TEORI PROBABILITAS

TEORI PROBABILITAS
Probabilitas suatu peristiwa adalah harga angka yang
menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa
terjadi.
Probabilitas peristiwa nilainya antara 0 hingga 1
Konsep probabilitas berhubungan dengan pengertian
eksperimen yang menghasilkan “hasil yang tidak pasti”
Eksperimen : proses pengumpulan data tentang fenomena
tertentu yang menunjukkan adanya variasi dalam hasilnya.
Definisi :
• Ruang sampel : himpunan dari elemen-elemen yang merupakan
hasil yang mungkin dari suatu eksperimen, ditulis dengan lambang S
• Peristiwa adalah himpunan bagian dari suatu ruang sampel, ditulis
dengan lambang huruf besar : A, B, C ….
• Peristiwa sederhana : peristiwa yang hanya mempunyai 1 elemen
saja
S={a1, a2, a3, …….an} dimana ai adalah elemen yang mungkin dari
ruang sampel.
Contoh 1:
Eksperimen : Pelemparan sebuah dadu satu kali
Hasil : mata dadu yang tampak di atas
Ruang sampel : S={1,2,3,4,5,6}
Suatu peristiwa : A= angka ganjil yang muncul
A={1,3,5}
Operasi Himpunan :
 Union A dan B: (AUB) Gabungan dua himpunan A dan B adalah
himpunan semua elemen yang ada di dalam A atau di dalam B
(termasuk yang ada di dalam keduanya jika ada)
 Interseksi/irisan antara A dan B (A∩B) adalah himpunan semua
elemen yang merupakan anggota A dan juga anggota B.
 Komplemen suatu peristiwa A adalah himpunan semua elemen
yang tidak merupakan anggota A.
A
B
A∩B
A
B
AUB
a. Probabilitas suatu peristiwa :
N ( A) Banyaknya.elemen.dalam. A
P( A) 

N (S )
banyak .elemen.dalam.S
b. Dua peristiwa A dan B saling asing jika irisan kedua himpunan
tersebut kosong yaitu A∩B=Ø sehingga berlaku :
P(A U B) = P(A) + P(B)
Contoh 2 :
Buah Mentimun diklasifikasikan dalam tiga kelompok kualitas
yaitu Kualitas I, II dan III. Kualitas I dan II memenuhi syarat
sebagai bahan acar dan kualitas III tidak memenuhi standar
sebagai bahan acar. Jika diambil secara random 200 buah
mentimun dan diperoleh data bahwa 120 buah termasuk
dalam kualitas I, 50 termasuk kulaitas II dan 30 buah
termasuk kualitas III, hitunglah probabilitas buah mentimun
yang dapat digunakan sebagai bahan acar !
Jawab :
Jika A : buah mentimun kualitas I
B : Buah mentimun kualitas II
maka mentimun yang termasuk , bahan acar adalah A U B
karena kejadian A dan B saling asing maka berlaku
P(A U B) = P(A) + P(B)
= 120/200 + 50/200 = 0,6 + 0,25 = 0,85
Jadi probabilitas buah mentimun yang dapat digunakan
sebagai bahan acar adalah 85%.
c. Kejadian A dan B tidak saling asing jika :
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
d. Kejadian A dan B independen : jika kemungkinan
terjadinya B tidak dipengaruhi oleh kemungkinan
terjadinya A. Independen : sampling dengan
pengembalian. Maka berlaku :
P(A/B) = P(A) atau P(B/A) = P(B) dan
P(A ∩ B) = P(A) . P(B).
e. Jika A dan B merupakan dua kejadian dependen maka :
P(A/B) ≠ P(A) atau P(B/A) ≠P(B) dan
Dependen : sampling tanpa pengembalian.
Contoh 3: (kejadian tidak saling asing)
Probablilitas kejadian A yaitu kentang yang mempunyai berat
lebih dari 0,1 kg adalah 0,3  P(A) = 0,3
Probalilitas kejadian B yaitu kentang yang dapat ditrima pembeli
adalah 0,8  P(B) = 0,8
Jika probabilitas kentang yang mempunyai berat lebih dari 0,1 kg
atau ditrima pembeli adalah 0,9  P(A ᴜ B) = 0,9
Maka : probabilitas kentang yang mempunyai berat lebih dari
0,1 kg dan dapat ditrima pembeli (A dan B) adalah
P(A dan B) = P(A) + P (B) – P(A or B) = 0,3 + 0,8 – 0,9 = 0,2
f. Probabilitas bersyarat :
Jika A dan B dua kejadian dengan P(B)>0 maka
probabilitas bersyarat kejadian A kalau diketahui B telah
terjadi adalah :
P(A∩B)
P(A/B)=
P(B)
g. Jika A1, A2, A3, A4, …….Ak adalak kejadian partisi dari S dan B
kejadian sembarang dari S, maka untuk setiap i=1,2,3…k
berlaku teorema bayes :
P ( Ai / B ) 

P ( Ai  B )
P( B)
P ( Ai ) P ( B / Ai )
P ( A1 ) P ( B / A1 )  P ( A2 ) P ( B / A2 )  ...  P ( Ak ) P ( B / Ak )
Contoh soal 4 : Probabilitas Bersyarat :
Seorang petugas Quality control melakukan inspeksi terhadap produk teh
berdasarkan standar yang ada. Jika terdapat kejadian :
I : {Produk lolos inspeksi}
B : {Produk sesuai dengan standar konsumen}
Sehingga :
I  B : Kejadian sederhana dimana produk lolos inspeksi dan setelah
dikirimkan ke konsumen sesuai dengan standar yang diinginkan.
I  BC : Kejadian sederhana dimana produk lolos inspeksi dan setelah
dikirimkan ke konsumen tidak sesuai dengan standar yang diinginkan.
Jika diketahui berdasarkan pengalaman :
I  B = 0,80
I  BC= 0,02
IC  B= 0,15
IC  BC= 0,03
Hitunglah probabilitas kejadian produk yang telah diketahui telah lolos
inspeksi ternyata setelah dikirimkan tidak sesuai dengan standar yang
diinginkan konsumen.
Jawab :
Ditanyakan : probabilitas kejadian produk yang telah diketahui telah lolos inspeksi
ternyata setelah dikirimkan sesuai dengan standar yang diinginkan konsumen 
P(BC/I) = ?
C
P
(
I

B
)
P( B C / I ) 
P( I )
• I : {Produk lolos inspeksi} terdiri dari dua kejadian yaitu :
• I  B = Produk lolos inspeksi dan sesuai standar konsumen
• I  BC= Produk lolos inspeksi dan tidak sesuai dengan standar konsumen
Jadi
• I = (I  B)  (I  BC)
• P(I) = P (I  B)  P (I  BC) = 0,80 + 0,02 = 0,82
• Sehingga :
P( I  B C ) 0,02
P( B / I ) 

 0,0024
P( I )
0,82
C
Analisis kombinatorik :
1. Aturan Perkalian
Jika suatu percobaan terdiri dari k bagian dan bagian 1
menghasilkan n1 hasil yang berbeda, bagian 2
menghasilkan n2 dan seterusnya bagian k menghasilkan
nk maka banyaknya hasil yang berbeda yang mungkin
n1xn2xn3x…..xnk.
2. Aturan permutasi : Banyaknya susunan atau urutan yang
berbeda dari k obyek yang diambil dari n obyek adalah :
nP
k
 n(n  1)( n  2)......( n  k  1)
Jika k=n maka
n! = n faktorial
n Pk
 n(n  1)( n  2)......3 X 2 X 1  n!
(Konvensi : 0!=1)
Contoh soal 5 : (Aturan Perkalian)
Satu buah koin yang seimbang dilempar dua kali maka berapakah banyak hasil
yang berbeda yang mungkin ?
Jawab :
Dalam kejadian tersebut terdapat dua bagian kejadian yaitu
bagian I pelemparan yang pertama dengan kemungkinan hasil yang berbeda 2
 n1=2
bagian I pelemparan yang pertama dengan kemungkinan hasil yang berbeda 2
 n2=2
maka hasil yang berbeda yang mungkin dari kejadian tersebut adalah n1 Xn2 =
2X2=4
Contoh soal 6 a: (Permutasi)
Sebuah supermarket menjual 5 jenis susu formula. Supermarket tersebut
mempunyai satu etalase di bagian depan pintu yang hanya terdiri dari 3
rak bertingkat. Jika urutan peletakan susu formula didalam rak bertingkat
sangat penting untuk diperhatikan ada berapakah cara untuk menata 3
jenis susu formula dari 5 jenis yang ada secara bergantian ?
Jawab :
Urutan penting  Kejadian permutasi
Dicari dulu nilai (n-k+1)=(5-3+1)=3
5P3= 5 X 4 X3 = 60 cara.
3. Aturan kombinasi
Banyaknya kombinasi dari n obyek yang berbeda jika diambil k
obyek adalah :  Tidak memperhatikan urutan
n
n!
k   k!(n  k )!
 
Contoh soal 7:
Sebuah perusahaan memiliki 10 orang teknisi jika dibutuhkan 3 orang teknisi
untuk dikirim ke suatu daerah, ada berapa alternatif teknisi yang terpilih ?
Jawab :
Urutan tidak penting  Kombinasi
Kombinasi 3 dari 10 teknisi :
10 
10!
10 X 9 X 8 X 7!
  

 120 cara
 3  3!(10  3)! 3 X 2 X 1X 7!
4. Aturan partisi
Jika suatu obyek terdiri dari N elemen yang berbeda dan akan
dibagi dalam k partisi (kelompok atau bagian) dimana bagian
I beranggotakan n1 dan bagian II beranggotakan n2 dan bagian
k beranggotakan nk elemen, maka jumlah partisi yang berbeda
adalah :
N!
n1! n2 !....  nk !
Dimana n1 + n2 + ….+ nk=N
Contoh soal 8: Aturan Partisi
Sebuah perusahaan mempunyai 12 orang analisis dan perusahaan tersebut akan
membagi mejadi 3 kelompok yaitu untuk menyelesaikan pekerjaan I
membutuhkan 3 orang analis, untuk pekerjaan II membutuhkan 4 orang analis,
dan untuk pekerjaan III membutuhkan 5 orang analis. Dalam permasalahan ini ada
berapakah cara yang berbeda yang mungkin untuk membagi tugas tersebut ?
Jawab :
Terdapat N=12 analis yang dibagi dalam beberapa bagian n1=3, n2=4, dan n3=5
sehingga jumlah partisi yang berbeda yang mungkin adalah :
N!
12!

 27.720 alternatif
n1! Xn2 ! Xn3 ! 3! X 4! X 5!
Kerjakan soal berikut dikumpulkan paling lambat
tanggal 14 Oktober 2014 :
1.
Sebuah pabrik mempunyai 2 mesin penggiling lateks, penggiling I dalam
kondisi idle (mengganggur) adalah 40%, sedangkan mesin II dalam
kondisi mengganggur 30%. Jika kedua alat dipasang paralel (indenpenden
satu sama lain) maka hitunglah :
a. Kedua mesin sama-sama mengganggur
b. Kedua mesin sama-sama tidak ada yang mengganggur
c. Minimal ada satu mesin yang mengganggur.
2.
Dari 20 mahasiswa terdiri dari 12 orang laki-laki dan 8 wanita. Jika akan
dipilih 4 orang wakil secara rnadom, berapakah probabilitas
a. Yang terpilih ada 2 orang yang wanita
b. Yang terpilih minimal ada 2 wanita