teknik pengintegralan

9. TEKNIK
PENGINTEGRALAN
MA1114 KALKULUS I
1
9.1 Integral Parsial
Formula Integral Parsial :
 u dv  uv   v du
Cara : pilih u yang turunannya lebih sederhana
Contoh : Hitung
x
x
e
 dx
misal u = x, maka du=dx
dv  e x dx  v   e x dx  e x
sehingga
x
x
x
x
x
x
e
dx

x
e

e
dx

x
e

e
C


MA1114 KALKULUS I
2
Integral parsial dapat dilakukan lebih dari satu kali
Contoh: Hitung
Jawab:
(i) Misal
2
2
x
sin
x
dx


x
cos x  x cos xdx

u  x2
dv = sinxdx
(ii) Misal u = x
dv = cosx dx

Integral parsial
du = 2xdx
V=-cosx
  x 2 cos x  ( x sin x   sin x dx)
du = dx
  x 2 cos x  x sin x  cos x  C
v = sinx
MA1114 KALKULUS I
3
Ada kemungkinan integran (f(x)) muncul lagi diruas kanan
Contoh :Hitung
Integral parsial

x
x
x
e
cos
xdx

e
sin
x

e
sin xdx

Jawab :
(i) Misal
x
e
 cos xdx
ue
x
dv=cosxdx
 e x sin x  (e x cos x   e x cos xdx)  C
du  e dx
x
 e x sin x  e x cos x   e x cos xdx)  C
v=sinx
du  e dx
(ii) Misal u  e
v=-cosx
dv = sinxdx
x
x
Integral yang dicari
,bawa keruas kanan
2 e cos xdx  e sin x  e cos x  C
x
e
x
x
x
cos xdx  (e sin x  e cos x)  C
1
2
x
MA1114 KALKULUS I
x
4
Soal latihan
Hitung
e
1.
 ln x dx
1
2.
3.
4.
5.
6.
 x ln xdx
 ln( 1  x )dx
2
1
sin
xdx

1
tan
xdx

 x tan
1
xdx
MA1114 KALKULUS I
5
9.2 Integral Fungsi Trigonometri
Bentuk :  cosn x dx &  sinn x dx
* Untuk n ganjil, Tuliskan :
n
n 1
sin n x  sin x sin n1 x dan cos x  cos x cos x
2
2
dan gunakan identitas sin x  cos x  1
* Untuk n genap, Tuliskan :
sin n x  sin 2 x sin n  2 x dan cos n x  cos2 x cosn  2 x
2
2
dan gunakan identitas cos 2 x  2 cos x  1  1  2 sin x
MA1114 KALKULUS I
6
Contoh: Hitung
3
sin
x dx
1. 
2.
4
sin
 x dx
Jawab:
1.
2.
3
2
3
2
1






1

cos
x
d
cos
x

cos
x  cos x  C
sin
x
dx

sin
x
sin
x
dx
3



1  cos 2 x 1  cos 2 x
)(
) dx
2
2
4
2
2
sin
x
dx

sin
x
sin
x dx   (


1
2
1
1  cos 4 x
(
1

2
cos
2
x

cos
2
x
)
dx

(
dx

2
cos
2
x
dx

dx)



4
4
2
3
1
1
1
1
1
1
sin 4 x  C
 x  sin 2 x  x  sin 4 x  C  x  sin 2 x 
8
4
32
4
4
8
32

MA1114 KALKULUS I
7

Bentuk
m
n
 sin x cos x dx
a). Untuk n atau m ganjil, keluarkan sin x atau cos x dan
2
2
sin
x

cos
x1
gunakan identitas
sin m x dan cos n x
b). Untuk m dan n genap, tuliskan
menjadi jumlah suku-suku dalam cosinus, gunakan
identitas cos 2 x  2 cos2 x  1  1  2 sin 2 x
Contoh :


2
2
3
2
2
2


1

cos
x
cos
x d cos x 
sin
x
cos
x
dx

sin
x
cos
x
sin
x
dx



   cos2 x  cos4 x  d  cos x 
1
1
5
 cos x  cos3 x  C
5
3
MA1114 KALKULUS I
8
2
2
 sin x cos x dx  
1  cos 2 x 1  cos 2 x
dx
2
2

1
1
1  cos 4 x
2
(
1

cos
2
x)
dx

(
1

dx)


4
2
4

3
1
dx

cos 4 x dx
8
8

3
1
x  sin 4 x  C
8
32
MA1114 KALKULUS I
9
m
n
m
n
tan
x
sec
x
dx
dan
cot
x
csc
xdx


Bentuk
Gunakan identitas
tan 2 x  sec 2 x  1 , cot 2 x  csc 2 x  1
serta turunan tangen dan kotangen
d (tan x)  sec 2 xd , d (cot x)   csc 2 x dx
.
Contoh:
4
tan
xdx  tan 2 x tan 2 x dx  tan 2 x(sec 2  1)dx
a. 


  tan 2 x sec 2 xdx   tan 2 xdx
  tan 2 xd (tan x)   (sec 2 x  1)dx
 tan x  tan x  x  C
1
3
3
MA1114 KALKULUS I
10
b.
2
4
2
2
2
tan
x
sec
x
dx

tan
x
sec
x
sec
xdx


  tan x(1  tan x)d (tan x)
2
2
  (tan 2 x  tan 4 x) d (tan x)
1
1
5
 tan x  tan 3 x  C
5
3
MA1114 KALKULUS I
11
Soal Latihan
Hitung
1.
4
5
sin
x
cos
x dx

 /4
2.
4
2
tan
t
sec
t dt

0
4
sec
x dx
3. 
2
4
cot
w
csc
w dw
4. 
5.
3
csc
 x dx
MA1114 KALKULUS I
12
9.3 Substitusi Trigonometri
a. Integran memuat bentuk a 2  x 2
Contoh: Hitung

Misal
25  x
dx
2
x
2
x  5 sin t
dx = 5 cost dt
5
t
25  x 2
x

,misal
x  a sin t
25  x 2
dx
2
x


25  25 sin 2 t 5 cos t dt
25 sin 2 t
25(1  sin 2 t )
5 sin 2 t
cos 2 t
2
dt

cot
t dt
cos tdt  
2

sin t
  (csc 2 t  1)dt   cot t  t  c
25  x 2
1 x

 sin ( )  C
x
5
MA1114 KALKULUS I
13
b. Integran memuat bentuk
Contoh: Hitung
x
Misal
25  x 2
1
2
25  x
2
dx
x  5 tan t
dx  5 sec 2 t dt
x
tan t 
5
x
a2  x2
1
2
25  x

2
,misal
x  a tan t
dx
5 sec 2 t dt
25 tan 2 t 25  25 tan 2 t
1
sec 2 t dt
1 cos t
1 d (sin( t ))


dt

25  tan 2 t sec t 25  sin 2 t
25  sin 2 t
1
25  x 2

C 
C
25 x
25 sin t
x
t
5
MA1114 KALKULUS I
14
c. Integran memuat bentuk
Contoh: Hitung
x
Misal
1
2
x  25
2
x
dx
x  5 sec t
dx  5 sec t tan t dt
x
sec t 
5
x
1
2
x  25
2

x2  a2
,misal
x  a sec t
dx
5 sec t tan t dt
25 sec 2 t 25 sec 2 t  25
1 sec t tan t dt
1 sec t
1


dt

cos t dt
2

2


25 sec t tan t
25 sec t
25
1

sin t  C
25

x 2  25
C
25 x
x 2  25
t
5
MA1114 KALKULUS I
15
Soal Latihan
Hitung
1.
2.
3.
4.
5.

x 2 dx

2x  3



9  x2
4  x2
dx
dx
6.

7.

8.

dx
x2 4  x2
dx
x x2  9
dx
9.

dx

3/ 2
2
x 9
3x dx
x 2  2x  5
5  4x  x 2 dx
2x  1
 x 2  2x  2 dx
x 2 x 2  16
MA1114 KALKULUS I
16
Substitusi Bentuk Akar
Integran memuat n ax  b
,misal
u  n ax  b
dx
Contoh: Hitung
22 x

Jawab :
Misal

u x
dx
22 x
u x
2
Dengan turunan implisit
du
2u
1
dx
dx=2udu
2udu
u


du
2  2u
u 1
1
u 11

(
1

)du

du

u 1
u 1
 u  ln( u  1)  C


x  ln 1 
MA1114 KALKULUS I

x C
17
Soal Latihan
Hitung
1.
x 3x4
dx
x 2  2x
dx
2. 
x 1
t
3.  t  1 dt
4.
5.
6.
 x x  1 dx
t
 3t  4 dt
2/3
x
(
1

x
)
dx

MA1114 KALKULUS I
18
9.4 Integral Fungsi Rasional

P x
Integran berbentuk fungsi rasional : f  x 
, der (P) < der(Q)
Q x

Langkah :
1. Faktorkan Q(x) menjadi faktor linear dan atau kuadrat yang definit
positif
2. Buat dekomposisi pecahan parsial untuk faktor-faktor Q.
3. Tentukan nilai konstanta yang muncul (dengan menyamakan
koefisien)
4. Selesaikan integralnya.

Kemungkinan kasus dari faktor Q:
1. linear tidak berulang
2. linear berulang
3. kuadratik tidak berulang
4. kuadratik berulang
KALKULUS I




19
Kasus 1. Faktor Q linear tidak berulang
Misal

  a2 x  b2  ...  an x  bn 
Q x  a1 x  b1
Maka dekomposisi pecahan parsialnya:
P  x
A1
A2
An


 ... 
Q  x a1 x  b1
a2 x  b2
an x  bn
dengan A1, A2 , ... , An konstanta yang akan dicari.
Contoh : Tentukan dekomposisi pecahan parsial untuk
x2
x3  x
2
2
A
B
1. 2



x  5 x  6 ( x  2)( x  3)
x2
x 3
x2
x2
x2
A
B
C
2. 3


 

2
x  x x( x  1)
x( x  1)( x  1) x x  1 x  1
1.
2
x2  5x  6
2.
KALKULUS I
20
Kasus 2. Faktor Q Linear berulang
Misal Q x  
Maka
 ai x  bi  p
Ap 1
Ap
P x 
A1
A2


...

2
p 1
Q x  ai xbi  ai xbi 
ai xbi  ai xbi  p
dengan konstanta
A1 , A2 ,..., Ap 1 , Ap akan dicari
Contoh: Buat dekomposisi pecahan parsial untuk
1
( x  2)2 ( x  1)
Jawab :
1

x  2
2
 x 1 

A
B


2
x

2

  x  2
KALKULUS I

C
x  1
21
Kasus 3. Faktor kuadratik tidak berulang

Misal Q x   a1 x 2  b1 x  c1
  a2 x2  b2 x  c2  ... an x2  bn x  cn 
Maka
P  x
A1 x  B1
A2 x  B2
An x  Bn


 ... 
2
2
Q  x  a1 x  b1 x  c1
a2 x  b2 x  c2
an x 2  bn x  cn
dengan
A1 , A2 ,..., An , dan B1 , B2 ,...,Bn konstanta yang akan dicari.
Contoh:
x
Ax B C x  D
 2

2
2
( x  1)( x  3)
x 1
x 2 3
KALKULUS I
22
Kasus 4. Faktor Q Kuadratik berulang


p
2
Misal Q x   ai x  bi x  ci
Maka
Ap 1 xB p 1
Ap xB p
Px 
A1 xB1
A2 xB2


...

2
p 1
2
2
2
Qx  ai x bi xci ai x bi xci
ai x bi xci
ai x 2 bi xci

dimana



A1 , A2 ,..., Ap 1 , Ap dan B1 ,B2 ,...,B p 1,B p



konstanta yang akan dicari.
Contoh:
1
A
Bx  C
Dx  E

 2
 2
2
2
( x  1)( x  1)
x 1 x 1
( x  1) 2
KALKULUS I
23
p
Latihan
Buat dekomposisi pecahan parsial untuk bentuk berikut:
2
1.
x( x  1)2
2x  3
4. 3
x  4x2
x 1
2. 2
x ( x  4) 2
1
3.
( x  1)( x 2  1)
2x
5. 3
x  3x 2  4
Kalkulus 1
24
Contoh: 1. Hitung
Jawab:

x 1
dx
2
x 9
Faktorkan penyebut :
x 2  9  ( x  3)( x  3)
x 1
A
B
A( x  3)  B( x  3)



x 2 9  x3  x3
( x  3)( x  3)
 x  1 A x3 B x3   A Bx   3A3B
Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan
A +B =1
-3A+3B=1
Sehingga

x3
x1
3A +3B=3
-3A+3B=1 +
6B=4
B=2/3 ,A=1/3
1
2
x 1
3 dx 
3 dx  1 ln | x  3 |  2 ln | x  3 | C
dx

  x3   x3
x 2 9
3
3
KALKULUS I
25
Atau pencarian konstanta A dan B dapat dilakukan dengan cara berikut :
x 1
A
B
A( x  3)  B( x  3)



2
x 9  x3  x3
( x  3)( x  3)
 x  1  A  x  3  B  x  3
Persamaan ini berlaku untuk sebarang x, maka
Ambil x = 3
Ambil x =-3
Sehingga

3  1  B  3  3
2
 4  6B  B 
3
3  1  A(3  3)
1
  2  6A  A 
3
1
2
x 1
3 dx 
3 dx  1 ln | x  3 |  2 ln | x  3 | C
dx

  x3   x3
x 2 9
3
3
KALKULUS I
26
2.Hitung
1
  x  2   x 1  dx
2
A( x  2)( x  1)  B( x  1)  C ( x  2) 2

2
 x2  x1
x 22  x1
1
1 A( x  2)( x  1)  B( x  1)  C ( x  2)
Penyebut ruas kiri =
penyebut ruas kanan
2
1 ( A  C ) x 2  ( A  B  4C ) x  (4C  2 A  B)
A+C=0
A+B+4C=0
-2A-B+4C=1
1
  x2  x1
2
A+B+4C=0
-2A-B+4C=1
+
-A+8C=1
dx
A+C=0
-A+8C=1
9C=1
+
B=-1/3
A=-1/9
C=1/9
1
1
1
1
1
1
dx

dx

dx
2



9 x2
3 x 2
9  x1
1
1
1
  ln | x  2 | 
 ln | x  1 | C
9
3( x  2) 9
KALKULUS I
27
Atau pencarian konstanta A, B,dan C dapat dilakukan dengan cara berikut :
A( x  2)( x  1)  B( x  1)  C ( x  2) 2

2
 x2  x1
x 22  x1
1
1 A( x  2)( x  1)  B( x  1)  C ( x  2) 2
1
Ambil x = 1  1  9C  C 
9
1
Ambil x =-2  1   3B  B  
3
Ambil x =0  1   2 A  B  4C
2 A   B  4C  1
1 4
2
1
2A   1  2A    A  
3 9
9
9
KALKULUS I
28

3. Hitung
dx
xx 2  1
Jawab:

1
A B xC
  2
2
x x 1 x
x 1







A x 2  1  ( Bx  c) x

x x2 1

1  A x 2  1  ( Bx  c) x
A+B=0
C=0
A=1

1  ( A  B) x 2  cx  A
x
x d ( x 2  1)
dx   2
2
x 1
x  1 2x
B=-1

1
x
1
 x x 2  1 dx   x dx   x 2  1 dx





1 d ( x 2  1)
  2
2
x 1
1
 ln | x |  ln( x 2  1)  C
2
KALKULUS I
29
4. Hitung 
Jawab :
6 x 2  15x  22
 x  3  x 2  2
2
dx
6x 2 15 x 22
A
BxC Dx E

 2 
2
2
2
2


x

3
x

2
 x3 x 2
x 2










A x 2 2  ( B xC ) x 2 2  x3  ( Dx E )( x  3)

2

 x3x

2
2

2

6 x  15x  22  A x 2  ( BxC ) x 2 2  x3  ( Dx E )( x  3)
2
2
2
6 x 2  15x  22  ( A  B) x 4  (3B  C ) x3  (4 A  2B  3C  D) x 2 
(6 B  2C  3D  E ) x  (4 A  6C  3E )
KALKULUS I
30
Dengan menyamakan koefisien ruas kiri dan kanan diperoleh
A+B=0
3B+C=0
4A+2B+3C+D=6
6B+2C+3D+E=-15
4A+6C+3E=22
Sehingga
6x 2 15 x22
Dengan eliminasi : A=1,B=-1, C=3
D=-5, E=0
1
x3
x
 x3 x 2 2 2 dx   x3dx x 2 2 dx 5 x 2 2 2 dx
dx
1
2x
dx
5
2x

  2
dx  3 2
  2
dx
2
x3 2 x 2
x  2 2 ( x  2)






1
3
5
 x 
 ln | x  3 |  ln( x 2  2) 
tan 1 
 C.

2
2
2
 2  2( x  2)
KALKULUS I
31
Catatan : jika der ( P( x))  der (Q( x)) , bagi terlebih
dahulu P(x) dengan Q(x), sehingga
P( x)
S ( x) , der ( S ( x))  der (Q( x))
 H ( x) 
Q( x)
Q( x)
Contoh: Hitung
x 3  2x 2  x  4
 x 2  4 dx
Der(P(x))=3>der(Q(x))=2
Bagi terlebih dahulu P(x) dengan Q(x)
x +2
x2  4
x3  2 x 2  x  4
x3  4 x
2 x 2  5x  4
x3  2x 2  x  4
5x  4
 x2 2
2
x 4
x 4
2x 2  8
5x+4
MA1114 KALKULUS I
32
5x  4
5x  4
A
B



2
x  4 ( x  2)( x  2) ( x  2) ( x  2)

A( x  2)  B( x  2)
( x  2)( x  2)
5 x  4  A( x  2)  B( x  2) ………………………..(*)
Persamaan (*) berlaku untuk sembarang x, sehingga berlaku juga untuk
Untuk x=2 dan x=-2
Untuk x = 2
5.2+4=A(2+2)
5.(-2)+4=B(-2-2)
Untuk x = -2
Dengan menggunakan hasil diatas :
A=7/2
B=3/2
x3  2 x 2  x  4
7
1
3
1
dx

(
x

2
)
dx

dx

dx
 x2  4



2 x2
2 x2
1 2
7
3
 x  2 x  ln | x  2 |  ln | x  2 | C
2
2
2
MA1114 KALKULUS I
33
Soal Latihan
Hitung
1.
2x 1
 x 2  7 x  18 dx
1
2.  ( x  5) 2 ( x  1) dx
2 x 2  3 x  36
6.

7.
x3  x 2
 x 2  5x  6 dx


2 x  1 x2  9

dx
5 x 2  3x  2
dx
3. 
3
2
x  2x
4.

dx
x(x 2  1) 2
x 2  2x
dx
5.  x 3  3 x 2  4
2
5
MA1114 KALKULUS I
34
Integral Fungsi Rasional dalam sin dan cos
 f (cos x, sin x)dx  ? , f fungsi rasional
Cara :
Gunakan subsitusi tan
dt
2 x 1
 sec ( 2 )
dx
2
x
2
 t , dari sini dapat diperoleh
dx 
2
dt
2 x
1  tan ( 2 )
1
sin
2
2 x
1
1
sin x  2 sin 2 x cos 2 x  2
cos
cos 12 x
dx 
2
dt
2
1 t
x
2
tan 2x
2 tan 2x
2t
2 2 x 

2 x
sec 2 1  tan 2 1  t 2
MA1114 KALKULUS I
35
cos x  2 cos 2 12 x  1 
1 t 2

1 t 2
2
sec 2
x
2
1 
2
2

1

1
2 x
2
1  tan 2
1 t
Contoh: Hitung
dx
 1  sin x  cos x
Jawab:
Gunakan substitusi diatas diperoleh
1

1  sin x  cos x
1
1 t 2
2t
1

2
1 t
1 t 2
1 t 2

1  t 2  1  t 2  2t
1 t 2

2(1  t )
dx
1 t 2
2
1
 1  sin x  cos x   2(1  t ) 1  t 2 dt   1  t dt  ln | 1  t | C  ln | 1  tan 2x | C
MA1114 KALKULUS I
36
Soal Latihan
Hitung
1.
dx
 1  sin x  cos x
2.
dx
 3  5 sin x
3.
cos x
 1  cos x dx
4.
dx
 sin x  tan x
5.
cot x
 1  sin x
MA1114 KALKULUS I
37