SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR Bentuk umum persamaan

Matematika Teknik
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Bentuk umum persamaan linear dengan n peubah diberikan sebagai berikut :
a1 x1 + a2 x2 + ...+ an xn = b ; a1 ,a2 ,..., an ∈ ℜ merupakan koefisien dari persamaaan
dan x1 , x2 ,..., xn merupakan peubah.
Beberapa persamaan linear bila kita kumpulkan akan membentuk sistem
persamaan linear ( SPL ). Sehingga bentuk umum dari SPL dengan n peubah dan m
persamaan linear diberikan :
a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1
a21 x1 + a 22 x2 +...+ a 2 n xn = b2
.................................................
..................................................
.................................................
am1 x1 + am2 x2 +...+ a mn xn = bm
Contoh :
1. SPL dengan 2 peubah ( x1, x2 ) dan 2 persamaan :
2 x1 − 3 x2 = −5
− x1 − x2 = 0
2. SPL dengan 3 peubah (x,y,z ) dan 2 persamaan :
x − 2 y + 3x = −1
2x + y = −5
Dalam menentukan himpunan jawab ( solusi ) dari suatu SPL seperti yang sudah
dikenal adalah menggunakan cara gabungan antara substitusi dan eliminasi. Namun hal
ini hanya akan mudah untuk diterapkan pada SPL bilamana jumlah peubah dua atau
tiga buah sedangkan bila jumlah peubah besar (n > 3 ) kita akan mengalami kesulitan
karena terlalu memakan waktu dan ketelitian. Untuk itu dalam pembahasan ini akan
dikenalkan suatu metode yang dikembangkan oleh Gauss dan Jordan.
Bila diberikan suatu SPL maka akan ada dua kemungkinan terhadap keberadaan
solusinya, yaitu SPL tidak mempunyai solusi disebut SPL tidak konsisten dan SPL
mempunyai solusi disebut SPL konsisten. Bila suatu SPL konsisten maka solusi dari
SPL dibedakan lagi menjadi dua yaitu ada satu solusi ( solusi tunggal ) dan ada banyak
solusi ( solusi tak hingga ).
Untuk menentukan solusi dari SPL kita lakukan dengan cara membentuk
matriks yang diperluas / diperbesar ( augmented matrix ) dari SPL dan melakukan
operasi baris elementer ( OBE ) pada matriks yang diperbesar tersebut.
Dari bentuk umum SPL dengan n peubah dan m persamaan , dapat dituliskan
dalam notasi matriks : A X = B, dengan :
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
 a11 a12

 a 21 a 22
 .
.
A=
.
 .
 .
.

 a m1 am2
.
.
.
.
.
.
. a1n 
 x1 
 b1 

 
 
. a2 n 
 x2 
 b2 
 .
 .
.
. 
 ; X =  ; B= 
.
. 
 .
 .
 .
 .
.
. 

 
 
. amn
 xn 
 bm
.
.
.
.
.
.
Matriks A berukuran m x n - mempunyai baris sebanyak m buah dan kolom sebanyak n
buah dan banyak unsur / elemen sebanyak m x n buah - disebut matriks koefisien dari
SPL, matriks X berukuran n x 1 dan matriks B berukuran m x 1. Perkalian matriks A
dan X, yaitu AX dapat dilakukan karena banyak kolom matriks A sama dengan banyak
baris matriks X.
Bentuk matriks yang diperbesar dari SPL merupakan gabungan dari matriks
koefisien A dan matriks B, yaitu :
 a11 a12

 a21 a22
 .
.
( A B) =  . .

 .
.

 am1 am2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. a1n b1 

. a2n b2 
.
. .

.
. .
.
. .

. amn bm
Elemen atau unsur dari matriks di atas ada yang mempunyai nomor baris dan nomor
kolom sama disebut elemen / unsur diagonal.
Sedangkan cara melakukan OBE pada matriks di atas sebagai berikut :
1. Membuat semua unsur di bawah atau di atas elemen diagonal menjadi nol ( bila
mungkin ), caranya dengan menambahkan kelipatan suatu baris terhadap baris lain
yang memuat unsur yang akan kita buat menjadi nol.
2. Membuat semua unsur diagonal menjadi satu bila unsur tersebut setelah dilakukan
cara (a) tidak sama dengan nol, dengan membagi baris yang bersangkutan dengan
nilai dari elemen diagonalnya. Sedangkan bila elemen diagonal sama dengan nol
maka kita lihat elemen pada kolom selanjutnya pada baris yang sama. Misal nilai
elemen tersebut tidak nol. Maka elemen ini yang kita buat menjadi satu. Demikian
seterusnya kita lakukan sehingga kita dapatkan elemen paling kiri pada setiap baris
menjadi satu. Elemen dengan besar satu ini biasa dinamakan satu utama.
Cara menentukan solusi SPL dengan melakukan OBE pada matriks yang
diperbesar di atas dikenal dengan cara Eliminasi Gauss Jordan. Dan bentuk matriks
terakhir setelah dilakukan eliminasi Gauss Jordan disebut bentuk Eselon baris
tereduksi.
Contoh
Tentukan solusi dari SPL berikut ( bila ada ).
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
1. 2 x + 3 y = -4
-x - y = 2
2. -3 x + y = 1
6 x - 2 y = -2
3. -3 x + y = 1
6x - 2y=3
Jawab :
1. Matriks yang diperbesar dan OBE dituliskan sebagai berikut :
 − 1 − 1 2
 − 1 − 1 2 − b2 + b1  − 1 0 2

 
→ 
 → 

 − 2 − 3 4 − 2b1 +b2  0 − 1 0
 0 − 1 0
 1 0 − 2
−b1  1 0 − 2

→
 → 

 0 − 1 0  −b2  0 1 0 
Kita lihat bahwa kolom satu merupakan koefisien peubah x dan kolom dua
merupakan koefisien peubah y, sedangkan kolom tiga merupakan nilai dari masingmasing peubah yang bersesuaian. Jadi didapatkan x = -2 dan y = 0 merupakan solusi
SPL dan karena hanya merupakan satu-satunya solusi SPL maka solusi tersebut
merupakan solusi tunggal, artinya tidak ada solusi lain dari SPL tersebut.
2. Matriks yang diperbesar dan OBE dituliskan sebagai berikut :
−1
b
 −1 −1 
1
− 3 1
 − 3 1 1
3 1→  1
3
3

 → 
 
2
b
+
b
6
−
2
−
2
0
0
0




0 
1 2
0 0
1
−1
Solusi SPL didapatkan dari : x − y =
. Bila y dimisalkan t maka solusi SPL
3
3
dituliskan :
 x  t − 1
  =  3 3 ; t ∈R
 y  t 
t disebut parameter dan solusi di atas disebut solusi parameter. Karena parameter t
merupakan bilangan real ( -∞ < t < ∞ ) maka akan ada banyak solusi tergantung
pemilihan t, sehingga solusi dari SPL merupakan solusi tak hingga.
3. Matriks yang diperbesar dan OBE dituliskan sebagai berikut :
 − 3 1 1
 − 3 1 1

 → 

 6 − 2 3 2b1 + b2  0 0 5
Dari baris kedua didapatkan : 0 x + 0 y = 5. Ini menunjukkan bahwa tidak ada x atau
y yang memenuhi persamaan tersebut. Oleh karena itu, SPL tidak mempunyai solusi.
Secara geometris, grafik persamaan linear merupakan garis dan terlihat pada
contoh (1) kedua garis berpotongan, contoh (2) kedua garis berimpit dan contoh (3)
kedua garis sejajar.
Contoh
Gunakan eliminasi gauss jordan untuk mencari solusi SPL berikut.
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
2x + y - 2z - 2w = -2
x - y + 2z - w = -1
-x + 2y -4z + w = 1
3x - 3w = -3
Jawab :
Matriks diperbesar dituliskan :
1 − 2 − 2 − 2
 2


 1 − 1 2 − 1 − 1
−1 2 − 4 1
1


0
0 − 3 − 3
 3
Untuk menghindari perhitungan bentuk pecahan maka bentuk matriks diperbesar di atas
dapat diubah menjadi :
 1 − 1 2 − 1 − 1


1 − 2 − 2 − 2
 2
−1 2 − 4 1
1


 3
0
0 − 3 − 3
Dengan melakukan didapatkan sebagai berikut :
 1 − 1 2 − 1 − 1  1 0 0 − 1 − 1

 

1 − 2 − 2 − 2  0 1 − 2 0
0
 2
→
−1 2 − 4 1
1  0 0 0
0
0

 

0
0 − 3 − 3  0 0 0
0
0
 3
Solusi SPL didapatkan dari : x - w = -1 dan y - 2 z = 0. Bila diambil w = t dan z = s
maka didapatkan solusi tak hingga sebagai berikut :
 x   t − 1
  

 y  =  2s  ; t ,s ∈ R
 z  s 
  

 w  t 
Soal Latihan
( Nomor 1 sd 3 ) Tentukan solusi SPL berikut ( bila ada ) bila diberikan :
1
x- 2y+z - 4w=1
x+3y+7z+2w=2
x - 12 y - 11 z - 16 w = 5
2
10 y - 4 z + w = 1
x+4y - z+w=2
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
3x+2y+z+2w=5
-2 x - 8 y + 2 z - 2 w = -4
x- 6y+3z=1
3
3x + 2y + 2z - 5w = 8
6x + 15y + 15z - 54w = 27
12x - 3y -3z + 24w = 21
4
Pilihlah nilai a, b dan c agar SPL berikut mempunyai solusi x = 1, y = -1 , z = 2.
a x + b y - 3 z = -3
-2 x - b y + c z = -1
a x + 3 y - c z = -3
5
Tentukan nilai k yang memenuhi SPL berikut agar :
a. SPL tidak punya solusi
b. SPL mempunyai solusi tunggal
c. SPL mempunyai solusi tak hingga
x+2y - 3z=4
3x - y+5z=2
2
4 x + y + ( k - 14 ) z = k + 2
6
7
 a 0 b 2


Diketahui matriks diperbesar dari suartu SPL berikut :  a a 4 4
 0 a 2 b


Tentukan nilai a dan b agar :
a. SPL tidak punya solusi
b. SPL mempunyai solusi tunggal
c. SPL mempunyai solusi dengan satu parameter
d. SPL mempunyai solusi dengan dua parameter
Diketahui SPL :
x+z=2
ax+y+z=1
ax=b
Tentukan nilai a dan b agar SPL :
a. Mempunyai solusi tunggal
b. Mempunyai solusi tak hingga
c. Tidak konsisten
8
Diketahui :
x + 2y + 3z = 4
2x - y + z = 3
2
-2x - ( a +1 ) z = a - 3
Tentukan :
a). Nilai a agar SPL tak konsisten
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
b). Nilai a agar SPL mempunyai satu solusi
c). Nilai a agar SPL mempunyai tak hingga solusi
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung