hukum-hukum logika

BAB 1 KALKULUS PROPOSISI
 PROPOSISI :
 Kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya
 Kalimat terbuka
 Dinyatakan dengan huruf-huruf kecil : p, q, r
 Contoh kalimat-kalimat yang merupakan proposisi :
 13 adalah bilangan ganjil  T
 Soekarno adalah alumnus UGM  F
 1+1=2  T
 Hari ini adalah hari Senin  F
 Contoh kalimat-kalimat yang bukan merupakan proposisi :
 Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir ?
 Isilah gelas tersebut dengan air !
 OPERATOR LOGIKA DASAR (UTAMA):
 Digunakan untuk mengkombinasikan proposisi
 Not / Negation / Ingkaran / Bukan / Tidak  notasi ~ p
 And / Conjunction / Konjungsi / Dan
 notasi p  q
 Or / Disjunction / Disjungsi / Atau
 notasi p  q
TABEL KEBENARAN :
 Tabel dari semua kemungkinan (interpretasi)
 Jumlah interpretasi = 2jumlah proposisi
Proposisi = 1  21 = 2
Proposisi = 2  22 = 4
 Dua pernyataan logika disebut ekivalen logis bila tabel kebenarannya identik
NOT
CONJUNCTION
p
~p
T
F
F
T
DISJUNCTION
p
q
pq
p
q
pq
T
T
T
T
T
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
F
F
F
F
F
F
Contoh Soal 1.1
p
q
pq
p
q
pq
Tentukan tabel kebenaran dari :
T
T
T
T
T
T
(p  q)  (~p  r)
Jawab :
Proposisi = 3  23 = 8
p
~p
T
F
F
T
F
T
T
F
F
T
F
F
T
T
F
T
F
F
F
F
F
F
p
q
r
(p  q)
~p
(~p  r)
(p  q)  (~p  r)
T
T
T
T
F
F
T
T
T
F
T
F
F
T
T
F
T
F
F
F
F
F
T
T
F
T
T
T
F
F
T
F
T
T
T
F
T
F
F
T
F
F
T
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
T
F
F
Contoh Soal 1.1
p
q
pq
p
q
pq
Tentukan tabel kebenaran dari :
T
T
T
T
T
T
(p  q)  (~p  r)
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
F
F
F
F
F
F
p
q
r
(p  q)
~p
(~p  r)
(p  q)  (~p  r)
T
T
T
T
F
F
T
T
T
F
T
F
F
T
T
F
T
F
F
F
F
F
T
T
F
T
T
T
F
F
T
F
T
T
T
F
T
F
F
T
F
F
T
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
T
F
F
Contoh Soal 1.2
p
q
p
q
Tunjukkan bahwa kedua pernyataan logika di
bawah ini ekivalen logis
pq
pq
T
T
T
T
T
T
~(p  q)  ~p  ~ q (Hukum de Morgan)
T
F
F
T
F
T
Jawab :
Proposisi = 2  22 = 4
F
T
F
F
T
T
F
F
F
F
F
F
p
q
(p  q)
~(p  q)
~p
~q
~p  ~q
T
T
T
F
F
F
F
T
F
F
T
F
T
T
F
T
F
T
T
F
T
F
F
F
T
T
T
T
Contoh Soal 1.3
p
q
p
q
Tunjukkan bahwa kedua pernyataan logika di
bawah ini ekivalen logis
pq
pq
T
T
T
T
T
T
~(p  q)  ~p  ~ q (Hukum de Morgan)
T
F
F
T
F
T
Jawab :
Proposisi = 2  22 = 4
F
T
F
F
T
T
F
F
F
F
F
F
p
q
(p  q)
~(p  q)
~p
~q
~p ~q
T
T
T
F
F
F
F
T
F
T
F
F
T
F
F
T
T
F
T
F
F
F
F
F
T
T
T
T
HUKUM-HUKUM LOGIKA :
1. Hukum Identitas
2. Hukum Null/Dominasi
3. Hukum Negasi
4. Hukum Idempoten
5. Hukum Involusi (negasi ganda)
6. Hukum Penyerapan (Adsorpsi)
7. Hukum komutatif
8. Hukum Asosiatif
9. Hukum Distributif
10. Hukum De Morgan
1. Hukum Identitas
p
q
pq
p
q
pq
pF p
T
T
T
T
T
T
pT p
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
F
F
F
F
F
F
p
q=F
T
F
F
F
p
q=T
T
T
F
T
pF
PT
2. Hukum Null/Dominasi
pF F
pT T
p
q=F
pF
T
F
F
F
F
F
p
q=T
PT
T
T
T
F
T
T
3. Hukum Negasi
p  ~p  F
p  ~p  T
p
~p
p  ~p
T
F
F
F
T
F
p
~p
p  ~p
T
F
T
F
T
T
4. Hukum Idempoten
pp p
pp p
p
p
pp
T
T
T
F
F
F
p
p
pp
T
T
T
F
F
F
5. Hukum Penyerapan(adsorpsi)
p  (p  r)  p
p  (p  r)  p
p
q
pq
p (p q)
T
T
T
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
F
F
F
6. Hukum Involusi (negasi ganda)
~ (~ p)  p
7. Hukum Komutatif
pq qp
p  q  q p
8. Hukum Asosiatif
p  (q  r)  (p  q)  r
p  (q  r)  (p  q)  r
9. Hukum Distributif
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
10 Hukum De Morgan
~ (p  q)  ~p  ~q
~ (p  q)  ~p

~q
Soal Latihan 1.1
Di bawah ini adalah suatu rangkaian logika yang terbentuk dari gerbang-gerbang (gates)
AND,OR dan NOT dengan dua input (p dan q) dan satu output (x).
Tentukan proposisi dari outputnya, kemudian tentukan tabel kebenarannya
p
Rangkaian Logika
q
x
Jawab :
x = [(p q)  (~p q)]  (~p ~q )
p
p q
(p q)  (~p q) = a
q
ab=x
~p q
~p
~p ~q = b
~q
Tabel kebenaran x
p
q
(p  q)
~p
~q
~pq
(pq)(~pq) = a
~p~q = b
ab = x
T
T
T
F
F
F
T
F
T
T
F
F
F
T
F
F
F
F
F
T
F
T
F
T
T
F
T
F
F
F
T
T
F
F
T
T
Rangkaian Logika
p
q
x
p
q
x
~p
~pq
Rangkaian Logika
T
T
T
F
T
p
q
T
F
F
F
F
F
T
T
T
T
F
F
T
T
T
x = [(p q)  (~p q)]  (~p ~q )  ~p  q
~p  q
Alternatif Pembuatan Tabel Kebenaran
Misalkan akan dibuat tabel kebenaran dari proposisi : ~ ( p  ~ q )
~
(p

p
q
~
q)
T
T
T
T
T
F
T
F
F
T
F
T
F
F
F
F
Langkah
1
1
p
q
T
T
T
~
(p

~
q)
T
F
T
F
T
T
F
F
T
F
F
T
F
F
F
T
F
Langkah
1
2
1
(p

~
q)
T
T
F
F
T
T
F
T
T
T
F
F
T
F
F
F
T
F
F
F
F
T
F
Langkah
1
3
2
1
p
q
T
~
p
q
~
(p

~
q)
T
T
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
T
F
F
T
T
F
F
F
T
F
F
T
F
F
T
F
Langkah
4
1
3
2
1
Soal Latihan 1.2
Tentukan tabel kebenaran dari proposisi : [(p q)  (~p q)]  (~p ~q )
Jawab :
p
T
q
T
[(p

T
T
q)
T

(~
p

q)]

(~
p

~
T
F
T
F
T
T
F
T
F
F
q)
T
T
F
T
F
F
F
F
T
F
F
F
F
T
F
T
F
F
T
F
F
T
T
T
F
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
F
F
T
T
F
T
T
1
3
4
2
1
3
5
2
1
3
2
F
F
Langkah
F
1
F
1
F
1
Soal Latihan 1.2
Tentukan tabel kebenaran dari proposisi : [(p q)  (~p q)]  (~p ~q )
p
q
[(p

q)

(~
p

q)]

(~
p

~
q)
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
T
F
F
T
T
F
T
F
F
F
F
T
F
F
F
F
T
F
T
F
F
T
F
F
T
T
T
F
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
F
F
F
T
F
F
F
T
T
F
T
T
F
1
3
1
4
2
1
3
1
5
2
!
3
2
1
Langkah
Contoh Soal 1.4
Dengan menggunakan hukum-hukum Logika (tanpa tabel kebenaran), tunjukkan bahwa
kedua proposisi berikut ini adalah ekivalen logis ~(p  (~p  q)) dan ~p  ~ q
Jawab :
~(p  (~ p  q))
~p  ~(~p  q)
De Morgan 2
~p  ~(~p)  ~q
De Morgan 2
~ p  (p  ~q)
Negasi ganda
(~p  p)  (~p  ~q)
Distributif 1
F  (~p  ~q)
Negasi 1
(~p  ~q)  F
Komutatif 1
~p  ~ q
Identitas 1
Identitas :
pF p
pT p
Negasi ganda :
~ (~ p) = p
Dominasi :
pF F
pT T
Komutatif :
pq=qp
pq=qp
Idempoten :
pp p
pp p
Asosiatif
p  (q  r)  (p  q)  r
p  (q  r)  (p  q)  r
Negasi :
p  ~p  F
p  ~p  T
Distributif
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
Adsorpsi :
De Morgan :
p  (p  r)  p ~ (p  q)  ~p  ~q
p  (p  r)  p ~ (p  q)  ~p  ~q
Soal Latihan 1.3
Dengan menggunakan hukum-hukum Logika (tanpa tabel kebenaran), tunjukkan bahwa
kedua proposisi berikut ini adalah ekivalen logis ~(p  q)  (~ p  q) dan ~ p
Jawab :
~(p  q)  (~ p  q)
(~p  ~q)  (~ p  q)
Negasi ganda :
~ (~ p) = p
Dominasi :
pF F
pT T
Komutatif :
pq=qp
pq=qp
Idempoten :
pp p
pp p
Asosiatif
p  (q  r)  (p  q)  r
p  (q  r)  (p  q)  r
Negasi :
p  ~p  F
p  ~p  T
Distributif
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
De Morgan 2
~p  (~q  q)
Distributiif 1
~p T
Negasi 2
~p
Identitas :
pF p
pT p
Identitas 2
Adsorpsi :
De Morgan :
p  (p  r)  p ~ (p  q)  ~p  ~q
p  (p  r)  p ~ (p  q)  ~p  ~q
Soal Latihan 1.3
Dengan menggunakan hukum-hukum Logika (tanpa tabel kebenaran), tunjukkan bahwa
kedua proposisi berikut ini adalah ekivalen logis ~(p  q)  (~ p  q) dan ~ p
Jawab :
~(p  q)  (~ p  q)
(~ p  ~ q)  (~ p  q)
De Morgan 2
~p  (~q  q)
Distributif 1
~p  T
Negasi 2
~p
Identitas 2
Identitas :
pF p
pT p
Negasi ganda :
~ (~ p) = p
Dominasi :
pF F
pT T
Komutatif :
pq=qp
pq=qp
Idempoten :
pp p
pp p
Asosiatif
p  (q  r)  (p  q)  r
p  (q  r)  (p  q)  r
Negasi :
p  ~p  F
p  ~p  T
Distributif
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
Adsorpsi :
De Morgan :
p  (p  r)  p ~ (p  q)  ~p  ~q
p  (p  r)  p ~ (p  q)  ~p  ~q
 OPERATOR LOGIKA KONDISIONAL
 Implikasi
pq
p
q
pq
 proposisi p disebut hipotesis / antesenden / premis
T
T
T
 proposisi q disebut konklusi / konsekuen
T
F
F
F
T
T
F
F
T
 Jika p, maka q
if p, then q
 Variasi proposisi dengan  :
Konvers (kebalikan) : q  p
Invers : ~ p  ~ q
Kontraposisi : ~ q  ~ p
Contoh : Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari :
Jika Amir orang kaya (p), maka ia mempunyai mobil (q)
Konvers
: Jika ia mempunyai mobil, maka Amir orang kaya
Invers
: Jika Amir bukan orang kaya, maka ia tidak mempunyai mobil
Kontraposisi : Jika ia tidak mempunyai mobil, maka Amir bukan orang kaya
Tabel Kebenaran konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi :
p
q
~p
~q
pq
qp
~ p  ~q
~q~p
T
T
F
F
T
T
T
T
T
F
F
T
F
T
T
F
F
T
T
F
T
F
F
T
F
F
T
T
T
T
T
T
Hukum-hukum Logika yang melibatkan implikasi p  q
Tautologi 1 : p  q  ~ p  q
Tautologi 6 : (p  q )  (p  r )  p  (q  r )
Tautologi 2 : ~ (p  q)  p  q
Tautologi 7 : (p  r)  (q  r)  (p  q)  r
Tautologi 3 : p  q  ~ q  ~ p
Tautologi 8 : (p  q)  (p  r)  p  (q  r)
Tautologi 4 : p  q  ~p  q
Tautologi 9 : (p  r)  (q  r)  (p  q)  r
Tautologi 5 : p  q ~ (p  ~ q)
 Biimplikasi p  q
 p jika dan hanya jika q
1 : p  q  (p  q)  (q  p)
2:pq ~p~q
3 : p  q  (p  q)  (~ p  ~ q)
5:pqqp
q
pq
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
p if and only if q
Hukum-hukum Logika yang melibatkan biimplikasi p  q
4 : ~(p  q)  p  ~ q
p
Urutan Prioritas dari Operator Logika
Operator Logika
Notasi
Prioritas
Kurung
()
Paling tinggi
Negasi
~
Konjungsi

Disjungsi

Implikasi

Biimplikasi

Paling rendah
Contoh Soal 1.5 [UTS Logika Matematika 3 Desember 2007]
p
q
pq
a). (~q  p)  (p  ~q)
T
T
T
b). [p  (q  r)]  [(p  q)  r]
T
F
F
F
T
T
F
F
T
Tentukan tabel kebenaran dari setiap kalimat di bawah ini :
c). [(p  q)  (p  r)  (q  r)]  r
Jawab a) :
p
q
~q
~q  p
p  ~q
(~q  p)  (p  ~q)
T
T
F
T
F
F
T
F
T
T
T
T
F
T
F
T
T
T
F
F
T
F
T
T
Jawab b) :
p
q
pq
p
q
pq
T
T
T
T
T
T
T
F
F
T
F
F
F
T
T
F
T
F
F
F
T
F
F
T
p
q
r
qr
pq
p  (q  r)
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
F
F
T
F
F
T
T
F
T
T
F
T
T
T
F
T
T
T
F
T
T
T
F
F
T
T
F
T
T
T
F
T
F
F
F
T
T
T
T
F
F
T
F
T
T
T
F
F
F
T
F
T
T
T
(p  q)  r [p  (q  r)]  [(p  q)  r]
Jawab c) :
p
q
pq
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
[(p  q)  (p  r)  (q  r)]  r
p
q
r
pq
p r
qr
(p  q)  (p  r)
=a
a  (q  r)]
=b
br
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
F
F
F
T
T
F
T
T
T
T
T
T
T
F
T
T
T
T
T
T
T
T
F
F
T
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
T
F
T
F
T
T
F
F
T
F
T
F
F
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
TAUTOLOGI, KONTRADIKTIF DAN KONTINGENSI :
 Bila kolom terakhir tabel kebenaran dari suatu proposisi
semuanya benar (T), maka proposisi tersebut disebut
tautologi,
 Bila kolom terakhir tabel kebenaran dari suatu proposisi
semuanya salah (F), maka proposisi tersebut disebut
kontradiksi
 Bila kolom terakhir tabel kebenaran dari suatu proposisi ada
yang benar (T) dan ada yang salah (F),maka proposisi
tersebut disebut kontingensi
Contoh Soal 1.6
Tentukan apakah kalimat implikasi di bawah ini tautologi, kontradiksi atau kontigensi
a). a  (b  a  b)
b). a  (b  c)  (a  b)  (a  c)
Jawab a) :
a
b
ab
bab
a  (b  a  b)
T
T
T
T
T
T
F
T
T
T
F
T
T
T
T
F
F
F
T
T
p
q
pq
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
Jawab b) :
a  (b  c)  (a  b)  (a  c)
a  (b  c)
=x
p
q
pq
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
(a  b)  (a  c)
=y
a
b
c
bc
ab
ac
x y
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
F
F
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
T
T
T
T
F
T
T
T
T
T
T
T
T
F
F
T
F
F
T
F
F
T
F
T
F
F
T
F
F
F
T
T
F
F
F
T
T
T
T
T
F
F
F
F
F
F
F
F
T
Soal Latihan 1.7 [UTS Logika Matematika 3 Desember 2007]
p
q
pq
a). ~ (p  q)  (~q  r)
T
T
T
b). ~(p  q)  (r  ~p)
T
F
F
F
T
T
F
F
T
Tentukan tabel kebenaran dari setiap kalimat di bawah ini :
Jawab a) :
p
q
~q
~q  p
p  ~q
(~q  p)  (p  ~q)
T
T
F
T
F
F
T
F
T
T
T
T
F
T
F
T
T
T
F
F
T
F
T
T