Bahan Kuliah - Fisika Unpad

HANDOUT KULIAH
OPTIK NONLINIER
Oleh:
DR. Ayi Bahtiar, M.Si.
JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PADJADJARAN BANDUNG
2005
BAB 1. PENDAHULUAN
Physics would be dull and life most unfulfilling
if all physical phenomena around us were
linear. Fortunately, we are living in nonlinear
world. While linearization beautifies physics,
nonlinearly provides excitement in physics.
Y.R. Shen. Principles of Nonlinear
Optics.
Observasi pertama efek optik nonlinier
Frequency doubling pada laser Ruby (λ = 694,3 nm), menghasilkan panjang
gelombang baru (λ = 347,2 nm)
P.A. Franken, A.E. Hill, C.W. Peters and G. Weinreich, Phys. Rev. Lett. 7 (1961) 118
OPTIK LINIER
Polarisasi dalam medium dielektrik
Atom paling sederhana:
P = ε0 χ(1)E
ε0 : permitivitas udara
Awan
elektron
χ(1) : suseptibiltas listrik
E
∆X
Polarisasi dalam medium :
P = - N e ∆X
N = jumlah elektron
E = muatan elektron (1,6. 10-19 C)
Hubungan sifat optik bahan dan suseptibilitas:
n0 = 1 + 4πχ
πχ(1)
n0 : indeks bias linier dari bahan
OPTIK NONLINIER
Polarisasi dalam medium optik nonlinier
r
r
r r
r r r
(1)
(2)
( 3)
P = ε0 χ E + χ E ⊗ E + χ E ⊗ E ⊗ E
{
}
χ(2) : Suseptibilitas listrik/optik orde kedua
χ(3) : Suseptibilitas listrik/optik orde ketiga
Suseptibilitas χ(n) adalah kompleks, yang terdiri bagian riil Re[χ(n)] dan imajiner
Im[χ(n)]
χ ( n ) = Re[χ ( n ) ] + i Im[χ ( n ) ]
{
}
r
r
r r
r r r
(1)
(2)
( 3)
P = ε 0 χ E + χ E ⊗ E + χ E ⊗ E ⊗ E + ...
Pandang suatu medan listrik untuk suatu gelombang bidang yang menjalar pada
sumbu-z dan mempunyai frekuensi ω dan vektor gelombang k = 2π/λ
E (ω) = E 0 cos( ωt − kz )
(
r
r
r2
r3
(1)
( 2) ( 2)
( 3) ( 3)
P(ω) = ε0 χ ( −ω; ω) E + K χ ( −ω; ω, ω) E + K χ ( −ω; ω,−ω, ω) E + ...
)
K(n) adalah faktor numerik yang berkaitan dengan proses optik nonlinier dan
jumlah permutasi frekuensi yang dapat dibedakan [Butcher’92]
1

P = ε 0 χ (1) (ω; ω)E 0 cos(ωt − kz) + K ( 2) χ ( 2) (−ω; ω, ω)E 02 [1 + cos(2ωt − 2kz)]
2

1
3

+ K (3) χ (3) (−ω; ω, ω, ω)E 30  cos(ωt − kz) + cos(3ωt − 3kz) 
4
4

Tampak bahwa ada tiga buah frekuensi yakni ω, 2ω dan 3ω
3


P(ω) = ε 0 χ (1) (−ω; ω) + K (3) χ (3) (−ω; ω, ω, ω)E 02  E 0 cos(ωt − kz)
4


1
P(2ω) = ε 0 K ( 2) χ ( 2) (−ω; ω, ω)E 02 [1 + cos(2ωt − 2kz)]
2
1
P(3ω) = ε 0 K (3) χ (3) (−ω; ω, ω, ω)E 30 cos(3ωt − 3kz)
4
Suku pertama dalam P(ω
ω) berkaitan dengan indeks bias linier dan suku kedua
menghasilkan indeks bias yang bergantung pada intensitas cahaya n(I).
P(2ω
2ω)
2ω menghasilkan beberapa efek penting a.l: frequency doubling/secondharmonic generation (SHG), dan sum- and difference-frequency generation.
Bagian yang tak bergantung pada frekuensi dalam P(2ω
2ω)
2ω disebut optical
rectification.
P(3ω
ω) berhubungan dengan third-harmonic generation (THG).
SIMETRI INVERSI
Suatu medium mempunyai simetri inversi, jika memenuhi:
r r
r r
A( − r ) = − A( r )
r (2 ) r
r r
r r
r
(
)
2
A. Polarisasi orde kedua: P ( r ) = χ E ( r ) ⊗ E ( r ) ≈ χ(2 )E 2 ( r )
Untuk medium yang mempunyai simetri inversi harus berlaku:
r (2 ) r
r (2 ) r
P (− r ) = − P (r )
r (2 ) r
r
r
r
P (− r ) = χ(2 )E 2 (− r ) = χ(2 ){− E(r )}2 = χ(2 )E 2 (r )
r (2 ) r
r
− P ( r ) = − χ ( 2 )E 2 ( r )
…..(1)
…..(2)
r (2 ) r
r (2 ) r
Dengan demikian, maka: P (− r ) = − P (r ) jika nilai χ(2) = 0
Medium yang mempunyai simetri inversi, tidak memiliki suseptibilitas orde kedua
atau χ(2) = 0. Medium tersebut dinamakan medium/bahan centro-symmetric.
SIMETRI INVERSI (LANJ.)
• Contoh bahan centro-symmetric: NaCl, Polimer PPV dll.
Polimer PPV
n
A
D
Noncentro-symmetric, karena antara
akseptor (A) dan donor (D) merupakan
molekul yang berbeda, sehingga χ(2) ≠ 0.
B. Polarisasi orde ketiga:
r (3 ) r
r r
r r
(3 ) r r
(2 ) r 3 r
P ( r ) = χ E(r ) ⊗ E(r ) ⊗ E(r ) ≈ χ E (r )
Medium centro-symmetric (memiliki simetri inversi).
r (3 ) r
r 3
(2 )
(3 ) r 3 r
P (− r ) = χ {E (− r )} = −χ E (r )
…..(1)
r (3 ) r
r 3
(3 )
(3 ) r 3 r
…..(2)
− P (r ) = −χ {E( r )} = −χ E (r )
r
r r
r
Jelas dari pers. (1) dan (2), maka: P(3) (− r ) = − P(3) (r )
Medium centro-symmetric memiliki suseptibilitas orde ketiga, χ(3) ≠ 0.
Medium noncentro-symmetric (tidak memiliki simetri inversi), memiliki
suseptibilitas orde ketiga.
Semua medium mempunyai suseptibilitas
orde ketiga, bahkan udara sekalipun.
BAB 2.
SUSEPTIBILITAS LISTRIK/OPTIK
(MODEL LORENTZ)
Dalam model ini, elektron-elektron dalam suatu medium
dipengaruhi oleh gaya luar yang menyebabkan elektronelektron berpindah. Gerakan elektron-elektron diimbangi
oleh gaya ikat. Akibatnya terjadi gerakan harmonik dari
elektron yang dapat diilustrasikan dengan osilator harmonik
teredam.
e-
r
E
e-
r
F
x
OPTIK LINIER
Persamaan gerak dari osilator teredam (konstanta redaman γ) dalam satu dimensi
dapat diperoleh dari Hukum Newton II.
d2x
dx
e
2
iωt
−iωt
+
2
γ
+
ω
x
=
−
E
(
e
+
e
)
0
0
dt
m
dt 2
Dimana : E( t ) = E 0 (e iωt + e − iωt ) adalah medan listrik
x = perpindahan elektron dari keadaan kesetimbangan.
ω0 = frekuensi intrinsik osilator
γ = koefisien redaman (berkaitan dengan kerugian/loss optik linier)
e dan m adalah muatan dan massa elektron.
(ω02 − ω2 )x + 2iωγx = −
x=
e
E0
m
− eE 0
− eE
≈
m[(ω02 − ω2 ) + 2iωγ ] 2m[ω0 (ω0 − ω) + iωγ ]
Dengan aproksimasi di dekat resonansi ω0 = ω
( ω02 − ω2 ) = ( ω0 + ω)( ω0 − ω) ≈ 2ω0 ( ω0 − ω)
Polarisasi dalam medium dengan jumlah elektron N diberikan oleh:
Ne 2
P(ω) = − Nex =
E = ε 0 χ( ω) E
2m[ω0 ( ω0 − ω) + iωγ ]
Suseptibilitas optik linier dalam medium:
( ω0 − ω) / γ
Ne 2
χ (ω) =
2mω0 γε 0 [1 + ( ω0 − ω) 2 / γ 2 ]
'
χ( ω) = χ' (ω) − iχ" (ω)
Ne 2
1
χ" ( ω) =
2mω0 γε 0 [1 + ( ω0 − ω) 2 / γ 2 ]
Bagian riil dari suseptibilitas χ' (ω) berkaitan dengan dispersi indeks bias n(ω)
dari medium, sedangkan bagian imajinernya χ" ( ω) berkaitan dengan dispersi
koefisien absorpsi α(ω), melalui:
n( ω) = 1 + 4πχ' ( ω)
π
χ" ( ω)
2n( ω)
n(ω)
α(ω) [a.u.]
α( ω) =
ω [a.u.]
ω [a.u.]
OPTIK NONLINIER
Model osilator harmonik menawarkan model klasik yang baik untuk
menjelaskan asal suseptibilitas optik linier. Namun, model ini tidak dapat
digunakan untuk kasus optik nonlinier.
Dalam optik linier, gaya penyeimbang (restoring force) sebanding dengan
perpindahan elektron dari keadaan setimbang.
Jika medan listrik cukup kuat, maka perpindahan akan menjadi besar,
sehingga restoring force tidak lagi sebanding dengan perpindahan, tetapi
akan sebanding dengan pangkat dua, pangkat 3 dari perpindahan dst.
Dalam kasus ini, model osilator harmonik harus diperluas menjadi model
tak-harmonik (anharmonic), sehingga suseptibilitas optik nonlinier dapat
ditunkan.In
SUSEPTIBILITAS ORDE KEDUA
Persamaan geraknya dapat digambarkan oleh:
d2x
dx
e
2
2
iωt
−iωt
+
2
γ
+
ω
x
−
Bx
=
−
E
(
e
+
e
)
0
0
2
dt
m
dt
dimana Bx2 adalah anharmonic restoring force.
Kita gunakan solusi yang mengandung bagian harmonik kedua:
x = A (1) e iωt + A (1)*e − iωt + A ( 2 ) e i 2 ωt + A ( 2 )*e − i 2 ωt = x (1) + x ( 2 )
Substitusi kedalam pers. gerak diatas menghasilkan:
d 2 x (1)
dx (1)
e
2 (1)
iωt
−iωt
+
2
γ
+
ω
x
=
−
E
(
e
+
e
)
0
0
2
dt
m
dt
d 2 x ( 2)
dx ( 2 )
2 ( 2)
(1) 2
+
2
γ
+
ω
x
−
B
(
x
) =0
0
2
dt
dt
Karena polarisasi dan perpindahan dalam kasus nonlinier adalah:
P = − Nex ( 2 )
x ( 2 ) = A ( 2 ) .e i 2 ωt + c.c.
Maka:
Ne 3 E 02
1
B
i 2 ωt
P( 2ω) =
.(
e
+ cc)
2
2
2
2
2
2
m [( ω0 − ω ) + 2iωγ ] ω0 − 4ω + 4iωγ
Dari hubungan polarisasi dan suseptibilitas:
P( 2ω) = χ ( 2 ) ( −2ω; ω, ω)(e i 2 ωt + cc ) E 02
Maka diperoleh:
χ
(2)
Ne 3
1
B
( −2ω; ω, ω) = 2
m [( ω02 − ω2 ) + 2iωγ ]2 ω02 − 4ω2 + 4iωγ
suseptibilitas diatas berkaitan dengan pembangkitan harmonik kedua (2ω = ω + ω).
♠ Model anharmonik ini dapat juga untuk menunjukkan kasus sum frequency
generation (SFG) (ω1 + ω2) and the difference frequency generation (DFG) (ω1
− ω2).
♠ Pers. Diatas menunjukkan bahwa resonansi tidak hanya terjadi pada frekuensi
fundamental ω = ω0, tetapi juga pada 2ω = ω0 (two-photon resonance)
ATURAN MILLER
Miller [1] menemukan aturan empirik bahwa:
δ (ijk2 ω) =
χ (ijk2 ) ( 2ω)
χ ii(1) ( 2ω)χ (jj1) ( ω)χ (kk1) ( ω)
Persamaan diatas dapat direduksi kedalam 1-dimensi:
δ ( 2 ω) =
χ ( 2 ) ( 2ω)
χ (1) ( 2ω)[χ (j1) ( ω)]2
δ(2ω) disebut dengan delta Miller.
[1] Miller, R.C., Optical second harmonic generation in piezoelectric crystals, Appl.Phys.Lett. 5(1964), p.17.
SUSEPTIBILITAS ORDE KETIGA
Sama halnya seperti dalam orde kedua, persamaan gerak untuk orde ketiga adalah:
d2x
dx
e
2
3
iωt
−iωt
+
2
γ
+
ω
x
−
Cx
=
−
E
(
e
+
e
)
0
0
2
dt
m
dt
Pandang solusi coba-coba (trial):
x = ( A ω(1) e iωt + cc) + ( A ω( 3) e iωt + cc) + ( A 3ω( 3) e i 3ωt + cc) = x (1) + x ( 3)
Diperoleh:
d 2 x (1)
dx (1)
e
2 (1)
iωt
−iωt
+
2
γ
+
ω
x
=
−
E
(
e
+
e
)
0
0
2
dt
m
dt
d 2 x ( 3)
dx ( 3)
2 ( 3)
(1) 3
+
2
γ
+
ω
x
−
C
(
x
) =0
0
2
dt
dt
Dengan menggunakan hubungan antara polarisasi dan suseptibilitas orde ketiga:
P = [χ ( 3) ( −3ω; ω, ω, ω) E 30 e i 3ωt + cc ] + [χ ( 3) ( − ω; ω,− ω, ω) E 30 e iωt + cc ]
akan menghasilkan suseptibilitas harmonik ketiga:
N  e4 
C
χ ( −3ω; ω, ω, ω) =  3 
4  m  [( ω02 − ω2 ) + iωγ ]3[ω02 − (3ω)2 + 3iωγ ]
( 3)
……….(*)
3N  e 4 
C
……….(**)
 3
χ ( −ω; ω,−ω, ω) =
2
2
2
2 2
2


4  m  [( ω0 − ω ) + iωγ ]2[(ω0 − ω ) + ( ωγ ) ]
( 3)
Persamaan (*) menyatakan bahwa χ( 3) ( −3ω; ω, ω, ω) memiliki resonansi pada
frekuensi fundamental ω=ω0 dan harmonik ketiga 3ω = ω0.
Ungkapan untuk χ ( −3ω; ω, ω, ω) dapat ditulis ditulis dengan bantuan delta Miller
dengan mengeliminasi faktor ( ω02 − ω2 ) + iωγ sehingga:
( 3)
χ ( 3) ( −3ω; ω, ω, ω) =
m
Cχ (1) (3ω)[χ (1) ( ω)]3
3 4
4N e
Untuk memperoleh nilai koefisien C, kita dapat berasumsi bahwa jika
perpindahan x dan jarak atom s adalah sama besarnya, maka restoring force
untuk harmonik dan tak-harmonik mempunyai nilai yang sama, sehingga:
Persamaan (*) menjadi:
ω02 s = Cs 3
N  e4  C
N
χ ( −3ω; ω, ω, ω) =  3  8 = 2 6
4  m  ω0 4s ω0
( 3)
 e4 
 3
m 


Dengan nilai s = 0.3 nm, ω0 = 1016 rad/s dan N = 6 x 1022 /cm3, diperoleh
χ ( 3) ( −3ω; ω, ω, ω) ω→0 = 1x10 −15 esu
yaitu rentang nilai suseptibilitas orde ketiga yang reasonable suatu material.
Persamaan(**) berkaitan dengan proses degenerate four-wave mixing (DFWM)
dimana dua foton yang merambat secara berlawanan menghasilkan suatu pola
grating dalam medium dan foton ketiga akan terhambur keluar dari grating.
Bagian riil dan imajiner bertanggungjawab dalam proses self-focusing dan twophoton absorption.
Walaupun model klasik osilator harmonik dan tak-harmonik dapat
memperkirakan beberapa perilaku respon optik linier dan nonlinier
dari suatu medium, model tersebut masih jauh dari cukup untuk
menjelaskan
secara
lengkap
tentang
fenomena-fenomena
eksperimen yang teramati.
Salah satu masalah dalam model klasik adalah bahwa model ini
hanya memiliki frekuensi karakteristik (fundamental) ω0 , sedangkan
dalam sitem riil terdiri dari molekul-molekul dengan jumlah keadaan
tereksitasi yang besar. Karenanya perlu untum memperlakukan teori
mekanika kuantum dan menyelesaikan persamaan Schrödinger
dengan Hamiltonian khusus.
BAB 3. PERSAMAAN MAXWELL
DALAM MEDIUM OPTIK
NONLINIER
PERSAMAAN MAXWELL DALAM MEDIUM OPTIK NONLINIER
Untuk memahami efek optik nonlinier, kita mulai dari persamaan Maxwell yang
menggambarkan interaksi gelombang EM dengan medium:
r
r
r r
∂H
∂B
= −µ
∇×E = −
∂t
∂t
r
r r r ∂D
∇×H = j +
∂t
r r ρ
∇• E =
ε0
r r
∇• H = 0
r
r
B = µH
r
r
v r
D = εE + P = (ε + χ )E
r
r
j = σE
Polarisasi dalam medium akibat adanya medan listrik digambarkan oleh:
{
}
r
r
r r
r r r
(1)
(2)
( 3)
P = ε 0 χ E + χ E ⊗ E + χ E ⊗ E ⊗ E + ...
r r NL
(1)
= ε0χ E + P
r LIN r NL
=P
+P
(
)
(
)
(
)
r r r
r r
∂ r r
∂ v ∂
∇ × ∇ × E = −µ ∇ × H = −µ σE +
ε0 E + P 
∂t
∂t 
∂t

r
r
r
∂E
∂2E
∂2P
= −µσ
− µε0 2 − µ 2
∂t
∂t
∂t
r
r
∂E
∂2E
∂2
(1) r r NL
= −µσ
− µε0 2 − µ 2 ε0χ E + P
∂t
∂t
∂t
[
]
r
r
r
2
2 NL
r r r
E
P
∂E
∂
∂
∇ × ∇ × E = −µσ
− µε0 1 + χ(1) 2 − µ
∂t
∂t
∂t 2
r
r
r
2
2 NL
r r r r2
∂E
∂
E
∂
P
∇ ∇ • E − ∇ E = −µσ
− µε0 1 + χ(1) 2 − µ
∂t
∂t
∂t 2
(
(
)
[
]
[
)
]
Jika bahan/medium tidak mempunyai sumber muatan bebas ρ = 0, maka:
r
r
r
2
2 NL
r2
∂E
∂ E
∂ P
∇ E = −µσ
− µε 2 − µ
∂t
∂t
∂t 2
Pers. diatas adalah persamaan gelombang EM dalam medium optik
nonlinier, dimana permitivitas bahan didefinisikan sebagai:
(1)
[
ε = ε0 1 + χ
]
SATUAN DARI SUSEPTIBILITAS
Suseptibilitas listrik mempunyai satuan dalam SI
χ( n )
Maka:
m
⇒  
V
n −1
χ(1) ⇒ ?
χ( 2 ) ⇒ m / V
χ( 3) ⇒ (m / V )2
Dalam sistem cgs:
χ(n ) [SI ] =
4π
10−4 c
(
c = 3 x 108 m / s2
)
(n )
[e.s.u]
χ
n −1
[
]
χ( 3) m 2 / V 2 = 1.4 x 10−8 χ( 3) [e.s.u ]
Persamaan gelombang EM dalam medium NLO:
r
r
r
2
2 NL
r2
∂E
∂ E
∂ P
∇ E = −µσ
− µε 2 − µ
∂t
∂t
∂t 2
Asumsikan ada dua buah gelombang bidang yang merambat sepanjang sumbu-z,
melewati bahan NLO, maka:
ω1
ω2
NLO
SFG
ω3 = ω1 + ω2
Sum-Frequency Generation (SFG)
ω3 = ω1 - ω2
Difference-Frequency Generation (DFG)
DFG
ω2
ω2
ω1
ω3
ω1
ω3
Secara umum medan listrik menjadi:
[
r
r
r
iω1t
E(t ) = Re E(ω1 )e + E(ω2 )eiω2t
]
r
r
Polarisasi dalam medium diberikan oleh: P = χijk E
(a). Sum-Frequency Generation:
{
Pi (ω1 + ω2 ) = Re χ ijk (ω = ω1 + ω2 )E j (ω1 )E k (ω2 ).e i (ω1 + ω2 )t
}
(b). Difference-Frequency Generation:
{
Pi (ω1 − ω2 ) = Re χ ijk (ω = ω1 − ω2 )E j (ω1 )E *k (ω2 ).e i (ω1 − ω2 )t
}
E *k (ω2 ) = E k (− ω2 )
Dengan demikian, maka:
r NL
1
P (z, t ) = χ(ijk2 ) E1 ( z ) E 2 ( z ).ei (ω1+ω2 )t .e −i (k1+ k 2 )z
2
= d.E1 ( z ) E 2 ( z ).ei (ω1+ω2 )t .e −i (k1+ k2 )z
d=
1 ( 2)
χ ijk
2
Gelombang-gelombang bidang tersebut adalah:
E1 (z, t ) = E1 (z ) exp[i(ω1t − k1z )]
E 2 (z, t ) = E 2 ( z ) exp[i(ω2 t − k 2z )]
Asumsikan suatu medan listrik baru dengan frekuensi ω3 = ω1 + ω2 (SFG):
E 3 (z, t ) = E 3 ( z ) exp[i(ω3t − k 3z )]
Dengan subsitusikan kedalam pers. gelombang, maka:
r
2 NL
d 2 E3
dE3
∂
P
2
2
−
2
ik
−
k
E
−
i
ω
µσ
E
+
µεω
E3 = µ
3
3
3
3
3
3
2
dz
dz
∂t 2
Bila variasi amplitudo E3 terhadap jarak z kecil atau disebut slowly varying
amplitude (SVA) approximation:
d 2 E 3 (z, t )
dE 3 ( z, t )
<<
2
ik
3
dz
dz 2
2
dan:
µεω32
−
k 32
2
 2π  1  2π 
= µε 
−  =0
 λ  µε  λ 
r
dE
∂ P
2ik 3 3 + iω3µσE 3 = −µ
dz
∂t 2
2 NL
……………………….(1)
Suku di ruas kanan dalam pers. (1) dapat diuraikan menjadi:
r
2 NL
∂ P
2
i (ω1 + ω2 )t −i (k1 + k 2 )z
(
)
(
)
(
)
µ
=
−
µ
ω
+
ω
d
.
E
z
E
z
e
.e
1
2
1
2
2
∂t
= −µω32d.E1 (z )E 2 (z )eiω3t .e −i (k1+ k2 )z
……………….(2)
Dari pers. (1) dan (2), diperoleh:
2ik 3
dE 3 (z ) −ik3z
e
+ iω3µσE 3 (z )e −ik3z = µω32d.E1 (z )E 2 (z )e −i (k1+ k2 )z
dz
Dengan menggunakan hubungan:
ωi =
ki
µεi (ωi )
ω3µ
µ
=
k3
ε3
Maka akan diperoleh tiga buah persamaan:
dE3 (z )
σ µ
ω
=−
E 3 (z ) − i 3
dz
2 ε3
2
µ
d.E1 (z )E 2 (z )e −i (k1+ k2 −k3 )z
ε3
dE1 (z )
σ µ
ω
=−
E1 (z ) − i 1
dz
2 ε1
2
µ
d.E 3 (z )E*2 (z )e −i (k3 −k 2 −k1 )z
ε1
dE*2 (z )
σ µ *
ω
=−
E 2 (z ) + i 3
dz
2 ε2
2
µ
d.E1 (z )E*3 (z )e −i (k1+ k 2 −k3 )z
ε3
Secara umum ki adalah vektor perambatan cahaya, dan besaran ∆k = k3 –k1-k2
disebut vektor gelombang mismatch (wave vector mismatch).
BAB 4. SECOND HARMONIC
GENERATION (SHG)
Second-Harmonic Generation dan Phase-Matching
ω1
χ(2)
ω2
ω1 = ω2 = ω
ω
ω3 = 2ω
ω
2ω
ω3=ω1+ω2
χ(2 ) (− 2ω; ω; ω)
Bentuk umum:
dE 3 (z )
σ µ
ω
=−
E 3 (z ) − i 3
dz
2 ε3
2
=−
Dimana:
k1 = k (ω)
σ µ
ω
E 3 (z ) − i 3
2 ε3
2
k 3 = k (2ω)
µ
d.E1 (z )E 2 (z )e −i (k1+ k 2 −k3 )z
ε3
µ
d.E12 (z )e −i (2 k1−k3 )z
ε3
Dengan asumsi bahwa:
1. Amplitudo tak dipengaruhi oleh proses konversi
2. Medium tak mempunyai absorpsi (σ = 0)
Maka persamaannya menjadi:
E (2 ω) (z ) = −iω
E
(2 ω )
L
µ
ε
2
i∆kz
(
)
d
.
E
ω
e
dz
(2 ω )
∫
o
ei∆kL − 1
(L ) = −ω (2ω) d.E (ω)
∆k
ε
µ
2
Dimana L adalah panjang medium,
dan ∆k = k(2ω) – 2k(ω) adalah vektor
gelom-bang mismatch.
Intensitas keluaran/output dari second harmonic adalah:
2  ∆kL 
sin


ω2µ 2
1
4 2
2 
(2 ω ) 2

= 2 d E(ω) L
I(2ω) = ε0 nc E
2
2
n ε0
 ∆kL 


 2 
ω2µ 2
4
 ∆kL 
= 2 d E(ω) L2 sin c 2 

n ε0
 2 
Intensitas sebagai fungsi dari ∆kL/2 dari medium SHG
ω2µ 2
4 2
2  ∆kL 
I(2ω) = 2 d E(ω) L sin c 

n ε0
 2 
I(2ω)
∆kL/2
Efisiensi konversi untuk SHG:
2
I (2ω) P(2ω)
2 2 2
2  ∆kL  P (ω)
η=
=
~ ω d L sin c 

I(ω)
P(ω)
2

 A
Persamaan diatas menunjukkan bahwa:
1. Efisiensi konversi sebanding dengan P2(ω), sehingga disebut efek NLO
2. Efisiensi sebanding ~d2 ~χ(2)2
3. Efisiensi ~ L2, sehingga medium yang panjang akan menghasilkan
efisiensi konversi yang tinggi (akan dibuktikan ternyata tidak benar)
4. Efisiensi optimal bila ∆k = 0 (disebut kondisi phase-matching
sempurna). Namun keadaan ini umumnya tidak terpenuhi dalam
medium biasa (ordinary) karena adanya efek dispersi (indeks bias
medium bergantung pada panjang gelombang).
Intensitas SHG vs. Panjang medium
B
A
L
A: Kondisi non-phase-matching (∆k ≠ 0). Ternyata semakin panjang medium
intensitas SHG tidak semakin besar.
B. Kondisi phase matching sempurna (∆k = 0)⇒ I(2ω) ~ L2.
Intensitas SHG vs. Panjang medium
(Hasil eksperimen)
Kondisi non-phase matching
Kondisi hampir phase matching ∆k ~ 0
Efek dispersi material
•
Dispersi adalah indeks bias medium bergantung pada panjang gelombang
atau frekuensi, sehingga n(ω) ≠ n(2ω).
n
ω
n(ω)
Sehingga:
∆k = k (2ω) − 2 k (ω)
= n (2ω) − 2 n (ω)
≠0
n(2ω)
Konsekuensi fisis dari dispersi adalah bahwa dua gelombang:
E ω (z, t ) = E ωei{ωt −k (ω)z }
E 2 ω (z, t ) = E 2 ωei{2 ωt − k (2 ω)z }
Akan berbeda fasa sehingga proses generasi dari SHG akan terhenti (seperti
interferensi destruktif). Pada jarak tertentu, amplitudo mencapai maksimum:
∆kl = π
Pada panjang tertentu=panjang koheren
dimana proses SHG berlangsung efektif.
Lc = 2l
, panjang medium/kristal,
2π
2π
2 πc
=
=
∆k k (2ω) − 2 k (ω) 2ωn (2ω) − 2ωn (ω)
λ
=
2[ n (2ω) − 2 n (ω)]
Lc =
Contoh: jika l = 1.0 µm
n(2ω)-n(ω) = 10-2
maka diperoleh panjang koheren Lc ≈ 50 mm.
Bukti efek panjang koheren pada intensitas SHG
Maker et al, Phys. Rev. Lett. 8 (1992), p.19
Mengukur intensitas SHG suatu kristal sebagai fungsi dari sudut θ
S
ω
S : sampel
F : filter
F
ω
2ω
2ω
PD
P(2ω)
Bila ∆k ≠ 0;
1. Pada Lc pertama → P(2ω)
2. Pada Lc kedua → P(2ω), namun intensitasnya berkurang, dst…
L = 2n Lc → P(2ω) = 0
L = (2n+1) Lc → P(2ω) = optimum
Dimana L = d cos θ, dimana d adalah tebal kristal/medium.
Bila kondisi phase-matching terpenuhi, intensitas SHG
bisa meningkat dengan faktor 1,6.105 kali. Kondisi dapat
dipenuhi oleh kristal khusus, yaitu birefringence crystals,
Sum Frequency Generation (SFG)
ω1
ω2
χ(2)
ω3 = ω1 + ω2
ω2
ω3
ω1
This process combined with SHG is used in practices for generation of third
harmonic
1064
1064
1064
KDP
532
KDP
532
355
You can see all these nice colors with your own eyes (through the safety goggles)
in Nonlinear Optics Lab 0.501 (MPIP-Mainz)
Lab. NLO-MPIP Mainz
BAB 5. PERAMBATAN
GELOMBANG DALAM MEDIUM
ANISOTROPIK
Dalam suatu medium anisotropik, polarisasi tidak selalu sejajar dengan medan
listrik. Suseptibilitas yang merupakan respon medium pada gelombang EM
bukan besaran skalar tetapi tensor. Secara fisis, hal ini dipahami bahwa atomatom dalam kristal tidak identik sepanjang arah-arah yang berbeda. Polarisasi
telah didefinisikan sebagai:
P = ε0 χ(1)E
P1 = ε0 (χ11E1 + χ12 E 2 + χ13E 3 )
P2 = ε0 (χ21E1 + χ22 E 2 + χ23E3 )
P3 = ε0 (χ31E1 + χ32 E 2 + χ33E 3 )
Ke-sembilan (9) elemen tensor χ bergantung pada pemilihan koordinat. Sebagai
konsekuensinya, maka vektor perpindahan listrik menjadi:
r
r r
r
D = ε0 E + P = ε0 (1 + χij )E
r
= εijE
Dimana tensor suseptibilitas χij diganti dengan tentor permitivitas dielektrik εij.
Refraksi pada suatu batas medium anisotropik
Pandang suatu gelombang bidang yang datang pada suatu permukaan kristal
anisotropik.
k 0 sin θ0 = k1 sin θ1 = k 2 sin θ2
Indek 0 = gelombang datang
Indeks 1,2 = gelombang-gelombang refraksi
Efek fisis dari medium anisotropik adalah bahwa gelombang datang dengan
polarisasi D0 terpisah menjadi dua gelombang dengan polarisasi yang saling
ortogonal dan menjalar di dalam kristal dengan sudut yang berbeda.
Rapat energi dalam suatu medium:
(
1 r r
U = E•D
2
)
D i = εi E i
i = x , y, z
2
D2x D y D2z
+
+
= 2U
εx
εy
εz
Definisikan:
r
r r
r = D 2U
εi = n i2
x = Dx 2U
Maka diperoleh:
x 2 y2 z 2
+ 2 + 2 =1
2
nx ny nz
Persamaan ellips
Kristal Uniaxial
- mempunyai satu sumbu kristal.
- dua indeks bias adalah identik,
sehingga bidang perpotongan dengan
sumbu optik merupakan suatu
lingkaran.
-jika z adalah sumbu simetri (sumbu
kristal, maka ada dua indeks bias:
n 02
εx ε y
=
=
ε0 ε0
n e2
εz
=
ε0
n0 = indeks bias ordinary
ne = indeks bias ekstraordinary
Maka persamaan ellips menjadi:
x 2 y2 z 2
+ 2 + 2 =1
2
n0 n0 ne
Bidang yang diarsir membentuk ellips dengan dua sumbu utama, sehingga ada
dua arah polarisasi yang sejajar dengan sumbu ellips, yaitu:
1. Polarisasi sepanjang sumbu-x, yang tegak lurus sumbu optik sehingga
disebut gelombang ordinary dengan indeks bias n0.
2. Polarisasi dalam bidang x-y yang terletak sebidang dengan sumbu optik
disebut gelombang ekstraordinary.
BAB 6. PHASE MATCHING PADA
MEDIUM BIREFRINGENCE
• Kondisi phase-matching ∆k = 0 tidak mungkin diperoleh pada medium
isotropik, karena adanya efek dispersi, n(λ).
• Dalam media anisotropik, gelombang ordinary dan extraordinary dapat
dicampur, sehingga diperoleh kondisi phase-matching.
• Dilakukan dengan merubah indeks bias gelombang extraordinary yang
ditransmisikan melalui perubahan sudut θ antara vektor-k dan sumbu
optik medium.
n e (θ) =
•
neno
n 2o sin 2 θ + n e2 cos2 θ
Dalam median anisotropik, efek dispersi tetap ada, akibatnya no, ne
dan ne(θ) juga sebagai fungsi dari panjang gelombang/frekuensi.
Dispersi pada kristal KDP
Indeks bias
ne < no
Kondisi phase-matching
(∆k=0) untuk kasus SHG
dapat dipenuhi dengan
memilih:
n ω = n 2ω
Karena efek dispersi kondisi
ini tidak mungkin dicapai,
karena:
n oω ≠ n 2o ω
n eω (θ) ≠ n 2o ω (θ)
Dalam kristal uniaxial negatif (ne < no), seperti KDP, pada nilai sudut tertentu θm,
berlaku:
n e2 ω (θm ) = n ωo
Kondisi ini disebut phase-matching angle.
Sebelum menyelesaikan persamaan secara aljabar untuk mencari sudut
tertentu, dimana kondisi phase-matching terpenuhi (phase matching
angle), kita bahas secara geometri untuk mengklarifikasi masalah.
Masalahnya adalah suatu kristal bersifat birefringent dan dispersive pada
saat yang sama.
Indeks-indeks permukaan untuk berkas ordinary dab extraordinary dapat
digambarkan dalam dua frekuensi ω dan 2ω. Sehingga kita memiliki 4
(empat) indeks permukaan yang berbeda (lihat gambar untuk kristal
birefringent negatif)
n 2oω (θ) = n 2oω
Indeks permukaan untuk no
pada frekuensi 2ω dan ne
pada frekuensi ω ditunjukkan
oleh garis putus-putus, karena
tidak penting untuk phasematching.
Kurva untuk no(ω) dan ne(2ω)
menentukan sudut phase
matching, yaitu titik-titik pada
lingkaran no(ω) bertemu
dengan titik-titik pada
lingkaran ne(2ω).
Pada frekuensi 2ω, persamaan ellips:
n e2 ω (θm ) =
(n ) sin
2ω 2
o
n 2e ωn 2oω
2
( )
2
θm + n e2 ω cos2 θm
Untuk memperoleh kondisi phase-matching, maka:
n e2 ω (θm ) = n ωo
Sehingga:
sin 2 θm
(
n ) − (n )
=
(n ) − (n )
ω −2
o
2 ω −2
e
2 ω −2
o
2 ω −2
o
Arti fisis:
Kondisi phase-matching, yaitu kondisi yang efektif untuk frekuensi doubling
dicapai jika suatu berkas (beam) menjalar melalui kristal pada sudut tertentu
θm antara vektor-k dan sumbu optik.
Karena adanya efek dispersif pada semua parameter diatas (n0ω, n02ω dan ne2ω),
maka sudut phase-matching akan berbeda untuk frekuensi doubling dari frekuensi
yang berbeda. Ini diasumsikan bahwa berkas dengan frekuensi ω adalah berkas
ordinary (terpolarisasi tegak lurus terhadap sumbu optik), sedangkan harmonik
kedua adalah berkas extra-ordinary (terpolarisasi dalam bidang sumbu optik).
Sehingga dalam proses ini polarisasi harmonik kedua (2ω) tegak lurus terhadap
polarisasi fundamental (ω).
Dalam contoh ini kita berasumsi bahwa kristal adalah birefringent negatif,
sehingga kondisi phase matching diperoleh dengan ordinary fundamental dan
extraordinary second harmonic.
Untuk medium birefringent positif, kondisi phase-matching terpenuhi frekuensi
fundamental (ω) adalah extraordinary dan harmonik kedua (2ω) adalah
ordinary.
Kondisi phase-matching untuk sum-frequency mixing (ω3 = ω1+ω2):
r r r r
∆k = k 3 − k1 − k 2
Proses frekuesi doubling atau pembangkitan harmoni kedua (second harmonic
generation, SHG) dapat juga dipahami sebagai proses sum-frequency mixing dari
gelombang ordinary dan extraordinary pada frekuensi yang sama di dalam kristal.
Dalam kasus ini, hubungan phase-matching ∆k=0 menjadi:
n e2 ω (θ) =
n 2o ω =
[
[
]
1 ω
n o + n eω (θ)
2
]
1 ω
n o + n eω (θ)
2
untuk kristal birefringent negatif
untuk kristal birefringent positif
Jelas bahwa sudut phase-matching θm akan berbeda untuk bahan birefringent
negatif dan positif, walaupun prosesnya sama yaitu frekuensi doubling.
Tipe-tipe Phase-Matching
BAB 7. OPENING ANGLE
Pandang phase-matching tipe-I dan kristal birefringence negatif.
[
]
2ω 2 ω
∆k =
n e (θ) − n oω = 0
c
Hubungan phase-matching:
Kondisi ini dapat dipenuhi untuk nilai sudut tertentu θm. Ekspansi
Taylor pada sekitar sudut phase-matching (θ−θm):
[
]
dk 2ω d 2 ω
2ω d
neno
n e (θ) − n ωo =
=
dθ
c dθ
c dθ n 2o sin 2 θ + n e2 cos2 θ
(
)
ω
neno
2
2
=−
n
−
n
o
e sin 2θ
3/ 2
2
2
2
2
c n sin θ + n cos θ
o
e
{
ω {n
=−
c
Sehingga:
}
( )} (n 2 − n 2 )sin 2θ
3
2ω
e θ
n e2 n 2o
o
e
(
)
dk
ω
= − n 3o n e−2 − n o−2 sin 2θm
dθ m
c
Dimana:
n e2 ω (θ) = n o
Maka:
2β
∆θ
L
β ∝ sin 2θm
∆k =
Daya untuk SHG menjadi:
Daya SHG untuk kristal
KDP dengan tebal kristal
L = 1,23 cm dan kondisi
phase matching diperoleh
pada θ−θm = 0.10


2  ∆kL  

sin 
2
2   sin [β(θ − θm )]

(2 ω )

P θ ∝
∝
2 
[
β(θ − θm )]2
∆
kL




 2  


Konsep opening angle dapat dipahami dengan dua cara:
1. Untuk panjang gelombang tertentu λ dan cahaya yang difokuskan,
konvergensi sudut tidak boleh melebihi 0,10, jika tidak, maka efisiensi
SHG akan berkurang.
2. Untuk kasus cahaya ko-linier, perbedaan panjang gelombang ∆λ:
∆k
∆λ
=−
k
λ
Akibatnya hanya bandwidth tertentu yang menghasilkan proses SHG
yang efisien.
BAB 8. TEMPERATURE TUNING
Dalam bahasan sebelumnya, diasumsikan bahwa indeks bias material
bergantung pada vektor k dan polarisasi bahan. Dalam realita, indeks
bias juga dipengaruhi oleh faktor-faktor eksternal yang akan
mempengaruhi jarak kisi dalam tiga dimesi dari suatu kristal/bahan.
Pada prinsipnya, nilai n eω , n 0ω , n e2 ω , n 02 ω bergantung pada temperatur.
Sehingga kondisi phase-matching ∆k = 0 dapat diperoleh dengan
merubah temperatur kristal. Tentu saja sudut qm masih menjadi
parameter yang penting.
Ada suatu kelas dari kristal, mirip KDP, yang cocok untuk temperature
tuning, dimana kondisi phase-matching dapat diperoleh untuk sudut θm =
900. Dengan mengatur temperatur, maka kondisi ∆k = 0 dan θm = 900
dapat dipenuhi untuk beberapa panjang gelombang tertentu.
Kurva temperature-tuning untuk kristal
KDP dan ADP
Beberapa keuntungan temperature-tuning:
Sifat-sifat walk-off menjadi tidak penting, jika phase-matching diperoleh pada
sudut θm = 900. Kondisi ini disebut phase-matching non-kritis.
Pada sudut tersebut, cahaya/gelombang menjalar sepanjang sumbu optik
dan tidak ada efek indeks bias ganda (birefringence) dalam medium.
Temperature tuning ini sangat cocok untuk aplikasi intracavity phase-matching
SHG (laser), karena efek-efek tadi akan menimbulkan kerugian (losses) dalam
proses lasing.
Pada sudut θm = 900 ekspansi orde pertama dalam deret Taylor untuk turunan
opening angle yang mengandung faktor sin 2θm akan hilang sehingga diperoleh
untuk kondisi phase-matching non-kritis:
∆k ∝ (∆θ)
2
sehingga opening angle yang lebih besar diperbolehkan.
Pada θm = 900 , koefisien nonlinier deff = ½ χ(2) adalah maksimum.
Proyeksi ellipsoid ke dalam bidang x-y. Polarisasi gelombang ordinary tegak lurus
bidang gambar.
z = n e (θ)sin θ
z
θ
y = n e (θ) cos θ
r
s
Maka pers. Ellips menjadi:
A
n e (θ)
θ
z
cos θ sin θ
= 2 + 2
2
n e (θ)
n0
ne
1
y
y
Indeks bias bergantung pada
arah propagasi vektor
gelombang.
1. Untuk kasus khusus dimana θ = 0 yaitu vektor gelombang s
sepanjang sumbu optik, maka tidak ada birefringence ( ne = n0).
2. Jika vektor gelombang s tegak lurus sumbu optik, maka dua
gelombang akan menjalar melalui medium dengan indeks bias n0
dan ne.
Untuk medium birefringence positif (ne > n0), sedangkan medium
birefringence negatif (ne < n0).
BAB 9. QUASI PHASE-MATCHING
(QPM) TECHNIQUE
Kurva A : kondisi phase-matching sempurna di sepanjang kristal.
Kurva C : kasus phase-mismatch dengan panjang koheren lc.
Kurva B1: kasus dimana polarisasi dibalik setelah setiap panjang koheren.
Dalam mencapai phase-matching dengan opening angle, dalam
beberapa nilai sudut, propagasi gelombang tidak memungkinkan,
karenanya beberapa elemen pada tensor dij tidak dapat diakses.
Problemnya adalah fasa dari SHG berbeda dengan fundamental
karena adanya efek dispersi (kecepatan cahaya yang berbeda).
Dalam masing-masing panjang koheren, bahwa polarisasi nonlinier
berbeda fasa 180o (π radian) dan fasa relatif slips π/2. Setelah
panjang koheren pertama, fasa bergeser ke dalam daerah dimana
energinya hilang.
Ide dibalik caya untuk mencapai kondisi phase-matching adalah
dengan mengatur fasa polarisasi nonlinier setelah masing-masing
panjang koheren. Pada kondisi demikian, intensitas nonlinier
meningkat secara monoton, walaupun lebih landai daripada dalam
phase-matching sempurna.
Kondisi ini disebut kondisi quasi phase-matching (QPM) yang dapat
diperoleh dengan periodically poled crystal.
Periodically Poled Crystal
Segmen-segmen material dengan sumbu optik yang berlawanan arah.
Perambatan gelombang dalam segmen-segmen diputar 180o sehingga
pergeseran fase dalam panjang koheren Lc pertama akan berkurang
dalam panjang koheren berikutnya.
Hubungan fasa antara medan optik/listrik dengaqn
polarisasi nonlinier SHG
Persamaan gelombang terkopel:
d
E 2 = Γd (z ) exp[− i∆k' z ]
dz
iωE12
Γ=
n 2c
Gelombang SHG pada ujung sampel L, diberikan oleh:
L
E 2 (L ) = Γ d (z )exp[− i∆k' z ]dz
∫
0
Dalam kasus khusus: d(z) = deff dan ∆k’ = 0, maka gelombang SHG:
E 2 (L ) = Γd eff L
Dalam realita, fungsi d(z) dapat diasumsikan terdiri dari domain-domain dengan
± deff yang berubah tanda pada posisi zj.
Asumsikan bahwa tanda diganti dengan gk dan lk adalah panjang domain ke-k,
dan N adalah jumlah domain, maka:
iΓd eff
E2 =
∆k '
N
g k [exp(− i∆k ' z k ) − exp(− i∆k' z k −1 )]
∑
k =1
Tanda berubah dalam struktur yang sempurna pada posisi:
e − i∆k0 'z k ,0 = (− 1)k
dimana ∆k0’ adalah vektor gelombang mismatch pada panjang gelombang input
dan untuk QPM orde ke-m:
z k ,0 = mkl c
Untuk struktur yang sempurna (tanpa adanya kesalahan fasa pada daerah
batas), maka gelombang SHG diberikan oleh:
E 2,ideal ≈ iΓg1d eff
2
L
mπ
Karena kristal harus dibuat pada periodisitas tertentu L, maka kristal hanya akan
match untuk panjang gelombang tertentu. SHG pada panjang gelombang yang
lain akan memberikan suatu mismatch dan mengurangi intensitas SHG. Selain itu
struktur domain tidak pernah sempurna yang akan mengakibatkan mismatch
pada daerah batas.