Trend - GEOCITIES.ws

STATISTIK - I
PENGUKURAN DISPERSI
(MEASURES OF DISPERSION)
MENGAPA PERLU UKURAN DISPERSI.
RATA – RATA DAN MEDIAN HANYA MENGGAMBARKAN SENTRAL
DARI SEKELOMPOK DATA, TETAPI TIDAK MENGGAMBARKAN
BAGAIMANA PENYEBARANNYA..
DUA KELOMPOK DATA DENGAN RATA-RATA SAMA, BELUM TENTU
MEMILIKI PENYEBARAN YANG SAMA. OLEH KARENA ITU, HANYA
DENGAN RATA-RATA KITA TIDAK DAPAT MELIHAT GAMBARAN
YANG JELAS DARI KELOMPOK DATA TERSEBUT.
UKURAN DISPERSI YANG KECIL MENUNJUKKAN NILAI DATA SALING
BERDEKATAN (PERBEDAAN KECIL), SEDANGKAN NILAI DISPERSI
YANG BESAR MENUNJUKKAN BAHWA NILAI DATA MENYEBAR
(PERBEDAAN NILAI MASING-MASING DATA BESAR)
UKURAN DISPERSI DIGUNAKAN UNTUK MELENGKAPI PERHITUNGAN
NILAI SENTRAL
CONTOH:
Data A terdiri dari nilai-nilai : 52 56 60 64 68
Data B terdiri dari nilai-nilai : 40 50 60 70 80
Rata-rata kedua kelompok data tersebut adalah sama (60) akan tetapi vasiasi
nilai-nilainya terhadap nilai sentral berbeda.
40
60
50
52
56
60
70
64
68
80
ADA 2 MACAM PENGUKURAN DISPERSI
 Pengukuran Dispersi Absolud, digunakan untuk mengetahui tingkat
variabilitas nilai-nilai observasi pada suatu data.
Metoda pengukuran dispersi absolud ada 4: Range; Deviasi Quartile;
Deviasi Rata-Rata dan Deviasi Standar.
 Pengukuran Dispersi Relatif, digunakan untuk membandingkan tingkat
variabilitas nilai-nilai observasi suatu data dengan tingkat variabilitas nilainilai observasi data lainnya.
Metoda pengukuran dispersi relatif ada 2: Koefisien Variasi dan Koefisien
Variaso Quartile.
RANGE: HIGHEST VALUE – LOWEST VALUE
Contoh: 30; 25; 32; 35; 43; 37; 46
Highest Value = 46
Lowest Value = 25
Range: 46 – 25 = 21
INTERQUARTILE RANGE : Q3 – Q1
Contoh: 95 103 105 110 114 115 121
Q1 = 103
Q3 = 115
Interquartile Range = 115 – 103
= 12
DEVIASI QUARTILE (Dk)
Q3 – Q1
Dk =
2
Contoh: 95 103 105 110 114 115 121
Q1 = 103
Q3 = 115
Q3 – Q1
Dk =
2
Q3 – Q1 = 115 – 103
= 12
Dk = 12/2 = 6
DEVIASI RATA-RATA =MEAN DEVIATION
Deviasi Rata-rata (Dx) = The arithmatic mean of the absolute value of the deviation
from the arithmatic mean.
MD = Dx =
Σ|x-x|
n
Contoh: 103 97 101 106 103
Rata-rata = (103 + 97 + 101 + 106 + 103)/5
Rata-rata = 102
n=5
Dx = {|103 - 102| + |97 – 102| + |101 - 102| + |106 - 102| + |103 - 102|}/5
= {1 + 5 + 1 + 4 + 1}/5
= 12/5 = 2,4.
Deviasi Rata-rata untuk data berkelompok
Dx =
f i = frekwensi kelas ke – i
x i = titik tengah kelas ke I
x = rata-rata
n= jumlah frkwensi data
Σ f i | xi – x |
n
Contoh:
Nilai Ujian
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
Jumlah
Frkuensi
1
2
4
2
9
Jawab:
fi
xi
f ixi
x i– x
| x i– x | f i
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
1
2
4
2
24,5
34,5
44,5
54,5
24,5
69
178
109
-17,8
-7,8
2,2
12,2
17,8
15,6
8,8
24,4
Jumlah
9
Nilai Ujian
66,6
Σf x
n
Dx =
380,5
Σ
f i | xi – x |
i=1
n
Dx = (66,6)/9 = 7,4
x=
n
x = 380,5/9 = 42,20
VARIANCE & STANDARD DEVIATION
Variance (Varian): The aritmatic mean of squared deviation from the mean
Standard Deviation (Deviasi Standar): The squared root of the variance
∑ (x - µ)
2
2
Populatin Variance : (σ ) =
N
Population Standard Deviation (σ) = √
∑ (x - µ)
N
2
Σ (x – x)
2
Sample Variance (S ) =
2
2
S =
n-1
Σ (x – x)
Σx - (Σx) /n
S=√
2
2
}
n -1
2
2
2
n-1
Sample Standard Deviation (S) = √ {
S=
2
2
{Σx - (Σx) /n}
√ 1/(n-1) [ Σx i - {(Σ x i ) /n}]
 Rumus I
n-1
 Rumus II
Catatan: untuk n > 100, (n – 1) dapat diganti dengan n
Contoh:
Hitung Varian dan Deviasi Standar dari data: 40, 50, 60, 70, 80.
Jawab:
Rata-rata data = (40 + 50 + 60 + 70 + 80)/5 = 60
2
x -x
(x - x)
40
50
60
70
80
-20
-10
0
10
20
400
100
0
100
400
1600
2500
3600
4900
6400
1000
19000
300
x
2
x
Varian (s ) =2 (1000)/ 5-1
= 250
Deviasi Standar = √250
= 15,81
Atau:
Varians :
= 1/(5-1){(19000 – 300)/5
= 250
Deviasi Standar:
= √ 250
= 15,81.
Untuk Data Berkelompok:
2
Σ f i (x ii – x )
Variance =
n-1
2
Deviasi Standar = √
Σ f i (x i – x )
n-1
Waktu (Menit)
0 - < 10
10 - < 20
20 - < 30
30 - < 40
40 - < 50
50 - < 60
60 - < 70
70 - < 80
Jumlah
f
2
6
16
12
7
4
2
1
50
Contoh :
Hitung Varians dan Deviasi Standar
menggunakan rumus I & II
Waktu (Menit)
f
x
fx
0 - < 10
10 - < 20
20 - < 30
30 - < 40
40 - < 50
50 - < 60
60 - < 70
70 - < 80
2
6
16
12
7
4
2
1
5
15
25
35
45
55
65
75
10
90
400
420
315
220
130
75
Jumlah
50
1160
x -x
-28,2
-18,2
-8,2
1,8
11,8
21,8
31,8
41,8
(x - x )
f ( x - x)
795,24
331,24
67,24
3,24
139,24
475,24
1011,24
1747,24
1590,48
1987,44
1075,84
38,88
974,68
1900,96
2022,48
1747,24
4569,92
11388,00
x = (Σfi xi )/n = 1600/50 = 33,2
2
2
S = {Σf i (x i - x)}/(n-1) = 11388/(50 – 1) = 11338/49 = 231,388
S = √231,388 = 15,21
PENGUKURAN DISPERSI RELATIF
Coeficien Variasi (Coeficient of Variation) (V/CV)):
The ratio of the standard deviation to thearithmatic mean, expressed as a percent.
V(CV) =
S
x
x 100%
Coeficien Variasi Quartil (Vk):
Adalah Deviasi Kwartil dibagi Median
Q3 – Q1
Vk =
Q3 + Q1
PENGUKURAN KEMENCENGAN
SUATU DISTRIBUSI FREKUENSI
DISTRIBUSI SIMETRIS
Distribusi simetris, yang berarti luas kurva disebelah kiri nilai
rata-rata sama dengan luas kurva disebelah kanan nilai
rata-rata.
KEMENCENGAN
Curve A :
Skew ed Right
Curve B :
Skew ed Left
 Distribusi menceng ke kanan (Curve A): Nilai-nilai observasi berfrekwensi
rendah kebanyakan berada disebelah kanan nilai rata-rata.
 Distribusi menceng ke kiri (Curve B): Nilai-nilai observasi berfrekwensi
rendah kebih banyak berada disebelah kiri dari rata-rata (ekornya menjulur
ke kiri)
METODA PENGUKURAN KEMENCENGAN
Koefisien Karl Pearson:
Sk = ( x – mo)/s
Sk = Kemencengan
x
= Rata-rata
Mo = Modus
s
= deviasi standar
Catatan:
Jika Sk positif artinya distribusi frekwensi menceng ke kanan.
Jika Sk negatif artinya distribusi frekwensi menceng ke kiri.
Jika Sk = 0 artinya distribusi frekwensi simetris.
Hubungan Rata-rata Hitung, Median dan Modus
X - Mo = 3(X - Md)
Mo
= X – 3 (X – Md)
Sk
= (X – Mo)/s
Sk
=
X – {X – 3 (X – Md)}
s
Sk
=
3 (X – Md)}
s
X > Md > Mo
X < Md < Mo
Sk = ( x – mo)/s
X = Md = Mo
Contoh:
Hitung tingkat emencengan dari distribusi frekwensi berikut:
Upah/Jam
300 – 349
350 – 399
400 – 449
450 – 499
500 – 549
550 – 599
600 – 649
Jumlah Karyawan
68
142
100
60
40
20
10
440
Jawab:
1. Menghitung Median:
Letak Median = 440/2 =220
Upah/Jam
300 – 349
350 – 399
400 – 449
450 – 499
500 – 549
550 – 599
600 – 649
Jml Kary
x
68
142
100
60
40
20
10
324,5
374,5
424,5
474,5
524,5
574,5
624,5
440
2
fx
fk
(x – x)
22.066
53.179
42.450
28.470
20.980
11.490
6.245
68
210
310
370
410
430
440
9158,5
2088,5
18,5
2948,5
10878,5
2948,5
10878,5
184.880
Md = 399,5 +
Md = Lmd +
Fmd
x Ci
622778
296567
1850
176910
435139,6
58969,8
108785
1700999,4
Jawab:
1. Menghitung Median:
Letak Median = 440/2 =220
N/2 - Fk
2
f (x – x)
Md = 404,5
440/2 - 210
100
50
2. Menghitung Rata-rata:
X=
4. Menghitung Deviasi Standar
2
∑(fi.xi)
Deviasi Standar = √
n
Σ f i (x i – x )
n-1
X = (184.880)/440
S
= √ (1700999,4)/(440 -1)
S
= 62,25
X = 420,18
3. Menghitung Modus:
Mo = Lmo +
d1
x Ci
d1 + d2
5. Koefisien Karl Pearson:
Sk = ( x – mo)/s
74
50
Mo = 349,5 +
74 + 42
Mo = 381,39
Sk = (420,18 – 381,39)/62,25
Sk = 0,6231
Sk = 62,31%
Atau:
Sk
=
3 (X – Md)}
s
Sk = 3(420,18 – 404,5)/62,31
Sk = 75,56%
Hasil perhitungan berbeda, karena adanya perbedaan nilai antara Median dan
Modus. Apabila kita berkeyakinan bahwa Modus bukan merupakan ukuran
nilai sentral yang baik, sebaiknya kita menggunakan Median.
Catatan:
Semakin besar nilai koefisien Karl Pearson, semakin tinggi tingkat kemencengan
sebuah distribusi frekwensi (kurva).
Koefisien Bowley
Sk (Bowley) =
(Q3 - Q2) – (Q 2 - Q 1)
(Q 3- Q1)
Q1 = Kwartil ke 1
Q2 = Kwartil ke 2
Q3 = Kwartil ke 3
y
x
Q1 Q2 Q3
(Q3 - Q2) > (Q 2 - Q 1)
X>Y
Menceng ke kanan
Jika nilai Koefisien Bowley positif artinya
(Q3 - Q2) > (Q 2 - Q 1), maka distribusi
frekwensi menceng ke kanan. Sedangkan
apabila koefisien Bowley negatif artinya
(Q3 - Q2) < (Q 2 - Q 1) maka distribusi
frekwensi menceng ke kiri. Bila koefisien
Bowley = 0, artinya
(Q3 - Q2) = (Q 2 - Q 1) maka distribusi
frakwensi adalah simetris.
y
x
y
x
Q1 Q 2 Q 3
Q1 Q 2 Q 3
(Q3 - Q2) < (Q 2 - Q 1)
(Q3 - Q2) = (Q 2 - Q 1)
X<Y
Menceng ke kiri
X=Y
Simetris
Contoh:
Hitung tingkat emencengan dari distribusi frekwensi berikut menggunakan
rumus koefisien Bowley:
Upah/Jam
300 – 349
350 – 399
400 – 449
450 – 499
500 – 549
550 – 599
600 – 649
Jumlah Karyawan
68
142
100
60
40
20
10
440
Upah/Jam
Jml Kary
fk
68
142
100
60
40
20
10
68
210
310
370
410
430
440
300 – 349
350 – 399
400 – 449
450 – 499
500 – 549
550 – 599
600 – 649
Jawab:
1. Menghitung Quartile 1, 2 & 3 :
Letak Q1 =
440/4 =110
Letak Q2 = 2 (440)/4 = 220
Letak Q3 = 3 (440)/3 = 330
Qi = LQi +
[
(in/4) - fk
fQi
]x
Ci
440
3(440)/4 - 310
440/4 - 68
Q1 = 349,5 +
142
Q3 = 449,5 +
50
Q3 = 466,1
Q1 = 364,3
Q2 = 399,5 +
2(440)/4 - 210
100
Q2 = 404,5
50
60
50
Menghitung Koefisien Bowley:
Sk (Bowley) =
(Q3 - Q2) – (Q 2 - Q 1)
(Q 3- Q1)
(466,1 – 404,5 ) – (404,5 - 364,3)
Sk (Bowley) =
(466,1 - 364,3)
Sk (Bowley) = 21,02 %
Catatan:
Sk (Bowley) > +30% atau < -30%, menunjukkan
Menurut Bowley, apabila
bahwa distribusi frekwensi memiliki tingkat kemencengan yang tinggi.
ANGKA INDEKS
Angka Indeks: merupakan suatu metoda statistik untuk mengukur perubahan
atau mengadakan perbandingan antara variable-variable ekonomi dan
sosial dari waktu ke waktu.
Dalam menyusun angka indeks, nilai pada suatu periode dibandingkan dengan
nilai pada tahun dasar (base year). Angka indeks pada tahun dasar (base year)
selalu 100.
Tujuan penyusunan Angka Indeks adalah untuk memudahkan kita
membandingkan nilai-nilai observasi dari waktu ke waktu.
V
Rumus :
V
n
0
x 100
Dimana : V = Nilai tahun ke n
n
V0 = Nilai tahun Dasar
Contoh:
Tahun
1980
1981
1982
1983
1984
Harga Beras/Kg
250
300
300
400
500
Apabila tahun 1980 ditentukan sebagai
tahun dasar, hitung anka indeks tahun
1981,1982,1983, dan 1984.
Jawab:
I (1981) =
I (1982) =
I (1983) =
I (1984) =
(300)/(250) x 100 = 120
(300)/(250) x 100 = 120
(400)/(250) x 100 = 160
(500)/(250) x 100 = 200
1. Angka Indeks Sederhana.
Adalah angka indeks yang menyatakan perbandingan satu macam komoditi
Rumus :
I n=
Vn
V0
x 100
Dimana : V n = Nilai tahun ke - n
V 0 = Nilai tahun Dasar
I n = Angka Indeks Tahun ke – n
Contoh:
Harga komoditi susu selama 3 tahun adalah sebagai berikut:
Tahun
1989
1990
1991
Harga (Rp)
500
750
1000
Hitung Indeks Harga (IH) tahun 1990
dan 1991 dengan tahun 1989 sebagai
tahun dasar.
Jawab:
IH(1990) = (750)/(500) x 100 = 150
IH(1991) = (1000)/(500) x 100 = 200
2. Angka Indeks Agregatif
Adalah Angka Indeks yang menyatakan perbandingan sekelompok komoditi.
Rumus:
IA =
Σ Vn
∑ V0
x 100
Keterangan:
IA
= Angka Indeks Agregatif
Σ Vn = Jumlah nilai komoditi th ke-n
∑ V0 = Jumlah nilai komoditi th dasar
Contoh:
Komoditi Harga Th 89
Harga Th 90
Harga Th 91
Susu
Gula
Beras
500
200
300
750
400
150
1000
600
450
Jumlah
1000
1300
2050
Jawab:
IHA 90 = (1300)/(1000) x 100 = 130
IHA 91 = (2050)/(1000) x 100 = 205
3. Angka Indeks Agregatif Tertimbang
Rumus:
AIw =
AIw (Las Peyres) =
∑Vn x W
∑V0 x W
∑Vn x W 0
∑V0 x W 0
x 100
x 100
Dimana W adalah faktor
timbangan.
Rumus Angka Indeks
Agregatif Las Peyres
AIw (Paasche)
=
∑Vn x W n
∑V0 x W n
x 100
Rumus Angka Indeks
Agregatif Paasche
Note: Untuk menghitung Indeks Harga, Las Peyres menggunakan kuantitas
tahun dasar (W0) sebagai penimbang, sedangkan Paasche menggunakan
kuantitas tahun ke n (Wn) sebagai penimbang.
Contoh:
1989
Komoditi
1990
Harga(p) Jumlah(q)
1991
(p)
(q)
(p)
(q)
Susu
Gula
Beras
500
200
300
20
10
10
750
400
150
20
50
15
1000
600
450
40
60
30
Jumlah
1000
40
1300
85
2050
130
Jika tahun 1989 dijadikan tahun dasar, maka:
a. Hitung Indeks Harga Agregatif dengan metoda Laspayer.
b. Hitung Indeks Harga Agregatif dengan metoda Paasche.
Jawab:
a. Rumus Indeks Harga Agregatif Laspeyres & Paasche:
IH
IH
(Las Peyres)=
(Paasche)
=
∑pn x q0
∑p0 x q0
∑pn x qn
∑p0 x qn
x 100
x 100
Untuk tahun 1990, Indeks Harga:
IH(Laspeyres) =
Σp1990 x q1989
Σp1989 x q1989
x 100
IH(Paasche) =
Σp1990 x q1990
Σp1989 x q1990
x 100
p89
p90
500
200
300
750
400
150
q89
20
10
10
q90
20
50
15
p90xq89
15000
4000
1500
p89xq89
10000
2000
3000
20500
∑p90 x q89
IH90(Las Peyres)
=
IH90(Las Peyres)
= {(2050)/(15000)} x100
= 136,67
IH90(Paasche) =
IH90(Paasche)
∑p89 x q89
Σp1990 x q1990
Σp1989 x q1990
x 100
x 100
= {(37250)/(24500)} x100
= 152,04
15000
p90xq90
p89x q90
15000
20000
2250
10000
10000
4500
37250
24500
IH91(Laspeyres) =
=
Σp1991 x q1989
x 100
Σp1989 x q1989
(1000x20) + (600x10) + (450x10)
15000
x 100
= {(30500)/15000} x 100
IH91(Laspeyres) = 203,33
IH91(Paasche) =
=
IH91(Paasche)
Σp1991 x q1991
Σp1989 x q1991
x 100
{(1000x40) + (600x60) + (450x30)}
{(500x40) + (200x60) + (300x30)
= (89500)/(41000) x 100
= 218,29
x 100
Hasil selengkapnya:
Tahun
1989
1990
1991
IH Laspeyers
100
136,67
203,33
IH Paasche
100
152,04
218,29
Note:
1. Angka Indeks Laspeyres lebih banyak digunakan karena lebih praktis.
2. Angka Indeks Laspeyres menggunakan kuantitas tahun dasar sebagai
penimbang (tetap) sehingga hanya perubahan harga yang memperngaruhi
indeks.
3. Angka Indeks Paasche menggunakan kuantitas tahun ke-n sebagai
penimbang. Sehingga disamping dipengaruhi oleh perubahan harga, Angka
Indeks Harga Paasche tidak murni karena dipengaruhi juga oleh perubahan
kuantitas.
4. Kelemahan Angka Indeks Harga Paasche adalah karena untuk dapat
menghitung Angka Indek diperlukan waktu dan biaya untuk mengumpulkan
data kuantitas yang terakhir.
Selain digunakan untuk menghitung Angka Indeks Harga, rumus Las Peyres
dan Paasche dapat digunakan untuk menghitung Angka Indeks Kuantitas.
Rumus Angka Indeks Kuantitas Las Peyres:
IK
(Las Peyres) =
∑qn x p0
∑q0 x p0
x 100
Rumus Angka Indeks Kuantitas Paasche:
IK
(Paasche)
=
∑qn x pn
∑q0 x pn
x 100
Contoh:
1990
Komoditi
Harga
Daging
Roti
Cabai
100
200
20
IK
=
1991 (Las Peyres)
=
1991
Kuantitas
40
1
100
∑q91 x p90
∑q90 x p90
115
220
27
x 100
(50 x 100) + (1 x 200) + (90 x 20)
(40 x 100) + (1 x 200) + (100 x 20)
= 112,9
Harga
x 100
Kuantitas
50
1
90
IK1991 (Paasche)
=
=
∑q91 x p91
∑q90 x p91
x 100
(50 x 115) + (1 x 220) + (90 x 27)
(40 x 115) + (1 x 220) + (100 x 27)
= 117,7
x 100
Angka Indeks Fisher
AIw (Fisher) = √ (Angka Indeks Las Peyres x Angka Indeks Paasche)
AIw
(Fisher) =
√
∑pn x q0
∑p0 x q0
x
∑pn x qn
∑p0 x qn
Pengujian Matematis Angka Indeks.
Untuk mengetahui baik tidaknya rumusan Angka Indeks, dapat digunakan 2
cara pengujian:
a. Pengujia Pembalikan Waktu (Time Reversal Test)
b. Pengujian Pembalikan Faktor (Factor Reversal Tes)
a. Pengujian Pembalikan Waktu.
Suatu Angka Indeks adalah baik jika memenuhi kondisi:
(Angka Indeks 0,n) x (Angka Indeks n,0) = 1
Dimana:
Angka Indeks 0,n = Angka Indeks dengan periode 0 sebagai tahun dasar.
Angka Indeks n,0 = Angka Indeks dengan periode n sebagai tahun dasar.
Contoh:
Angka Indeks Las Peyers:
∑pn x q0
AI 0,n =
∑p0 x q0
(AI 0,n) x (AI n,0) =
AI n,0 =
∑pn x q0
∑p0 x q0
X
∑p0 x qn
∑pn x qn
∑p0 x qn
=/= 1
∑pn x qn
Angka Indeks Paasche:
AI 0,n =
∑pn x qn
AI n,0 =
∑p0 x qn
(AI 0,n) x (AI n,0) =
∑pn x qn
∑p0 x qn
X
∑p0 x q0
∑pn x q0
∑p0 x q0
∑pn x q0
=/= 1
Angka Indeks Fisher:
AI 0,n =
√
∑pn x q0
AI n,0 =
√
∑p0 x qn
(AI 0,n) x (AI n,0) =
√
∑p0 x q0
∑pn x qn
∑pn x q0
∑p0 x q0
x
x
x
∑pn x qn
∑p0 x qn
∑p0 x q0
∑pn x q0
∑pn x qn
∑p0 x qn
x
∑p0 x qn
∑pn x qn
x
Kesimpulan: Hanya Rumus Fisher yang memenuhi syarat.
∑p0 x q0
∑pn x q0
=1
b. Pengujian Pembalikan Faktor
Suati rumusan Angka Indeksbaik jika memenuhi kondisi:
Bila faktor p dan q pada suatu rumus Angka Indeks dipertukarkan sehingga
diperoleh rumus baru, maka hsil perkalian rumus baru dengan rumus lama
Σpn . qn
harus sama dengan :
Σp0 . q0.
Indeks Las peyers
AI =
∑pn x q0
∑p0 x q0
∑pn x q0
∑p0 x q0
AI setelah pembalikan faktor =
;
x
Σpn . qn
∑qn x p0
∑q0 x p0
=/=
Σp0 . q0.
∑qn x p0
∑q0 x p0
Indeks Paasche
AI =
∑pn x qn
∑p0 x qn
∑pn x qn
∑p0 x qn
AI setelah pembalikan faktor =
;
x
Σpn . qn
∑qn x pn
=/=
∑q0 x pn
Σp0 . q0.
Indeks Fisher
AI =
√
∑pn x q0
∑p0 x q0
x
∑pn x qn
∑p0 x qn
AI setelah pembalikan faktor:
√
∑qn x p0
∑q0 x p0
x
∑qn x pn
∑q0 x pn
∑qn x pn
∑q0 x pn
√
=
∑pn x q0
∑p0 x q0
x
∑pn x qn
∑p0 x qn
X
√
∑qn x p0
∑q0 x p0
x
∑qn x pn
∑q0 x pn
∑pn x qn
∑p0 x q0
Kesimpulan: Hanya Rumus Fisher yang memenuhi syarat.
Karena melalui dua cara pengujian ini hanya Indeks Fisher yang memenuhi
syarat,maka Angka Indeks Fisher disebut angka indeks yang ideal (Fisher
Ideal Index)
Perubahan Tahun dasar Angka Indeks.
Perubahan tahun dasar Angka Indeks dilakukan dengan 2 tujuan:
a. Untuk memudahkan dalam membandingkan dua kelompok angka
indeks yang tidak samatahun dasarnya.
b. Untuk memperbaharui tahun dasar yang sudah terlalu jauh dari tahun
sekarang.
Contoh:
Angka Indeks harga mobil
dengan tahun dasar 1985.
Tahun
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
Angka Indeks
100
110
120
120
130
150
160
200
Angka Indeks harga rumah
dengan tahun dasar 1990.
Tahun
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
Angka Indeks
40
50
60
80
90
100
120
150
Agar kita dapat membandingkan perubahan harga mobi dan garga rumah,
kita harus menyamakan tahun dasar kedua Angka Indekstersebut di atas.
Dalam contoh ini kita harus merubah tahundasar Angka Indeks harga mobil
dari tahun 1985 ke tahun 1990 dengan menggunakan rumus sbb.:
A.In =
Tahun
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
AI tahun ke n
AI tahun dasar yang baru
AI Harga Mobil (Th Dasar 1990)
(100/150)x100 = 66,67
(110/150)x100 = 73,33
(120/150)x100 = 80
(120/150)x100 = 80
(130/150)x100 = 86,67
(150/150)x100 = 100
(160/150)x100 = 106,67
(200/150)x100 = 133,33
x 100
Dengan menyamakan tahun dasar, maka kita dapat membandingkan
perubahan harga mobil dan harga rumah menggunakan Angka Indeks
seperti dibawah ini:
Tahun
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
AI Harga Mobil
66,67
73,33
80,00
80,00
86,67
100,00
106,67
133,33
AI Harga Rumah
40,00
50,00
60,00
80,00
90,00
100,00
120,00
150,00
Kesimpulan:
Harga rumah lebih cepat berubah (naik) jika dibandingkan dengan
harga mobil.
TIME SERIES
(DERET BERKALA)
Time Series:
Suatu rangkaian atau seri dari nilai-nilai suatu variabel yang dicatat dalam
jangka waktu yang berurutan.
Komponen Time Series.
Trend (T)
Variasi Musim (V)
Variasi Sikli (S)
Irregular atau Random (R)
Time Series merupakan hasil perkalian dari T, V, S, dan R
Time Series = T x V x S x R
1. Trend
Trend merupakan gerakan jangka panjang yang mempunyai kecenderungan
menuju pada satu arah, yaitu naik dan turun.
Contoh:
Tahun
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
Triwulan 1 Triwulan 2 Triwulan 3 Triwulan 4
187
198
274
233
207
237
282
375
373
243
263
363
273
295
367
425
430
423
209
270
295
240
239
300
383
392
387
291
297
335
290
316
430
478
560
433
Data dalam tabel di atas dapat disajikan dalam gambar sebagai berikut:
PENJUALAN MOBIL
JUMLAH PENJUALAN
600
500
400
Series1
300
Series2
200
100
0
1
1983
4
7
1984
10 13 16 19 22 25 28 31 34
1985 1986
1987 1988
TAHUN
1989 1990
1991
Triwulan
Pada gambargrafik dapat ditarik garis Trend seperti berikut:
PENJUALAN MOBIL
JUMLAH PENJUALAN
600
Long Term Trend
500
400
Series1
300
Series2
200
100
0
1
1983
4
7
1984
10 13 16 19 22 25 28 31 34
1985 1986
1987 1988
TAHUN
1989 1990
1991
2. Variasi Musim.
Adalah gerakan jangka pendek (kurang dari satu tahun) yang berulang
secara teratur dari tahun ke tahun
Contoh:
Penjualan pakaian naik setiap menjelang lebaran
Penjualan buku naik setiap tahun ajaran baru.
JUMLAH PENJUALAN
VARIASI MUSIM
1985
1000
800
1984
600
Series3
Series2
400
1983
200
0
1
2
3
TRIWULAN
4
Series1
3. Sikli
Adalah suatu gerakan jangka panjang yang memiliki unsur siklus, yaitu
perluasan (expansion), puncak (peak), kemunduran (contraction) dan
depresi (trough).
JUMLAH PENJUALAN
PENJUALAN MOBIL
100
Long term Trend
80
Peak
60
20
Series1
Expansion
40
Contraction
Trough
0
1
3
5
7
9
11 13
TAHUN
15 17
4. Random
Random atau irregular adalah gerakan yang bersifat acak atau tidak beraturan
sehingga tidak dapat diprediksi sebelumnya. Contoh, naiknya harga minyak
karena perang teluk, naiknya harga gabah karena gagal panen, dsb.
TREND LINEAR DENGAN METODA LEAST SQUARE
Trend jangka panjang dari berbagai data bisnis sering diperkirakan menggunakan
persamaan garis lurus sebagai berikut:
Ŷ = a + bx
Dimana:
Ŷ(baca Y prime) = nilai proyeksi variable Y untuk nilai x tertentu.
a = konstanta, nilai Y apabila x = 0
b = slope, menunjukkan berapa satuan Y apabila x berubah satu unit.
PENJUALAN KENDARAAN
Garis Trend
50
VOLUME
40
30
Series1
20
10
0
0
5
TAHUN
10
Proyeksi nilai penjualan yang digambarkan dengan Garis Trend, memiliki
perbedaan (selisih) bila dibandingkan dengan nilai aktualnya.Besar perbedaan
atau deviasi adalah (Y –Ŷ). Trend yang baik adalah yang memiliki deviasi yang
terkecil. Semakin kecil deviasinya berarti trend tersebut semakin representatif.
Metoda selisih kuadrat terkecil Least Square Method merupakan metoda
menghitung persamaan
trend linear yang menghasilkan selisih atau deviasi
2
kuadrat (Y – Ŷ) terkecil.
Dengan menggunakan Least Square Method, nilai a dan b pada persamaan
trend linear dapat dihitung dengan rumus sbb.:
ΣY
a=
Dimana:
n
Σ XY
b=
ΣX
2
ΣY = Jumlah penjualan aktual
n = Jumlah tahun dalam data
ΣXY = Jumlah perkalian variabel X dan Y
2
ΣX = Jumlah kuadrat dari variabel X
Varabel X adalah waktu (misal tahun 1999,2000, 2001, dst.). Untuk
menyederhanakan perhitungan, variaable waktu tidak dinyatakan dalam
tahun, akan tetapi dalam kode seperti 1, 2, 3, dst.
Contoh:
Untuk data genap
Untuk data ganjil
Tahun
Koding
Tahun
Koding
1980
1981
1982
1983
1984
-2
-1
0
1
2
1980
1981
1982
1983
1984
1985
-5
-3
-1
1
3
5
Note: Tahun yang terletak ditengah (1982)
diberi koding 0. Jarak antar tahun ± 1
0
Note: Kode 0 diletakkan diantar 2 tahun
yang ditengah (1982 dan 1983. Jarak
antar tahun ± 2
Contoh:
Volume penjualan PT. X selama 5 tahun adalah sebagai berikut:
Tahun
1985
1986
1987
1988
1989
Penjualan (ribu Unit)
7
10
9
11
13
a. Buatlah persamaan garis trend linear menggunakan metoda Least Square
b. Hitung proyeksi penjualan selama 1985 – 1989 menggunakan persamaan
garis trend linear
c. Buatlah ramalan penjualan untuk tahun 1990 dan tahun 1991
Jawab:
Tahun
Penjualan (Y)
1985
1986
1987
1988
1989
7
10
9
11
13
2
X
XY
X
-2
-1
0
1
2
-14
-10
0
11
26
4
1
0
1
4
13
10
50
Menghitung a dan b:
ΣY
a=
n
a = (50)/5 = 10
Σ XY
b=
ΣX
2
b = (13)/10 = 1,3
Ŷ = 10 + 1,3X
a. Persamaan garis trendnya adalah : Ŷ = 10 + 1,3X
b. Proyeksi penjualan
Tahun
X
1985
1986
1987
1988
1989
-2
-1
0
1
2
Proyeksi Penjualan
Ŷ = 10 + 1,3 (-2) = 7,4
Ŷ = 10 + 1,3 (-1) = 8,7
Ŷ = 10 + 1,3 (0) = 10
Ŷ = 10 + 1,3 (1) = 11,3
Ŷ = 10 + 1,3 (2) = 12,6
c. Penjualan tahun 1990 (X =3) dan tahun 1991 (X = 4)
Ŷ1990 = 10 + 1,3 (3)
= 13,9 (ribu unit)
Ŷ1991 = 10 + 1,3 (4)
= 15,2 (ribu unit)
Data penjualan PT Y selama 6 tahun (dlm juta unit)
Tahun
1985
1986
1987
1988
1989
1990
Penjualan (Y)
2
4
3
6
5
10
Pertanyaan:
a. Buatlah persamaan trend linear dengan menggunakan metoda least square.
b. Hitung proyeksi penjualan menurut persamaan trend linear.
c. Buat ramalan penjualan tengan tahun 1991 dan awal 1992.
Jawab:
Tahun
Penjualan (Y)
1985
1986
1987
1988
1989
1990
2
4
3
6
5
10
2
X
XY
X
-5
-3
-1
1
3
5
-10
-12
-3
6
15
50
25
9
1
1
9
25
46
70
30
a. Persamaan garis trend:
ΣY
a=
Σ XY
b=
n
a = (30)/6 = 5
ΣX
2
b = (46)/70 = 0,657
Ŷ = 5 + 0,657X
a. Persamaan garis trend : Ŷ = 5 + 0,657X
b. Proyeksi berdasarkan trend:
Tahun
X
1985
1986
1987
1988
1989
1990
-5
-3
1
1
3
5
Proyeksi Penjualan
Ŷ = 5 + 0,657 (-5) = 1,715
Ŷ = 5 + 0,657 (-3) = 3,029
Ŷ = 5 + 0,657 (-1) = 4,343
Ŷ = 5 + 0,657 (1) = 5,657
Ŷ = 5 + 0,657 (3) = 6,971
Ŷ = 5 + 0,657 (5) = 8,285
c. Ramalan penjualan untuk pertengahan tahun 1991 (x = 7)
Ŷ = 5 + 0,657(7) = 9,599
Ramalan penjualan awal tahun 1992 (x = 7 + 1 = 8)
Ŷ = 5 + 0,657(8) = 10,256
Merubah tahun dasar Trend
Tahun dasar trend yang sudah terlalu jauhdapat diubah. Perubahan tahun
dasar tidak berpengaruh pada nilai slope (b), akan tetepi berpengaruh
pada nilai konstanta (a).
Contoh:
Diketahui persamaan trend Ŷ = 15 + 1,7X dengan tahun dasar 1983
(tahun 1983 x = 0). Kita ingin mengubah tahun dasar menjadi tahun 1985,
maka:
a = nilai Ŷ pada tahun dasar baru
Nilai (X) untuk tahun dasar yang baru (1985) = 2
a = Ŷ = 15 + 1,7 (2)
a = 18,4
b tetap = 1,7
Jadi, persamaan trend yang baru (dengan tahun dasar 1985) menjadi:
Ŷ = 18,4 + 1,7X
Nilai X untuk masing-masing tahun berubah menjadi sbb.:
Tahun
X lama (1983 = 0)
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Xbaru(1985=0)
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Sehingga, kalau kota akan menghitung nilai trend tahun 1986:
Dengan rumus lama:
Ŷ = 15 + 1,7X
Ŷ = 15 + 1,7(3) = 20,1
Dengan rumus baru:
Ŷ = 18,4 + 1,7X
Ŷ = 18,4 + 1,7(1) =20,1
Merubah Periode.
Periode tren dapat dirubah dati tahunan menjadi a) bulanan, b) kwartalan
c) rata-rata bulanan dan d) rata-rata kwartalan
a. Trend Rata-rata Bulanan
Untuk mengubah trend rata-rata tahunan menjadi trand rata-rata bulanan:
a dan b dibagi 12, atau:
Ŷ = a/12 + b/12 U
Contoh:
Diketahui trend tahunan Ŷ = 120 + 24 X, dengan tahun dasar 1982
Trend rata-rata bulanan menjadi:
Ŷ = (120)/12 + (24)/12 U
Ŷ = 12 + 2 U
b. Trend rata-rata kwartalan.
Untuk mengubah trend tahuna menjadi trend rata-rata kwartalan:
a dan b dibagi 4, atau
Ŷ = a/4 + b/4 U
c. Trend Bulanan
Trend bulana tidak sama dengan trend rata-rata bukanan. Pada trend
rata-rata bulanan, nilai Y untuk setiap bulan dianggap sama, sedangkan
pada trend bulanan nilainya berbeda. Untuk mengubah trend tahunan
menjadi trend bulanan:
2
a dibagi 12 dan b dibagi (12)
Koding berubah menjadi U, dimana 1 X = 12 U
Ŷ=
a
12
+
b
12
2
U
Contoh:
Ŷ = 120 + 24 X , tahun dasar tengah tahun 1982
Jika dirubah menjadi trend bulanan, menjadi:
2
Ŷ = (120)/12 + (24)/(12) U
Ŷ = 10 + 0,167 U
Selanjutnya koding berubah menjadi:
Untuk tahun 1982, koding tengah Juli adalah U = ½, tengah Agustus = 1½,
sedangjan untuk tengah Juni = - ½, dan tengah Mei = - 1½, dan seterusnya.
Trend bulan Desember 1982 (U = 5½)
Ŷ = 10 + 0,167 (5½) = 10,91
Tahun 1982
Bulan
(U)
Januari
Februari
Maret
April
Mei
Juni
Juli
Agustus
September
Oktober
November
Desember
-5½
-4½
-3½
-2½
-1½
-½
+½
1½
2½
3½
4½
5½
U=0
d. Trend Kwartalan.
Untuk merubah trend tahunan menjadi trend kwartalan:
a dibagi 4 dan b dibagi (4),2 atau:
a
Ŷ=
4
+
b
42
U
Contoh:
Ŷ = 120 + 24 X
Diubah menjadi trend kwartalan:
2
Ŷ = 120/4 + 24/4 (U)
Ŷ = 30 + 1,5 (U)
Untuk tahun 1982: Tengah kwartal I, U = -1,5
Tengah kwartal II, U = -0,5
Tengah kwartal III, U = 0,5
Tengah kwartal IV, U = 1,5
U=0
Trend kwartal III 1982
Ŷ = 30 + 1,5 (U)
U = 0,5
Ŷ = 30 + 1,5 (0,5)
= 30,75
Trend kwartal IV 1982
Ŷ = 30 + 1,5 (U)
U = 1,5
Ŷ = 30 + 1,5 (1,5)
= 32,25
Trend kwartal I 1983
Ŷ = 30 + 1,5 (U)
U = 2,5
Ŷ = 30 + 1,5 (2,5)
= 33,75
Ada 2 cara mencari trend kwartalan:
1. Berdasarkan data tahunan dihitung trend tahunan, kemudian diubah
menjadi trend kwartalan.
2. Menghitung langsung trend kwartalan berdasarkan data kwartalan.
Catatan: Jika data yang dianalisis cukup banyak, hasil dari kedua cara
tersebut tidak banyak berbeda. Akan tetapi, jika jumlah data
yang dianalisis terbatas, maka perbedaan hasilnyanya cukup
nyata.
5. Trend Non Linear
Adalah garis trend yang tidak linear, misalnya trend kuadratik dan trend
exponential.
2
4
2
(Σ Y)(ΣX ) – (Σ X Y)(Σ X )
a. Trend Kuadratik
a=
;
4
2 2
nΣX - (ΣX )
2
b = (Σ XY)/ ΣX
Yt = a + b.X + c.X
2
2
n(ΣX Y) – (ΣX )(ΣY)
c=
;
4
2 2
nΣX - (ΣX )
Nilai
Nilai
Bentuk-bentuk trend kuadratik
t
Naik dengan jumlah yang menurun
t
Naik dengan jumlah yang semakin menaik
2
Nilai
Nilai
t
Turun dengan jumlah yang menurun
Turun dengan jumlah yang semakin meningat
t
Contoh:
Data penjualan mie instant merek “X” selama 11 tahun adalah sbb.: (dlm jutaan)
Tahun
1989
1990
1991
1992
1993
1994
Penjualan
93
91
96
89
90
82
Tahun
1995
1996
1997
1998
1999
Penjualan
88
86
87
94
92
Tabel Perhitungan:
Tahun
Unit Penj (Y)
X
XY
X2
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
93
91
96
89
90
82
88
86
87
94
92
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
- 465
- 364
- 288
- 178
- 90
0
88
172
261
376
460
25
16
9
4
1
0
1
4
9
16
25
Jumlah
989
-28
110
X 2Y
2325
1456
864
356
90
0
88
344
783
1504
2300
10110
X
4
625
256
81
16
1
0
1
16
81
256
625
1958
2
Σ Y = 989
Σ X = 110
2
Σ X Y = 10110
2
(Σ Y)(ΣX ) – (Σ X Y)(Σ X )
a=
4
2 2
b = (Σ XY)/ ΣX
;
nΣX - (ΣX )
a=
= 1958
2
Σ XY = - 28
4
ΣX
4
b = (28)/ (110)
(989)(1958) – (10110)(110)
11(1958) – (110)
2
b = 0,2545
2
2
2
n(ΣX Y) – (ΣX )(ΣY)
c=
a = [(1936462) – (1112100)]/[(21538 – 12100
4
2 2
nΣX - (ΣX )
a = (824362)/(9438)
a = 87,34
11(10110) – (110)(989)
c=
11(1958) – (110)
c = 0,2564
2
;
Maka persamaam Trend Kuadratik adalah:
Yt = 87,34 + 0,2545 X + 0,2564 X
2
(Dengan tahun dasar 1994)
Berapa trend penjualan untuk tahun 1997 dan 1999?
Untuk tahun 1997, X = 3
Y’97 = 87,34 + 0,2545 (3) + 0,2564 (9)
Y’97 = 90,4111
Untuk tahun 1999, X = 5
Y’99 = 87,34 + 0,2545 (5) + 0,2564 (25)
Y’99 = 96,9750
Trend Eksponential:
Yt = a . bx
Atau:
Ln Yt = Ln a + X Ln b
Dimana: Ln adalah logaritma bilangan alam e-log
Untuk mencari a dan b digunakan rumus:
a = anti Ln
Σ Ln Y
n
b = anti Ln
Σ (X Ln Y)
ΣX
2
Contoh:
Tahun
Koding (X)
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
Jumlah
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
2
Penjualan (Y)
Ln Y
X Ln Y
X
210
250
260
240
300
310
330
380
470
530
560
5,3471
5,5215
5,5607
5.4806
5,7037
5,7365
5,7991
5,9401
6,1527
6,2728
6,3279
-26,7355
-22,0858
-16,6820
-10,9613
-5,7037
0
5,7991
11,8803
18,4582
25,0915
31,6397
25
16
9
4
1
0
1
4
9
16
25
63,8431
10,7004
110
a = anti Ln
Σ Ln Y
b = anti Ln
n
a = anti Ln
Σ (X Ln Y)
2
63,8431
b = anti Ln
11
ΣX
10,7004
110
a = 331,6
b = 1,1022
Persamaan trend eksponensial adalah:
Yt = (331,6) (1,022)
x
Kriteria Memilih Trend
Untuk memilih trend mana yang sebaiknya digunakan ada 3 cara:
1. Menganalisis grafik data atau scatter-plot
Jika data observasi menunjukkan gejala linear, kita sebaiknya menggunakan
trend linear.Jika data observasi menunjukkan ciri-ciri bentuk kuadratik,
gunakan trend kuadratik.
*
* ** *
* ** *
*
*
* *
* *
Cenderung Linear
***
*
*
****
*
**
*
**
Cenderung Kuadratik
*
*
**
***
*
*
*
*
****
Cenderung Eksponensial
2. Menganalisa Selisih Data.
Jika selisih pertama data observasi cenderung konstant, gunakan trend linear.
Contoh:
Y
Selisih Pertama
10
10
20
9
29
10
39
11
50
10
60
Jika selisih kedua dari data observasi cenderung konstant, gunakan
trend kuadratik>
Contoh:
Y
Selisih Pertama
Selisih Kedua
10
10
20
5
15
35
5
20
55
5
25
80
5
30
110
5
35
145
Jika selisih pertama dari nilai logaritma data observasi cenderung konstant,
gunakan trend exponensial.
Contoh:
Y
Log Y
10
1
Selisih Pertama
0,176
15
1,176
0,222
25
1,398
0,204
40
1,602
0,301
80
1,903
0,273
150
2,176
0,125
200
3. Menghitung Mean Square Error (MSE).
Hitung MSE untuk setiap jenis trend, dan pilih garis trend yang memberikan
MSE terkecil.
Σ (Yi – Ŷi)
2
MSE =
n
Dimana: Yi = observasi aktual petiode I
Ŷi = nilai trend periode I
n = jumlah observasi.
e
Yi
{{
Ŷi
* Yi – Ŷi e {
*
{
*
Yi – Ŷi
Yi – Ŷi
6. Variasi Musim
Alasan mempelajari variasi musim:
a. Kita bisa membuat pola perubahan dimasa lalu
b. Kita dapat memproyeksikan kondisi dimasa mendatang menggunakan
pola masa lalu
c. Kita dapat menghilangkan efek musim dari time series.
Variasi musim diukur dengan Indeks Musim (Seasonal Index)
Cara menghitung Indeks Musim
1) Metoda Rata-Rata
Tahun
TRW I
TRW II
TRW III
TRW IV
1999
2000
2001
2002
29932
250
290
310
305
330
290
270
480
360
440
260
340
325
340
410
310
410
380
385
450
1485
1840
1675
1935
Jml
Total
Rata2 Trw
6935
297
368
335
Rata2 Total
Index Trw
387
346,75
85,7
Jml Indeks Musim
106,1
96,6
111,6
400
Keterangan:
1)
2)
3)
4)
Total = 1485 + 1840 + 1675 + 1935 = 6935
Rata2 Trw
= Jumlah setiap triwulan dibagi jumlah tahun (5)
Rata2 Total = Jumlah rata2 trw dibagi 4 = 1387/4 =346,75
Indeks trw
= Rata2 trw dibagi rata2 total.
Trw I = 85,7; Trw II = 106,1; Trw III = 96,6; Trw IV = 111,6
5) Jml Indeks Musim = 85,7 + 106,1 + 96,6 + 111,6 = 400
Catatan: Metoda rata-rata ini sangat tepat digunakan untuk data deret berkala
(time series) yang tidak memiliki variasi pada trend atau variaso siklus.
2) Metoda Ratio to Moving Average
Time Series
(T,S,V,R)
Hilangkan V,R
dengan rrata-rata
bergerak. Sisanya
T, S
Hilangkan R
dengan rata-rata
V,R. Sisanya
adalah V
Bagi time series
dengan T,S
(T,S,V,R)/(T,S) =V,R
Contoh:
Mencari Indeks Musim untuk data triwulanan sebagai berikut:
(Data Penjualan dari tahun: 1988 – 1992)
Tahun
Trw I
Trw II
Trw III
Trw IV
1988
1989
1990
1991
1992
125
130
138
149
163
125
130
138
149
114
90
95
98
102
112
140
146
150
159
186
Penyelesaian: Langkah I: Mencari Nilai V x R ( V= Variasi Musim& R = Random)
Tahun
Trw
Penjualan
1988
I
125
2
87
3
90
Mov. Tot.
(4Trw)
442
4
1989
1
111,75
451
112,75
456
114
140
130
2
91
3
95
4
146
470
1
2
4
150
475
118,75
478
119,75
482
120,5
493
502
111,125
80,99
112,25
124,72
113,375
114,66
114,75
79,30
116,5
81,55
118,125
123,60
119,25
115,72
120,5
79,92
123,25
80,41
124,375
120,60
117,5
96
98
Persentase Thd
Mov Av
115,5
138
3
Mov Av
yg dipstkan
110,5
447
462
1990
Mov Av.
(4Trw)
123,25
125,5
Penyelesaian: Mencari Nilai V x R ( V= Variasi Musim& R = Random)
Tahun
Trw
Penjualan
1991
I
149
2
105
3
102
Mov. Tot.
(4Trw)
506
515
4
1992
1
Mov Av.
(4Trw)
3
112
529
132,25
538
134,5
548
137
4
186
575
126
118,25
127,625
82,27
130,5
78,16
133,375
119,21
1135,75
120,07
140,375
81,21
128,75
163
114
Persentase Thd
Mov Av
126,5
159
2
Mov Av
yg dipstkan
143,75
Keterangan:
Kolom (4) Moving Total: Jumlah bergerak 4 trw yang berurutan.
442 merupakan penjumlahan angka penjualan trw I s.d trw IV 1988 (125 + 87 + 90 + 140)
447 merupakan penjumlahan anglka penjualan trw II s,d trw IV 1988 dan trw I 1999 ( 87 +
90 + 140 + 130).
Kolom (5) Moving Average: diperoleh dengan cara membagi Moving Total dengan 4.
Contoh: 110,5 diperoleh dari 442/4
111,75 diperoleh dari 447/4
Kolom (6) Moving Average yang dipusatkan diperoleh dengan cara membagi 2 jumlah
nilai moving average yang berurutan.
Contoh: 111,125 diperoleh dari (110,50 + 111,75)/2
112,25 diperoleh dari (111,75 + 112,75)/2
Nilai kolom (6) ini adalah nilai T x S atau deret berkala yang telah dihilangkan unsur
musiman (V) dan random (R).
Kolom (7) Prosentase terhadap Moving Average, diperoleh dengan cara membagi nilai
aktual dengan nilai rata-rata bergerak yang dipusatkan.
Contoh: 80,99 diperoleh dari 90/111,125
124,72 diperoleh dari 140/112,25
Nilai kolom (7) adalah nilai V x R. Ingat bahwa kolom (3) dibagi kolom (6) adalah:
(T.S.V.R)/(T.S) = V.R
Langkah II: Menghilangkan unsur Random dari nilai V.R. Caranya dengan
menjumlahkan nilai V.R. untuk masing-masing triwulan kemudian dihitung
rata-ratanya. Hasilnya adalah nilai V (variasi musim)
Tahun
triwulan 1
triwulan 2
triwulan 3
triwulan 4
1988
1989
1990
1991
1992
114,66
115,84
118,25
120,07
79,30
80
82,27
81,21
80,99
81,55
80,41
78,16
-
124,72
123,60
120,60
119,21
-
80,605
80,70
122,10
Rata-rata V 117,045
Langkah III: Mencari Indeks Musim dengan rumus:
Indeks Musim =
Vi
Σ Vi
x jml indeks musim
Catatan: Jumlah Indeks Musim = 400
Triwulan
Variasi Musim
I
II
III
IV
117,045
80,605
80,70
122,10
Jumlah
400,45
Indeks Musim
(117,045/400,45) x 400 = 116,91
(80,605/400,45) x 400 = 80,51
(80,70/400,45) x 400 = 80,61
(122,10/400.45) x 400 = 121,96
Catatan:
Metoda Ratio to Moving Average ini merupakan metoda yang paling sering digunakan
untuk menghitung angka indeks musim. Metoda ini memberikan indeks musim yang
berharga untuk data dengan variasi trend dan sikli yang kuat.
Angka Indeks Musim digunakan untuk menghilangkan efek unsur musim dari suatu deret
berkala. Proses ini disebut deseasonalizing suatu time series.
Karena deret berkala adalah TxVxSxR, untuk menghilangkan unsur musim, kita harus
membagi deret berkala dengan indeks musimnya (indeks musim terlebih dahulu dibagi 100)
Contoh:
Tahun
Trw
Penjualan
2001
I
II
III
IV
1861
2203
2415
1908
Indeks Musim
100
(91,6)/100
(106,7)/100
(110,9)/100
(90,9)/100
Penjualan tanpa
efek musim
2032
2065
2178
2099
Proses kebalikan dari deseasonalizing juga dapat dilakukan. Jika kita telah
memprediksi penjualan dimasa mendatang yang belum dipengaruhi faktor
musiman. Untuk memasukkan faktor muasiman, kita cukup mengalikan nilai
trend (tanpa unsur musiman) dengan angka indeks yang telah dibagi 100.
Contoh:
Triwulan
I
II
III
IV
Prediksi Penjualan
(tanpa unsur musim)
100
150
125
200
Indeks Musim
100
1,05
1,10
0,90
1,20
Prediksi
Penjualan
105
165
112,5
240
Variasi Sikli
Adalah komponen deret berkala yang cenderung berada di atas dan dibawah
garis trend untuk periode lebih dari satu tahun. Prosedur yang biasa dipakai
untuk mengidentivikasi variasi sikli adalah metoda residual.
Langkah-langkah Metoda Residual.
(1) Mencari Nilai Trend (Ŷ)
(2) Membandingkan Nilai Trend dengan nilai aktual (Y) atau mencari
presentase dari Trend.
Presentase dari Trend =
Y
Ŷ
x 100
Contoh:
Periode
90
91
92
93
94
95
96
Y (aktual)
75
78
82
82
84
85
87
Ŷ (trend)
Y x 100
---Ŷ
76
78
80
82
84
86
88
98,7
100
102,5
100
100
98,8
98,8
Keterangan:
Angka 98,7 menunjukkan bahwa pada tahun 1990, penjualan aktual hanya 98,7 %
dari penjualan menurut garis trend.
Angka 100 menunjukkan bahwa pada tahun 1991, penjualan aktual sama dengan
penjualan menurut garis trend.
Selain menghitung presentase dari trend, kita juga dapat melihat variasi sikli
dengan menghitung sisa siklus relatif (relative syclucal residual) sebagai berikut:
Relative Sycklical Residual =
Y-Ŷ
Ŷ
x 100
Contoh:
Periode
90
91
92
93
94
95
96
Y (aktual)
75
78
82
82
84
85
87
Ŷ (trend)
76
78
80
82
84
86
88
Y-Ŷ
------ x 100
Ŷ
- 1,3
0
2,5
0
0
-1,2
-1,1
PERSENTASE TREND
103
INDEKS
102
101
100
Series1
99
98
97
96
1
2
3
4
5
6
7
TAHUN KE
Catatan :
Pada umumnya variasi sikli merupakan gerakan yang relatif tidak teratur
dibanding dengan gerak trend dan variasi musim. Oleh sebab itu, variasi
sikli jarang digunakan dalam suatu peramalan. Demikian juga dengan
gerakan random yang tidak mungkin diprediksi.
Peramalan dengan Time Series
Langkah-langkah melakukan peramalan dengan mengabaikan unsur sikli dan
random:
Time Series
Menghitung
Indeks Musim
Menghitung Unsur
Musiman dari
Time Series
Memprediksi
Trend
Memasukkan
UnsurMusiman
dariTime Series
Contoh:
Buatlah peramalan untuk penjualan PT “X” triwulan I,II,III,IV tahun 1984 menggunakan
metoda time series dan data historis sebagai berikut:
Tahun
1979
1980
1981
1982
1983
Triwulan I
16
15
17
17
18
II
21
20
24
25
26
III
9
10
13
11
14
IV
18
18
22
21
25
1. Menghitung Indeks Musim dengan metoda Ratio to Moving Average.
Tahun
Triw I
II
III
1979
1980
1981
1982
1983
96
96,5
89,5
92,9
127
129,7
134,2
128,4
56,7
62,5
68,4
59,1
-
Rata-rata
Jml Rata 2
(Jml Rata2)/4
Indeks Musim
94,45
129,05
60,8
95,1
129,9
61,2
IV
115,2
107,5
115
113,3
-
Catatan:
Indeks Musim = rata-rata triwulan dibagi rata-rata total
Contoh:
Indeks Musim Triwulan I = (94,45)/99,36 = 95,1.
113,15
397,45
99,36
113,9
Menghilangkan unsur musiman dari Time Series
Tahun
Trw
1979
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV
1980
1981
1982
1983
Penjualan
16
21
9
18
15
20
10
18
17
24
13
22
17
25
11
21
18
26
14
25
(Indeks Musim)/100
0,951
1,299
0,612
1,139
0,951
1,299
0,612
1,139
0,951
1,299
0,612
1,139
0,951
1,299
0,612
1,139
0,951
1,299
0,612
1,139
Penj. tanpa
pengaruh musim
16/0,951 = 16,8
16,2
14,7
15,8
15,8
20/1,229 = 15,4
16,3
15,8
17/0,951 = 17,9
18,5
21,2
19,3
17/0,951 = 17,9
19,2
18
18,4
18/0,951 = 18,9
20
22,9
21,9
Membuat Persamaan Garis Trend
Tahun
Trw
1979
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV
1980
1981
1982
1983
Penjualan
16,8
16,2
14,7
15,8
15,8
15,4
16,3
15,8
17,9
18,5
21,2
19,3
17,9
19,2
18
18,4
18,9
20
22,9
21,9
360,9
X
-19
-17
-15
-13
-11
-9
-7
-5
-3
-1
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
XY
X
2
-319,2
-275,4
-220,5
-205,4
-173,8
-138,6
-114,1
-79
-53,7
-18,5
21,2
57,9
89,5
134,4
162
202,4
245,76
300
289,3
416,1
361
289
225
169
121
81
49
25
9
1
1
9
25
49
81
121
169
225
289
361
420,5
2660
a = (Σ Y) /n = (360,9) /20 = 18
Σ XY
b=
ΣX
2
= (420,5) / 2660 = 0,16
Y = 18 + 0,16 X
Maka :
Dengan tahun dasar tengah tahun 1981.
Melakukan Peramalan:
1. Peramalah tanpa memasukkan unsur musiman:
1984 Trw I: Y = 18 + (0,16) (21) = 21,36
1984 Trw II: Y = 18 + (0,16) (23) = 21,68
1984 Trw III: Y = 18 + (0,16) (25) = 22
1984 Trw IV: Y = 18 + (0,16) (27) = 22,32
2. Peramalan dengan memasukkan unsur musiman
Tahun
1984
triwulan
I
II
III
IV
prediksi
21,36
21,68
22
22,32
(Indeks Musim)
100
0,951
1,299
0,612
1,139
prediksi dg
unsur musiman
20,3
28,16
13,5
25,42