Interpolasi Lagrange

Modul Praktikum Matematika Lanjut
INTERPOLASI (Lanjutan)
Obyektif :
1. Mengerti maksud Interpolasi
2. Mengerti dan memahami bentuk interpolasi Lagrange
3 Mampu menginterpolasikan sebuah fungsi menggunakan polinomial lagrange.
Interpolasi Lagrange
Interpolasi Lagrange adalah salah satu formula untuk interpolasi berselang tidak sama
selain formula interpolasi Newton umum & metoda Aitken. Walaupun demikian dapat digunakan
pula untuk interpolasi berselang sama.
Misalkan fgs. y(x) kontinu & diferensiabel sampai turunan (n+1) dalam interval buka (a,b).
Diberikan (n+1) titik (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn) dengan nilai x tidak perlu berjarak sama dengan
yang lainnya, dan akan dicari suatu polinom berderajat n. Untuk pemakaian praktis, formula
interpolasi Lagrange dapat dinyatakan sbb. :
Jika y(x) : nilai yang diinterpolasi; x : nilai yg berkorespondensi dg y(x)
x0, x1, …., xn : nilai x dan y0, y1, …., yn : nilai y
( x − x1)( x − x 2)...( x − xn )
y ( x) =
y0 +
( x 0 − x1)( x 0 − x 2 )...( x 0 − xn )
.
.
( x − x 0)( x − x1)...( x − xn − 1)
yn
( x − x 0)( x − x 2 )...( x − xn )
y1 + ( xn − x 0 )( xn − x1)...( xn − xn − 1)
( x1 − x 0)( x1 − x 2 )...( x1 − xn )
38
Modul Praktikum Matematika Lanjut
Algoritma Interpolasi Lagrange :
(1) Tentukan jumlah titik (N) yang diketahui
(2) Tentukan titik-titik Pi(xi,yi) yang diketahui dengan i=1,2,3,…,N
(3) Tentukan x dari titik yang dicari
(4) Hitung nilai y dari titik yang dicari dengan formulasi interpolasi lagrange
(5) Tampilkan nilai (x,y)
Nilai yg. berkorespondensi dengan y = 10log x adalah :
X
300
304
305
307
10log x
2,4771
2,4829
2,4843
2,4871
Carilah 10log 301 ?
Untuk menghitung y(x) = 10log 301 dimana x = 301, maka nilai diatas menjadi
x0 = 300
x1 = 304
x2 = 305
x3 = 307
y0 = 2,4771
y1 = 2,4829
y2 = 2,4843
y3 = 2,4871
39
Modul Praktikum Matematika Lanjut
y (x) =
(301 − 304)(301 − 305)(301 − 307)
2,4771 +
(300 − 304)(300 − 305)(300 − 307)
(301 − 300)(301 − 305)(301 − 307)
2,4829 +
(304 − 300)(304 − 305)(304 − 307)
(301 − 300)(301 − 304)(301 − 307)
2,4843 +
(305 − 300)(305 − 304)(305 − 307)
(301 − 300)(301 − 304)(301 − 305)
2,4871
(307 − 301)(307 − 304)(307 − 305)
= 1,2739 + 4,9658 − 4,4717 + 0,7106
Contoh :
Bila y1 = 4, y3 = 12, y4 = 19 dan yx = 7, carilah x ?
Jawab :
Karena yg ditanyakan nilai x dengan nilai y diketahui, maka digunakan interpolasi invers
atau kebalikan yg analog dg interpolasi Lagrange.
x=
(7 − 12)(7 − 19)
(1) +
(4 − 12)(4 − 19)
x=
(7 − 4)(7 − 19)
(3) +
(12 − 4)(12 − 19)
1 27 4
+
− = 1,86
2 14 7
Nilai sebenarnya dari x adalah 2, karena nilai-nilai atau data diatas adalah hasil dari
polinom y(x) = x2 + 3.
Adapun untuk membentuk polinom derajat 2 dengan diketahui 3 titik, dapat
menggunakan cara yang sebelumnya pernah dibahas dalam hal mencari persamaan
umum polinomial kuadrat
40