ALJABAR LINEAR Himpunan Bebas Linear, Bergantung Linear dan

ALJABAR LINEAR
Himpunan Bebas Linear,
Bergantung Linear
AFLICH YUSNITA FITRIANNA, M.Pd.
STKIP SILIWANGI BANDUNG
Bebas Linear
 Definisi
Jika S= v1, v2,..., vn adalah suatu himpunan vektor-vektor tak
kosong, maka persamaan vektor
k v
1
1
 k 2 v 2  ...  k n vn  0
Mempunyai paling tidak satu penyelesaian =, yaitu
k k
1
2
 ...  k n  0
Jika ini adalah satu-satunya penyelesaian, maka S disebut suatu
himpunan yang bebas secara linear.
Jika ada penyelesaian lainnya, maka S disebut himpunan yang tak
bebas secara linear atau bergantung linear.
Contoh
1. Vektor u, v, w € R3, dengan:
1 
2 
  1
 
 
 
u    2 , v   2 , w  1 
1 
  1
  1
 
 
 
Selidiki vektor-vektor tersebut bebas linear atau bergantung
linear!
Penyelesaian:
Sehingga diperoleh persamaan:
u v w0
k
1
k
2
k
3
1 
2 
  1  0 
 
 
   

2

2

k1   k 2   k 3 1    0 
1 
  1
  1  0 
 
 
   
 k1
  2k 2    k 3   0 
  

 
 
  2k    2k    k    0 
1
2

 
  3   

 
 
 0
 k1
  k 2   k 3   
k  2k  k  0
 2k  2k  k  0
k k k  0
1
2
3
1
1
2
2
3
3
1
1 0
2
2
2
1 0
1 1 0
1
1
2b  b
 b b
1 0
1 2
1 0
1
0 0  0
2
0 6
2b
3
2
1
2
0
6
1
3
0 3
1 0
1 0
1

b
2 b3
2
0 0
1 2 1 0
0 6 1 0
0 0 1 0
Dari matriks terakhir diperoleh persamaan:
k  2k  k
6k  k  0
k  0
1
2
2
3
0
3
3
Sehingga diperoleh penyelesaian, k1=0, k2=0, dan k3=0
Jadi, vektor-vektor tersebut bebas linear.
1 2
1 0
1 0
1
0 0  0
2
0 6
2. Tentukan apakah vektor-vektor
v  (1,2,3)
v
1
2
 (5,6,1)
v
3
 (3,2,1)
Membentuk suatu himpunan yang tak bebas secara linear atau
himpunan yang bebas secara linear.
Penyelesaian:
Dalam bentuk komponen, persamaan vektor:
k v k v
1
1
2
2
 k 3 v3  0
Menjadi,
k (1,2,3)  k
1
2
(5,6,1)  k 3 (3,2,1)  (0,0,0)
Ekuivalen dengan
(k , 2k ,3k )  (5k , 6k , k )  (3k , 2k , k )  (0,0,0)
1
1
1
2
2
2
3
3
3
Ekuivalen dengan
(k1 5k 2  3k 3 , 2k1 6k 22k 3,3k1  k 2  k 3)  (0,0,0)
Ekuivalen dengan
 k 5k  3k
2
3
 1

 2k 1  6k 2  2k 3

 3k 1  k 2  k 3

 0
  0
  
  0 

Sehingga diperoleh persamaan:
k 5k  3k
1
2
3
0
 2k 1  6k 2  2k 30
3k  k  k
1
2
3
0
Selesaikan persamaan dengan menggunakan matriks (menggunakan
operasi baris elementer):
5 3  k 1   0 
 1


 


  2 6 2 k 2  0
 3  1 1    0 

 k 3   
1
5 30
2
3
6
20
1 1 0
1
5
3 0
2b  b
0
16
8 0
 3b1  b3
0  16  8 0
1
2
1
b b
2
3
5
30
0 16 8 0
0
0
00
1
5
30
0 16 8 0
0
0
00
Dari matriks terakhir diperoleh persamaan:
k  5k  3k  0....(1)
Jika dimisalkan:
16k  8k  0...(2)
16k   8k
s
k
3
1


k
Maka:
k
2
1
1
2
2
3
3
2
3
2
3
k 1  5k 2  3k 3  0....(1)
k1  
5

0
2 k 3 3k 3
1
0
k
3
2
1


k1 2 k 3
k1 
 s
2
1


k2 2 s
k
1
Karena mempunyai penyelesaian maka membentuk
himpunan yang tak bebas secara linear atau bergantung
linear
Latihan
Buktikan bahwa vektor-vektor berikut bebas linear atau bergantung
linear:
1. u= (-1, 2, 4), v= (5,-10,-20) dalam R3
2. u= (-3,0,4), v= (5, -1,2), w= (1,1,3) dalam R3