Teori Fungsonal Densitas dan Penerapannya pada Struktur Atom

Eko T. Sulistyani/Teori Fungsonal Densitas dan Penerapannya pada Struktur Atom
123
Teori Fungsonal Densitas dan Penerapannya pada Struktur Atom
Eko T. Sulistyani1,2
1
Jurusan Fisika FMIPA UGM Sekip Unit III Yogyakarta
Kelompok Penelitian Kosmologi, Astrofisika, dan Fisika Matematik UGM
Sekip Utara BLS 21 Yogyakarta
Email: [email protected]
2
Abstrak –Pencarian fungsi gelombang stasioner pada atom kompleks dengan N ≥ 2 telah dilakukan melalui
persamaan Schrödinger dengan metode penghampiran numerik Hartree-Fock yang didasarkan pada penghampiran
medan sentral dan metode variasi. Fungsi gelombang yang diperoleh digunakan untuk menghitung kerapatan elektron,
suku potensial Fock, potensial elektrostatik dan tenaga total yang diterapkan pada model atom Helium.. Telah
dipelajari metode pendekatan lain untuk menyelesaikan keadaan dasar struktur elektronik banyak elektron melalui
prinsip variasi yaitu metode pendekatan teori fungsional densitas. Metode pendekatan ini lebih praktis dan mudah
karena hanya melibatkan besaran densitas/kepadatan dengan derajad kebebasan yang lebih sedikit dari pada besaran
densitas yang ada pada metode Hartree-Fock.
Kata kunci: Metode penghampiran Hartree-Fock, Teori fungsional densitas
Abstract –A stationary wave function of complex atom with N ≥ 2 has been obtained numerically through the
Schrödinger equation by using a Hartree-Fock method based on an approximation of central field and variation
method. The wave function obtained is utilized to calculate the electron density, Fock potential series, electrostatic
potential and total energy of Helium atom. Other method, which is density functional theory, is also studied for solving
the ground-state of electronic structure of electron system through a variational concept. Actually, this last method is
more practice because it involves only density quantity with less degree of freedom than the Hartree-Fock method has.
Keywords: Hartree-Fock method, density functional theory
I. PENDAHULUAN
Dalam sistem atom komplek, untuk menyelesaikan
persamaan Schrödinger tidak dapat dilakukan secara
eksak tetapi dengan metode penghampiran. Metode
penghampiran
yang
sering
digunakan
untuk
menyelesaikan persamaan Schrödinger baik di bidang
fisika maupun kimia adalah metode penghampiran
Hartree-Fock dan teori fungsional kepadatan/densitas.
Metode Hartree-Fock didasarkan pada penghampiran
medan sentral dan metode variasi. Penghampiran medan
sentral digunakan untuk memilih potensial efektif yang
bekerja pada elektron yang ditentukan oleh fungsi
gelombang total. Metode variasi digunakan untuk
menurunkan persamaan Hartree-Fock
berdasarkan
syarat bahwa nilai harap tenaga atom kompleks bersifat
stasioner terhadap variasi fungsi gelombang. Pemakaian
model
penghampiran
Hartree-Fock
dengan
memodifikasi program komputer untuk mencari fungsi
gelombang stasioner atom guna menghitung kerapatan
elektron, suku potensial Fock, potensial elektrostatik dan
tenaga total yang diterapkan pada atom helium telah
dilakukan [1]. Penghampiran Hartree-Fock ini
disederhanakan dengan mengabaikan sumbangan
interaksi spin-orbit, interaksi struktur halus, gerakan
pentalan inti dan efek relativistik.
Teori
fungsional
densitas/kerapatan
(density
functional theory) merupakan teori untuk mempelajari
perilaku-perilaku keadaan dasar sistem-sistem elektron
(electronic systems) melalui prinsip variasi. TFD
dimungkinkan untuk mempelajari berbagai perilaku
suatu sistem melalui besaran densitas (kerapatan) yang
hanya bergantung pada titik dalam ruang. Dalam hal ini,
energi total sistem merupakan fungsional dari kepadatan.
Teori ini merupakan salah satu gagasan eksak tentang
masalah banyak partikel. Walaupun secara formal eksak,
namun fungsional tersebut secara umum tidak diketahui
(unknown). Oleh karena itu, tetap diperlukan suatu
penghampiran pada bagian tertentu dalam fungsional
energi. Teknik pendekatan ini dapat bekerja dengan baik
untuk berbagai macam sistem elektronik. Pendekatan ini
dilakukan karena melalui
metode ini dalam
mempelajari karakteristik struktur atom dipandang lebih
mudah dan lebih praktis untuk mendapatkan hasil.
Dalam perkembangannya, untuk mengetahui perilaku
dan keadaan struktur atom dapat juga dipelajari lewat
TFD. TFD pada awalnya dikembangkan untuk sistemsistem kuantum. Pada tahun 1964, teori ini pertama kali
digagas dan dibuktikan eksistensinya oleh Hohenberg
dan Kohn [2], yang dikenal sebagai teorem HohenbergKohn (HK). Namun, yang dihasilkan masih sebatas
konsep dan belum sampai pada penerapan yang luas.
Selanjutnya, skema Kohn-Sham dikenalkan pada
tahun 1965. Skema ini sudah dilengkapi dengan
pendekatan densitas lokal (PDL). Hasil ini merupakan
pengembangan teori densitas fungsional untuk sistemsistem kuantum dan intensitas lokal. Setelah munculnya
PDL ini, TDF menjadi populer sampai pada awal 1980an. Potensial Kohn-Sham lokal pada aras dasar atom
helium telah dikontruksi menggunakan perhitungan
kerapatan banyak-benda oleh Lindgren, dkk. [3]. Dari
Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVI HFI Jateng & DIY, Purworejo 14 April 2012
ISSN : 0853-0823
124
Eko T. Sulistyani/Teori Fungsonal Densitas dan Penerapannya pada Struktur Atom
hasil ini diperoleh bagaimana perilaku kerapatan KohnSham dan bagian elektronik potensial Kohn-Sham untuk
aras dasar atom helium maupun aras
dari
helium.
Orbital Kohn-Sham menghasilkan kerapatan banyakbenda yang sangat akurat. Ini menunjukkan validitas
model Kohn-Sham dan teorem lokalitas. Potensial
Kohn-Sham juga dibangun untuk menghasilkan
kerapatan Hartree-Fock dari keadaan yang sama, dan
swanilai Kohn-Sham
kemudian ditemukan sesuai
dengan ketepatan yang sama dengan swanilai HartreeFock yang berkaitan. Hal ini sesuai dengan kenyataan
bahwa dalam model ini swanilai energi sama dengan
nilai negatif energi ionisasi tanpa relaksasi. Secara
khusus, hasil penelitiannya menunjukkan bahwa tidak
ada konflik antara lokalitas potensial Kohn-Sham dan
prinsip eksklusi [4].
Dalam tulisan ini ditampilkan kajian secara teoritis
berkaitan dengan perilaku struktur elektronik melalui
pendekatan fungsional densitas. Hasil komputasi yang
sudah dilakukan melalui penghampiran Hartree-Fock
dan teori fungsional densitas ditampilkan agar dapat
dibandingkan sebagai acuan.
II. LANDASAN TEORI
Sistem Atom Kompleks
Hamiltonan non-relativistik untuk sistem atom banyak
elektron (N elektron) yang bergerak di sekitar muatan
inti Ze dalam satuan Gauss [2]
2
Hˆ  
2m
̂
Prosedur umum
metode Hartree-Fock meliputi 3
langkah [5] yaitu:
1. Pemilihan bentuk fungsi gelombang Ψ yang
diandaikan cocok untuk sistem atom kompleks.
2. Penampilan bentuk tenaga total sistem sebagai
ungkapan yang diwakili oleh operator
Hamiltonan Ĥ mengandung fungsi tertentu dan
interaksi yang berperan dalam atom tersebut.
3. Penggunaan asas variasi pada nilai harap tenaga
total E yang menghasilkan sistem persamaan
integro-diferensial yang disebut persamaan
Hartree-Fock. Penyelesaiannya adalah tenaga
individual elektron dan tenaga atom serta fungsi
tertentu yang dapat dipisahkan menjadi bagian
radial dan bagian angular.
Teori Hartree-Fock menganggap bahwa fungsi
gelombang Ψo pada sistem
partikel (elektron)
merupakan hasil perkalian fungsi anti-simetri dari satu
partikel (elektron) χi. Dalam notasi determinan Slater
dapat ditulis
√
|
|
(2)
Orbital molekul χi tergantung pada koordinat ruang
dan koordinat spin
dengan memenuhi
(3)
Fungsi gelombang radial ternormalkan dapat ditulis
menjadi
*
+
(4)
∑
∑
∑
dengan
adalah medan potensial Fock
(1)
|⃗ | adalah jarak elektron nomor i dari pusat
dengan
|⃗ ⃗ |
sistem koordinat di mana inti terletak,
adalah jarak antara elektron nomor ke-i terhadap nomorj. Suku-suku dalam pers. (1) berturut-turut menunjukkan
sumbangan tenaga kinetik elektron, tenaga tarikan
elektron-inti dan tenaga tolakan antar elektron. Tenaga
potensial sistem yang ditinjau dalam pers. (1) hanya
berupa interaksi elektrostatik dan mengabaikan interaksi
spin-orbit, interaksi struktur halus, gerak pentalan
(recoil) dan efek relativistik [1].
Untuk atom banyak elektron, semisal atom helium,
interaksi elektron-elektron menyebabkan persamaan
Schrödinger untuk atom helium belum dapat
diselesaikan secara eksak. Metode penghampiran untuk
menyelesaikan sistem atom banyak elektron adalah
metode penghampiran Hartree-Fock dan teori fungsional
kepadatan/densitas. Kedua teori ini mempunyai tujuan
akhir sama yaitu untuk mengkaji perilaku fisis sistem
atom kompleks/banyak elektron/sistem banyak partikel,
tetapi dengan cara pandang berbeda. Masing-masing
akan diuraikan di bawah ini.
∑
∑
|
|*
Fungsi gelombang radial
dapat ditulis
*
+
(
+
(5)
dalam bentuk eksplisit
)
(
)
(6)
adalah fungsi
hipergeometrik konfluensi. n adalah bilangan kuantum
utama dan l adalah bilangan kuantum orbital.
Parameter
adalah swa-nilai partikel tunggal yang
bernilai
∫ [(
)
]
∫ *
+
(7)
∫
Tenaga pertukaran (exchange energy) diperoleh
∑
(8)
∫
Jika fungsi radial
diketahui untuk tiap subkulit
dari suatu konfigurasi elektron bagi atom, maka nilai
tenaga atom di atas dapat dihitung.
A. Metode Hartree-Fock
Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVI HFI Jateng & DIY, Purworejo 14 April 2012
ISSN : 0853-0823
Eko T. Sulistyani/Teori Fungsonal Densitas dan Penerapannya pada Struktur Atom
Dengan menuliskan nilai harap operator Hamiltonan
eksak (non-relativistik) dengan fungsi gelombang
pers.(2) dapat didefinisikan tenaga Hartree- Fock [5]
yaitu
⟨ | ̂| ⟩
(9)
Dengan menggunakan prinsip variasi
kita dapat
menemukan persamaan untuk menentukan χi yang
| ̂|
memberikan energi terendah
. Persamaan
ini disebut persamaan Hartree-Fock dan dapat dibaca
sebagai
̂
(10)
dengan ̂ adalah operator Fock yang didefinisikan
sebagai
̂
∑
(11)
dengan
merupakan bagian kinetik dan
penjumlahan
terhadap A adalah “potensial eksternal” dan memuat
tolakan dari muatan positif ZA dari suatu inti A pada
jarak riA pada elektron i. Potensial Hartree-Fock VHF
[6] dapat ditulis sebagai
̂ )
∑ (̂
(12)
dengan fungsi gelombang Ψo merupakan fungsi 3-N
derajad kebebasan.
Kerapatan elektron
Kerapatan elektron ρ didefinisikan sebagai
|
∫ ∫|
⟨Ψ| ̂ |Ψ⟩
(13)
menentukan kebolehjadian menemukan sembarang N
elektron dengan elemen volum
(dengan sembarang
spin). ̂ merupakan operator kepadatan (density
operator) yang dapat didefinisikan menggunakan fungsi
delta Dirac sebagai berikut :
∑
̂
(14)
Kerapatan elektron memenuhi simetri bola dapat ditulis
sebagai
∑
(15)
Beberapa sifat dasar adalah yang harus dipenuhi
⃗⃗
(16)
∫
Kerapatan ρ ⃗⃗⃗ ini merupakan fungsi dengan hanya 3
derajat kebebasan.
B. Teori Fungsional Densitas (Density Functional
Theory)
Teori fungsional densitas (TFD) lahir ketika
Hohenberg dan Kohn mempublikasikan karya ilmiahnya
dalam Physical Review pada tahun 1964. Hal ini ditandai
dengan dua teorem fundamental yang melahirkan teori
fungsional kerapatan modern, sebuah pendekatan
alternatif untuk mengatasi masalah banyak-benda dalam
teori struktur elektronik. Pembuktian teorem dalam
artikel tersebut menggambarkan pilar teoritik utama
pada saat semua teori densitas fungsional sedang
berkembang.
125
1. Teorem
I
Hohenberg-Kohn:
Pembuktian
Eksistensi
Teorem I Hohenberg-Kohn menyatakan bahwa untuk
sembarang sistem elektron yang berada dalam potensial
eksternal
, maka potensial tersebut dapat
ditentukan secara khas oleh kerapatan pada keadaan
dasar
. Akibatnya tidak mungkin terdapat dua
potensial eksternal berbeda
yang menghasilkan
kerapatan elektron pada keadaan dasar yang sama. Atau
dalam kata lain bahwa kerapatan keadaan dasar secara
khas mencirikan potensial luar
. Potensial
eksternal
adalah fungsional yang khas dari
.
Dengan kata lain, ada hubungan yang unik dari potensial
eksternal
(timbul dari muatan positif inti) dalam
sistem N elektron dan kerapatan elektron(aras dasar)
.
(17)
dan pemetaan ini bijektif (artinya ada invers pemetaan)
yaitu
(18)
Jadi kerapatan
berisi semua informasi dari sistem,
artinya setiap sifat-sifat bahkan setiap aras tereksitasi
secara elektronik dapat dihitung dengan bantuan
.
Juga dapat disimpulkan bahwa tidak ada dua potensial
eksternal berbeda
dan
yang
menghasilkan kerapatan
sama.
Karena energi aras dasar Eo lengkap adalah fungsional
yang khas/unik dari kerapatan
sehingga itu masingmasing bagian, dapat ditulis
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
(19)
Ungkapan ini dapat diklasifikasikan bagian yang
tergantung pada sistem nyata (ditentukan oleh potensial
eksternal) dan bagian yang umum dalam bentuk
fungsional yang tidak tergantung N, RA dan ZA.
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
(20)
Sistem tidak bebas
Sistem bebas
dengan bagian sistem yang bebas didefinisikan sebagai
fungsional Hohenberg-Kohn
[ ]
[ ]
[ ]
(21)
2.
Teorema II Hohenberg-Kohn: Prinsip Variasi
Teorema Hohenberg-Kohn kedua adalah prinsip
variasi yang dirumuskan untuk kerapatan. Diberikan
sembarang kerapatan ̃ berkaitan pada sistem N elektron
dengan potensial eksternal
, dapat ditulis bahwa
[ ̃]
[ ̃]
[ ̃]
[ ̃]
(22)
dengan tanda sama hanya berlaku jika ̃ ρ.
Untuk meyakinkan bahwa kerapatan yang kita dapatkan
adalah betul-betul kerapatan keadaan dasar, muncullah
teorem kedua ini. Secara sederhana, teorem kedua
menyatakan bahwa fungsional yang memberi energi
keadaan sistem, akan memberi energi terendah jika dan
hanya jika input kerapatan betul-betul merupakan
kerapatan keadaan dasar
Hal ini tidak lain
merupakan penerapan prinsip variasi.
Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVI HFI Jateng & DIY, Purworejo 14 April 2012
ISSN : 0853-0823
126
Eko T. Sulistyani/Teori Fungsonal Densitas dan Penerapannya pada Struktur Atom
Dalam bahasa lain, teorem II Hohenberg-Kohn
menyatakan bahwa suatu fungsional universal untuk
energi [ ] suatu kerapatan
dapat didefinisikan
untuk semua sistem elektron. Energi keadaan dasar yang
eksak merupakan nilai minimum keseluruhan bagi
potensial luar
, dan kerapatan
yang
meminimalkan fungsional ini adalah kerapatan keadaan
dasar yang eksak
. Teorem II ini menyatakan
prinsip variasi, yaitu energi merupakan fungsional dari
kerapatan.
Persamaan Kohn-Sham
Sampai sekarang, baik kedua kerapatan keadaan dasar
̃ yang eksak seperti fungsional Hohenberg-Kohn FHK
masih belum diketahui, sehingga orang tidak dapat
memanfaatkan
teorem
Hohenberg-Kohn
untuk
menghitung sifat-sifat molekuler.
Dengan melihat pada fungsional Hohenberg-Kohn,
kedua bagian yang diketahui dan tidak diketahui dapat
diidentifikasi dan dapat ditulis sebagai
(23)
dengan suku energi potensial
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
[ ]
[ ]
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
∬
[ ]
(24)
Dengan J(ρ) adalah interaksi klasik dari dua kerapatan
muatan dan ENCL(ρ) memuat semua bagian non-klasik.
Maka fungsional energi lengkap dapat ditulis sebagai
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] ∫
(25)
diketahui
tidak diketahui
diketahui
tidak diketahui
Masalah dasar adalah fungsional yang tidak diketahui
untuk energi kinetik. Penyelesaian dari masalah ini
diberikan oleh Kohn dan Sham dalam paper yang
dipublikasikan tahun 1965[7], di mana mereka
menyarankan untuk memisah secara formal fungsional
ini ke dalam dua bagian
[ ]
[ ]
[ ]
(26)
Dengan bagian pertama
[ ] akan disajikan dalam
pendekatan partikel mirip dengan Hartree-Fock,
sehingga menjadi terkenal, dan yang kedua, masih
merupakan bagian yang tidak diketahui mengandung
perbedaan antara fungsional riil [ ] dan bagian partikel
[ ] dan serta yang lainnya akan diperlakukan sebagai
sisa bagian dari fungsional energi total, yang masih tidak
diketahui, dalam suatu cara pendekatan. Jadi dapat
ditulis
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] (27)
Atau dapat ditulis
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
(28)
Dengan suku terakhir disebut fungsional pertukarankorelasi
[ ], yang sisanya tidak diketahui dan tidak
terdefinisi dengan baik. [ ] didefinisikan sebagai
[ ]
∑⟨
|
|
⟩
(29)
dengan
adalah suatu fungsi gelombang partikel yang
ditentukan mirip teori Hartree-Fock, dengan menerapkan
prinsip variasi, yang akhirnya mengarah pada persamaan
Kohn-Sham
̂
(30)
dengan operator Kohn-Sham
⃗⃗⃗⃗
̂
∑
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
(31)
∫
Atau dapat ditulis
̂
⃗⃗⃗
(32)
Jika diperhatikan ada kesamaan dengan operator Fock
(11). Karena kesamaan inilah, maka
dapat
menyelesaikan persamaan Kohn-Sham menggunakan
algoritme yang sama seperti pada teori Hartree-Fock,
termasuk penggunaan Fungsi Basis dan pendekatan
medan swa-panggah (self consistend field / SCF). Juga
dicatat bahwa orbital Kohn- Sham
tidak sama dengan
orbital Hartee-Fock
, yang berarti bahwa mereka
juga kekurangan penafsiran fisis dari orbital molekul
satu elektron Hartree-Fock.
II. METODE PENELITIAN
Penelitian ini bersifat kajian teoritis. Namun untuk
memberi gambaran antara metode pendekatan HartreeFock dan teori fungsional densitas berikut kami sajikan
hasil penelitian terdahulu. Metode penghampiran
Hartree-Fock digunakan untuk mencari fungsi-fungsi
gelombang stasioner yang digunakan untuk menghitung
tenaga total, kerapatan, potensial Fock, nilai harap
tenaga kinetik dan potensial pada atom helium.
Sedangkan teori fungsional densitas digunakan mencari
kerapatan dan bagian elektronik dari potensial KohnSham pada atom helium.
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil komputasi dari penggunaan metode HartreeFock maupun penerapan teori fungsional densitas pada
atom helium ditampilkan dalam grafik di bawah ini.
Fungsi gelombang hidrogenik untuk model atom helium
dengan memberikan
pada pers. (6) dapat
disajikan dalam gbr 1.
Kerapatan elektron untuk atom Helium pada aras
dasar berdasarkan penghampiran Hartree-Fock disajikan
pada Gambar 2. Gambar 3 menunjukkan kerapatan
elektron yang diperoleh dengan DFT. Medan potensial
Fock untuk atom helium yang diperoleh berdasarkan
pers. (5) dapat disajikan pada Gambar 4. Potensial
elektrostatik merupakan potensial langsung ditampilkan
dalam Gambar 5. Potensial ini merupakan potensial
Coulomb, tetapi di sini bernilai positif.
Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVI HFI Jateng & DIY, Purworejo 14 April 2012
ISSN : 0853-0823
Eko T. Sulistyani/Teori Fungsonal Densitas dan Penerapannya pada Struktur Atom
Gambar 5.
Gambar 1. Fungsi gelombang radial atom helium dengan
pendekatan Hartree-Fock.
Grafik kerapatan Kohn-Sham pada aras dasar atom
helium dapat dilihat pada Gambar 4 [3].
Gambar 2.
Hubungan antara kerapatan dengan jejari atom
helium pada aras dasar.
127
Potensial elektrostatik pada aras dasar atom
helium.
Sebagai gambaran dalam pendekatan DFT, potensial
Kohn Sham pada aras dasar atom Helium dapat dilihat
pada Gambar 6.
Gambar 6.
Bagian elektronik dari potensial Kohn Sham
untuk Helium pada aras dasar [3].
Dari grafik yang dihasilkan dengan metode HartreeFock di atas, dapat dicermati bahwa untuk memperoleh
nilai tenaga pada suatu atom harus menghitung beberapa
besaran fisika yang lain terlebih dulu dan itu cukup
rumit dalam pemrograman. Untuk itu akan dilakukan
kajian lebih mendalam terhadap metode pendekatan
yang lain yaitu teori fungsional densitas agar dapat
memperkecil tahap-tahap yang akan dilalui.
Gambar 3.
Kerapatan Kohn-Sham (titik) berimpit dengan
kerapatan banyak-benda (garis) pada aras dasar
atom helium [3].
Gambar 4.
Hubungan antara potensial Fock dengan jejari
atom helium pada aras dasar atom.
V. KESIMPULAN
1. Metode penghampiran Hartree-Fock merupakan
salah satu metode untuk menyelesaikan sistem atom
banyak elektron dengan penyelesaian persamaannya
secara numerik dengan hasil grafik hubungan antara
fungsi gelombang, kerapatan, potensial langsung
dengan jejari yang sesuai dengan referensi.
2. Teori Fungsional Densitas merupakan alternatif
untuk mempelajari perilaku-perilaku keadaan dasar
sistem-sistem elektron (electronic systems) melalui
prinsip
variasi.
Dengan
pendekatan
ini
memperlihatkan metode yang lebih mudah, lebih
praktis untuk mendapatkan hasil. Dua hal mendasar
dalam Teori Fungsional densitas yaitu :
1) Teorem I menyatakan adanya korespondensi
satu-satu antara potensial eksternal dan
densitasnya. Sehingga dengan mengetahui
densitas, dapat diketahui fungsi gelombang.
Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVI HFI Jateng & DIY, Purworejo 14 April 2012
ISSN : 0853-0823
128
Eko T. Sulistyani/Teori Fungsonal Densitas dan Penerapannya pada Struktur Atom
2) Teorem II menyatakan prinsip variasi dimana
energi merupakan fungsional dari densitas.
UCAPAN TERIMA KASIH
Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada Lab.
Fisika Atom-Inti dan Jurusan Fisika FMIPA UGM yang
telah mendanai Hibah Penelitian Kecil yang mendukung
dalam penyelesaian penulisan makalah ini.
PUSTAKA
[1] Sulistyani, E.T., “Tesis: Kajian metode penghampiran
Hartree-Fock untuk atom-atom ringan dan potensi
penggunaannya untuk atom Barium”, 2010.
[2] Hohenberg, P., dan Kohn, W. 1964, Phys. Rev. 136,
B864 (1964)
[3] Lindgren,I., at al, “Construction of accurate Kohn- Sham
potentials for the lowest states of the helium atom:
Accurate test of the ionization potential
theorem”,
Department of Physics, Chalmers University of
Technology and the Goteborg University, Goteborg,
Sweden, 2004.
[4] Salomonson S., Möller F. and Lindgren I., Accurate
Kohn-Sham potential for the 1s2s3S state of the helium
atom : Tests of thr locality and the ionization-potential
theorems,. Can. J. Phys. 83, 85 (2005) .
[5] Fischer,C.F., “The Hartree-Fock Method For Atoms ; A
Numerical Approach”, John Wiley and Sons, Inc. New
York, 1977.
[6] Oppel,M. , DFT-Density functional theory, 2002.
[7] Kohn, W. dan Sham,L.J., Phys. Rev., 140, 1965.
TANYA JAWAB
Pramudita Anggraita, BATAN:
? Apa yang menyebabkan kelemahan metode densitas,
ada contohnya ?
Eko T. Sulistyani, UGM :
√ Kelemahan disebabkan oleh pendekatan – pendekatan
yang diambil adalah pendekatan tidak terkontrol,
Teorem eksak tapi ketika diaplikasikan harus memakai
interaksi elektron dalam sistem. Juga asumsi yang
diambil adalah untuk gas ideal, padahal kenyataannya di
alam bukan gas ideal yang dipakai. Contoh
perhitungan/hasil, kebetulan saya belum mendapatkan.
Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVI HFI Jateng & DIY, Purworejo 14 April 2012
ISSN : 0853-0823