Pertemuan I

Pertemuan I
KALKULUS I
3 SKS
Kontrak Perkuliahan
 Materi
Fungsi dan Teori Limit
Turunan dasar, berantai dan parsial
Aplikasi Turunan
Integral
Aplikasi Integral
Kontrak Perkuliahan
 Pustaka
Kuhfitting, P.KF. 1984. Basic Technical Mathematics
with Calculus. California: Brooks/ Cole Publishing
Company
Faires, J.D.1988. Calculus. Second Edition. New York:
Random House
Purcell, E.J & Varberg, D.1996. Kalkulus dan Geometri
analisis. Jilid I dan II. Edisi Kelima. Jakarta:
Erlangga
dsb
Kontrak Perkuliahan
 Penilaian
UTS: 30 %
UAS: 30 %
Tugas: 40%
- Quiz : 20 %
- Tugas (Paper/ Makalah): 15 %
- Keaktifan: 5%
MATERI
FUNGSI:
 Pengertian fungsi
 Istilah dan lambang fungsi
 Grafik fungsi
 Jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi fungsi
 Fungsi Komposisi
 Fungsi Invers.
1. PENGERTIAN FUNGSI
A. Relasi
Relasi adalah hubungan antara anggota himpunan
asal (domain) dengan anggota himpunan kawan
(kodomain)
Contoh :
Relasi antara negara dan ibu kota.
Relasi bilangan yang lebih besar dari.
Relasi kuadrat suatu bilangan, dsb
1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..
Relasi dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu :
l. Diagram panah
2. Himpunan pasangan berurutan
3. Diagram Cartesius
Contoh :
Via: aku senang permen dan coklat
Andre: aku senang coklat dan es krim
Ita: aku suka es krim
1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..
Diagram panah
1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..
Himpunan pasangan berurutan
{ (Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) ,
(Andre,es krim) , (Ita,es krim)}
Diagram Cartesius
1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..
B. Fungsi
Relasi yang bersifat khusus.
Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi
yang mengawankan setiap anggota himpunan A dengan
tepat satu anggota himpunan B.
Syarat fungsi:
1. Ada himpunan asal (domain)
2. Ada himpunan kawan (kodomain)
3. Ada himpunan daerah hasil (range)
4. Semua anggota daerah asal (domain) habis dipetakan
5. Tidak ada anggota himpunan asal yang memiliki 2
bayangan atau lebih
1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..
B. Fungsi
Relasi yang bersifat khusus.
Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi
yang mengawankan setiap anggota himpunan A dengan
tepat satu anggota himpunan B.
Syarat fungsi:
1. Ada himpunan asal (domain)
2. Ada himpunan kawan (kodomain)
3. Ada himpunan daerah hasil (range)
4. Semua anggota daerah asal (domain) habis dipetakan
5. Tidak ada anggota himpunan asal yang memiliki 2
bayangan atau lebih
1. PENGERTIAN FUNGSI lanj..
Korespondensi satu-satu
Fungsi dari A ke B dikatakan berkorespondensi satu-satu jika
merupakan relasi yang menghubungkan setiap anggota A
dengan tepat satu anggota himpunan B dan sebaliknya.
2. Istilah dan Lambang Fungsi
Notasi Fungsi :
Untuk memberi nama fungsi, biasanya digunakan
sebuah huruf tunggal, seperti f.
Maka f(x) yang dibaca “f dari x” atau “f pada x”
menunjukkan nilai yang diberikan oleh f terhadap x,
atau aturan yang harus dipenuhi oleh x
Contoh : Jika f(x) = x2 + 2x+1, maka :
f(0) =
f(1) =
f(a) =
f(a+b) =
Contoh :
1. Untuk f(x) = 3x2 – 4x+2, cari dan sederhanakan :
a. f(5)
b. f(5+h)
c. f(5+h) – f(5)
d. [f(5+h) – f(5)]/h
2. Untuk g(x) = 2/x, maka tentukan
[g(a+h)-g(a)]/h
Variabel Bebas dan Terikat
 Jika aturan untuk suatu fungsi diberikan oleh
sebuah persamaan berbentuk y = f(x), maka x
disebut variabel bebas, dan y disebut variabel tak
bebas/terikat.
 Contoh : y = f(x)= x +2, maka x adalah variabel
bebas, dan y variabel terikat.
Daerah Asal dan Daerah Hasil
Pada suatu fungsi, selain ditentukan notasi/aturan,
juga daerah asal fungsi (domain), yang merupakan
sumber nilai dari suatu fungsi, dan daerah hasil
fungsi (kodomain), yang merupakan nilai hasil dari
aturan yang ada.
Jika tidak disebutkan apapun juga, maka selalu
dianggap bahwa daerah asalnya adalah himpunan
bilangan real.
Waspadai bilangan yang menyebabkan munculnya
pembagian dengan nol atau akar kuadrat bilangan
negatif.

Latihan:
Carilah daerah asal dan daerah hasil dari :
a.
b.
c.
d.
e.
f(x) = 2 / x-8
f(w) = 1 / (9-w2)1/2
g(x) = (x-5)/x
f(x) = 5x2+3x
f(x) = x / (x-1)
3. Grafik Fungsi
 Jika daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi
merupakan himpunan bilangan real, maka dapat
dibayangkan
fungsi
itu
dengan
cara
menggambarkan grafiknya pada bidang koordinat.
 Contoh : Tentukan daerah asal, daerah hasil dan
grafik fungsi :
i. f(x) = (x-2)/x
ii. g(x) = ( 4 – x)1/2
4. Jumlah, Selisih, Hasil Kali dan
Hasil Bagi Fungsi
 Jika f(x) dan g(x) adalah dua buah fungsi dengan
daerah asal masing-masing, maka :
(f+g)(x) = f(x) + g(x)
(f-g)(x) = f(x) - g(x)
(f.g)(x) = f(x) . g(x)
(f/g)(x) = f(x) / g(x)
Catatan : hati-hati dengan daerah asal!
Contoh:
 Jika f(x) = (x-1) /2 dan g(x) = (x)1/2, maka tentukan
jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi dari kedua
fungsi tersebut, beserta daerah asalnya.
 Jika f(x) = 1/(x+2) dan g(x) = 2x-1, maka tentukan
jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi dari kedua
fungsi tersebut, beserta daerah asalnya.
5. Fungsi Komposisi
 Jika f adalah fungsi pada x untuk menghasilkan




f(x) dan g adalah fungsi pada f(x) untuk
menghasilkan g(f(x)), dikatakan bahwa telah
dilakukan komposisi g dengan f.
Fungsi yang dihasilkan disebut komposisi g dengan
f, yang dinyatakan oleh g ○ f.
Jadi : (g ○ f)(x) = g(f(x))
Komposisi f dengan g dinyatakan oleh f o g.
Jadi : (f o g)(x) = f(g(x))
Latihan (1):
 Jika diketahui f(x) = (x-2)/1 dan g(x)= (x)1/2, maka
tentukan (g ○ f)(x) dan (f ○ g)(x)
 Jika diketahui f(x) = 2x2 dan g(x)= x-5 maka tentukan
(g ○ f)(x) dan (f ○ g)(x)
 Jika f(x) =2x2+5x dan g (x) = 1/x maka tentukan
(fog)(2)
 Jika f(x) = x2+4 dan g(y)=2/(y)1/2 maka tentukan
(gof)(t)
Latihan (2):
 Jika f(x) = 2x+5 dan g(x) = (x-1)/(x+4). Jika (f o g)
(a)= 5 maka tentukan a
 Jika f(x) = -x+3 maka tentukan f(x2)+f2(x)-2f(x)
 Jika f(x) = 2x , g(x) = x+1, dan h(x) = x3 maka
tentukan (h o g o f)
 Jika f(x) = 2x2+3x-5 dan g(x)=3x-2, agar
(gof)(a)=-11 maka tentukan a
6. Fungsi Invers
Jika fungsi f : A  B, maka fungsi
g : B  A merupakan fungsi invers dari fungsi f,
yang dilambangkan dengan f -1(x)
 Contoh 1: Jika f(x) = (x-5)/10, maka tentukan f 1(x)
 Contoh 2: Jika f(x) = 1/x2, maka tentukan f -1(x)
Latihan:
 Jika f(x)-1 = (x-1)/5 dan g(x)-1 = (3-x)/ 2 maka
tentukan (f 0 g)-1 (6)
 Jika f (x) = ½ x -1 dan g (x) = 2x+4 maka tentukan
(g o f)-1 (10)
 Jika f(x) = 2x dan g(x) = 3 - 5x. Tentukan (g o f)-1
(x)
 Jika (f o g)(x) = 4x2+8x-3 dan g(x)= 2x+4 maka
tentukan f-1(x)
TUGAS
1
1. Lakukan wawancara sederhana terhadap 5 orang temanmu,
kemudian tanyakan nomor sepatu/bulan lahir/tanggal lahir/kota
lahir/makanan kesukaan/warna kesukaan/tinggi badan/berat
badan mereka. Kemudian, jawablah pertanyaan berikut.
a) Jika A himpunan nama teman-temanmu, tulislah anggota A!
b) Jika B himpunan (baca soal diatas) teman-temanmu, tulislah
anggota B !
c) Nyatakan relasi himpunan A ke himpunan B dengan diagram
panah, dan dengan himpunan pasangan berurutan.
2. Untuk f(x) = 3x2 – 4x+2, cari dan sederhanakan :
[f(nim+h) – f(nim)]/h
3. Carilah daerah asal dan daerah hasil beserta grafiknya dari :
a. g(x) = 2x2 + 5
(NIM gasal)
b. f(x) = x2 - 2x
(NIM genap)
TUGAS
2
1. Diketahui f(x) = x2 + 1 dan g(x) = 2x – 3. Tentukan:
a. (f o g)(x)
b. (g o f)(x)
2. Diketahui f(x) = x + 3 dan (f o g)(x) = x2 + 6x + 7, maka
tentukan g(x) !
3. Tentukan rumus fungsi invers dari fungsi f ( x)  2 x  5 , x   1
3x  1
4. Jika diketahui f(x) = x + 3 dan g(x) = 5x – 2
Tentukan (f o g)-1(x)
3
Pertemuan II
KALKULUS I
3 SKS
Jenis-jenis Fungsi
Fungsi
Fungsi aljabar
Fungsi non aljabar
f.irrasional
f.rasional
f. Polinom
f.linear
f.kuadrat
f. Eksponensial
f. logaritmik
f. Trigonometrik
f. hiperbolik
f.pangkat
Fungsi Aljabar
 Fungsi Kuadrat (Parabola)
f(x)=ax2+bx+c
dengan a, b, c adalah konstanta dan a tidak sama dengan
nol
Contoh:3x2+2x+1
 Fungsi Pangkat Tiga (Kubik)
f(x)=ax3+bx2+cx+d
dengan a, b, c adalah konstanta dan a tidak sama dengan
nol
Contoh:x3+x2+5x
Fungsi Aljabar
 Fungsi Polinom (Suku Banyak)
f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0
Contoh:
f(x)=-x5+7
 Fungsi Linier
f(x)=ax+b
Contoh:5x+9
Fungsi Trigonometri
 Apabila sebuah sudut sebesar θ derajat ditempatkan dalam
kedudukan standar pada pusat sebuah lingkaran berjarijari c seperti pada gambar di bawah, maka harga-harga
sinus, cosinus, dan tangen dari sudut ini diberikan oleh
rumus-rumus berikut:
sisi yang berhadapan
sin  
sisi miring
c
b

a
b
sin  
c
Fungsi Trigonometri lanj..
sisi yang mengapit
cos inus  
sisi miring
a
cos  
c
sisi yang berhadapan
tan gen  
sisi yang mengapit
b
tan  
a
Pertemuan III
KALKULUS I
3 SKS
1. Identitas Trigonometri
2. Fungsi Pangkat
3. Fungsi Eksponen
1. Identitas Trigonometri
• Kesamaan Ganjil-Genap
• Kesamaan Fungsi Trigonometri
• Kesamaan Jumlah
• Kesamaan Sudut Rangkap Dua
Kesamaan Ganjil - Genap
sin  x    sin x
cos x   cos x
tan  x    tan x
Kesamaan Fungsi Trigonometri
sin A  cos A  1
2
2
1
2
1  tan A 
 sec A
2
cos A
2
2
1  cot A  csc A
2
sin A
tan A 
cos A
Kesamaan Fungsi Trigonometri..lanj
INGAT !
sec x =
1
cos x
cosec x = 1
sin x
cot x =
1
= cos x
tan x
sin x
Kesamaan Jumlah
sin  A  B   sin A cos B  cos A sin B
sin  A  B   sin A cos B  cos A sin B
cos A  B   cos A cos B  sin A sin B
cos A  B   cos A cos B  sin A sin B
tan A  tan B
tan  A  B  
1  tan A tan B
tan A  tan B
tan  A  B  
1  tan A tan B
Kesamaan Sudut Rangkap Dua
sin 2 A  2 sin A cos A
cos 2 A  cos A  sin A  2 cos A  1  1  2 sin A
2
2
2
2tgA
tg 2 A 
2
1  tg A
LATIHAN
1.
2.
3.
1  tgA
 sec A
sin A  cos A
sin 2   sin 2  cos 2   cos 4   1
sin 4   cos 4   1  2 cos 2 
2
Latihan Kelompok
1.
2.
2
 tan 2 x
cot x  tan x
sec 2 t  1
2

sin
t
2
sec t
cos 
cos 

 2 sin 
1  sin  1  sin 
2
3.
2
4.
5.
sin A
1  cos A

sec A  1
tgA
cos2 A  tg 2 A  1
2

sin
A
2
tg A
Tugas 3
1.
cos A
1  sin A

 2 sec A
1  sin A
cos A
2.
(cot A  1)  csc A  2 cot A
3.
tan A  cot A
1

tan A  cot A 2 sin 2 A  1
4.
1  sin A
(sec A  tan A) 
1  sin A
2
2
2
Pertemuan V
KALKULUS I
3 SKS
2. Fungsi Pangkat
yx
n
y: variabel tak bebas
x: variabel bebas
n: konstanta
Identitas fungsi Pangkat:
1.
2.
3.
4.
x a .x b  x a  b
x :x  x
a
b
x 
a b
xa  1/ xa
a
5.
 x a.b
a
x
x
 
   a
z
z
a b
6.
7.
a x x
b
x0  1
b
a
Latihan
1.
2.
3.
4.
5.

 4 2a b
3

4 2

6.
10a  5a 
3
2
7.
3 p q   3 pq 
2
3 5
2 2



 27a 3b 6   3ab 2 
 32   1 12 
 4x    x  

 2 

 

8.
9.
10.
10 x 3 (2 y ) 4 . y 2

6
2
2. y .4
a b c xa
2
3 p
3 3
1
q
4
 : 3
2 2

b 2 c 2 
2
2
p q

3 1
b 2 a 3 a 4 b 4
 1 
2
a b
b
 1  2m 1  m  2 
 1


1 
1 
 2  m  2m 

3. Fungsi Eksponen
ya
x
y = peubah tak bebas
a = konstanta,
x = peubah bebas
(i) af(x) = ap maka f(x) = p
(ii) af(x) = ag(x) maka f(x) = g (x)
(iii) af(x) + ag(x) = c maka af(x) + ag(x) =a0
f(x) + g (x) = 0
a 0
Latihan
1.
3.
5.
2
7
6
x2
1

8
7 x 10
x 2  2 x 1
 343
 1 


 216 
2 x 6
1
2.
8
4.
3 x 2  x 6
5

5
 2 x2  x2

2 x 2  5 x  2
6.
5
2 x2

 25 
x
1
Tugas 4
a.
b.
c.
d.
e.
4
9
x 3
x 3
 2 .2
x2
f.
 3 .3 x
2
2 x 3
.125
125
7 2

16
216.36
x2

h.
 216
3
2
4

 216
1x
3

2
 23

5
4x  2x  2  0
x
i.
1
1
2 2
2 x 5
.3
x x
g.
( x 2 2 x )
2 x 5
5  .5
x2
14.2 ( 2 x  3)
5
x
j.
2 2 x 3
7

4
x4
x

2
2 2
2.32 x 1  3x  5
Pertemuan VI
KALKULUS I
3 SKS
LIMIT FUNGSI
 Tinjau
fungsi yang ditentukan oleh :
x 1
f(x) =
pada x = 1
x 1
3
 Tetapi
, bagaimana nilai f(x) jika x mendekati 1?
 Perhatikan
tabel di bawah ini :
LIMIT FUNGSI
x
1,25
1,1
1,01
1,001

1,000

0,999
0,99
0,9
0,75
x3 1
f ( x) 
x 1
3,813
3,310
3,030
3,003

?

2,997
2,970
2,710
2,313
LIMIT FUNGSI
Dari tabel yang ada, dapat disusun suatu kesimpulan
yaitu : f(x) mendekati 3 saat x mendekati 1.
Secara matematis ditulis
x3 1
lim
3
x 1 x  1
MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI
 Bentuk tak tentu 0/0
dapat diselesaikan dengan 2 cara :
1. Memfaktorkan
F ( x)
( x  a ) f ( x)
lim
 lim
x a G ( x)
x a ( x  a ) g ( x)
2x  2
lim
x 1
x 1
2
CONTOH:
MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI
2. L’Hospital
F ' ( x)
lim F ( x)  lim
x a
x a G ' ( x)
2x  2
lim
x 1
x 1
2
CONTOH:
yc
y'  0
y  xn
y'  n. x n 1
y  a.x n y'  a.n.x n-1
MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI
 Bentuk tak tentu ~/~
dapat diselesaikan dengan :
Membagi pembilang dan penyebut dengan
pangkat tertinggi penyebut
x3
lim 2
x  x  x  12
MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI
Soal ini dapat diselesaikan dengan menggunakan
rumus sbb :
m
m 1
ax  bx  ...
lim
x  px n  qx n 1  ...
Jika m = n hasilnya a/p
Jika m > n hasilnya ~
Jika m< n hasilnya 0
x3
jadi lim 2
0
x   x  x  12
karena pangkat pembilang < pangkat penyebut
MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI
Contoh soal :
x  x 1
lim
x 
x 1
2
karena m > n
x  x 1
jadi lim

x 
x 1
2
MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI
f ( x)
 Bentuk lim
xa g ( x)
Jika f(x) atau g(x) merupakan bentuk akar,
maka f(x) atau g(x) dikalikan dengan sekawan
f(x) atau sekawan g(x).
CONTOH:
lim
x 5
x  4  14  x
2
x  2 x  15
MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI
 Bentuk lim ( x 2  2 x  5 )  x 2  2 x  11
x 
gunakan rumus sbb:
lim ( ax  bx  c  ax  px  q 
2
2
x 
b p
2 a
berlaku jika konstanta kuadratnya sama (a)
Diketahui b=-2 ; p =2 ; a =1
Latihan
Tentukan nilai dari limit dibawah ini:
a. lim ( x  5)
x 3
1  2t
c. lim
t 1 3t  21
x3  4 x2  x  6
e. lim
x 1
x 1
g.
t 2  4t  21
lim
t  7
t 7
2
b. lim ( x  2 x  1)
x2
d.
x2  4
lim
x 2 x  2
x2  t2
f. lim
x  t x  t
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
sin x
lim
1
x 0
x
x
lim
1
x  0 sin x
cos x
lim
1
x 0
x
x
lim
1
x 0 cos x
x
lim
1
x 0 tg x
tgx
lim
1
x 0 x
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Sudut-Sudut Istimewa
sin cos tan 0 30 45 60 90 derajat
Θ
00
Sin θ
0
Cos θ
1
Tan θ
0
300
1
1
1
450
1
2
2
2
3 1
3
2
2
1
600
2 1
2
3
2
1
900
1
2
0
3
∞
Latihan
Tentukan nilai dari limit dibawah ini:
cos x
a. lim
b.
x 0 x  1
c.
3x tgx
lim
x 0 sin x
e.
sin 3 x
lim
x 0
2x
cos2 t
lim
t 0 1  sin t
sin x
d. lim
x 0 2 x
Tugas 5
Tentukan nilai dari limit dibawah ini:
x2  4
a. lim 3
x 2 x  1
c.
4  5x 2  x 
lim
t  2  x 1  x 
e. lim
x 2
sin  x  2 
x2  4
x 2  3x  18
b. lim
x 3
x 2  3x
d.
cos 2 x  1
x 0
x2
lim
f. lim
x 0
cot x
cot 2 x