STATISTIKA II

STATISTIKA II
(BAGIAN -1)
Oleh :
WIJAYA
email : [email protected]
FAKULTAS PERTANIAN
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON
2008
Wijaya : Statistika II-1
0
I. PELUANG
1.1 Ruang Contoh (S)
Ruang Contoh adalah Himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan.
Cara penulisan atau penyajian ruang contoh S yaitu dengan cara :
a.
Daftar :
Misal : 2 produk diambil secara acak kemudian diperiksa apakah cacat (C)
atau tidak cacat (T) maka S = { CC, CT, TC, TT }
b.
Pernyataan atau Pembangun Himpunan :
Misal : S = { x | x = mata kuliah semester III }
Anggota (Titik Contoh) = Setiap kemungkinan hasil dalam suatu ruang contoh.
Kejadian = Himpunan bagian dari ruang contoh S.
Kaidah Penggandaan Umum :
Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, bila setiap cara tersebut
operasi kedua dapat dilakukan dengan n2 cara, dan seterusnya, maka k operasi
dalam urutan tersebut dapat dilakukan dengan n1. n2 … nk cara.
Teladan 1.1 :
Seorang ingin memakai sepasang celana, baju dan sepatu. Jika terdapat 4 jenis
celana, 2 baju dan 3 sepatu, maka banyaknya kemungkinan memakai pasangan
celana, baju dan sepatu tersebut adalah : 4 x 2 x 3 = 24 cara.
Teladan 1.2 :
Seorang ingin menanam pohon jambu, belimbing dan mangga. Jika terdapat 5
jenis jambu, 4 belimbing dan 3 mangga, maka banyaknya kemungkinan menanam
tiga buah tanaman tersebut adalah : 5 x 4 x 3 = 60 cara.
Pemutasi = Susunan data atau benda yang tergantung pada letaknya.
(1)
Permutasi n benda yang berbeda = n !
(2)
Permutasi r dari n benda = nPr = n ! / (n – r ) !
(3)
Permuasi n benda yang disusun melingkar = (n – 1) !
Wijaya : Statistika II-1
1
(4)
Permutasi n benda yang terdiri dari n1 jenis pertama, n2 jenis kedua … nk
jenis ke k = n ! / (n1 ! n2 ! … nk !)
Teladan 1.3 :
Seorang ingin menyusun rangkaian lampu pijar yang terdiri dari 2 lampu merah, 3
hijau dan 4 kuning, maka banyaknya kemuningkanan menyusun 9 lampu tersebut
dengan susunan yang berbeda adalah : 9 ! / 2 ! 3 ! 4 ! = 1.260 cara
Sekatan atau Sel :
Banyaknya cara menyekat n benda ke dalam r sel, dengan n1 unsur dalam sel
ke–1, n2 unsur dalam sel ke–2, …, adalah = n ! / (n1 ! n2 ! … nk !), dan n1 + n2 +
… nk = n.
Teladan 1.4 :
1.
Banyaknya cara 7 orang menginap dalam 1 kamar triple dan 2 kamar double
adalah = 7 ! / 3 ! 2 ! 2 ! = 210 cara.
2.
Banyaknya cara 9 orang naik mobil dengan kapasitas masing–masing 2, 4
dan 5 orang = 9 ! / 2 ! 4 ! 5 ! = 63 cara.
Kombinasi = Susunan benda tanpa memperhatikan letak atau urutannya.
Kombinasi r dari n objek adalah : rCn = n ! / r ! (n – r) !
Teladan 1.5 :
Banyaknya cara untuk memilih 2 buah mesin ketik dari 4 jenis mesin ketik adalah =
4 ! / 2 ! (4 –2) ! = 6 cara.
1.2 Peluang Kejadian :
Peluang suatu kejadian adalah Frekuensi relatif apabila banyaknya pengamatan
diperbesar sampai tak hingga. Atau P (E) = Limit (n / N), jika N
∼
Teladan 1.6 :
1.
Dari pengiriman 200 buah lampu terdapat 10 buah yang rusak. Jika seorang
membeli lampu tersebut, berapa peluangnya bahwa yang dibeli itu rusak ?.
Jawab : P (R) = 10/200 = 0,05.
Wijaya : Statistika II-1
2
2.
Dalam satu kantung terdapat 20 buah kelereng berwarna kuning dan 30 buah
kelereng berwarna merah. Maka peluang terambilnya kelereng kuning dalam
satu pengambilan adalah P (K) = 20/50 = 0,4.
(1)
Macam Kejadian :
(a)
Kejadian Eksklusif (Saling Asing / Saling Cegah) :
Kejadian A dan B saling asing apabila
terjadinya A mencegah terjadinya B.
A
B=A
A komplemen dari B (atau sebaliknya).
P (A atau B) = P (A) + P(B) = 1
(b)
Kejadian Bersyarat :
Terjadinya A didahului B, atau A terjadi
S
jika B diketahui.
A
B
A bagian dari B atau A ⊂ B
P (A| B) = P (A ∩ B) / P(B)
(c)
Kejadian Insklusif :
A atau B atau keduanya dapat terjadi
S
Gabungan A dan B
A
A∩B
B
P (A dan atau B) = P(A) + P(B) –
P(A ∩ B)
(d)
Kejadian Saling Bebas (Independen) :
Terjadinya atau tidak terjadinya A tidak
mempengaruhi terjadinya B.
S
A
B
A∩B = ∅
P (A dan B) = P (A) . P (B).
Kejadian saling bebas merupakan kejadian dengan pemulihan (jika tanpa
pemulihan merupakan kejadian bersyarat).
Wijaya : Statistika II-1
3
Teladan 1.7 :
1
Misal populasi sarjana di suatu kota datanya adalah :
Misal
Bekerja (B)
Menganggur (M)
Jumlah
Laki–laki (L)
460
40
500
Wanita (W)
140
260
400
Jumlah
600
300
900
diambil
secara
acak
seorang
diantara
mereka
untuk
ditugaskan
mempublikasikan pentingnya didirikan industri baru. Hitung peluang bahwa yang
terpilih adalah :
a.
Laki–laki atau wanita
b.
Laki–laki jika diketahui ia sudah bekerja.
c.
Laki–laki atau yang sudah bekerja.
Jawab :
a.
Kejadian Eksklusif : P (L atau W) = 5/9 + 4/9 = 1
b.
Kejadian Bersyarat : P (L| B) = P (L ∩ B) / P(B) = (460/900) (600/900) =
460/600 = 13/30
atau langsung dari tabel : P (L| B) = 460/600 = 13/30
c.
Kejadian Inklusif : P (L ∪ B) = P(L) + P(B) – P(L ∩ B)
= 500/900 + 600/900 – 460/900 = 32/45
2.
Peluang A beruntung dalam menjual produk minuman = 0,7.
Peluang B beruntung dalam menjual produk minuman = 0,8.
Berapa peluang A dan B beruntung dalam menjual produk minuman tersebut
?
Jawab : P (A dan B) = P (A) . P (B) = 0,7 x 0,8 = 0,56
(2)
Peluang Marginal dan Kaidah Bayes
Untuk lebih jelasnya mengenai Peluang Marginal dan Kaidah Bayes, dapat
diilustrasikan dengan bagan sebagai berikut :
Wijaya : Statistika II-1
4
A1
A2
…
Ak
S
A1 ∩ A
A2 ∩ A
…
Ak ∩ A
A
Misal A1 , A2 , … Ak merupakan sekatan dari S dengan P(Ai) ≠ 0, dan i = 1, 2, … ,
k. Dalam setiap sekatan terdapat kejadian A, sehingga terdapat A1 ∩ A, A2 ∩ A,
…, dan Ak ∩ A buah bagian. Peluang terjadinya A yaitu P (A) dimana P(A) ≠ 0,
adalah :
P (A) = P (A1 ∩ A) + P (A2 ∩ A) + … + P (Ak ∩ A) atau
P (A) = P (A1).P (A⏐A1) + P (A2).P (A⏐A2) + … + P (Ak).P (A⏐Ak ) atau
P (A) = ∑ P (Ai).P (A⏐Ai) …….. disebut Peluang Marginal
Selanjutnya Kaidah Bayes didefinisikan sebagai berikut :
Jika kejadian–kejadian A1 , A2 , … Ak merupakan sekatan dari S dengan besarnya
P(Ai) ≠ 0, dan i = 1, 2, … , k, maka untuk sembarang kejadian A yang bersifat P(A)
≠ 0,
P (Ai).P (A⏐Ai)
P (Ai⏐A) =
P(A1).P(A⏐A1) + P(A2).P(A⏐A2) + … + P (Ak).P(A⏐Ak )
atau :
P (Ai).P (A⏐Ai)
P (Ai⏐A) =
∑ P (Ai).P (A⏐Ai)
Cara penurunan rumus tersebut adalah sebagai berikut :
P (A ∩ Ai) = P (A⏐Ai) . P (Ai)
P (Ai ∩ A) = P (Ai⏐A) . P (A)
Karena : P (A ∩ Ai) = P (Ai ∩ A) maka P (Ai⏐A) . P (A) = P (A⏐Ai) . P (Ai)
Wijaya : Statistika II-1
5
Kalau masing–masing dibagi dengan P (A) maka hasilnya :
P (Ai⏐A) = P (A⏐ Ai) . P (Ai) / P (A)
dan karena P (A) = P (A1).P (A⏐A1) + P (A2).P (A⏐A2) + … + P (Ak).P (A⏐Ak )
sehingga :
P (Ai). P (A⏐Ai)
P (Ai⏐A) =
P (A1).P (A⏐A1) + P (A2).P (A⏐A2) + … + P (Ak).P (A⏐Ak )
atau :
P (Ai).P (A⏐Ai)
P (Ai⏐A) =
∑ P (Ai).P (A⏐Ai)
Teladan 1.8 :
1.
Sebuah toko elektronik men erima kiriman 200 buah TV, yang terdiri dari 100
buah merk Sharp, 60 buah merk Polytron dan 40 buah merk Digitec. Dari
150 buah TV tersebut terdapat yang rusak yaitu 6 buah merk Sharp, 3 buah
merk Polytron dan 2 buah merk Digitec. Seorang megambil satu buah TV
secara acak :
a.
Hitung peluangnya bahwa TV yang terambil tersebut rusak.
b.
Jika TV yang diambil telah diketahui rusak, berapa peluangnya bahwa TV
yang rusak tersebut ternyata merk Sharp.
Jawab :
Jumlah seluruh TV = 200 buah
Peluang untuk Sharp P (S) = 100/200 = 0,50
Peluang untuk Polytron P (P) = 60/200 = 0,30
Peluang untuk Digitec P (D) = 40/200 = 0,20
Misal peluang TV yang rusak adalah P (R), maka :
P (R⏐S) = 6/100 = 0,06
a.
P (R⏐P) = 3/60 = 0,05 dan P (R⏐S) = 2/40 = 0,05
Peluang terambilnya TV yang rusak :
P (R) = P (R⏐S).P (S) + P (R⏐P).P (P) + P (R⏐D).P (D)
Wijaya : Statistika II-1
6
P (R) = (0,5)(0,06) + (0,3)(0,05) + (0,2)(0,05) = 0,055
b
TV diketahui rusak ternyata merk Sharp :
P (S⏐R) = P (S ∩ R) / P (R) = P (S).P (R⏐S) / P (R)
= 0,5 (0,05) / 0,055 = 0,45
2.
Sebuah perusahaan menyediakan 3 hotel untuk rekanannya. Dari catatan
sebelumnya diketahui bahwa 20 % diinapkan di Ramada Inn, 50 % di
Sheraton dan 30 % di Flower Inn. Jika 5 % diantara kamar–kamar Ramada
Inn, 4 % Sheraton dan 8 % Flower Inn terdapat kerusakan pipa air
ledengnya, hitung peluang bahwa :
a.
Seorang rekanan mendapat kamar dengan pipa air ledeng yang rusak.
b.
Seorang rekanan diketahui mendapat kamar dengan pipa air ledeng yang
rusak, ternyata menginap di hotel Flower Inn.
Jawab :
P (A⏐R) = 0,05 dari P (R) = 0,20
P (A⏐S) = 0,04 dari P (S) = 0,50
P (A⏐F) = 0,08 dari P (F) = 0,30
P(R)=0,2
a.
P(S)=0,5
P(F)=0,3
Misal P (A) = peluang mendapat kamar yang rusak, atau
P (A) = P (A⏐R).P (R) + P (A⏐S).P (S) + P (A⏐F).P (F) = 0,054
b.
Karena sudah diketahui mendapat kamar yang rusak, maka :
P (F⏐A) = P (F ∩ A) / P (A) = P (F).P (A⏐F) / P (A)
= 0,3 (0,08) / 0,054 = 4/9
Soal–soal :
1.
Sebuah dadu dibuat tidak setimbang sehingga peluang munculnya dadu
bilangan genap dua kali dari bilangan ganjil.
Jika A adalah munculnya
bilangan yang lebih kecil dari 4 pada satu lemparan, hitung P (A).
Jawab : P (A) = 1/9 + 2/9 + 1/9 = 4/9
2.
Berapa banyak susunan yang dapat dibuat bila 5 pohon yang berbeda
disusun membentuk sebuah lingkaran ?
Jawab : (n – 1) ! = 4 ! = 24 cara
Wijaya : Statistika II-1
7
3.
Berapa banyak cara menanam 3 pohon mangga, 4 jeruk dan 5 jambu
sepanjang kebun bila kita tidak membedakan antara tanaman yang sejenis.
Jawab : 12! / 3! 4! 5! = 2.720 cara
4.
Suatu perusahaan 2/3 karyawannya berumur < 25 th, 3/5 bagian laki–laki, 5/8
bagian perempuan atau berumur ≥ 25 th.
Dipilih seorang secara acak,
berapa peluangnya bahwa ia adalah perempuan dan berumur ≥ 25 th.
Jawab : P (P ∩ ≥ 25 th) = P (P) + P (≥ 25 th) – P (P ∪ ≥ 25 th) =13/120
5.
Peluang ibu rumah tangga ada di rumah ketika salesman Sara Lee datang
adalah 0,6. Bila ibu itu ada di rumah, peluang ibu tersebut membeli adalah
0,4. Hitung peluang ibu itu ada di rumah dan membeli produk Sara Lee.
Jawab : P (R ∩ B) = P (B⏐R). P (R) = 0,4 x 0,6 = 0,24
6.
Peluang bahwa suatu industri milik orang Amerika berlokasi di Tanggerang
adalah 0,7; peluang berada di Bekasi 0,4 dan peluang berlokasi di
Tanggerang atau di Bekasi atau keduanya 0,8.
Berapa peluang bahwa
industri tersebut berada
a.
Di kedua kota tersebut
b.
Tidak di keduanya
Jawab : a) P (T ∩ B) = P (T) + P (B) – P (T ∪ B) = 0,3
Jawab : b) 1 – P (T ∪ B) = 1 – 0,8 = 0,2
7.
Misal 200 orang diklasifikasikan sebagai berikut :
Laki–laki (L)
Perempuan (P)
Sekolah Dasar (D)
38
45
Sekolah Menengah (M)
28
50
Perguruan Tinggi (T)
22
17
Bila seorang dipilih secara acak hitunglah bahwa yang terpilih :
a.
Laki–laki bila diketahui bahwa ia berpendidikan sekolah menengah.
Jawab : P (L⏐M) = 28/78
Wijaya : Statistika II-1
8
b.
Tingkat pendidikannya bukan dari perguruan tinggi, bila diketahui bahwa ia
adalah perempuan.
Jawab : P (D⏐P) + P (M⏐P) = 45/112 + 50/112 = 95/112
8.
Peluang Tom masih hidup 20 tahun lagi adalah 0,7. Peluang Jerry masih
hidup 20 tahun lagi adalah 0,9. Hitung peluang Tom & Jerry masih hidup 20
tahun lagi.
Jawab : P (T ∩ J) = P (T) . P (J) = 0,7 x 0,9 = 0,63
9.
Sebuah kantung berisi 4 kelereng putih dan 3 kelereng kuninh, kantung
kedua berisi 3 kelereng putih dan 5 kelereng kuning. Satu kelereng diambil
dari kantung pertama dan tanpa dilihat lalu dimasukkan ke dalam kantung
kedua. Berapa peluang mendapatkan kelereng kuning dari kantung yang
kedua.
Jawab : P [(K1 ∩ K2) ∪ (P1 ∩ K2)]
= P (K1).P (K2⏐K1) + P (P1).P(K2⏐P1 )
= (3/7)(6/9) + (4/7)(5/9) = 38/63
11. Misal banyaknya kelereng berwarna dalam kotak yang sama adalah :
Kotak
1
2
3
Merah
2
4
3
Putih
3
1
4
Biru
5
3
3
Sebuah kotak diambil secara acak dan kemudian dari kotak yang terpilih
tersebut diambil secara acak sebuah kelereng :
a.
Hitung peluang terambilnya kelereng merah
b.
Bila diketahui kelerengnya merah, berapa peluang bahwa kota yang terambil
adalah kotak 3.
Jawab : (a). P (M) = (0,2)(0,33) + (0,5)(0,33) + (0,3)(0,33) = 0,33
Jawab : (b). P (3⏐M) = P(3).P(M⏐R) / P(M) = (0,33)(0,3) / (0,33) = 0,3
Wijaya : Statistika II-1
9
11. Perakitan radio Indo Electric mempunyai dua unit produksi. Unit I
memproduksi 80 % sedangkan unit II memproduksi 20 %. Menurut catatan
dari unit pengendalian mutu secara rata–rata produksi dari unit I rusak 5 %
dan dari unit II rusak 10 %. Sebuah radio diambil secara acak :
a.
Berapa peluangnya bahwa radio yang diambil tersebut rusak.
b.
Jika radio yang diambil tersebut ternyata rusak, berapa peluangnya yang
rusak tersebut dari unit I.
Jawab : (a).
P (R) = (0,8)(0,05) + (0,2)(0,1) = 0,04 + 0,02 = 0,06
Jawab : (b).
P (I⏐R) = P (I).P(R⏐I) = (0,8)(0,05) = 0,04
Wijaya : Statistika II-1
10
II. SEBARAN PELUANG
2.1 Peubah Acak
Peubah acak = Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan nyata yang
ditentukan oleh setiap anggota dalam ruang contoh S.
a.
Peubah Acak Diskrit :
Peubah acak diskrit = Peubah yang nilainya tidak dapat diwakili oleh seluruh
titik dalam suatu selang, atau peubah acak yang datanya diperoleh dari hasil
mencacah (misal banyaknya produk yang cacat, banyaknya buah cabai per
tanaman dan lain–lain).
b.
Peubah Acak Kontinyu :
Peubah acak kontinyu = Peubah yang nilainya dapat diwakili oleh seluruh titik
dalam suatu selang, atau peubah acak yang datanya diperoleh dari hasil
mengukur atau menimbang (misal tinggi, bobot, umur, suhu dan jarak).
2.2 Sebaran Peluang :
(a)
Sebaran Peluang Diskrit atau Fungsi Peluang Diskrit :
Sebaran Peluang Diskrit atau Fungsi Peluang Diskrit = Tabel atau rumus
yang mencantumkan semua kemungkinan nilai suatu peubah acak diskrit berikut
peluangnya. Grafiknya berbentuk histogram peluang.
(b). Sebaran Peluang Kontinyu :
Sebaran
Peluang
Kontinyu
=
Rumus
yang
mencantumkan
semua
kemungkinan nilai suatu peubah acak kontinyu berikut peluangnya
Sebaran Peluang Kontinyu tidak dapat disajikan dalam bentuk tabel.
Grafiknya dapat berbentuk linier, simetris, menjulur ke kanan/kiri. Fungsinya
disebut Fungsi Kepekatan Peluang.
Fungsi f disebut fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak kontinyu X, bila
luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu X adalah 1, dan bila luas daerah di
bawah kurva antara x = a dan x = b menyatakan peluang antara a dan b.
Wijaya : Statistika II-1
11
2.1.1 Sebaran Peluang Diskrit (Fungsi Peluang Diskrit)
(1)
Sebaran Peluang Satu Peubah Acak Diskrit
Teladan 2.1 :
1.
Sebuah uang logam dilempar 3 kali (= 3 mata uang dilempar sekali), maka
fungsi peluang (sebaran peluang) bagi banyaknya sisi gambar yang muncul
adalah :
3
x
f (x) = ————
8
untuk x = 0, 1, 2, 3. Dan 8 = 23
x
0
1
2
3
f (x) = P (X = x)
1/8
3/8
3/8
1/8
F (X) = P (X = x)
1/8
4/8
7/8
8/8
Grafiknya dari f (x) adalah :
P(X) 3
2
1
0
2
1
2
3
X
Tentukan sebaran peluang bagi banyaknya kaset Jazz, bila 4 kaset diambil
dari sebuah koleksi yang terdiri dari 5 kaset jazz, 2 kaset klasik dan 3 kaset
pop.
Fungsi peluangnya :
5
x
10 – 5
4–x
f (x) = ————————
10
4
untuk x = 0, 1, 2, 3, 4.
Wijaya : Statistika II-1
12
3
Dalam suatu pengiriman 7 buah TV terdapat 2 TV yang rusak. Misal diambil
3 TV secara acak, dan X menyatakan banyaknya TV yang rusak, tentukan
fungsi peluang bagi X.
Fungsi peluangnya :
2
x
7–2
3–x
f (x) = ————————
untuk x = 0, 1, 2.
7
3
(2) Sebaran Peluang Diskrit Bersama
Sebaran Peluang Diskrit Bersama = Sebuah tabel atau rumus yang
mendaftarkan semua kemungkinan nilai x dan y bagi peubah acak diskrit X dan Y,
berikut peluang padanannya.
Teladan 2.2 :
1
Dua isi ballpen dipilih secara acak dari sebuah kotak yang berisi 3 isi ballpen
biru, 2 merah dan 3 hijau. Bila X menyatakan banyaknya isi bolpen biru dan
Y banyaknya isi bolpen merah yang terpilih. Tentukan
a.
fungsi peluang bersama f (x,y).
b.
P [(X,Y) ∈ A] sedangkan A = {(x,y)⏐x + y = 1}
Jawab :
a.
Fungsi peluangnya :
3
x
2
y
3
2–x–y
f (x,y) = ————————————
8
2
Wijaya : Statistika II-1
13
Sebaran peluang bersama bagi x dan y adalah :
x
f ( x,y )
1
2
0
3/28
9/28
3/28
1
6/28
6/28
2
1/28
Total Kolom
10/28
y
b.
Total Baris
0
15/28
12/28
1/28
15/28
3/28
1
P [(X,Y) ∈ A] sedangkan A = {(x,y)⏐x + y = 1}
= f (0,0) + f (0,1) + f (1,0) = 3/28 + 9/28 + 6/28 = 18/28
(3)
Sebaran Peluang Marginal Peubah Acak Diskrit
Sebaran Peluang Marginal Peubah Acak Diskrit = Bagian dari sebaran
peluang bersama, yang merupakan total kolom dan total baris. Jika total kolom
sebagai g (x) dan total baris sebagai h (y), maka sebaran peluang marginalnya
adalah :
(4)
x
0
1
2
x
0
1
2
g (x)
10/28
15/28
3/28
h (y)
15/28
12/28
½8
Sebaran Peluang Bersyarat Peubah Acak Diskrit
Sebaran bersyarat bagi peubah acak diskrit Y untuk X = x adalah :
f (x,y)
f (y⏐x) = ————
g (x)
g (x) > 0
Sebaran bersyarat bagi peubah acak diskrit X untuk Y = y adalah :
f (x,y)
f (x⏐y) = ————
h (y)
h (y) > 0
f (x,y) = f (y⏐x) . g (x) = f (x⏐y) . h (y)
Wijaya : Statistika II-1
14
(5) Dua Peubah Acak Diskrit Bebas
Dua peubah acak X dan Y dikatakan bebas jika dan hanya jika :
f (x,y) = g (x). h (y)
Teladan 2.3 :
Misal untuk titik (0,1) maka f (0,1) = 6/28, g (0) = 10/28 dan h (1) = 12/28. Oleh
karena (6/28) ≠ (10/28).(12/28) atau f (0,1) ≠ g (0). h (1) maka X dan Y tidak
bebas.
2.2.1 Sebaran Peluang Kontinyu
Peluang atau luas dibawah kurva yang dibatasi oleh X = a dan X = b dapat
ditentukan dengan menghitung luas bangun atau dengan integral. Dalam hal ini
berlaku :
dF(x)
f (x) = ————
dx
atau dF(x) = f (x). dx. = Fungsi Peluang Kumulatif.
Teladan 2.4 :
1.
Sebuah peubah acak kontinyu mengambil nilai antara x = 2 dan x = 4
mempunyai fungsi kepekatan peluang f (x) = 1/8 x + 1/8.
a.
Perlihatkan bahwa P (2 < X < 4) = 1
b.
Hitunglah P (X < 3.5)
Jawab :
f(x)
5/8
4/8
3/8
2/8
1/8
0
a
1
2
3
4
x
P (2 < X < 4) = Luas Trapesium = ½ (3/8 + 5/8) x 2 = 1
4
4
atau : P (2 < X < 4) = ∫ 1/8 x + 1/8 dx = 1/16 x2 + 1/8 x ] = 1
2
b.
2
P (X < 3.5) = ½ (3/8 + 9/16) x 1,5 = 0,70
Wijaya : Statistika II-1
15
(1)
Sebaran Peluang Kontinyu Bersama dan Marjinal
d2F(x)
f (x,y) = ————
dx.dy
x2 y2
P (x1 < X < x2, y1 < Y < y2) = ∫ ∫ f (x,y) dx.dy.
x1 y1
~
g (x) = ∫ f (x,y) dy
~
dan
~
h (y) = ∫ f (x,y) dx.
~
Teladan 2.5 :
f (x,y) = x + y , 0 < x < 1, 0 < y < 1
= 0
, untuk x dan y lainnya
a.
Hitunglah f (x,y), jika X = (0), (0,5), (1) dan Y = (0), (0,5), (1)
b.
Tentukan peluang marginal g (x) dan h (y)
c.
Tentukan F (x,y)
d.
Tentukan P (0,2 < X = 0,4, 0,1 < Y = 0,4)
Jawab :
a.
f (x,y), jika X = (0), (0,5), (1) dan Y = (0), (0,5), (1)
X
Y
0,5
1
0
0
0,5
1
1,5
0,5
0,5
1
1,5
3
1
1
1,5
2
4,5
Jumlah
1,5
3
4,5
9
1
b.
Jumlah
0
1
2
1
g (x) = ∫ f (x,y) dy = ∫ (x + y) dy = xy + ½ y ] = x + ½
0
0
1
0
1
2
1
h (y) = ∫ f (x,y) dx = ∫ (x + y) dx = ½ x + x y ] = y + ½
0
0
x y
c.
F (x,y) = ∫ ∫ f (x,y) dx.dy =
0 0
0
x y
∫ ∫ ( x + y ) dx.dy =
0 0
Wijaya : Statistika II-1
16
x
F (x,y) = ∫ xy + ½ y2 dx. = ½ x2y + ½ xy2 = ½ ( x2y + xy2 )
0
0,4 0,4
d.
F (x,y) = ∫
∫ f (x,y) dx.dy = ½ ( x2y + xy2 )
0,2 0,1
= F (0,4 ; 0,4) – F (0,2 ; 0,4) – F (0,4 ; 0,1) + F (0,2 ; 0,1)
= 0,064 – 0,024 – 0,010 + 0,003 = 0,033
(Misal untuk F (0,2 ; 0,4) = ½ [ (0,2)2(0,4) + (0,2)(0,4)2] = ½ (0,048) = 0,024)
(2)
Sebaran Peluang Bersyarat Peubah Acak Kontinyu
Sebaran bersyarat bagi peubah acak kontinyu Y untuk X = x adalah :
f (x,y)
f (y⏐x) = ————
g (x)
g (x) > 0
Sebaran bersyarat bagi peubah acak kontinyu X untuk Y = y adalah :
f (x,y)
f (x⏐y) = ————
h (y)
h (y) > 0
f (x,y) = f (x⏐y). h (y) = f (y⏐x). g (x)
Teladan 2.6 :
f (x,y) = x + y , 0 < x < 1, 0 < y < 1
a.
Tentukan f (x⏐y)
b.
Tentukan P (0,2 < X < 0,4 ⏐y = 0,2)
Jawab :
1
a.
h (y) = ∫ x + y dx. = y + ½ = (2 y + 1) / 2
0
f (x⏐y) = f (x,y) / h (y) = ( x + y )2 / 2 y + 1 = (2x + 2y) / (2y + 1)
0,4
b.
P (0,2 < X < 0,4 ⏐y = 0,2) = ∫ (2x + 0,4) / 1,4 dx. = 1/7
0,2
Wijaya : Statistika II-1
17
2.3 Nilai Harapan dan Ragam Peubah Acak.
2.3.1 Nilai Harapan dan Ragam Peubah Acak Diskrit
Nilai Harapan disebut juga harapan matematis, Ekspektasi, Nilai Tengah atau
Rata–rata.
(1)
Nilai Harapan Suatu Peubah Acak Diskrit.
Misalkan X adalah peubah acak diskrit dengan sebaran peluang :
x
p(X=x)
x1
x2
…
xn
f (x1)
f (x2)
…
f (xn)
Maka Nilai harapan bagi X adalah : E (X) = ∑ x. f (xi).
Teladan 2.7 :
1.
A akan memperoleh keuntungan Rp. 800.000,– dalam menjual buah mangga
dengan peluang 0,8, bila cuaca tidak hujan. Apabila cuaca hujan maka ia
akan rugi Rp. 500.000,–.
Bila ia menjual buah duku maka ia akan
memperoleh keuntungan Rp. 600.000,– dengan peluang 0,7 bila cuaca tidak
hujan. Bila cuaca hujan maka ia akan rugi sebesar Rp. 200.000,–. Tentukan
nilai harapan keuntungan bagi A dalam menjual buah mangga dan duku
tersebut, serta tentukan apakah A akan memilih menjual buah mangga atau
duku.
Jawab.
Nilai Harapan keuntungan menjual Mangga :
E (X) = (0,8)(800.000) – (0,2)(500.000) = 540.000
Nilai Harapan keuntungan menjual Duku :
E (X) = (0,7)(600.000) – (0,3)(200.000) = 360.000
Karena nilai harapan keuntungan menjual buah mangga lebih besar maka A
akan memilih menjual buah mangga.
2.
Dalam sebuah permainan, petaruh akan mendapat $5 bila hasil dari 3
lemparan sebuah uang logam adalah gambar semua atau angka semua,
tetapi ia harus membayar $3 bila hasilnya adalah 1 atau 2 sisi gambar.
Wijaya : Statistika II-1
18
Berapa penerimaan harapan bagi petaruh tersebut.
Jawab :
S = {GGG, GGA, GAG, GAA, AGG, AGA, AAG, AAA}, jadi gambar semua
atau angka semua ada 2 dari 8 kemunngkinan ( p = 2/8) dan muncul 1 atau 2
gambar ada 6 kemungkinan (p = 6/8).
E (X) = 5 (2/8) + (–3)(6/8) = –1, artinya rata–rata petaruh itu kalah $1 tiap
satu lemparan uang logam.
3.
Tentukan nilai harapan banyaknya orang laki–laki dalam sebuah panitia yang
terdiri dari 3 orang, yang diambil secara acak dari 4 laki–laki dan 3
perempuan.
Jawab :
4
3
x
3–x
f (x) = ———————
7
3
untuk x = 0, 1, 2, 3.
x
0
1
2
3
f (x)
1/35
12/35
18/35
4/35
Jadi E (X) = (0)(1/35) + (1)(12/35) + (2)(18/35) + (3)(4/35) = 1,7
(2)
Nilai Harapan Fungsi Satu Peubah Acak Diskrit.
Misalkan X adalah peubah acak diskrit dengan sebaran peluang :
x
p(X=x)
x1
x2
…
xn
f (x1)
f (x2)
…
f (xn)
Maka Nilai harapan peubah acak g (X) adalah : E [g(X)] = ∑ g(xi). f (xi).
Teladan 2.8 :
Misal banyaknya mobil X yang dicuci di suatu tempat pencucian mobil antara
pukul 16.00 dan 17.00 pada setiap hari jum’at mempunyai sebaran peluang : .
x
4
5
6
7
8
9
p (X = x)
1/12
1/12
1/4
1/4
1/6
1/6
Wijaya : Statistika II-1
19
Bila g (X) = 2X –1 menyatakan banyaknya uang ($) yang dibayarkan oleh manajer
kepada petugas pencuci, tentukan penerimaan harapan petugas pencuci mobil
pada periode tersebut :
Jawab :
E [(g (X)] = E (2X –1) = ∑ (2X –1). f (xi)
= 7(1/12) + 9(1/12) + 11(1/4) + 13(1/4) + 15(1/6) + 17(1/6)
= $ 12,67
(3)
Nilai Harapan Fungsi Dua Peubah Acak Diskrit
Misal kan X dan Y merupakan peubah acak diskrit dengan peluang bersama f
(x,y), untuk x = x1, x2, …, xn
dan y = y1, y2, … , yn. Maka nilai harapan bagi
peubah acak g (X,Y) adalah :
E [g (X,Y)] = ∑ ∑ g(xi ,yi). f (xi , yi).
Teladan 2.9 :
Sebaran peluang bersama bagi x dan y adalah :
x
f ( x,y )
y
0
1
2
0
3/28
9/28
3/28
1
6/28
6/28
2
1/28
Total Kolom
10/28
Total Baris
15/28
12/28
1/28
15/28
3/28
1
Carilah (a) nilai harapan bagi g (x) = XY atau E (XY), (b) E (X) dan E (Y) yang
merupakan sebaran peluang marginalnya.
Jawab :
a.
E [g (XY)] = ∑ ∑ g(xi ,yi). f (xi , yi) = ∑ ∑ x,y. f (x , y)
= (0)(0).f (0,0) + (0)(1).f (0,1) + (0)(2).f (0,2) + (1)(0).f (1,0) + (1)(1).
f (1,1) + (1)(2). f(1,2) + (2)(1).f (2,1)
= f (1,1) = 6/28
Wijaya : Statistika II-1
20
b.
E (X) terjadi jika g (X,Y) = X sehingga E (X) = ∑ ∑ x,. f (x , y) atau
E (X) = x. g (x) = (0)(10/28) + (1)(15/28) + (2)(3/28) = 21/28 = ¾
E (Y) = ∑ ∑ y,. f (x , y) atau
E (Y) = y. h (y) = (0)(15/28) + (1)(12/28) + (2)(1/28) = 14/28 = ½
(4) Ragam Suatu Peubah Acak Diskrit.
Misalkan X adalah peubah acak diskrit dengan sebaran peluang :
x
p(X=x)
x1
x2
…
xn
f (x1)
f (x2)
…
f (xn)
Maka Ragam bagi X adalah : σ2 = E [(X – μ)2 ] = ∑ (xi – μ)2. f (xi).
Atau σ2 = E [(X – μ)2 ] = E (X)2 – μ2
Teladan 2.10 :
Tentukan Ragam banyaknya orang laki–laki dalam sebuah panitia yang terdiri dari
3 orang, yang diambil secara acak dari 4 laki–laki dan 3 perempuan.
Jawab :
x
0
1
2
3
f (x)
1/35
12/35
18/35
4/35
telah didapat nilai E (X) = μ = 12/7
σ2 = E [(X – μ)2 ] = ∑ (xi – μ)2. f (xi)
= (0–12/7)(1/35) + (1–12/7)(12/35) + (2–12/7)(18/35) + (3–12/7)(4/35)
σ2 = 24/49
Dengan rumus hitung : σ2 = E [(X – μ)2 ] = E (X)2 – μ2
E (X)2 = x2.f (x) = (0)(1/35) + (1)(12/35) + (4)(15/35) + (9)(4/35) = 24/7
σ2 = E (X)2 – μ2 = 24/7 – (12/7) = 24/49
Wijaya : Statistika II-1
21
(5)
Ragam Fungsi Satu Peubah Acak Diskrit.
Misalkan X adalah peubah acak diskrit dengan sebaran peluang :
x
x1
x2
…
xn
p(X=x)
f (x1)
f (x2)
…
f (xn)
Ragam bagi g (X) : σ2 = E {[g(X) – μg(x)]2 } = ∑ [(g(xi) – μg(x)]2. f (xi).
Atau σ2 = E {[g(X) – μg(x)]2 } = ∑ [(g(xi) ]2 – [μg(x)]2.
Teladan 2.11 :
Hitung ragam g (X) = 2X + 3 bila X merupakan peubah acak dengan sebaran
peluang :
x
0
1
2
3
f (x)
1/4
1/8
1/2
1/8
Jawab :
E [(g (X)] = E (2X+3) = ∑ (2X+3). f (xi)
= 3(1/4) + 5(1/8) + 7(1/2) + 9(1/8) = 6
σ2 = E {[g(X) – μg(x)]2 } = ∑ [(g(xi) – (μg(x))]2 .f (x) = ∑ [(2X+3) – 6]2 .f (x)
= ∑ (4X2 – 12X + 9).f (x)
= 9(2/8) + 1(1/8) + 1(4/8) + 9(1/8) = 32/8 = 4 , atau dengan rumus hitung :
σ2 = E {[g(X) – μg(x)]2 } = E[(g(xi) ]2 – (μg(x))2
E[(g(xi) ]2 = E(2X + 3)2 = ∑ (4X2 +12X + 9).f(x) =
= 9(2/8) + 25(1/8) + 49(4/8) + 81(1/8) = 320/8 = 40
σ2 = E {[g(X) – μg(x)]2 } = E[(g(xi) ]2 – (μg(x))2 = 40 – 36 = 4
(6)
Peragam (Kovarians) Dua Peubah Acak
Peragam dua peubah acak X dan Y yaitu σYX dirumuskan sebagai :
σYX = E [(X – μX ) (Y – μY)
Wijaya : Statistika II-1
22
2.3.2 Nilai Harapan dan Ragam Peubah Acak Kontinyu
1.
~
E (X) = ∫ x. f (x) dx = μX
–~
2.
~
E (X – μX)2 = ∫ (x – μx ). f (x) dx = σ2
6.
–~
~
E {g(x)} = ∫ g(x). f (x) dx
–~
~~
E {g(x,y)} = ∫ ∫ g(x,y). f (x,y) dx.dy.
–~ –~
~
E (X⏐Y) = ∫ x. f (x⏐y) dx (Rata–rata Bersyarat)
–~
E (X⏐Y)2 = E [{X – μ X⏐Y}2⏐y] (Ragam Bersyarat)
7.
Koefisien Korelasi X dan Y = Rxy = (σYX ) / (σX .σY)
3.
4.
5.
Teladan 2.12 :
1.
f (x,y) = 2 ,
= 0,
0<x<y<1
untuk x dan y lainnya
a.
Tentukan g (x), h (y) dan f (x⏐y)
b.
Tentukan E (X⏐Y)
c.
Tentukan E [{X – μ X⏐Y}2⏐y]
d.
Tentukan P (0 < X = ½⏐y = 3/4)
e.
Tentukan P (0 < X = ½)
Jawab :
1
a.
g (x) = ∫ 2 dy = 2 – 2x ,
0<x<1
x
= 0,
untuk x lainnya
y
h (y) = ∫ 2 dx = 2y,
0<y<1
0
= 0,
untuk y lainnya
Wijaya : Statistika II-1
23
f (x⏐y) = f (x,y) / h (y) = 2/2y = 1/y,
= 0,
0<x<y 0<h<1
untuk x dan y lainnya
b.
~
~
E (X⏐Y) = ∫ x. f (x⏐y) dx = ∫ x. 1/y dx = 2 / y ,
–~
–~
c.
E [{X – μ X⏐Y}2⏐y] = ∫ (x – y/2)2. f (x⏐y) dx = (x – y/2)2. (1/y) dx
0<y<1
y
0
= y2/12,
d.
0<y<1
½
½
P (0 < X = ½⏐y = 3/4) = ∫ f (x⏐y) dx = ∫ (4/3) dx = 2/3
0
e.
½
½
P (0 < X = ½⏐y = 3/4) = ∫ f (x) dx = ∫ 2 – 2x dx = 3/4
0
2.
0
f (x,y) = x + y,
0 < x < 1,
= 0,
0
0<y<1
untuk x dan y lainnya
a.
Tentukan μ X, μ y
b.
Tentukan σX2 dan σY2
c.
Tentukan ρ
Jawab :
1 1
a.
μ X = E (X) = ∫ ∫ x (x + y) dx.dy = 7/12
0 0
1 1
μ Y = E (Y) = ∫ ∫ y (x + y) dx.dy = 7/12
0 0
1 1
b.
μ X2 = E (X2 ) – μx2 = ∫ ∫ y (x + y) dx.dy – (7/12)2 = 11/144
0 0
1 1
μ Y2 = E (Y2 ) – μY2 = ∫ ∫ y (x + y) dx.dy – (7/12)2 = 11/144
0 0
Wijaya : Statistika II-1
24
1 1
c.
μ XY = E (XY ) – μXY = ∫ ∫ xy (x + y) dx.dy – (7/12)2 = 1/144
0 0
ρ = (σYX) / (σX .σY) = – 1/11
Soal–soal :
1.
Suatu kiriman 7 pesawat TV mengandung 2 yang rusak.
Sebuah hotel
membeli secara acak 3 dari 7 TV tersebut. Bila X menyatakan banyaknya TV
yang rusak yang terbeli oleh hotel tersebut, tentukan nilai harapan X.
2.
Tentukan
nilai harapan banyaknya kaset jazz bila 4 kaset diambil secara
acak dari sebuah koleksi yang terdiri dari 5 kaset jazz, 2 klasik dan 3 pop.
3.
Seorang pembalap ingin mengasuransikan mobilnya pada suatu musim
kompetisi sebesar $50.000. Perusahaan asuransi menduga kerusakan total
dapat terjadi dengan peluang 0,002, kerusakan 50% dengan peluang 0,01
dan kerusakan 25% dengan peluang 0,1. Dengan mengabaikan kerusakan–
kerusakan lainnya, berapa premium yang harus dibayarkan kepada pihak
asuransi per musim kompetisi bila perusahaan itu menginginkan keuntungan
$500. (jawab $ 2.100)
4.
Misalkan X dan Y memilki sebaran peluang bersama :
X
y
2
4
1
0,10
0,15
3
0,20
0,30
5
0,10
0,15
a.
Tentukan μ X , μ Y dan E (XY2)
b.
E (X⏐Y =2)
c.
E (kX) dan E (k + X)
d.
Peragam (Kovarians) σYX
e.
σX2 dan σY2
Wijaya : Statistika II-1
25
5.
Dari sekeranjang buah yang berisi 3 jeruk, 2 apel dan 3 pisang diambil suatu
acak 4 buah. Bila X menyatakan banyaknya jeruk dan Y banyaknya apel
yang terambil, hitunglah E (X2Y – 2 XY)
2.4 Beberapa Sebaran Peluang Diskrit
(1)
Sebaran Peluang Binom
Bila suatu ulangan binom mempunyai peluang berhasil p dan gagal q, maka
peluang keberhasilan dalam n ulangan yang bebas :
b (x ; n, p) =
xCn . px . qn–x
Rata–rata ( μ ) = np
dan
x = 0, 1, 2, …, n.
Ragam ( σ2 ) = npq
Ciri percobaan Binom :
terdiri dari n ulangan, masing–masing ulangan bersifat bebas.
dalam setiap ulangan dapat digolongkan sebagai berhasil atau gagal, dan
peluang berhasil (p) selalu tetap; umumnya percobaan dengan pemulihan.
untuk perhitungan digunakan Tabel Jumlah Peluang Binom yaitu :
∑ b (x ; n, p) = p (0 ≤ x ≤ n)
Teladan 2.13 :
1.
10% buah mangga yang diekspor tergolong rusak.
Sebuah sampel
berukuran 20 diambil secara acak. Berapa peluang sampel yang diambil itu
rusak :
a. semuanya
b. 3 buah
c. paling sedikit sebuah
d. paling banyak 2 buah
e. rata–rata yang rusak
Jawab :
a. p (X = 20) = 20C20. (0,1)20 (0,9)0 = 10–20
b. p (X = 3) = 3C20. (0,1)3 (0,9)17 = 0,19
c. p (X = 1) = 1 – p(X=0) = 1 – 0,9 = 0,1
Wijaya : Statistika II-1
26
2
d
p (X = 2) = p (X = 0) + p (X = 1) + p (X = 2) = ∑ b (x; 20, 0,1) = 0,8159
e
Rata–rata (μ ) = np = 20 (0,1) = 2 buah
0
2.
Suatu survai menunjukkan bahwa 20% penduduk lebih suka telepon
berwarna putih daripada warna lainnya.
Berapa peluang bahwa dari 20
telepon yang dipasang berikutnya lebih dari setengahnya berwarna putih.
Jawab :
10
P (X > 10) = 1 – p (X = 10) = 1 – ∑ b (x; 20, 0,1) = 0,0006
0
3.
Hasil penelitian menunjukkan bahwa 70% orang berpendapat bahwa obat
penenang tidak menyembuhkan penyakit.
Berapa peluang sekurang–
kurangnya 3 dari 5 orang sampel berpendapat demikian.
Jawab :
2
P (X = 3) = 1 – p (X = 2) = 1 – `∑ b (x; 5, 0,7) = 1 – 0,1631 = 0,8369
0
(2)
Sebaran Peluang Multinom
Bila peluang kejadian E1, E2, …, En adalah p1, p2, …, pk, maka peluang akan
terdapat x1 kejadian E1, x2 kejadian E2, …, xn kejadian En dari n ulangan :
n!
p (x1, x2 , … , xn) = ————————— p1x1 . p2x2 … pnxn
x1!, x2 !, … , xn!
Teladan 2.14 :
1.
Sebuah kotak terdiri dari 2 barang yang dihasilkan oleh mesin A, 5 oleh
mesin B dan 3 oleh mesin C.
Sebuah barang diambil acak identitasnya
dilihat lalu disimpan kembali. Hitung peluang diantara 6 barang yang diambil
terdiri dari 1 dari mesin A, 3 mesin B dan 2 mesin C.
Jawab :
n = 10
p(A) = 2/10
p(B) = 5/10
p (C) = 3/10
Wijaya : Statistika II-1
27
6!
p (1A, 3B, 2C) = ————— (0,2)1 (0,5)3 (0,3)2 = 0,0135
1! 3! 2!
2.
Dalam suatu perusahaan terdapat 30% karyawan bergaji rendah, 50%
bergaji menengah dan 20% bergaji tinggi. Jika diambil sampel sebanyak 20
karyawan, hitung peluang terdapat 6 karyawan bergaji rendah, 10 bergaji
menengah dan 4 bergaji tinggi.
Jawab :
n = 20
p(R) = 0,3
p(M) = 0,5
p (T) = 0,2
20!
p (6R, 10M, 4T) = ————— (0,3)6 (0,5)10 (0,3)4
6! 10! 4!
3.
= 0,0196
Menurut teori Genetika, hasil persilangan kelinci menghasilkan keturunan
warna merah, hitam dan putih dengan rasio 8 : 4 : 4. Hitunglah peluang
bahwa diantara 8 keturunan terdapat 5 merah, 2 hitam dan 1 putih.
Jawab :
n=8
p(M) = 0,5
p(H) = 0,25
p (P) = 0,25
8!
p (5M, 2H, 1P) = ————— (0,5)5 (0,25)2 (0,25)1
5! 2! 1!
(3)
= 0,082
Sebaran Peluang Hipergeometrik
Bila dalam populasi N benda terdapat k benda termasuk kategori tertentu,
lalu diambil sampel berukuran n, maka peluang dalam sampel terdapat x benda
termasuk kategori tersebut adalah :
k
N– k
x
n –x
p (x) = ————————
N
n
Rata–rata ( μ ) = nk / N
atau μ = np karena p = k/N
Wijaya : Statistika II-1
28
N–n
k
k
Ragam (σ ) = ————. n. — ( 1 – — )
N–1
N
N
N–n
atau σ = ——— npq
N–1
2
2
Ciri :
1.
Contoh acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N
2.
k dari N benda diklasifikasikan sebagai berhasil dan N – k sebagai gagal
3.
Biasanya pengambilan sampel tanpa pemulihan
Teladan 2.15 :
1.
Seorang ingin menanam 5 pohon mangga yang diambil secara acak dari
kotak yang berisi 5 biji mangga Gedong dan 4 biji mangga Cengkir. Berapa
peluang bahwa yang ditanam itu terdiri 2 Gedong dan 3 Cengkir.
Jawab :
N=9
n=5
k=5
x=2
5
9–5
2
5–2
p (x=2) = ————————
9
5
2.
= 0,317
Sebuah penyewaan mobil mempunyai 7 Carry, 5 Zebra, 4 Kijang dan 3
Sedan. Bila disewa 10 mobil secara acak untuk keperluan tamasya, berapa
peluang yang diambil 4 Carry, 3 Zebra, 2 Kijang dan 1 Sedan.
Jawab :
7
5
4
3
4
3
2
1
p (4C, 3Z, 2K, 1S) = ——————————
19
10
= 0,068
Pendekatan Binom Terhadap Hipergeometrik :
Syarat : n relatif kecil dibanding N, sehingga :
Rata–rata (μ ) = np = nk / N
karena p = k/N
Ragam (σ2 ) = npq = (nk / N)(1 – k/N)
q = 1 – p = 1 – k/N
Wijaya : Statistika II-1
29
Teladan 2.16 :
1.
Perusahaan telepon melaporkan bahwa diantara 5000 pemasang terdapat
4000 memakai telepon tombol. Bila 10 diantara pemasang baru tersebut
diambil acak, berapa peluang terdapat 3 orang yang menggunakan telepon
tipe putar.
Jawab :
n = 10 N = 5000 k = 10
x=3
p (tipe tombol) = 4000/5000 = 0,8
p (tipe putar) = 1 – 0,8 = 0,2
10
(0,2)3 (0,8)7
p ( x = 3) =
= 0,1342
3
2.
Diduga 4000 diantara 10.000 pemilih tidak setuju pajak penjualan yang baru.
Bila 15 pemilih diambil secara acak, berapa peluang bahwa sebanyak–
banyaknya 7 orang menyetujui pajak baru tersebut. Tentukan pula rata–rata
banyaknya pemilih yang setuju dan ragamnya.
Jawab :
p (tidak setuju) = 0,4
dan
p (setuju) = 0,6
7
p (x = 7) = ∑ b (x; 16; 0,6) = 0,2131
0
Rata–rata (μ ) = np = 10 (0,6) = 6 orang
Ragam (σ2 ) = npq = 10 (0,6) (0,4) = 2,4
4.
Sebaran Peluang Binom Negatif
Untuk menentukan peluang bagi k keberhasilan dari x ulangan.
x–1
pk qx–k
b* (x; k, p) =
k–1
x = banyaknya ulangan dan k = banyaknya keberhasilan
Jika hanya untuk memperoleh satu keberhasilan (k = 1) yang pertama maka
b* ( x; p ) = p. qx–1
Wijaya : Statistika II-1
30
Teladan 2.17 :
1.
Peluang penduduk di suatu kota mempunyai mobil diduga 0,7. Hitung
peluang bahwa yang ke 10 yang diambil acak adalah orang ke–5 yang
mempunyai mobil ?
Jawab :
x = 10 k = 5 p = 0,7
9
(0,7)5 (0,3)5 = 0,0506
b* (10; 5, 0,7) =
4
2.
Seorang ilmuwan menginokulasi beberapa tikus satu demi satu dengan
bakteri sampai diperoleh 2 tikus yang terkena penyakit.
Bila peluang
terjangkiti penyakit 1/6, berapa peluang bahwa percobaan itu diperlukan 8
tikus ?
Jawab :
x = 8 k = 2 p = 1/6
7
(1/6)2 (5/6)6 = 0,065
b* (8; 2, 1/6) =
1
(5) Sebaran Peluang Poisson
e–µ µx
p ( x ; µ ) = ————
x!
x = 1,2, …
dan e = 2,718
μ = rata–rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu
(menit, hari, tahun) atau daerah (ruas garis, volume, luas).
Ragam (σ2 ) = μ
atau
σ = √μ
Untuk perhitungan digunakan Tabel Jumlah Peluang Poisson :
r
∑ p (x; μ )
0
Wijaya : Statistika II-1
31
Teladan 2.18 :
1.
Seorang sekretaris rata–rata melakukan 2 kesalahan ketik tiap halaman.
Hitung peluang bahwa pada halaman berikutnya terdapat :
a. 4 atau lebih kesalahan
b. tidak ada kesalahan
Jawab :
3
a. p (x ≥ 4, 2) = 1 – p (x = 3) = 1 – ∑ p (x; 2) = 1 – 0,8571 = 0, 1429
0
e–2 20
b.
2.
p ( 0 ; 2 ) = ———— = 0,1354
0!
Rata–rata
banyaknya tikus per dam2
lahan sawah diduga tersebar 10.
Hitung peluang dalam luasan 1 dam2 terdapat
a. paling banyak 1 ekor
b. lebih dari 15 ekor,
c. 8 sampai 13.
Jawab :
1
a. p (x = 1) = ∑ p (x; 10) = 0,0005
0
15
b. p (x > 15, 10) = 1 – p (x = 15) = 1 – ∑ p (x; 10) = 0,0487
0
13
8
0
0
c. p (8 = x = 13, 10) = ∑ p (x; 10) – ∑ p (x; 10) = 0,8645 – 0,3328
= 0,5317
Pendekatan Poisson Terhadap Binom
Jika n besar (n ≥ 50) dan p dekat ke nol atau μ = np < 5, maka kejadian
Binom dapat diselesaikan dengan sebaran Poisson.
Teladan 2.19 :
1.
Peluang seseorang meninggal akibat infeksi pernafasan 0,002. Hitung
peluang diantara 2000 orang yang terinfeksi akan meninggal dunia sebanyak
Wijaya : Statistika II-1
32
a. 2 orang
b. lebih dari 3 orang
c. kurang dari 5
Jawab :
p = 0,002
n = 2000
jadi μ = np = 2000 (0,002) = 4
a. p (2, 4) = (e–4)(4)2 / 2! = 0,1465
3
b. p (x > 3, 4) = 1– p (x = 3) = 1– ∑ p (x; 4) = 1– 0,4335 = 0,5665
0
4
c. p (x = 4, 4) = ∑ p (x; 4) = 0,6288
0
Soal–soal :
1.
Peluang suatu produk rusak yang dihasilkan oleh sebuah mesin adalah 0,4.
Bila diambil sampel berukuran 15, berapa peluangnya bahwa :
a. sekurang–kurangnya 10 produk yang rusak (Jawab : 0,0338)
b. ada 3 sampai 8 yang rusak (Jawab : 0,8779)
c. tepat 5 buah yang rusak (Jawab : 0,1859)
2.
Suatu ujian terdiri atas 15 pertanyaan pilihan berganda, masing–masing
dengan 4 kemungkinan jawaban dan hanya satu yang benar. Berapa peluang
seorang yang menjawab secara menebak–nebak saja memperoleh 5 sampai
10 jawaban yang benar.
3.
Dalam suatu konferensi, peluang suatu delegasi tiba dengan menggunakan
pesawat terbang, bus, kendaraan pribadi atau kereta api adalah 0,4; 0,2; 0,3
dan 0,1. Berapa peluang bahwa diantara 9 delegasi yang diambil secara
acak 3 tiba dengan pesawat terbang, 3 dengan bus, 1 dengan mobil pribadi
dan 2 dengan kereta api.
4.
Seorang polisi memeriksa secara acak 6 KTP dari 9 pelajar yang 4
diantaranya belum memenuhi syarat batas umur untuk membuat SIM.
Berapa peluang bahwa ia akan menolak 2 pelajar yang ketahuan belum
memenuhi syarat umur (Jawab : 5/14)
Wijaya : Statistika II-1
33
5.
Diantara 150 pegawai RS di sebuah kota hanya 30 yang perempuan. Bila 10
orang diambil secara acak untuk memberi bantuan, berapa peluang bahwa
sekurang–kurangnya 3 pegawai perempuan yang terpilih (gunakan sebaran
Binom terhadap hipergeometrik).
6.
Secara rata–rata di suatu simpangan terjadi 3 kecelakaan lalu lintas per
bulan. Berapa peluang bahwa pada suatu bulan tertentu di simpangan itu
terjadi :
a. tepat 5 kecelakaan (Jawab : 0,1008)
b. kurang dari 3 kecelakaan (Jawab : 0,4232).
c. sekurang–kurangnya 2 kecelakaan (jawab : 0,8009).
7.
Misalkan secara rata–rata 1 diantara 1000 orang membuat kesalahan angka
dalam melaporkan pajak pendapatannya. Bila 10.000 formulir diambil secara
acak dan diperiksa, berapa peluang ada 6; 7 atau 8 formulir yang
mengandung kesalahan (Jawab : 0, 2657).
2.5 Beberapa sebaran Peluang Kontinyu
(1)
Sebaran Peluang Normal (Sebaran Peluang Gauss)
Fungsi Kepekatan Peluang atau Kurva Normalnya adalah :
1
–½ [ (x – μ) / σ]2
p (x) = ———— e
√2πσ
–∞ <x<∞
Fungsi peluang tersebut bergantung pada parameter μ
dan σ (biasanya
diketahui).
Karena kurva normal tergantung dari nilai μ dan σ, maka luas dibawah kurva yang
dibatasi oleh x = x1 dan x = x2 akan berbeda–beda.
Wijaya : Statistika II-1
34
Pada selang [X1, X2], luas daerah sebaran peluang
I < II, artinya pada interval yang sama maka P (X1
< X < X2) akan berbeda pada sebaran normal yang
berbeda. Sehingga nilai X perlu ditransformasi ke
peubah normal baku z dengan μ = 0 dan σ2 = 1,
dimana : z = ( x – μ ) / σ
x1 x2
Sebaran Normal baku adalah sebaran peubah acak normal dengan rata–rata (μ)
nol dan simpangan baku (σ) = 1.
Berdasarkan Kaidah Empirik :
68% data terletak pada μ ± 1 σ
95% data terletak pada μ ± 2 σ
99,7% data terletak pada μ ± 3 σ
μ–3σ μ–2σ μ–σ μ μ+σ μ+2σ μ+3σ
Penyelesaian dalam perhitungan :
1.
p ( x = c)
z1 = [(c – 0,5) – μ] / σ
p (z2) – p (z1)
z2 = [(c + 0,5) – μ] / σ
2.
p (a < x < b)
z1 = (a – μ) / σ
p (z2) – p (z1)
z2 = (b – μ) / σ
3.
p (a ≤ x ≤ b)
z1 = [(a – 0,5) – μ] / σ
p (z2) – p (z1)
z2 = [(b + 0,5) – μ] / σ
Teladan 2.20 :
Nilai rata–rata ujian Statistika adalah 74 dengan simpangan bakunya 7. Nilai ujian
menyebar normal, dengan nilai terendah E dan terbesar A.
a.
Jika sebanyak 10% mahasiswa mendapat nilai E, tentukan batas tertinggi
nilai E
b.
12% dapat nilai A, berapa batas terendah nilai A
c.
Persentil ke–30 atau P30
d.
Desil ke–6 atau D6
Wijaya : Statistika II-1
35
Jawab :
10%
12%
30
74
D6
z = (x – μ) / σ atau x = zσ + μ
a.
p (Z < z) = 0,10 maka z = –1,284
x = (–1,284)(7) + 74 = 65,02
b.
Jadi batas tertinggi nilai E = 65,02
p (Z > z) = 0,12 atau p (Z < z) = 0,88 maka z = 1,175
x = (1,175)(7) + 74 = 82,23 (yang merupakan batas terendah nilai A)
c.
P30 = 0,3 = p (Z < z) atau z = – 0,525 jadi x = 70,33
d.
D6 = 0,6 = p (Z < z) atau
z = 0,25 jadi x = 75,75 artinya sebanyak 60%
mahasiswa mendapat nilai ≤ 75,75.
Teladan 2.21 :
Rata–rata volume kecap
Udang Sari setiap botol adalah 200 ml dengan
simpangan baku 15 ml. Jika volume kecap menyebar normal, hitunglah :
a.
dibawah volume berapa diperoleh 25% botol dengan volume paling sedikit.
b.
berapa peluang botol yang berisi 208 ml.
c.
berapa peluang botol yang berisi antara 191 dan 209 ml.
d.
berapa peluang botol yang berisi 187 sampai 207 ml.
e.
jika terdapat 10.000 botol, berapa botol yang berisi lebih dari 224 ml.
f.
berapa botol dari 10.000 botol berikutnya yang akan tumpah bila botol–botol
berukuran 230 ml.
Jawab : (Gunakan gambar supaya lebih jelas)
a.
p (Z < z) = 0,25 atau z = – 0,675 jadi x = (–0,675)(15) + 200 = 190 ml.
b.
p (x = 208) = p (207,5 < x < 208,5) = p (0,5 < z < 0,57) = 0,7157 – 0,6915
= 0,0242
c.
p (191 < x < 209) = p (–0,6 < z < 0,6) = 0,7257 – 0,0274 = 0,4514
Wijaya : Statistika II-1
36
d.
p (187 ≤ x ≤ 207) = p (186,5 < x < 207,5) = p (–0,9 < z < 0,5)
= 0,6915 – 0,1841 = 0,5074
e.
p (x > 224) = p (z > 1,6) = 1 – 0,9452 = 0,0548
Jadi ada 0,0548 x 10.000 botol = 548 botol
f.
p (x > 230) = p (z > 2) = 1 – 0,9772 = 0,0228
Jadi ada 0,0228 x 10.000 botol = 228 botol
Teladan 2.22 :
Rata–rata umur sepeda motor adalah 10 tahun dengan simpangan baku 2 tahun.
Pabriknya akan mengganti semua motor yang rusak dengan yang baru selama
dalam waktu garansi. Hitunglah :
a.
Peluang umur sepeda motor tersebut 15 tahun.
b.
Peluangnya berumur antara 10 dan 12 tahun.
c.
Peluangnya berumur 7 sampai 9 tahun.
d.
Bila pabrik itu hanya bersedia mengganti 3% diantara motor yang rusak,
berapa lama garansinya.
Jawab : (Gunakan gambar supaya lebih jelas)
a.
p (x = 15) = p (14,5 < x < 15,5) = p (2,25 < z < 2,75) = 0,9970 – 0,9878
= 0,0092
b.
p (10 < x < 12) = p (0 < z < 1) = 0,8413 – 0,5000 = 0,3413
c.
p (7 ≤ x ≤ 9) = p (6,5 < x < 9,5) = p (–1,75 < z < – 0,25)
= 0,4013 – 0,0401 = 0,3612
d.
p (Z < z) = 0,03 atau z = –1,88 maka x = (–1,88)(2) + 10 = 6,24 tahun
Pendekatan Normal ke Binom
Syarat : n besar (n > 50)
p dekat ke ½
sehingga np > 5 dan nq > 5 atau bisa juga n kecil asal p tidak terlalu dekat ke
nol atau dekat ke 1.
Wijaya : Statistika II-1
37
Penyelesaian dalam perhitungan :
1. p (a < x < b)
2. p (a ≤ x ≤ b)
z1 = [(a + 0,5) – μ ] / σ
z2 = [(b – 0,5) – μ ] / σ
z1 = [(a – 0,5) – μ ] / σ
z2 = [(b + 0,5) – μ ] / σ
p (z2) – p (z1)
p (z2) – p (z1)
Teladan 2.24 :
Bila 20% penduduk di suatu kota lebih menyukai telepon berwarna putih daripada
warna lainnya. Tentukan peluang diantara 1000 telpon yang dipasang berikutnya
di kota itu :
a.
lebih dari 210 tetapi tidak lebih dari 225 berwarna putih
b.
185 atau lebih berwarna putih
Jawab : (Gunakan gambar supaya lebih jelas)
a.
p (210 < x ≤ 225) = p (210,5 < x < 225,5) = p (0,83 < z <2,02)
= 0,9783 – 0,7967 = 0,1816
b.
p (x ≥ 185) = p (x > 184,5) = p (z > –1,23) = 1 – 0,1093 = 0,8907
Teladan 2.25 :
Hasil survai menunjukkan sekitar 60% produk pestisida merupakan produk yang
tidak dapat dihancurkan oleh mikroba tanah. Jika diambil 200 jenis pestisida
tentukan :
a.
sebanyak 110 jenis tidak dapat dihancurkan oleh mikroba tanah (resisten)
b.
sebanyak–banyaknya 128 jenis yang resisten
c.
paling sedikit 130 tetapi tidak lebih dari 135 jenis bersifat resisten.
Jawab : (Gunakan gambar supaya lebih jelas)
a.
p (x = 110) = p (109,5 < x < 110,5) = p (0,06 < z <0,09)
= 0,5359 – 0,5239 = 0,0120
b.
p (x ≤ 128) = p (x < 128,5) = p (z < 1,23) = 0,8907
c.
p (130 ≤ x ≤ 135) = p (129,5 < x < 135,5) = p (1,37 < z <2,24)
= 0,9875 – 0,9147 = 0,0728
Wijaya : Statistika II-1
38
III. S A M P L I N G
3.1 Pengertian–pengertian Dasar
1.
Sampling (Penarikan Contoh) = proses pemilihan objek–objek tertentu dari
sekian banyak objek yang ada.
2.
Unit Sampling = objek yang dipilih dalam sampling
3.
Kerangka Sampling = daftar unit sampling beserta pelungnya.
4.
Populasi Sasaran = populasi yang menjadi ruang lingkup generalisasi
kesimpulan suatu penelitian.
5.
Rencana
Sampling
=
langkah–langkah
menentukan
unit
sampling,
banyaknya unit sampling yang akan dipilih dan cara memilih unit–unit
tersebut ke dalam sampel.
6.
Rancangan Sampling = rencana sampling ditambah dengan analisisnya.
7.
Estimator = lambang penduga bagi populasi (x, s2). Nilainya disebut Estimate
(misal dari sampel, rata–ratanya x = 25, maka x = estimator sedangkan nilai
25 estimatenya).
3.2 Alasan Sampling
1. Ukuran Populasi : tak hingga; terhingga tetapi n besar
2. Keterbatasan Sumberdaya (biaya, tenaga, waktu).
3. Masalah Ketelitian
4. Faktor Ekonomis : Kegunaan x Sumberdaya
3.3 Banyaknya Sampel
(1)
Dengan Pemulihan :
Jika ukuran populasi N diambil sampel berukuran n, maka banyaknya sampel
ada Nn buah sampel. Misalnya ukuran populasi 4 (A, B, C, D) diambil sampel
berukuran n = 2, maka ada 42 = 16 buah sampel.
(2) Tanpa Pemulihan : Banyaknya sampel ada nCN.
Wijaya : Statistika II-1
39
3.4 Cara Sampling
(A) Sampling Non Peluang
1.
Sampling Seadanya (Aksidental) : berdasarkan seadanya data dan
kemudahannya mendapatkan data. Misalnya mengumpulkan pendapat
tentang sesuatu dari orang–orang lewat.
2.
Sampling Pertimbangan : Berdasarkan pertimbangan peneliti.
Ketelitian dan kerepresentatifan sampel non peluang tidak dapat ditaksir,
akibatnya tidak mungkin menyimpulkan hasil sampel terhadap populasi
dengan derajat keyakinan tertentu.
3.
Sampling Kuota : teknik untuk menentukan sampel dari populasi yang
mempunyai ciri-ciri tertentu sampai jumlah (kuota) yang diinginkan. Misal ada
5 peneliti dengan ukuran sampel 100 orang, maka setiap peneliti dapat
memilih secara bebas sebanyak 20 orang.
4.
Sowball Sampling (bola salju)
(B) Sampling Peluang
1.
Sampling Acak Sederhana
unit sampling mempunyai peluang yang sama untuk dipilih.
dapat dilakukan dengan cara (a) undian dan (b) daftar angka acak (cara
sederhana dan cara sisa pembagian).
cocok diterapkan untuk populasi yang homogen. Apabila populasinya
heterogen maka dilakukan dengan :
2.
Sampling Sistematik
unit sampling diambil dari populasi pada jarak interval waktu, ruang atau
urutan yang uniform.
pengambilan anggota pertama dilakukan secara acak.
pengambilan unit sampel dapat dilakukan dengan (a) jika N kelipatan dari
n, maka interval pemilihan dengan angka acak adalah N/n, dan (b) jika
N/n merupakan pecahan maka dilakukan pembulatan.
Wijaya : Statistika II-1
40
3.
Sampling Berstrata (Petala)
jika nilai–nilai pengamatan sangat heterogen maka perlu stratifikasi
sehingga nilai dalam strata homogen.
pengambilan sampel pada setiap strata dilakukan secara acak. Ukuran
sampel
pada
setiap
strata
bisa
proporsional
disebut
Sampling
Proporosional, atau tidak proporsional.
4.
Sampling Kluster
Sampling Acak (Simple Random Sampling), Sistematik dan Strata perlu
kerangka sampling yang lengkap.
Untuk menghindari hal tersebut
digunakan Sampling Kluster.
Populasi dibagi–bagi menjadi N buah kluster atau Unit Sampling Primer
(USP). USP dibagi–bagi lagi menjadi Unit Sampling Sekunder (USS).
Misal populasi terdiri dari 6 USP, dipilih 2 USP yaitu USP–1 dan USP–4.
USP–1 terdiri dari 11 USS diambil 7 USS, dan USP–4 terdiri dari 10 USS
diambil 6 USS dst.
Contoh lain : Propinsi
→ diambil beberapa
kabupaten → dari kabupaten terpilih diambil beberapa kecamatan → dari
kecamatan terpilih diambil beberapa desa → dari desa terpilih diambil
beberapa RT. RT–RT inilah yang digunakan sebagai sampel.
3.5 Ukuran Sampel
Ukuran sampel yang diambil dalam sampling tergantung dari tingkat
keragaman populasi. Semakin besar ukuran populasi, akan semakin besar pula
ukuran sampelnya agar diperoleh derajat kepercayaan yang tinggi.
Menurut Taro Yamane (1967) dalam Jalaluddin Rakhmat (1999), ukuran
sampel dapat ditentukan dengan menggunakan formula sebagai berikut :
N
n =
Nd2 + 1
dimana : n adalahukuran sampel, N adalahukuran populasi dan d adalah presisi (5
% atau 10 %)
Wijaya : Statistika II-1
41
IV. SEBARAN PENARIKAN CONTOH (DISTRIBUSI SAMPLING)
Distribusi Sampling merupakan distribusi peluang suatu statistik. Distribusi
sampling suatu statistik tergantung dari N, n dan metode pengambilan contohnya.
Metode pengambilan contoh dapat dilakukan dengan pemulihan dan tanpa
pemulihan.
Populasi
Sampel
Rata–rata (Statistik)
Peluang
n1
x1
p (x1)
n2
x2
p (x2)
.
.
.
.
.
.
nk
xk
p (xk)
→
→
.
.
→
.
punya rata–rata (μx ) dan
simpangan baku (σx )
4.1 Sebaran Penarikan Contoh Bagi Rata–rata
A.
Dengan Pemulihan
Misal populasi
x
0
1
p (x)
1/4
¼
2
3
μ = 3/2
σ2 = 5/4
1/4 1/4
Diambil sampel dengan n = 2, jadi ada 42 = 16 kemungkinan :
No Contoh
1
2
3
4
5
6
7
8
0;0
0;1
0;2
0;3
1;0
1;1
1;2
1;3
x
No
Contoh
x
x
f
p(x)
x.p(x)
f.x
0
0,5
1,0
1,5
0,5
1,0
1,5
2,0
9
10
11
12
13
14
15
16
2;0
2;1
2;2
2;3
3;0
3;1
3;2
3;3
1,0
1,5
2,0
2,5
1,5
2,0
2,5
3,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
1
2
3
4
3
2
1
1/16
2/16
3/16
4/16
3/16
2/16
1/16
0
1/16
3.16
6/16
6/16
5/16
3/16
24/16
0
1
3
6
6
5
3
24
Wijaya : Statistika II-1
42
Rata–rata dan Ragam dari rata–rata contoh adalah :
μx = ∑ f.x / ∑ f = ∑ x. p(x) = 24/16
σx2 = ∑ (x – 3/2)2 f(x) = 5/8 = 5/4/2 = σ2 / n atau σx = σ / √ n
μx = μ dan σx = σ /√ n.
Jadi :
Untuk n ≥ 30 (atau n < 30 asalkan populasi asal normal), maka
x – μ
z = —————
σ /√ n
Teladan 4.1 :
Contoh acak berukuran 4 ditarik secara berulang–ulang dengan pemulihan dari
sebuah populasi terhingga yang terdiri dari nilai–nilai 2, 4, dan 6.
a.
diantara 2 nilai berapa terdapat 68% diantara semua nilai rata–rata contoh itu
(ambil 68% yang di tengah).
b.
jika contohnya berukuran 54, berapa peluang bahwa rata–rata contohnya
akan lebih besar dari 4,1 tetapi kurang dari 4,4.
Jawab :
x = 2, 4, 6 maka μ = μx = 4 dan σ = 1,63
16%
16%
z1
a.
z2
p (Z < z1) = 0,16 maka z1 = – 0,995
p (Z > z2) = 0,16 maka z2 = 0,995
untuk n = 4 maka σx = σ /√ n = 0,815 dan x = z. σx + μx
x1 = (– 0,995)(0,815) + 4 = 3,19 dan x1 = (0,995)(0,815) + 4 = 4,81
Jadi 68 % data terletak diantara nilai 3,19 dan 4,81
Wijaya : Statistika II-1
43
b.
n = 54 maka σx = σ /√ n = 1,63 / √ 54 = 0,22
p (4,1 < x < 4,4) = p (4,15 < x < 4,35)
= p (0,68 < z < 1,59) = 0,9441 – 0,7517 = 0,1924
B.
Tanpa Pemulihan
Misal populasi 0, 1, 2, 3 (N = 4) diambil sampel n = 2, maka banyaknya
kemungkinan sampel adalah 2C4 = 6.
No.
1
2
3
4
5
6
Sampel
0;1
0;2
0;3
1;2
1;3
2;3
Rata–rata (x)
0,5
1,0
1,5
1,5
2,0
2,5
dari contoh didapat rata–rata contoh (μ ) dan ragamnya (σx2 ) adalah :
μx = ∑ x / n = 9/6 = 3/2 = μ
5/4
4–2
2
σx = 5/12 = ——— √ ———
√2
4–1
σ2
N–n
= —— √ ———
√n
N–1
Jadi jika pengambilan sampel dilakukan tanpa pemulihan maka :
μx = μ dan σx = (σ /√ n ) √ (N–n) / (N–1)
Faktor √ (N–n) / (N–1) disebut Faktor Koreksi Populasi Terhingga. Bila N relatif
besar terhadap n, maka faktor tersebut bernilai 1 sehingga σx2 mendekati
σ2/n.
Hal ini dikenal dengan Dalil Limit Pusat yaitu : Bila contoh acak berukuran n ditarik
dari populasi (diskrit atau kontinyu) yang besar atau tak hingga dengan rata–rata μ
dan ragam σ2, maka rata–rata contoh μx akan menyebar mendekati distribusi
normal dengan rata–rata μx = μ dan simpangan baku σx = σ /√ n. Dengan
demikian
x – μ
z = ————
σ /√ n
Wijaya : Statistika II-1
44
Dalam perhitungan, biasanya rumus untuk simpangan baku contoh atau galat baku
(σx ) yaitu :
1.
σx = σ /√ n jika n/N < 5% dan
2.
σx = (σ /√ n ) √ (N–n) / (N–1) jika n/N ≥ 5
Perhatikan perbedaan penggunaan rumus z pada sebaran peluang dengan
sebaran penarikan contoh.
Pada sebaran penarikan contoh, ukuran sampel
diketahui dan peluang dihitung terhadap seluruh unit sampling dalam sampel.
Teladan 4.2 :
Sebuah perusahaan memproduksi bohlam. Bila umur bohlam itu menyebar normal
dengan rata–rata 800 jam dan simpangan baku 40 jam, maka hitunglah peluang
bahwa suatu contoh acak 16 bohlam akan berumur rata–rata kurang dari 775 jam.
Jawab : Umur bohlam (data kontinyu)
z = (775 – 800) / (40 / √16) = –25/10 = –2,5
p (x < 775) = p (z < –2,5) = 0,0062
Teladan 4.3 :
Bila galat baku bagi sebaran penarikan contoh berukuran 36 yang ditarik dari
populasi yang besar adalah 2, berapa ukuran contoh itu harus ditingkatkan agar
galat bakunya berkurang menjadi 1,2.
Jawab :
σx = 2 dan n = 36 maka σ = σx √ n = 2 (6) = 12 atau σ2 = 144
σx = 1,2 jadi σx2 = 1,44 maka n = σ2 / σx2 = 144 / 1,44 = 100
Jadi ukuran sampel harus ditingkatkan menjadi 100.
Teladan 4.4 :
Sebuah mesin minuman ringan diatur agar jumlah minuman yang dikeluarkan
setiap botol rata–rata 240 ml dengan simpangan baku 15 ml. Secara periodik
mesin itu diperiksa dengan mengambil 40 botol kemudian dihitung rata–ratanya.
Jika rata–rata 40 botol tersebut berada pada selang μx ± 2 σx, maka mesin masih
dianggap baik. Jika petugas mendapatkan rata–rata isi ke 40 botol adalah 236 ml
Wijaya : Statistika II-1
45
dan menyimpulkan mesin itu tidak perlu diperbaiki, apakah keputusannya itu
wajar?
Jawab :
μ = 240
maka
σ = 15
n = 40 dan
μx = 236
σx = σ / √ n = 15 / √ 40 = 2,37
μx ± 2 σx, = 236 ± 2 (2,37) atau 231,26 < μ < 240,74
(Wajar)
Teladan 4.5 :
Sebuah mesin membuat resistor dengan tahanan rata–rata 40 Ω dan simpangan
baku 2 Ω. Berapa peluang suatu contoh acak 36 resistor akan menghasilkan
tahanan gabungan lebih daripada 1458 Ω.
Jawab : (Data kontinyu)
μ = 40
σ =2
n = 36 σx = σ / √ n = 2 / √ 36 = 0,33
rata–rata tahanan setiap resistor (x) = 1458 : 36 = 40,5
z = (40,5 – 40) / 0,33 = 1,5
p (x > 40,5) = p (z > 1,5) = 1 – 0,9332 = 0,0668
4.2 Sebaran t–Student (W.S. Gosset)
Bila σ2 tidak diketahui maka untuk n ≥ 30 nilai σ2 dapat didekati oleh s2,
sehingga nilai (x – μ) / (s / √ n) masih mendekati normal, karena fluktuasi s2
relatif kecil.
Bila n < 30 maka fluktuasi s2, cukup besar dari contoh satu ke contoh lainnya,
sehingga nilai (x – μ) / (s / √ n) tidak lagi normal. Oleh karena itu digunakan
sebaran lain yaitu sebaran t–student, dimana :
x – μ
t =
db = v = n – 1
s/√n
Wijaya : Statistika II-1
46
Perbedaan pembacaan Tabel z (normal baku) dengan Tabel t–student :
Pada Tabel z, nilai dalam daftar adalah nilai peluangnya (α) atau luas di
bawah kurva untuk setiap nilai z. Pada Tabel t–student, nilai dalam daftar
adalah nilai bagi t untuk setiap peluang (α) yang diketahui.
Peluang (α)
adalah luas daerah di bawah kurva.
Teladan 4.6 :
P (– t0,025 < t < t0,025) = 0,95
Teladan 4.7 :
Sebuah perusahaan menyatakan bahwa batere yang digunakan dalam alat–alat
permainan
elektronik
akan
mencapai
umur
rata–rata
30
jam.
Untuk
mempertahankan nilai rata–rata ini, 16 batere diuji tiap bulan. Bila nilai t yang
diperolehnya jatuh antara – t0,025 dan t0,025, maka perusahaan itu cukup puas.
Jika dari 16 contoh didapat :
a.
rata–rata x = 27,5 dengan simpangan baku 5 jam, apa kesimpulannya ?
b.
rata–rata x = 33,75 dengan simpangan baku 5 jam, apa kesimpulannya ?
Jawab : (Data kontinyu)
a.
μ = 30
s =5
n = 16 x = 27,5 dan s / √ n = 5 / √ 16 = 1,25
untuk db = v = 16–1 = 15 didapat (–t0,025 < t < t0,025) = (–2,31 < t < 2,31)
t = (x – μ) / (s / √ n) = (27,5 – 30)/ (1,25) = –2 (Terima)
b.
μ = 30
s =5
n = 16 x = 33,75 dan s / √ n = 5 / √ 16 = 1,25
untuk db = v = 16–1 = 15 didapat P (–t0,025 < t < t0,025) = –2,31 < t < 2,31
t = (x – μ) / (s / √ n) = (33,75 – 30)/ (1,25) = 3
lebih besar dari nilai
t = 2,31 artinya batere produksinya lebih baik dari yang disangkanya.
Wijaya : Statistika II-1
47
Teladan 4.8 :
Sebuah perusahaan rokok menyatakan bahwa kandungan nikotin rata–rata
rokoknya sebesar 1,83 mg per batang. Hasil pengujian 8 batang rokok kadar
nikotinnya 2,0 ; 1,7 ; 2,1 ; 1,9 ; 2,2 ; 2,1 ; 2,0 dan 1,6 mg. Apakah anda setuju
pernyataan tersebut ?
Jawab : (Data kontinyu)
n=8
x = 1,95
s = 0,21 dan s / √ n = (0,21) / √ 8 = 0,074.
untuk db = 8 – 1 = 7 dan α = 5% = 0,05 didapat t0,05 (7) = 1,895
t = (x – μ) / (s / √ n) = (1,95 – 1,83)/ (0,074) = 1,622
Karena nilai ( t = 1,622 ) < ( t0,05 (7) =
1,895 ), maka kita dapat menerima
pernyataan tersebut.
4.3 Sebaran Proporsi
Misal populasi berukuran N terdapat peristiwa A sebanyak Y diantara N,
maka didapat parameter proporsi A = Y/N.
Dari populasi
diambil sampel
berukuran n dan misalkan didalamnya terdapat peristiwa A sebanyak x, jika semua
kemungkinan sampel yang mungkin, diambil dari populasi itu maka didapat
sekumpulan harga statistik proporsi. Dari kumpulan proporsi ini dapat dihitung
rata–rata (μx/n) dan simpangan bakunya (σx/n), yang disebut juga sebagai Galat
Baku Proporsi.
Jika n/N ≤ 5% maka : μx/n = p dan σx/n = √ pq/n
Jika n/N > 5% maka : μx/n = p dan σx/n = √ pq/n √(N–n)/(N–1)
Transformasi ke normal baku :
x/n – p
z = ————
σx/n
Jika selisih proporsi antar contoh diharapkan ≤ d maka σx/n ≤ d
Wijaya : Statistika II-1
48
Teladan 4.9 :
Telah dikirim 5000 peti gelas, tiap peti berisi 100 gelas. Dalam pengiriman itu
biasanya terjadi 5% gelas pecah.
Ada berapa peti diharapkan diterima yang
berisikan minimal 98 buah gelas yang baik setiap peti.
Jawab :
n = 100
p = 0,05 q = 0,95 dan
σx/n = √ pq/n = √ (0,05)(0,95)/(100) = 0,022
P (x/n ≥ 0,98) = p (x/n < 0,02) jadi x/n = 0,02
z = (0,02 – 0,05) / (0,022) = –1,38
p (x/n < 0,02) = p (z < –1,38) = 0,0838 X 5000 peti = 419 peti berisi gelas yang
pecah atau 4.581 buah peti berisi gelas yang baik.
Teladan 4.10 :
Terdapat 10% populasi padi dalam 1 ha terkena ganjur. Diambil 100 tanaman
a.
tentukan peluangnya minimal 15 tanaman terkena ganjur
b.
berapa tanaman harus diamati agar persentase ganjur dari sampel satu ke
lainnya diharapkan berbeda paling besar 2%.
Jawab :
n = 100
p = 0,1 q = 0,9 dan σx/n = √ pq/n = √ (0,1)(0,9)/(100) = 0,03
a.
z = (0,15 – 0,1) / (0,03) = 1,67 dan p (z ≥ 1,67) = 1 – 0,9525 = 0,0475
b.
σx/n ≤ d atau √ pq/n = √ (0,1)(0,9)/ n ≤ 0,02 jadi n ≥ 225
4.4 Sebaran Simpangan Baku
Dari semua kemungkinan sampel yang diambil dari populasi N, masing–
masing dihitung simpangan bakunya (s). Dari kumpulan s ini lalu dihitung rata–
ratanya (μs) dan simpangan bakunya (σs). Untuk n besar (n ≥ 100) atau populasi
normal, maka sebaran simpangan baku mendekati sebaran normal dengan (μs) =
σ dan (σs) = σ / 2n, sehingga :
s – σ
z = ————
σs
σ = simpangan baku populasi
Wijaya : Statistika II-1
49
4.5 Sebaran Median
μme = μ
dan (σme) = 1,2533 σ / √n, sehingga :
Mes – μ
z = —————
σme
4.6 Sebaran Selisih dan Jumlah Rata–rata
(1)
Selisih Rata–rata :
μ x1–x2 = μ1 – μ2
dan σx1–x2 = √ (σ12 / n1) + (σ22 / n2)
(x1 – x2) – (μ1 – μ2)
z = ——————————
(σx1–x2)
(2) Jumlah Rata–rata :
μ x1+x2 = μ1 + μ2
dan σx1+x2 = √ (σ12 / n1) + (σ22 / n2)
(x1 + x2) – (μ1 + μ2)
z = ——————————
(σx1+x2)
Teladan 4.11 :
Rata–rata umur tabung TV merk A = 6,5 tahun dengan simpangan baku 0,9 tahun,
TV merk B rata–rata 6 tahun dengan simpangan baku 0,8 tahun. Berapa peluang
sebuah sampel acak berukuran 36 tabung TV merk A mencapai umur rata–rata
sekurang–kurangnya 1 tahun lebih lama daripada umur rata–rata 49 tabung TV
merk B.
Jawab :
A : n1 = 36
μ1 = 6,5 σ1 = 0,9
B : n2 = 49
μ2 = 6
σ2 = 0,8
μ x1–x2 = μ1 – μ2 = 0,5
σ x1–x2 = √ (σ12 / n1) + (σ22 / n2) = √ (0,81 / 36) + (0,64 / 49) = 0,189
z = (1,0 – 0,5) / (0,189) = 2,65
Wijaya : Statistika II-1
50
P ( x1 – x2 ≥ 1 ) = p ( z ≥ 2,65 ) = 1 – p(z < 2,65) = 1 – 0,996 = 0,004
Teladan 4.12 :
Tinggi tanaman A rata–rata 80 cm dengan simpangan baku 5 cm, dan tanaman B
rata–rata tingginya 75 cm dengan simpangan baku 3 cm. Hitung peluang rata–rata
25 contoh tanaman A akan melampaui 36 tanaman B sekurang–kurangnya 3,4 cm
tetapi kurang dari 5,9 cm.
Jawab :
A : n1 = 25
μ1 = 80 σ1 = 5
B : n2 = 36
μ2 = 75
σ2 = 3
μ x1–x2 = μ1 – μ2 = 5
σx1–x2 = √ (σ12 / n1) + (σ22 / n2) = √ (25 / 25) + (9/ 36) = 1,12
P [ 3,4 ≤ (x1 – x2 ) < 5,9 ] = P [ 3,35 < (x1 – x2 ) < 5,90 ]
= P (–1,47 < z < 0,80) = 0,7881 – 0,0708 = 0,7173
4.7 Sebaran Selisih Proporsi
μsp = p1 – p2
dan σsp = √ (p1 q1 / n1) + (p2 q2 / n2)
(x1/n1 – x2/n2) – (p1 – p2)
z = ———————————
(σsp )
Teladan 4.13 :
Sebanyak 60% minuman kotak di suatu kota kemasannya sudah rusak.
sampel acak diambil masing–masing berukuran 300 kotak.
Dua
Tentukan peluang
terjadinya perbedaan persentase tidak lebih dari 10% yang rusak.
Jawab :
p1 = p2 = 0,6
n1 = n2 = 300
P [ (x1/n1 – x2/n2 ) < 0,10 ] = … ?
σsp = √ (p1q1 / n1) + (p2q2 / n2) = √ [(0,6)(0,4)/300] + [(0,6)(0,4)/ 300) = 0,04
z = (1,0 – 0) / (0,04) = 2,5
jadi P ( z < 2,5) = 0,9938
Wijaya : Statistika II-1
51
V. PENDUGAAN (PENAKSIRAN) PARAMETER
1.
Statistika Inferensia dikelompokkan dalam 2 bidang, yaitu (a) Pendugaan
Parameter, dan (b) Pengujian Hipotesis.
Metode pendugaan parameter
populasi ada 2, yaitu (a) Metode Klasik, metode pendugaan berdasarkan
kesimpulan suatu contoh acak yang diambil dari populasi itu, dan (b) Metode
Bayes, yang menggabungkan pengetahuan subjektif tentang sebaran
peluang parameter yang tidak diketahui dengan informasi yang didapat dari
data contoh.
2.
Metode Pendugaan Klasik :
Statistik
θ (x, s2, x/n) sebagai penduga atau fungsi keputusan bagi
parameter θ (μ, σ2, p).
Ruang Keputusan = himpunan semua kemungkinan nilai dugaan yang
dapat diambil oleh penduga (estimator).
Sifat Penduga yang baik adalah : (a) tidak bias, bila μ0 = E(θ) = θ, (b)
paling efisien (ragamnya terkecil) dan (c) konsisten, artinya nilai θ
mendekati θ bila n meningkat.
3.
Nilai dugaan dalam bentuk selang lebih tepat digunakan daripada nilai
dugaan dalam bentuk dugaan titik.
4.
Nilai dugaan selang : P (θ1 < θ < θ2 ) = 1 – α, artinya peluang θ terletak
diantara θ1 dan θ2 sebesar (1 – α). Jika θ1 dan θ2 nilainya telah didapat
dari sampel, misalnya θ1 = a dan θ2 = b, maka pernyataan di atas menjadi
berarti kita merasa (1 – α) 100% yakin bahwa θ ada dalam selang (a,b).
Selang (θ1 < θ < θ2 ) disebut Selang Kepercayaan (1 – α) 100%.
(1 – α) disebut Koefisien Kepercayaan atau Derajat Kepercayaan.
Nilai statistik θ1 dan θ2 disebut Batas Kepercayaan.
Wijaya : Statistika II-1
52
5.1 Pendugaan Rata–rata.
Cara menentukan sebaran apa yang digunakan :
Jika σ diketahui (ada) atau n = 30, maka digunakan sebaran normal z.
Jika σ tidak diketahui dan n < 30, maka digunakan sebaran t– student.
Faktor Koreksi untuk populasi terbatas yaitu √(N–n)/(N–1) digunakan jika
n/N = 5%. Dengan diagram dapat dijelaskan sebagai berikut :
σ ada ?
Ya
Z
Ya
Z
Tidak
n ≥ 30 ?
Tidak
t
Dugaan Selang :
P (–zα/2 < z < zα/2 ) = 1 – α
P (–zα/2 < (x–μ)/σx < zα/2 ) = 1 – α
P (x – zα/2 . σx < μ < x + zα/2 . σx ) = 1 – α
⇔
( x – zα/2 . σx ) < μ < ( x + zα/2 . σx )
Wijaya : Statistika II-1
53
Arti (1 – α) 100% = 95% jika α = 5%.
Contoh yang berbeda akan menghasilkan
nilai rata–rata x yang berbeda pula, sehingga
selang kepercayaan bagi parameter μ yang
diperoleh juga berbeda. Sebagian besar
selang mencakup μ. Panjang semua selang
sama, karena panjang selang hanya
bergantung pada nilai zα/2.
μ
Galat Dalam Pendugaan μ :
Bila statistik x digunakan untuk menduga μ, kita percaya (1 – α) 100% bahwa
galatnya tidak akan melebihi zα/2 . σx.
Galat
x – zα/2 . σx
μ
x
x + zα/2 . σx
Rumus Pendugaan Rata–rata (μ) :
(A) Jika σ Diketahui :
1.
x – zα/2 .σ/√n < μ < x + zα/2x .σ/√n untuk n/N ≤ 5%
2.
x – zα/2 (σ/√n).√(N–n)/(N–1) < μ < x + zα/2(σ/√n)√(N–n)(N–1), n/N > 5%
(B) Jika σ Tidak Diketahui :
1.
n = 30 : x – zα/2 .σ/√n < μ < x + zα/2 .σ/√n untuk n/N ≤ 5%
2.
n < 30 : x – tα/2.(s/√n)√(N–n)/(N–1) < μ < x + tα/2 .(s/√n).√(N–n)(N–1)
untuk n/N > 5%.
Teladan 5.1 :
Sebuah perusahaan memproduksi bohlam yang umurnya kira–kira menyebar
normal dengan simpangan baku 42 jam.
Bila suatu contoh acak 36 bohlam
mencapai umur rata–rata 780 jam, maka :
a.
Buat selang kepercayaan 95% bagi rata–rata populasi umur bohlam yang
diproduksi perusahaan tersebut.
Wijaya : Statistika II-1
54
b.
Dengan tingkat kepercayaan 99%, tentukan besarnya galat bila kita menduga
rata–rata umur bohlam 780 jam.
Jawab :
x = 780
n = 36
σ = 42
σ/√n = 42 /√36 = 7
untuk α = 5% maka z0,025 = 1,96 dan untuk α = 1% maka z0,005 = 2,58
a.
Selang Kepercayaannya : x – zα/2 .σ/√n < μ < x + zα/2 .σ/√n
⇔ 780 – (1,96)(7) < μ < 780 + (1,96)(7)
b.
766,28 < μ < 793,72
Galat Dugaan = zα/2 σ/√n = (2,58)(7) = 18,06 artinya kita yakin 99% bahwa
perbedaan rata–rata umur bohlam dari contoh (x = 780 jam) dengan rata–rata
umur bohlam sesungguhnya (μ ) tidak lebih besar dari 18,06 jam.
Teladan 5.2 :
Suatu contoh acak 36 mahasiswa tingkat akhir mempunyai rata–rata dan
simpangan baku nilai mutu rata–rata sebesar 2,6 dan 0,3.
Buat selang
kepercayaan 98% bagi rata–rata NMR seluruh mahasiswa tingkat akhir.
Jawab :
x = 2,6
n = 36
s = 0,3
s/√n = 2,6 /√36 = 0,433
untuk α = 2% maka z0,01 = 2,33
Selang Kepercayaannya : x – zα/2 . s/√n < μ < x + zα/2 . s/√n
⇔ 2,6 – (2,33)(0,433) < μ < 2,6 + (2,33)(0,433)
2,48 < μ < 2,72
Teladan 5.3 :
Isi 10 kaleng sabun detergen berturut–turut 10,2 ; 9,7 ; 10,3 ; 10,1 ; 10,1 ; 9,8 ; 9,9
; 10,4 ; 10,3 dan 9,8 liter. Buat selang kepercayaan 95% bagi rata–rata isi sabun
tersebut.
Jawab :
x = 10,06
n = 10
s = 0,25 s/√n = 0,25 /√10 = 0,08
t0,025 (9) = 2,262
Selang Kepercayaannya : x – tα/2 . s/√n < μ < x + tα/2 . s/√n
⇔ 10,06 – (2,262)(0,08) < μ < 10,06 + (2,262)(0,08)
9,88 < μ < 10,24
Wijaya : Statistika II-1
55
Ukuran Contoh Bagi Pendugaan Rata–rata (μ )
Galat Duga Rata–rata (e) = zα/2 . σx . = zα/2 . σ/√n jadi n = (zα/2 .σ / e)2
Teladan 5.4 :
Suatu contoh acak 36 mahasiswa tingkat akhir mempunyai rata–rata dan
simpangan baku nilai mutu rata–rata sebesar 2,6 dan 0,3. Berapa ukuran contoh
harus diambil bila kita ingin percaya 95% bahwa nilai dugaan tidak menyimpang
dari μ sebesar 0,05.
Jawab : x = 2,6
s = 0,3
z0,025 = 1,96
dan e = 0,05
n = (zα/2 .σ / e)2 = n = [(1,96)(0,3) / 0,05)2 = 138,2 = 139 mahasiswa.
5.2 Pendugaan Selisih Rata–rata
A.
Jika σ12 dan σ22 Diketahui :
(x1 – x2) – zα/2 .√(σ12 / n1) + (σ22 / n2) < (μ1 – μ2) <
(x1 – x2) + zα/2.√ (σ12 / n1) + (σ22 / n2)
B. Jika σ12 dan σ22 Tidak Diketahui :
1.
n = 30 ( Populasi Normal maupun tidak normal ) :
(x1 – x2) – zα/2 .√(s12 / n1) + (s22 / n2) < (μ1 – μ2) <
(x1 – x2) + zα/2.√ (s12 / n1) + (s22 / n2)
2.
n < 30
( Normal dan σ12 = σ22 ) :
(x1 – x2) – tα/2 .Sg√(1/ n1) + (1 / n2) < (μ1 – μ2) <
(x1 – x2) + tα/2 .Sg √ (1 / n1) + (1 / n2)
(n1 – 1) s12 + (n2 – 1) s22
Sg2 = ————————————
n1 + n2 – 2
Wijaya : Statistika II-1
56
3.
( Normal dan σ12 ≠ σ22 ) :
n < 30
(x1 – x2) – tα/2 .√( s12 / n1) + (s22 / n2) < (μ1 – μ2) <
(x1 – x2) + tα/2 .√ (s12 / n1) + (s22 / n2)
Derajat bebas (v) untuk tα/2 dihitung dengan rumus :
(s12 / n1 + s22 / n2 )2
(W12 + W22 )2
v = ————————————————— = —————————————
[(s12/n1)2 / (n1 –1)] + [(s22/n2)2 / (n2 –1)]
[W12/ (n1 –1) + W22/ (n2 –1)]
Cara lain untuk menentukan tα/2 (V) adalah :
(w1 t1 + w2 t2 )
tα/2
(V)
= t’ = —————————
( w1 + w2 )
dimana :
w1 = (s12 / n1)
(4)
w2 = (s22 / n2) t1 = tα/2 (n1–1)
t2 = tα/2 (n2–1)
n < 30 dan populasi tidak normal, maka diterapkan Statistika Non Parametrik.
Teladan 5.4 :
Sebuah perusahaan memproduksi 2 macam lampu pijar A dan B. Misal umur
lampu pijar tersebut menyebar normal dengan simpangan baku masing–masing 80
dan 90 jam. Contoh acak masing–masing berukuran 50 diuji dan didapat rata–rata
umurnya sebesar 1282 jam dan 1208 jam. Buat selang kepercayaan 95%.
Jawab :
n1 = n2 = 50
σ1 = 80
σ2 = 90
x1 = 1282
x2 = 1208
z0,025 = 1,96
x1 – x2 = 74 dan σx1–x2 = √(σ12/n1) + (σ22/n2) = √ (802/ 50) + (902/ 50) = 17,321
(x1 – x2) – zα/2 .√(σ12 / n1) + (σ22 / n2) < (μ1 – μ2) <
(x1 – x2) + zα/2.√ (σ12 / n1) + (σ22 / n2)
⇔
74 – (1,96)(17,321) < (μ1 – μ2) < 74 + (1,96)(17,321)
⇔
40,05 < (μ1 – μ2) < 107,95
Wijaya : Statistika II-1
57
Teladan 5.5 :
Dua jenis tambang ingin dibandingkan kekuatannya, untuk itu 50 potong tambang
dari setiap jenis diuji dalam kondisi yang sama. Jenis A mempunyai kekuatan
rata–rata 78,3 kg dengan simpangan baku 5,6 kg, sedangkan B rata–ratanya 87,2
kg dengan simpangan baku 6,3 kg. susun selang kepercayaan 95% bagi selisih
rata–rata populasi..
Jawab :
n1 = n2 = 50 x1 = 78,3
s1 = 5,6 x2 = 87,2
s2 = 6,3
z0,025 = 1,96
x2 – x1 = 8,9 dan sx1–x2 = √(s12/n1) + (s22/n2) = √ (5,6)2/ 50 + (6,3)2/ 50 = 1,19
(x1 – x2) – zα/2 .√(s12 / n1) + (s22 / n2) < (μ1 – μ2) <
(x1 – x2) + zα/2.√ (s12 / n1) + (s22 / n2)
⇔
8,9 – (1,96)(1,19) < (μ2 – μ1) < 8,9 + (1,96)(1,19)
⇔
6,57 < (μ2 – μ1) < 11,23
Teladan 5.6 :
Pelajaran matematika diberikan kepada 12 siswa kelas A dengan metode
pengajaran biasa, dan 10 siswa kelas B dengan metode pengajaran menggunakan
bahan terprogram. Hasil ujian kelas A rata–ratanya 85 dengan simpangan baku 4,
kelas B rata–ratanya 81 dengan simpangan baku 5. Tentukan selang kepercayaan
90% bagi selisih rata–rata populasi, bila diasumsikan kedua populasi menyebar
menghampiri normal dengan ragam yang sama.
Jawab :
n1 = 12
x1 = 85
s1 = 4
n2 = 10
x2 = 81
s2 = 5
t0,05 (20) = 1,725
x2 – x1 = 4 dan sg = √ [(n1 –1) s12 + (n2 –1) s22 ] / (n1+ n2 –2)
sg = √ [11(16) + 9(25)]/ (10+12–2) = 4,478 ; 1/n2 = 0,083 ; 1/n2 = 0,100
Selang Kepercayaannya :
4 – (1,725)[(4,478)(0,083 + 0,100) < (μ2 – μ1) < 4 + (1,725)(4,478)(0,083 + 0,100)
0,69 < (μ2 – μ1) < 7,31
Wijaya : Statistika II-1
58
Teladan 5.7 :
Masa putar film yang diproduksi oleh 2 perusahaan film adalah :
Masa Putar (menit)
Perusahaan I
103
94
110
87
98
Perusahaan II
97
82
123
92
175
88
118
Buat selang kepercayaan 99% bagi selisih rata–rata masa putar, bila diasumsikan
sebaran masa putar film mendekati normal dengan ragam yang berbeda.
Jawab : n < 30
s12 = 76,3
σ1 , σ2 tidak ada, dan σ1 ≠ σ2 n1 = 5 x1 = 98,4
n2 = 7 x2 = 110,7 s22 = 1035,9
t0,005 (10) = 3,169
derajat bebas untuk tα/2 atau t0,005 adalah :
(s12 / n1 + s22 / n2 )2
v = —————————————————
[(s12/n1)2 / (n1 –1)] + [(s22/n2)2 / (n2 –1)]
[ (76,3 / 5) + (1035,9 / 7) ]2
v = —————————————————
[(76,3 / 5)2 / (4)] + [(1035,9 / 7)2 / (6)]
= 7,19 = 7
jadi t0,005 (7) = 3,499 dan ( x2 – x1 )= 12,3
√ [(s12/ n1) + (s22/ n2)] = √ [(76,3)/(5) + (1035,9)/(7)] = 12,78
(x1 – x2) – tα/2(V) .√(s12/n1) + (s22/n2) < (μ1 – μ2) <
(x1 – x2) + tα/2(V) .√ (s12/n1) + (s22/n2)
⇔
12,3 – (3,499)(12,78) < (μ2 – μ1) < 12,3 + (3,499)(12,78)
⇔ – 32,42 < (μ2 – μ1) < 57,02
Cara lain menentukan tα/2(V) = t’ bagi σ1 ≠ σ2 (tidak diketahui)
tα/2(V) = t’ = (w1 t1 + w2 t2 ) / ( w1 + w2 )
w1 = (s12 / n1) = (76,3)2 / (5) = 15,26
w2 = (s22 / n2) = (1035,9)2 / (7) = 147,99
t1 = tα/2 (n1–1) = t0,005 (5–1) = 4,604
Wijaya : Statistika II-1
59
t2 = tα/2 (n2–1) = t0,005 (7–1) = 3,707
tα/2(V) = t’ = (w1 t1 + w2 t2 ) / (w1 + w2 ) = ( 618,856) / (163,25) = 3,79
sehingga :
⇔ 12,3 – (3,79)(12,78) < (μ2 – μ1) < 12,3 + (3,79)(12,78)
⇔ – 36,14 < (μ2 – μ1) < 60,74
5.3 Pendugaan Rata–rata Pengamatan Berpasangan
Contoh bersifat tidak bebas, dan σ1 ≠ σ2
d – tα/2(V) . sd /√n < μd < d + tα/2(V) . sd /√n
Teladan 5.8 :
Pelatihan manajemen agribisnis kepada 100 petani andalan agar mampu
mengembangkan usahataninya. Setelah beberapa waktu, 6 orang diantara 100
petani andalan tersebut diselidiki keuntungan yang mereka peroleh sebelum dan
sesudah pelatihan, datanya adalah sebagai berikut :
Petani
1
2
3
4
5
6
Sebelum Dilatih
40
78
49
63
55
33
Juta rupiah
Sesudah Dilatih
58
87
57
72
61
40
Juta rupiah
Buat selang kepercayaan 95% bagi selisih rata–rata :
Jawab :
Sebelum Dilatih
40
78
49
63
55
33
Sesudah Dilatih
58
87
57
72
61
40
Beda (d)
18
9
8
9
6
7
n=6
∑d = 57 ∑d2 = 635 d = 9,5 sd = 4,32 sd /√n = 1,76 t0,025(5) = 2,57
Selang Kepercayaannya : 9,5 – (2,57)(1,76) < μd < 9,5 + (2,57)(1,76)
4,98 < μd < 14,02
Wijaya : Statistika II-1
60
5.4 Pendugaan Proporsi
Selang kepercayaan ( 1 – α )100% bagi parameter binom p :
(a)
n ≥ 100 : p – zα/2 . √ pq/n < π < p + zα/2 . √ pq/n
(b)
n < 100 : p – tα/2(V) . √ pq/n < π < p + tα/2(V) . √ pq/n
Galat Pendugaan p yaitu e ≤ zα/2 . √ pq/n
Ukuran Contoh ( n ) = ( zα/22 . pq ) / (e2 ) = ( zα/22 ) / (4 e2 )
(Rumus untuk n yang pertama mengharuskan adanya pengambilan contoh awal
untuk menentukan p, oleh karena itu lebih baik digunakan rumus n yang kedua).
Teladan 5.9 :
Contoh acak 500 orang yang makan siang di sebuah restoran selama beberapa
hari minggu diperoleh informasi x = 160 orang yang suka makanan laut. Tentukan
(a) Selang kepercayaan 95% bagi proporsi sesungguhnya yang suka makanan
laut di restoran tersebut, (b) Besarnya Galat Duga dan (c) Berapa ukuran contoh
diperlukan agar percaya sekurang–kurangnya 95% bahwa nilai dugaan bagi p
berada dalam jarak sebesar–besarnya 0,02.
Jawab :
(a) p = 160/500 = 0,32
q = 0,68 dan √ pq/n = √ (0,32(0,68) / 500 = 0,021
untuk α = 0,05 nilai zα/2 = z0,025 = 1,96
⇔ p – zα/2 . √ pq/n < π < p + zα/2 . √ pq/n
⇔ 0,32 – (1,96)(0,021) < π < 0,32 + (1,96)(0,021) ⇔ 0,28 < π < 0,36
(b) e ≤ zα/2 . √ pq/n atau e ≤ 1,96 (0,021) = 0,04
(c) n = ( zα/22 ) / (4 e2 ) = (1,96)2 / 4 (0,02)2 = 2401 orang
5.5 Pendugaan Selisih Proporsi
Selang kepercayaan ( 1 – α )100% bagi selisih parameter binom p :
a.
n ≥ 100 :
(p1 – p2) – zα/2.√(p1q1/n1) + (p2q2/n2 ) < (π1 – π2 )< (p1 – p2) + zα/2.√(p1q1/n1)
Wijaya : Statistika II-1
61
b.
n < 100 :
(p1 – p2) – tα/2.√(p1q1/n1) + (p2q2/n2 ) < (π1 – π2 )< (p1 – p2) + tα/2.√(p1q1/n1)
Derajat Bebas untuk tα/2 = n1 + n2 –2
Teladan 5.10 :
Suatu studi dilakukan untuk menduga proporsi penduduk suatu kota dan penduduk
di sekitar kota tersebut yang menyetujui pembangkit listrik tenaga nuklir. Bila 1200
diantara 2000 penduduk kota dan 2400 diantara 5000 penduduk di sekitar kota
yang diwawancarai menyetujui pembangunan tersbut, buat selang kepercayaan
90% bagi proporsi sebenarnya yang setuju.
Jawab :
p1 = 0,60 q1 = 0,40 p2 = 0,48 q2 = 0,52
(p2 – p1) = 0,12
√ (p1q1/n1) + (p2q2/n2 ) = √ [(0,6)(0,4)/2000 + (0,48)(0,52)/5000 = 0,013
untuk α = 0,10 nilai zα/2 = z0,05 = 1,645
⇔
(p1 – p2) – zα/2 .√(p1q1/n1) + (p2q2/n2 ) < (π1 – π2) <
(p1 – p2) + zα/2.√(p1q1/n1) + (p2q2/n2 )
⇔
0,12 – (1,645)(0,013) < (π1 – π2) < 0,12 + (1,645)(0,013)
⇔
0,10 < (π1 – π2) < 0,14
Teladan 5.11 :
Seorang ahli genetika tertarik pada populasi laki–laki dan perempuan dalam
populasi yang mengidap kelainan darah tertentu.
Dari contoh 100 laki–laki
terdapat 24 yang mengidap kelainan darah dan 100 perempuan terdapat 13 yang
mengidap kelainan. Buat selang kepercayaan 99% bagi proporsi sebenarnya.
Jawab :
p1 = 0,24 q1 = 0,76 p2 = 0,13 q2 = 0,87
(p2 – p1) = 0,11
√ (p1q1/n1) + (p2q2/n2 ) = √ [(0,24)(0,76)/100 + (0,13)(0,87)/100 = 0,054
untuk α = 0,01 nilai zα/2 = z0,025 = 2,575
Wijaya : Statistika II-1
62
⇔
(p1 – p2) – zα/2 .√(p1q1/n1) + (p2q2/n2 ) < (π1 – π2) <
(p1 – p2) + zα/2.√(p1q1/n1) + (p2q2/n2 )
⇔
0,11 – (2,575)(0,054) < (π1 – π2) < 0,11 + (2,575)(0,054)
⇔
– 0,03 < (π1 – π2) < 0,25
5.6
Pendugaan Ragam
( n – 1 ) s2
χ2 = —————
σ2
Derajat Bebas untuk χ2 = n – 1
Karena sebaran peluang bagi χ2 bentuknya tidak simetris, maka :
P ( χ21–α/2 < χ2 < χ2α/2 ) = 1 – α
( χ21–α/2
( n – 1 ) s2
< ————— < χ2α/2 )
σ2
( n – 1 ) s2
—————
χ2α/2
<
σ2
( n – 1 ) s2
< ——————
χ21–α/2
Teladan 5.11
Contoh acak 5 buah batere mobil setelah dipakai ditemukan data masa pakainya
0,9 ; 1,4 ; 2,0 ; 2,5 dan 1,2 tahun. Buat selang kepercayaan 95% bagi ragam
populasi masa pakai batere mobil tersebut.
Wijaya : Statistika II-1
63
Jawab :
n = 0,24
∑x2 = 14,46
∑x = 8,0
s2 = 0,415 untuk α = 0,05 nilai
χ2α/2 (v) = χ20,025 (4) = 11,1 dan χ21–α/2 (v) = χ20,975 (4)( = 0,484
( n – 1 ) s2
( n – 1 ) s2
————— < σ2 < —————
χ2α/2
χ21–α/2
⇔
[(4)(0,415) / (11,1)] < σ2 < [(4)(0,415) / (0,484)]
⇔
0,15 < σ2 < 3,43
5.7 Pendugaan Rasio Dua Ragam
χ12 / v1
s12 / σ12
s12 . σ22
F = ———— = ————— = —————
χ22 / v2
s22 / σ22
s22 . σ12
F1–α/2 (v1,v2) = 1 / ( Fα(v2,v1) )
s12 . σ22
F1–α/2 (v1,v2) < ————— < Fα/2 (v1,v2)
s22 . σ12
s12
1
—— —————
s22 Fα/2(v1,v2)
s12
1
σ12
s12
1
< —— < —— ——————
σ22
s22 F1–α/2 (v1,v2)
σ12
s12
—— ————— < —— < —— . Fα/2(v2,v1)
s22
Fα/2 (v1, v2)
σ22
s22
Wijaya : Statistika II-1
64
Teladan 5.12 :
F0,95 (6, 10) = 1 / ( F0,05 (10, 6) = 1/ (4,06) = 0,246
Teladan 5.13 :
Tes matematika diberikan kepada 25 siswa laki–laki dan 16 siswa perempuan.
Siswa laki–laki mencapai nilai rata–rata 82 dengan simpangan baku 8, sedangkan
perempuan rata–ratanya 78 dengan simpangan baku 7. Buat selang kepercayaan
98% bagi (σ12/ σ22 ) dan (σ1 / σ2 ).
Jawab : n1 = 25 s1 = 8
n2 = 16
Fα/2(v1,v2) = F0,01 (24, 15) = 3,29
s12
1
σ12
s2 = 7 s2 = 0,415 á = 0,02
dan F0,01 (15,24) = 2,89
s12
—— ————— < —— < —— . Fα/2(v2,v1)
s22
Fα/2 (v1, v2)
σ22
(64 / 49) (1 / 3,29) <
⇔
s22
( σ12 / σ22 )
0,397 < ( σ12 / σ22 ) < 3,775 atau
<
(64 / 49) (2,89)
0,630 < ( σ1 / σ2 ) < 1,943
Teladan 5.14 :
Bila s12 dan s22 adalah ragam contoh acak bebas berukuran n1 = 8 dan n2 = 12
diambil dari populasi normal dengan ragam yang sama, hitunglah besarnya nilai
peluang P [ ( s12 / s22 ) < 4,89 ].
Jawab :
F = ( s12 σ22 ) / (s22 σ12 ) karena σ12 = σ22 maka F = s12 / s22
P (s12 / s22 < 4,89) = 1 – α atau p ( f < 4,89 ) = 1 – α
dari tabel : Fα(7, 14) = 4,89 maka didapat α = 0,01
jadi P (s12 / s22 < 4,89) = 1 – α = 1 – 0,01 = 0,99
Wijaya : Statistika II-1
65
DAFTAR PUSTAKA
Anto Dajan. 1995. Pengantar Metode Statistika Jilid II. LP3ES. Jakarta.
Jalaluddin Rakhmat. 1999. Metode Penelitian Komunikasi. Remaja Rosdakarya.
Bandung.
J. Supranto. 1995. Statistik : Teori dan Aplikasi, Jilid II. Erlangga. Jakarta.
Kwanchai A. Gomez dan Arturo A. Gomez. 1995. Prosedur Statistik Untuk
Penelitian Pertanian. Universitas Indonesia Press. Jakarta.
Robert, G. D. Steel dan James H. Torrie. 1993. Prinsip dan Prosedur Statistika.
Gramedia Pustaka Utama. Jakarta.
Ronald E. Walpole.
Jakarta.
1995.
Pengantar
Statistika.
Gramedia Pustaka Utama.
Sudjana. 1989. Metoda Statistika. Tarsito. Bandung.
Sugiyono. 1997. Statistika Untuk Penelitian. Alfabeta. Bandung
Vincent Gaspersz. 1991. Teknik Analisis Dalam Penelitian Percobaan, Jilid I.
Tarsito. Bandung.
Vincent Gaspersz. 1991. Teknik Analisis Dalam Penelitian Percobaan, Jilid II.
Tarsito. Bandung.
Wijaya : Statistika II-1
66