1. Mengetahui perbedaan antara medan skalar dan medan vektor. 2

F -X C h a n ge
F -X C h a n ge
c u -tr a c k
N
y
bu
to
k
lic
.d o
o
.c
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u -tr a c k
Medan Skalar
Tujuan:
1. Mengetahui perbedaan antara medan skalar dan medan
vektor.
2. Memahami turunan parsial, arti fisis dan geometri turunan
parsial, metode kuadrat terkecil (Kalkulus II, baca sendiri)
3. Memahami dan mahir menghitung vektor gradient dan
aturan rantai.
4. Memahami dan mahir menghitung turunan berarah, arti fisis
dan geometri turunan berarah
Misal P(x,y,z) suatu titik di ruang
Fungsi skalar: f=f(P) di R
Fungsi vektor: v = v(P) = (v1 ( P ), v 2 ( P ), v 3 ( P)) di R 3
Fungsi skalar mendefinisikan Medan Skalar pada daerah
definisinya, contohnya: medan temperatur tubuh, medan tekanan
udara di atmosfir.
Fungsi vektor mendefinisikan Medan Vektor pada daerah
definisinya, contohnya: medan vektor tangen, medan gravitasi.
Gradient dari medan skalar:
Grad f dari fungsi skalar f(x,y,z) adalah fungsi vektor:
f ˆ f ˆ f ˆ
grad f
i
j
k
x
y
z
Biasa dinyatakan dalam bentuk operator:
ˆj
iˆ
kˆ
x
y
z
dimana dibaca nabla atau del.
Grad f adalah vektor
.c
F -X C h a n ge
F -X C h a n ge
c u -tr a c k
N
y
bu
to
k
lic
.d o
Aturan Rantai:
Jika w = f(x,y,z) dimana x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v), maka
turunan pertama terhadap u dan v adalah
w
u
w
v
f
x
f
x
x
u
x
v
f
y
f
y
y
u
y
v
f
z
f
z
z
u
z
v
Jika w = f(x,y,z) dimana x=x(u), y=y(u), z=z(u), maka turunan
pertama terhadap u adalah
dw
f dx
f dy
f dz
du
x du
y du
z du
Turunan Berarah:
Turunan berarah f terhadap vektor b , atau Db f
df / ds , adalah
laju perubahan f pada suatu titik P dalam arah vektor b .
Db f
df
ds
lim
s
f (Q )
0
f ( P)
s
Q suatu titik dimana vektor C= QP searah dengan b , dan s jarak
antara Q dan S.
Misal b vektor unit. Jika C dinyatakan dalam vektor
r ( s)
x( s )iˆ
y ( s ) ˆj z ( s )kˆ
p0
sb
dimana p0 adalah vektor posisi dari P.
f
f dy
f dz
f
y'
x'
y
y ds
z ds
x
tapi diketahui r ' x' iˆ y ' ˆj z ' kˆ b maka
df
Db f
b grad f
ds
Db f
df
ds
f dx
x ds
f
z'
z
o
.c
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u -tr a c k
.c
F -X C h a n ge
F -X C h a n ge
c u -tr a c k
N
y
bu
to
k
lic
Contoh: cari turunan berarah dari f ( x, y, z )
titik P(2,1,3) dalam arah vektor a iˆ 2kˆ
x2 3y 2
.d o
o
.c
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u -tr a c k
z 2 pada
Misal f(P)=f(x,y,z) fungsi skalar memiliki turunan parsial pertama.
Jika gradient f di titik P tidak nol, maka gradien tersebut
merupakan arah peningkatan maksimum nilai f di titik P.
.c