Distribusi Teoritis:

1
DISTRIBUSI
PROBABILITAS /
PELUANG
Distribusi Peluang (Probabilitas)
2


Kunci aplikasi probabilitas dalam statistik adalah
memperkirakan terjadinya peluang/probabilitas
yang dihubungkan dengan terjadinya peristiwa
tersebut dalam beberapa keadaan.
Jika kita mengetahui keseluruhan probabilitas dari
kemungkinan outcome yang terjadi, seluruh
probabilitas kejadian tersebut akan membentuk suatu
distribusi probabilitas.
Distribusi Peluang (Probabilitas)
3
•
•
Distribusi probabilitas adalah sebuah susunan
distribusi yang mempermudah mengetahui
probabilitas sebuah peristiwa.
Merupakan hasil dari setiap peluang peristiwa.
Contoh Distribusi Peluang
4
Ada tiga orang calon mahasiswa yang akan
mendaftar di UDINUS di fakultas ekonomi dan bisnis.
Terdapat dua jurusan yaitu Akuntansi dan
Manajemen. Ketiga calon mahasiswa tersebut bebas
memilih jurusan tempatnya akan kuliah, bisa di
Akuntansi semua, di Akuntansi dan Manajemen, atau
di Manajemen semua. Berikut adalah kemungkinan
dari pilihan ketiga calon mahasiswa tersebut.
Contoh Distribusi Peluang
5
Kemungkinan
Pilihan
1
2
3
Jumlah pilihan
Akuntansi
1
AKT
AKT
AKT
3
2
AKT
AKT
MNJM
2
3
AKT
MNJM
AKT
2
4
AKT
MNJM
MNJM
1
5
MNJM
AKT
AKT
2
6
MNJM
AKT
MNJM
1
7
MNJM
MNJM
AKT
1
8
MNJM
MNJM
MNJM
0
N (Total kemungkinan terjadinya peristiwa) = 23 = 8
Pertanyaan :
a. Berapa peluang ketiganya akan memilih Akuntansi ?
Variabel Random (Acak) :
6


a.
b.
adalah sebuah ukuran/besaran yang merupakan
hasil suatu percobaan/kejadian yg terjadi secara
acak/untung-untungan dan mempunyai nilai yang
berbeda-beda.
Variabel acak ada 2 yaitu :
Variabel acak diskret
Variabel acak kontinu
Variabel Acak ada 2 :
7
Variabel Acak Diskrit
Biasanya dalam bentuk bilangan bulat dan
dihasilkan dari perhitungan.
 variabel acak kontinu :
Biasanya dihasilkan dari pengukuran dan bukan
perhitungan.

Contoh :
8
S = {BBB, BBC, BCB, CBB, BCC, CBC, CCB,
CCC}
dengan B menunjukkan “tanpa cacat (baik)”
dan C menunjukkan “cacat”.
 Variabel random X yang menyatakan jumlah
barang yang cacat pada saat tiga komponen
elektronik diuji, maka ditulis X = 0, 1, 2, 3.

Variabel random diskrit:
9

Jika suatu ruang sampel berisi sejumlah
kemungkinan terhingga atau urutan yang tidak
terbatas dengan unsur sebanyak bilangan bulat,
maka ruang sampel ini disebut Ruang Sampel
Diskrit, dan variabel random yang didefinisikan
disebut Variabel Random Diskrit.
Variabel random diskrit:
10
PERCOBAAN
Penjualan Mobil
VARIABEL
RANDOM
Jenis Kelamin
Pembeli
KEMUNGKINAN
NILAI VARIABEL
RANDOM
0 = Jika laki-laki
1 = Jika Wanita
Penelitian Terhadap Jumlah Produk yang 0,1,2,3,...,50
50 Produk Baru
Rusak
Pencatatan
Jumlah Pengunjung
Pengunjung Restoran
Pada Suatu Hari
0,1,2,3,....dst
Variabel random kontinu:
11

Jika suatu ruang sampel berisi sejumlah kemungkinan
terhingga atau urutan yang tidak terbatas dengan
unsur sebanyak bilangan pecahan atau desimal,
maka ruang sampel ini disebut Ruang Sampel
Kontinue, dan variabel random yang didefinisikan
disebut Variabel Random Kontinu.
Variabel random kontinu:
12
PERCOBAAN
VARIABEL
RANDOM
KEMUNGKINAN
NILAI VARIABEL
RANDOM
0 <= X <= 600
Isi Botol minuman
jadi (max=600 ml)
Jumlah milimeter
Penimbangan 20
paket kemasan
(max = 2 kg)
Jarak BogorJakarta
Berat sebuah paket 0 <= X <= 2
kesaman (kg)
Ukuran km
80 km; 80,5 km ;
80, 57 km
Distribusi yang tergolong ke dalam
Distribusi Peluang diskrit antara lain :
13
Distribusi
Binomial
(Bernauli)
Distribusi
Hipergeom
etrik
Distribusi
Multinomial
Distribu
si
Poisson
Distribusi Binomial
(Distribusi Probabilitas Diskrit)
14
Penemu Distribusi Binomial adalah James
Bernaulli sehingga dikenal sebagai Distribusi
Bernaulli.
 Menggambarkan fenomena dengan dua hasil
atau outcome. Contoh: peluang sukses dan
gagal,sehat dan sakit, dsb.

Syarat Distribusi Binomial
15
Jumlah trial merupakan bilangan bulat. Contoh
melambungkan coin 2 kali, tidak mungkin 2 ½
kali.
 Setiap
percobaan (trial) harus bersifat
independen / saling bebas
 Setiap eksperiman mempunyai dua outcome
(hasil).
Contoh:
sukses/gagal,
laki/perempuan,
sehat/sakit,setuju/tidaksetuju.

Syarat Distribusi Binomial
16



Peluang sukses sama setiap eksperimen.
Contoh: Jika pada lambungan pertama peluang
keluar mata H/sukses adalah ½, pada lambungan
seterusnya juga ½. Jika sebuah dadu, yang
diharapkan adalah keluar mata lima, maka
dikatakan peluang sukses adalah 1/6, sedangkan
peluang gagal adalah 5/6.
Untuk itu peluang sukses dilambangkan p,
sedangkan peluang gagal adalah (1-p) atau biasa
juga dilambangkan q, di mana q = 1-p.
Distribusi Binomial
17

Banyaknya X sukses dalam n pengulangan
suatu percobaan bernoulli disebut sebagai
variabel random Binomial, sedangkan
distribusi probabilitasnya disebut distribusi
Binomial dan nilainya dinyatakan sebagai :
b(x|n,p) dimana x = 1, 2, …, n
 n  x nx
b( x; n, p )   p q
 x
 
Distribusi Binomial
18
P(X = x) = b (x | n, p ) = nCx . px . qn-x
n!
n Cx 
x! (n  x)!
dimana :
nCx = koefisien binomial
x = banyaknya peristiwa sukses.
n = banyaknya percobaan.
p = probabilitas peristiwa sukses
q = 1 – p ( probabilitas peristiwa gagal)
Rata-rata, Varians, dan Simpangan Baku
Distribusi Binomial.

Rata-rata (  ) = n . p

Varians ( 2) = n . p . q

Simpangan Baku () =
n .p .q
Contoh soal Distribusi Binomial
20
Probabilitas seorang bayi tidak di imunisasi
polio adalah 0,2 (p). Pada suatu hari di
Puskesmas “X” ada 4 orang bayi.
Hitunglah peluang dari bayi tersebut 2
orang belum imunisasi polio. Jadi, di
dalam kejadian binomial ini dikatakan b
(x=2, n=4, p=0,2)  b (2| 4; 0,2)
Penyelesaian Contoh Soal
21


Katakanlah bayi tersebut A,B,C,D. Dua orang tidak
diimunisasi mungkin adalah A&B, A&C, A&D, B&C,
B&D, C&D.
Rumus untuk b (x | n,p) adalah
22
Penyelesaian dengan Tabel
Binomial



Caranya adalah dengan menentukan n. misalnya dari
contoh soal adalah 4, dilihat pada kolom pertama
kolom kedua adalah kemungkinan x, dalam
permasalahan ini adalah x=2.
p dilihat pada baris paling atas dalam hal ini p=0,2,
ditarik garis dari p= 0,2 sampai ke n = 4dan x = 2,
ditabel didapatkan 0,973.
Ini adalah peluang kumulatif dari p (x=0) + p (x=1) +
p (x=2). Jadi kalau mau mendapatkan p(x=2) saja,
maka 0,973-0,819 = 0,154
Contoh
23
Probabilitas bahwa seorang pasien sembuh
dari penyakit darah yang langka adalah 0,4.
Bila 15 orang diketahui telah terkena penyakit
ini, berapakah probabilitas :





Paling sedikit 10 orang yang selamat
Dari 3 sampai 8 orang yang selamat
Tepat 5 orang yang selamat
Hitung rata-rata dan variansinya
Distribusi Poisson
(Distribusi Probabilitas Diskrit)
24


Dalam mempelajari distribusi Binomial kita
dihadapkan pada probabilitas variabel random
diskrit (bilangan bulat) yang jumlah trial nya kecil
(daftar binomial), sedangkan jika dihadapkan
pada suatu kejadian dengan p kecil sekali dan
menyangkut kejadian yang luas n besar sekali
maka digunakan distribusi Poisson.
Distribusi Poisson  dipakai untuk menentukan
peluang suatu kejadian yang jarang terjadi, tetapi
mengenai populasi yang luas atau area yang luas
dan juga berhubungan dengan waktu.
Distribusi Poisson
25


Jumlah X dari keluaran yang terjadi selama
satu percobaan Poisson disebut Variabel
random
Poisson,
dan
distribusi
probabilitasnya disebut distribusi Poisson.
Bila x menyatakan banyaknya sukses yang
terjadi ,  adalah rata-rata banyaknya sukses
yang terjadi dalam interval waktu atau
daerah tertentu, dan e = 2,71828 , maka
rumus distribusi Poisson adalah :
Rumus Distribusi Poisson
26
Pr( x ) 
 e
x

x!
Dimana :

= rata-rata distribusi
x = 0, 1, 2, 3, …., n
e = konstanta 2, 71828
Rata-rata, Varians, dan Simpangan
baku distribusi Poisson
27

Rata-rata:
E(X) =  =  = n . p =  2

Varians:
E(X - )2 =  2 = n . p = 

Simpangan Baku :
== n.p
Contoh Soal Distribusi Poisson
28


Diketahui probabilitas untuk terjadi shock pada
saat imunisasi dengan vaksinasi meningitis adalah
0,0005. Kalau di suatu kota jumlah orang yang
dilakukan vaksinasi sebanyak 4000. Hitunglah
peluang tepat tiga orang akan terjadi shock!
Penyelesaian:
μ = λ= n.p = 4000 x 0,0005 = 2
Penyelesaian dengan tabel Distribusi
Poisson
29
Baris = μ = λ
 Kolom = x
 P (x=3) = 0,857 -0,677 = 0,180

Contoh
30

Di suatu simpang jalan rata-rata terjadi 6
kecelakaan sebulan, maka hitunglah probabilitas :
 Pada
suatu bulan tertentu di simpang jalan itu terjadi 7
kecelakaan
 Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan terjadi
minimal 4 kecelakaan
 Pada suatu minggu tertentu di simpang jalan itu terjadi
4 kecelakaan
Hubungan Distribusi Poisson dengan
Distribusi Binomial
31
Distribusi Poisson sebagai suatu bentuk
pembatasan distribusi Binomial pada saat n
besar , sedangkan p mendekati 0 , dan np
konstan.
 Sehingga bila n besar dan p mendekati 0,
distribusi Poisson dapat digunakan untuk
memperkirakan probabilitas Binomial, dengan
 = np

Contoh
32

Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan
barang dari gelas, terjadi gelembung atau cacat
yang menyebabkan barang tersebut sukar
dipasarkan. Rata-rata 1 dari 1000 barang yang
dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung.
Hitung probablitas dalam sampel random sebesar
8000 barang akan berisi kurang dari 7 yang
bergelembung.
DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK.


Distribusi hipergeometrik juga termasuk distribusi
teoretis yang menggunakan variabel diskrit dengan
2 kejadian yang berkomplemen, seperti distribusi
binomial.
Ciri dari Hipergeometrik :
terdapat populasi sebanyak N dan terdapat
sebanyak r kategori A. Dari populasi ini, diambil
sebuah sampel acak berukuran n. Dari sampel
berukuran n tsb akan diketahui peluang bahwa
terdapat sebanyak x buah kategori A.
Perbedaan Distribusi Binomial dan
Distribusi Hipergeometrik, adalah :
Perbedaan utama antara distribusi binomial
dan distribusi hipergeometrik adalah :
 Pada distribusi binomial pengambilan sampel
dilakukan dengan pengembalian.
 Pada distribusi hipergeometrik pengambilan
sampel dilakukan tanpa pengembalian.
Rumus Distribusi Hipergeometrik
p( x) 
r
Cx
N r
N
Cn  x
Cn
dimana 0  x  r
p(x)= probabilitas x sukses dalam n percobaan
n = jumlah percobaan
N = jumlah elemen dalam populasi
r = jumlah elemen dalam populasi yang sukses
Rata-rata, Varians, Simpangan
Distribusi Hipergeometrik
Baku
36

Rata-rata:

Varians:

Simpangan Baku :
E(X) = 
n.r

N
n.r ( N  r )( N  n)
2 
N 2( N  1)
n.r ( N  r )( N  n)
 
N 2( N  1)
Contoh Soal D. Hipergeometrik
37
Suatu produk makanan ringan dikirim kepada
agen dalam kotak berisi 20 unit. Dari
pemeriksaan kualitas terdapat paling banyak
1 unit rusak. Pemeriksaan dilakukan terhadap
5 unit barang secara acak diambil dari tiap
kotak. Jika kotak berisi 4 unit barang, maka
peluang tidak terdapat lebih dari 1 unit
adalah :
Penyelesaian
38
N = 20
r =4
n =5
Rusak 0 unit  x = 0
p( x  0) 
4
C0
20 4
20
C50
C5
 0,2817
Penyelesaian (Lanjutan)
39

Rusak 1 unit  x = 1
p( x  1) 
4
C1
20 4
20
C51
C5
 0,4696
sehingga, peluang tidak terdapat lebih dari 1 unit
rusak adalah :
P ( x = 0 ) + P ( x = 1 ) = 0,2817 + 0,4696
= 0,7513
Distribusi Multinomial
40


Bila suatu percobaan binomial menghasilkan
lebih dari dua kemungkinan seperti suka, tidak
suka, cukup suka maka percobaan itu menjadi
percobaan Multinomial.
RUMUS DISTRIBUSI MULTINOMIAL :
n!
x1 x 2 x 3
xk
P(x1 , x 2 , x 3 ,..., x k ) =
P1 P2 P3 ...Pk
x1 !x 2 !x 3 !...x k !
Contoh Soal Distribusi Multinomial
41
Dikumpulkan barang yang dihasilkan masingmasing mesin A,B,dan C sebanyak 4, 6, dan 7
buah. Dari 17 barang diambil sebuah
dikembalikan lagi. Maka bila dari 6 barang
yang diambil akan diperoleh 2 dari mesin A, 3
dari mesin B, dan 1 dari mesin C.Tentukan
probabilitasnya!
Distribusi Normal
42
Pada kasus di mana n cukup besar dan p tidak
terlalu kecil (tidak mendekati 0,….,1 dilakukan
pendekatan memakai distribusi Normal
(Gauss)
 Ditemukan pertama kali oleh matematikawan
asal Prancis, Abraham D (1733), diaplikasikan
lebih baik lagi oleh astronom asall  Distribusi
Normal = Distribusi Jerman, Friedrich Gauss
Gauss

Distribusi Normal
(Distribusi Probabilitas Kontinu)
43

Kurva Normal dan Variabel Random Normal
 Distribusi
probabilitas kontinu yang terpenting adalah
distribusi normal dan grafiknya disebut kurva normal.
 Variabel random X yang distribusinya berbentuk
seperti lonceng disebut variabel random normal.




x
Karakteristik distribusi normal.





Distribusi normal memiliki dua parameter yaitu  dan
 yang masing-masing membentuk lokasi dan
distribusi.
Titik tertinggi kurva normal berada pada rata-rata.
Distribusi normal adalah distribusi yang simetris.
Simpangan baku mementukan lebarnya kurva.
Total luas daerah di bawah kurva normal adalah 1.
Karakteristik distribusi normal (Lanjutan)

Jika jarak dari masing-masing nilai x diukur dengan
simpangan baku , maka :
dapat ditulis sebagai berikut :
P ( - 1  X   + 1) = ± 68 %
P ( - 2  X   + 2) = ± 95 %
P ( - 3  X   + 3) = ± 99 %
Karakteristik Distribusi Normal
46
Sifat kurva normal, yaitu :
47





Kurva mencapai maksimum pada x  
Kurva setangkup terhadap garis tegak yang
melalui x  
Kurva mempunyai titik belok pada x    
Sumbu x merupakan asimtot dari kurva
normal
Seluruh luas di bawah kurva, di atas sumbu x
adalah 1
Distribusi Normal

Untuk mengubah distribusi normal menjadi distribusi
normal baku adalah dengan mencari variabel Z yang
didapat sbb :
X μ
Z 
σ
Bila x berada di antara x1 dan x2, maka variabel
acak z akan berada di antara z1 dan z2, dimana :
x1  μ
Z1 
σ
Z2
x2  μ

σ
Contoh soal Distribusi Normal
49
Dari penelitian terhadap 150 orang laki-laki yang
berumur 40 –60 tahun didapatkan rata-rata
kadar kolesterol mereka 215 mg % dan
simpangan baku Sd = 45 mg %. Hitunglah
peluang kita mendapatkan seorang yang kadar
kolesterolnya:
a. > 250 mg %
b. < 200 mg %
c. antara 200 –275 mg %