distribusi sampling - Kuliah Online UNIKOM

DISTRIBUSI SAMPLING
Inne Novita Sari
EKSPEKTASI
 Misalkan terdapat sebuah eksperimen yang menghasilkan k
buah peristiwa yang dapat terjadi
 Peluang terjadinya tiap peristiwa masing-masing
p1 , p2, ..., pk dan jika pada tiap kejadian terdapat suatu nilai
d1 , d 2 ,..., d k maka ekspektasi dari eksperimen tersebut adalah
  p1.d1  p2 .d 2  ...  pk d k
k
  pi .d i
i 1
 Contoh :
 A dan B bertaruhdengan melakukan undian menggunakan
sebuah mata uang yang terdiri dari sisi G dan H. Jika dalam
undian itu yang keluar adalah sisi G, maka A kalah dan harus
membayar kepada B sebesar Rp.5 bila yang keluar adalah sisi
H maka si A menang dan menerima Rp.5
berapakah ekspektasi dari taruhan A
JAWAB: ada dua kejadian yang mungkin terjadi pada A yaitu
kejadian menang dan kalah, masing-masing peluang ½
sehingga ekspektasi taruhannya adalah
  P(M ).d M  P( K ).d k  1 / 2  5  1 / 2  (5)
PENDAHULUAN DISTRIBUSI SAMPLING
 Untuk mempelajari populasi kita memerlukan sampel dari
populasi yang bersangkutan. Dari suatu populasi berukuran N,
maka kita dapat ambil beberapa buah sampel yang berukuran n.
 Dari setiap sampel yang diambil dapat dihitung nilai statistiknya
sesuai dengan keperluan. Nilai statistik dari sampel tersebut
kemudian digunakan untuk sehubungan dengan penganalisisan
populasi,untuk itu diperlukan suatu teori yang dikenal dengan
distribusi samping. Distribusi sampling biasanya diberi nama
bergantung pada nama statistik yang digunakan . Kedepannya akan
dibahas mengenai distribusi rata-rata, distribusi proporsi, distribusi
selisih rata-rata, dan distribusi selisih proporsi.
 Untuk lebih memperjelas distribusi sampling, perhatikan ilustrasi
berikut:
 Diberikan suatu populasi ukuran N = 5 yang datanya 98, 99,
97,98, 99. dari populasi tersebut akan diambil sampel berukuran
n = 2. maka semua sampel yang mungkin dapat diambil dari
populasi tersebut beserta rata-ratanya adalah:
SAMPEL
RATA - RATA
SAMPEL
RATA - RATA
( 98, 99)
98,5
(99, 98)
98,5
(98, 97)
97,5
(99, 99)
99
(98, 98)
98
(97, 98)
97,5
(98, 99)
98,5
(97, 99)
98
(99, 97)
98
(98, 99)
98,5
 Dari tabel kumpulan rata-rata setiap sampel maka akan
membentuk suatu distribusi peluang
RATA - RATA
FREKUENSI
PELUANG
97,5
2
2/10
98
3
3/10
98,5
4
4/10
99
1
1/10
JUMLAH
10
10/10 = 1
DISTRIBUSI RATA-RATA
 Misal kita memiliki suatu populasi berukuran terhingga N
dengan parameter rata-rata µ dan simpangan baku  dari
populasi tersebut akan diambil beberapa buah sampel dengan
ukuran n dan rata-rata x , kumpulan sampel ini akan
membentuk data yang terdiri atas rata-rata sampel.
sehingga dapat dihitung rata-rata dan simpangan baku dari
data rata-rata sampel yang baru
 Jika n/N > 5% maka
x  
 
x

n
.
N n
N 1
 Jika n/N≤ 5% maka
x  
 
x

n
 DALIL LIMIT PUSAT
Jika sebuah populasi memiliki rata-rata µ dan simpangan
baku  yang besarnya terhingga, maka untuk ukuran sampel
acak yg cukup besar distribusi rata-rata sampel akan
mendekati distribusi normal dengan
x  
 
x

n
Teorema Limit Pusat
Bila rataan sampel acak ukuran n yang diambil dari
populasi dengan rataan dan varians yang berhingga,
maka bentuk limit dari distribusi
Bila n→∞ , ialah distribusi normal baku n(z;0,1)
 Distribusi normal yang didapat dari distribusi rata-rata perlu
distandarkan agar daftar distribusi normal baku dapat digunakan.
z
 Hampiran normal untuk
x
 n
x umumnya dipenuhi untuk n ≥ 30
 Jika populasi asal berdistribusi normal, maka walaupun n < 30 maka
x berdistribusi normal
 Contoh:
PT AKUA sebuah perusahaan air mineral rata-rata setiap hari
memproduksi 100 juta gelas air mineral. Perusahaan ini menyatakan
bahwa rata-rata isi segelas AKUA adalah 250 ml dengan standar deviasi =
15 ml. Rata-rata populasi dianggap menyebar normal.
1. Jika setiap hari diambil 100 gelas AKUA sebagai sampel acak hitungla
a. standard error atau galat baku sampel tersebut?
b. peluang rata-rata sampel akan berisi kurang dari 253 ml?
2.
Jika sampel diperkecil menjadi 25 gelas, hitunglah :
a. standard error atau galat baku sampel tersebut?
b. peluang rata-rata sampel akan berisi lebih dari 255 ml?
DISTRIBUSI PROPORSI
 Misalkan populasi diketahui berukuran N yang didapatnya
terdapat peristiwa A sebanyak Y diantara N. maka didapat
parameter populasi π= Y/N (π merupakan parameter untuk
proporsi
 Jika dari populasi tersebut diambil kembali sampel2 maka
akan terbentuk data dari kumpulan proporsi sampel, sehingga
 
distribusi proporsinya adalah
 Jika n/N > 5% maka
x/n
x / n  
 x/n 
 (1   )
n
N n
.
N 1
 Jika n/N ≤ 5% atau jika ukuran populasi besar jika
dibandingkan dengan ukuran sampel maka:
x / n  
 x/n 
 (1   )
n
 Untuk n yang sangat besar maka distribusi akan mendekati
distribusi normal. Sehingga dapat Transformasi nilai untuk
perhitungan menggunakan daftar distribusi normal baku
z
x / n 
 x/n
 Contoh :
berdasarkan penelitian 10% anggota masyarakat tergolong
kedalam golongan A. sebuah xampel acak terdiri atas 100
orang telah diambil.
Tentukan peluangnya bahwa dari 100 orang itu akan ada
paling sedikit 15 orang dari golongan A
DISTRIBUSI SELISIH DAN JUMLAH
RATA-RATA
 Misal terdapat dua populasi dengan ukuran dengan
karakteristik sbb:
Pop I : ukuran populasi N1
rata- rata dan simpangan baku  1 dan 1
Pop II : ukuran populasi N 2
rata- rata dan simpangan baku  2 dan 2
 Untuk membedakan maka peubah pop I dimisalkamn
memiliki peubah acak x dan pop II dimisalkan memiliki
peubah acak y
 Sehingga dari sampel-sampel masing-masing populasi
diperoleh
x1 , x2 ,..., xk
y1 , y2 ,..., yk
 Maka diperoleh hubungan-hubungan sebagai berikut:
 distribusi selisih rata-rata
 x  y  1   2
 xy 
 12
n1

 22
n2
 Distribusi jumlah rata -rata
 x  y  1   2
 x y 
 12
n1

 22
n2
Distribusi sampel selisih rata-rata dan
jumlah rata-rata
 Bila banyaknya sampel x1 dan banyaknya sampel x 2
diambil cukup besar, masing n1 dan n2 ≥ 30, maka distribusi
sampel selisih rata-rata maupun jumlah rata – rata akan
mendekati distribusi normal, sehingga statistik Z yang
dinyatakan dalam bentuk transformasinya yaitu:
 Untuk distribusi jumlah rata – rata
z
x  y    x   y 
 x y
 Untuk distribusi selisih rata – rata
z
x  y    x   y 
 xy
Contoh :
Rata – rata tinggi mahasiswa laki-laki 163 cm dan simpangan
bakunya 5,2 cm. sedangkan untuk mahasiswa perempuan
parameter rata2 dan simpangan bakunya 152 cm dan 4,9 cm.
Dari kedua kelompok mahasiswa itu masing-masing diambil
sebuah sampel acak, secara independen berukuran sama yaitu
140 orang. Berapa peluang rata – rata tinggi mahasiswa lakilaki paling sedikit 10 cm lebihnya dari rata-rata tinggi
mahasiswa perempuan.
Distribusi selisih proporsi
 Jika banyak sampel pertama dengan proporsi x / n1  pˆ1 dan
banyak sampel kedua dengan proporsi y / n2  pˆ 2 diambil
cukup besar sampel acak, maka distribusi sampel selisih dua
proporsi mempunyai distribusi normal sehingga statistik Z
nya:
Z
( x / n1  y / n2 )  ( 1   2 )
 sp 
 sp
 1 (1   1 )  2 (1   2 )
n1

n2
 Contoh :
 Ada petunjuk kuat bahwa calon A akanmendapat suara 60% dalam
pemilihan. 2 buah sampel acak secara independen telah diambil
dari populasi yang sama, masing-masing terdiri dari 300 orang.
Tentukan peluangnya akan terjadi perbedaan persentase tidak lebih
dari 10% yang akan memilih A, dimana sampel acak pertama lebih
persentasenya dari sampel kedua.
 Latihan soal :
1. Saham suatu bank di pasar bursa terus mengalami flktuasi.
Harga saham pernah mencapai 1200 dan pernah naik hingga
1600. selama pengamatan 60 hari harga saham rata-rata
mencapai 1400 dan standar deviasi 98.
a). Berapa peluang saham bank turun dibawah 1350
b). Berapa peluang meningkat lebih dari 1350
2. Lembaga pendidikan informatika menerima telepon yang
menanyakan sseputar program pendidikan mereka sebanyak
100 orang, dari 100 orang tersebut 20 mendaftar.
a). Berapa peluang lebih dari 30 orang mendaftar
b). Berapa peluang kurang dari 15 orang mendaftar