gerak harmonik sederhana

GERAK HARMONIK
SEDERHANA
Osilasi
 Osilasi terjadi bila sebuah sistem diganggu dari posisi
kesetimbangannya.
 Karakteristik gerak osilasi yang paling dikenal adalah
gerak tersebut bersifat periodik, yaitu berulang-ulang.
 Gelombang berhubungan erat dengan gerak osilasi.
GERAK HARMONIS SEDERHANA
Pergeseran partikel dari titik setimbangnya
x  A cos(t   )
Amplitudo fasa
Frekwensi sudut
Sudut fasa
Simpangan maksimum
Perioda
Waktu yang diperlukan untuk bergetar satu siklus penuh
T
frekuensi
2

Jumlah getaran yang dilakukan selama satu periode
f 
1 

T 2
  2f 
2
T
Kecepatan dan Percepatan
x  A cos(t   )
dx
 Asin t   
dt
dv
  2 Acost   
Percepatan : a 
dt
Kecepatan : v 
a   2 x
vm  A
am   2 A
Misal :
Pada t = 0, x = xo dan v = vo
xo  A cos
vo
  tan 
x
vo  Asin 
o
2
v
xo2   o   A2 cos2   A2 sin 2 
 
 A2 cos2   sin 2 


v
A  xo2   o 
 
2
Getaran Massa pada Pegas
Hukum Hook’s : F  kx
F  ma
k
x
m
dv d 2 x
a
 2
dt dt
a
d 2x
k


x
m
dt 2
 2
d 2x
  2 x
2
dt
Persamaan difrensial order dua
Penyelesaian : x(t )  A cos(t   )
dx
d
 A cos(t   )  Asin(t   )
dt
dt
2
d x
d
2



A
sin(

t


)



A cos(t   )
2
dt
dt
Jika gaya sebanding dengan pergeseran dan
arahnya berlawanan, akan menyebabkan gerak
selaras sederhana

k
m
T
2

 2
m
k
f 
1
1

T 2
k
m
Energi Getaran Selaras Sederhana
Energi Kinetik :
K
K
v  A sin t   
1 mv 2
2
1 m 2 A2 sin 2 (t
2
  )  12 kA2 sin 2 (t   )
x  A cos(t   )
k
2
Energi Potensial : U  12 kx
U  12 kA2 cos2 (t   )
Energi Total :


E  K  U  12 kA2 sin 2 t     cos2 t    = 1
E  12 kA2
Bandul Sederhana
d 2s
Ft  mg sin   m 2
dt
d 2
g


sin 
2
L
dt
Untuk  kecil, sin   

T
L
s
2


d 
g



L
dt 2
2
m
mg sin 
mg
mg cos

T
g
L
2

 2
L
g
s  L
dalam radian
konstan
  I
O
 d
d sin 
p.m
d 2
 mgd sin   I 2
dt
Apa artinya ?
Untuk  kecil, sin   
d 2
 mgd 
2








2
dt
 I 
mg

T
mgd
I
2

 2
I
mgd
Getaran Teredam
Mengalami gesekan
Gaya gesek
 F  kx  R  ma x
R  bv
dx
d 2x
 kx  b  m 2
dt
dt
Untuk b kecil R << kx :
x  Ae

b
t
2m
cost   
k b

 
m m
2
 kx  bv  ma x
Rangkuman - Gaya Pemulih pada Gerak Harmonik Sederhana
 Gaya Pemulih pada Pegas
F  ky (notasi skalar)


F  ky (notasi vektor)

k = konstanta pegas (N/m)
y = simpangan (m)
Gaya Pemulih pada Ayunan Bandul Sederhana
F  mg sin 
m = massa benda (kg)
g = percepatan gravitasi (m/s2)
Periode dan Frekuensi
 Periode adalah waktu yg diperlukan untuk melakukan satu kali gerak
bolak-balik.
 Frekuensi adalah banyaknya getaran yang dilakukan dalam waktu 1
detik.
f 

1
1
atau T 
T
f
Untuk pegas yg memiliki konstanta gaya k yg bergetar karena
adanya beban bermassa m, periode getarnya adalah
m
T  2
k

Sedangkan pada ayunan bandul sederhana, jika panjang tali adalah
l, maka periodenya adalah
l
T  2
g
Simpangan, Kecepatan, Percepatan
 Simpangan Gerak Harmonik Sederhana
y = simpangan (m)
A = amplitudo (m)
y  A sin ωt  A sin 2πft
ω = kecepatan sudut (rad/s)
f = frekuensi (Hz)
t = waktu tempuh (s)
Jika pada saat awal benda pada posisi θ0, maka
y  A sin (ωt   0 )  A sin (2πft   0 )
Besar sudut (ωt+θ0) disebut sudut fase (θ), sehingga
  ωt   0  2π
t
 0
T
φ disebut fase getaran dan
Δφ disebut beda fase.
 t 0 
   2π
 T 2π 
  2π 
t 0
 
T 2π
t 2  t1
   2  1 
T
Kecepatan Gerak Harmonik Sederhana
Untuk benda yg pada saat awal θ0 = 0, maka kecepatannya adalah

dy d
v
 ( A sin ωt )  A cos ωt
dt dt
Nilai kecepatan v akan maksimum pada saat cos ωt = 1, sehingga
kecepatan maksimumnya adalah
vm  A
Kecepatan benda di sembarang posisi y adalah
v y   A2  y 2
Percepatan Gerak Harmonik Sederhana
Untuk benda yg pada saat awal θ0 = 0, maka percepatannya adalah

a
dv d
 ( A cos ωt )   2 A sin ωt   2 y
dt dt
Nilai percepatan a akan maksimum pada saat sin ωt = 1, sehingga
percepatan maksimumnya adalah
am   2 A
Arah percepatan a selalu sama dengan arah gaya pemulihnya.
Contoh :
1.
Sebuah benda melakukan gerak harmonik sederhana sepanjang
sumbu y. Simpangannya berubah terhadap waktu sesuai
persamaan y = 4 sin (πt+π/4), dgn y dalam meter dan t dalam
sekon.
a.
Tentukan amplitudo, frekuensi dan periode geraknya.
b.
Hitung kecepatan dan percepatan benda terhadap waktu
c.
Tentukan posisi, kecepatan dan percepatan benda pasa t = 1
sekon
d.
Tentukan kecepatan dan percepatan maksimum benda
e.
Tentukan perpindahan benda antara t = 0 dan t = 1 sekon.
Contoh :
2.
Sebuah gerak harmonik sederhana mempunyai amplitudo A = 6
cm. Berapakah simpangan getarannya ketika kecepatannya 1/3
kali kecepatan maksimum?
Energi pada Gerak Harmonik Sederhana
Energi kinetik benda yg melakukan gerak harmonik sederhana,
misalnya pegas, adalah
Ek  12 mv2  12 m 2 A2 cos 2 ωt
Karena k = mω2, diperoleh
Ek  12 kA2 cos 2 ωt
Energi potensial elastis yg tersimpan di dalam pegas untuk setiap
perpanjangan y adalah
E p  12 ky2  12 kA2 sin 2 ωt  12 m 2 A2 sin 2 ωt
Jika gesekan diabaikan, energi total atau energi mekanik pada getaran
pegas adalah
EM  E p  Ek  12 kA2 ( sin 2 ωt  cos 2 ωt )
EM  E p  Ek  12 ky2  12 mv2  12 kA2
Contoh :
1.
Sebuah benda bermassa m = 0,25 kg melakukan osilasi dengan
periode 0,2 sekon dan amplitudo A = 5x10-2 m. Pada saat
simpangannya y = 2x10-2 m, hitunglah (a) percepatan benda, (b)
gaya pemulih, (c) energi potensial, dan (d) energi kinetik benda!
Contoh :
2.
Sebuah balok bermassa mb = 1 kg dikaitkan pada pegas dgn
konstanta k = 150 N/m. Sebuah peluru yg bermassa mp = 10 g
bergerak dgn kecepatan kecepatan vp = 100 m/s mengenai dan
bersarang di dalam balok. Jika lantai dianggap licin, (a) hitung
amplitudo gerak harmonik sederhana yg terjadi, dan (b) nyatakan
persamaan simpangannya!