P. VIII DETERMINAN Salah satu sasaran dalam bab ini adalah

P. VIII
DETERMINAN
Fungsi Determinan
Ingat teorema bahwa jika A =
a b
 dapat dibalik, jika ad – bc 0, dimana
c d
A1
1 d
ad bc c
 b
a
Ekspresi ad – bc, diberi nama “determinan” A, 2x2 dan biasanya dinyatakan dengan
simbol det (A). Dengan demikian A1
 b
1 d

det(A) c a
Salah satu sasaran dalam bab ini adalah memperoleh analogi dari rumus-rumus ini
untuk matriks-matriks berorde lebih tinggi. Hal ini akan menuntut kita memperluas
konsep suatu determinan ke matriks-matriks berorde lebih tinggi. Untuk tujuan ini
akan memerlukan beberapa hasil awal tentang permutasi.
Permutasi
Suatu permutasi himpunan bilangan bulat {1, 2, …, n} adalah suatu susunan
bilangan-bilangan bulat ini dalam suatu urutan tanpa penghilangan atau pengulangan.
Contoh: Himpunan bilangan bulat {1, 2, 3} memiliki permutasi sebagai berikut.
(1, 2, 3), (2, 1, 3), (3, 1, 2)
(1, 3, 2), (2, 3, 1), (3, 2, 1)
atau metode yang lebih mudah digunakan adalah dengan menggunakan metode
“pohon permutasi”.
Himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, 4} memiliki permutasi sebagai berikut.
(1, 2, 3, 4), (1, 2, 4, 3), (1, 3, 2, 4), (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (1, 4, 3, 2)
(2, 1, 3, 4), (2, 1, 4, 3), (2, 3, 1, 4), (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (2, 4, 3, 1)
(3, 1, 2, 4), (3, 1, 4, 2), (3, 2, 1, 4), (3, 2, 4, 1), (3, 4, 1, 2), (3, 4, 2, 1)
(4, 1, 2, 3), (4, 1, 3, 2), (4, 2, 1, 3), (4, 2, 3, 1), (4, 3, 1, 2), (4, 3, 2, 1)
Suatu pembalikan dikatakan terjadi dalam suatu permutasi (j1, j2, …, jn) bilamana
suatu bilangan bulat yang lebih besar mendahului yang lebih kecil. Total jumlah
pembalikan yang terjadi dalam suatu permutasi adalah sebagai berikut.
http://www.mercubuana.ac.id
a)
b)
A11 a22
(1, 2)
Genap
a11 a22
A12 a21
(2, 1)
Ganjil
- a12 a21
A11 a22 a33
(1, 2, 3)
Genap
a11 a22 a33
A11 a23 a32
(1, 3, 2)
Ganjil
- a11 a23 a32
A12 a21 a33
(2, 1, 3)
Ganjil
- a12 a21 a33
A12 a23 a31
(2, 3, 1)
Genap
a12 a23 a31
A13 a21 a32
(3, 1, 2)
Genap
a13 a21 a32
A13 a22 a31
(3, 2, 1)
ganjil
- a13 a22 a31
Dengan demikian fungsi determinan dinyatakan dengan determinan dan
didefinisikan det (A) adalah penjumlahan semua hasil kali dasar bertanda dari A.
Menghitung Determinan 2x2 dan 3x3
a
a 12
a 21
a 22
a) det 11
= a11 a22 – a12 a21
a 11 a 12 a 13
b) deta 21 a 22 a 23 = a11 a22 a33 + a12a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a12 a21 a33 – a11 a23
a
31 a 32 a 33

a32
atau dengan menggunakan jembatan keledai (mnemonic)
a 11
a 12
a
 21
a 22
a 11

a 21
a 31
a 12
a 22
a 32
a 13 a 11

a 23 a 21
a 33 a 31
a 12
a 22
a 32
contoh:
3 1
det (A) 3(2) (1)(4) 6 4 10
A
4 2
Menghitung Determinan Dengan Penghilangan Baris
Sebuah Teorema Dasar
Anggap A adalah suatu matriks bujur sangkar.
a) Jika A mempunyai sebuah baris nol atau sebuah kolom nol maka det (A) = 0
b) Det (A) = det (AT)
Bukti.
http://www.mercubuana.ac.id
a 11 ka 21

 a 21
 a 31
a 12 ka 22
a 22
a 32
a 13 ka 23a 11

a 23
a 21
a 33a
31

a 12
a 22
a 32
a 13

a 23
a 33
det (B) det (A)
Determinan Matriks-Matriks Dasar
Teorema 3
a) Jika E dihasilkan dari mengalikan suatu baris dari I n dengan k, maka det (E)
=k
b) Jika E dihasilkan dari mempertukarkan dua baris dari I n, maka det (E) = -1
c) Jika E dihasilkan dari menambahkan suatu penggandaan satu baris I n ke
baris lainnya, maka det (E) = I
1000
0300
0010
 3 baris ke 2 dari I n x 3
0001
0001
0100
 1 baris ke 1 dan terakhir I 4 dipertukarkan
0010
1000
1007
0100
 1 7 xbaris terakhir dari I 4 baris ke 1
0010
0001
Determinan dengan Baris atau Kolom Proporsional
Teorema 4
Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar dengan 2 baris atau 2 kolom
proporsional, maka det (A) = 0.
1
3 2 4
2
6 4 8
3
9
1
5
1
1
4
8
4
1 3 2

00
0
0
39
1
5
11
4
8
0
Baris ke-2 adalah 2 kali baris ke-1, jadi kita tambahkan –2 kali baris ke-1 ke baris ke2 untuk mendapatkan suatu baris nol.
http://www.mercubuana.ac.id