makalah postulat kesejajaran euclid

TUGAS MATA KULIAH GEOMETRI
POSTULAT KESEJAJARAN
EUCLIDs
DOSEN PENGAMPU :
Dr. YUSUF HARTONO, M.A
Dra. NYIMAS AISYAH, M.Pd
KELOMPOK :
BAMBANG RIYANTO
OKTIANA DWI PUTRA H
NIM : 20082012001
NIM : 20082012012
PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN
MATEMATIKA
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
2008 / 2009
Presented by: Bambang Riyanto and Oktiana Dwi Putra H; Mahasiswa Prodi
Magister Pendidikan Matematika Unsri
1
POSTULAT KESEJAJARAN EUCLID
Euclid adalah seorang ahli logika ternama telah menyatakan bahwa perubahan
perkembangan teori geometri non Euclid dapat kontradiksi dengan postulat kesejajaran
Euclid. Seiring dengan kepercayaan ahli matematika bahwa geometri non Euclid hanya
memungkinkan untuk teori ruang dan yang menjelaskan segala sesuatunya secara fisik.
Tetapi posisi unik geometri Euclid di abad 19 telah diserang oleh penemuan geometri non
Euclid. Dan banyak ahli matematika sangat terguncang. Ide tentang kealamian geometrid
an posisi unik geometri Euclid yang telah di lakukan sepanjang dua ribu tahunan,
akhirnya runtuh pada decade 1820-1830.
Awal abad 19 ahli matematika yang berkompeten berhasil diyakinkan bahwa
masalahnya tentang postulat telah diselesaikan dan hanya sedikit memiliki kekurangan
dalam pembuktiannya. Kegagalan setiap percobaan dalam membuktikan postulat
kesejajaran tersebut membawa pada perngakuan bahwa postulat kesejajaran tidaklah
pasti. Dan bahwa teori geometri lainnya (non Euclid )bias saja digunakan. Selanjutnya
dalam bab ini akan dijelaskan 3 upaya penting dalam membuktikan postulat kesejajaran
Euclid.
1. Struktur Geometri Bidang Euclid
Postulat sejajar Euclid dapat dinyatakan sebagai berikut :
“ Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sedemikian hingga jumlah dua
sudut interiornya (sudut dalam) pada satu sisi transversal adalah kurang dari
180°. Garis tersebut akan bertemu pada satu sisi transversal tersebut”
Sejumlah asumsi/postulat untuk geometri bidang Euclid , yaitu :
1. Sesuatu akan sama dengan sesuatu atau sesuatu yang sama akan sama satu sama
yang lainnya
2. Jika kesamaan di tambahkan dengan kesamaan maka jumlahnya akan sama
3. Jika kesamaan di kurangi dengan kesamaan maka selisihnya akan sama
4. Keseluruhan akan lebih besar dari bagiannya
5. Bangun geometric dapat dipindahkan tanpa mengubah ukuran atau bentuknya
6. Setiap sudut memiliki bisector ( garis bagi )
7. Setiap segmen memiliki titik tengah
Presented by: Bambang Riyanto and Oktiana Dwi Putra H; Mahasiswa Prodi
Magister Pendidikan Matematika Unsri
2
8. Dua titik hanya berada pada satu-satunya garis
9. Sembarang segmen dapat diperluas oleh suatu segmen yang sama dengan
segmen yang diberikan
10. Lingkaran dapat di gambarkan dengan sembarang titik pusat dan radius yang
diketahui
11. Semua sudut siku-siku sama besar
Dari postulat-postulat ini, dapat di deduksi sejumlah teorema dasar
diantaranya :
1. Sudut bertolak belakang sama besar
Bukti 1 :
1.Lukis garis l dan m sejajar
l
O
P
2.Garis transversal h memotong
1
tegak lurus l dan m di P dan Q
3.
P=
Q (postulat ke 11)
4.
P=
1 (postulat ke 11)
5.
P dan
2 Q
h
m
O
1 dua sudut bertolak
belakang, jadi sudut
bertolak
belakang sama besar (terbukti)
Bukti 2 :
1. Ada B sehingga B € g
g
2. Ada C sehingga C € g
4.
BAE = 180° (Postulat
BAD +
B
E
3. Analog untuk D dan E € l
A
garis pelurus)
CAE +
5. (
BAE = 180°
BAE ) – (
BAD +
C
CAE +
BAE ) =180° - 180° (postulat 3)
BAD -
CAE = 0
BAD =
CAE
D
l
(terbukti sudut bertolak belakang
sama besar)
Presented by: Bambang Riyanto and Oktiana Dwi Putra H; Mahasiswa Prodi
Magister Pendidikan Matematika Unsri
3
2. Sifat kongruensi segitiga (SAS, ASA, SSS)
Bukti : Sifat kongruensi segitiga (ASA )
C
1. Lukis ΔABC dan ΔPQR sehingga
A=
P
2. Pindahkan Δ ABC pada Δ PQR sehingga
A
B=
Q dan AB = PQ
berimpit dengan
P,
berimpit pada PQ maka
dan
R
C=
B berimpit
Q dan AB
C berimpit pada
B P
A
Q
P
R
R ( postulat 5)
3. Teorema kesamaan sudut alas segitiga sama kaki dan konversinya
Bukti :
Diberikan Δ ABC dgn AC = BC, akdib
C
A=
B
1.Lukis garis bagi
1 2
2.Perpanjang
C (aksioma 6)
garis
bagi
tersebut
hingga
memotong AB di D (aksioma 9)
A
D
3.Dalam Δ ACD dan Δ BCD, AC=BC,
B
1= 2
(aksioma 6), CD=CD (berimpit), sehingga Δ
ACD kongruen dengan Δ BCD (S-A-S)
4.Jadi
A=
B (sudut yang berkoresponden
sama besar) (terbukti )
Dan sebaliknya jika diberikan Δ ABC dengan
A=
B maka AC = BC
Bukti :
1. Lukis garis bagi
C sehingga
2. Karena
B dan
A=
1=
1=
2 (aksioma 6)
2 maka
ADC =
BDC
3. Δ ADC kongruen dengan Δ BDC sehingga AC = BC (terbukti)
4. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis pada titik dari garis tersebut
5. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis yang melalui titik eksternal
Presented by: Bambang Riyanto and Oktiana Dwi Putra H; Mahasiswa Prodi
Magister Pendidikan Matematika Unsri
4
6. Pembentukan suatu sudut yang sama, dengan sudut, dengan titik sudut dan sisi yang
telah diberikan sebelumnya
7. Pembentukan segitiga yang kongruen dengan segitiga dengan sisi yang sama pada
sisi segitiga yang di ketahui
TEOREMA 1 : Teorema Sudut Eksterior (luar)
Sudut eksterior segitiga akan lebih besar daripada sudut interior (dalam)
terpencil (berjauhan) manapun.
Bukti :
ABC = Segitiga sembarang
F
C
D = Perpanjangan AB melalui B
Akdib :
ACB <
E
CBD
Bukti :
1. E pada BC sehingga BE = EC
A
( aksioma 7 )
B
D
2. F pada perpanjangan AE shg AE = EF
(aksioma 7)
3.
AEC =
FEB (bertolak belakang)
( postulat 1 )
Jadi Δ AEC kongruen dengan Δ FEB
( SAS )
ACE =
FBE <
ACE <
Jadi
FBE
EBD
EBD
ACB <
CBD terbukti
Presented by: Bambang Riyanto and Oktiana Dwi Putra H; Mahasiswa Prodi
Magister Pendidikan Matematika Unsri
5
TEOREMA 2 :
Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sehingga membentuk pasangan
sudut interior dalam berseberangan maka garis tersebut sejajar.
BUKTI :
1. Diberikan garis l dan m
h
2. Garis transversal h memotong l dan m
di A dan B sehingga membentuk
pasangan
sudut
interior
berseberangan yaitu
dalam
1 dan
l
1 A
C
2
B
2
yang sama besar
m
3. Misal l dan m tidak sejajar berarti akan bertemu di C dan terbentuk Δ ABC
(hipotesis)
4. C terletak di depan sisi AB
5.
1<
2 (menurut teorema 1)
6. Hal ini kontradiksi dengan
1=
2
7. Jadi garis l dan m sejajar (terbukti)
Corollary 1 : Dua garis tegak lurus terhadap garis yang sama pasti sejajar
Bukti :
Akdib bahwa jika l tegak lurus m dan l
l
tegak lurus n maka m sejajar n
1
2
Bukti :
1. l tegak lurus m →
1=
2. l tegak lurus n →
3=
3
2
( keduanya sudut siku-siku )
m
l
4
n
4
Presented by: Bambang Riyanto and Oktiana Dwi Putra H; Mahasiswa Prodi
Magister Pendidikan Matematika Unsri
6
3.
2=
3 (keduanya siku-siku)
3. Karena
2 dan
3 dua sudut
berseberangan maka m dan n sejajar
(teorema 2) (terbukti)
Corollary 2 : Hanya ada satu garis yang tegak lurus terhadap garis melalui titik
eksternal
Bukti :
Akdib bahwa ada tepat satu l sehingga l tegak lurus g , A € l , A € g
Bukti :
1. Anggap ada l ≠ m sehingga l tegak lurus g ,
A
m tegak lurus g , A € l dan A € m
Q
p
m
2. Ada tepat satu P sehingga P = ( l , g )
R
Ada tepat satu Q sehingga Q = ( m , g )
g
l
3. Terbentuk Δ APQ
4. Padahal :
5.
APR =
APR >
AQP
AQP
(Aksioma 11, sudut
siku-siku sama besar)
6. Jadi l = m
Kesimpulan : Ada tepat satu l sehingga l tegak lurus g , A € l , A € g ( terbukti ).
Corollary 3 : ( Eksistensi garis sejajar )
Jika titik P tidak berada pada garis l maka akan ada setidaknya satu
garis yang melalui P yang sejajar dengan l
Presented by: Bambang Riyanto and Oktiana Dwi Putra H; Mahasiswa Prodi
Magister Pendidikan Matematika Unsri
7
Bukti :
1. Lukis garis l
2. Titik P di luar garis l
3. Lukis garis dari P yang tegak lurus l dan memotong l di Q
4. Melalui titik P lukis garis m yang tegak lurus PQ
5. m sejajar l ( corollary 1 )
P
m
l
Q
TEOREMA 3
Jumlah dua sudut pada segitiga kurang dari 180°
BUKTI :
ABC = segitiga sembarang
C
Akdib :
B + C < 180°
Perpanjang AB melalui B hingga D maka
sdt CBD = sdt eksterior Δ ABC
CBD >
B
A
CBD >
ACB dan
180° -
CBA >
180° >
CBA +
Atau 180° >
B +
B+
ACB (teorema 1)
D
CBD = 180° -
CBA
ACB
ACB
C
C < 180 ° ( TERBUKTI)
Presented by: Bambang Riyanto and Oktiana Dwi Putra H; Mahasiswa Prodi
Magister Pendidikan Matematika Unsri
8
Ekivalensi Postulat Euclid Dan Playfair
Postulat Euclid :
“ Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sedemikian hingga jumlah dua sudut
interiornya (sudut dalam) pada satu sisi transversal adalah kurang dari 180°. Garis
tersebut akan bertemu pada satu sisi transversal tersebut”
Postulat Playfair :
“ Hanya ada satu garis sejajar pada garis yang melalui titik bukan pada garis tersebut”
Mengasumsikan postulat sejajar Euclid kita deduksi postulat Playfair
1.Diberikan garis l dan titik P bukan pada l
2.Akan ada garis melalui P sejajar l (corollary
P
21
3), misal m
m
n
3.Dari P ditarik garis tegak lurus l dengan kaki
l
Q
Q
4. Lukis garis n melalui P (n≠m)
5. Jika
1 adalah
siku-siku maka n
berimpit dengan m (berlawanan dengan
asumsi) maka
Jadi
1+
1=
lancip
Q < 180°
Mengasumsikan postulat Playfair kita deduksi postulat sejajar Euclid
1. Diberikan garis l dan m
h
2. l dan m di potong oleh garis transversal h
m
di P dan Q sehingga membentuk sudut
interior 1 dan
R
2
2 P
1 + 2 < 180° (postulat Euclid)
1 + 3 = 180° jadi
3.
4.
QPR =
QPR >
2<
3
1 3
Q
l
3 (berseberangan)
2 sehingga RP ≠ m
Presented by: Bambang Riyanto and Oktiana Dwi Putra H; Mahasiswa Prodi
Magister Pendidikan Matematika Unsri
9
Presented by: Bambang Riyanto and Oktiana Dwi Putra H; Mahasiswa Prodi
Magister Pendidikan Matematika Unsri
10