Catatan Kuliah Gelombang

Catatan Kuliah Gelombang
Sri Soejati, M.Eng.Sc, Dede Djuhana, M.Si dan Iwan Sugihartono, M.Si
Departemen Fisika-QUE Project
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Indonesia
Depok 2004
Copyright© 2004 Que Project Departemen Fisika
Kata pengantar
Rasa syukur yang mendalam kami panjatkan kepada Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya
sehingga kami dapat menyelesaikan Buku catatan kuliah gelombang. Buku ini merupakan
catatan kuliah yang diajarkan dalam kuliah gelombang di Departemen Fisika pada semester
tiga. Pembuatan buku ini didanai dari kegiatan Teaching Grant–QUE Project Departemen
Fisika Agustus 2003 sampai Maret 2004. Materi buku ini hampir sebagian besar diambil dari
buku The physics of vibrations and Waves karangan H.J. Pain.
Buku catatan ini seluruhnya dikerjakan dengan menggunakan LATEX 2ε yaitu program pengolah kata(typesetting program) yang banyak digunakan dalam penulisan ilmiah. Dan pada
kesempatan ini kami ingin mengucapkan terima kasih kepada saudara Dede Djuhana dan
Iwan Sugihartono yang membantu dalam penyelesaian buku ini.
Tidak ada gading yang tak retak demikianlah ungkapan untuk buku ini yang jauh dari sempurna. Akhir kata kami berharap semoga buku ini dapat memberikan manfaat bagi mahasiswa
dalam mengikuti kuliah gelombang.
Depok, Agustus 2004
Sri Soejati, M.Eng.Sc
i
Daftar Isi
Kata Pengantar
i
Daftar Isi
ii
Daftar Tabel
v
Daftar Gambar
vi
1 Gerak Harmonik Sederhana & Teredam
1
1.1 Persamaan gerak harmonik sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Energi dari GHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3 Superposisi 2 GHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3.1 Satu dimensi,frekuensi sama dan amplitudo dan fase berbeda . . . . . .
4
1.3.2 Satu dimensi, beda frekuensi, amplitudo dan fase sama . . . . . . . . . .
4
1.4 Superposisi dari 2 GHS yang saling tegak lurus . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4.1 Frekuensi sama, amplitudo dan fase berbeda . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4.2 Amplitudo dan fase berbeda dan periode perbandingan 1:2 . . . . . . . .
6
1.5 Superposisi sejumlah n GHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.5.1 Superposisi sejumlah n GHS yang sama amplitudo dan berbeda fase tetap 7
1.5.2 Superposisi n GHS denga amplitudo sama dan fase sembarang . . . . .
8
1.6 Gerak Harmonik Teredam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.6.1 Energi dissipasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2 Osilator dengan gaya yang memaksa(The force oscillation)
2.1 Osilator Listrik
13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.2 Osilator Mekanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3 Daya dari gaya memaksa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
ii
iii
DAFTAR ISI
3 Osilasi Terkopel
21
3.1 Osilator terkopel dengan kopling pegas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.2 Koordinat normal, frekuensi normal, modus normal dan derajat kebebasan . . .
23
3.3 Metode umum penentuan frekuensi modus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.4 Kopling massa atau induktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.5 Osilator terkopel pada dawai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4 Gelombang Transversal
32
4.1 Gelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.2 Persamaan Gelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.2.1 Persamaan gelombang dalam tali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.3 Impedansi karakteristik suatu dawai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.4 Refleksi dan Transmisi gelombang pada dawai diperbatasan . . . . . . . . . . .
36
4.5 Refleksi dan Transmisi Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.6 Gelombang berdiri pada dawai dengan panjang tetap . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.7 Energi dawai bervibrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4.8 Grup gelombang dan kecepatan grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4.9 Gelombang grup dan teorema lebar band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4.10 Gelombang transversal dalam struktur periodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.11 Rangkaian linier dari 2 macam atom dalam kristal ionik . . . . . . . . . . . . . .
47
4.12 Absorpsi radiasi IR oleh kristal ionik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4.13 Efek Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
5 Gelombang Longitudinal
50
5.1 Gelombang bunyi dalam gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
5.2 Energi distribusi pada gelombang bunyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
5.3 Intensitas gelombang bunyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
5.4 Impedansi akustik spesifik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
5.5 Gelombang longitudinal dalam pegas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
5.6 Gelombang longitudinal kawat elastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
5.7 Gelombang longitudinal dalam zat padat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
5.8 Aplikasi gelombang longitudinal pada gempa bumi . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
5.9 Gelombang longitudinal dalam struktur periodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
5.10 Refleksi dan transmisi gelombang pada bidang batas . . . . . . . . . . . . . . .
57
6 Gelombang dimensi lebih dari satu
59
6.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
6.2 Persamaan gelombang dua dimensi(2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
6.3 Refleksi gelombang 2D pada batas tegar(waveguide)) . . . . . . . . . . . . . . .
62
6.4 Modus normal pada membran segiempat 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
6.5 Gelombang tiga dimensi(3D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Teaching Grant
QUE–Project
DAFTAR ISI
iv
6.6 Modus Normal dalam 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
6.7 Distribusi frekuensi dari radiasi energi benda panas . . . . . . . . . . . . . . . .
66
6.8 Teori Debye kalor spesifik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
7 Gelombang pada jalur transmisi
69
7.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
7.2 Jalur transmisi tanpa hambatan(ideal lossless) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
7.3 Karakteristik Impedansi Jalur Transmisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
7.4 Refleksi dari ujung jalur transmisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
7.5 Efek Hambatan dalam Jalur Transmisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Daftar Pustaka
74
Daftar Indek
75
Teaching Grant
QUE–Project
Daftar Tabel
1.1 Sistem persamaan gerak harmonik sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
1
Daftar Gambar
1.1 (a)Bandul matematik, (b)Piringan datar yang tergantung pada tali/kawat tegar,
(c)Sistem pegas, (d)Dawai dengan tegangan tali T tetap, (e)Pipa U berisi cairan
tidak viskos dan (f) Resonator akustik Helmholtz dimana gas berosilasi pada
leher botol dan mengalami proses adiabatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2 Grafik x vs t dengan titik awal pada siklus dalam sudut fase φ = 0. . . . . . . . .
3
1.3 Grafik energi potensial dan energi kinetik gerak harmonik sederhana terhadap
jarak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4 Penjumlahan vektor dari gerak harmonik sederhana sepanjang sumbu x pada
kecepatan sudut ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5 Superposisi dua gerak harmonik sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.6 Lintasan yang dibentuk dari sistem bergerak simultan yang saling tegak lurus . .
5
1.7 Vektor superposisi dari n gerak harmonik sederhana dengan amplitudo masingmasing a dan beda fase δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.8 Gerak harmonik teredam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.9 Teredam berat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.10 Teredam kritis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.11 Perbandingan logaritma dari dua amplitudo satu periode disebut penurunan logaritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.1 (a) Osilator listrik dan (b)Osilator mekanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.2 Penjumlah vektor dari hambatan dan reaktansi menghasilkan impedansi listrik
~ e = R + i(ωL − 1/ωC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Z
14
2.3 Grafik variasi φ versus ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.4 Grafik variasi fase total antara pergeseran x dan ω . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.5 Kecepatan gaya osilasi versus frekuensi gaya paksa . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.6 Grafik variasi pergeseran gaya osilasi versus frekuensi gaya paksa . . . . . . . .
17
vi
vii
DAFTAR GAMBAR
2.7 Keadaan steady state, OB=panjang vektor tunak tetap=BA o ,BAi =vektor transien yang panjangnya berubah-ubah berupa vektor yang memutar berlawanan
arah jarum jam dan OAi =Amplitudo total pada waktu tertentu. . . . . . . . . . . .
2.8 Grafik Prerata terhadap ω sebagai kurva disipasi. Lebar pita ω 2 − ω1 adalah
18
interval frekuensi pada saat Prerata = 12 Prerata msk . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Kurva(a) menyatakan kurva disipatif anomali dan kurva (b) menyatakan kurva
19
absorpsi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.1 Dua pendulum sama yang tergantung, panjang l dan massa m terkopel oleh
sebuah kawat tak bermassa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 (a)Gerakan sefase (b) Gerakan tidak sefase
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
23
3.3 Pergeseran dari saru bandul sejarak 2a merupakan kombinasi dari 2 koordinat
normal X dan Y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Gerakan sistem merupakan kombinasi X − Y yaitu gerakan sefase X dan tidak
sefase Y dan X dan Y berbeda fase π radian (tanda minus). . . . . . . . . . . . .
24
25
3.5 Simpangan banduk kanan x dan simpangan bandul kiri y secara terpisah. Terlihat pada gambar pada gerakan x menurun dari 2a ke nol, y gerakan naik dari
nol ke 2a dan terjadi pergantian energi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.6 Modus normal vibrasi triatomik molekul CO 2 dan H2 O. . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.7 Rangkaian LC yang terkopel induktif dan induktansi mutual M . . . . . . . . . . .
27
3.8 Grafik amplitudo arus terhadap ω pada kondisi(a) Kopling kuat (b) Kopling sedang
dan (c) kopling lemah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 (a),(b) Massa ke-r bergerak keatas dibawah pengaruh gaya tegang T
. . . . . .
29
29
4.1 Elemen kecil dari permukaan bola dimana tiap gradien ditentukan dengan sebuah variabel tetap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.2 Elemen pergeseran dari kawat dengan tegangan T . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.3 Osilasi pergeseran dalam medium kontinu pada arah x-positif . . . . . . . . . . .
34
4.4 Besar dan arah dari kecepatan partikel pada arah x . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.5 Kawat sebagai sebuah osilator gaya vertikal F 0 eiωt . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.6 Gelombang refleksi dan transmisi dengan impedansi ρ 1 c1 pada batas x=0 dimana kawat mengalami perubahan impedansi ρ 2 c2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.7 Impedansi dari Z1 dan Z3 dari dua kawat yang disesuaikan oleh panjang kawat
dengan impedansi Z2 . Gelombang datang dan refleksi ditunjukkan pada bidang
batas x=0 dan x=l
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.8 Empat harmonik dari gelombang berdiri pada kawat yang ujungnya dijepit tetap .
40
4.9 Superposisi dari dua buah gelombang yang mempunyai beda frekuensi ω 1 dan
ω2 yang kecil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.10 Kurva dispersif;(a)garis lurus menyatakan medium non-dispersi(b)hubungan dispersi normal (c) anomali dari hubungan dispersi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teaching Grant
43
QUE–Project
DAFTAR GAMBAR
viii
4.11 Anomali dispersi dari sifat indek refraksi n =
√
terhadap ω dan λ, dimana ωo
frekuensi atom, absorpsi dinyatakan dengan garis putus-putus . . . . . . . . . .
44
4.12 Gelombang kotak dengan lebar pita ∆ω dengan n frekuensi, a amplitudo dan
beda frekuensi umum δω (b) Menyatakan pita frekuensi terhadap waktu sebagai
kurva kosinus pada frekuensi rata-rata ω̄ amplitude modulasi sin α/α. . . . . . .
45
4.13 Hubungan dispersi ω(k) terhadap k untuk gelombang menjalar garis lurus yang
menggambarkan struktur periodik dalam atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4.14 Hubungan dispersi untuk dua mode osilasi transversal dalam struktur kristal . . .
48
4.15 Pergeseran dari perbedaan jenis atom dalam dua mode dari osilasi transversal
dalam kristal (a) Mode optik (b) Mode akustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
5.1 Gelombang longitudinal dalam gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
5.2 Persamaan gelombang dalam gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
5.3 Daerah yang diarsir menunjukkan energi potensial p m vm /2 dikuatkan oleh gas
dalam kompresi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
5.4 Energi distribusi dalam ruang gelombang bunyi dalam gas. Baik energi potensial
dan kinetik adalah maksimum saat kecepatan partikel η̇ adalah maksimum dan
nol pada η̇ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
5.5 Gelombang longitudinal dalam kristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
5.6 Refleksi dan transmisi gelombang bunyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
6.1 Gelombang bidang menjalar searah ~k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
6.2 Membran dengan ukuran δx × δy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
terhingga saat y = 0 dan y = b memberikan nilai k 2 tiap refleksi . . . . . . . . . .
62
6.4 Variasi amplitudo gelombang 2 dimensi sepanjang membran dengan n = 1, 2, 3 .
6.5 Mode normal membran persegi dalam arah ~k sesuai kondisi batas dari perge-
63
seran nol pada ujungnya a = n1 λ/2 cos α dan b = n2 λ/2 cos β . . . . . . . . . . .
64
6.3 Perambatan gelombang 2 dimensi sepanjang membran dengan impedansi tak
6.6 Beberapa mode normal pada sebuah membran persegi dimana yang diarsir
menyatakan gerakan sinusiodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
6.7 Kisi persegi dalam ruang frekuensi. Panjang vektor pada titik pusat adalah nilai
frekuensi yang dibolehkan dan arah vektor menyatakan arah perambatan . . . .
66
6.8 Grafik radiasi benda hitam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
6.9 grafik Debye
68
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1 Suatu elemen dari jalur transmisi ideal dengan induktansi L o (H/m) dan kapasitansi Co (F/m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
7.2 Refleksi di ujung jalur transmisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
7.3 Efek hambatan dalam jalur transmisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
7.4 Tegangan dan arus pada ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
Teaching Grant
QUE–Project
BAB
1
Gerak Harmonik Sederhana & Teredam
Gerak harmonik sederhana adalah gerakan di sekitar titik kesetimbangan bergerak bolak balik
dengan simpangan berbentuk garis lurus. Beberapa contoh gerak harmonik sederhana ditunjukkan pada Gambar.1.1 dan sistem persamaan geraknya dirumuskan seperti pada Tabel.1.1
Tabel 1.1: Sistem persamaan gerak harmonik sederhana
Sistem
Persamaan gerak
mẍ + mg xl = 0; ω 2 =
Piringan datar
C
I
s
2
mẍ + sx = 0; ω = m
mÿ + 2T yl = 0; ω 2 = 2T
ml
ẍ + 2gl x = 0; ω 2 = 2gl
A
ẍ + γP
lρV x = 0
ẍ + Aρg
m x=0
I θ̈ + Cθ = 0; ω 2 =
Pegas
Dawai
Pipa-U
Resonator Helmholtz
Hidrometer
1.1
g
l
Bandul matematik
Persamaan gerak harmonik sederhana
Persamaan gerak harmonik tanpa peredaman
ẍ + ωx = 0
(Mekanik)
(1.1)
q̈ + ωq = 0
(Listrik)
(1.2)
1
Bab1. Gerak Harmonik Sederhana & Teredam
2
l
θ
x
θ
s
m
x
mg
(a)
(b)
(c)
x
2x
x
m
l
T
θ
T
V ρ
y
x
(d)
(e)
(f)
Gambar 1.1: (a)Bandul matematik, (b)Piringan datar yang tergantung pada tali/kawat tegar, (c)Sistem
pegas, (d)Dawai dengan tegangan tali T tetap, (e)Pipa U berisi cairan tidak viskos dan (f) Resonator
akustik Helmholtz dimana gas berosilasi pada leher botol dan mengalami proses adiabatik
Penyelesaian persaaan gerak
x = A cos ωt + B sin ωt
(1.3)
= a sin(ωt + φ)
1.2
(1.4)
Energi dari GHS
(a) Energi kinetik GHS dari bandul dengan massa m adalah
EK =
1
1
mẋ2 = ma2 ω 2 cos2 (ωt + φ)
2
2
(1.5)
(b) Energi potensial dari bandul adalah
1
1
EP = sẋ2 = sa2 sin2 (ωt + φ)
2
2
Teaching Grant
;ω =
s
m
(1.6)
QUE–Project
3
Energi dari GHS
Gambar 1.2: Grafik x vs t dengan titik awal pada siklus dalam sudut fase φ = 0.
(c) Energi total dari bandul
E = EK + EP =
1
1
ma2 ω 2 = sa2
2
2
(1.7)
Gambar 1.3: Grafik energi potensial dan energi kinetik gerak harmonik sederhana terhadap jarak
Analog untuk GHS dari muatan pada rangkaian listrik LC yaitu
E =
=
Teaching Grant
1 2 1 q2
Lq̇ +
; q = qo sin(ωt + φ) = muatan
2
2C
1 2 2
ω2 L 2
qo cos2 (ωt + φ) +
q sin (ωt + φ)
2
2C o
(1.8)
(1.9)
QUE–Project
Bab1. Gerak Harmonik Sederhana & Teredam
1.3
1.3.1
4
Superposisi 2 GHS
Satu dimensi,frekuensi sama dan amplitudo dan fase berbeda
Pandang suatu GHS berikut: x1 = a1 cos(ωt + φ1 ) dan x2 = a2 cos(ωt + φ2 ) dengan beda fase
φ2 − φ1 = δ. Resultan dari GHS adalah
x1 + x2 = R cos(ωt + θ)
(1.10)
R2 = (a1 + a2 cos δ)2 + (a2 sin δ)2 = a21 + a22 + 2a1 a2 cos δ
a1 sin φ1 + a2 sin φ2
θ = arctan
a1 cos φ1 + a2 cos φ2
Gambar 1.4: Penjumlahan vektor dari gerak harmonik sederhana sepanjang sumbu x pada kecepatan
sudut ω
1.3.2
Satu dimensi, beda frekuensi, amplitudo dan fase sama
Pandang suatu GHS berikut: x1 = a sin(ω1 t) dan x2 = a sin(ω2 t) dengan ω2 > ω1 dan ω2 − ω1 >
0 merupakan frekuensi pelayangan. Resultan dari GHS
x = x1 + x2 = a(sin ω1 t + sin ω2 t) = 2a sin
1.4
1.4.1
ω1 + ω 2
ω2 − ω 1
cos
t
2
2
(1.11)
Superposisi dari 2 GHS yang saling tegak lurus
Frekuensi sama, amplitudo dan fase berbeda
Perbedaan fase (φ2 − φ1 = δ), kedua GHS itu adalah
Teaching Grant
x = a1 sin(ωt) + φ1 )
(1.12)
y = a2 sin(ωt + φ2 )
(1.13)
QUE–Project
5
Superposisi dari 2 GHS yang saling tegak lurus
Gambar 1.5: Superposisi dua gerak harmonik sederhana
Vibrasi partikel akibat menerima kedua getaran dalam bentuk x , y , φ 2 , φ1 adalah dengan cara:
x
= sin ωt cos φ1 + cos ωt sin φ1
a1
y
= sin ωt cos φ2 + cos ωt sin φ2
a2
(1.14)
dan
x2
a21
h
x
a1
sin2 φ2 +
sin φ2 −
y2
a22
y
a2
sin φ1
i2
+
h
y
a2
cos φ1 −
sin φ1 sin φ2 +
sin2 φ1 − 2 axy
1 a2
2 axy
cos φ1 cos φ2 =
1 a2
x2
a21
+
y2
a22
−
2xy
a1 a2
x2
a21
x
aa
cos φ1
i2
cos2 φ2 +
=
y2
a22
cos2 φ1 −
cos(φ2 − φ1 ) = sin2 (φ2 − φ1 )
Persamaan (1.15) merupakan persamaan elips yang merupakan lintasan gerakan partikel.
Gambar 1.6: Lintasan yang dibentuk dari sistem bergerak simultan yang saling tegak lurus
Teaching Grant
QUE–Project
Bab1. Gerak Harmonik Sederhana & Teredam
1.4.2
6
Amplitudo dan fase berbeda dan periode perbandingan 1:2
Kedua GHs dinyatakn sebagai:
x
a1
x
a1
= sin(2ωt + φ1 ) dan
y
x2
= sin(ωt + φ2 )
= sin(2ωt + φ1 ) = sin 2ωt cos φ1 + sin φ1 cos 2ωt
(1.15)
= 2 sin ωt cos ωt cos φ1 + (1 − 2 sin2 ωt) sin φ1
y
a2
= sin(ωt + φ2 ) = sin ωt cos φ2 + sin φ2 cos ωt
(1.16)
Untuk memudahkan penjabaran diadaikan φ = φ 1 − φ2 = φ1 karena φ2 = 0 sehingga :
y
x
= 2 sin ωt cos φ1 (1 − sin2 ωt)1/2 + (1 − 2 sin2 ωt) sin φ1 dan
= sin ωt
(1.17)
a1
a2
Eliminasi nilai t menjadi:
1/2 x
y2
y
y2
+ 1 − 2 2 sin φ
= 2 cos φ 1 − 2
a1
a2
a2
a2
(1.18)
dan
2
2
2
y2
1
−
cos2 φ
− (1 − 2 ay2 sin φ = 4y
2
2
a2
a2
2
h
i
2
2
4
2y 2
x
= 4y
cos2 φ − 4y
cos2 φ
a1 − sin φ + a22 sin φ
a22
a42
2
4y 4
4y 2
x
x
2
−
sin
φ
−
sin
φ
=
+
sin
φ
+
sin
φ
4
2
a1
a1
a2
a2
2 4y 4
2
2
2x
4y
4y
4y 4
2
2
sin
φ
cos
φ
cos2 φ
sin
φ
−
=
−
− sin φ + 4 sin2 φ + 4y
2
2
2
4
a
a
1
2
a2
a
a
a
|
| 2 {z } | 2 {z } | 2 {z }
{z } 2
4
2
2x
x
sin φ = − 4y
+ 4y
+ 4y
a1 − sin φ
a22 a1
a42
a22
2
4y 2 y 2
x
x
+
−
sin
φ
sin
φ
−
1
=0
+
a1
a1
a2
a2
x
a1
x
a1
2
(1.19)
2
Kemudian bila bentuk φ dituliskan kembali dalam φ 1 − φ2 maka persamaan (1.19) dapat dituliskan:
x
− sin(φ1 − φ2 )
a1
2
4y 2
+ 2
a2
x
y2
+
sin(φ1 − φ2 ) − 1
2
a2 a1
=0
(1.20)
Persamaan(1.20) adalah persamaa dengan dua loop yang berbeda fase φ 1 − φ2 dan amplitudo
a1 dan a2
(a) Jika φ1 − φ2 = 0 dan φ1 − φ2 = π maka
(b) Jika φ1 − φ2 =
π
4
maka
(c) Jika φ1 − φ2 =
π
2
maka
x
a1
2y 2
a22
−
1
2
√ 2
2 +
x
a1
4y 2
a22
2
y2
a22
+
4y 2
a22
+
x
a1
−1 =0
√ 1
2
−
1
=0
2
y2
a22
2
2
2
y
x
− 1 + 4y
−
1
=0
+
a1
a22
a22
2
2
2
2y 2
x
x
+ 4y
=0
a1 − 1
a1 − 1 +
a22
a22
h
i2
h
i
2
2y
2y 2
x
x
−
1
+
=
0
→
−
1
+
=0
2
a1
a22
a2
a1
2
2
a
a
= − ax1 − 1 → y 2 = − 22 ax1 − 1 = − 2a21 (x − a1 )
x
a1
(1.21)
Suatu persamaan parabola cekung(concave) ke arah x
Teaching Grant
QUE–Project
7
Superposisi sejumlah n GHS
1.5
1.5.1
Superposisi sejumlah n GHS
Superposisi sejumlah n GHS yang sama amplitudo dan berbeda fase tetap
Gambar 1.7: Vektor superposisi dari n gerak harmonik sederhana dengan amplitudo masing-masing a
dan beda fase δ
Gambar.1.7 menyatakan α adalah sudut fase resultan R=∠CAB ∠ABO =
δ
2
= ∠OAB; ∠OAC =
180o −nδ
2
= 90o −
nδ
2
180o −δ
2
= 90o −
sehingga α = ∠OAB − ∠OAC = (n − 1)δ/2. R
menyatakan alas4AOC dengan sudut puncak nδ → R = 2rsin nδ
2 . Ditinjau pada Gambar.1.5,
R menyatakan amplitudo, fungsi getaran resultan diandaikan berbentuk R cos(ωt + α) dapat
juga berbentuk R sin(ωt + α).
R cos(ωt + α) = a cos ωt + a cos(ωt + δ) + a cos(ωt + 2δ) + a cos(ωt + 3δ) + · · ·
(1.22)
dan
δ
a
nδ
dengan a = 2r sin
atau r =
2
2
2 sin δ/2
sin nδ/2
= a
= disebut juga besar resultan
sin δ/2
sin nδ/2
cos(ωt + (n − 1)δ/2)) = fungsi getaran
∴
R cos(ωt + α) = a
sin δ/2
a sin α
δ
nδ
α
δ
δ
δ
α
R =
; bila n → ∞ → α = (n − 1) ≈
→ = ; sin ≈ =
sin δ/2
2
2
2
2
2
2
2
sin α
sin α
R = a
= na
= na sinc(α)
α/n
α
R = 2r sin
(1.23)
(1.24)
Analog diatas fungsi getaran
R sin(ωt + α) = a sin ωt + a sin(ωt + δ) + a sin(ωt + 2δ) + a sin(ωt + 3δ) + · · · (1.25)
δ
sin nδ/2
sin(ωt + (n − 1) )
R sin(ωt + α) = a
sin δ/2
2
Teaching Grant
QUE–Project
Bab1. Gerak Harmonik Sederhana & Teredam
8
Secara matematis superposisi n GHS dalam bentuk komplek
R ei(ωt+α) = a eiωt + a ei(ωt+δ) + a ei(ωt+2δ) + a ei(ω+3δ) + · · ·
= aeiωt (1 + eiδ + ei2δ + ei3α + · · · )
1 − einδ
= a eiωt
1 − eiδ
einδ/2 (e−inδ/2 − einδ/2 )
= a eiωt iδ/2 −iδ/2
e (e
− eiδ/2 )
δ
= aei(ωt+(n−1) 2 )
= a
sin nδ
2
"
−2i sin nδ
2
−2i sin 2δ
cos(ωt + (n − 1)δ/2) + i sin(ωt + (n − 1)δ/2)
sin 2δ
h
i
= R cos(ωt + α) + i sin(ωt + (n − 1)δ/2)
#
(1.26)
atau dapat dituliskan
1.5.2
R cos(ωt + α) = a
sin nδ
2
R sin(ωt + α) = a
sin nδ
2
sin 2δ
sin 2δ
cos(ωt + (n − 1)δ/2)
(1.27)
sin(ωt + (n − 1)δ/2)
Superposisi n GHS denga amplitudo sama dan fase sembarang
Jika R adalah resultan dengan komponen pada sumbu x (R x ) dan sumbu y (Ry ) maka dapat
dituliskan :
R = (Rx2 + Ry2 )1/2
Rx = a cos φ1 + a cos φ2 + a cos φ3 + · · · = a
Ry = a sin φ1 + a sin φ2 + a sin φ3 + · · · = a
n
X
n
X
cos φi
i=1
n
X
sin φi
(1.28)
i=1
hX
i
X
X
cos φj
cos2 φi +
cos φi
cos2 φi = a2
|
{z
}
i=1
√
1
1
2
2
2
2
2
2
hRx i = 2 na ; hRy i = 2 na → R = na → R = na
√
Dikatakan ada n acak fasenya, amplitudo resultan adalah R = na dan intensitas getaran na2 ,
Rx2 = a2
sedangkan getaran/vibrasi hasil n GHS sefase mempunyai intensitas n 2 a2 .
1.6
Gerak Harmonik Teredam
Dalam keadaan sehari-hari adanya redaman, karena sistem resistif, viscous, friksi dll. Gaya
redaman tergantung pada kecepatan atau r ẋ, dengan r=konstanta redaman=konstanta proporsional. Sehingga persamaan gerak harmonik teredam menjadi
Teaching Grant
QUE–Project
9
Gerak Harmonik Teredam
Gambar 1.8: Gerak harmonik teredam
mẍ = −sx − r ẋ
(1.29)
= gaya pulih+gaya redaman
Dengan redaman, amplitudo gerakan tidak tetap, menurun menurut fungsi waktu, selain itu
energi ada yang hilang. Secara terinci akan dilihat pergeseran (x) merupakan fungsi waktu (t).
mẍ = −sx − r ẋ
mẍ + sx + r ẋ = 0
(1.30)
Andaikan penyelesaian
x = Ceαt → ẋ = Cαeαt → ẍ = Cα2 eαt
mCα2 eαt + rCαeαt + sCeαt = 0
mα2 + rα + s = 0
(1.31)
r
r2
s
−
4m2 m
r2
s 12 t
(r/2m)t
−
∴ x = Ce
exp
| {z }
4m2 m
Amplitudo
r
α = −
±
2m
(1.32)
Macam-macam gerak harmonik teredam yaitu:
(a) Bila
r2
4m2
−
s
m
> 0 atau
r2
4m2
>
s
m
yaitu keadaan teredam berat sehingga dapat dituliskan
r
r2
s
x = e
(F cosh qt + G sinh qt) q =
−
2
4m
m
(r/2m)t
x = Ge
sinh qt t = 0, x = 0 → F = 0
(r/2m)t
(b) Bila
r2
4m2
−
s
m
= 0 atau
r2
4m2
=
s
m
(1.33)
yaitu keadaan teredam kritis
x = e(r/2m)t (A + Bt)
Teaching Grant
1/2
(1.34)
QUE–Project
Bab1. Gerak Harmonik Sederhana & Teredam
10
Gambar 1.9: Teredam berat
Contoh GHS terdeam kritis pada galvanometer balistik. Pada galvanometer dengan kondisi
pada t = 0 → x = 0 dan ẋ = V → x = e(r/2m)t (A + Bt) dan berarti
r
r
(A + Bt)e−(r/2m)t + Be−(r/2m)t V = −
A+B
2m
2m
x = 0=A→A=0→V =B
2m −1
2m
−(r/2m)t
e
→x=V
x = Vte
→t=
r
r
ẋ = −
Nilai t =
2m
r
(1.35)
disebut waktu minimum osilasi dicapai sebelum pergeseran menurun menjadi
nol.
Gambar 1.10: Teredam kritis
Teaching Grant
QUE–Project
11
Gerak Harmonik Teredam
(c) Bila
r2
−s
4m2 m
< 0 atau
r2
4m2
<
s
m
→±
r2
4m2
−
s
m
1/2
= ±i
s
m
−
r2
4m2
1/2
= ±iω 0 (teredam ringan)
h
i
0
0
0
A
x = Ce−(r/2m)t e±ω t = e−(r/2m)t C1 eiω t + C2 e−iω t
diandaikan C1 = eiφ
2i
i
h
A
0
0
ei(ω t+φ) − e−i(ω t+φ)
= Ae−(r/2m)t
2i
= Ae−(r/2m)t sin(ω 0 t + φ)
C2 = −
A iφ
e
2i
Beberapa besaran yang menyatakan adanya redaman pada osilator
(a) Logaritmic decrement (δ)
δ = ln
An = amplitudo pada t = nτ 0 ,τ 0 =
2π
ω =periode,
An
An+1
An+1 =amplitudo pada t = (n + 1)τ 0
0
An
Ae−(r/2m)nτ sin(ω 0 t1 + φ)
δ = ln
= ln −(r/2m)(n+1)τ 0
An+1
Ae
sin(ω 0 t2 + φ
= ln e(r/2m)τ
0
dengan
ω 0 t1 = 2nπ;
ω 0 t2 = (n + 1)2π → φ =
π
2
Kalau r → δ artinya nisbah/ratio amplitudo mendekati satu atau penurunan amplitudo
kecil.
(b) Waktu relaksasi modulus=tr ialah saat amplitudo menjadi Ao e−1 (Ao =amplitudo pada saat
t=0)
Atr = Ao e−1 = Ao e−(r/2m)tr → tr =
2m
r
Waktu relaksasi perlu ditentukan karena pada osilasi ini sampai t → ∞(secara teori)
energi tersimpan dalam sistem
energi yang hilang per siklus
2
−rt/2m
Jika amplitudo A = Ao e
→ E = A2o e(−rt/2m) = Eo e−rt/m maka
(c) Q = Faktor kualitas =
r −rt/m
−r
e
dt =
Edt
m
m
r
r 1
Eτ 0 = E 0 (energi yang hilang dalam satu siklus)
m
m ν
m
mν 0
E
E
mω 0 /2π
mω 0
=
=
=
=
→
Q
=
−dE
r/mEτ 0
rτ 0
r
r
r
dE = −Eo
−dE =
Q
2π
Jika r
=
kecil → ω 0 =
s 1/2
m
= ωo → Q =
mωo
r
dan r → Q . Alat dengan r mempunyai Q , seperti atom yang meradiasi elektron sama dengan osilator teredam
mempunyai Q ≈ 108
Teaching Grant
QUE–Project
Bab1. Gerak Harmonik Sederhana & Teredam
12
Gambar 1.11: Perbandingan logaritma dari dua amplitudo satu periode disebut penurunan logaritma
1.6.1
Energi dissipasi
Energi dissipasi ialah energi yang hilang pada redaman/hamburan dan dinyatakan besarnya
dE dengan E = 12 mẋ2 + 21 sx2
1 2
d 1
2
mẋ + sx = mẍẋ + sxẋ
dE =
dt 2
2
= ẋ(−r ẋ) → mẋ + r ẋ + sx = 0 Energi yang hilang/dissipasi
dE
dt
= −r ẋ2 menyatakan energi yang hilang persatuan waktu atau laju kerja melawan gaya
friksi/gaya hambat.
Teaching Grant
QUE–Project
BAB
2
Osilator dengan gaya yang memaksa(The force oscillation)
Pada bagian ini kita akan membahas mengenai osilator dengan gaya yang memaksa F =
Fo cos ωt dan potensial V = Vo cos ωt pada masing-masig osilator mekanik dan listrik. Menurut
hukum Kirchoff beda potensial pada rangkaian Gambar.2.1(a) adalah
dI
+ IR +
dt
d2 q
dq
L 2 +R +
d t
dt
L
q
C
q
C
= V
(2.1)
= Vo cos ωt
Dalam bentuk osilator mekanik menjadi
mẍ + r ẋ + sx = Fo cos ωt
(a)
(2.2)
(b)
Gambar 2.1: (a) Osilator listrik dan (b)Osilator mekanik
13
Bab2. Osilator dengan gaya yang memaksa(The force oscillation)
2.1
14
Osilator Listrik
Osilator listrik dalam bentuk komplek dapat dituliskan
L
d2 q̄
dq̄
q̄
+ R + = Vo eiωt
2
d t
dt C
(2.3)
Bentuk penyelesaiannya adalah
q̄ = q̄o eiωt
(2.4a)
q̄˙ = q̄o (iω)eiωt
(2.4b)
q̄¨ = q̄o (−ω 2 )eiωt (−q̄o ω 2 L + iω q̄o R +
q̄o =
Z̄e = (R + i(ωL −
1 2 1/2
.
ωC ) )
q̄o iωt
)e = Vo eiωt
C
Vo
iVo
=−
1
2
ω Z̄e
iωR + ( C − ω L)
1
ωC ))=Impedansi.
Maka solusi untuk q̄ adalah
q̄ =
q̄ =
(2.4c)
(2.4d)
|Z̄e | = Ze =harga mutlak Z̄e . Z̄e = Ze eiφ = (R2 + (ωL −
−iVo i(ωt−φ)
−iVo eiωt
−iVo
e
=
=
ωZe
ω Z̄e
ωZe e( iφ)
i
−iVo h
cos(ωt − φ) + i sin(ωt − φ)
ωZe
(2.5)
~e = R +
Gambar 2.2: Penjumlah vektor dari hambatan dan reaktansi menghasilkan impedansi listrik Z
i(ωL − 1/ωC)
2.2
Osilator Mekanik
Osilator mekanik(Gambar.2.1(b)) dalam bentuk komplek dituliskan
¨ + r x̄˙ + sx̄ = Fo eiωt
mx̄
(2.6)
Penyelesaian untuk osilator mekanik
Teaching Grant
x̄ = Āeiωt
(2.7a)
x̄˙ = iĀωeiωt
(2.7b)
¨ = −ω 2 Āe(iωt)
x̄
−iFo
Fo
=
Ā =
2
iωr + (s − ω m)
ω Z̄m
(2.7c)
(2.7d)
QUE–Project
15
Osilator Mekanik
Z̄m = (r + i(mω − ωs ))=Impedansi. |Z̄m | = Zm =harga mutlak Z̄m . Z̄m = Zm eiφ = (r 2 + (ωm −
s 2 1/2 iφ
e .
ω) )
Maka solusi untuk x̄ adalah
x̄ =
x̄ =
x̄ =
−iFo i(ωt−φ)
e
ωZm
i
−iFo h
cos(ωt − φ) + i sin(ωt − φ)
ωZm
i
Fo h
sin(ωt − φ) − i cos(ωt − φ)
ωZm
(2.8)
Dari osilator listrik dan mekanik bila dinyatakan F = F o (cos ωt) dan V = Vo (cos ωt) maka jika
gaya dan potensial yang diberikan pada sistem berbentuk F o cos ωt dan Vo cos ωt nilai x dan q
adalah
x=
Fo
sin(ωt − φ)
ωZm
dan q =
Vo
sin(ωt − φ)
ωZe
(2.9)
Dan jika gaya yang diberikan sistem berbentuk F o sin ωt dan Vo sin ωt nilai x dan q adalah
x=
−Fo
cos(ωt − φ)
ωZm
dan q =
−Vo
cos(ωt − φ)
ωZe
(2.10)
Secara umum kecepatan beban m pada osilator mekanik adalah
Gambar 2.3: Grafik variasi φ versus ω
ẋ = v =
Fo i(ωt−φ)
e
Zm
(2.11)
atau
F = Fo cos ωt → v =
Fo
Fo
cos(ωt − φ) dan x =
sin(ωt − φ)
Zm
ωZm
(2.12)
Dari grafik pada Gambar 2.4 terlihat v selalu ketinggalan φ terhadap gaya yang memaksa
dan x ketinggalan (90o + φ) terhadap gaya Fo cos ωt. Kecepatan v =
amplitudo v =
Fo
Zm
Teaching Grant
=
Fo
(r 2 +(ωm− ωs )2 )1/2
menunjukkan :
Fo
Zm
cos(ωt − φ) dan
QUE–Project
Bab2. Osilator dengan gaya yang memaksa(The force oscillation)
16
Gambar 2.4: Grafik variasi fase total antara pergeseran x dan ω
(a) Pada ω → 0 maka v ∼
=0
(b) Pada ω = ωo maka amplitudo kecepatan maksimum A r =
Fo
r
dan terjadi resonansi ke-
cepatan.
Fo
ωm
(c) Pada ω maka vA =
≈ 0.
Gambar 2.5: Kecepatan gaya osilasi versus frekuensi gaya paksa
Pergeseran x dan amplitudo Ax =
(a) Pada ω → 0 maka x =
(b) Pada ω = ωo → Ax =
(c) Pada ω → Ax =
Fo
s 2 1/2
) )
ω(r 2 +(ωm− ω
menunjukkan :
Fo
s
Fo
ωo r .
Fo
ω2 m
≈ 0.
Ditinjau secara lengkap pergeseran x berbentuk
1. Pergeseran Transient
(a) Transient yaitu fungsi pergeseran dari persamaan mẍ + r ẋ + sx = 0
s
r2
x = Ce(−rt/2m) e(i( m − 4m2 ))
Teaching Grant
QUE–Project
17
Daya dari gaya memaksa
Gambar 2.6: Grafik variasi pergeseran gaya osilasi versus frekuensi gaya paksa
(b) Steady state yaitu berbentuk pergeseran berjalan terus walaupun bentuk/keadaan
transient sudah mati.Bila digambarkan x terhadap waktu t, keadaan steady (tunak) yang dimodulasi oleh transien yang meluruh eksponesial e (−rt/2m) terhadap
waktu(Gambar.2.7).
2. Steady state dengan yang khusus, mempunyai pergeseran
x =
=
=
Fo
sin(ωt − φ)
ωZm
Fo
(sin ωt cos φ − cos ωt sin φ)
ωZm
r
Xm i
Fo h
sin ωt
− cos ωt
ωZm
Zm
Zm
|
{z
} |
{z
}
bagian resistif
2.3
bagian reaktif
Daya dari gaya memaksa
Suatu keadaan tunak tercapai bila energi yang hilang sebesar usaha yang dilakukan oleh gaya
yang memaksa. Sehingga daya P sesaat sebesar hasil kali gaya yang memaksa sesaat dengan kecepatan sesaat, atau
P
= F v = Fo cos ωt
Fo
cos(ωt − φ)
Zm
Fo2
cos ωt(cos ωt cos φ + sin ωt sin φ)
Zm
Z T 2
Fo
cos ωt(cos ωt cos φ + sin ωt sin φ)dt
Prerata = hP i =
0 Zm
Fo2
cos φ (T=periode)
=
2Zm
=
Teaching Grant
(2.13)
QUE–Project
Bab2. Osilator dengan gaya yang memaksa(The force oscillation)
18
Gambar 2.7: Keadaan steady state, OB=panjang vektor tunak tetap=BAo ,BAi =vektor transien yang
panjangnya berubah-ubah berupa vektor yang memutar berlawanan arah jarum jam dan OAi =Amplitudo
total pada waktu tertentu.
2
Sedangkan kerja oleh gaya friksi sesaat adalah r ẋ 2 = r ZF2o cos2 (ωt − φ) dan rerata kerja oleh
m
gaya friksi adalah
hW i =
=
1 rFo2
2
2 Zm
1 rFo2
r
cos φ →
= cos φ
2 Zm
Zm
Hubungan faktor kualitas Q dengan lebar pita didefinisikan Q =
(2.14)
ωo
ω2 −ω1 .
Makin sempit lebar
pita maka nilai Q makin besar.
1. Kurva (a)
Fo Xm
2
ωZm
i
ωm − s/ω
Fo h
Fo m(ω − s/ωm)(1/ω)
=− 2
ω r 2 + (ωm − s/ω)2
r + (m2 )(ω − s/m))2
Fo m(ωo2 − ω 2 )
Fo m(1/ω)(ωo2 − ω 2 )(1/ω)
=
m2
2 2
2
2
m2 (ωo2 − ω 2 )2 + ω 2 r 2
2 (ωo − ω ) + r
= −
=
ω
Fraksi reaktif impedansi
Xm
2
Zm
merupakan komponen energi yang tersimpan dalam medium,
merupakan faktor yang mengatur kecepatan dalam medium dan selanjutya menentukan
indeks bias.
Teaching Grant
QUE–Project
19
Daya dari gaya memaksa
Gambar 2.8: Grafik Prerata terhadap ω sebagai kurva disipasi. Lebar pita ω2 − ω1 adalah interval
frekuensi pada saat Prerata = 21 Prerata msk .
Gambar 2.9: Kurva(a) menyatakan kurva disipatif anomali dan kurva (b) menyatakan kurva absorpsi.
2. Kurva (b)
Fo r
2
ωZm
=
=
Fraksi resistif impedansi
Fo r
Fo r
=
2
2
2
+ (ωm − s/ω) )
ω(r + m (ω − s/mω)2 )
Fo r
Fo ωr
= 2 2
2 2 2
m
(ω
−
ω 2 ) + ωr 2
ω
−ω
o
o
2
ωm2
+
ωr
ω
ω(r 2
r
2
Zm
adalah fraksi yang terdisipasi atau terabsorpsi dan energi
yang hilang (loss) sebanding −r ẋ2 . Dengan ẋ menyatakan kecepatan pada arah bagian
ini yaitu arah xnya ketinggalan 90o terhadap gaya dan kecepatan searah dengan gaya.
Energi yang hilang sebanding dengan r.
Teaching Grant
QUE–Project
Bab2. Osilator dengan gaya yang memaksa(The force oscillation)
20
Menjadi pertanyaan berapakah lebar pita? diketahui ω 2 − ω1 adalah lebar frekuensi pada saat
Prerata sebesar 21 Prerata mak
rFo2
1 Fo2
2
=
→ Zm
= 2r 2
2
2Zm
2 2r
= 2r 2 Xm = ωm − s/ω = ±r
Prerata =
2
r 2 + Xm
Dengan ω2 > ω1 sehingga ω2 m − s/ω = +r dan ω1 m − s/ω = −r
s
r
mω2
−
=
ω1
ω2 ω1
ω1
s
r
mω1
s
r
mω2
−
=−
dan
−
=−
ω1
ω2 ω1
ω2
ω2
ω1 ω2
ω2
ω2 ω1
ω1 + ω 2
ω 2 − ω12
m
= r(1/ω1 + 1/ω2 ) = r
−
=m 2
ω1 ω2
ω1 ω2
ω1 ω2
r
ω2 − ω 1 =
m
Faktor kualitas Q =
ωo m
r
=
ωo
ω2 −ω1
dan ω1 = ωo − r/2m serta ω2 = ωo + r/2m. ω1 dan ω2
merupakan 2 frekuensi yang penting, merupakan 2 puncak kurva reaktif dan mempunyai daya
serap yang sama.
Teaching Grant
QUE–Project
BAB
3
Osilasi Terkopel
Pada bagian ini yang akan dibicarakan adalah menyangkut dua atau lebih osilator terkopel,
dengan komponen yang mengkopel, kapasitor atau pegas, induktor atau massa atau resistor.
Energi terkirim melewati kopling, tetapi bila melalui resistor, energi hilang (loss) atau berupa energi terdisipasi dan osilasi/vibrasi menjadi berhenti. Osilator terkopel menjadi dasar terjadinya
gelombang dan akan dibahas adalah osilator kopling pegas atau kapasitor dan osilator terkopel
massa atau induktor.
3.1
Osilator terkopel dengan kopling pegas
Dua osilator yaitu bandul identik dengan massa m tergantung pada kawat ringan panjangnya
l. Kedua massa dihubungkan atau dikopling dengan pegas (kekakuan,s). Panjang pegas
sedemikian terentang diantara kedua massa yang berasa dalam kesetimbangan dan pergeseran nol. Osilasi kecil terjadi pada bidang kertas dan kedua massa bergerak dengan persamaan gerak.
x
− s(x − y)
l
y
mÿ = −mg − s(y − x)
l
mẍ = −mg
(3.1)
(3.2)
Dari persamaan (3.1) dan (3.2) bentuk GHS dengan bentuk gaya yang mengkopel dari pegas
s(x − y) pada bandul 1 dan (s(y − x) pada bandul 2. Bila ω o2 = gl , persamaan (3.1) dan (3.2
dapat dituliskan
ẍ + ωo2 x = −
s
(x − y)
m
s
− s(y − x)
m
Bagaimana penyelesaian persamaan (3.3) dan (3.4 ?
ÿ + ωo2 y = −
21
(3.3)
(3.4)
Bab3. Osilasi Terkopel
22
Gambar 3.1: Dua pendulum sama yang tergantung, panjang l dan massa m terkopel oleh sebuah kawat
tak bermassa
Jika persamaan (3.3) ditambah dengan (3.4) menjadi
ẍ + ÿ + ωo2 (x + y) = −
s
s
(x − y) − (y − x)
m
m
ẍ + ÿ + ωo2 (x + y) = 0
(3.5)
Jika persamaan (3.3) dikurang dengan (3.4) menjadi
s
s
2s
(ẍ − ÿ) + ωo2 (x − y) = − (x − y) + (y − x) = − (x − y)
m
m
m
2s
(x + y) = 0
(ẍ − ÿ) + ωo2 +
m
(3.6)
Diandaikan kemudian x + y = X dan x − y = Y maka persamaan (3.5) dan persamaan (3.6)
menjadi
Ẍ + ωo2 X = 0
2s
Ÿ + ωo2 +
Y = 0
m
(3.7)
(3.8)
Dari kedua persamaan(3.7) dan persamaan(3.8) diperoleh penyelesaian dan pergeseran
x dan y dapat diperoleh yang merupakan fungsi waktu. Kedua persamaan itu adalah GHS
dengan kordinat X dan Y yang menggambarkan osilator terkopel. Jika Y = 0 = x − y → x = y
pada setiap saat maka gerakan ditunjukkan oleh gerakan dengan Ẍ + ωo2 X = 0. Frekuensi
ωo = ω1 . Kedua pendulum sama, gerakan keduanya sefase, pegas tidak berfungsi sebagai
kopling, panjang tetap natural(alamiah) yang ditunjukkan pada Gambar 3.1.
1. Jika X = 0 = x + y → x = −y terjadi setiap saat dan gerakan sistem digambarkan
oleh gerakan dengan persamaan (3.8). Kedua bandul bergerak tidak sefase (Gam-
bar 3.2) dengan kopling terentang, terkompresi, kopling bekerja efektif dengan frekuensi
1/2
ωo2 + 2s
= ω2 .
m
2. Gerakan tidak sefase (out of phase) dengan frekuensi ω 2 ω1 .
Teaching Grant
QUE–Project
23
Koordinat normal, frekuensi normal, modus normal dan derajat kebebasan
Gambar 3.2: (a)Gerakan sefase (b) Gerakan tidak sefase
3.2
Koordinat normal, frekuensi normal, modus normal dan derajat kebebasan
Pada pembahasan gerakan sistem diatas telah dipilih koordinat X dan Y , yaitu suatu perameter
yang menggambarkan gerakan sistem dan disebut koordinat normal. Beberapa parameter
koordinat normal :
(a) Koordinat normal, X dan Y yaitu koordinat yang menggambarkan gerkana sistem. Masingmasing berupa perubah persamaan gerak GHS yang persamaan tersebut berupa persaamaan gerak orde-2.
(b) ω1 dan ω2 disebut frekuensi normal atau modus normal.
(c) Masing-masing GHS disebut modus atau mode.
(d) energi untuk tiap modus dapat dinyatakan sebagai
Ex = aẊ 2 + bX 2
Ey = cẎ 2 + dY 2
a, b, c, d suatu tetapan.Ex dan Ey tidak dapat saling tukar, hanya saja bila modus satu
bergerak/bervibrasi, modus dua diam.
(e) Pada dua osilator terkopel, berarati ada dua energi total (energi kinetik dan energi potensial) dari dua GHS dengan 2 × 2 derajat kebebasan. Derajat kebebasan adalah bilangan/jumlah cara menyatakan energinya. Sistem osilator ini mempunyai 4 derajat kebe-
basan.
Selanjutnya bagaimana pergeseran masing-masing bandul atau x dan y. Ditinjau kembali
koordinat-koordinat
X = Xo cos(ω1 t + φ1 ) = x + y
Y = Yo cos(ω1 t + φ1 ) = x − y
Teaching Grant
QUE–Project
Bab3. Osilasi Terkopel
24
Xo , Yo =amplitudo modus normal.Kemudian untuk menyederhanakan, diandaikan X o = Yo = 2a
dan φ1 = φ2 = 0
1
(X + Y ) = a cos ω1 t + a cos ω2 t
2
1
(X − Y ) = a cos ω1 t − a cos ω2 t
2
x =
y =
(3.9)
(3.10)
Kecepatan
ẋ = −aω1 sin ω1 t − aω2 sin ω2 t
(3.11)
ẏ = −aω1 sin ω1 t − aω2 sin ω2
(3.12)
Andaikan pada t = 0 → ẋ = 0; ẏ = 0; ẋ = ẏ = 0,x = 2a dan y = 0. Benda 1 ditarik sepanjang 2a, kemudian dilepas maka sistem bervibrasi yang merupakan superposisi dari modus X
dan Y . Gambar 3.3 menunjukkan pergeseran awal pada t=0,x=2a dan y=0 berupa kombinasi
Gambar 3.3: Pergeseran dari saru bandul sejarak 2a merupakan kombinasi dari 2 koordinat normal X
dan Y
modus sefase (x = y = a, Xo = (x + y)o = 2a) dan modus tidak sefase (x = −y = a, Y o = 2a).
Bandul kanan ditarik sepanjang x = 2a, kemudian dilepas, gerakan yang terjadi dengan simpangan
x = a cos ω1 t + a cos ω2 t = 2a cos
(ω2 − ω1 )t
(ω1 + ω2 )t
cos
2
2
(3.13)
dan bandul kiri dengan simpangan
(ω2 + ω1 )t
(ω1 − ω2 )t
sin
2
2
(ω2 + ω1 )t
(ω2 − ω1 )t
sin
= 2a sin
2
2
y = a cos ω1 t − a cos ω2 t = −2a sin
(3.14)
Simpangan x berupa fungsi cosinus dengan frekuensi rerata, amplitudo bervariasi berupa
fungsi cosinus dengan frekuensi
ω2 −ω1
2
1
nus dan frekuensi ω2 −ω
2 . Pergantian
1
mungkin bila nisbah ωω22 +ω
−ω1 =bilangan
dan amplitudo fungsi y bervariasi dengan fungsi si-
energi antara kedua bandul terjadi secara komplit hanya
bulat. Pada variasi perubahan amplitudo sangat lambat
yaitu terjadi pada ω1 ≈ ω2 atau yang disebut ω2 − ω1 =pelayangan (“beat”).
Teaching Grant
QUE–Project
25
Koordinat normal, frekuensi normal, modus normal dan derajat kebebasan
Gambar 3.4: Gerakan sistem merupakan kombinasi X − Y yaitu gerakan sefase X dan tidak sefase Y
dan X dan Y berbeda fase π radian (tanda minus).
Gambar 3.5: Simpangan banduk kanan x dan simpangan bandul kiri y secara terpisah. Terlihat pada
gambar pada gerakan x menurun dari 2a ke nol, y gerakan naik dari nol ke 2a dan terjadi pergantian
energi.
Pada kasus lain yaitu pada awalnya (t=0) bandul kiri diberi simpangan 2a dan x=0, kemudian
bandul dilepas, maka yang terjadi gerakan merupakan kombinasi X −Y , agar y = 2a dan x = 0.
Ditegaskan lagi disini pada bandul terjadi pergantian energi (exchange energy) tetapi tidak
terjadi pada modus normal. Contohnya adalah atom-atom dalam molekul seperti CO 2 (molekul
non-polar) dan H2 O (molekul polar) merupakan osilator terkopel dalam molekul. Berturut-turut
molekul mempunyai 3,3,3 frekuensi modus( Gambar 3.6). Molekul non-polar susunan atom
linier dan molekul polar susunan atom tidak linier, momen dipole tidak nol seperti H 2 O, momen
dipole H2 O=1.85 Debye,PCO2 = 0 artinya bila P 6= 0 titik berat muatan positif tidak berhimpit
Teaching Grant
QUE–Project
Bab3. Osilasi Terkopel
26
Gambar 3.6: Modus normal vibrasi triatomik molekul CO2 dan H2 O.
dengan titik berat muatan negatif.
3.3
Metode umum penentuan frekuensi modus
Masalah dua osilator terkopel dengan pegas ditunjukkan pada Gambar 3.1. Kedua bandul
mempunyai persamaan gerak
x
mẍ + mg
+ s(x − y) = 0
g
y
mÿ + mg
+ s(y − x) = 0
g
(3.15)
(3.16)
Diandaikan penyelesaian persamaan diatas adalah
x = A cos ωt
(3.17)
y = B cos ωt
(3.18)
dengan A dan B adalah amplitudo. Pergeseran x dan y pada frekuensi ω, kedua bandul dari
keadaan diam. Untuk memperoleh ω,x dan y dimasukan kembali pada persamaan gerak,
sehingga menjadi
i
A + s(A − B) cos ωt = 0
l h
mg
i
2
−mω B +
B + s(B − A) cos ωt = 0
l
h
−mω 2 A +
mg Kedua persamaan gerak ini dijumlahkan diperoleh
g
mg = 0 → ω 2 = = ω12
(A + B) −mω 2 +
l
l
Teaching Grant
(3.19)
(3.20)
(3.21)
QUE–Project
27
Kopling massa atau induktor
dengan ω1 adalah frekuensi normal modus pertama. Jika kedua persamaan dikurangkan diperoleh
mg
g 2s
(A + B) −mω 2 +
+ 2s = 0 → ω 2 = +
= ω22
l
l
m
(3.22)
dengan ω2 adalah frekuensi normal modus kedua. Dapat dikatakan
1. ω 2 =
g
l
dimasukan ke persamaan awal → A = B berarti bandul bergerak sefase
2. ω 2 =
g
l
+
2s
m
→ A = −B artinya kedua bandul bergerak berlawanan fase.
Kedua frekuensi normal akan diperoleh dengan cara sama bila x = A cos(ωt + α) dan y =
B cos(ωt + α), yang artinya bila pada awal bandul mempunyai kecepatan awal.
3.4
Kopling massa atau induktor
Kalau pada kopling pegas, faktor yang mengkopling kekakuan pegasnya, maka kalau kopling
induktor, faktor koplingnya dari induktansi mutualnya. Berikut ini ditunjukkan dua osilator dari
rangkaian LC terkopel (Gambar 3.7). Jika n p banyaknya lilitan primer dan ns banyaknya lilitan
Gambar 3.7: Rangkaian LC yang terkopel induktif dan induktansi mutual M .
sekunder, kedua lilitan berarus satu satuan arus, maka total fluks oleh semua lilitan n p ialahnp ×
(np φ). Induktansi diri dari koil pertama L p = n2p φ, jika pada kondisi yang sama pada koil
kedua, induktansi diri sekunder Ls = n2s φ, φ adalah fluks yang diinduktasikan
q oleh
qkoilsatu
Lp
Ls
φ=
dan diterima oleh koil kedua maka induktansi mutualnya M = n s (np φ) =
φ
φ
p
Ls Lp . Pada kenyataan praktis
M<
p
M
= k; (k=koefisien kopling)
L p Ls → p
Lp Ls
(3.23)
p
p
Lp Ls → k dan kopling lemah, sebaliknya jika M ∼
= Lp Ls → k dissebut
kopling kuat.
Bila M Teaching Grant
QUE–Project
Bab3. Osilasi Terkopel
28
Kemudian bagaimana penentuan frekuensi modus osilasi ini? Pada koil pertama berarus
Ip = Io exp(iωt), voltase induksi pada Lp ialah
dIp
= −Lp (iω)Io eiωt
dt
dan voltase (tgl) induksi pada koil dua adalah
−Lp
dIp
= −iωM Ip
dt
Voltase(tgl) induksi oleh koil dua pada koil satu
−M
dIs
= −iωM Is
dt
Kemudian notasi s diganti 2 dan p dengan 1, hukum Kirchoff pada koil satu dan koil dua diper−M
oleh
q
−iωL1 I1 −
− iωM I2 = 0
C1
R
Io exp(iωt)dt
− iωM I2 = 0
−iωL1 I1 −
C1
I1
−iωL1 I1 −
− iωM I2 = 0
iωC1
(3.24)
atau
iI1
+ iωM I2 = 0
ωC1
iI2
+ iωM I1 = 0
iωL2 I2 −
ωC2
iωL1 I1 −
Persamaan (3.25) dikalikan dengan
1
L1 C1
ω22 =
1
L2 C2 ,
ω
iL1
(3.25)
(3.26)
dan persamaan (3.26) dikalikan dengan
ω
iL2 ,
ω12 =
ω1 dan ω2 menyatakan frekuensi natural, kedua persamaan diatas berubah
menjadi
M 2
ω I2
L1
M 2
(ω22 − ω 2 )I2 =
ω I1
L2
Persamaan (3.27) dikalikan dengan (3.28) didapatkan
(ω12 − ω 2 )I1 =
(3.27)
(3.28)
M2 2
ω = k2 ω4
(3.29)
L1 L2
Jika kedua koil mempunyai frekuensi natural sama ω 1 = ω2 = ωo maka persamaan (3.29)
(ω12 − ω 2 )(ω22 − ω 2 ) =
menjadi
(ωo2 − ω 2 )2 = k 2 ω 4
ωo2
ωo
→ω=±
1±
(1 ± k)1/2
ωo
ω 00 =
(1 − k)1/2
(ωo2 − ω 2 ) = ±kω 2 → ω 2 =
∴ ω0 =
ωo
(1 + k)1/2
(3.30)
Pada sistem dengan M kecil dan k lemah terjadi ω 0 = ω 00 = ωo . Jika kopling kuat ω 00 − ω 0 ,
amplitudo arus dengan puncak terpisah lebar
Teaching Grant
QUE–Project
29
Osilator terkopel pada dawai
Gambar 3.8: Grafik amplitudo arus terhadap ω pada kondisi(a) Kopling kuat (b) Kopling sedang dan (c)
kopling lemah
3.5
Osilator terkopel pada dawai
Pada osilator ini diperlihatkan massa manik-manik ke-r dan 2 di tetangganya(Gambar 3.9).
Pergeseran manik-manik ke-r − 1, r, r + 1 berturut-turut y r−1 , yr dan yr+1 . Jika sudut θ1 dan θ2 ,
Gambar 3.9: (a),(b) Massa ke-r bergerak keatas dibawah pengaruh gaya tegang T
sudut dibuat oleh dawai dengan horisontal maka
sin θ1 =
yr − yr−1
a
sin θ2 =
yr − yr+1
a
(3.31)
Persamaan gerak osilator ke-r adalah
m
Teaching Grant
d2 yr
dt2
= Jumlah gaya bekerja pada mr
X
=
Gaya dari tegangan kiriT sin θ1 dari kananT sin θ2
QUE–Project
Bab3. Osilasi Terkopel
30
atau
m
d2 yr
dt2
= −T sin θ1 − T sin θ2
yr − yr−1 yr − yr+1
= −T
+
a
a
T
=
(yr−1 − 2yr + yr+1 )
ma
Jika gerakan dipandang berupa kombinasi dari modus normal dengan frekuensi ω maka y
merupakan fungsi waktu dari getaran harmonik sederhana berosilasi terhadap sumbu kesetimbangannya. Dapat dituliskan pergeseran :
yr = Ar exp(iωt)
yr+1 = Ar+1 exp(iωt)
(3.32)
yr−1 = Ar−1 exp(iωt)
Dengan memakai persamaan (3.32) pada persamaan gerak, diperoleh
−ω 2 Ar exp(iωt) =
T
(Ar−1 − 2Ar + Ar+1 ) exp(iωt)
ma
(3.33)
Persamaan(3.33) ini merupakan persamaan fundamental untuk menentukan ω. Dari persamaan fundamental, jika ada satu manik-manik, maksudnya satu osilator, hanya ada satu
ω1 . Ada dua osilator berarti ada dua ω frekuensi modus dan bila ada n osilator berarti ada
n frekuensi modus dengan n persamaan. Secara formal penyelesaian n persamaan, dengan
teori matrik dapat menyelesaikan yaitu determinan besarnya nol dari matrik. Ke-n persamaan
tersebut (dengan syarat yo = Ao = 0 dan yn+1 = An+1 = 0) adalah
maω 2
A1 − A 2 = 0
r = 1 →0+ 2−
T
maω 2
r = 2 → −A1 + 2 −
A2 − A 3 = 0
T
maω 2
r = 3 → −A2 + 2 −
A3 − A 4 = 0
T
..
.
maω 2
r = n → −An−1 + 2 −
An − An+1 = 0 (An+1 = 0)
T
(3.34)
n persamaan disebut juga persamaan non trivial , yaitu persamaan mempunyai penyelesaian
tidak nol semuanya dengan syarat determinannya nol (∆ = determinan = 0),di mana 2 −
maω 2
T
=C
Teaching Grant
C
−1
−1
C
···
···
0
0
···
···
0
···
−1 · · ·
···
···
···
···
· · · −1
0 0 ··· = 0
· · · C (3.35)
QUE–Project
31
Osilator terkopel pada dawai
Contoh 2 osilator terkopel, maka bentuk determinan matriknya
2
C −1 maω 2
maω 2
2
= ±1
−1=0→2−
= 0 7→ C − 1 → 2 −
−1 C T
T
(3.36)
Penyelesaian persamaan(3.36) adalah
maω 2
T
= 1 → ω12 =
T
ma
maω 2
3T
= 3 → ω22 =
T
ma
Teaching Grant
(3.37)
QUE–Project
BAB
4
Gelombang Transversal
Pada bab yang lalu telah dibahas gerakan suatu benda seperti bandul pada getaran harmonik
sederhana, teredam, ada gaya yang memaksa dengan simpangan (pergeseran) merupakan
fungsi waktu saja. Lain halnya kalau bandul atau massa tadi bergerak merupakan bagian dari
medium maka gerakan massa menyebabkan gerakan bagian medium lainnya. Misalnya tali
(string) ujung satu dipegang dan ujung lain dilepas, kemudian ujung yang dipegang dinaikkan
sesaat terjadi gerakan tali, maka asumsikan titik massa m bergerak menyimpang y , benda
m1 menyimpang y1 dan benda m2 menyimpang y2 , jadi y merupakan fungsi x digerakkan
pada t = t → y = t(x; t), y adalah simpangan merupakan fungsi x dan t(tempat dan waktu).
Perubahan dari x atau t menyebabkan perubahan y, secara matematik dinyatakan
dy =
∂y
∂x
dx +
t
∂y
∂t
dt = diferensial total
(4.1)
x
Kalau diuaraikan dalam ruang y → z, x → y, t → y, yang dimaksud diferensial parsial yaitu
dz = dz1 + dz2 =
∂z
∂x
dx +
y
∂z
∂y
dy
(4.2)
x
Secara fisis dikatakan bahwa besaran z ditentukan oleh x dan y.
4.1
Gelombang
Gerakan massa-massa tali (medium) berupa gelombang (waves). Gerakan air dari tengah laut
ke pantai karena pada tengah laut tadi air mendapat gaya berupa ombak tidak lain adalah
gelombang air. Juga getaran dari tali sehingga terdengar bunyi ( yang didengar orang lain),
juga pada udara terkirim gelombang bunyi. Gelombang yang berjalan pada medium panjang
32
33
Gelombang
Gambar 4.1: Elemen kecil dari permukaan bola dimana tiap gradien ditentukan dengan sebuah variabel
tetap
disebut progressive waves. Jadi gejala gerak medium disebut gelombang, jika medium terbatas, seperti pada tali gitar ujung tali terikat), getaran/vibrasi tali bergerak maju mundur dan
terpantul sehingga berupa gelombang berdiri.
Gelombang pada tali berupa gelombang transversal dengan pergeseran atau osilasi medium
transversal terhadap propagasi gelombang. Jika osilasi paralel, arah propagasi gelombang
disebut gelombang longitudinal. Pada medium gas hanya mungkin terjadi gelombang longitudinal. Pada medium padat dapat meneruskan gelombang longitudinal maupun gelombang
transversal. Dalam medium cair seperti halnya pada padatan dapat meneruskan gelombang
transversal dan longitudinal. Macam lain gelombang bidang datar dan gelombang bola. Ada
tiga macam kecepatan dalam gerak gelombang yaitu
1. Kecepatan partikel, tidak lain kecepatan gerakan partikel harmonik sederhana pada posisi kesetimbangan.
2. Kecepatan fase merupakan kecepatan bidang sefase, puncak dan lembah menjalar menembus medium, sama dengan kecepatan gelombang.
3. Kecepatan grup yaitu sejumlah gelombang berbeda frekuensi, panjang gelombang dan
kecepatan kemungkinan bersuperosisi membentuk grup seperti cahaya putih terdiri dari
sejumlah cahaya dengan berbeda frekuensi dan panjang gelombang. Cahaya putih
mungkin dapat berdispersi menjadi komponen-komponennya. Kecepatan grup adalah
merupakan juga kecepatan energi yang ditransmisikan.
Teaching Grant
QUE–Project
Bab4. Gelombang Transversal
4.2
4.2.1
34
Persamaan Gelombang
Persamaan gelombang dalam tali
Segmen tali sepanjang dx ditarik keatas sehingga panjang tersebut ds = dx dengan gaya
tegang T pada ujung-ujungnya. T bekerja di x pada sudut θ dan di x + dx pada sudut θ + dθ.
Gerakan sepotong tali ini vertikal dengan harmonik sederhana. Gaya pada elemen tali
Gambar 4.2: Elemen pergeseran dari kawat dengan tegangan T
T sin θ → T
T
∂2y
dx
∂x2
∂2y
∂x2
=
=
∂y
∂x
x+d
−
∂y
∂x
∂2y
∂t2
2
ρ∂ y
1
ρ
→ 2 =
2
T ∂t
c
T
(4.3)
x
ρdx
(4.4)
Jika ξ adalah simpangan, pada nilai t tertentu maka ξ = f (x). Pada jarak a = ct maka
ξ = f (x − a)
ke kanan
ξ = f (x + a)
ke kiri
(4.5)
Penyelesaian umum persamaan gelombang adalah
Gambar 4.3: Osilasi pergeseran dalam medium kontinu pada arah x-positif
Teaching Grant
QUE–Project
35
Persamaan Gelombang
ξ = f (x ± ct)
∂2ξ
∂x2
(4.6)
= f1 (ct − x) + f2 (ct + x)
1 ∂2ξ
= 2 2
c ∂t
(4.7)
Bentuk penyelesaian dari persamaan yang sering dipakai dalam bidang
ξ(x, t) = a sin
2π
(ct − x) → ξ = ξ(x, t)
λ
(4.8)
Tempat kedudukan pergeseran osilator dalam medium kontinu sebagai lintasan gelombang
menjalar sepanjang sumbu x dengan λ adalah jarak terpisah antara 2 osilator yang berbeda
fase 2π radian
x
y = a sin 2π vt −
λ
= a sin(ωt − kx);
(4.9)
→k=
2π
ωt
=
λ
c
= a exp i(ωt − kx)
Gerak gelombang tidak lain ialah perubahan pergeseran osilaotor-osilator dinyatakan dalam
pergeseran
∂x
∂t
adalah kecepatan fase,
∂y
∂x
−k cos(ωt − kx) adalah gradien dari profile gelombang. Maka nilai
∂y ∂x
− ∂x
∂t .
∂y
∂x
∂y
−c ∂x
adalah kecepatan partikel=ωa cos(ωt − kx) dan
∂y
∂t
=
∂y
− ωk ∂x
=
=
=
Arah panah menunjukkan arah gerakan partikel/osilator dan besarnya pada tiap x.Arah
∂y
gerakan partikel searah gaya transversal pada gelombang yaitu T ∂x
dimana T =tension.
Gambar 4.4: Besar dan arah dari kecepatan partikel pada arah x
Teaching Grant
QUE–Project
Bab4. Gelombang Transversal
4.3
36
Impedansi karakteristik suatu dawai
Dawai sebagai medium tempat gelombang menjalar mempunyai atau ditandai berapa besar
impedansinya. Medium hanya berisi parameter inersia dan elastisitas(energi storing) atau tidak
ada resistivitas atau tidak ada dissipasi. Jika ada energi terdissipasi berbentuk komplek, dawai
mendapat gaya transversal F , impedansi karakteristik dinyatakan
Z=
F
tranverse force
=
transverse velocity
v
(4.10)
Pada ujung dawai gaya Fo exp(iωt) bekerja vertikal ke atas. Dawai dan gaya terletak pada
bidang kertas, T=gaya atau tension pada dawai. Pada ujung dawai tercapai keseimbangan
∂y
Fo exp(iωt) = −T sin θ ≈ −T tan θ = −T
;θ ≈ 0
(4.11)
∂x
Pergeseran gelombang y = Aei(ωt−kx) pada x = 0 terpenuhi
∂y
Fo
Fo c Fo exp iωt = −T
= ikT A exp i(ωt − kx) → A =
(4.12)
=
∂c x=0
ikT
iω T
Fo c exp i(ωt − kx)
(4.13)
y =
iω T
Fo c T
Fo
v = y0 =
; Z = = ρc
(4.14)
exp i(ωt − kx); v =
iω T
Z
c
dengan Z=impedansi, nilai c besarnya ditentukan oleh inersia (Z, s) dan elastik (L, m) juga
nilai Z.
Gambar 4.5: Kawat sebagai sebuah osilator gaya vertikal F0 eiωt
4.4
Refleksi dan Transmisi gelombang pada dawai diperbatasan
Gelombang menjalar pada dawai yang dihubungkan secara halus pada x = 0 dan disini terjadi
ρ1 c1 = Z1 dawai kiri dan ρ2 C2 = Z2 pada dawai disebelah kanan.
Teaching Grant
yi = A1 exp i(ωt − k1 x) = gelombang datang
(4.15)
yr = B1 exp i(ωt + k1 x) = gelombang refleksi
(4.16)
yt = A2 exp i(ωt − k2 x) = gelombang transmisi
(4.17)
QUE–Project
37
Refleksi dan Transmisi gelombang pada dawai diperbatasan
Gambar 4.6: Gelombang refleksi dan transmisi dengan impedansi ρ1 c1 pada batas x=0 dimana kawat
mengalami perubahan impedansi ρ2 c2
Syarat batas :
1. Pada batas di x = 0 pergeseran tidak mengalami diskontinuitas, kondisi geometri y i +yr =
yt
2. Kondisi dinamis yaitu terjadi kontinuitas gaya transversal T
∂
yr ) = T ∂x
(yt )
∂y
∂x x=0
∂
(yi +
sedemikian T ∂x
Dari syarat batas(1) diperoleh
yi + y r = y t
(4.18)
A1 exp i(ωt − k1 x) + B1 exp i(ωt + k1 x) = A2 exp i(ωt − k2 x)
A1 + B 1 = A 2 ;
(x = 0)
syarat batas(2) diperoleh
∂
(yi + yr )
∂x
T (−ik1 A1 + ik1 B1 )
ω
ω
− T A1 + T B1
c1
c1
Z1 (−A1 + B1 )
T
∂
(yt )
∂x
= iT A2 k2
ω
= − T A2
c2
= −Z2 A2
= T
(4.19)
substitusi persamaan(4.18) dan (4.19) dihasilkan
B1
A1
A2
A1
=
=
Z1 − Z 2
= koefisien refleksi
Z1 + Z 2
2Z1
= koefisien transmisi
Z1 + Z 2
(4.20)
(4.21)
Kedua koefisien tersebut tidak tergantung pada ω dan f dan merupakan bilangan riil, jika bernilai negatif berarti berbeda fase π. Jika Z 1 = ∞ artinya ujung tetap dan tidak ada transmisi yaitu
B1
A1
= −1 artinya refleksi total dan berbeda fase π antara gelombang datang dan refleksi. Pada
Z = 0 adalah ujung bebas yaitu
Teaching Grant
B1
A1
= 1 dan
A2
A1
= 2.
QUE–Project
Bab4. Gelombang Transversal
4.5
38
Refleksi dan Transmisi Energi
Berapa energi yang ditransmisikan dan direfleksi bila gelombang melewati bidang batas? Energi total E =
1 2 2
2
2 ρ A cω
dengan k atau c kecepatan gelombang maka energi yang terbawa
sepanjang dawai adalah energi x kecepatan= 21 ρ2 A2 cω 2 . energi yang sampai pada batas x = 0
dan energi yang meninggalkan batas, yaitu :
1 2
1
ρ1 c1 ω 2 B12 + ρ2 c2 ω 2 A22
2
2
1
1
2 2
dan
Z1 ω B1 + Z2 ω 2 A22
2
2
!
1
1
2 2
2 2
2 Z1 ω B1 + 2 Z2 ω A2
A21
A21
2 !
Z1 − Z 2 2 1 2
2Z1
1 2
+ ω Z2
A21
ω Z1
2
Z1 + Z 2
2
Z1 + Z 2
1
1 2 2 (Z1 + Z2 ) 2
ω A1
Z1 = Z1 ω 2 A21
2
(Z1 + Z2 )
2
1 2
ρ c1 ω 2 A21
2 1
1
Z1 ω 2 A21
2
A21 × Energi
A21
=
=
=
dan
(4.22)
(4.23)
(4.24)
jumlah energi refleksi + energi transmisi=energi datang. Maka koefisien refleksi dan transmisi
adalah
Z1 B12
R=
Z1 A21
Z2 A22
T =
Z1 A21
=
=
B1
A1
2
=
4Z1 Z2
(Z1 + Z2 )2
Z1 − Z 2
Z1 + Z − 2
2
(4.25)
(4.26)
kondisi Z1 = Z2 disebut impedansi match
4.6
Gelombang berdiri pada dawai dengan panjang tetap
Suatu dawai dengan panjang l akan direfleksikan total di Z = ∞ dengan beda fase π, sedan-
gkan dawai dengan panjang tertentu, kedua ujungnya diklem akan terjadi gelombang berdiri.
Diasumsikan adanya gelombang monokromatik dengan frekuensi ω dan amplitudo a menjalar
sepanjang x positif dan amplitudo b pada arah negatif sehingga pergeseran dawai pada sembarang titik dapat dinyatakan
y = aei(ωt−kx) + bei(ωt+kx)
(4.27)
syarat batas di y = 0; x = 0 dan x = l sepanjang waktu. Pada kondisi x = 0
0 = aei(ωt−kx) + bei(ωt+kx) = eiωt (a + b) → a = −b
(4.28)
arti fisisnya gelombang pada suatu arah tertentu dengan ujung impedansi tak hingga, secara
lengkap akan direfleksikan dengan beda fase π (amplitudonya negatif). Dalam bentuk umum
untuk gelombang dan frekuensinya menjadi
y = aeiωt e−ikx − eikx ) = (−2i)aeiωt sin kx
Teaching Grant
(4.29)
QUE–Project
39
Gelombang berdiri pada dawai dengan panjang tetap
Gambar 4.7: Impedansi dari Z1 dan Z3 dari dua kawat yang disesuaikan oleh panjang kawat dengan
impedansi Z2 . Gelombang datang dan refleksi ditunjukkan pada bidang batas x=0 dan x=l
Pernyataan ini adalah suatu gelombang berdiri yang terjadi kapan saja (tidak tergantung waktu)
dan memenuhi persamaan
∂2y
+ k2y = 0
∂x2
Harga
∂2y
∂t2
= −2i(i2 ω 2 )eiωt a sin kx = −ω 2 y dan
1 ∂2y
c2 ∂x2
persamaan gelombang. Jika kondisi y = 0; x = l
0 = −2ieiωt a sin kl;
kl =
nπc
l
ω
cl
→ sin kl = 0 → sin ωc l = 0. Bila
→ νn =
nc
2l .
νn =frekuensi dan l =
nc
2νn
ωl
c
=
= nπ
nλ
2 .
(4.30)
2
= − ωc2 y = −k 2 y =
k=
1 ∂2y
c2 ∂x2
2π
λ
(4.31)
nπc
l
nπ
x.
l
n = 0, 1, 2, 3, · · · . ωn =
Maka sin kx = sin
merupakan
ωn x
c
= sin
→ 2πνn =
ωn =normal
frekuensi (mode vibration atau eigen frequency).
n = 1 → ν = 1 = Frekuensi harmonik 1
n = 2 → ν = 2 = Frekuensi harmonik 2
n = 3 → ν = 3 = Frekuensi harmonik 3
↓
n = N → ν = N = Frekuensi harmonik N
Pada suatu gerakan dawai semua mode normal ini ada dan pregeseran ialah superposisi
dari pergeseran pada tiap frekuensi. Sehingga pernyataan pergeseran yang mencakup n harmonik adalah
ωn x
yn = 2a(−i)(cos ωn t + i sin ωn t) sin
c
ωn x
= An cos ωn t + Bn sin ωn t sin
c
Teaching Grant
(4.32)
QUE–Project
Bab4. Gelombang Transversal
40
Gambar 4.8: Empat harmonik dari gelombang berdiri pada kawat yang ujungnya dijepit tetap
Amplitudo modus yang ke–n=(A2n + Bn2 )1/2 = 2a
Dalam gelombang berdiri, titik-titik simpul(node) adalah titik-titik diam pada dawai, yaitu titik
pada
nπ
x = rπ
l
(r = 0, 1, 2, 3, · · · , n)
(4.33)
r = 0 → x = 0 dan r = n → x = l, maksudnya bila n = 1; r = 0, 1 →
nπ
l
pada x = 0 dan x = l terjadi simpul. Bila n = 2 → r = 0, 1, 2 → x =
= rπ → x = rl,
rl
n
= 0, l, l/2 dan
seterusnya. Terjadi titik-titik simpul bila amplitudo gelombang datang dan direfleksikan sama,
tetapi bila tidak sama akan menghasilkan
B1
A1
< 1. Amplitudo total maksimum A1 + B1 dan
minimum A1 − B1 , maka dapat didefinisikan
SW R(Standing Wave Ratio) =
1+R
B1
A1 + B 1
=
;R =
A1 − B 1
1−R
A1
(4.34)
bila R = 1 → SW R = ∞ artinya terjadi simpul dan R=koefisien refleksi amplitudo.
4.7
Energi dawai bervibrasi
Energi kinetik dari elemen dawai dx dengan rapat massa ρ ialah sebesar 12 ρẏ 2 dx. Energi kinetik
Rl
total adalah 12 0 ρẏ 2 dx. Energi potensial adalah kerja yang dilakukan oleh gaya tegang T dalam
elemen dx menjadi ds ialah
Ep =
'
Teaching Grant
Z
T (ds − dx) =
Z t 2
dy
1
T
dx
2
dx
0
Z
2
2 1/2
T (dx − dy )
− dx =
Z n
T 1+
o
dy 1/2
− 1 dx (4.35)
dx
(4.36)
QUE–Project
41
Grup gelombang dan kecepatan grup
artinya untuk elemen dx, panjangnya berubah menjadi
bervibrasi dipandang dari gerak harmoniknya
En (kinetik) =
En (potensial) =
1
2
Z
1 dy 2
2 dx dx.
Selanjutnya untuk dawai
l
ρẏ 2 dx
0
Z 2
dy
1
dx
T
2
dx
(4.37)
(4.38)
Untuk gelombang berdiri dengan parameter
yn =
ẏn =
dyn
dx
=
ωn x
An cos ωn t + Bn sin ωn t sin
c
ωn x
− An ωn sin ωn t + Bn ωn cos ωn t sin
c
ωn x
ωn
An cos ωn t + Bn sin ωt cos
c
c
(4.39)
(4.40)
(4.41)
Maka persamaan (4.37) dan (4.38) menjadi
En (kinetik) =
En (potensial) =
=
dengan T = ρc2 dan
Rl
2
0 sin
Z l
ωn x
1 2
2
ρω (−An sin ωn t + Bn cos ωn t)
dx
sin2
2 n
c
0
Z l
1 T ωn2
ωn x
(An cos ωn t + Bn sin ωn t)
dx
cos2
2 c
c
0
Z l
1 2
ωn x
ρωn (An cos ωn t + Bn sin ωn t)
cos2
dx
2
c
0
ωn x
c dx
=
energi potensial adalah
En (kinetik+potensial) =
Rl
0
cos2
ωn x
c dx
(4.42)
(4.43)
= 12 l. Maka jumlah energi kinetik dengan
1 2
1
ρωn l(A2n + Bn2 ) = mωn2 (A2n + Bn2 );
4
4
m = ρl
(4.44)
dengan A2n + Bn2 adalah jumlah kuadrat amplitudo. Energi total pada dawai ialah
En (total) = E1 + E2 + E3 , · · · , En
4.8
(4.45)
Grup gelombang dan kecepatan grup
Pada umumnya di alam, gelombang terjadi dari campuran banyak gelombang dengan komponen frekuensi masing-masing. Seperti cahaya putih merupakan komposisi cahaya, dengan
◦
◦
panjang gelombang 3000A − 7000A yaitu dari warna biru sampai warna merah. Gelombang
menjalar dengan kecepatan grup. Pada bagian ini akan dibahas mengenai kecepatan grup
hasil superposisi dua buah gelombang yang berbeda sedikit frekuensi dan bilangan gelombang k−nya dengan amplitudo sama yaitu
y1 = a cos(ω1 t − k1 x)
Teaching Grant
dan y2 = a cos(ω2 t − k2 x)
(4.46)
QUE–Project
Bab4. Gelombang Transversal
42
hasil superposisi y = y1 + y2 adalah
y = y1 + y2 = 2a cos
ω + ω
ω − ω
k1 − k 2 k1 + k 2 1
2
1
2
t−
x cos
t−
x
2
2
2
2
gelombang superposisi ini berupa gelombang dengan amplitudo 2a frekuensi
(4.47)
ω1 +ω2
2
≈ ω1 ≈
ω2 dan termodulasi dalam ruang dan waktu dengan “envelope” yang amat lambat dengan
frekuensi
ω1 −ω2
k1 −k2
k1 −k2
2 .
Sistem ini seperti osilator terkopel dengan kecepatan c =
ω1
k1
=
ω2
k2
atau
= c.
Gambar 4.9: Superposisi dari dua buah gelombang yang mempunyai beda frekuensi ω1 dan ω2 yang
kecil
Kecepatan grup, komponen-komponen frekuensi menjalar dengan kecepatan sama dengan
c dan profile dari kedua kombinasi tetap konstan selama penjalarannya. Amplitudo maksimum
2a terjadi dua kali setiap perioda, frekuensi yang termodulasi (ν 1 − ν2 ) intensitas maksimum
bila maplitudo 2a. “Beat” atau pelayangan dengan frekuensi (ν 1 − ν2 ) menyatakan berapa kali
fluktuasi intensitas maksimum terjadi. Kalau gelombang grup adalah gelombang bunyi, maka
pada amplitudo kecil (amplitudo bervariasi 0 → 2a), suara lemah dan bila gelombang yang
termodulasi amplitudo, gelombang y = A cos(ωt − kt), A=amplitudo termodulasi berbentuk
A = a + b cos ω 0 t yaitu
y = a cos(ωt − kx) +
i
bh
cos((ω + ω 0 )t − kx) + cos((ω − ω 0 )t − kx)
2
(4.48)
frekuensi ω ± ω 0 adalah frekuensi sideband atau tones. Amplitudo modulasi terjadi pada transmisi radio dengan sideband terdengar pada dua frekuensi yang berdekatan yaitu ω ± ω 0 .
Kemudian bila kedua gelombang yang bersuperposisi berbeda kecepatan fasenya
ω1
k1
6=
ω2
k2 ,
kecepatan grup yaitu kecepatan gelombang atau kecepatan pada puncak maksimum bergerak
vg =
ω1 −ω2
k1 −k2
=
∆ω
∆k
dan vg berbeda dengan kecepatan masing-masing yaitu
ω1
k1
dan
ω2
k2 ,
profilenya
berubah-ubah terhadap waktu. Medium yang kecepatan fasenya tergantung frekuensi (atau
Teaching Grant
QUE–Project
43
nilai
Gelombang grup dan teorema lebar band
ω
k
tidak tetap) disebut medium dispersif. Hubungan antara ω dan k disebut hubungan
dispersif. Bila grup berbentuk banyak komponen dengan frekuensi berdekatan ∆ω
∆k =
dω
dk
dan
kecepatan grup
vg =
d(kv)
dv
dv
dω
=
=v+k
=v−λ ;
dk
dk
dk
dλ
k=
2π
λ
(4.49)
Sekali lagi disebutkan kecepatan grup merupakan kecepatan energi terkirim dalam medium,
merupakan juga kecepatan amplitudo masksimum dari grup gelombang menjalar. Dari hubundv
, bila
gan diatas vg = v − λ dk
dv
dk
= 0 → vg = v disebut medium non-dispersif. Bila
vg > v disebut dispersif anomali dan bila
dv
dk
dv
dk
<0→
> 0 → vg < v disebut medium dispersif nor-
mal. Bahan konduktor bersifat anomali terhadap gelombang elektromagnet. Bahan dielektrik
bersifat normal terhadap gelombang elektromagnet pada frekuensi lebih kecil dari frekuensi
normal(ωo ).
Gambar 4.10: Kurva dispersif;(a)garis lurus menyatakan medium non-dispersi(b)hubungan dispersi
normal (c) anomali dari hubungan dispersi
4.9
Gelombang grup dan teorema lebar band
Suatu grup gelombang terdiri banyak frekuensi yang terletak pada daerah (range) frekuensi
yang sempit ∆ω dan tiap komponen dengan amplitudo sama dengan a. Telah dibahas pada
sbelumnya yaitu tentang superposisi n-SHM yang amplitudonya sama a dan mempunyai beda
fase(δ) tetap diperoleh amplitudo resultan.
R=
a sin nδ/2
sin δ/2
(4.50)
dan getaran resultan
R cos(ωt + α) = a
Teaching Grant
δ
a sin nδ/2
cos(ωt + (n − 1) ;
sin δ/2
2
α = (n − 1)
δ
2
(4.51)
QUE–Project
Bab4. Gelombang Transversal
44
Gambar 4.11: Anomali dispersi dari sifat indek refraksi n =
atom, absorpsi dinyatakan dengan garis putus-putus
√
terhadap ω dan λ, dimana ωo frekuensi
Analog diatas, bila tiap gelombang mempunyai amplitudo a dan δ adalah beda fase antar tiap
komponen, maka
R=
a
cos ω1 t + a cos(ω1 + δω)t + a cos(ω1 + 2δω)t + · · ·
(4.52)
+ a cos(ω1 + (n − 1)δω)t
Batasan-batasannya
sin n(δω)t/2
δω
cos(ω1 + (n − 1) )t,
sin(δωt/2)
2
sin n(δω)t/2
cos ω̄t
= a
sin(δωt/2)
R cos(ωt + α) = a
(4.53)
dengan ω̄ = ω1 + 21 (n − 1)δω dan nδω = ∆ω. Resultan
sin ∆ωt/2
cos ω̄t
sin ∆ωt/2n
sin ∆ωt/2
cos ω̄t
= na
sin ∆ω/2
sin α
∆ω
n → R(t) = A
cos ω̄t; A = na, α =
α
2
R = a
Pada R(t) = A = na yaitu di t = 0 karena
∆t =
2π
∆ω
dan R(t) =
A sinπ π
sin α
α
= 1. Seusudah ∆t menjadi α =
(4.54)
(4.55)
∆ω∆t
2
cos ω̄∆t = 0. Nilai 2∆t ini adalah ukuran lebar pulsa sentral.
=π→
Bentuk ∆t∆ω = 2π → ∆t(2π)∆ν = 2π → ∆t∆ν = 1 adalah Teorema Bandwidth, artinya
lebih besar ∆ω akan lebih cepat ∆t sehingga bila ∆ω = 0 → ∆t = ∞
Dari nilai ∆ω → ∆k, ∆t → ∆x maka ∆k∆x = 2π → ∆x∆(1/λ) = 1, juga berarti ∆k = 0
(gelombang monokromatik)→ ∆x → ∞ (infinitely long wavetrain). Dalam persoalan gelom-
bang grup disederhanakan dengan berbagai frekuensi tetapi amplitudo sama dengan a. Bila
a(ω), persoalan menjadi sulit dan metode Fast Fourier dan teorema Bandwidth menjadi asas
ketidakpastian Heisenberg
Teaching Grant
QUE–Project
45
Gelombang transversal dalam struktur periodik
Gambar 4.12: Gelombang kotak dengan lebar pita ∆ω dengan n frekuensi, a amplitudo dan beda
frekuensi umum δω (b) Menyatakan pita frekuensi terhadap waktu sebagai kurva kosinus pada frekuensi
rata-rata ω̄ amplitude modulasi sin α/α.
4.10
Gelombang transversal dalam struktur periodik
Suatu dawai ringan merupakan suatu struktur periodik dari n massa sama sebesar m. Persamaan gerak partukel ke-r adalah
mÿr =
dengan frekuensi normal
ωs =
Bila a → dx maka
=
=
∂ 2 yr
∂t2
m
ρ=
dx
∴m
=
T
yr+1 + yr−1 − 2yr
a
sπ 2T
= 1 − cos
ma
n+1
(4.56)
s = 1, 2, , 3, · · · , n
(4.57)
o
1 n
1
yr+1 + yr−1 − 2yr →
yr+1 − yr − yr − yr−1
a
dx
∂y ∂y ∂2y dx
−
=
∂x r+1/2
∂x r−1/2
∂x2 r
∂ 2 yr
∂ 2 yr
T ∂ 2 yr
T
dx
→
=
∂x2
∂t2
ρ ∂x2
(4.58)
→ y = exp i(ωt − kx)
y merupakan propagasi gelombang transversal sepanjang array linear atom-atom dengan massa
m, gaya elastik Tx dan T /a sebagai stiffnes, dimana a=jarak antar atom(a ≈ 10 −11 m).
Teaching Grant
QUE–Project
Bab4. Gelombang Transversal
46
Gambar 4.13: Hubungan dispersi ω(k) terhadap k untuk gelombang menjalar garis lurus yang
menggambarkan struktur periodik dalam atom
Bila yang diklem diganti ujung berupa kristal, persamaan gelombang
yr = Ar exp i(ωt − kx) = Ar exp i(ωt − kra)
(4.59)
Persamaan gerak menjadi
−ω 2 m =
=
ω2 =
ωs2 =
ka
2
=
=
Bila λ = 2a →
ka
2
fase π atau
=
sπ
p2
T
(exp(ika) + exp(−ika) − 2)
a
2
T
T
ka
exp(ika/2) − exp(−ika/2) = −4 sin2
a
a
2
T
2 ka
4
sin
ma
2
sπ T
2T
sπ
1 − cos
=4
sin2
ma
n+1
ma
2(n + 1)
sπ
a
pλ
→ (n + 1)a = l =
2(n + 1) a
2
sπa
sπa
sπa
=
=
2l
2pλ/2
pλ
→ ω2 =
yr
yr+1
4T
ma
sin2
π
2
=
4T
ma
(4.60)
(4.61)
(4.62)
yang berarti atom tetangga mempunyai beda
∼ exp(ika) = exp(iπ) = −1
Frekuensi besar menandakan kopling maksimum untuk λ → k =
(4.63)
2π
λ
dan sin ka
2 →
4T ka 2
ω2 =
ma 2
ω 2
a2
T
T
4T
×
= a = → c = kecepatan gelombang
= c2 =
k
ma
4
m
ρ
ka
2
dari
(4.64)
(4.65)
Dan secara umum pada sistem dengan partikel terstruktur diperoleh
v=
Teaching Grant
sin ka/2
ω
=c
k
ka/2
(4.66)
QUE–Project
47
Rangkaian linier dari 2 macam atom dalam kristal ionik
Persamaan diatas merupakan relasi dispersi antara ω vs k.a berpengaruh pada λ pendek dan
2π
λ
2π
π
10 −1
−27 kg,ω 2 =
ra = a ≈ 10 m . Gaya elastik T /a kristal ≈ 15 N/m, m = 60 × 10
1027 (rad/s)2 → ν = 5×1012 Hz atau daerah infra merah. Eo ialah amplitudo maksimum medan
listrik E = Eo e1ωt . Atom–atom ion dengan frekuensi osilasi ω akan menyerap energi maksimum
km =
=
pada frekuensi resonansi.
4.11
Rangkaian linier dari 2 macam atom dalam kristal ionik
Kristal berbentuk rantai satu dimensi terdiri dari dua atom berbeda dengan massa M dan m
yang dinyatakan sebagai berikut:
T
(y2r+1 + y2r−1 − 2y2r )
a
T
(y2r+2 + y2r − 2y2r+1 )
a
mÿ2r =
M ÿ2r+1 =
(4.67)
(4.68)
y2r = Am ei(ωt−2kra)
(4.69)
y2r+1 = AM ei(ωt−ka(2r+1))
substitusi persamaan(4.69) pada persamaan(4.67) dan (4.68)
2T Am
T
AM (e−ika + eika ) −
a
a
2T
A
T
M
Am (e−ika + eika ) −
a
a
−mω 2 Am =
−M ω 2 AM
=
(4.70)
(4.71)
Dari persamaan(4.70) dan (4.71) diperoleh
T
ω2 =
a
1
1
+
m M
±
"
1
1
+
m M
2
4 sin2 ka
−
mM
#1/2
(4.72)
(a) Keadaan m > M diambil yang positif ⊕ dari persamaan(4.72) maka diperoleh
k = 0 → ω2 =
k = km =
π
2a
T
a
→
)
1
1
m + M
2T
ω 2 = aM
→ Optical branch
(4.73)
(b) Keadaan m > M diambil negatif dari persamaan(4.72) maka diperoleh
k = 0 → ω2 =
k = km =
Teaching Grant
π
2a
→
2T k 2 a2
a(M +m)
2T
ω 2 = am
)
→ Acoustical branch
(4.74)
QUE–Project
Bab4. Gelombang Transversal
48
Gambar 4.14: Hubungan dispersi untuk dua mode osilasi transversal dalam struktur kristal
Gambar 4.15: Pergeseran dari perbedaan jenis atom dalam dua mode dari osilasi transversal dalam
kristal (a) Mode optik (b) Mode akustik
4.12
Absorpsi radiasi IR oleh kristal ionik
Suatu kristal dengan km = 1010 m−1 , radiasi IR dengan frekuensi 3 × 1012 Hz, λ = 100µm
dan k =
2π
λ
= 6 × 104 m−1 sehingga kIR km maka kIR dapat diabaikan.Suatu sepasang
ion dengan muatan ±e dipengaruhi medan listrik gelombang radiasi EM, medan listrik total
E = Eo eiωt maka di[eroleh persamaan
2T
(AM − Am ) − eEo ; m bermuatan − e
a
2T
= − (AM − Am ) + eEo ; M bermuatan + e
a
−ω 2 mAm =
−ω 2 M AM
(4.75)
(4.76)
Persamaan (4.75) ditambah dengan persamaan (4.76)
−ω 2 (Am m + AM M ) = 0 →
Teaching Grant
M
Am
=−
AM
m
(4.77)
QUE–Project
49
Efek Doppler
maka persaman (4.75)
2T m
−ω 2 mAm =
− Am − Am − eEo
a M
2T m + M
2
= −eEo
Am −ω m +
a
M
Eo
e
e Eo Am = −
=
−
m+M
m −ω 2 + 2T
m ωo2 − ω 2
a
mM
Eo Eo
1
m
m
e
2T 1
e
+
, A M = − Am = −
−
ωo2 =
=
2
2
2
a M
m
M
M
m ωo − ω
M ω − ω2
(4.78)
Misalkan
hitung
λ dari Na Cl bila MN a+ = 23 amu dan mCl− = 35 amu dengan ω 2 = ωo2 =
1
1
π
2T
T
a M + m . Hasil perhitungan λ = 61 µm; KCl = 71µm, T = 15N/m; a = 1010 dan a =
15×1010
.
π
4.13
Efek Doppler
Efek Doppler ialah efek terjadinya perubahan frekuensi yang terdengar pengamat terhadap
frekuensi gelombang sumber, akibat sumber bergerak pengamat bergerak atau medium bergerak (angin misalnya).
c
c−u
c−v
= ν
c
ν0 = ν
ν 00
(4.79)
Sumber bergerak dengan kecepatan u mendekati pengamat, c kecepatan gelombang maka
frekuensi yang terdengar pengamat lebih besar ν 0 > ν. Kemudian sumber tetap, pengamat
menjauhi sumber dengan kecepatan v maka frekuensi yang terdengar pengamat lebih kecil
ν 00 < ν.
Teaching Grant
QUE–Project
BAB
5
Gelombang Longitudinal
Gelombang longitudinal ialah gelombang yang menjalar dalam medium searah dengan arah
gerakan partikel-partikelnya atau osilator-osilatornya. Gelombang menjalar dalam plasma,
gas, zat cair maupun zat padat.Dalam gas dan zat padat dilakukan pembatasan-pembatasan,
dalam zat padat penjalarannya tergantung pada dimensi medium. Zat cair dan gas dapat
meneruskan gelombang longitudinal.
5.1
Gelombang bunyi dalam gas
Asumsikan gas dengan massa tetap m, menempati ruangan V o dengan tekanan Po dan kerapatan ρo . Harga-harga tersebut menunjukkan keadaan kesetimbangan. Bila gas diganggu atau
mengalami deformasi karena kompresi dan peregangan besaran–besaran akan mengalami
perubahan yaitu:
Po → P = P o + p
Vo → V = V o + v
(5.1)
ρo → ρ = ρ o + ρ d
Tekanan p (excess pressure) ialah amplitudo tekanan maksimum dari gelombang bunyi dan
merupakan komponen yang berubah-ubah superimposed disekitar atau menambah tekanan
gas dalam kesetimbangan Po , sedangkan fraksi perubahan volume adalah
perubahan kerapatan
Harga δ ≈ s =
10−3 ,
ρd
ρ
v
Vo
= δ dan fraksi
= s keduanya berurutan disebut sebagai dilatasi dan kondensasi.
p = 2 × 10−5 N/m2 dan ν = 1000Hz. Untuk gas dengan massa tetap
ρo Vo = ρV = ρo Vo (1 + δ)(1 + s) → (1 + δ)(1 + s) = 1 → s = −δ
50
(5.2)
51
Gelombang bunyi dalam gas
Harga δ dan s menunjukkan sifat keelastisitan gas sedang ukuran kompresibilitas didefinisikan
sebagai:
B=−
dP
dP
= −V
dV /V
dV
(5.3)
B berharga positif, ∆V > 0 dan dP < 0 serta B tergantung pada gerakan gelombang. Apa
sebab adiabatik atau isotermik?. Adanya gelombang bunyi (sound wave) pada gas akan terjadi
perubahan tekanan yaitu ∆p, kalau ∆p besar akan ada ∆T dan adanya faktor konduktivitas
akan memindahkan energi dari sistem gas. Dengan asumsi P = P o + p dan Badb tetap, p
besar menunjukkan gelombang yang mengganggu yaitu gelombang kejut(shock waves). Bila
gas tersebut mengalami proses adiabatik maka akan terpenuhi
PV γ
dP
V
dV
P
= tetap → V γ dP + P γV γ−1 dV = 0
= γP = Ba
dan dP = p
p
= Po + p → B a = −
→ p = −Ba δ = Ba s
v/Vo
(5.4)
Dalam gelombang bunyi ini pergeseran partikel sepanjang sumbu x dan dipilih kordinat η sebagai pergeseran. Bagaimana persamaan geraknya?. Pandang lapisan gas x dipindah sejauh η
dan lapisan gas setebal x + dx bergeser sejauh η + dη dan perubahan tebal gas dx dari elemen
persatuan luas adalah dη. Medium di deformasi karena tekanan sepanjang sumbu x sehingga
Gambar 5.1: Gelombang longitudinal dalam gas
sisi elemen tidak seimbang. Gaya netto yang bekerja pada elemen ialah
Px − Px+dx
Teaching Grant
∂Px
dx
= P x − Px +
∂x
∂Px
∂
∂p
= −
dx = − (Po + p)dx = − dx
∂x
∂x
∂x
(5.5)
QUE–Project
Bab5. Gelombang Longitudinal
52
Massa elemen sebelum ρo dx, sehingga berdasarkan hukum Newton
∂2η
∂t2
ρo dx
dη =
∂η
dx;
∂x
δ =
p =
∂p
∂x
∂2η
∂x2
−
∂p
dx
∂x
∂η
dx
v
dη
∂η
=
= ∂x
=
= −s
Vo
dx
dx
∂x
∂η
−Ba δ = −Ba
∂x
∂2η
∂2η
Ba 2 = ρo 2
∂x
∂x
ρo ∂ 2 η
1
ρo
→ 2 =
2
Ba ∂t
c
Ba
= −
=
=
(5.6)
(5.7)
(5.8)
(5.9)
(5.10)
Persamaan(5.10) adalah persamaan diferensial dan penyelesaian dalam arah x positif ialah
η = ηm exp i(ωt − kx);
η̇ = iωη;
δ=
∂η
= −ikη = −s
∂x
(5.11)
∂η
= ikη = −s
∂x
(5.12)
p = Ba s = iBa kη
Penyelesaian dalam arah x negatif
η = ηm exp i(ωt + kx);
η̇ = iωη;
δ=
p = Ba s = −iBa kη
Dari Gambar.5.2 dapat disimpulkan yaitu
Gambar 5.2: Persamaan gelombang dalam gas
(a) Untuk gelombang pada arah x(+) di η = 0 maka η̇ maksimum pada arah x(+), p positif(kompresi), s maksimum dan v minimum.
(b) Untuk gelombang pada arah x(−) di η = 0 maka η̇ maksimum pada arah x(+), p maksimu
negatif, s minimum dan v maksimum.
Teaching Grant
QUE–Project
53
5.2
Energi distribusi pada gelombang bunyi
Energi distribusi pada gelombang bunyi
Energi kinetik dalam gelombang bunyi diperoleh pada elemen gas setebal dx
Ekin =
1
ρo dxη̇ 2
2
(5.13)
dengan
2π
η = ηmak cos (ct − x)
λ
2π
2π
η̇ = −ηmak
sin (ct − x)
λ
λ
2π
= η̇mak sin (ct − x)
λ
1
h∆Ekin i = Ekin rerata = ρo dxhη̇ 2 i
2
hη̇ 2 i = rerata kecepatan pada nλ
R nλ 2 2π
2
η̇m
1 2
0 sin λ (ct − x)dx
= η̇m
=
nλ
2
hEk i = rapat energi kinetik rerata
1
1
2
2
=
ρo η̇m
= ρo ω 2 ηm
4
4
(5.14)
(5.15)
(5.16)
(5.17)
Kemudian rapat energi potensial adalah ∆E p sebesar kerja p dV yang dilakukan pada massa
gas bervolume Vo selama perubahan adiabatik karena gelombang bunyi sebesar
Z
Ep = − pdV
(5.18)
Tanda minus karena p positif, dV negatif yaitu pada kompresi dan pada penarikan ( rarefaction)
p negatif dan dV positif. Dalam grafik P V (Gambar.5.3) kerja yang dilakukan dalam kompresi
(1) dan pada penarikan (2) besarnya sama yaitu 12 pv, pada kompresi tekanan membesar dan
pada penarikan tekanan mengecil.
Gambar 5.3: Daerah yang diarsir menunjukkan energi potensial pm vm /2 dikuatkan oleh gas dalam
kompresi.
Teaching Grant
QUE–Project
Bab5. Gelombang Longitudinal
Selanjutnya bila s=kondensasi=
Ba s
54
R
dV
Vo
= − Vvo dan secara incremental dV = −Vo ds dan p =
Z
∴ Ep = − Ba s(−Vo ds)
Z
1
1
=
Ba sVo ds = Ba Vo s2 = Ba Vo s2 dx
2
2
1
=
Ba δ 2 dx
2
Jika η = ηm exp i(ωt ± kx) dan δ =
∂η
∂x
(5.19)
∂η
= ±ikη = ±i ωc η = ± 1c ∂x
= ± 1c η̇ maka
∆Ep =
h∆Ep i =
1
1 η̇ 2
Ba 2 dx = ρo η̇ 2 dx
2 c
2
1
2
ρo η̇m
4
(5.20)
Energi total
1
2
h∆Ei = h∆Ek i = h∆Ep i = ρo η̇m
2
(5.21)
2 maksimum dan minimum bila η̇ 2 = 0 Rapat energi kinetik dan energi
h∆Ei maksimum bila η̇m
m
Gambar 5.4: Energi distribusi dalam ruang gelombang bunyi dalam gas. Baik energi potensial dan
kinetik adalah maksimum saat kecepatan partikel η̇ adalah maksimum dan nol pada η̇ = 0
2 dan rapat energinya rerata adalah 1 ρ η̇ 2 berarti energi kinetik dan
potensial sama yaitu 21 ρo η̇m
4 o m
energi potensial berharga maksimum dan minimum pada waktu yang sama dengan kata lain η̇
menyatakan besar energinya.
5.3
Intensitas gelombang bunyi
Intensitas ialah ukuran fluks energi diukur dalam J/s.m 2 = watt/m2 =rapat energi. Intensitas
dituliskan
I =
=
Teaching Grant
1
1
2
2
2
ρo η̇m
c = ρo ω 2 ηm
c = ρo cη̇rms
2
2
prms
p2rms
=
ρo c
ẏrms
(5.22)
QUE–Project
55
Impedansi akustik spesifik
Intensitas bunyi standar Io = 1 × 10−2 watt/m2 . Gelombang bunyi normal dengan intensitas
antara 10−12 → 1 watt/m2 . Tingkat Intensitas
I
Io
10−1
= log −2 = 1 bel
10
T I = log
5.4
(5.23)
1bel = 10dB
Impedansi akustik spesifik
Impedansi akustik spesifik dapat didefinisikan sebagai:
Impedansi akustik =
p
tekanan excess
=
kecepatan partikel
η̇
Bila gelombang bergerak ke kanan x+ maka
p
η̇
p
−
x →
η̇
x+ →
5.5
=
Ba k
;
ω
= −ρo c
iBa kη
Ba
=
= ρo c
iωη
c
(5.24)
(terjadi perubahan fase)
Gelombang longitudinal dalam pegas
Suatu pegas panjang L ditarik perlahan-lahan, hingga panjangnya bertambah l, maka gaya F
akan sama ditiap-tiap titik pada pegas dalam keadaan setimbang (F =gaya yang bekerja). Gaya
yang bekerja F ini sebesar K Ll , K disebut modulus elastisitas. Menurut hukum Hooke F = kl,
maka hubungan antara k dan K ialah k =
K
L,
k disini konstanta pegas atau stiffnes. Kemudian
akan ditinjau bila pertambahan panjang pegas karena ada gangguan, akibatnya pegas tegang
∂η
. Jika
dan terjadi perubahan panjang η. Maka gaya pada bagian segmen dx sebesar F = K ∂x
massa persatuan panjang adalah µ, maka menurut Newton, gaya yang bekerja pada sepotong
segmen dx sebesar
µdx
∂2η
∂t2
∂2η
∂t2
=
=
∂F
∂2η
dx = K 2
∂x
∂x
2
K∂ η
µ ∂x2
Sehingga kecepatan rambat gelombang longitudinal dalam pegas
s
s
r
r
K
kL
KL
kL2
v=
=
=
=
µ
µ
m
m
5.6
(5.25)
(5.26)
Gelombang longitudinal kawat elastik
Kawat setebal dx dalam keadaan diam terletak antara x dan x + dx. Karena gangguan posisi
berubah dan kawat pada kedudukan antara x + η dan x + η + δx + δη atau dikatakan terjadi
regangan δx + δη
Teaching Grant
QUE–Project
Bab5. Gelombang Longitudinal
56
∂η
∂η
Gaya per
x sebesar Y ∂x
, dengan ∂x
=regangan, sedang gaya per luas di x + dx
luas di
2
∂2η
∂η
sebesar Y ∂x + ∂x2 , sehingga gaya total sebesar Y A ∂x∂ 2ηδx .
Menurut hukum Newton II :
YA
∂2η
∂2η
δx
=
Y
Aρδx
∂x2
∂t2
2
2
∂ η
ρ∂ η
=
2
∂x
Y ∂t2
∂2η
∂x2
=
1 ∂2η
→c=
c2 ∂t2
(5.27)
s
Y
ρ
c=kecepatan gelombang longitudinal pada kawat.
5.7
Gelombang longitudinal dalam zat padat
Kecepatan gelombang longitudinal dalam zat padat sangat tergantung pada spesimen dimana
gelombang menjalar. Dalat zat padat, kecepatan rambat adalah
s
Ba
c=
ρ
Pada bulk selain ada regangan
∂η
∂x
ada regangan
∂ρ
∂y
y, merupakan fungsi x dan y adalah
−
∂ρ
∂y
∂η
∂x
(5.28)
(arah ⊥ x), β ialah pergeseran pada arah
= σ = Poisson’s ratio
(5.29)
σ adalah hubungan dengan konstanta elastik Lame λ dan µ ialah
σ=
λ
;
2(λ + µ)
λ=
σY
;
(1 + σ)(1 − 2σ)
Y = (λ + 2µ − 2λσ)
(5.30)
µ disebut koefisien rigiditas transversal=mobil stress transversal terhadap regangan transversal. σ umumnya <
1
2
dan biasa σ = 31 , dalam bulk solid → µ adalah menunjukkan keelastisan,
dan pada zat padat tipis adalah Y(modulus Young) menunjukkan keelastisan.
Geser(shear) dalam zat padat bulk akan menghasilkan gelombang transversal, ∂β
∂x =regangan
geser transversal dan µ ∂β
∂x =stress geser transversal=T x .
Persamaan gerak transversal pada elemen tipis dx ialah
∂
∂x
Tx+dx − Tx
∂β
µ
dx
∂x
∂2β
µ 2
∂x
∂2β
∂x2
= ρdxÿ
= ρdxÿ
∂2β
∂t2
ρ ∂2β
µ ∂t2
r
µ
µ
→c=
ρ
ρ
= ρ
=
c2 =
Teaching Grant
(5.31)
QUE–Project
57
Aplikasi gelombang longitudinal pada gempa bumi
Dari hubungan berikut
Y
ρ
Y
ρ
=
=
λ + 2µ 2λσ
−
ρ
ρ
λ + 2µ
2λσ
bila
≈0
ρ
ρ
(5.32)
(5.33)
Gelombang longitudinal mempunyai kecepatan lebih besar pada bulk solid. Pada medium bulk
solid isotrop
2
B = λ + µ = Y (3(1 − 2σ))−1
3
4 1/2
1/2
B+ 3 µ
µ
dan kecepatan longitudinal pada bulk solid adalah c L =
dan
c
=
T
ρ
ρ
5.8
(5.34)
Aplikasi gelombang longitudinal pada gempa bumi
Gempa bumi ialah gelombang seismik dan diperhatikan gelombang pada permukaan. Didekat
permukaan bumi ada gelombang longitudinal dengan c = 8 km/s dan gelombang transversal
c = 4, 45 km/s. Nilai c sampai pada kedalaman 1800 mil, selanjutnya pada bidang diskon 1/2
bila
tinyu cl ≈ 0 . Pada permukaan ada gelombang Rayleigh yaitu c rayleigh = f (σ) µρ
σ = 0, 25 → f (σ) = 0, 9194 dan σ = 0, 5 → f (σ) = 0, 9553.
5.9
Gelombang longitudinal dalam struktur periodik
Jarak antar atom dalam kristal a(Gambar 5.5), pergeseran atom dari kedudukan kesetimbanη
a
dan normal stress per a2 adalah
q
ps
ω
1
1
Y
→ s = Y a dan ν = 2π
= 2π
=
m
2πa
ρ =
gan η dan jarak antar atom a menjadi a + η, regangan =
sη
s
= as
= as . Kemudian modulus Young Y = sa
a2
co
3
2πa . co =kecepatan bunyi dalam zat padat=5 × 10
m/s, a = 2 × 10−10 m, ν = 3 × 1012 Hz.
Kemudian analog dengan gelombang transversal, persamaan gerak partikel ke-r adalah
mη̈r = s(ηr+1 + ηr−1 − 2ηr )
ηr = ηmaks exp i(ωt − kra)
(5.35)
Karena
Y >B o
Y >µ
5.10
→ cL > cT
(5.36)
Refleksi dan transmisi gelombang pada bidang batas
Bila gelombang bunyi menjalar, kemudian mengenai batas yang memisahkan dua media(Gambar 5.6)
yang berbeda impedansinya yaitu ρ1 c1 dan ρ2 c2 , maka berapakan gelombang yang direfleksikan dan ditransmisikan ? Bila kecepatan partikel η̇ dan tekanan akustik p, bidang batas
tersebut dengan kondisi luas tak terbatas dan kondisi pada kontak adalah
Teaching Grant
QUE–Project
Bab5. Gelombang Longitudinal
58
Gambar 5.5: Gelombang longitudinal dalam
kristal
Gambar 5.6: Refleksi dan transmisi gelombang
bunyi
η̇i + η̇r = η̇t
pi + p r = p t
(5.37)
dan p = ρcη̇
(5.38)
ρ1 c1 η̇i − ρ1 c1 η̇r = ρ2 c2 η̇t
(5.39)
Z1 η̇i − Z1 η̇r = Z2 η̇t
(5.40)
Dari persamaan(5.37) dan (5.40) diperoleh
Z1 η̇i − Z1 η̇r = Z2 (η̇i + η̇r )
η̇i (Z1 − Z2 )
η̇r
η̇i
Z1 − Z 2
Z1 η̇i − Z1 η̇i
Z1 + Z 2
Z1 (Z1 + Z2 ) − Z1 (Z1 − Z2 )
(Z1 + Z2 )Z2
= η̇r (Z1 + Z2 )
Z1 − Z 2
ωηr
ηr
=
=
=
Z1 + Z 2
ωηi
ηi
(5.41)
= Z2 η̇t
=
η̇t
2Z1 Z2
2Z1
=
=
η̇i
Z2 (Z1 + Z2 )
Z1 + Z 2
(5.42)
Sedangkan
pr
pi
pt
pi
Z1 η̇r
Z2 − Z 1
η̇r
=
=−
Z1 η̇i
Z1 + Z 2
η̇i
Z2 η̇t
Z2 2Z1
2Z2
=
=
Z1 η̇i
Z1 Z1 + Z 2
Z1 + Z 2
= −
(5.43)
=
(5.44)
bila Z2 > Z1 kecepatan partikel yang direfleksikan sefase dengan η̇ i , tekanan akustik yang
direfleksikan berbeda fase π dengan p i , η̇t selalu sefase dengan η̇i , pt selalu sefase dengan pi ,
dan Z2 = ∞ → η̇t = 0 = η̇i + η̇r .
Refleksi dan transmisi intensitas bunyi adalah
Z1 (η̇r2 )maks
Ir
Z1 − Z 2 2
=
=
Ii
Z1 + Z 2
Z1 (η̇i2 )maks
2
Z2 (η̇t2 )maks
2Z1
4Z1 Z2
Z2
It
=
=
;
=
Ii
Z1 Z1 + Z 2
(Z1 + Z2 )2
Z1 (η̇i2 )maks
Teaching Grant
(5.45)
Ir
It
+ =1
Ii
Ii
(5.46)
QUE–Project
BAB
6
Gelombang dimensi lebih dari satu
6.1
Pendahuluan
Kecepatan fase c dari gelombang menyatakan kecepatan garis yang berfase sama(2 dimensi)
atau bidang yang berfase sama(3 dimensi) bergerak dan ditunjukkan arahnya ⊥ garis atau
bidang dengan vektor ~k(~k menyatakan vektor bilangan gelombang juga, ~k = 2π ) Dalam bidang
λ
(2 dimensi) gelombang menjalar searah k
k1
= l → cosinus arah
k
k2
cos β =
= m → cosinus arah
k
k 2 = k12 + k22
cos α =
(6.1)
(6.2)
p = ct = lx + m = jarak dari 0 ke garis dengan fase sama,lembah dan puncak (trough and
crest) menjalar searah ~k Bila gelombang searah menempuh jarak p, pergeseran/lintasannya
Gambar 6.1: Gelombang bidang menjalar searah ~k.
59
Bab6. Gelombang dimensi lebih dari satu
60
pada kedudukan r maka beda fase gelombang ketika berada di 0 dan pada garis fase sebesar
φ, maka φ = 2π p = ~k.~r
λ
= (k1 î + k2 ĵ) · (xî + y ĵ) = k1 x + k2 y = kp
(6.3)
Dan fungsi gelombang yang sering dinyatakan
y = yo exp i(ωt − kx)
atau η = ηo exp i(ωt − kx)
(6.4)
dalam dimensi 2 menjadi (secara umum)
φ = φo exp i(ωt − kr)
(6.5)
Dalam ruang(3 dimensi), fungsi gelombang
φ = φo exp i(ωt − ~k · ~r)
(6.6)
~k = k1 î + k2 ĵ + k3 k̂
~r = xî + y ĵ + z k̂
dengan cos α = l =
k1
k ; cos β
=m=
k2
k ; cos γ
=n=
k3
k
p = jarak O ke bidang dengan fase sama(wave front)
= ct = lx + my + nz
kp = ~k · ~r = k1 x + k2 y + k3 z
6.2
Persamaan gelombang dua dimensi(2D)
Perhatikan suatu membran dengan ukuran δxδy bergerak/bervibrasi sepanjang z, rapat massa(ρ)
dan teregang oleh gaya/tegang T yang uniform. Gaya T δy bekerja pada elemen δx meng-
Gambar 6.2: Membran dengan ukuran δx × δy
hasilkan gaya
T δyδx
Teaching Grant
∂2z
∂x2
(6.7)
QUE–Project
61
Persamaan gelombang dua dimensi(2D)
2
∂ y
(analog pada dawai T ∂x
2 dx= gaya tegak lurus x) dan gaya T δx bekerja pada elemen δy meng-
hasilkan gaya
T δyδx
∂2z
∂y 2
(6.8)
Gaya pada persamaan(6.7) dan (6.8) bekerja pada membran sebesar gaya Newton sepanjang
z
T δyδy
∂2z
∂2z
+
T
δxδy
∂x2
∂y 2
2
∂ z
∂2z
+
∂x2 ∂y 2
= ρδxδy
=
∂2z
∂t2
(6.9)
ρ ∂2z
1 ∂2z
ρ
=
→ c2 =
2
2
2
T ∂t
c ∂t
T
dan penyelesaiannya
z = A exp i(ωt − ~k · ~r) = A exp i(ωt − (k1 x + k2 y))
(6.10)
Penyelesaian bentuk lain dari gelombang 2 dimensi, bentuk umum
1 δ2 φ
δ2 φ δ2 φ
+
=
δx2
δy 2
c2 δt2
(6.11)
dengan φ = X(n)Y (y)T (t)
∂2φ
∂x2
∂2φ
∂2φ
=
XT
Y
;
= XY Ttt
yy
∂y 2
∂t2
∂2Y
∂2T
=
;
T
=
tt
∂y 2
∂t2
= Xxx Y (y)T (t);
Xxx =
∂2X
;
∂x2
Yyy
maka persamaan (6.11) menjadi
Xxx Yyy
1 Ttt
+
= 2
X
Y
c T
(6.12)
Kemudian diandaikan
Xxx
= −k12 ;
X
Xxx
= −k22 ;
X
1 Ttt
= −(k12 + k22 ) = −k 2
c2 T
(6.13)
maka
Xxx + k12 X = 0 → X = A cos(k1 x) + B sin(k1 z)
Yyy + k12 Y
2 2
= 0 → Y = A1 cos(k2 y) + B1 sin(k2 y)
Ttt + k c T = 0 → T = A2 cos(kct) + B2 sin(kct)
φ = XY T
= c
(6.14)
(6.15)
(6.16)
(6.17)
sin o
sin o
sin o
k1 x
k2 y
kct
cos
cos
cos
= ce±ik1 x e±ik2 y e±ikct
(6.18)
Kapan φ merupakan fungsi sin atau cos tergantung syarat awal.
Teaching Grant
QUE–Project
Bab6. Gelombang dimensi lebih dari satu
6.3
62
Refleksi gelombang 2D pada batas tegar(waveguide))
Gelombang 2D menjalar dengan arah ~k dalam bidang xy sepanjang membran dengan lebar
b di bawah pengaruh gaya tegang T antara 2 batang tegar mempunyai impedansi tak hingga.
Gelombang menjalar sepanjang sumbu x, maka tiap kali setelah dipantulkan k 2 berbalik arah,
sehingga membran bergerak sepanjang sumbu z yang merupakan superposisi gelombang
datang dan yang dipantulkan.
Gambar 6.3: Perambatan gelombang 2 dimensi sepanjang membran dengan impedansi tak terhingga
saat y = 0 dan y = b memberikan nilai k2 tiap refleksi
z = A1 sin(ωt − (k1 x + k2 y)) + A2 sin(ωt − (k1 x − k2 y))
(6.19)
Syarat batas pada y = 0 dan y = b → z = 0 sehingga
y = 0 → z = 0 = A1 sin(ωt − k1 x) + A2 sin(ωt − k1 x) → A1 = A2
(6.20)
y = b → z = 0 = A1 sin(ωt − (k1 x + k2 b)) + A2 sin(ωt − (k1 x − k2 b))
Pada t = 0, x = 0, dan z = 0
0 = A1 sin(−k2 b) + A2 sin(k2 b)
(6.21)
A1 sin(−k2 b) = −A2 sin(k2 b) = A1 sin(k2 b)
pada persamaan (6.21) ruas kiri sama dengan ruas kanan, hanya mungkin bila nilai sin(k 2 b) =
0 → k2 b = nπ → k2 =
nπ
b ;
n = 0, 1, 2, · · · . Dengan hasil di atas
z = A1 sin(ωt − (k1 x + k2 y)) − A1 sin(ωt − (k1 x − k2 y)
(6.22)
i
h
−k1 x − k2 y + k1 x − k2 y
2ωt
−k1 x − k2 y − k1 x + k2 y
sin
= 2A1 cos
+
2
2
2
= 2A1 cos(ωt − k1 x) sin(−k2 y)
= −2A1 sin k2 y cos(ωt − k1 x)
Teaching Grant
QUE–Project
63
Modus normal pada membran segiempat 2D
Gelombang menjalar sepanjang sumbu x dengan kecepatan fase
vp =
ω
kv
=
k1
k1
v kecepatan membran < vp , dan k12 = k 2 − k22 = k 2 −
maka 2ωdω = v 2 2k1 dk1 atau
dω
dk1
=
v 2 k1
ω ,
dω
dk1
=
1
2
ω k1 v
=
k1
k v,
vp vg =
Dan kembali ke k12 = k 2 −
n2 π 2
b2
n2 π 2
b2
sehingga
k1 = (k 2 −
dan vg pada arah x adalah
(6.23)
=
ω2
v2
−
n2 π 2
b2
dan bila
ω2
v2
n2 π 2 1
)2
b2
= k12 +
n2 π 2
b2
(6.24)
dipenuhi
kv k1 v
= v2
k1 k
(6.25)
dimana k1 merupakan suatu bilangan ≥ 0, maka
ω2
n2 π 2
n2 π 2
→
≥
(6.26)
b2
ν2
b2
n2 π 2 v 2
nπv
nv
ω2 ≥
→ 2πν ≥
→ν≥
2
b
b
2b
nv
dengan ν = 2b =frekuensi cutt off; n = 1, 2, 3, · · · frekuensi yang lebih besar atau sama yang
k2 ≥
diijinkan lewat, bukan sembarang gelombang. Bila cahaya v = c → v g vp = c2 dan vg < c.
Gambar 6.4: Variasi amplitudo gelombang 2 dimensi sepanjang membran dengan n = 1, 2, 3
6.4
Modus normal pada membran segiempat 2D
Suatu membran ukuran a × b gelombang bergerak pada membran dengan arah ~k(~k arah sembarang). Pada batas membran gelombang direfleksi sehingga pada membran terjadi gelom-
bang berdiri (standing wave). Dan dipenuhi bila a = n 1 AA0 dan b = n2 BB 0 , dimana n1 , n2
adalah bilangan bulat,dengan
AA0 =
BB 0 =
a =
Teaching Grant
λk
λ2π
π
λ
=
=
=
2cosα
2k1
2λk1
k1
λ2π
π
λk
λ
=
=
=
2cosβ
2k2
2λk2
k2
n1 π
n2 π
dan b =
k1
k2
(6.27)
(6.28)
(6.29)
QUE–Project
Bab6. Gelombang dimensi lebih dari satu
64
Gambar 6.5: Mode normal membran persegi dalam arah ~k sesuai kondisi batas dari pergeseran nol
pada ujungnya a = n1 λ/2 cos α dan b = n2 λ/2 cos β
maka
n2 π 2
2π
n1 π 2
) +(
) = ( )2
k 2 = k12 + k22 = (
a
b
λ
2
2
2
1/2
2
n1 n2
n1 n22 1/2
2
c n21 n22 1/2
=
+
=
+
+ 2
→
→
ν
=
λ
a2
b2
c/ν
a2
b2
2 a2
b
Pada n1 = n2 = 1 adalah frekuensi fundamental
s
T
c n21 n22 1/2
+ 2
; c=
ν =
2 a2
b
ρ
sin o
sin o
sin o
T 1
2 1/2
+
ν =
→
z
=
A
k
x
k
y
kct
1
2
4ρ a2 b2
cos
cos
cos
(6.30)
(6.31)
(6.32)
Garis lembah terjadi pada
a 2a 3a
, , ,··· ,a
(6.33)
n1 n1 n1
b 2b 3b
y=0→
, , ,··· ,b
n1 n1 n1
dengan z = A sin n1aπx sin n2bπy sin(kct) dimana z = 0 di x = y = 0,x = a dan y = b.
x=0→
Modus ditentukan oleh n1 dan n2 . Modus yang sama dikatakan tergenerasi pada membran,
sedangkan modus(4, 7) dengan (7, 4) sama frekuensinya juga (8, 1) dan (1, 8). Pada membran
a=3b, modus (3, 3) = (9, 1).
6.5
Gelombang tiga dimensi(3D)
Persamaan umum gelombang tiga dimensi adalah
1 ∂2φ
∂2φ ∂2φ ∂2φ
2
+
+
=
∇
φ
=
∂x2
∂y 2
∂z 2
c2 ∂t2
Teaching Grant
(6.34)
QUE–Project
65
Modus Normal dalam 3D
Gambar 6.6: Beberapa mode normal pada sebuah membran persegi dimana yang diarsir menyatakan
gerakan sinusiodal
Gelombang bidang
φ = A
sin o
cos
k1 x
sin o
cos
= A exp i(ωt − ~k · ~r);
k2 y
sin o
cos
k3 z
sin o
kct
cos
(6.35)
~k · ~r = k1 x + k2 y + k3 z
Gelombang sferis
∇2 φ =
=
1 ∂ 2 ∂φ 1 ∂ ∂φ 1 ∂2φ
r
+
sin
θ
+
r 2 ∂r
∂r
r 2 ∂θ
∂θ
r 2 sin θ ∂ϕ2
A
exp i(ωt − ~k · ~r)
r
(6.36)
Gelombang silindris
∇2 φ =
=
6.6
1 ∂2φ ∂2φ
1 ∂ 2 ∂φ r
+
+ 2
r 2 ∂r
∂r
r 2 ∂θ 2
∂z
A
√ exp i(ωt − ~k · ~r)
r
(6.37)
Modus Normal dalam 3D
Dalam tiga dimensi gelombang mempunyai frekuensi
c n2 n2 n2 1
ν = ( 1 + 2 + 3)2
2 l1
l2
l3
Teaching Grant
(6.38)
QUE–Project
Bab6. Gelombang dimensi lebih dari satu
66
dimana l1 , l2 , l3 merupakan panjang sisi-sisi rectangular enclosure. Sel mempunyai sisi
c
c
c
2l1 , 2l2 , 2l3 .
Garis dari titik 0 ke titik ( n2l11c , n2l22c , n2l33c ) menunjukkan frekuensi. Volume cell
c3
8l1 l2 l3
(6.39)
Berapa banyak cell dalam range frekuensi ν dan ν + dν? jawaban untuk pertanyaan ini adalah
semua bilangan bulat positif n1 , n2 ,dan n3 .
ν2 <
c2 n21 n22 n23
( +
+ ) = (ν + dν)2
4 l1
l2
l3
(6.40)
dan banyaknya cell atau titik (=banyaknya modus normal), yaitu
=
=
volume sel bola
8 volume bola
1
4πν 2 dν
1
ν 2 dν
× 1 3
Oktan
= 4πl1 l2 l3 3 →
8
c
8
8 c /l1 l2 l3
(6.41)
jadi jumlah modus normal yang mungkin dalam range ν dan ν + dν per satuan volume dari
2
permukaan tertutup adalah 4π ν c3dν
Gambar 6.7: Kisi persegi dalam ruang frekuensi. Panjang vektor pada titik pusat adalah nilai frekuensi
yang dibolehkan dan arah vektor menyatakan arah perambatan
6.7
Distribusi frekuensi dari radiasi energi benda panas
Suatu benda panas pada suhu T memancarkan energi panas dalam interval frekuensi ν dan
ν + dν dapat dituliskan Eν dν. Menurut Rayleigh-Jeans :
Eν dν =
8πν 2 kT dν
4πν 2 dν
(2kT
)
=
c3
c3
(2 derajat kebebasan, 2 bidang polarisasi transversal) ×
1
2
(6.42)
= 2kT . Ternyata Rayleigh-Jeans
ini tidak cocok untuk ν ultraviolet catastrophy diganti oleh Planck, energi bukan kT tetapi
Teaching Grant
QUE–Project
67
Teori Debye kalor spesifik
hν
exp(hν/kT )−1
maka energi yang dipancarkan dengan frekuensi antara ν dan ν + dν adalah
Eν dν =
8πν 2
hν
dν
3
c exp(hν/kT ) − 1
(6.43)
Gambar 6.8: Grafik radiasi benda hitam
6.8
Teori Debye kalor spesifik
Menurut Debye banyaknya modus per volume (dn) adalah
2
1
dn = 4πν 2 dν 3 + 3
cT
cL
T=transversal dan L=longitudinal. Tiap modus mempunyai energi rerata E =
(6.44)
hν
exp(hν/kT )−1
(Planck), maka pada volume VA , interval frekuensi ν → ν + dν untuk rerata energi adalah
VA Ēdn = 4πVA
2
1
hν 3
dν
+
3
3
cT
cL exp(hν/kT ) − 1
Energi total per gram atom EA adalah
Z
Z
2
1 νm
hν 3
¯
EA =
VA Edn = 4πVA 3 + 3
dν
cT
cL 0 exp(hν/kT ) − 1
Z e3 dx
π4 ≈
ex − 1
15
dan bila N =bilangan Avogadro maka
Z
Z
2
1 νm 2
dn = 3N = 4πVA 3 + 3
ν dν
cT
cL 0
1 3
4πVA 2
+
ν
=
3
c3T
c3L m
Teaching Grant
(6.45)
(6.46)
(6.47)
QUE–Project
Bab6. Gelombang dimensi lebih dari satu
68
EA =Energi total per gram atom meliputi seluruh frekuensi yang ada yaitu
1
4πVA 2
+
3
c3T
c3L
=
∴ EA
=
=
Cv
x=
=
hν
;
kT
3N
3
νm
Z
4πVA 2
1 νm 2
+ 3
ν dν
3
c3T
cL 0
Z
T 3 Z Θo x 3
9N νm 2
9
ν dν = 9RT
dx + RΘo
3
x
νm 0
Θo
e −1
8
0
Z Θo /T 4 4
3
dEA
T
e x
= 9R
dx
x−1
dT
Θo
e
0
hνm
R
Θo =
= suhu Debye; k =
kT
N
(6.48)
(6.49)
Kondisi dari temperatur Debye yaitu
Gambar 6.9: grafik Debye
1. T Θo
T 3 1 Θ 3
T 3 Z Θo /T
o
x2 dx = 9R
×
Cv = 9R
= 3R
Θo
Θ
3
T
o
0
(6.50)
2. T Θo
EA
T 3 Z ∞ x3
= 9R
dx +RΘo
Θo
ex − 1
0
{z
}
|
π 4 /15
Cv
Teaching Grant
T 3 π 4
= 9RT
+ RΘo
Θo 15
T 3
dEA
9Rπ 4 4T 3
12
=
=
× 3 = π4 R
dT
15
Θo
5
Θo
= Kalor jenis
(6.51)
QUE–Project
BAB
7
Gelombang pada jalur transmisi
7.1
Pendahuluan
Medium dapat mengirim gelombang. Medium yang sengaja dibuat dari kabel/kawat/kawat
koaksial, awat/kabel sejajar dapat mengirim gelombang, gelombang arus listrik dan gelombang
potensial dari generator AC ke terminal.
Pada kabel mengalir muatan yang berarti ada arus. Suatu generator AC, arus yang dikirim
maksimum dan minimum berganti-ganti menurut waktu dan ruang. Berhubungan dengan arus
ada gelombang tegangan, dalam generator arus dan tegangan sefase dan daya terkirim dalam
jalur. Arus yang mengalir pada kabel akan membentuk medan magnet dan medan listrik sehingga pada antara kedua kabel terbentuk induktor dengan indukstansi diri L o (H/m) dan kapasitor dengan kapasitansi Co (F/m) . Bila pada kawat tidak ada R maka kawat disebut loss less
7.2
Jalur transmisi tanpa hambatan(ideal lossless)
Gambar 7.1 adalah elemen panjang dx(dx <<< λ yaitu panjang gelombang tegangan dan
gelombang arus). Pada waktu tertentu laju perubahan tegangan persatuan panjang sebesar
tegangan turun dalam induktor,
∂I
∂I
∂V
∂V
dx = −Lo dx
→
= −Lo
∂x
∂t
∂x
∂t
69
(7.1)
Bab7. Gelombang pada jalur transmisi
70
Gambar 7.1: Suatu elemen dari jalur transmisi ideal dengan induktansi Lo (H/m) dan kapasitansi
Co (F/m)
Juga laju perubahan arus pada waktu tertentu sepanjang kawat sebesar jumlah muatan pada
kapasitor
∂
∂I
∂
∂q
= (Co dx)V
dan
− dx = (Co dx)V
∂t
∂t
∂x
∂t
∂I
∂V
= Co
−
∂x
∂t
persamaan(7.1) dan (7.2) diturunkan lagi terhadap t dan x didapatkan
dI =
(7.2)
∂2V
∂2V
=
L
C
(7.3)
o
o
∂x2
∂t2
∂2I
∂2I
=
L
C
(7.4)
mboxdan
o
o
∂x2
∂t2
Dari persamaan(7.4) diperoleh v 2 = Lo1Co , dimana v adalah kecepatan gelombang arus dan
gelombang tegangan yang menjalar sepanjang kabel dengan
v ≈ (mgnetic inertia) × ( kapasitas menyimpan energi potensial)
v ≈ L o × Co
Untuk kabel koaksial dengan jejari dalam r 1 dan luar r2 yang berisi bahan polythene dengan
permeabilitas magnetik µ dan permitivitas listrik akan mempunyai induktansi per satuan panjang,
Indukstansi/m Lo =
Kapasintasi/m Co =
Catatan : µo = 4π × 10−7 henry/m dan o = 36π × 109
7.3
µ
r2
ln
2π r1
2π
ln rr12
−1
farad/m
Karakteristik Impedansi Jalur Transmisi
Dari persamaan(7.1) dan (7.2) didapatkan
2π
2π
V+ = Vo+ sin (vt − x) dan V− = Vo− sin (vt + x)
λ
λ
2π
2π
I+ = Io+ sin (vt − x) dan I+ = Io+ sin (vt + x)
λ
λ
Teaching Grant
(7.5)
(7.6)
QUE–Project
71
Refleksi dari ujung jalur transmisi
dengan tanda (+) gelombang menjalar ke kanan atau x + dan tanda (−) gelombang menjalar
ke kiri atau x− . Mengacu pada persamaan(7.1) maka untuk tanda (+)
−
2π
2π
2π
2π
Vo+ cos (vt − x) = −Lo Io+ v cos
(vt − x)
λ
λ
λ
λ r
1
Lo
Vo+ = Io+ Lo √
= Io+
C
L o Co
o
(7.7)
atau
Didefinisikan Zo =
V+
I+
Vo+ = vLo Io+ → V+ = vLo I+
(7.8)
q
q
V−
Lo
Lo
= vLo = C
=
Ω
dan
−Z
=
o
I−
Co . Jadi tegangan total dan arus
o
total pada jalur transmisi adalah :
V = V + + V−
dan I = I+ + I−
(7.9)
Bila arus dan tegangan menjalar pada satu arah, arus dan tegangan sefase. Secara terus
menerus energi dikirim oleh generator pada jalur. Tetapi bila dua arah dan arah yang satu
sebagai refleksi yang lain maka tidak berlaku pernyataan di atas.
7.4
Refleksi dari ujung jalur transmisi
Anggaplah bahwa impedansi karakteristik Z o dari jalur transmisi memiliki panjang berhingga
dan pada ujung lain impedansi muatan Z L terpusat pada generator dengan arah penjalaran
berlawanan, seperti ditunjukkan pada gambar berikut. Pada ujung “diload” berlaku
Gambar 7.2: Refleksi di ujung jalur transmisi
V+ + V − = V L
VL
= ZL
IL
dan
dan
I + + I− = IL
V+
V−
=−
= Zo
I+
I−
(7.10)
(7.11)
Dari persamaan(7.10) dan (7.11) diperoleh Koefisien refleksi amplitudo tegangan,
V−
ZL − Z o
=
V+
ZL + Z o
Teaching Grant
(7.12)
QUE–Project
Bab7. Gelombang pada jalur transmisi
72
Koefisien refleksi amplitudo arus,
I−
Zo − Z L
=
I+
ZL + Z o
(7.13)
VL
2ZL
=
V+
ZL + Z o
(7.14)
Koefisien transmisi amplitudo tegangan
Koefisien transmisi amplitudo arus
2Zo
IL
=
(7.15)
I+
ZL + Z o
dimana ZL = Zo → gelombang “dimatch” atau refleksi tidak ada dan Z L = 0 terhubung pendek
→ VL = V+ + V− = 0 → V+ = −V− yaitu total refleksi dan berubah fase π. Hubungan pendek
dengan ZL = 0 terbentuk gelombang berdiri diujung dengan arus maksimum dan tegangan nol.
Kemudian karena ada beda fase pada posisi x dimanapun di garis transmisi, dapat dinyatakan
tegangan dari dua buah gelombang
Vx = V + + V − = Z o I+ − Z o I−
Vo+ = Vo−
dan
(7.16)
= Vo+ ei(ωt−kx) + Vo− ei(ωt+kx)
= Vo+ eiωt e−ikx − eikx = −(i)2Vo+ sin kxeiωt
Ix = I + + I − =
=
(7.17)
Vo+ −ikx
e
+ eikx eiωt
Zo
2Vo+
cos kx eiωt
Zo
(7.18)
Kalau dilihat dalam ruang, arus terdahulu 90 ◦ dari tegangan dan dalam waktu arus terdahulu
90◦ terhadap tegangan juga (−j) artinya arus tertinggal 90 ◦ terhadap tegangan. Sedangkan
energi yang tersimpan dalam kapasitor adalah 21 Co V 2 dan dalam induktor 12 Lo I 2 , berganti setiap
7.5
1
4
siklus.
Efek Hambatan dalam Jalur Transmisi
Efek hambatan dalam jalur transmisi diakibatkan adannya hambatan pada kabel. Pandang suatu rangkaian RLC dimana pada C diparalelkan dengan G(konduktansi) sepanjang jalur berlaku
∂V
∂I
∂V
= iωCo V dan
= −Lo
− Ro I = −(Ro + iωLo )I
∂t
∂x
∂x
∂I
∂I
∂V
→ Lo
= iωLo I dan
= −Co
− Go V = −(Go + iωt)V
∂t
∂x
∂t
V = Vo eiωt → Co
(7.19)
I = Io eiωt
(7.20)
Jika persamaan(7.19) dan (7.20) diturunkan lagi terhadap x maka diperoleh
∂2V
∂x2
∂2I
∂x2
Teaching Grant
∂I
= +(Ro + iωLo )(Go + iωCo )V = γ 2 V
∂t
∂V
= (Go + iωCo )
= +(Go + iωCo )(Ro + iωLo )I = γ 2 I
∂t
= −(Ro + iωLo )
(7.21)
(7.22)
QUE–Project
73
Efek Hambatan dalam Jalur Transmisi
Gambar 7.3: Efek hambatan dalam jalur transmisi
dengan nilai γ 2 = +(Go + iωCo )(Ro + iωLo )I = Ro Go − ω 2 Lo Co +i ω(Lo Go + Ro Co ).
|
{z
} |
{z
}
α2 −k 2
2αk
γ = α + ik → γ 2 = α2 − k 2 + 2iαk (Konstanta propagasi), α =attenuasi=koefisien absorpsi dan
k = bilangan gelombang.
Sedangkan penyelesaian secara umum merupakan fungsi x dan t yaitu
∂2V
− γ2V = 0 → V
∂x2
=
Ae−γx + Be+γx ejωt
i(ωt−kx)
αx i(ωt+kx)
= A e|−αx e{z
} +B e| e {z
}
1
∂2I
∂x2
− γ2I = 0 → I
(7.23)
=
2
A0 e−γx + B 0 e+γx eiωt
(7.24)
i(ωt−kx)
0 αx i(ωt+kx)
= A0 e|−αx e{z
} +B |e e {z
}
10
20
Gambar 7.4: Tegangan dan arus pada ...
Kesimpulan :
(a) 1 dan 1’ adalah gelombang menjalar ke kanan dengan amplitudo bervariasi e −αx (merupakan gelombang datang).
Teaching Grant
QUE–Project
Bab7. Gelombang pada jalur transmisi
74
(b) 2 dan 2’ adalah gelombang menjalar ke kiri dengan amplitudo bervariasi e −αx (merupakan
gelombang pantul).
(c) Bila jalur transmisi berisi hambatan berarti ada energi yang hilang yang sebanding dengan
2
e−αx = e−2αx (jalur bersifat resistif, viskos, friksi atau difusif)
(d) Bila jalur transmisi berisi murni induktor(inersia) dan kapasitor(elastisitas) maka bentuk
gelombang sinus atau cosinus
(e) Bila jalur transmisi ada hambatan R maka gelombang berbentuk eksponensial.
Teaching Grant
QUE–Project
Daftar Pustaka
[1] Pain, H.J.,(1999), The Physics of Vibarations and Waves, 5th Edition, John Wiley & Sons.
[2] Puri, S.P.,(1989), Fundamental of Vibration and Waves, Tata McGraw Hill Publishing Company Limited.
[3] Alonso, M and Finn, E.J.,(1971), Fundamental Physics II, Fields and Waves, Addison–
Wesley.
[4] Crawford Jr, F.S.,(1968), Berkeley Physics Course ”Waves”, Volume 3, McGraw-Hill Book
Co.
75
Daftar Indek
Beat, 24
Gerak
Bulk, 56
harmonik sederhana, 1
Bulk solid, 57
harmonik teredam, 8
Debye, 68
Impedansi
Derajat kebebasan, 23
jalur transmisi, 71
dilatasi, 50
Impedansi
Diskontinyu, 57
match, 38
Impedansi akustik, 55
Efek
induktansi
hambatan, 73
diri, 27
Energi
mutual, 27
dissipasi, 12
kinetik, 2
Kabel kosksial, 71
potensial, 2
kondensasi, 50
total, 3
Konstanta Lame, 56
konstanta redaman, 8
Faktor kualitas, 11
Kopling
Fluks energi, 54
kuat, 27
Gelombang
lemah, 27
aruslistrik, 70
pegas, 21
berdiri, 33
bidang, 33
Logaritmic decrement, 11
bola, 33
Lossless, 70
kejut, 51
Max Planck, 68
longitudinal, 33, 50
Mode, 23
potensial, 70
Modus, 23
transmisi, 70
normal, 64
transversal, 32
Gempa bumi, 57
Non trivial, 30
76
77
DAFTAR INDEK
Osilasi terkopel, 21
Pelayangan, 24
Polythene, 71
Rayleight-Jeans, 67
Steady state, 16
Stiffnes, 55
Struktur periodik, 57
Superposisi, 24
Temperatur
Debye, 69
Teredam
berat, 9
kritis, 9
Tingkat intensitas, 55
Transient, 16
Waktu relaksasi, 11
Waveguide, 63
Teaching Grant
QUE–Project