Pembagian suku banyak dengan

Suku
Banyak
Suku banyak adalah sebuah fungsi yang mempunyai
pangkat tinggi.
Bentuk Umum
SUKU BANYAK /
POLINOMIAL
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ...... + a1x1 + a0
Operasi antar suku banyak
Penjumlahan,
pengurangan,
perkalian
metode
menurun
metode
horner
Perkalian
metode
Horner Kino
metode substitusi
Mencari nilai suku banyak
metode horner/bagan/skema
Standart Kompetensi
6. Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah
Kompetensi Dasar
6.2 Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah
Indikator
1. Mendefinisikan pengertian suku banyak
2. Menentukan operasi antar suku banyak
3. Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear dan
kuadrat
4. Menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear dan kuadrat dengan
teorema sisa.
5. Membuktikan teorema sisa dan teorema faktor
28 /Matematika SMA XI (2)/MA Nurul Huda/By Triyanti Mandasari
Suku
Banyak
SUKU BANYAK
 Definisi Suku Banyak
Suku banyak adalah sebuah fungsi yang mempunyai pangkat tinggi.
 Bentuk Umum Suku Banyak
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ...... + a1x1 + a0
keterangan:
n = derajat suku banyak
a = koefisien suku banyak
an adalah koefisien dari x2
an-1 adalah koefisien dari xn-1
an-2 adalah koefisie dari xn-2
a0 disebut suku tetap (konstanta).
 Operasi Antar Suku Banyak
 Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian
Penjumlahan atau pengurangan sukubanyak f(x) dengan sukubanyak g(x)
dapat ditentukan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku
yang sejenis dari kedua suku banyak itu. Sedangkan perkalian suku banyak f(x)
dengan suku banyak g(x) dapat ditentukan dengan cara mengalikan suku-suku
dari kedua sukubanyak itu.
Contoh Soal
1. Diketahui dua buah sukubanyak f(x) dan g(x) dinyatakan dengan aturan
f(x) = x3 + x2 – 4 dan g(x) = x3 – 2x2 + x + 2. Tentukan:
a. f(x) + g(x)
b. f(x) – g(x)
c. f(x) ∙ g(x)
 Pembagian
Metode Pembagian Suku Banyak
Motode menurun
Sebagai ilustrasi, misalnya bilangan 578 dibagi dengan 5 dapat
diselesaikan dengan metode bersusun pendek seperti di perlihatkan pada
bagan di bawah. Dari bagan ini terlihat bahwa 578 dibagi dengan 5
memberikan hasil bagi 115 dengan sisa pembagian 2.
29 /Matematika SMA XI (2)/MA Nurul Huda/By Triyanti Mandasari
Suku
578
=
5
↑
x
115
↑
Yang dibagi
Pembagi
+
↑
hasil bagi
Banyak
2
↑
sisa pembagian
Dengan demikian, dapat dirumuskan secara umum sebagai berikut.
Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa pembagian
Contoh Soal
1. Carilah hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak f(x) = x3 + 2x2
+ 3x – 5 oleh (x – 2)!
Pembagian x3 + 2x2 + 3x – 5 oleh (x – 2) memberikan hasil bagi H(x)
= x2 + 4x + 11 dan sisa pembagian S = 17.
2. Carilah hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak f(x) = x3 + 2x2
+ 3x – 5 oleh (x – 2)!
Pembagian f(x) = x3 + 2x2 + 3x – 5 oleh (x – 2) memberikan hasil bagi
H(x) = 3x3 – 4x2 + 6x – 16 dan sisa pembagian S = 42.
Metode Horner/sintetis
Cara yang akan digunakan untuk membagi suku banyak dengan pembagi
berbentuk linear di kenal sebagai Metode Horner. Ada 2 macam pembagi
berbentuk linear yang akan dibicarakan disini, yaitu pembagi berbentuk (x –
k) dan (ax + b).
Pembagian suku banyak dengan (x – k)
Misalkan f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x1 + a0 dibagi dengan (x – k) maka diperoleh
hasil bagi H(x) dan sisa S. Secara umum dituliskan sebagai berikut:
f(x) = (x – k) . H (x) + S
Pembagian suku banyak dengan (ax + b)
𝑏
Bentuk umum suku banyak: f(x) = (x – k) . H (x) + S. Misalkan k = − 𝑎 ,
maka:
𝑏

f(x) = (𝑥 + 𝑎) . 𝐻(𝑥) + 𝑆

f(x) = 𝑎 (𝑎𝑥 + 𝑏). 𝐻(𝑥) + 𝑆

f(x) = (𝑎𝑥 + 𝑏). (
1
𝐻(𝑥)
𝑎
)+ 𝑆
30 /Matematika SMA XI (2)/MA Nurul Huda/By Triyanti Mandasari
Suku
Banyak
Contoh Soal
1. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak f(x) = x4 + x3 –
2x2 + x + 2 dengan x + 2!
Pembagian f(x) = f(x) = x4 + x3 – 2x2 + x + 2 oleh x + 2 memberikan
hasil bagi H(x) = x3 – x2 + 1 dan sisa pembagian S = 0.
2. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak f(x) = 3x3 + x2 + x
+ 2 dengan (3x – 2)!
Pembagian suku banyak f(x) = = 3x3 + x2 + x + 2 dengan (3x – 2)
memberikan hasil bagi x2 + x + 1 dengan sisa pembagian S = 4.
3. Tentukan Hasil bagi dan sisa dari (2x3 – 4x2 + 3x – 6) : (x – 4)!
Pembagian suku banyak (2x3 – 4x2 + 3x – 6) dengan (x – 4)
memberikan hasil bagi 2x2 + 4x + 19 dengan sisa pembagian S = 70.
4. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak f(x) = 3x5 – 2x4 +
2x3 – 5x2 + 7x – 10 dengan (x – 2)!
Pembagian suku banyak f(x) = 3x5 – 2x4 + 2x3 – 5x2 + 7x – 10 dengan
(x – 2) memberikan hasil bagi 3x4 + 4x3 +10x2 + 15x + 37 dengan sisa
pembagian S = 64.
Metode Horner Kino
Digunakan jika pembaginya tidak Linear, Misalkan suku banyak f(x) dibagi
dengan ax2 + bx + c (a ≠ 0 dan bentuk ax2 + bx + c dapat difaktorkan atau
yang tidak dapat difaktorkan).
Contoh Soal
1. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak f(x) = x 4 – 3x3 –
5x2 + x – 6 dengan x2 – x – 2!
Pembagian suku banyak f(x) = x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6 dengan x2 – x – 2
memberikan hasil bagi x2 – 2x – 5 dengan sisa pembagian (– 8x – 16)
2. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak f(x) = 4x4 + 2x3 +
2x2 + 10 dengan x2 – x – 3!
Pembagian suku banyak f(x) = 4x4 + 2x3 + 2x2 + 10 dengan x2 – x – 3
memberikan hasil bagi 4x2 + 6x + 18 dengan sisa pembagian (38x + 64)
31 /Matematika SMA XI (2)/MA Nurul Huda/By Triyanti Mandasari
Suku
Banyak
 Teorema Sisa
Misalkan f(x) adalah suku banyak, maka berlaku aturan berikut:

f(x) dibagi (x – a), sisa f(a)

f(x) dibagi (ax + a), sisa f(− 𝑎)
f(x) dibagi (x + a), sisa f(–a)
𝑏
f(x) habis dibagi (x – a), sisa f(a)
Teorema sisa untuk Pembagian Bentuk Kuadrat yg dapat difaktorkan (x – a)(x – b)

Jika fungsi suku banyak f(x) dibagi oleh (x–a)(x – b), selalu dapat dituliskan :
f(x) = p(x) . H(x) + s
f(x) = (x – a)(x – b) . H(x) + s(x)
f(x) = (x – a)(x – b) . H(x) + (px+q)
P adalah koefisien x dan q adalah konstanta
p=
𝒇(𝒂)−𝒇(𝒃)
q=
𝒂−𝒃
𝒂 .𝒇(𝒃)−𝒃 .𝒇(𝒂)
𝒂−𝒃
∴ 𝒔(𝒙) =
𝒇(𝒂)−𝒇(𝒃)
𝒂−𝒃
𝒙+
𝒂. 𝒇(𝒃)−𝒃 .𝒇(𝒂)
𝒂−𝒃
Mencari nilai suku banyak dapat dilakukan dengan 2 metode:
 Metode Substitusi (Kita tinggal mengganti x dengan nilai yang diminta)
 Metode Horner/Bagan/Skema/Sintetis
Contoh Soal
1. Tentukan sisa pembagian suku banyak f(x) = x4 – 6x3 – 6x2 + 8x + 6 dibagi
dengan (x – 2)! (– 34)
2. Tentukan sisa pembagian suku banyak f(x) = 2x3 + 9x2 – 6x + 4 dibagi
dengan (2x + 1)! (9)
3. Tentukan sisa pembagian suku banyak (3x4+4x3–x2+5x– 7) oleh (x – 2)!
(79)
4. Tentukan sisa pembagian suku banyak (3x4+4x3–x2+5x– 7) oleh (x2 + x – 6)!
(–5x + 89)
 Teorema Faktor

Suatu fungsi suku banyak f(x) memiliki faktor (x – k) jika dan hanya jika f(k) = 0.

Suatu fungsi suku banyak f(x) memiliki faktor (ax + b) jika dan hanya jika
𝑏
𝑓(− 𝑎)= 0
Contoh Soal
1. Buktikan bahwa (x – 2) dan (x + 3) adalah faktor-faktor dari suku banyak (2x4 +
7x3 – 4x2 – 27x – 18) !
32 /Matematika SMA XI (2)/MA Nurul Huda/By Triyanti Mandasari
Suku
Banyak
Catatan Kecil
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
DAFTAR PUSTAKA
 http://akbarpelatnas11.blogspot.com/2012/06/materi-suku-banyak-sma.html
 http://matematikastudycenter.com/bank-soal-un-mtk-sma/30-bank-soal-unmatematika-sma-suku-banyak-dan-teorema-sisa
 http://matematika-sma.blogspot.com/2007/06/soal-suku-banyak.html
 Siswanto, Setyo. 2011. Sahabat Sukses UN Matematika Program IPA SMA.
Surakarta. Hayati Tumbuh Subur.
33 /Matematika SMA XI (2)/MA Nurul Huda/By Triyanti Mandasari
Suku
Banyak
 Kaji Soal UN
1. Jika f(x) dibagi dengan (x – 2) sisanya 24, sedangkan jika f(x) dibagi dengan (2x –
3) sisanya 20. Jika f(x) dibagi dengan (x – 2) (2x – 3), sisanya adalah ....(UN 2007)
a. 8x + 8
c. − 8x + 8
b. 8x − 8
d. − 8x − 8
e. − 8x + 6
2. Salah satu faktor suku banyak P(x) = x4 −15x2 − 10x + n adalah (x + 2) . Faktor
lainnya adalah ... (UN 2008)
a. x − 4
c. x + 6
b. x + 4
d. x – 6
e. x – 8
3. Suku banyak f (x) dibagi (x − 2) sisa 1, dibagi (x + 3) sisa –8. Suku banyak g(x)
dibagi (x − 2) sisa 9, dibagi (x + 3) sisa 2. Jika h(x) = f (x) . g(x) , maka sisa
pembagian h(x) dibagi x2 + x − 6 adalah ... (UN 2009)
a. 7x − 1
c. 5x – 1
b. 6x − 1
d. 4x – 1
e. 3x − 1
4. Suku banyak (2x3 + 5x2 + ax + b) dibagi (x + 1) sisanya 1 dan jika dibagi (x −2)
sisanya 43. Nilai dari a + b =.... (UN 2010)
a. −4
c. 0
b. −2
d. 2
e. 4
5. Diketahui (x − 2) adalah faktor suku banyak f(x) = 2x3 + ax2 + bx - 2. Jika f(x)
dibagi (x + 3), maka sisa pembagiannya adalah − 50. Nilai (a + b) =.... (UN 2010)
a. 10
c. – 6
b. 4
d. −11
e. 13
6. Diketahui suku banyak P(x) = 2x4 + ax3 − 3x2 + 5x + b. Jika P(x) dibagi (x−1) sisa
11, dibagi (x + 1) sisa -1, maka nilai (2a + b) =…(UN 2011)
a. 13
c. 8
b. 10
d. 7
e. 6
7. Sisa pembagian suku banyak ( x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1 ) oleh ( x2 – x – 2 ) adalah
…. (UN 2005)
a. – 6x + 5
c. 6x + 5
b. – 6x – 5
d. 6x – 5
e. 6x – 6
8. Suku banyak x3 + 2x2 – px + q, jika dibagi (2x – 4) bersisa 16 dan jika dibagi (x +
2) bersisa 20. Nilai dari 2p + q ..... (UN 2009/2010)
a. 17
c. 19
b. 18
d. 20
e. 21
34 /Matematika SMA XI (2)/MA Nurul Huda/By Triyanti Mandasari
Suku
Banyak
9. Diketahui ( x + 1 ) salah satu factor dari suku banyak f(x) = 2x4 – 2x3 + px2 – x – 2,
salah satu factor yang lain adalah …. (UN 2003)
a. x – 2
c. x + 2
b. x – 3
d. x + 3
e. x – 1
10. Jika suku banyak P(x) = 2x4 + ax3 – 3x2 + 5x + b dibagi oleh ( x2 – 1 ) memberi
sisa 6x + 5, maka a.b = …. (UN 2002)
a. – 6
c. – 3
b. 6
d. 8
e. 1
11. Diketahui suku banyak f(x) jika dibagi ( x + 1) sisanya 8 dan dibagi ( x – 3 )
sisanya 4. Suku banyak q(x) jika dibagi dengan ( x + 1 ) bersisa –9 dan jika dibagi
( x – 3 ) sisanya 15 . Jika h(x) = f(x).q(x), maka sisa pembagian h(x) oleh x2 – 2x –
3 sisanya adalah ….(UN 2001)
a. –x + 7
c. 6x – 3
b. 11x – 13
d. 33x – 39
e. –6x – 21
12. Suku banyak 6x3 + 13x2 + qx + 12 mempunyai factor ( 3x – 1 ). Faktor linear yang
lain adalah …. (UN 2001)
a. 2x – 1
c. 2x + 3
b. x + 4
d. x + 2
e. x – 4
13. Suku banyak P(x) = 3x3 – 4x2 – 6x + k habis dibagi ( x – 2 ). Sisa pembagian P(x)
oleh x2 + 2x + 2 adalah …. (UN 2000)
a. 20x + 24
c. 20x – 16
b. 8x + 24
d. –32x – 16
e. 32x + 24
14. Suku banyak (x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6) dibagi oleh (x2 – x – 2), sisanya.... (UN 2003)
a. 16x + 8
c. – 8x + 16
b. 16x – 8
d. – 8x – 16
e. – 8x – 24
15. Suatu suku banyak dibagi ( x – 5) sisanya 13, sedagkan jika dibagi dengan ( x – 1)
sisanya 5 . Suku banyak tersebut jika dibagi dengan x2 – 6x + 5 sisanya adalah …
(UN 2004)
a. 2x + 2
c. 3x + 1
b. 2x + 3
d. 3x + 2
e. 3x + 3
16. Diketahui (x – 3) adalah faktor suku banyak f(x) = 2x3 + ax2 + bx – 2. Jika f(x)
dibagi (x + 3), sisa pembagiannya adalah – 50. Nilai (a + b) ..... (UN 2009/2010)
a. 10
c. – 6
b. 4
d. – 11
e. – 13
35 /Matematika SMA XI (2)/MA Nurul Huda/By Triyanti Mandasari