 
4  3  2! 4  3 12



6
2!2!
2
2
Berapa banyak lintasan yang kamu katakan dapat kita
temukan titik-titik A dan B?
Jawaban
Apakah itu selalu berhasil?
( n  k )! (1  3)! 4! 24



4
1!3!
1!3! 6
n! k!
Apakah Anda perhatikan sesuatu?
(n  k )! (2  1)! 3! 6


 3
2!1!
2!1! 2
n!k!
k
n
Cari jumlah lintasan!
(| n |  | k |)! (| 2 |  | 1 |)! 3! 6


 3
| n |!| k |!
| 2 |!| 1 |!
2!1! 2
Excel File
Jumlah Lintasan Terpendek
Jumlah lintasan Terpendek di Setiap Persimpangan
Perhatikan polanya?
Geometri Euclid VS. Geometri Taxicab
Taxicab
Euclid
d E  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2
Lintasan terpendek
adalah garis lurus.
Geometri
Rumus Jarak
Titik-titik
Lintasan terpendek adalah
lintasan di mana sedikitnya
jumlah blok yang dilalui untuk
sampai dari satu titik ke titik
berikutnya.
Garis-garis
Biasanya memiliki lintasan
majemuk terpendek.
Lintasan Terpendek
Koordinat Bidang
Hanya satu lintasan
terpendek
dT  | x2  x1 |  | y2  y1 |
Jumlah lintasan
ditemukan dengan
rumus  n  k   (n  k )!
 k 


n!k!
Jarak
 Pada garis bilangan
d ( P, Q)  xP  xQ 
x
P
 xQ 
2
 Pada bidang dimensi dua
– Koordinat sistem miring () atau persegi panjang
x  x   y  y   2.x
 x  x   y  y 
2
P
2
Q
P
Q
2
P
Q
2
P
Q
P
 xQ 
. yP  yQ . cos 
Sistem Aksioma untuk Geometri Metrik
Rumus untuk pengukuran  metrik
– Contoh terlihat pada slide sebelumnya
Hasil dari Activitas 5.4
– Jarak  0
– PQ + QR  RP
(Ketaksamaan Segitiga)
–
PR
1
PQ  QR
Rumus Jarak Euclid
• Theorem 5.1
Rumus Jarak Euclid
d  P, Q  
x
 xQ    yP  yQ 
2
P
2
memenuhi ketiga aksioma metrik
Maka, rumusnya adalah sebuah metrik di  2
• Buktikan ketiganya memenuhi 3 aksioma!!!
Rumus Jarak Taxicab
• Pertimbangkan rumus ini
dT ( P, Q)  xP  xQ  yP  yQ
Jadi,
rumus
jarak
• Apakah rumus jarak ini memenuhi ketiga
taxicab adalah
aksioma?
2
–
metrik
di

P  Q  d ( P, Q)  0
T
–
– dT ( P, Q)  dT (Q, P)
dT ( P, Q)  dT (Q, R)  dT ( R, P)
Sistem Aksioma untuk Geometri Metrik
• Aksioma untuk ruang metrik
Misal ada titik P, Q, dan R, dan diketahui d (P, Q)
menunjukkan jarak dari P ke Q.
1. d(P, Q)  0
d(P, Q) = 0  P = Q
2. d(P, Q) = d(Q, P)
3. d(P, Q) + d(Q, R)  d(P, R) (Reynolds 124)
Bukti Rumus Jarak Taxicab adalah sebuah metrik:
Misal P(xP , yP) , Q( xQ , yQ ) and R(xR , yR)  
 P=Q
 Aksioma metrik 1: d(P,Q)≥0 dan d(P,Q)=0
P = Q  d(P,Q) = d(P, P)
 xP  xQ  yP  yQ  0  0  0
P ≠ Q  xP ≠ xQ ; yP ≠ yQ dan xP  xQ  0 ; y P  yQ  0
Ambil xP ≠ xQ sehingga xP  xQ  y P  yQ  xP  xQ  0
Jadi, x p  x p  y p  y p  0
 Aksioma metrik 2 : d(P,Q) = d(Q, P)
2
d(P, Q)  xP  xQ  y P  yQ   1xP  xQ    1y P  yQ 
  1 xQ  xP    1  yQ  y P   xQ  xP   yQ  y P 
 d(Q, P)
Aksioma metrik 3: d(P,Q) + d(Q, R) ≥ d( P,R)
Misal P , Q , and R tak kolinear, sehingga
membentuk sebuah segitiga.
d(P, Q)  d(Q, R)  xP  xQ  y P  yQ  xQ  xR  yQ  y R

x

  y
 xP  xQ  xQ  xR  y P  yQ  yQ  y R
P
 xQ  xQ  xR
 d( P, R)
Jadi, d(P,Q) + d(Q, R) ≥ d( P,R)
P
 yQ  y Q  y R


Jarak Euclidean ≤ Jarak Taxicab
Bukti:
Diketahui 0  2 xP  xQ y P  yQ
2
2
2
2
xP  xQ  y P  yQ  0  xP  xQ  y P  yQ  2 xP  xQ y P  yQ
 xP  xQ   y P  yQ   0  xP  xQ  y P  yQ  2 xP  xQ y P  yQ
2
2
2

 xP  xQ   y P  yQ   xP  xQ  y P  yQ
2
2
 xP  xQ   y P  yQ  
2
2
x
P
2

2
 xQ  y P  yQ

2
 xP  xQ   y P  yQ   xP  xQ  y P  yQ
2
2
d E  dT
Jadi, jika xP =xQ ; yP=yQ maka dE=dT
dan jika xP ≠ xQ ; yP ≠ yQ maka dE ≠ dT
Lingkaran
 Mengingat Definisi Lingkaran:
himpunan titik-titik di R2 (tempat kedudukan
titik-titik) pada bidang datar yang berjarak
sama ke sebuah titik tertentu.
Atau lingkaran  P : d ( P, C)  r, r  0, C tetap
 Catatan: definisi ini tidak memberitahu kita
apa metrik yang digunakan!
Definisi
Misal A (0, 0). Grafik semua titik P sehingga
PA = 6.
A
Apa nama untuk sekumpulan titik ini?
Lingkaran-Taxi
Mengingat kembali
Lingkaran Taxicab
Semua titik dengan jarak
taxicab 3 dari titik P.
Lingkaran-Taxi
• Tempatkan pusat lingkaran taksi pada titik asal.
• Tentukan persamaan garisnya.
• Perhatikan bagaimana
setiap titik pada garis
memiliki jarak taxi-cab = r
Ellips
Definisi Ellips:
Tempat kedudukan titik-titik sehingga
perbandingan jarak ke titik tertentu (fokus F)
dan terhadap garis tertentu (direktriks d) tetap,
yaitu sama dengan e dan e > 1 (=eksentrisitas)
ellips  P : d ( P, F1  d ( P, F2 )  d , d  0, F1 , F2 tetap
Taxicab Ellips
Pertimbangkan dua titik F1(0, 0) dan F2(6, 0).
Cari tempat kedudukan titik P sehingga
d(P, F1)+d(P,F2)= 10
F1
F2
Ellips
•
•
•
•
Aktivitas 5.2
Catat hasil tempat kedudukan titik-titik
Setiap titik memenuhi definisi ellips .
Apa yang terjadi pada
fokus yang semakin
dekat sec. bersamaan?
Ellips
• Sekarang gunakan taxicab metrik
• Pertama dengan dua titik pada sebuah
diagonalnya
Ellips
• Hasil akhirnya adalah sebuah segi delapan
• Ujung-ujung yang
mana kedua sisinya
saling berpotongan
Ellips
 Jika fokusnya adalah vertikal
Ellips
• Hasil akhirnya adalah sebuah segienam
• Sekali lagi, empat dari
Sisi dimana sisi dari kedua
"Lingkaran" saling
berpotongan.
Jarak– Titik ke Garis
 Kita gunakan sebuah lingkaran
– Menyinggung garis
– Terpusat pada titik tersebut
 Jarak adalah jari-jari
lingkaran yang memotong
garis tepat di satu titik.
garis a adalah ┴ dengan
garis l.
Jarak sebuah titik a ke
sebuah garis a adalah
pada a ┴
Jarak– Titik ke Garis
• Aplikasikan ini pada lingkaran taxicab
– Activitas 5.8, temukan jari-jari lingkaran tependek
yang menyinggung garis di tepat satu titik
• Catatan:
kemiringan garis
-1<m<1
• Aturan?
Jarak – Titik ke Garis
• Ketika kemiringan, m = 1
• Apa aturan untuk jaraknya?
Jarak – Titik ke Garis
• Ketika |m| > 1
• Apa aturannya?
Parabola
• Persamaan kuadrat y  a  x  b  x  c
• Parabola {P : d ( P, F )  d ( P, k )}
2
– Semua titik berjarak sama dari sebuah titik tetap
dan sebuah garis tetap
– Garis tetapnya
dinamakan
direktriks
Taxicab Parabola
• Dari definisinya
{P : d ( P, F )  d ( P, k )}
• Pertimbangkan penggunaan taxicab metrik
Taxicab Parabola
• Ingat
– Semua jarak adalah taxicab-metrik
Jarak
Taxicab
Taxicab Parabola
• Ketika direktriks punya kemiringan < 1
Taxicab Parabola
• Ketika direktriks punya kemiringan > 0
Taxicab Parabola
• Apa yang dibutuhkan agar "parabola" terbuka
ke bawah ?
Kedudukan (Locus) titik-titik Berjarak
Sama dari Dua Titik
Taxicab Hiperbola
Aplikasi Geometri Taxicab





Penyederhanaan Asumsi
Sebuah model yang lebih baik untuk
geometri perkotaan
Dalam membuat asumsi model selalu
dilakukan.
Semua jalan berpetak “bagus”.
Jalan tidak mempunya lebar
Bangunan adalah “pola titik".
Aplikasi Geometri Taxicab- A
Satu masalah yang diuraikan dalam
buku Krause adalah sebagai berikut...
Ada 3 sekolah menengah di Kota Ideal. Fillmore di
(-4, 3), Grant di (2, 1), dan Harding di (-1, -6). Tarik
garis batas kabupaten sekolah sehingga setiap
siswa di Kota Ideal masuk sekolah menengah
terdekat dari rumahnya.
Hal pertama yang harus dilakukan adalah membentuk
batasan antara setiap pasang sekolah. Karena Fillmore
dan Grant berada 8 blok terpisah, tempat kedudukan
titik berjarak sama di antara keduanya adalah garis
biru. Fillmore dan Harding berada 12 blok terpisah,
tempat kedudukan titik berjarak sama di antara
keduanya adalah garis hitam. Dan karena Grant dan
Harding berada 10 blok terpisah, tempat kedudukan
titik berjarak sama di antara keduanya adalah garis
merah.
Karena ada 3 sekolah garis pemisah sesungguhnya
ditentukan oleh himpunan garis tebal. Maka, Grant
akan melayani mereka yang tinggal di daerah
kuning, Harding akan melayani orang-orang di
daerah abu-abu, dan Fillmore akan melayani orangorang di daerah teal.
Simak pertanyaan ... Burger Baron ingin membuka kios hamburger berjarak sama dari 3
sekolah tinggi. Di mana seharusnya mereka menempatkannya? Jawab di (-2, -1) karena
6 blok dari masing-masing.
Aplikasi - B
Masalah lain yang diuraikan oleh
Krause ...
Ajax Industrial Corporation ingin
membangun sebuah pabrik di
Kota Ideal pada lokasi di mana
jumlah jarak perusahaannya dari
stasiun kereta api C = (-5, -3) dan
bandara D = (5, -1) adalah paling
banyak 16 blok. Untuk tujuan
kontrol kebisingan peraturan kota
melarang
lokasi pabrik manapun dalam 3 blok dari perpustakaan umum L = (-4, 2). Dimana Ajax bisa
membangunnya?
Solusi untuk masalah ini diuraikan oleh garis tebal yang diuraikan di bagian kanan atas. Ini jelas
merupakan solusi ellips dengan cekungan perpustakaan. Menariknya, dan yang disarankan oleh
buku, kita gunakan lingkaran Euclid bukan lingkaran Taxicab untuk dipotong perpustakaan.
Kenapa?
Bunyi tidak merambat pd garis lurus. Oleh karena itu, 3 blok Euclid dipotong yang mana lebih
besar dari potongan Taxicab tegangan (lihat garis putus-putus) adalah tepat.
Aplikasi - C
• Kita ingin gambar perbatasan kabupaten
sekolah sehingga setiap siswa akan
bersekolah di sekolah terdekat. Ada tiga
sekolah: Jefferson at (-6, -1), Franklin di (-3, 3), dan Roosevelt di (2,1).
• Temukan "garis" yang berjarak sama dari
setiap tempat kedudukan sekolah
Solusi permasalahan kabupaten sekolah
Geometri Taxicab dalam Game
• OGRE battle / FF Tactics