Limit dan Kontinuitas

Modul Matematika 2012
Minggu ke 6
LIMIT FUNGSI (LIMITS OF FINCTIONS)
A. BARISAN (SEQUENCES) VS.
LIMIT FUNGSI (LIMITS OF FUNCTIONS)
Contoh :
Sequence :
f(n) = 2 + 1/10n → 2,1, 2,01, 2,001, 2,0001, …, 2 + 1/10n
maka :
Limit dari fungsi f(x) = x2,
dimana variabel x bergerak diatas sequence itu menuju 2 atau x→2,
sehingga f(x) = x2 menuju 4, yaitu :
4,41, 4,0401, 4,004001, …, {(2 + 1/10n)2 = 4} pada x menjadi 2
untuk x = 2 + 1/10n dengan n→∞
jadi lim x 2 4
x
2
B. LIMIT FUNGSI (LIMITS OF FUNCTIONS) :
DEFINISI & PEMBUKTIANNYA,
1. Definisi
lim f ( x)
x
A
→ apabila untuk setiap bilangan positif
sekecil apapun,
a
maka dapat diperoleh bilangan positif
sehingga f ( x) A
jika 0 < x a <
|
a
| |
a X0
|
a
|
A
(besarnya tergantung )
, berarti :
| |
A f(x0)
|
A
Jadi x→a (variabel x bergerak menuju dan hanya dekat ke titik atau angka a di
atas sequence), maka fungsi f(x) menuju dan hanya dekat ke nilai atau angka A.
2. Pembuktian Definisi Limit Fungsi
Contoh :
Suryari Purnama
1
Modul Matematika 2012
x 2 jika x 2
0 jika x 2
f ( x)
sehingga jika x→2, maka f(x) →4, jadi
lim x
x
2
4
2
Bukti
Pilih
1 , maka
0 < x a < menjadi 0 < x 2 < 1 yang berarti 1< x < 3 untuk x ≠ 2
Karena x2 4 ( x 2)(x 2) x 2 x 2
x 2 5 .
Dengan pilih
1 atau / 5 atau mana yang terkecil, sehingga
menjadi x 2 4
jika 0 < x 2 < (=1), jadi terbukti.
f ( x) A
Misal, ingin x 2 4
(=0,05), jadi
=
5
= 0,01, jadi jika
0 < x 2 < (=0,01), maka 1,99 < x < 2,01 (x ≠ 2), sehingga
3,9601 < x2 < 4,0401 atau ─ 0,0399 < x2 ─ 4 < 0,0401
berarti |x2 ─ 4| < 0,05 dimana (x2 ≠ 4)
Misal, ingin x 2 4
(=6) dan pilih
1 , juga terbukti, coba!
3. Limit Fungsi Unik
Pada
A , variable x menuju titik atau angka a bisa dari kiri
lim f ( x)
x
a
lim f ( x)
A1 (left hand limit) dan
lim f ( x)
A (unik atau hanya satu-satunya)
x
Maka
atau x→a─, atau dari kanan yaitu x→a+, sehingga
a
x
lim f ( x)
x
A2 (right hand limit)
a
a
hanya apabila benar2 (if and only if)
{ lim f ( x)
x
a
A1 } = { lim f ( x)
x
Bukti :
Untuk
0 , maka bisa diperoleh
f ( x) A1
/ 2 jika 0 < x a <
A1
A2 = A1
Karena
f ( x)
A2 }
a
0 , sehingga
dan f ( x) A2
f ( x) A2 < A1
/ 2 jika 0 < x a <
f ( x) + f ( x) A2 < / 2
/2
sangat kecil dan bahkan menjadi 0, maka A1=A2, jadi terbukti.
4. Infinity
Suryari Purnama
2
Modul Matematika 2012
 Infinite limits
(infinite) :
lim f ( x)
x
a
apabila untuk bilangan positif M (apapun besarnya), terdapat
bilangan positif sehingga f ( x) M jika 0 < x a < .
Juga, lim f ( x)
(infinite) :
x
a
apabila untuk bilangan positif M (apapun besarnya), terdapat
bilangan positif sehingga f ( x) M jika 0 < x a < .
Juga berlaku untuk notasi dengan x→a+ dan x→a─.
 x→∞
lim f ( x)
→ apabila untuk setiap bilangan positif
A
sekecil
x
apapun, maka dapat diperoleh bilangan positif
(besarnya tergantung ) sehingga f ( x) A
jika x > M → bandingkan dengan definisi di atas.
(infinite) :
lim f ( x)
x
apabila untuk bilangan positif M (apapun besarnya), terdapat
bilangan positif P sehingga f ( x) M jika x > P.
5. Teori Limit Fungsi
Dengan
x
1).
2).
3).
a
x
a
lim
x
4).
a
lim f ( x)
lim k. f ( x)
x
n
f ( x)
a
lim f ( x)
x
A dan
lim f ( x)
a
Suryari Purnama
lim f ( x)
x
B
a
A (konstan) → apabila f ( x)
A (konstan)
k.A
n
lim f ( x) =
x
g ( x)
n
→ (bilangan riil)
A
a
lim f ( x) lim g ( x)
x
a
x
A
B
a
3
Modul Matematika 2012
5).
g ( x)
lim gf ((xx))
lim f ( x)
x
6).
lim f ( x) . lim g ( x)
lim f ( x) .
a
x
x
x
a
lim g ( x)
x
a
a
x
a
A
dan B
B
A.B
a
0
Catatan :
Konsep dari limit (the concept of limit) → Lihat C&W (Book 1) Ch. 6 hal.
129-135).
Teori limit (limit theorems) → Lihat C&W (Book 1) Ch.6 hal. 139-141).
6. Contoh
1).
lim 1
1
x
lim 1
1
x2
x
2).
x
3).
x
1
lim ( x
2
5)
x
4).
x2 )
lim (2
x
5).
lim
x
6).
x
1 x
1
1 x2
1
lim ( x
2
2 (buktikan dan bandingkan dengan contoh di atas)
5) (2 x 2 )
7 (bandingkan dengan contoh di atas)
x
7). Special limits :

lim
1
x
1
x
x
e dan
x

ex 1
1
lim
x
x 0

lim ln x
x 1
x
lim 1
x
1/ x
e
0
1
1
Suryari Purnama
4
Modul Matematika 2012
7. Soal Latihan
1).
lim
x
2).
6 x3 x 2
x 1
1
1
lim ( x
x
3).
2x4
x 3
x 3
f ( x)
x 3
lim f ( x)
x
b). Cari
c). Cari
x
5).
1
lim 3
x
6).
2
3
x 4
x 12
4 x3
x3 5
lim
x2 x 2
4 x3 1
lim
2 x3
x3 1
x
7).
2
3
lim f ( x)
x
lim x
3
lim f ( x)
x
4).
, x 3
0
a). Cari
x
1
Suryari Purnama
8
Mm
1) 4
1
3
1
7
6
0
5
Modul Matematika 2012
Bahan 6.2.
KONTINUITAS FUNGSI
(FUNCTION CONTINUITY OR
CONTINUOUS FUNCTIONS)
1. Tiga syarat untuk fungsi kontinyu (continuous functions)
Fungsi f(x) dinyatakan kontinyu pada titik atau angka x = x0, apabila 3 syarat
dipenuhi :
1). f(x) pada x = x0, atau f(x0), diperoleh (defined).
2).
lim f ( x)
angka ( diperoleh)
lim f ( x)
f ( x0 )
x
3).
x
x0
x0
 Fungsi dinyatakan continuous pada suatu interval (open or closed), apabila
continuous di setiap titik pada suatu interval.
 f(x) = x2 + 1 continuous pada x = 2 karena lim f ( x) f ( x0 2) = 5 →
x
x0
tiga syarat di atas dipenuhi.
 f(x) = 4 x2
tidak continuous pada x = 3 karena f(x=3) =
5 1 adalah angka imaginer → tiga syarat di atas tidak dipenuhi.
 Jadi, fungsi dinyatakan continuous, apabila fungsi continuous pada setiap
titik di atas domain fungsinya :
Suryari Purnama
6
Modul Matematika 2012
 Maka f(x) = x2 + 1 (serta semua fungsi polynomial pada x, juga
demikian untuk fungsi rasional sepanjang fungsi pada penyebut tidak
nol) adalah continuous function.
 Hanya di atas an open interval a < x < b pada domain fungsinya,
karena : lim f ( x) f (a) dan lim f ( x) f (b)
x
a
x
b
Sedangkan dua limit itu tidak diperoleh apabila di atas a closed interval
a ≤ x ≤ b.
 Kanan dan kiri kontinuitas (right and left hand continuity)
Apabila f(x) terdefinisi (is defined) hanya pada interval x ≥ x0, maka f(x)
continuous (on the right) pada x = x0, jika :
+
lim f ( x) f ( x0 ) yaitu f(x0 ) = f(x0)
x
x0
Apabila f(x) terdefinisi (is defined) hanya pada interval x ≤ x0, maka f(x)
continuous (on the left) pada x = x0, jika :
─
lim f ( x) f ( x0 ) yaitu f(x0 ) = f(x0)
x
x0
2. Contoh Continuous Functions dan Discontinuous Functions
1).
x 2 jika x 2
0 jika x 2
f ( x)
sehingga jika x→2, maka f(x) →4, jadi
lim x
x
2
4
2
Jadi f(x) continuous selain pada x = 2.
Tapi f(x) = x2 untuk semua x, maka lim x 2 4 , jadi continuous pada
x
2
semua titik termasuk x =2.
f(x)
2). f(x) =
1
x 2
discontinuous pada x = 2
karena f(2) dan lim f ( x)
x
0
2
x
2
tidak diperoleh (exists).
Bahkan berupa
infinite discontinuous.
Suryari Purnama
7
Modul Matematika 2012
3). f(x) =
x2 4
x 2
f(x)
4
discontinuous pada x =2
karena terdapat lubang (a hole)
sehingga f(2) tidak diperoleh
(defined) yaitu 0/0, walaupun
lim f ( x) 4 (defined).
x
○
0
2
x
2
Discontinuity dimaksud dapat
meredefinisi fungsi menjadi :
f(x) =
dihilangkan
(removable)
dengan
x2 4
; x≠2
x 2
x2 4
Catatan grafik atau kurva f(x) =
dan g(x) = x + 2 sama,
x 2
Kecuali pada fungsi rasional itu terdapat lubang ( a hole).
Catatan :
Fungsi kontinyu dan layak mempunyai derivatif (continuity and
differentiability of a function) → Lihat C&W (Book 1) Ch. 6 hal. 141-146).
Suryari Purnama
8
Modul Matematika 2012
Suryari Purnama
9