Penyelesaian Persamaan Linier Simultan

PENYELESAIAN
PERSAMAAN LINIER
SIMULTAN
PERSAMAAN LINIER SIMULTAN
• Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan
yang secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas
• Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel
bebas
• aij untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan
simultan
• xi untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan
simultan
PERSAMAAN LINIER SIMULTAN
• Penyelesaian persamaan linier simultan adalah
penentuan nilai xi untuk semua i=1 s/d n yang
memenuhi semua persamaan yang diberikan.
• AX = B
 a11
a
 21
 ...

a m1
• Matrik A = Matrik Koefisien/ Jacobian.
• Vektor x = vektor variabel
• vektor B = vektor konstanta.
a12
a 22
...
am2
... a1n   x1   b1 
... a 2 n   x 2  b2 

... ...   ...   ... 
   
... a mn   x n  bn 
PERSAMAAN LINIER SIMULTAN
• Persamaan Linier
Simultan atau Sistem
Persamaan Linier
mempunyai
kemungkinan solusi :
• Tidak mempunyai solusi
• Tepat satu solusi
• Banyak solusi
AUGMENTED MATRIX
• matrik yang merupakan perluasan matrik A dengan
menambahkan vector B pada kolom terakhirnya,
dan dituliskan:
• Augmented (A) = [A B]
 a11
a
 21
 ...

a m1
a12
a13
... a1n
a 22
a 23
... a 2 n
...
...
...
am2
a m3
...
... a mn
b1 
b2 
... 

bm 
THEOREMA 4.1.
• Suatu persamaan linier simultan mempunyai
penyelesaian tunggal bila memenuhi
syarat-syarat sebagai berikut.
• Ukuran persamaan linier simultan bujursangkar,
dimana jumlah persamaan sama dengan jumlah
variable bebas.
• Persamaan linier simultan non-homogen dimana
minimal ada satu nilai vector konstanta B tidak
nol atau ada bn  0.
• Determinan dari matrik koefisien persamaan linier
simultan tidak sama dengan nol.
METODE ANALITIK
• metode grafis
• aturan Crammer
• invers matrik
METODE NUMERIK
•
•
•
Metode Eliminasi Gauss
Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Metode Iterasi Gauss-Seidel
METODE ELIMINASI GAUSS
• Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang
dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu
menghilangkan atau mengurangi jumlah variable
sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable
bebas
• matrik diubah menjadi augmented matrik :
 a11 a12

a 21 a 22
 ...
...

a n1 a n 2
... a1n
... a 2 n
...
...
... a nn
b1 

b2 
... 

bn 
METODE ELIMINASI GAUSS
• ubah matrik menjadi matrik segitiga atas atau
segitiga bawah dengan menggunakan OBE
(Operasi Baris Elementer).
 a11
a
 21
 a31

 ...
a n1
a12
a13
... a1n
a 22
a 23 ... a 2 n
a32
a33
... a3n
...
...
...
an2
a n 3 ... a nn
...
b1 
b2 
b3 

... 
bn 
c11
0

0

 ...
 0
c12
c13
... c1n
c 22
c 23 ... c 2 n
0
c33 ... c3n
...
...
...
0
0
... c nn
...
d1 
d 2 
d3 

... 
d n 
OPERASI BARIS ELEMENTER
• Metode dasar untuk menyelesaikan Sistem
Persamaan Linier adalah mengganti sistem yang
ada dengan sistem yang baru yang mempunyai
himp solusi yang sama dan lebih mudah untuk
diselesaikan
• Sistem yang baru diperoleh dengan serangkaian
step yang menerapkan 3 tipe operasi. Operasi ini
disebut Operasi Baris Elementer
1. Multiply an equation through by an nonzero
constant.
2. Interchange two equation.
3. Add a multiple of one equation to another.
METODE ELIMINASI GAUSS
• Sehingga penyelesaian dapat diperoleh dengan:
dn
xn 
c nn
x n 1 
1
c n 1,n 1
 c
n 1, n
x n  d n 1 
.....................................
1
d 2  c23 x3  c24 x4  ...  c2 n xn 
x2 
c 22
1
d1  c12 x2  c13 x3  ...  c1n xn 
x1 
c11
CONTOH :
• Selesaikan sistem persamaan berikut:
x1  x 2  x3  6
x1  2 x 2  x3  2
2 x1  x 2  2 x3  10
• Augmented matrik dari persamaan linier simultan
tersebut :
1 1 1 6 
1 2  1 2 


2 1 2 10
CONTOH :
• Lakukan operasi baris elementer
B2  B1
B3  2B1
B3  B2
1
6 
1 1


0 1  2  4
0 1 0  2


6 
1 1 1
0 1  2  4 


0 0  2  6 
CONTOH :
• Penyelesaian :
6
x3 
3
2
1
x 2   4  (2)3  2
1
1
x1  6  2  3  1
1
ALGORITMA METODE ELIMINASI
GAUSS
METODE ELIMINASI GAUSS
JORDAN
• Metode ini merupakan pengembangan metode
eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik,
pada sebelah kiri diubah menjadi matrik
diagonal
 a11
a
 21
 a31

 ...
a n1
a12
a13
... a1n
a 22
a 23 ... a 2 n
a32
a33
... a3n
...
...
...
an2
a n 3 ... a nn
...
b1 
b2 
b3 

... 
bn 
1
0

0

...
 0
d1 
... 0 d 2 
... 0 d 3 

... ... ... 
... 1 d n 
0
0 ... 0
1
0
0
1
... ...
0
0
• Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah
nilai d1,d2,d3,…,dn dan atau:
x1  d1 , x2  d 2 , x3  d 3 ,...., xn  d n
CONTOH :
• Selesaikan
persamaan linier
simultan:
x1  x2  3
2 x1  4 x2  8
1
B2  2b1 
• Augmented matrik
dari persamaan linier
0
simultan
1 1
B 2 / 2
0 1
• Lakukan operasi
1
baris elementer
B1  B2 
0

Penyelesaian persamaan linier simultan :
1 1 3
2 4 8


x1 = 2 dan x2 = 1
1 3
2 2
3
1
0 2
1 1 
ALGORITMA METODE ELIMINASI
GAUSS-JORDAN
METODE ITERASI GAUSS-SEIDEL
• Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang
menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang
berubah.
• Bila diketahui persamaan linier simultan
a11
x1

a12
x2

a13
x3
 ... 
a1n
xn

a 21
x1

a 22
x2

a 23
x3
 ...  a 2 n
xn
 b2
a31
x1

a32
x2

a33
x3
 ... 
a3n
xn
 b3
...
... ...
...
... ...
...
... ... ... ...
...
... ... ...
a n1
x1
 ... 
a nn
xn
 an2
x2
 an3
x3
b1
 bn
METODE ITERASI GAUSS-SEIDEL
• Berikan nilai awal dari setiap xi (i=1 s/d n)
kemudian persamaan linier simultan diatas
dituliskan menjadi:
•
1
b1  a12 x 2  a13 x3  ....  a1n x n 
x1 
a11
1
b2  a 21 x1  a 23 x3  ....  a 2 n x n 
x2 
a 22
...............................................................
1
bn  a n1 x1  a n 2 x 2  ....  a nn1 x n 1 
xn 
a nn
METODE ITERASI GAUSS-SEIDEL
• Dengan menghitung nilai-nilai xi (i=1 s/d n)
menggunakan persamaan-persamaan di atas
secara terus-menerus hingga nilai untuk setiap xi
(i=1 s/d n) sudah sama dengan nilai xi pada iterasi
sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari
persamaan linier simultan tersebut.
• Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila
selisih nilai xi (i=1 s/d n) dengan nilai xi pada iterasi
sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang
ditentukan.
• Untuk mengecek kekonvergenan
CATATAN
• Hati-hati dalam menyusun sistem persamaan linier
ketika menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel
ini.
• Perhatikan setiap koefisien dari masing-masing xi
pada semua persamaan di diagonal utama (aii).
• Letakkan nilai-nilai terbesar dari koefisien untuk
setiap xi pada diagonal utama.
• Masalah ini adalah ‘masalah pivoting’ yang harus
benar-benar diperhatikan, karena penyusun yang
salah akan menyebabkan iterasi menjadi divergen
dan tidak diperoleh hasil yang benar.
CONTOH
x1  x2  5
2 x1  4 x2  14
• Berikan nilai awal : x1 = 0 dan x2 = 0 x  5  x
1
2
• Susun persamaan menjadi:
1
x 2  14  2 x1 
4
(5,1)
(4,3/2)
(7/2,7/4)
CONTOH
(13/4 , 15/8)
(25/8 , 31/16)
(49/16 , 63/32 )
(97/32 , 127/64)
CONTOH :
• Selesaikan sistem persamaan berikut:
x1  x 2  x3  6
x1  2 x 2  x3  2
2 x1  x 2  2 x3  10
• Augmented matrik dari persamaan linier simultan
tersebut :
1 1 1 6 
1 2  1 2 


2 1 2 10
HASIL DIVERGEN
HASIL KONVERGEN
ALGORITMA METODE ITERASI
GAUSS-SEIDEL
SOAL
• Selesaikan dg Eliminasi Gauss-Jordan x1 + x2 + 2x3 = 8
-x1 – 2x1 + 3x3 = 1
3x1 – 7x2 + 4x3 = 10
• x – y + 2z – w = -1
2x + y - 2z -2w = -2
-x + 2y – 4z + w = 1
3x
- 3w = -3
x  y  2z  9
2 x  4 y  3z  1
3x  6 y  5 z  0
• Selesaikan dg Gauss Seidel
• 5x1 + 2x2 + 6x3 = 0
-2x1 + x2 + 3x3 = 0
• X1 – 2x2 + x3 – 4x4 = 1
X1 + 3x2 + 7x3 + 2x4 = 2
X1 – 12x2 – 11x3 – 16x4 = 5
CONTOH PENYELESAIAN
PERMASALAHAN PERSAMAAN LINIER
SIMULTAN
• Mr.X membuat 2 macam boneka A dan B. Boneka A memerlukan
bahan 10 blok B1 dan 2 blok B2, sedangkan boneka B memerlukan
bahan 5 blok B1 dan 6 blok B2. Berapa jumlah boneka yang dapat
dihasilkan bila tersedia 80 blok bahan B1 dan 36 blok bahan B2.
• Model Sistem Persamaan Linier :
• Variabel yang dicari adalah jumlah boneka, anggap:
x1 adalah jumlah boneka A
x2 adalah jumlah boneka B
• Perhatikan dari pemakaian bahan :
B1: 10 bahan untuk boneka A + 5 bahan untuk boneka B = 80
B2: 2 bahan untuk boneka A + 6 bahan untuk boneka B = 36
• Diperoleh model sistem persamaan linier
10 x1 + 5 x2 = 80
2 x1 + 6 x2 = 36
CONTOH 1 :
• metode eliminasi Gauss-Jordan
• Diperoleh x1 = 6 dan x2 = 4, artinya bahan yang tersedia dapat
dibuat 6 boneka A dan 4 boneka B.
CONTOH 2 :
• Misalkan pada contoh diatas, 4 titik yang ditunjuk
adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4 titik ini
dapat didekati dengan fungsi polinom pangkat 3
yaitu :
• Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam
persamaan di atas akan diperoleh model
persamaan simultan sebagai berikut :
• Titik 1
 3=8a+4b+2c+d
• Titik 2
 6 = 343 a + 49 b + 7 c + d
• Titik 3
 14 = 512 a + 64 b + 8 c + d
• Titik 4
 10 = 1728 a + 144 b + 12 c + d
• Dengan menggunakan Metode Eliminasi Gauss-Jordan
a = -0,303
b = 6,39
c = -36,59
d = 53,04
y = -0,303 x3 + 6,39
x2 – 36,59 x + 53,04