5 LIMIT FUNGSI

Kalkulus I
5
LIMIT FUNGSI
5.1 PENDAHULUAN LIMIT
•
•
•
•
Untuk sebuah fungsi y = f(x), bagaimana perilaku dari f(x) jika x mendekati c, akan tetapi x
tidak sama dengan c (x≠c).
x2 +1
Contoh, kita ambil fungsi f(x)= x+1 dan g(x) =
dan akan kita cari berapa nilai
x −1
fungsinya jika nilai x mendekati (atau menuju) 1. Untuk itu kita buat tabel nilai f(x) dan
g(x) untuk berbagai nilai x sebagai berikut.
x
f(x) = x+1
x
x2 +1
g(x) =
x −1
0.9
0.95
0.99
0.999
1.9
1.95
1.99
1.999
0.9
0.95
0.99
0.999
1.9
1.95
1.99
1.999
1
?
1
?
1.001
1.01
1.1
2.001
2.01
2.1
1.001
1.01
1.1
2.001
2.01
2.1
Dari kedua tabel di atas terlihat bahwa nilai f(x) mendekati 2 jika x mendekati 1 dan nilai
g(x) mendekati 2 jika x mendekati 1.
Dapat dikatakan bahwa “limit dari f(x) adalah 2 jika x mendekati 1 “ dan “ limit dari
g(x) adalah 2 jika x mendekati 1”, masing-masing ditulis:
lim (x + 1) = 2 dan lim
x →1
•
x →1
x2 +1
=2
x −1
Secara umum dapat dinyatakan bahwa:
lim f(x) = L
x→ c
jika x mendekati c maka f (x) mendekati L dan f(c) tidak perlu ada serta x tidak perlu sama
dengan c.
Lukmanulhakim Almamalik V‐ 1 Kalkulus I
•
Jika ditulis lim f(x) = L maka mengandung arti bahwa x mendekati fungsi f(x) dari dua
x →c
arah, yaitu x mendekati c dari kanan dan juga x mendekati c dari kiri.
•
Bentuk limit untuk “ x → ∞ “ dinamai limit di tak berhingga.
lim x = ∞ dan lim 1 = 0
x →∞
x →∞
x
5.2 TEOREMA LIMIT
•
Jika lim f ( x) dan lim g ( x) keduanya ada dan k ∈ R maka berlaku pernyataanx→ c
x→ c
pernyataan berikut:
lim A = A , A, c ∈ R .
a.
x →c
lim x = c .
b.
x →c
lim
c.
x →c
{ f ( x) ± g ( x)} =
lim f ( x) ± lim g ( x)
x →c
x →c
lim kf ( x) = k lim f ( x)
d.
x →c
x →c
lim f ( x) g ( x) = lim f ( x). lim g ( x)
e.
x →c
x →c
x →c
lim f ( x)
f ( x) x → c
=
, asalkan lim g ( x) ≠ 0
lim g ( x)
x →c
x → c g ( x)
lim
f.
x →c
Contoh 5.1
2
2
a. lim (2x − 7x + 6) = lim 2x − lim 7x + lim 6
x →2
x →2
x →2
x →2
2
= 2 lim x − 7 lim x + lim 6
x →2
( )
x →2
x →2
2
= 2 lim x − 7 lim x + lim 6
x →2
x →2
x →2
2
= 2.2 − 7.2 + 6 = 0
b. lim 7x 2x − 1 = lim 7x. lim 2x − 1
x →1
(
)
x →1
x →1
= 7 lim x lim (2x − 1) = (7.1) 2.1 − 1 = 7
c. lim
x →−1
x →1
x →1
lim (2x + 3) 2.(−1) + 3 1
2x + 3
= x →−1
=
=
5x + 2
lim (5x + 2) 5.(−1) + 2 − 3
x →−1
d. lim x + 2 x − 4 = (−1) 2 + 2(−1) − 4 = −5
2
x →−1
Lukmanulhakim Almamalik V‐ 2 Kalkulus I
e.
f.
g. lim (2 – 3x + 4x2 – x3 ) = lim 2 - lim 3x + lim 4 x2 - lim x3
x → −1
x → −1
x → −1
x → −1
x → −1
= 2 – (-3) +4(-1)2 – ( -1)3 = 10
Contoh 5.2
Hitung lim
x →2
x 2 − 3x + 2
.
x2 − 4
Penyelesaian:
Karena limit di atas mempunyai penyebut sama dengan 0, atau hasilnya adalah 0/0, maka kita
memerlukan teknik lain untuk menyelesaikannya. Akan tetapi hal ini bukan berarti limit di atas
tidak ada. Pada contoh soal 5.2, yang akan dihitung adalah nilai limit untuk x mendekati 2, dan
bukan nilai untuk x sama dengan 2. Oleh karena itu, dengan memanfaatkan teknik-teknik
aljabar, untuk x ≠ 2 diperoleh:
x 2 − 3x + 2 (x − 2)(x − 1) x − 1
=
=
(x − 2)(x + 2) x + 2
x2 − 4
Sehingga:
nilai lim
x→2
x 2 − 3x + 2
x −1
2 −1 1
= lim
=
=
2
x→2 x + 2
2+2 4
x −4
Contoh 5.3
Tentukan lim
x →1
x −1
.
x− 1
Penyelesaian:
Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untuk
menyelesaikannya.
Lukmanulhakim Almamalik V‐ 3 Kalkulus I
lim
x →1
x −1
x −1
= lim
x→1
(
)(
x −1
) = lim (
x +1
x −1
x →1
)
x +1 = 1 + 1 = 2 .
Contoh 5.4
x3 + 8
Tentukan lim 4
.
x→−2 x − 16
Penyelesaian:
(x − (−2) ) x 2 + x.(−2) + (−2) 2
x3 + 8
x 3 − ( −2) 3
lim 4
= lim 4
=
lim
x → −2 x − 16
x → −2 x − ( −2) 4
x → −2 ( x − ( −2) ) x 3 + x 2 .( −2) + x.( −2) 2 + ( −2) 3
= lim
x → −2
(x
2
)
(
(
)
)
4+4+4
3
− 2x + 4
=
=− .
2
8
x − 2x + 4x − 8 − 8 − 8 − 8 − 8
(
3
)
Contoh 5.5
Hitung
Penyelesaian:
Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untuk
menyelesaikannya.
Kita faktorkan fungsi kuadratnya
Contoh 5.6
Hitung limit berikut
Penyelesaian:
Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untuk
menyelesaikannya.
Lukmanulhakim Almamalik V‐ 4 Kalkulus I
Contoh 5.7
Tentukan limit berikut
Penyelesaian:
Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untuk
menyelesaikannya.
Contoh 5.8
Tentukan limit berikut
Penyelesaian:
Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untuk
menyelesaikannya.
Lukmanulhakim Almamalik V‐ 5 Kalkulus I
Contoh 5.9
x −1 − 2
x−5
Hitung lim
x →5
Penyelesaian :
x −1 − 2
=
x−5
x −1 − 2
.
x−5
x −1 + 2
x −1 + 2
1
x −1 + 2
=
x −1 − 2
= lim
x →5
x−5
Maka lim
x →5
1
1
=
x −1 + 2 4
Latihan 5.1
Untuk soal 1 – 6, Berapa nilai limit berikut.
1. lim ( x + 2)
2. lim
x+2
x −1
5. lim
x→2
x →1
4. lim
x →0
x→4
1
x
2
3. lim x
x → −1
x
6. lim
x →1
x2 −1
x −1
Untuk soal 7 – 17, hitunglah masing-masing limit jika ada.
2
7. lim ( x − 20)
x →5
x 2 + 2x − 8
10. lim
x →2
x2 − 4
13. lim
s → −1
16. lim
x →2
s4 −1
s3 + 1
x2 − 4
2
3− x +5
2
x+2
x −3
x 6 − 64
12. lim
x →2 x 3 − 8
8. lim ( x + 3x + 1) 9. lim
x → −2
x →0
x −1
11. lim
x −1
x →1
32
14. lim
u →1
u −1
1− u
3
17. lim
x →0
15. lim
x → −1
2 − x2 + 3
1− x2
1+ x −1
x
Lukmanulhakim Almamalik V‐ 6 Kalkulus I
5.3 LIMIT SATU SISI (LIMIT SEPIHAK)
•
Limit Satu Sisi (Limit-kanan dan limit-kiri) adalah ide untuk melihat apa yang terjadi
terhadap sebuah fungsi ketika kita dekati dari suatu nilai x tertentu dari suatu arah tertentu
(kiri atau kanan).
•
Limit Kanan
Jika ditulis lim+ f ( x ) = L maka mengandung arti bahwa x mendekati c dari dari kanan.
•
Limit Kiri
Jika ditulis lim− f ( x ) = L maka mengandung arti bahwa x mendekati c dari dari kiri.
x →c
x →c
Contoh 5.10
a. lim+
x = 0 (x didekati dari kanan)
b. lim−
x tidak ada. (x didekati dari kiri)
x →0
x →0
c. Untuk bilangan bulat n
lim+ [x ] = n dan lim− [x ] = n − 1
x →n
x →n
Contoh 5.11
Diberikan fungsi
⎧2x − 1,
⎪
f (x) = ⎨
⎪ x3,
⎩
x <1
x >1
Karena untuk x < 1 adalah fungsi f ( x ) = 2 x − 1 , maka
lim f ( x ) = lim− ( 2 x − 1) = 1 .
x →1−
x →1
Secara sama, untuk x > 1, kita gunakan fungsi
lim+ f ( x ) = lim+ x 3 = 1 .
x →1
x →1
Selanjutnya, karena nilai lim− f ( x ) = 1 = lim+ f ( x ) maka lim f ( x ) = 1 .
x →1
x →1
x →1
Lukmanulhakim Almamalik V‐ 7 Kalkulus I
Contoh 5.12
Tentukan lim f ( x) jika diketahui:
x→ 2
⎧ x,
⎪
f (x) = ⎨
⎪[x ],
⎩
x≤2
x>2
Penyelesaian:
Jika x didekati dari kiri maka lim− f ( x) = lim− x = 2
x→2
x→2
Jika x didekati dari kanan maka lim+ f ( x ) = lim+ [x ] = 2
x→2
x→2
Karena limit kiri = limit kanan, maka lim f ( x ) = 2 .
x→ 2
Contoh 5.13
Diberikan fungsi berikut
Hitung limit
Penyelesaian:
a.
b.
dan
Latihan 5.2
Evaluasi apakah limit berikut ada!
1.
dimana
Lukmanulhakim Almamalik V‐ 8