konsep dasar probabilitas - 201366210 – Nailil Hasanah Elfatchiyah

KONSEP DASAR PROBABILITAS
Nailil Hasanah Elfatchiyah : 201366210
Arina Hidayati : 201366211
Pendahuluan
 Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang sulit
diketahui dengan pasti, terutama kejadian yang akan datang.
 Meskipun kejadian-kejadian tersebut tidak pasti, tetapi kita
bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk menuju derajat
kepastian atau derajat keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi.
 Derajat / tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya
hasil percobaan statistik disebut Probabilitas (Peluang),
yang dinyatakan dengan P.
Konsep dan definisi dasar
 Eksperimen/percobaan probabilitas adalah segala kegiatan
dimana suatu hasil (outcome) diperoleh.
 Ruang sampel adalah himpunan seluruh kemungkinan
outcome dari suatu eksperimen/percobaan. Biasanya
dinyatakan dengan S. Banyaknya outcome dinyatakan dengan
n(S).
 Peristiwa/kejadian adalah himpunan bagian dari outcome
dalam suatu ruang sampel.
Contoh
 Dilakukan eksperimen, yaitu diperiksa 3 buah sikring satu
persatu secara berurutan dan mencatat kondisi sikring
tersebut dengan memberi notasi B untuk sikring yang baik
dan R untuk sikring yang rusak.
 Maka ruang sampel pada eksperimen probabilitas
pemeriksaan tersebut adalah S = {BBB, BBR, BRB, RBB,
BRR, RBR, RRB, RRR}. Jumlah outcome dalam ruang
sampel S adalah n(S) = 23 = 8.
 Jika A menyatakan peristiwa diperoleh satu sikring yang
rusak, maka A = {BBR, BRB, RBB}. Jumlah outcome dalam
ruang peristiwa adalah n(A) = 3.
Pengertian
 Probabilitas adalah harga perbandingan jumlah kejadian (A)
yang mungkin dapat terjadi terhadap (N) jumlah keseluruhan
kejadian yang mungkin terjadi dalam sebuah peristiwa.
 P(A) = Peluang
 n(A) = Peluang kejadian A
 n(N) = Peluang seluruh kejadian
Contoh 1
 Berapakah peluang munculnya angka ganjil pada pelemparan
sebuah dadu?
Jawab :
Peluang munculnya angka ganjil pada tiap lemparan adalah
1,3, dan 5, maka :
P(ganjil)= n(A)/n(N) = 3/6 = 1/2
Contoh 2
 Sebuah koin dilemparkan dua kali. Berapakah probabilitas
bahwa paling sedikit muncul satu Muka?
Jawab :
 Misal M = Muka , B = Belakang
 Ruang sampel untuk percobaan ini adalah S = {MM, MB,
BM, BB}
 Kejadian A = muncul paling sedikit satu Muka adalah A =
{MM, MB, BM}
Jadi,
 Probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka adalah
P= n(A)/n(N) = 3/4
Probabilitas kejadian majemuk
 Bila A dan B kejadian sembarang pada ruang sampel S, maka
probabilitas gabungan kejadian A dan B adalah kumpulan semua
titik sampel yang ada pada A atau B atau pada keduanya.
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
Contoh
 Kemungkinan bahwa Ari lulus ujian matematika adalah 2/3 dan
kemungkinan ia lulus bahasa inggris adalah 4/9. Bila probabilitas
lulus keduanya adalah 1/4, berapakah probabilitas Ari dapat
paling tidak lulus salah satu dari kedua pelajaran tersebut?
Jawab :
 Bila M adalah kejadian lulus matematika, dan B adalah kejadian
lulus bahasa inggris, maka :
Probabilitas Ari lulus salah satu pelajaran tersebut adalah :
P(M  B) = P(M) + P(B) – P(M  B)
= 2/3 + 4/9 – 1/4
= 31/36
Dua kejadian saling lepas (disjoint events
atau mutually exclusive):
 Bila A dan B dua kejadian
saling lepas, maka berlaku :
 Bila A, B, dan C tiga kejadian
saling lepas, maka berlaku :
P( A  B)  P( A)  P( B)
P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C )
Contoh
 Berapakah probabilitas mendapatkan total 7 atau 11 bila sepasang
dadu dilemparkan?
Jawab :
 Bila A adalah kejadian diperoleh total 7, maka A = {(1,6), (6,1),
(2,5), (5,2), (3,4), (4,3)}
 Bila B adalah kejadian diperoleh total 11, maka B = {(5,6), (6,5)}
 Sehingga probabilitas mendapatkan total 7 atau 11 adalah :
P(A  B) = P(A) + P(B)
= 6/36 + 2/36
= 8/36
Dua kejadian saling komplementer:
 Bila A dan A’ dua kejadian dalam S yang saling komplementer,
maka berlaku :
P( A' )  1  P( A)
Contoh
 Pada pelemparan dua dadu, jika A adalah kejadian munculnya muka
dadu sama, hitunglah probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak
sama.
Jawab :
 Misal A= kejadian munculnya muka dua dadu yang sama
= {(1,1), (2,2) , (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
maka P(A) = 6/36
 Sehingga,
Probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama = P(A’) adalah:
P(A’) = 1 – P(A)
= 1 – 6/36
= 30/36
Dua kejadian saling bebas (independent):
 Dikatakan saling bebas artinya kejadian itu tidak saling
mempengaruhi.
 Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling
bebas, jika kejadian A tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya
kejadian B dan sebaliknya kejadian B tidak mempengaruhi
probabilitas terjadinya kejadian A.
 Bila A dan B dua kejadian saling bebas, berlaku :
P( A  B)  P( A) . P( B)
Contoh
 Pada pelemparan dua uang logam secara sekaligus, apakah kejadian munculnya muka dari
uang logam pertama dan uang logam kedua saling bebas?
Jawab :
 Ruang sampel S = {(m,m), (m,b), (b,m), (b,b)}
 Misalkan, A
= kejadian muncul muka dari uang logam 1  P(A) = 2/4 = ½
= {(m,m), (m,b)}
B
= kejadian muncul muka dari uang logam 2  P(B) = 2/4 = ½
= {(m,m), (b,m)}
A  B = kejadian muncul dua muka dari uang logam 1 dan 2
= {(m,m)}
 P(A  B) = ¼
 Bila A dan B saling bebas berlaku :
P(A  B)
= P(A). P(B)
¼
= ½ . ½
¼
= ¼
Jadi, A dan B saling bebas.
Probabilitas bersyarat
 Adalah probabilitas suatu kejadian B terjadi dengan syarat
kejadian A lebih dulu terjadi atau akan terjadi atau diketahui
terjadi.
 Ditunjukkan dengan P(BA) yang dibaca “probabilitas dimana
B terjadi karena A terjadi”
P( A  B)
P( B A) 
,
P( A)
jika P( A)  0
Contoh
 Misalkan dipunyai kotak berisi 20 sekering, 5 diantaranya
rusak. Bila 2 sekering diambil dari kotak satu demi satu
secara acak tanpa mengembalikan yang pertama ke dalam
kotak. Berapakah peluang kedua sekering itu rusak?
 Jawab :
Misalkan A = kejadian sekering pertama rusak
B = kejadian sekering kedua rusak
Maka peluang kedua sekering itu rusak = P(A  B)
P(A  B) = P(A). P(BA)
= 5/20 . 4/19
= 1/19
Aturan Bayes :
 Misalkan A1, A2, dan A3 adalah tiga kejadian saling lepas
dalam ruang sampel S.
 B adalah kejadian sembarang lainnya dalam S.
S
B
A1
A2
A3
probabilitas kejadian B adalah :
P(B)
= P(BA1). P(A1) + P(BA2). P(A2) + P(BA3). P(A3)
=
3
 P( B A ).P( A )
i 1
i
disebut Hukum ProbabilitasTotal
i
 Secara umum, bila A1, A2, A3, …, An kejadian saling
lepas dalam ruang sampel S dan B kejadian lain yang
sembarang dalam S, maka probabilitas kejadian bersyarat
AiB dirumuskan sebagai berikut :
P ( B  Ai )
P ( Ai B ) 

P( B)
P ( B Ai ).P ( Ai )
n
 P( B A ).P( A )
i 1
i
i
Contoh :
 Misalkan ada tiga kotak masing-masing berisi 2 bola.
Kotak 1 berisi 2 bola merah, kotak 2 berisi 1 bola merah
dan 1 bola putih, dan kotak 3 berisi 2 bola putih. Dengan
mata tertutup Anda diminta mengambil satu kotak secara
acak dan kemudian mengambil 1 bola secara acak dari
kotak yang terambil itu..
 Berapakah peluang bola yang terambil berwarna merah?
 Berapakah peluang bola tersebut terambil dari kotak 2?
Jawab
 P(bola yang terambil berwarna merah) =
P(M )  P(1).P(M 1)  P(2).P(M 2)  P(3).P(M 3)
1 2 1 1 1
2 1 3
 .  .  .0 
  0.5
3 2 3 2 3
6
6
 P(bola merah tersebut terambil dari kotak 2) =
P(2 M ) 
P(2).P( M 2)
P( M )
1 .1
1
1
 3 2  6   0.33
3
3
3
6
6
Permutasi
 Permutasi adalah pengelompokkan unsur dengan
memperhatikan urutan dan dinotasikan dengan nPr , yang
artinya ‘Permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia.
 Contoh :
Dua kupon lotere diambil dari 20 kupon untuk menentukan
hadiah pertama dan kedua. Hitung banyaknya titik contoh
dalam ruang contohnya.
Permutasi
 Banyaknya permutasi n benda yang berbeda yang disusun
dalam suatu lingkaran adalah (n-1)!
contoh :
Banyaknya permutasi empat huruf a, b, c, d jika
keempatnya disusun dalam sebuah lingkaran adalah 4-1!
=3x2x1=6
Kombinasi
 Kombinasi adalah penggabungan beberapa objek dari suatu
kelompok tanpa memperhatikan urutan. Dengan kata lain,
kombinasi adalah pengelompokkan beberapa objek tanpa
melihat urutan seperti halnya permutasi.
 Contoh :
Bayaknya cara memilih 2 orang dari 4 orang partai Republik :