8_-_operasi_vektor(1..

OPERASI VEKTOR DAN MATRIKS
VEKTOR
•
•
•
•
PANJANG VEKTOR
BESARAN VEKTOR
PENAMBAHAN VEKTOR
PERKALIAN VEKTOR
– DOT PRODUCT
– CROSS PRODUCT
PANJANG VEKTOR
(X2,Y2)
a = (x2-x1, y2-y1)
= (5, 5)
(X1,Y1)
Translasi, tx= 2, ty = 4
(X1,Y1) = (2,3)
(X2,Y2) = (7,8)
(X2,Y2)
BESARAN VEKTOR
Y
a = (5,5)
(X1,Y1)
(X1,Y1) = (2,3)
(X2,Y2) = (7,8)
X
||a|| = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
= 𝟐𝟓 + 𝟐𝟓
= 𝟓𝟎
PENAMBAHAN VEKTOR
a+b = b+a
b = (8,9)
a (2,5)
a+b = ((8+2),(5+9))
= (10,14)
PERKALIAN VEKTOR : DOT / SKALAR
PRODUCT
• a.b = |a||b|cos θ
• a = (xa,ya), b = (xb, yb)
|xa| |xb|
|ya| . |yb|
|za| |zb |
= (xa.x+ya.y+za.z).(xb.x+yb.y+zb.z)
= xa.xb.x.x + xa.yb.x.y + xa.zb.x.z + ya.xb.y.x + ya.yb.y.y +
ya.zb.y.z + za.xb.z.x + za.yb.z.y + za.zb.z.z
KARENA SUDUT X,Y,Z ADALAH 90 DERAJAT DAN COS 90
ADALAH 0, SUDUT ANTARA X DENGAN X, Y DENGAN Y, Z
DENGAN Z ADALAH 0 DERAJAT, COS 0 ADALAH 1, MAKA :
xa.xb.x.x + ya.yb.y.y + za.zb.z.z
= xa.xb+ ya.yb + za.zb
PERKALIAN VEKTOR : CROSS PRODUCT
• a X b = |a||b|sin θ
• a = (xa,ya), b = (xb, yb)
• x x y = z, y x x = -z, x x z = -y, z x x = y, y x z = x, z x y =
-x
|xa| |xb|
|ya| x |yb|
|za| |zb|
= (xa.x+ya.y+za.z)x(xb.x+yb.y+zb.z)
= xa.xb.x X x + xa.yb.x X y + xa.zb.x X z + ya.xb.y X x +
ya.yb.y x y + ya.zb.y x z + za.xb.z X x + za.yb.z X y +
za.zb.z X z
=
MATRIKS
• m x n, m adalah baris, n adalah kolom
• Contoh : matriks 2 x 3
1 2 3
•
4 5 6
PERKALIAN MATRIKS – SKALAR
• Kalikan tiap elemennya
1 2 3
•
.3
4 5 6
3
6
9
• =
12 15 18
PERKALIAN MATRIKS-MATRIKS
• Syarat : jumlah kolom di matriks pertama =
jumlah baris di matriks kedua, kalikan baris
dengan kolom
1 2
1 2 3
•
.3 4 =
4 5 6
5 6
(1.1 + 2.3 + 3.5) (1.2 + 2.4 + 3.6)
•
=
(4.1 + 5.3 + 6.5) (4.2 + 5.4 + 6.6)
22 28
•
49 64
PERKALIAN MATRIKS – VEKTOR
• Perlakukan vektor seperti matriks
MATRIKS TRANSPOSE
• Kolom jadi baris dan baris jadi kolom
1
•
4
2
5
3
6
T
• (AB) T =BT AT
1 4
= 2 5
3 6
MATRIKS IDENTITAS
1 0 0
• I3X3 = 0 1 0
0 0 1
• AA-1= A-1A = I
• (AB) -1 = B-1A-1
PERKALIAN VEKTOR DALAM BENTUK
MATRIKS
• DOT PRODUCT
a.b = aTb
𝑥𝑏
𝑥𝑎 𝑦𝑎 𝑧𝑎 . 𝑦𝑏 = (xa.xb + ya.yb + za.zb)
𝑧𝑏
• CROSS PRODUCT
a x b = A*b
A = dual matriks dari a, maka :
0
𝑥𝑎 𝑥 𝑥𝑎 𝑦𝑎 𝑥 𝑥𝑎 𝑧𝑎 𝑥 𝑥𝑎
𝑥𝑏
𝑥𝑎 𝑥 𝑦𝑎 𝑦𝑎 𝑥 𝑦𝑎 𝑧𝑎 𝑥 𝑦𝑎 . 𝑦𝑏 = 𝑧𝑎
𝑥𝑎 𝑥 𝑧𝑎 𝑦𝑎 𝑥 𝑧𝑎 𝑧𝑎 𝑥 𝑧𝑎
−𝑦𝑎
𝑧𝑏
−𝑧𝑎
0
𝑥𝑎
𝑦𝑎
𝑥𝑏
−𝑥𝑎 . 𝑦𝑏
0
𝑧𝑏
ORTHOGONAL
• DUA VEKTOR ATAU LEBIH DISEBUT
ORTHOGONAL JIKA SUDUTNYA 90 DERAJAT
• a(1,0,-1)
• b(1,√2,1)
• c(1, -√2, 1)
• a.b = (1,0,-1). (1, √2,1) = 1+0+-1 = 0
• a.c = (1,0,-1). (1, -√2, 1) = 1+0+-1 = 0
• b.c = (1, √2,1). (1, -√2, 1) = 1+-2+1=0
• a(1,0,-1), |a| = √2
• b(1,√2,1), |b| = 2
• c(1, -√2, 1), |c| = 2
Normalisasi = v / |v|
a / |a| = (1,0,-1) / √2 = (1/√2, 0, -1/√2)
b/ |b| = (1, √2,1) / 2 = (1/2, √2/2,1/2)
c / |c| = (1, − 2, 1) / 2 = (1/2,-√2/2,1/2)
ORTHONORMAL
• HARUS ORTHOGONAL
• BESARANNYA HARUS 1
• a(1,0,-1) = ||a|| = 𝑥 2 + 𝑦 2 +𝑧 2 = √2
• b(1, √2,1) = ||b|| = 2
• c(1, - √2, 1) = ||c|| = 2
ORTHONORMAL
BESARAN :
• ||a||= √2
• ||b|| = 2
• ||c|| = 2
NORMALISASI : v / ||v||
• a(1/ √2, 0, -1/ √2), jadi ||a|| = 1
• b(1/2, √2 /2, ½), jadi ||b|| = 1
• c(1/2, - √2 /2, ½ ), jadi ||c|| = 1
COORDINATE FRAME
• Ada sistem koordinat lokal, global, bagian dari
karakter (kepala, tangan, dll)
• Diperlukan untuk transformasi antar sistem
koordinat
• Coordinate frame : ORTHONORMAL
– ||u||=||v||=||w||=1
– u.v = u.w = v.w = 0
–w=uxv
COORDINATE FRAME
• Misal : arah pandang diwakili dengan vektor a
• Maka untuk membuat koordinat perlu vektor
b dan c
• Asosiasikan a dengan w, dan b dengan v,
dimana b adalah arah atas dari kamera
• Vektor ketiga adalah u yang harus tegak lurus
dengan v dan w
COORDINATE FRAME
• Maka lakukan normalisasi untuk w :
w=
𝑎
|𝑎|
• Kemudian tentukan u, dimana harus tegak
lurus dengan w dan b, maka :
u=
𝑏𝑥𝑤
|𝑏𝑥𝑤 |
Maka v = w x u