BAB II - Simponi MDP

BAB III
FUNGSI
3.1 Definisi
Jika nilai dari suatu besaran, misal y, bergantung pada nilai besaran lainnya, misal x,
maka kita dapat mengatakan bahwa y adalah fungsi dari x. Cara lain untuk
menyatakan ketergantungan y terhadap x adalah dengan cara simbolik yaitu y =
f(x) (dibaca “y adalah fungsi dari x”). Lambang-lambang lain untuk menyatakan
fungsi diantaranya adalah : h, F, G,  dll. Selanjutnya fungsi dapat
D
K
D
K
●
●
(a)
(b)
Gambar 3.1
D
K
●
Gambar 3.2
didefinisikan sebagai aturan yang menetapkan bahwa setiap satu anggota
himpunan D berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan K (lihat Gambar
3.1). Anggota-anggota himpunan D yang mempunyai tepat satu pasangan pada
himpunan K disebut daerah definisi atau daerah asal (domain). Sedangkan anggotaanggota pada himpunan K yang merupakan pasangan anggota-anggota himpunan D
disebut daerah nilai (range). Sedangkan semua anggota himpunan K baik yang
merupakan pasangan dari anggota himpunan D maupun yang bukan disebut
kodomain. Jika terdapat suatu hubungan yang tidak memenuhi definisi diatas maka
hubungan tersebut bukan suatu fungsi tetapi disebut relasi (lihat Gambar 3.2). Jadi
31
fungsi sama seperti sebuah proses yang menghasilkan tepat satu keluaran untuk
setiap masukan tertentu. Sedangkan relasi dapat dimisalkan seperti sebuah proses
yang menghasilkan dua keluaran untuk setiap masukan tertentu.
3.2. Jenis-jenis fungsi
Secara garis besar fungsi dapat dikelompokkan menjadi dua bagian utama, yaitu
fungsi ril dan fungsi kompleks. Pembahasan mengenai fungsi pada materi kuliah ini
hanya mencakup fungsi ril saja.
3.2.1 Menurut jumlah peubah bebas
3.2.1.1 Fungsi peubah bebas tunggal
Fungsi peubah bebas tunggal adalah fungsi yang hanya mempunyai
satu peubah bebas.
Contoh 3.1 : a) y = 2x + 3
b) y = x2
c) y = sin x
d) x2 + y2 =r2
3.2.1.2 Fungsi peubah bebas banyak
Fungsi peubah bebas banyak adalah fungsi yang mempunyai lebih
dari satu peubah bebas.
Contoh 3.2 : a) w = xy
b) u = sin (x+y)
c) v = cos xy
d) t = xy+ z
3.2.2 Menurut cara penyajiannya
3.2.2.1 Fungsi eksplisit
Fungsi eksplisit adalah fungsi dimana peubah bebasnya ditulis atau
disajikan pada ruas tersendiri; terpisah dari peubah tak bebasnya.
c) y = sin x
d) y = (x-1)2
Secara umum fungsi ekplisit ditulis dalam bentuk y = f(x)
3.2.2.2 Fungsi implisit
Fungsi implisit adalah fungsi dimana peubah bebas dan tak
bebasnya ditulis pada ruas yang sama.
Contoh 3.4 : a) x + y = 0
b) x2 + y2 = r2
Secara umum fungsi implisit ditulis dalam bentuk F(x,y) = 0
3.2.2.3 Fungsi parameter
Bentuk umum dari fungsi parameter adalah:
x = f(t) ; y = g(t) ; t adalah parameter.
Contoh 3.5
Jika kita tinjau dari operasi yang dilakukan terhadap peubah
bebasnya, maka fungsi ril dapat dibagi seperti yang ditunjukkan
pada Gambar 3.3 berikut.
32
Fungsi
Aljabar
Rasional
Transenden
Irrasional
Pecah
Bulat
Logaritma
Eksponen
Trigonometri
Invers
Trigonometri
Hiperbolik
Invers
Hiperbolik
Gambar 3.3
3.2.3 Fungsi aljabar
Fungsi aljabar adalah fungsi yang mengandung sejumlah operasi aljabar yaitu
operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan operasi pangkar
rasional. Fungsi aljabar dapat dibagi menjadi fungsi rasional dan irrasional.
Selanjutnya fungsi rasional dapat dibagi menjadi fungsi bulat dan fungsi pecah.
3.2.3.1 Fungsi rasional
Fungsi rasional adalah fungsi yang mempunyai bentuk P(x)/Q(x)
dengan P(x) dan Q(x) adalah polinomial-polinomial dan Q(x)  0.
Selanjutnya jika Q(x)  konstan maka fungsi rasional disebut juga fungsi
pecah. Sedangkan jika Q(x) = konstan maka fungsi rasional disebut
fungsi bulat.
A. Fungsi bulat
Fungsi bulat adalah suatu fungsi rasional dengan Q(x) = konstan.
Sehingga fungsi bulat dapat disebut fungsi polinomial karena
bentuknya sama seperti bentuk polinomial. Suatu fungsi yang
mempunyai bentuk :
disebut fungsi polinomial derajad n. Koeffisien-koeffisien an, an-1, an-2,…,
, a1, a0 adalah bilangan-bilangan ril, sedangkan masing-masing
sukunya disebut monomial. Pangkat n pada fungsi polionomial
adalah bilangan bulat tak negatif. Fungsi polinomial dapat
dikelompokkan menurut jumlah suku dan menurut derajat nya.
Berikut diberikan beberapa contoh fungsi-fungsi polinomial.
33
Berdasarkan
Polinomial
Jumlah suku
Trinomial
Polinomial
Monomial
Monomial
Binomial
Polinomial
x2
–x–6
x3+ 2x2 - x + 5
x5
–5
x+2
x6 –4x3 – 7x + 5
Derajad
2 (fungsi kuadrat)
3 (fungsi kubik)
5
0 (fungsi konstan)
1 (fungsi linier)
6
a. Penjumlahan dan pengurangan fungsi polinomial
Untuk melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan dari
fungsi polinomial langkah-langkah yang harus kita lakukan adalah
mengelompokkan suku-suku yang mempunyai faktor/faktorfaktor peubah yang sama. Sebagai contoh suku-suku 3xy dan -2xy
adalah dua faktor yang sama sehingga pada kedua suku tersebut
dapat dilakukan operasi penjumlahan dan / atau pengurangan.
Contoh lain dapat dilihat pada tabel berikut :
Jenis suku
dan bx3
ax2 dan bx2y
a dan b
ax3
Keterangan
Mempunyai faktor peubah yang sama
Mempunyai faktor peubah yang tidak sama
Sebetulnya mempunyai faktor peubah yang
sama, karena masing-masing suku dapat
ditulis dalam bentuk : ax0+ bx0
Contoh 3.6
Tentukan jumlah dan selisih dari fungsi-fungsi,
Penyelesaian :
Penjumlahan
(-2x2+5x+7xy)+(-3x3 -4x2 +x-3x2y+3xy-2) =
-2x2 +5x+7xy-3x3 -4x2 +x-3x2y+3xy-2 =
-3x3 - 6x2 + 6x - 3x2y + 10xy – 2
Pengurangan
(-2x 2 +5x+7xy)-(-3x 3 -4x 2 +x-3x 2 y+3xy-2) =
-2x2 +5x+7xy+3x3 +4x2 –x+3x2y-3xy+2 =
3x3+2x2+3x2y+4xy+4x+2
b. Perkalian monomial
Untuk melakukan operasi perkalian fungsi monomial berikut
diberikan beberapa hukum yang berlaku yaitu :
Hukum I : am . an = am+n
Contoh 3.7
Selesaikan perkalian : 52.53 ; xa .xb ; xy2 .x3y
Penyelesaian :
52.53 = 52+3 = 5 5 = 3125
xa.xb
= xa+b
2
3
xy .x y = x.x3.y2 .y = x4 .y3
34
( 3.2 )
Hukum II : [am]n= amn
( 3.3 )
Contoh 3.8
Selesaikan : [42]3 dan [x3]4
Penyelesaian :
[42 ]3 = 46 =4096
[x3 ]4 = x12
Hukum III : [ambn]k= amk.bnk
( 3.4 )
Contoh 3.9
Selesaikan : [{7}{52}]3 dan [x3y2]2
Penyelesaian :
[{7}{52}]3 = 73 5 6 = 5359375
[x3y2]2 = x6 y4
c. Perkalian fungsi polinomial
Proses perkalian dua fungsi polinomial dapat dilakukan dengan
mengalikan masing-masing monomialnya dengan bantuan hukum
distributif.
Contoh 3.10
Selesaikan perkalian : 2x(x2 -5x+6)
Penyelesaian :
2x(x2 -5x+6) = 2x3 -10x2 +12x
Contoh 3.11
Selesaikan perkalian : (3x+2)(x2 -3x+2)
Penyelesaian :
(3x+2)(x2 –3x+2) = 3x3 – 9x2 +6x+2x2 – 6x+4=3x3 –7x2 +4
d. Perkalian istimewa polinomial
Dua buah polinomial disebut binomial-binomial konjugat jika
salah satu dari binomial tersebut merupakan penjumlahan,
sedangkan yang lainnya merupakan pengurangan dari dua buah
monomial. Sebagai contoh (axm+byn) dan (axm–byn) adalah
binomial-binomial konjugat. Hasil perkaliannya adalah :
(axm+byn)(axm – byn) = (axm)2 – (by)2
(3.5)
Contoh 3.12
Selesaikan perkalian (5x2+6) (5x2-6)
Penyelesaian :
(5x2+6) (5x2–6) = (5x2)2 –(6)2 = 25x4 –36
e. Pemfaktoran polinomial
Memaktorkan polinomial berarti menulis polinomial menjadi
bentuk perkalian antara dua polinomial atau lebih. Langkahlangkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut tentukan
faktor yang sama dari masing-masing monomial dan selanjutnya
35
keluarkan dari kelompoknya. Sebagai contoh dapat dilihat pada
tabel berikut.
Polinomial
ax2+ay2
3x3+2x+x
3a2b+5ab-4b2
Langkah I
(tentukan faktor
yang sama)
a
x
b
Langkah II
(keluarkan faktor
yang sama)
a(x2+y2)
x(3x2+2x+1)
b(3a2+5a-4b)
f. Pembagian polinomial
Pembagian dua buah monomial dapat dilakukan dengan
mengikuti hukum-hukum berikut ini.
Hukum VI : ( Pangkat nol) a0=1 ; a / 0
(3.8)
Contoh 3.13
Penyelesaian
Soal-soal
1. Selesaikan!
a) (x+6y) – (2x2 – 7x+12)
b) (x2+2xy+y2) – (3x– x2y+y)
c) (x3+6x2+12x+8) + (2x2y+3xy-7)
d) (4y2– x2) + (2x2y– 3xy2)
2. Selesaikan!
b) (x3y)(xy3)(x2y2)
f ) (–2p5 q4 r3)3
36
3. Selesaikan perkalian polinomial berikut ini!
a) x(x–2)
d) (x 2 – 5)(x 2 – 3x+2)
b) –2xy(x 2 y–3xy 3 )
e) (2s 2 – t 3 +4s 2 t)(s 2 – 2st+t 2 )
c) abc(2a-5b–2c+7)
f ) (x 4 +2x 2 )(x 4 –2x 2 )
2 3
2
3
2
d) 5xy z (2x z-3yz +4xy )
g) (–2m+5n)(2m+5n)
4. Faktorkan fungsi-fungsi berikut!
a) 5s – 5t
b) 6ab – 12ac + 18ad
c) 9xy + 12y – 6xz – 8z
d) 8ax – 20a + 10 bx – 25b
5. Selesaikan!
g. Fungsi konstan
Pada contoh terdahulu telah dijelaskan bahwa fungsi polinomial yang
mempunyai derajad nol disebut fungsi konstan dan dapat ditulis dalam
bentuk :
y = f(x) = a0 atau y = konstan
( 3.10 )
Grafik fungsi konstan dapat dilihat pada Gambar 3.4 berikut.
y
y = a0 ; a0 > 0
x
0
y = a0 ; a0 < 0
Gambar 3.4
Grafik fungsi konstan
h. Fungsi linier
Fungsi linier adalah fungsi polinomial yang derajad satu. Fungsi linier
disebut juga persamaan garis dan ditulis dalam bentuk :
(3.11)
Persamaan 3.11 adalah persamaan garis yang memotong sumbu x pada saat y
= 0 dan memotong sumbu y pada saat x = 0. Perhatikan persamaan 3.11. Jika
x = 0 maka y = n dan jika y = 0 maka x = - n/m. Jadi dapat disimpulkan bahwa
persamaan 3.11 menunjukkan sebuah garis yang melalui titik-titik (0,n) dan
(-n/m,0). Biasanya persamaan 3.11 disebut persamaan “PerpotonganKemiringan sebuah Garis (Slope-Intercept Equation of a Line)”. Grafik
persamaan 3.11 ditunjukkan pada Gambar 3.5 dibawah ini.
37
y
(0,n)
(-n/m,0)
x
0
Gambar 3.5
Grafik fungsi linier
Jika persamaan garis pada persamaan 3.11 melalui titik (x1,y1) maka :
y1 = mx1 + n  n = y1 – mx1
( 3.12 )
Dengan mensubstitusi harga n pada pers. 3.12 ke pers. 3.11 didapat :
y – y1 = m(x – x1) atau y = m(x – x1) + y1
( 3.13 )
Biasanya persamaan 3.13 disebut persamaan “Kemiringan-Titik sebuah
Garis (Point-Slope Equation of a Line)”. Grafik persamaan 3.13 ditunjukkan
pada Gambar 3.6.
y
(x,y)
(x1,y1)
0
x
Gambar 3.6
Grafik persaman 3.13
Jika persamaan garis 3.11 melalui titik (x2,y2), maka :
y – y2 = m(x – x2) atau y = m(x – x2) + y2
Jika persmaan 3.15 dikurang persamaan 3.13 maka didapat,
38
(3.14)
Dengan memasukkan harga m pada pers. 3.15 ke pers. 3.13 didapat :
Persamaan 3.16 adalah persamaan garis yang melalui titik (x1,y1) dan
(x2,y2) dan disebut persamaan “Dua titik dari suatu garis (two point
equation of a line)” seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.7.
y
(x2,y2)
(x1,y1)
0
x
Gambar 3.7
Grafik persaman 3.16
Kesimpulan :
Dari uraian diatas padat disimpulkan bahwa :
1. Jika kemiringan dan titik potong suatu garis dengan sumbu x atau
sumbu y diketahui maka gunakan adalah persamaan 3.11.
2. Jika kemiringan suatu garis diketahui dan garis tersebut melalui titik
tertentu, misal (x1,y1), maka gunakan persamaan 3.13.
3. Jika suatu garis melalui titik-titik (x1,y1) dan (x2,y2) maka gunakan
persaman 3.16.
Cara menggambar garis
Bentuk umum persamaan garis : y = mx + n
Buat tabel sebagai berikut :
Jika n  0
x
y
0
n
-n/m
0
Jika n = 0
x
y
0
0
a
m.a
a adalah sembarang bilangan ril
Contoh 3.14
Sebuah garis mempunyai kemiringan (koeffisien arah) -1/3 dan memotong
sumbu x pada x = 1. Tentukan persamaan garis tersebut!
Penyelesaian : (gunakan persamaan 3.11)
Persamaan garis y = mx + n
Karena m = -1/3, maka persamaan garis menjadi : y = -1/3 x + n
39
Titik potong dengan sumbu x pada x = 1, maka y = 0. Dengan
mensubstitusikan harga x dan y ke persamaan 2.11 maka didapat :
n=1/3. Dengan demikian persamaan garis menjadi: y = -1/3 x+1/3
Cara menggambarkan garis lihat petunjuk.
x
0
1
y
1/3
0
Jadi titik-titik koordinat garis tersebut adalah (0,1/3) dan (1,0).
y
(0,1/3)
(1,0)
0
x
Gambar 3.8
Contoh 3.15
Sebuah garis mempunyai kemiringan (koeffisien arah) 2 dan memotong
sumbu y pada y = 3/2. Tentukan persamaan garis tersebut !
Penyelesaian : (gunakan persamaan 3.11)
Persamaan garis y = mx + n
Karena m = 2, maka persamaan garis menjadi : y = 2x + n
Titik potong dengan sumbu y pada y = 3/2, maka x = 0. Dengan
mensubstitusikan harga x dan y ke persamaan 3.11, didapat n=1.
Dengan demikian persamaan garis menjadi: y = 2x+3/2
Cara menggambarkan garis lihat petunjuk.
x
y
0
3/2
-3/4
0
Jadi titik-titik koordinat garis tersebut adalah (0,3/2) dan (-3/4,0).
y
(0,3/2)
(-3/4,0)
0
x
Gambar 3.9
Contoh 3.16
Sebuah garis mempunyai kemiringan (koeffisien arah) -1 dan melalui titik
(-2,3). Tentukan persamaan garis tersebut!
Penyelesaian (gunakan persamaan 3.13) :
y = m(x - x1) + y1  m = -1 ; x1 = -2 ; y1 = 3
Persamaan garis yang dimaksud adalah :y = -1(x+2)+3= -x + 1
40
y
(0,1)
(1,0)
0
x
Gambar 3.10
Contoh 3.17
Sebuah garis melalui (-3,4) dan (5,2).Tentukan persamaan garis tsb.!
Penyelesaian (gunakan persamaan 3.16):
y
(0,13/4)
(13,0)
0
x
Gambar 3.11
Soal-soal
1. Tentukan persamaan garis dan gambarkan grafiknya dari data berikut !
a) Kemiringan (koeffisien arah) = . Memotong sumbu x pada x = -1
b) Kemiringan (koeffisien arah) = -3/4. Memotong sumbu x pada x = 3
c) Kemiringan (koeffisien arah) = 1/4. Memotong sumbu y pada y = 1
d) Kemiringan (koeffisien arah) = 1. Memotong sumbu y pada y = -2
2. Tentukan persamaan garis dan gambarkan grafiknya dari data berikut !
a) Kemiringan (koeffisien arah) = 2. Melalui titik (-2,-1)
b) Kemiringan (koeffisien arah) = 2/3. Melalui titik (3,0)
c) Kemiringan (koeffisien arah) = -4. Melalui titik (-1/2,3)
d) Kemiringan (koeffisien arah) = -1. Melalui titik (0,3/2)
3. Tentukan persamaan garis yang melalui titik-titik berikut dan gambarkan grafiknya!
a) (0,1) dan (2,5)
c) (-1,-2) dan -2,2)
b) (0,-1) dan (3,8)
d) ( 2,-1) dan (2,6)
41
i. Fungsi kuadrat
- Penyelesaian fungsi kuadrat dengan pemfaktoran
Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua
dan mempunyai bentuk umum :
y= f(x) = a2x2 + a1x + a0 atau y= f(x) = ax2 + bx + c
(3.17)
dengan a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril. Sedangkan x adalah
peubah bebas dan y peubah tak bebas. Grafik persamaan kuadrat
pada persamaan 3.17 memotong sumbu x jika y =0. Sehingga
persamaan 3.17 menjadi : ax2 + bx + c = 0. Untuk menentukan titik
potong persamaan kuadrat terhadap sumbu x pertama-tama kita
harus menentukan akar-akarnya.
Pemfaktoran adalah salah satu cara untuk menentukan akar-akar
tersebut. Untuk memfaktorkan sebuah persamaan kuadrat pertamatama kita tulis dalam bentuk :
b
c
ax2 + bx + c= a(x2+ x+ ) = a(x2+Bx+C), dengan B = b/a dan C=
a
a
b
c
c/a. Memfaktorkan x2+ x+ berarti menuliskannya dalam bentuk :
a
a
(x + m)(x+n), dimana mn = C dan m + n = B
( 3.18 )
Akar-akar dari persamaan 3.18 adalah : x1= -m dan x2 = -n
Contoh 3.18
Faktorkan persamaan kuadrat : x2 + x – 6 = 0
Penyelesaian :
B = 1 dan C = –6
mn = -6 dan m + n = 1. Didapat m = -2 dan n = 3
Jadi : x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3). Sehingga akar-akarmya
adalah : x1 = 2 dan x2 = -3
Contoh 3.19
Faktorkan persamaan kuadrat : x2 –4x – 12 = 0
Penyelesaian :
B = –4 dan C = –12
mn = –12 dan m + n = –4. Didapat m = –6 dan n = 2
Jadi : x2 + x – 6 = (x – 6)(x + 2). Sehingga akar-akarmya
adalah : x1 = 6 dan x2 = –2
-
Penyelesaian fungsi kuadrat dengan menggunakan rumus kuadrat.
Dari penjelasan sebelumnya telah diketahui bahwa pers. kuadrat yang
memotong sumbu x mempunyai bentuk umum ax2+bx+c = 0 dengan x 
bilangan ril, atau dapat ditulis dalam bentuk :
42
Persamaan 3.19 adalah persamaan kuadrat. Persamaan tersebut digunakan
untuk menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat. Besaran b2 – 4ac
disebut diskriminan atau disingkat D.
Contoh 3.20
Tentukan akar-akar dari persamaan x2 + 4x - 21 = 0 dengan meng- gunakan
persamaan kuadrat!
Penyelesaian :
Dari persamaan diketahui bahwa : a = 1 ; b = 4 ; c = -21
- Grafik fungsi kuadrat.
Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan
bentuknya adalah : y = ax2 + bx + c, dimana a, b dan c adalah bilanganbilangan ril, a  0, x adalah peubah bebas dan y peubah tak bebas. Grafik
persamaan kuadrat dapat membuka keatas atau kebawah tergantung dari
nilai a. Jika nilai a > 0 maka grafik akan membuka keatas. Jika a < 0 maka
grafik akan membuka kebawah. Pada grafik persamaan kuadrat kita
mengenal beberapa istilah penting yaitu :
i) Verteks
Verteks adalah titik ekstrim ( maksimum ataupun minimum ) dari suatu
parabola. Jika nilai a para persamaan kuadrat lebih kecil dari nol
(negatif) maka verteks merupakan titik maksimum. Jika a lebih besar
dari nol (positif) maka verteks merupakan titik minimum. Titik
koordinat verteks adalah V(h,k), dimana :
ii) Sumbu simetri
Sumbu simetri adalah garis yang membagi parabola menjadi dua bagian
yang sama. Sumbu simetri adalah,
iii) Titik potong dengan sumbu x
Untuk menentukan apakah sebuah parabola memotong sumbu x atau
tidak, kita perlu memeriksa harga diskriminan. Jika diskriminan (D) = 0
43
maka parabola tidak memotong sumbu x tetapi verteksnya hanya
menyinggung sumbu x. Jika D < 0 parabola tidak memotong dan tidak
menyinggung sumbu x. Jika D > 0 maka parabola memotong sumbu x
pada x1 dan x2.
iv) Titik potong dengan sumbu y
Titik potong dengan sumbu y pada y = c
Contoh 3.21
Diketahui fungsi kuadrat f(x) = –x2 + 5x -6
Tentukan : verteks, sumbu simetri, titik potong dengan sumbu x dan y
Penyelesaian :
Dari soal siketahui : a = –1, b = 5 dan c = –6
Titik potong dengan sumbu x  y = 0
–x2 + 5x –6 = –(x–3)(x–2) = 0  x1 = 3 dan x2 = 2
Jadi parabola memotong sumbu x pada x =2 dan x = 3
Titik potong dengan sumbu y  x = 0. Didapat :y = –6
Jadi parabola memotong sumbu y pada y = –6.
Parabola membuka kebawah karena a < 0
y
x = 5/2
1/4
0
2
3
x
-6
sumbu
simetri
Gambar 3.12
Soal-soal
Tentukan : verteks, sumbu simetri, titik potong dengan sumbu x dan y dari
fungsi kuadrat berikut ini!
2
1. y = -5x2
3. y = x2 – 2x 5. y = x2 – 3x -4
3
1
4
2. y= (x + 2 )2
5. y =2x2 + 4x + 5
7. y = x2 – 7
2
5
44
j. Fungsi pangkat tinggi
Fungsi pangkat tinggi yang dimaksud pada pasal ini adalah polinomial
derajad tiga atau lebih. Untuk menentukan akar-akar dan menggambarkan
grafik dari fungsi pangkat tinggi biasanya kita perlu untuk memaktorkan
fungsi pangkat tinggi tersebut.
- Pemfaktoran fungsi pangkat tinggi
Misal f(x) sembarang polinomial. Selanjutnya x – c dikatakan salah
satu faktor dari f(x)  f(c) = 0. Berarti c merupakan salah satu akar dari
polinomial. Berikut adalah contoh pemfaktoran fungsi pangkat tinggi.
Contoh 3.22
Tentukan faktor-faktor dan akar-akar dari fungsi pangkat tinggi :
f(x) = x3 - 3x2 - 10x + 24
Penyelesaian :
Pertama-tama tentukan salah satu akarnya secara trial & error.
Jika kita ambil x = 1, maka f(1) = 13 - 32 - 10 + 24 =12. Karena f(1)  0,
maka x = 1 bukan akar dari f(x).
Jika kita ambil x = 2, maka f(2) = 23 – 3(2)2 – 10(2) + 24 =0.
Karena f(1) = 0, maka x = 2 adalah salah satu akar dari f(x).
Sehingga (x – 2) adalah salah satu faktor dari f(x). Untuk mencari faktor
lainnya kita bagi f(x) dengan faktor yang sudah didapat, yaitu
(x3 – 3x2 – 10x + 24) dibagi dengan (x – 2).
x–2
x2 – x – 12
x3 – 3x2 – 10x + 24
x3 – 2x2
–x2 – 10x + 24
– x2 + 2x
– 12x + 24
– 12x + 24
0
Hasil bagi x3–3x2–10x+24 dengan x–2 adalah x2–x–12. Berarti, x2–x–12
adalah faktor lain dari x3–3x2–10x+24. Selanjutnya x3–3x2–10x+24 dapat
ditulis dalam bentuk (x–2)(x2–x–12). Akan tetapi faktor x2–x–12 masih
mungkin untuk diuraikan lagi karena mempunyai derajad dua. Persamaan
dari x2–x–12 dapat ditulis dalam bentuk faktor, yaitu (x–4)(x+3). Sehingga
secara keseluruhan persaman x3–3x2–10x+24 dapat ditulis dalam bentuk
(x–2)(x–4)(x+3). Jadi faktor-faktor dari x3–3x2–10x+24 adalah (x–2), (x–4)
dan (x+3), sedangkan akar-akarnya adalah x=4, 2 dan –3.
- Grafik fungsi pangkat tinggi
Menggambar grafik fungsi pangkat tinggi dapat dibantu dengan bantuan
tanda dari faktor-faktornya (positif atau negatif) seperti yang ditunjukkan
pada contoh berikut.
Contoh 3.23
Gambarkan grafik fungsi f(x) = x3 – x
Penyelesaian :
Faktorkan f(x)  x3 – x = x(x – 1)(x + 1).
45
x
: - - - - - - - - - - - - - - - - - -0+ + + + ++ + + +
x–1
: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - 0 + + +
x+1
: - - - - - - - 0 + + + + + + + + ++ + + + +
x3 – x
: - - - - - - - 0 ++++++ 0 - - - - - - - - - 0 + + +
-1
0
1
Grafik dari fungsi f(x) = x3 – x adalah :
y
-1
0
1
x
Gambar 3.13
Soal-soal
Tentukan : verteks, sumbu simetri, titik potong dengan sumbu x dan y dari
fungsi kuadrat berikut ini !
1. y = x3 + 1
3. y = 1/4 + 2x3
5. y = x3 + 4x2 + x – 6
4
3
2
2. y= 1 – x
4. y = x – 2x – 9
B. Fungsi pecah
a. Daerah definisi (domain)
Fungsi pecah adalah fungsi yang mempunyai bentuk P(x)/Q(x); P(x)
dan Q(x) adalah fungsi-fungsi polinomial dan Q(x)  0. Dalam bentuk
formulasi fungsi pecah dapat ditulis menjadi :
Untuk menentukan daerah definisi dari fungsi pecah, pertama-tama
kita faktorkan penyebutnya. Dari faktor-faktor tersebut kita dapatkan
akar-akarnya. Daerah definisi fungsi pecah adalah pada semua
bilangan ril kecuali pada akar-akar penyebut dari fungsi pecah.
Contoh 3.24
Tentukan daerah-daerah definisi dari fungsi-fungsi berikut!
Penyelesaian :
46
a) Perhatikan Q(x) : x2 – x – 2 = (x – 2)(x + 1)
b) Perhatikan Q(x) : 4x3 +4x2 + x = 4x(x + 1/2)2
b. Grafik fungsi pecah
Untuk menggambarkan grafik fungsi pecah, kita perlu melakukan
langkah-langkah sebagai berikut :
i) Faktorkan fungsi pembilang P(x) dan penyebut Q(x).
ii) Tentukan daerah definisi (domain) dari f(x) dengan cara menentukan Q(x) = 0. Harga x yang didapat bukan domain f(x).
iii) Periksa apakah terdapat faktor (x + a) yang merupakan faktor dari
P(x) dan Q(x). Jika ada maka titik x = -a merupakan titik tak kontinu
dari f(x).
iv) Tentukan titik potong f(x) dengan kedua sumbu, jika ada. Untuk
mencari titik potong f(x) dengan sumbu x tetapkan P(x) = 0.
Selanjutnya harga x yang didapat merupakan titik potong f(x)
dengan sumbu x. Untuk mencari titik potong dengan sumbu y
tetapkan x = 0. Harga f(x) yang didapat merupakan titik potong f(x)
dengan sumbu y. Akar atau akar-akar yang berasal dari faktor yang
bersekutu antara pembilang dan penyebut tidak digunakan untuk
mencari titik potong.
v) Coret faktor/faktor-faktor yang bersekutu antara pembilang dan
penyebut.
vi) Tentukan asimtot tegak, jika ada. Garis x = c merupakan asimtot
tegak jika x – c merupakan faktor dari Q(x) setelah langkah v.
vii) Misal fungsi pecah berbentuk :
- Jika n < m maka garis y = 0 adalah asimtot datar.
- Jika n = m maka garis y = an/bm adalah asimtot datar.
- Jika n > m maka fungsi tidak mempunyai asimtot datar.
viii) Tentukan tanda-tanda dari f(x) pada selang-selang antara asimtot
tegak (positif atau negatif).
Contoh 3.25
Penyelesaian :
47
ii) Q(x) = (x-1)(2x+1) = 0  x = 1 dan x = -1/2. Jadi daerah definisi
(domain) dari f(x) adalah semua bilangan ril kecuali 1 dan -1/2.
iii) Karena (x - 1) adalah faktor persekutuan dari P(x) dan Q(x), maka
f(x) tak kontinu pada titik x = 1.
iv) Titik potong dengan sumbu x.
P(x) = 3x2 – x – 2 = 0  (x-1)(3x+2)  x = -2/3.
Jadi titik potong dengan sumbu x terjadi pada x= –2/3. Sedangkan
x=1 bukan titik potong pada sumbu x, karena (x–1) merupakan
faktor persektuan P(x) dan Q(x).
Titik potong dengan sumbu y.
x = 0  y = 2. Jadi titik potong dengan sb.y terjadi pada y = 2.
vi) Karena (2x+1) adalah faktor dari Q(x), setelah dilakukan langkah v),
maka x= –1/2 adalah asimtot tegak.
vii) Karena n = m, maka y = 3/2 adalah asimtot datar
viii)
x – 1 : - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0+++++
3x + 2 : - - - - - 0 +++++++++++++++++++++
2x + 1 : - - - - - - - - - - - - 0++++++++ ++++++
3x  x  2
:+++++0 - - - - - - ++++++++?++++++
2x 2  x  1
2
-2/3
-1/2
1
y
0
Gambar 3.14
48
1
x
Soal-soal
Gambarkan grafik fungsi pecah berikut!
3.2.3.2 Fungsi irasional
Fungsi irasional adalah fungsi yang mempunyai bentuk :
dengan g(x) adalah fungsi rasional. Daerah definisi fungsi irasional
(Df) dapat dijelaskan sebagai berikut :
(3.24)
Dimana Dg adalah daerah definsi dari g.
Contoh 3.26
Penyelesaian
x
: - - - - - - - - - 0++++++++++++++
9 - x :+++++++++++++++0 - - - - - 9x-x2 : - - - - - - - - - 0+++++++0 - - - - - [
0
]
9
Dari persamaan diatas kita dapatkan : a = 1, b = –9, c = y2
Selanjutnya kita cari diskriminan, yaitu :D = b2 –4ac
Selanjutnya kita cari harga diskriminan, yaitu :D = b2 –4ac
49
Karena domain dari f(x) adalah ril, maka diskriminan juga harus
ril. Artinya D  0. Secara otomatis b2 –4ac  0. Jika kita masukkan
nilai a, b dan c maka didapat :
(-9)2 -4(1)(y2)  0.
4y2  81  -9/2  y  9/2
Akhirnya didapat dua pertaksamaan, y  -9/2 dan y  9/2.
Akan tetapi karena y harus lebih besar atau sama dengan nol,
maka pertaksamaan y  -9/2 diabaikan. Sehingga pertaksamaan
yang digunakan adalah y  9/2 dan y  0. Jadi daerah nilai untuk
Soal-soal
3.2.4 Fungsi komposisi
Fungsi komposisi adalah fungsi yang merupakan kombinasi dari beberapa
fungsi. Misal terdapat dua buah fungsi, yaitu f dan g. Jika daerah nilai fungsi g
merupakan daerah definisi dari fungsi f, maka kombinasi f dan g kita tulis
dengan f o g (baca f circle g) dan didefinisikan sebagai,
(f o g)(x) = f(g(x))
(3.25)
Sebaliknya jika daerah nilai fungsi f merupakan daerah definisi dari g maka
kombinasinya kita tulis dengan gof (baca g circle f) dan didefinisikan sebagai,
(g o f)(x) = g(f(x))
(3.26)
Contoh 3.27
Jika diketahui : f(x) = x2 + 2x + 1 dan g(x) = x + 3
Tentukan a) (fog)(x)
dan b) (gof)(x)
Penyelesaian :
a) (fog)(x) = f(g(x)) = f (x+3) = (x+3)2+2(x+3)+1 = x2 + 8x + 16
b) (gof)(x) = g(f(x)) = g (x2+2x+1) = (x2+2x+1)+3 = x2+2x+4
Soal-soal
Tentukan fog dan gof dari fungsi-fungsi:
3.2.5 Fungsi satu ke satu
Misal terdapat suatu fungsi f. Jika setiap satu daerah nilai (range) fungsi f berasal
dari satu daerah definisinya, maka fungsi tersebut dikatakan fungsi satu ke satu.
Sebagai contoh f(x) = x3 adalah suatu fungsi yang mempunyai daerah definisi
50
untuk semua x ril dan untuk setiap daerah definisi menghasilkan satu daerah
nilai. Sehingga dikatakan bahwa f(x) = x3 adalah fungsi satu ke satu. Contoh
lainnya, f(x) = x2 adalah suatu fungsi yang mempunyai daerah definisi untuk
semua x ril. Akan tetapi setiap satu daerah nilai dihasilkan oleh lebih dari satu
daerah nilai (dalam hal ini dua). Sehingga f(x) = x2 bukan fungsi satu ke satu.
3.2.6 Fungsi invers
Misal terdapat suatu fungsi f. Selanjutnya f dikatakan mempunyai invers jika dan
hanya jika terdapat suatu fungsi g sedemikian rupa sehingga,
i) daerah definisi fungsi g merupakan daerah nilai fingsi f
ii) pada semua daerah definisi f dan semua daerah nilai g berlaku :
Pernyataan diatas menunjukkan bahwa g adalah invers dari f dan ditulis,
Contoh 3.27
Tentukan invers dari persamaan : y = x3 + 2
Penyelesaian : y = x3 + 2  x3 = y – 2  x = ( y–2 )1/3
Soal-soal
Tentukan invers fungsi-fungsi berikut & gambarkan grafik f(x) dan f-1(x) !
x4
1. f(x) = 3x – 2
3. f(x) = 4 – x3
5. f(x) =
x4
 2x 3  3
2. f(x) = -3(x+5)
4. f(x) = (7 – x)5
6. f(x) =
x3  8
3.2.7 Fungsi transenden
3.2.7.1 Fungsi eksponen
Misal terdapat bilangan a>0. Selanjutnya fungsi f yang didefinisikan
sebagai f(x) = ax disebut fungsi eksponen dengan basis a. Sifat-sifat ax
dapat dijelaskan sebagai berikut :
i) ax > 0 untuk semua harga x dan daerah nilai dari ax adalah semua
bilangan positif.
ii) Titik potong dengan sumbu y adalah y = 1
iii) Tidak ada titik potong dengan sumbu x
iv) Sumbu x adalah asimtot datar dari ax
v)
Dapat dijelaskan bahwa bila a > 1 maka grafik ax akan menanjak pada
arah kanan (Gambar 3.15a). Sedangkan bila a < 1maka grafiknya akan
menurun kearah sebelah kanan (Gambar 3.15b).
51
y
0
y
x
(a)
x
0
(b)
Gambar 3.15
Fungsi eksponen ex
Fungsi yang mempunyai bentuk ex disebut fungsi eksponen natural atau
fungsi eksponen dengan basis e. Bilangan e adalah bilangan irasional
yang besarnya adalah 2,7182818…
Persamaan eksponensial
Contoh 3.28
Penyelesaian
x2 – 3x – 4 = 0  (x–4)(x+1) = 0
Sehingga didapat x1 = 4 dan x2 = –1
Contoh 3.29
Tentukan nilai basis a jika f(x) = ax melalui titik (2,9)
Penyelesaian :
f(x) = ax  9 = a2  32 = a2
Jadi a = 3
Soal-soal
Tentukan nilai basis a jika f(x) = ax melalui titik :
i) (3,8)
ii) (5,1/25)
iii) (-8,1/64)
iv) (1/4, 1/81)
3.2.7.2 Fungsi logaritma
Fungsi logaritma adalah fungsi yang didefinisikan sebagai invers dari
fungsi eksponensial. Misal terdapat sebuah bilangan a>0 dan a1.
Untuk setiap bilangan positif y maka logaritma y dengan basis a ditulis
(3.31)
dan dibaca “log y basis a sama dengan x jika dan hanya jika y sama
dengan a pangkat x”. Jika harga y pada pers. 3.31 sama dengan satu,
52
maka harga x = 0. Jika harga y = a maka harga x = 1. Jadi,
Contoh 3.30
Ubahlah persamaan yang mengandung eksponen berikut ini menjadi
bentuk logaritma !
a) 103
b) 6251/4
Penyelesaian
Contoh 3.31
Penyelesaian
Seperti yang telah dijelaskan diatas untuk a>0 dan a  1 fungsi
logaritma dengan basis a adalah fungsi yang didefinisikan sebagai,
3.31 didapat,
Jika kita tulis persamaan ax = ax, maka dari persamaan 2.31 dapat ditulis
menjadi,
Hukum-hukum logaritma
Logaritma natural
Logaritma natural adalah logaritma yang mempunyai basis e. Logaritma
natural ditulis sebagai,
53
Soal-soal
3.2.7.3 Fungsi trigonometri
A. Pengukuran sudut
Sebelum kita mendefinisikan fungsi-fungsi trigonometri terlebih
dahulu akan dibahas sudut dan pengukurannya. Sudut pada suatu
bidang dibentuk oleh perpotongan dua buah garis atau sisi yang
terdiri dari sisi awal dan sisi ujung sudut. Titik potong antara kedua
garis tersebut disebut verteks sudut. Sebelum membahas
y
sisi ujung
α
0
sisi awal
x
Gambar 3.16
pengukuran sudut terlebih dahulu kita gambarkan sudut yang
terletak pada koordinat Kartesius (Gambar 3.16). Biasanya verteks
sudut diletakkan berimpit dengan titik asal (origin) sedangkan sisi
awal berimpit dengan sumbu x. Sudut yang digambarkan dengan
cara diatas disebut sudut dalam posisi standar.
B. Sudut dalam satuan derajad
Satuan derajad adalah salah satu ukuran sudut. Bila kita melakukan
pengukuran satu putaran penuh yang dimulai dari sumbu x positif
dengan arah yang berlawanan jarum jam, maka besarnya sudut
yang diukur adalah 3600 . Gambar 2.17 adalah contoh pengukuran
sudut-sudut 3600, 1800, 900 , -900.
y
y
1800
3600
x
0
y
x
0
y
900
x
0
x
0
-900
Gambar 3.17
54
Contoh 3.32
Gambarkan sudut-sudut -2700 dan 1350
Penyelesaian :
y
y
1350
-2700
x
0
x
0
Gambar 3.18
C. Sudut dalam satuan radian
Perhatikan sebuah lingkaran yang mempunyai jari-jari r. Dua buah
sisi yang mengapit sudut tertentu akan memotong lingkaran dan
akan menghasilkan panjang busur tertentu pula (lihat Gambar
2.19a). Jika panjang busur = t maka sudut yang diapit oleh dua sisi
yang memotong lingkaran adalah t/r radian.
y
r
t
x
0
(a)
y
2
r
0
(b)
Gambar 3.19
55
x
Selanjutnya perhatikan Gambar 3.19 b. Keliling
lingkaran adalah 2r Berarti sudutnya (satu putaran)
adalah 2 radian. Telah kita ketahui bahwa satu
putaran sama dengan 360o. Jadi 2 radian = 360o.
Selanjutnya didapat,
Contoh 3.33
Ubah sudut 20o kedalam satuan radian!
Penyelesaian
Contoh 3.34
Ubah sudut /6 radian kedalam satuan derajad!
Penyelesaian
Soal-soal
1. Ubah sudut-sudut berikut kedalam satuan radian!
2. Ubah sudut-sudut berikut kedalam satuan derajad!
D. Fungsi trigonometri sudut lancip
Fungsi trigonometri adalah fungsi yang mencakup fungsi-fungsi
sinus, cosinus, tangent, cotangent, secant dan cosecant. Gambar 3.20
adalah sebuah segitiga siku-siku. Sisi a dan b adalah sisi siku-siku
sedangkan c adalah sisi miring. Sudut  dan  adalah sudut-sudut
lancipnya. Jika kita perhatikan Gambar 3.20 maka kita dapat
menyimpulkan bahwa sisi-sisi siku-siku selalu terletak dihadapan
sudut lancip. Sedangkan sisi miring selalu terletak dihadapan sudut
56
siku-siku. Jika kita tinjau salah satu sudut lancip pada Gambar 3.20,
dalam hal ini sudut , maka sisi siku-siku b disebut juga sebagai sisi
pembatas sudut . Begitu juga jika kita tinjau sudut  maka a disebut
juga sisi pembatas sudut .

c
a

b
Gambar 3.20
Dengan mengacu pada penjelasan-penjelasan diatas selanjutnya kita
definisikan fungsi-fungsi trigonometri sebagai berikut,
Dari persamaan 3.41 dapat dibuat hubungan sbb.:
57
Masih tetap mengacu pada Gambar 3.20 dan teorema Pythagoras :
c2 = a2 + b2 (bagi semua ruas dengan c2)
Didapat
sin2 + cos2 = 1
( 3.43 )
Bagi persamaan 3.43 dengan cos2,
Didapat
tan2 + 1 = sec2
( 3.44 )
Jika persamaan 3.43 dibagi dengan sin2,
Didapat
1 + cot2 = csc2
( 3.45 )
Persamaan 3.43 s/d 3.45 disebut identitas trigonometri
Contoh 3.35
Diketahui sebuah segitiga siku-siku terletak pada kuadran I. Jika
harga sin  = 4/5, tentukan nilai fungsi trigonometri lainnya !
Penyelesaian
y
5
4

x1 = ?
0
x
Gambar 3.21
Didapat,
cos = 3/5 ; tan = 4/3 ; cot = 3/4 ; sec = 5/3 ; csc = 5/4
58
Soal-soal
1. Jika sebuah segitiga siku-siku terletak terletak pada kuadran
pertama, lengkapilah tabel berikut.
Sudut
sin

1/2
cos
tan
cot
sec
csc


6/7

2. Jika sebuah segitiga siku-siku terletak terletak pada kuadran
kedua, lengkapilah tabel berikut.
Sudut
sin
3/5




cos
tan
cot
sec
csc
2/-3
-4/5
E. Fungsi trigonometri sudut-sudut 300 , 450 dan 600.
Untuk menentukan harga fungsi-fungsi trigonometri sudut 30o, 45o
dan 60o pertama-tama kita gambarkan segitiga seperti yang
ditunjukkan pada Gambar 3.21. Misal terdapat sebuah segitiga sikusiku yang mempunyai sudut-sudut lancip 30o dan 60o serta panjang
sisi miring 1 satuan (Gambar 3.21a).
300
1
300 300
b
600
b
600
600
a
a
(a)
a
(b)
Gambar 3.21
Jika terdapat satu segitiga lainnya yang sama dan sebangun dengan
segitiga pertama dan diletakkan secara berdampingan maka akan
terbentuk segitiga baru yang sama sisi (lihat Gambar 3.21b).
59
Selanjutnya didapat 2a = 1 atau a = 1/2. Untuk menghitung panjang
sisi b kita gunakan teorema Pythagoras yaitu,
Jadi,
Sudut
sin
cos
tan
cot
sec
300
csc
2
600
2
Untuk menentukan harga fungsi trigonometri sudut 450 terlebih
dahulu kita gambarkan sebuah segitiga siku-siku yang mempunyai
450
1
b
450
a
Gambar 3.22
sudut lancil masing - masing 450. Untuk lebih jelasnya perhatikan
Gambar 3.22 berikut. Telah diketahui bahwa setiap segitiga siku–
siku yang mempunyai sudut lancip masing-masing 450 disebut
segitiga sama kaki. Dengan kata lain panjang kedua sisi yang
berhadapan dengan sudut 450 mempunyai panjang yang sama (a=b).
Dengan menggunakan teorema Pythagoras kita dapatkan bahwa,
Sudut
sin
cos
450
tan
cot
1
1
sec
csc
Untuk sudut-sudut 00 dan 900 dapat dilihat pada tabel berikut.
Sudut
sin
cos
tan
cot
sec
csc
00
0
1
0

1

900
1
0

0

1
F. Fungsi trigonometri untuk penjumlahan dua sudut
Untuk membahas fungsi trigonometri jumlah dua sudut perhatikan
Gambar 3.22 berikut.
60
y
P
L sinA cosB
L sin A
L
Q
L cos A
S
L sinA sinB
L cos A sin B
A
B
O
R
T
x
Gambar 3.22
sin(A+B) = sinA cosB + sinB cosA
( 3.46 )
cos(A+B) = cosA cosB – sinA sinB
( 3.47 )
Untuk fungsi-fungsi trigonometri lainnya dapat dijabarkan
sendiri oleh mahasiswa. Fungsi trigonometri ini dapat
digunakan untuk mencari harga fungsi trigonometri sudut
tumpul seperti 900 +  atau sudut tumpul lainnya.
Contoh 3.36
Tentukan harga sin 1350.
Penyelesaian :
sin 1350 = sin(900 +450) = sin 900 cos450 + sin450 cos900
61
G. Grafik fungsi trigonometri
y
1
-/2
-
-1
-2
/2
0
(-3/2)

(3/2) 2
x
Gambar 3.23
Grafik fungsi sinus
y
1
-1

-
0
-2
x
2
Gambar 3.24
Grafik fungsi cosinus
y
-2
-
0
Gambar 3.25
Grafik fungsi tangen
62

x
2
y
Gambar 3.26
Grafik fungsi cotangen
-
0
-2

2
x
y
1
Gambar 3.27
Grafik fungsi secant
-2
-

2

2
0
-1
x
y
Gambar 3.28
Grafik fungsi cosecant
1
-1
-
0
-2
63
x
Soal-soal
1. Tentukan nilai fungsi trigonometri lainnya jika :
a. sin  = 3/5 ; /2 <  < 
b. cos  = -4/5 ;  <  < 3/2
c. tan  = - 2 ;3/2 <  < 2
d. cot  = 4/ 6 ;  <  < 3/2
e. sec  = -6 ; /2 <  < 
f . csc  = 5/4 ; 0 <  < /2
2. Gambarkan grafik fungsi trigonometri berikut :
a. sin  + ½
b. cos  - 1/2 c. sin ( - /2) d. cos ( + /2)
H.
Hukum sinus
Untuk membuktikan hukum sinus perhatikan Gambar 2.29 berikut.
C

E
a
b
k
h

A

D
B
c
Gambar 3.29
h
 h = a sin 
a
h
Perhatikan segitiga ADC  sin  =
 h = b sin 
b
sin α sin β
=
Dari (*) dan (**) didapat : a sin  = b sin  
a
b
k
Perhatikan segitiga AEC  sin  =
 k = b sin 
b
k
Perhatikan segitiga AEB  sin  =
 k = c sin 
c
sin γ sin β
Dari (#) dan (##) didapat : b sin  = c sin  
=
c
b
Dari (***) dan (###) didapat :
Perhatikan segitiga BDC  sin  =
sin α sin β sin γ
=
=
a
b
c
(*)
( ** )
( *** )
(#)
( ## )
( ### )
(3.49)
Persamaan 3.49 disebut hukum Sinus.
64
Soal-soal
Soal-soal berikut mengacu pada Gambar 2.29.
1.  = 60o ;  = 50o dan b = 10
2.  = 70o ;  = 45o dan c = 20
3.  = 30o ;  = 115o dan c = 8
4.  = 35o ;  = 125o dan c = 7
5.  = 25o ;  = 40o dan a = 5
I. Hukum Cosinus
Untuk membuktikan hukum cosinushatikan Gambar 2.30 berikut.
C

E
a
b
k
h

A

D
B
c
Gambar 3.30
Perhatikan segitiga ADC  h = b sin 
Perhatikan segitiga BDC  (CD)2 = (BC)2 – (BD)2 = (BC)2 – (AB - AD)2
h2 = a2 – (c - b cos )2
b2 sin2 = a2 – c2 + 2bc cos  - b2 cos2
b2 sin2 + b2 cos2 = a2 – c2 + 2bc cos 
b2 (sin2 + cos2) = a2 – c2 + 2bc cos 
b2 = a2 – c2 + 2bc cos 
Sehingga,
Perhatikan segitiga BDC  h = a sin 
Perhatikan segitiga ADC  (CD)2 = (AC)2 – (AD)2 = (AC)2 – (AB - BD)2
h2 = b2 – (c - a cos )2
a2 sin2 = b2 – c2 + 2ac cos  - a2 cos2
a2 sin2 + a2 cos2 = b2 – c2 + 2ac cos 
a2 (sin2 + cos2 ) = b2 – c2 + 2ac cos 
a2 = b2 – c2 + 2ac cos 
Sehingga,
65
Perhatikan segitiga AEC  k = b sin 
Perhatikan segitiga AEB  (AE)2 = (AB)2 – (BE)2 = (AB)2 – (BC - CE)2
k2 = c2 – (a - b cos )2
b2 sin2 = c2 – a2 + 2ab cos - b2 cos2
b2 sin2 + b2 cos2 = c2 – a2 + 2ab cos 
b2 (sin2 + cos2 ) = c2 – a2 + 2ab cos 
b2 = c2 – a2 + 2ab cos 
Sehingga,
Persamaan 3.50 s/d 3.52 adalah hukum Cosinus.
Soal-soal
1. Dengan mengacu pada Gambar 2.30, tentukan besar sudut ,  dan  jika
panjang sisinya adalah :
i) a = 5 ; b = 7 ; c = 8
iv) a = 7 ; b = 5 ; c = 4
ii) a = 4 ; b = 8 ; c = 9
v) a = 9 ; b = 4 ; c = 8
iii) a = 6 ; b = 9 ; c = 7
vi) a = 8 ; b = 6 ; c = 7
2. Dengan mengacu pada Gambar 2.30, tentukan luas segitiga jika diketahui :
i)  = 45o ; b = 5 ; c = 4
iii)  = 120o ; a = 6 ; c = 9
o
ii)  = 60 ; b = 9 ; c = 10
iv)  = 90o ; a = 8 ; c = 4
3.2.7.4 Fungsi trigonometri invers
Kita telah mengetahui bahwa suatu fungsi akan mempunyai invers jika fungsi
tersebut adalah fungsi satu ke satu, yaitu fungsi yang mempunyai nilai tunggal
untuk setiap domain. Sebagai contoh f(x) = x3 + 1 adalah fungsi satu ke satu
kareba untuk setiap harga x yang tunggal akan menghasilkan f(x) yang tunggal
pula. Sehingga dikatakan bahwa, f(x) = x3 + 1 mempunyai invers. Akan tetapi
f(x) = x2 bukanlah fungsi satu ke satu karena untuk dua harga x yang berbeda
akan menghasilkan harga f(x) yang r=tunggal. Sehingga dikatakan bahwa f(x)
= x2 tidak mempunyai invers.
Fungsi-fungsi trigonometri adalah fungsi-fungsi yang tidak termasuk
dalam golongan fungsi satu ke satu. Sebagai contoh f(x) = sin x. Untuk harga x
= 0, x =  dan x = 2 akan menghasilkan harga yang sama yaitu 0. Begitu juga
dengan fungsi-fungsi trigonometri lainnya. Akan tetapi jika kita batasi domain
fungsi trigonometri maka kita dapat membuat fungsi trigonometri menjadi
fungsi satu ke satu. Jadi f(x) = sinx adalah fungsi satu ke satu jika - < x < .
Begitu juga dengan fungsi-fungsi trigonometri lainnya.
Definisi-definisi :
i) Fungsi sinus invers (ditulis sin-1 atau arcsin) didefinisikan sebagai :
y = sin-1 x  x = sin y , untuk -1  x  1 dan -/2  y  /2.
ii) Fungsi sinus invers (ditulis cos-1 atau arccos) didefinisikan sebagai :
y = cos-1 x  x = cos y , untuk -1  x  1 dan 0  y  .
66
iii) Fungsi tangent invers (ditulis tan-1 atau arctan) didefinisikan sebagai :
y = tan-1 x  x = tan y , untuk setiap harga x dan -/2  y  /2.
iv) Fungsi cotangent invers (ditulis cot-1 atau arccot) didefinisikan
sebagai :y = cot-1 x  x = cot y , untuk setiap harga x dan 0  y  .
v) Fungsi secant invers (ditulis sec-1 atau arcsec) didefinisikan sebagai :
y = sec-1 x  x = sec y , untuk setiap harga x  1 dan 0  y  , kecuali y =
/2.
vi) Fungsi cosecant invers (ditulis cosec-1 atau arccosec) didefinisikan sebagai
y = cosec-1 x  x = cosec y , untuk setiap harga x  1 dan 0  y  /2.
y
y
-1
1
0
x
-1
Grafik sin-1x
0
Grafik cos-1x
Gambar 3.31
Sifat-sifat fungsi trigonometri invers
i) arcsin(sinx) = x untuk -/2  x  /2
sin(arcsinx) = x untuk 1  x  1
ii) arccos(cosx) = x untuk 0  x  
cos(arccosx) = x untuk -1  x  1
iii) arctan(tanx) = x untuk -/2  x  /2
tan(arctanx) = x untuk semua harga x
Contoh 3.37
Tentukan harga y jika,
Penyelesaian
67
1
x
y
/2
/4
1
0
-1
x
-/4
-/2
Soal-soal
Tentukan harga dari:
1. arcsin 1
7. arcsin (sin /3)
2. arcsin (-1)
8. arcsin (sin /6)
3. arccos 0
9. arccos (cos  )
4. arccos (-1)
10. arccos (cos 2/3 )
5. arctan 0
11. arctan (tan /3 )
6. arctan 1
12. arctan (tan -5/6 )
13. arcsin (cos /3)
14. arccos (/4)
15. arctan (/2)
16. arctan (cos 4)
17. sin (arcsin 1/2)
18. sin(arccos 1/2)
3.2.7.5 Fungsi hiperbolik
A. Definisi
Fungsi hiperbolik adalah fungsi yang mempunyai sifat yang serupa dengan
fungsi trigonometri. Keserupaan antara kedua fungsi tersebut dapat dilihat
dari definisi yang diberikan berikut ini.
68
B. Identitas hiperbolik
Dari persamaan 3.53a dan b didapat:
Dengan membagi persamaan 3.54 dengan cosh2 x didapat,
1 – tanh2 x = sech2 x
(3.55)
Selanjutnya jika persamaan 3.54 dibagi dengan sinh2 x didapat,
coth2x –1 = cosech2 x
(3.56)
Persamaan 3.54 s/d 3.56 adalah Identitas hiperbolik. Selain identitas
tersebut diatas masih terdapat identitas hiperbolik lainnya seperti
yang terdapat pada soal-soal.
Soal-soal
Buktikan identitas hiperbolik berikut :
3. sinh (–x) = – sinh x
4. cosh (–x) = cosh x
5. sinh 2x = 2 sinh x cosh x
6. cosh 2x = cosh2x + sinh2x
7. sinh (x+y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x
8. sinh (x–y) = sinh x cosh y – sinh y cosh x
9. cosh (x+y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y
10. cosh (x–y) = cosh x cosh y – sinh x sinh y
11.
12.
69
3.2.7.6 Fungsi hiperbolik invers
Pada definisi sebelumnya telah diketahui bahwa fungsi hiperbolik definisikan
dalam bentuk fungsi eksponen. Hal ini berarti bahwa fungsi hiperbolik invers
dapat ditulis dalam bentuk logaritma natural.
Teorema-teorema
Bukti,
Perlu diperhatikan bahwa,
Dari dua fakta yang disebutkan diatas maka kita dapat menyimpulkan
y
sinh x
sinh-1 x
0
Gambar 3.32
70
x
Bukti,
Perlu diperhatikan bahwa,
Dari tiga fakta tersebut diatas, maka kita dapat menyimpulkan bahwa,
Selanjutnya perhatikan bahwa,
Disini dapat kita lihat bahwa untuk setiap satu nilai x (peubah bebas)
berpasangan dengan dua nilai y (peubah tak bebas). Hal ini melanggar
definisi fungsi ; yaitu setiap satu nilai x tepat berpasangan dengan satu nilai
y. Berdasarkan hal tersebut diatas maka y diambil harga positifnya saja,
yaitu ,
y
cosh x
cosh-1x
1
x
0
1
Gambar 3.33
71
Bukti
Bukti
Bukti
72
Bukti
3.2.7.7 Fungsi genap dan ganjil
Suatu fungsi dikatakan fungsi genap jika memenuhi :
f(x) = f(–x)
( 3.63 )
dan dikatakan ganjil jika memenuhi :
f(–x) = –f(x)
(3.64 )
Jika suatu fungsi tidak memenuhi persamaan 3.63 dan 3.64 maka persamaan
tersebut bukan merupakan fungsi genap atau ganjil.
Contoh 3.38
Diketahui
i) f(x) = x3
ii) f(x) = x2 + 3
iii) f(x) = x – 2
Tentukan apakah fungsi tsb. termasuk fungsi genap, ganjil atau tidak keduanya?
Penyelesaian
i) f(x) = x3
f(-x) =(–x)3 = –x3 =–f(x)
Karena f(–x) = –f(x), maka x3 adalah fungsi ganjil.
ii) f(x) = x2 + 3
f(–x) = (–x)2 + 3 = x2 + 3 = f(x)
Karena f(–x) = f(x), maka x2 + 3 adalah fungsi genap.
iii) f(x) = x – 2
f(–x) = –x – 2 = – (x+2)
Karena f(x)  f(–x)  –f(x), maka x – 2 bukan fungsi genap atau ganjil.
Misal terdapat sebuah fungsi f(x) sedemikian rupa sehingga,
Jika g(x) dan h(x) adalah fungsi ganjil, maka berlaku
g(–x)=–g(x) dan h(–x)=–h(x).
Dengan melakukan substitusi ke (**) didapat, f(–x) = g(x) . h(x)
Substitusi (*) ke (***) didapat : f(-x) = f(x)
73
(***)
Kesimpulan : Perkalian fungsi ganjil dengan fungsi
ganjil menghasilkan fungsi genap
Misal terdapat sebuah fungsi f(x) sedemikian rupa sehingga,
Jika g(x) dan h(x) adalah fungsi genap maka berlaku g(–x) = g(x) dan h(–x) =
h(x). Dengan melakukan substitusi ke (**) didapat :
f(–x) = g(x) . h(x)
(***)
Substitusi (*) ke (***) didapat : f(–x) = f(x)
Kesimpulan : Perkalian fungsi genap dengan fungsi
genap menghasilkan fungsi genap
Misal terdapat sebuah fungsi f(x) sedemikian rupa sehingga :
f(x) = g(x) . h(x)
(*)
f(–x) = g(–x) . h(–x)
( ** )
atau
Jika g(x) adalah fungsi genap dan h(x) adalah fungsi ganjil atau sebaliknya
maka berlaku g(–x) = g(x) dan h(–x) = –h(x). Dengan melakukan substitusi ke
(**) didapat :f(-x) = g(x) .{ –h(x)} = –{g(x) . h(x)}. Selanjutnya dengan
mensubstitusi (*) ke (***) didapat : f(-x) = - f(x).
Kesimpulan : Perkalian fungsi genap dengan fungsi ganjil
atau sebaliknya menghasilkan fungsi ganjil
Soal-soal
Gambarkan grafik dari fungsi-fungsi berikut dan tentukan fungsi-fungsi apakah
genap, ganjil atau tidak keduanya!
3.2.9 Fungsi Periodik
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi eriodik jika fungsi tersebut terdefinisi untuk
semua harga x dan terdapat bilangan positif sedemikian rupa sehingga :
f( x + p ) = f ( x )
( 3.64 )
dimana p adalah periode positif terkecil dari fungsi f(x). Fungsi-fungsi yang
termasuk fungsi periodik diantaranya fungsi sinus dan cosinus. Sedangkan
74
fungsi-fungsi x, x2, x3, ex dan ln x tidak termasuk fungsi periodik karena tidak
memenuhi persamaan 3.64. Dengan mengacu pada persamaan 3.64 kita
dapatkan bahwa :
f(x+2p) = f{(x+p)+p} = f(x+p) = f(x)
f(x+3p) = f{(x+2p)+p} = f(x+2p) = f(x)
..............................
f(x+np) = f(x) ; n = 1, 2, 3, . . . . . . .
( 3.65 )
Contoh grafik dari fungsi periodik dapat dilihat pada Gambar 3.34 dibawah ini.
y
x
0
p
Gambar 3.34
Grafik fungsi priodik
Misal terdapat dua buah fungsi g(x) dan h(x). Jika fungsi f(x) adalah fungsi yang
didefinisikan oleh : f(x) = ag(x) + bh(x), dimana a dan b adalah konstanta, maka
berlaku :
f(x+p) = ag(x+p) + bh(x+p)
( 3.66 )
Jadi dapat disimpulkan ; jika g(x) + h(x) mempunyai periode p, makaf(x) juga
mempunyai periode p.
Contoh 3.39
Tentukan periode dari f(x) = sin x
Penyelesaian :
sin (x+p) = sin x
sin x cos p + cos x sin p = sin x  didapat p = 2
Soal-soal
Tentukan periode positif terkecil dari fungsi periodik berikut,
c) sin nx
75