Menghitung Return Portofolio.

Teori Portofolio
 Kovariansi adalah ukuran keeratan hubungan linear
antara dua variabel random. Kovariansi dua variabel
random return r1 dan r2 didefinisikan sebagai
 r1 ,r2  Cov (r1 , r2 )  E ((r1  E (r1 ))(r2  E (r2 )))
 E (r1r2 )  E (r1 ) E (r2 )
• Nilai kovariansi positif menunjukkan kedua
variabel mempunyai hubungan searah.
• Sebaliknya, kedua variabel berlawanan arah
 Variansi adalah ukuran sebaran data. Kovariansi suatu
variabel random return r1 didefinisikan sebagai
 r21  V (r1 )  E ((r1  E (r1 )) 2
 E (r12 )  E (r1 ) 2
• Nilai variansi selalu positif
• Makin besar variansi, data makin menyebar dari
pusat data
Sifat Variansi
 Bagaimana dengan variansi (X+Y)? Formula untuk
variansi tersebut dapat diturunkan sebagai berikut
V(X+Y) = E(X+Y-E(X+Y)) 2
= E((X-E(X))+(Y-E(Y)))2
= E(X-E(X)) 2 +E(Y-E(Y)) 2 +2 E(X-E(X))E(Y-E(Y))
= V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y)
= σ 2X +σ Y2 +2σ X σ Yρ XY
Sifat Variansi
 Bagaimana dengan variansi
 (w1r1 +w2r2) ?
 (w1r1 +w2r2+ w3r3) ?
 …
 (w1r1 +w2r2+…+ wprp) ?
Var-Kovar Sampel
 Variansi dan Kovariansi sampel
n
s xy 
 (x i  x)(yi  y)
i 1
n 1
n
; s 2x 
2
(x

x)
 i
i 1
n 1
Return Saham
 Data k harga saham.
 Harga saham asset ke-i pada waktu ke-j pit .
 Selanjutnya didefinisikan return saham i waktu
ke j adalah
pit  pit 1
rit 
pit 1
Data
Saham A
1870
1960
2175
2200
2000
1880
1800
1875
1880
2050
Mean
Var
Cov
Return
0,048
0,110
0,011
-0,091
-0,060
-0,043
0,042
0,003
0,090
Saham B
45000
44000
46000
45000
44000
44500
45000
46100
46700
47000
0,0123
0,0046
Return
-0,022
0,045
-0,022
-0,022
0,011
0,011
0,024
0,013
0,006
0,0051
0,0005
0,0007
 Saham A dan saham B
memberikan rata-rata
return positif
 Return Saham A >
 Demikian juga dengan
Variansi return nya juga
lebih besar
  High risk high return
 Kedua saham
berhubungan positif,
artinya kedua saham
bergerak cenderung
searah
 Jika saham A naik, saham
B cenderung naik juga
Portofolio
 Apabila anda menempatkan uang anda sebesar
w1 (%) pada saham pertama, …wp (%) pada saham
ke-p, itu artinya anda membentuk portofolio
(w1,..wp).
 Selanjutnya masing-masing saham mempunyai
return ri dengan nilai harapannya sebesar E(ri)
serta variansi sebesar σi2 dan kovariansi antar
saham sebesar σij.
Expected Return
 Kita tertarik pada return portofolio sebagai variabel
random kombinasi linier dari r1,…,rp yaitu
Rp = w1r1 + ..+wprp .
 Dengan nilai harapan-nya adalah
E( Rp )= w1 E(r1 )+ ..+wp E(rp) = wT E(r).
 Vektor w = ( w1 ,…,wp )T menunjukkan
bobot/komposisi aset-aset yang terbentuk dalam
portofolio dan memenuhi jumlah sama dengan 1.
Return-Risk
 Sedangkan nilai resiko dihitung dari nilai
variansi sebagai berikut :
Var ( R p ) 

Var ( w1r1  ...  wn rn )
n
2 2
w
 i  i  2 wi w j ij
1
i
j i
Return-Risk
 Dalam notasi matrik, wT = (w1,w2) maka kombinasi
linier E(Rp) = w1r1 +w2r2 dapat ditulis
 r1 
R p   w1 w2     w T r
 r2 
 Sementara itu, untuk matriks kovariansi return
 11 12 
  cov(r )  



 12 22 
Return-Risk
 Maka dalam notasi matriks, variansi return
portofolio dapat ditulis
T
Var (Rp) = Var ( w r )
Τ
= w Var(r) w
Τ
= w Σw
 Risk portofolio adalah standard deviasi Rp
Risk-Return
 Berapakah bobot WA dan WB = ?
 Metode Coba-coba atau simulasi
 Untuk portfolio dengan bobot WA = 0,1 sd WA
= 0,9, hitunglah nilai harapan return portfolio
dan Risk Portfolio
 Buatlah plot Risk-Return ke-9 portfolio di atas
 Apakah terlihat bahwa Risk portfolio < Risk
masing-masing saham ?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Mean
Var
Cov
WA
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
A
0,2000
0,1000
WB
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
B
0,2500
0,1500
0,0250
Return
0,2500
0,2450
0,2400
0,2350
0,2300
0,2250
0,2200
0,2150
0,2100
0,2050
0,2000
Risk
0,1500
0,1270
0,1080
0,0930
0,0820
0,0750
0,0720
0,0730
0,0780
0,0870
0,1000
Return
Grafik Risk-Return
Resiko
 Pilih yang mana ?
 Sesuaikan dengan preferensimu…
Portofolio Efisien
 Suatu portofolio dikatakan efisien jika portfolio
tersebut dibandingkan dengan portofolio lain
memenuhi kondisi berikut :
 Memberikan expected return lebih besar dengan
risk yang sama, atau
 Memberikan risk lebih kecil dengan expected return
yang sama.
Portofolio Efisien
 Lihat Portofolio A, B, C, D,
E, F, G, H, I dan J.
 Masing-masing portofolio
akan menghasilkan resiko
dan harapan keuntungan
yang akan membentuk
grafik seperti dalam
gambar di samping.
 Pada gambar di atas garis B, C, D, E dan F adalah
efficient frontier, yaitu garis sejumlah portofolio yang
efisien, dan semua portofolio yang berada di bawah
garis tersebut dinyatakan tidak efisien.
 Portofolio A tidak efisien bila dibandingkan dengan C,
karena dengan risiko yang sama, portofolio C
memberikan expected return yang lebih tinggi.
 Portofolio H, tidak efisien dibandingkan B, karena
dengan expected return yang sama, portofolio H
mempunyai risiko yang lebih tinggi.
Portofolio Optimal
 Semua portofolio yang berada di efficient frontier
merupakan portofolio yang efisien sehingga tidak
dapat dikatakan portofolio mana yang paling baik.
 Seorang investor dapat membentuk atau memilih
portofolio yang optimal.
 Portofolio optimal adalah portofilio pilihan investor
dari sekian banyak portofolio yang efisien.
 Sesuai dengan preferensi investor yang bersangkutan
terhadap return maupun risiko yang bersedia
ditanggungnya .
 Pengaruh dari diversifikasi dapat dihitung
dengan menggunakan rumus kombinasi linear
dari variansi.
 Sebagai contoh, ambil suatu portofolio yang
terdiri dari n asset, semua asset tidak saling
berkorelasi.
 Selanjutnya dimisalkan n aset tersebut
mempunyai rata-rata return sebesar m% dan
variansi return σ2.
 Dimisalkan pula, portofolio tersebut dibangun
dengan proporsi yang sama yaitu wi = 1/n
untuk tiap asset i.
 Nilai harapan dari return portofolionya sama
dengan m dan variansinya adalah Var (Rp) =
1/n2 Σ σ2 = σ2/n.
 Situasi tersebut agak sedikit berbeda jika return dari
asset-asset tersebut saling berkorelasi.
 Sebagai contoh yang sederhana kita ambil kasus
dimana masing-masing asset mempunyai kovariansi
σij = 0.3 σ2. Dipunyai Var (Rp) =
n
Var ( R p )   wi2 i2   wi w j ij
1
i
j i
1
n(n  1)
2
2
n


0.3

n2
n2
1
 1
  2  1   0.3 2
n
 n

0.7 2

 0.3 2
n
Contoh
 Marilah kita lihat contoh di atas. Dari data diketahui
expected return saham A sebesar 16,20% , saham B
24,6%, saham C 22,8% . Expected return masingmasing saham dapat dihitung dari rata-rata data
return historis.
 Menghitung Return Portofolio.
 Dalam rumus return suatu portfolio dapat ditulis
A
B
C
0.2325
0.407
0.3605
16.20%
24.60%
22.80%
3.77%
10.01%
8.22%
22%
Standard Deviasi Portfolio
 Selanjutnya dapat dihitung standar deviasi atau resiko
portofolio di atas sebagai berikut :
Varian-Kovarian
A
0.0146
0.0187
0.0145
A
B
C
Var
Risk
B
0.0187
0.0854
0.0104
C
0.0145
0.0104
0.0289
0.027713086
0.166472477
 Rp2  0, 23252  .0146  0, 2325  0, 4070  .0187  ...  0,36052  .0289
 ,027713
 Pertanyaannya adalah apakah portofolio yang
dibentuk di atas efisien? Optimal? Bagaimana dengan
kombinasi portofolio yang lainnya?
Bobot A
0.2325
0.25
0.1
0.5
0.5
Bobot B
0.407
0.4
0.4
0.2
0.1
Bobot C
0.3605
0.35
0.5
0.3
0.4
Exp Return
0.218353
0.2171
0.227
0.1978
0.1964
Variansi
0.02771
0.00573
0.00292
0.05548
0.02358
Dari tabel di atas, dapat diambil kesimpulan
(sementara dan terbatas, karena semua kombinasi
portofolio belum terekam) bahwa portofolio
(0.1,0.4,0.5) merupakan portofolio efisien