Soal teori APhO 9, Mongolia

THEORETICAL COMPETITION
Problems and Solutions
9th Asian Physics Olympiad
Ulaanbaatar, Mongolia (April 22, 2008 )
----------------------------------------------------------------------------Soal 3. How does a superluminal object look like?
Dapatkah sebuah benda bergerak melewati kecepatan cahaya? Jawabannya adalah “tidak” jika
objek bergerak dalam vakum. Tetapi jawabannya bisa “ya”, jika kita bekerja dengan kecepatan
c
cahaya dalam media optic yang memiliki indeks bias n ( n  , dimana u adalah laju cahaya
u
dalam medium, dan c adalah laju cahaya dalam vakum).
Kita katakan bahwa sebuah benda adalah superluminal jika u  v  c , dimana v adalah kecepatan
benda tersebut. Salah satu contoh terkenal adalah partikel bermuatan yang menimbulkan radiasi
Cherenkov.
Dalam soal ini, kita akan bekerja dengan benda superluminal yang memiliki kecepatan v dalam
medium optik tanpa dispersi. u adalah kecepatan cahaya di dalam medium.
Untuk mempermudah penulisan persamaan, kita misalkan  
oleh persamaan cos   u v dan tan  
1.
1
1  v c 
2
dan sudut θ diberikan
v2
1
u2
Radiating superluminal particle
Seperti yang diperlihatkan pada gambar 1, sebuah partikel (yang selalu meradiasikan cahaya)
bergerak sepanjang sumbu x dengan kecepatan konstan v (v > u)).
Seorang pengamat M berada pada jarak d dari sumbu x.
Kita pilih titik terdekat dari pengamat M sebagai titik O, titik pusat dari sumbu x. Kita pilih juga
waktu ketika partikel (actual position, baca bahasa inggrisnya untuk bagian ini) melewati titik
x=0 sebagai t=0. (Perhatikan gambar 1 seteliti mungkin.)
O
d
x
Gambar 1
M
Theoretical Problem 3, 9th Asian Physics Olympiad (Mongolia)
(1)
Misalkan cahaya yang diradiasikan oleh partikel pada waktu t’, baru teramati pada waktu t.
Carilah nilai t (nyatakan dalam suku d, t’, u dan v
(1 poin)
(2)
Pada saat t=t0, pengamat untuk pertama kali melihat partikel tersebut berada pada titik
x0' . Carilah posisi partikel yang terlihat pertama kali itu (apparent position), x0'
(nyatakan dalam suku d dan θ) dan waktu pengamatan partikel tersebut, t0 (nyatakan dalam
suku d, v dan θ)
(2 poin)
(3)
Carilah posisi-posisi x’ dari partikel yang teramati oleh pengamat (apparent position(s),
bukan the actual position) pada waktu t. Nyatakan dalam suku v, θ, t dan t0
(2 poin)
(4)
Carilah kecepatan-kecepatan v’(t) dari partikel yang teramati oleh pengamat (apparent
(1 poin)
velocity(s)) pada waktu t. Nyatakan dalam suku v, θ, t dan t0
(5)
Carilah kecepatan-kecepatan v’ dari partikel ketika pertama kali teramati oleh pengamat
(apparent velocity(s)).
(0,2 poin)
(6)
Carilah kecepatan-kecepatan v’ dari partikel yang teramati oleh pengamat (apparent
velocity(s)) ketika partikel berada pada jarak tak berhingga (infinite distances) dari titik
pusat, O. Nyatakan dalam suku v dan u.
(0,2 poin)
(7)
Gambarlah kurva dari kecepatan v’ (apparent velocity) sebagai fungsi waktu t.
Tunjukkanlah juga dengan sejelas mungkin daerah-daerah yang bernilai asimtotic dari
kecepatan v’ ini pada kurva.
(1
poin)
(8)
Dapatkah nilai dari kecepatan v’ (apparent velocity) pada waktu tertentu melebihi
kecepatan cahaya di vakum, yaitu v’ > c?
(0,2 poin)
2. Radiating linear object
Bayangkan sebuah benda linier yang selalu meradiasikan cahaya dan bergerak sepanjang sumbu
x. Panjang dari benda ini adalah L menurut frame diam terhadap benda tersebut.
A. Parallel movement
Pada bagian ini, kita asumsikan bahwa benda yang selalu meradiasikan cahaya ini bergerak
sepanjang sumbu x seperti yang terlihat pada gambar 2.
2
Theoretical Problem 3, 9th Asian Physics Olympiad (Mongolia)
O
Gambar 2
(9) Carilah interval waktu yang diperlukan untuk benda terlihat secara keseluruhan (complete
appearance) yang dimulai dari pemunculan pertama salah satu ujung benda (bagian ujung
depan, front point) sampai ujung satunya lagi. Nyatakan dalam suku L, γ dan v.
(0,3 poin)
(10) Hitunglah panjang benda (the apparent lengths) menurut pengamat pada saat benda terlihat
secara keseluruhan (complete appearance). Nyatakan dalam suku d, L, θ dan γ. (0,4 poin)
B. Perpendicular movement
Pada bagian ini, kita asumsikan bahwa benda linier yang selalu meradiasikan cahaya ini bergerak
secara tegak lurus terhadap sumbu x seperti terlihat pada gambar 3. Anggap bahwa pengamat
berada pada titik pusat dari sumbu x (d = 0). Benda ini simetris terhadap sumbu x.
y
O
Gambar 3
(11) Tunjukkan bahwa pada waktu t, bentuk dari benda ini yang terlihat oleh pengamat O
(apparent form) adalah elips.
(0,7 poin)
(12) Carilah nilai xc yaitu posisi dari pusat elips terhadap titik pusat O pada waktu t tertentu.
Nyatakan dalam suku v, θ dan t.
(0,5 poin)
(13) Carilah panjang sumbu semi mayor dan sumbu semi minor dari elips tersebut pada waktu t
tertentu. Nyatakan dalam suku v, θ dan t.
(0,5 poin)
3
Theoretical Problem 3, 9th Asian Physics Olympiad (Mongolia)
Country code
Student code
Answer sheet
Theoretical Problem 3
(total 10 points)
How does a superluminal object look like?
3.
Radiating superluminal dot
(1) Expression of t in terms of d, t’, u dan v.
´
1.0
(2) The apparent position x0' in terms of d dan θ.
1.0
The observed time t0 of the first appearance in terms of d, v dan θ.
1.0
(3) The apparent position(s) x’(t) in terms of v, θ, t dan t0.
2.0
4
Theoretical Problem 3, 9th Asian Physics Olympiad (Mongolia)
(4) The apparent velocity(s) v’(t) in terms of v, θ, t and t0.
1.0
(5) The apparent velocity(s) v’ of the first appearance of the particle
0.2
(6) The apparent velocity(s) v’ of the particle at infinite distances in terms of v dan u.
0.2
(7) The graph of the apparent velocity v’ versus time t. (Remember to write down the
asymptotic values of the apparent velocity).
1.0
5
Theoretical Problem 3, 9th Asian Physics Olympiad (Mongolia)
(8) An apparent velocity CAN / CANNOT exceed the light speed in the vacuum. Circle the
correct answer.
Can
Can not
0.2
1.1. Radiating linear object
A. Parallel movement
(9) The time interval of complete appearance of the whole linear object from the first
appearance of its front point. (in terms of L,  and v)
0.3
(10) The apparent length(s) of the object at the moment of its complete appearance.
(in terms of d, L, θ dan )
0.4
6
Theoretical Problem 3, 9th Asian Physics Olympiad (Mongolia)
B. Perpendicular movement
(11) Show that the x and y coordinates of any given point of the object satisfy an elliptic
equation
0.7
(12) The position xc of the centre of symmetry of the ellipse in terms of v, t and θ.
0.5
(13) The lengths of the semi-major and semi-minor axes of the ellipse in terms of v, t and θ.
0.5
7