Ukuran Pemusatan

Modul 2
2. Ukuran Pemusatan
Sembarang ukuran yang menunjukkan pusat segugus data, yang telah diurutkan dari
yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya disebut ukuran memusat. Ukuran
memusat yang paling banyak digunakan adalah :
- mean
(nilai rata-rata/ nilai tengah data)
- median
- modus
( nilai yang berada di tengah dari data setelah diurutkan )
(nilai yang paling sering muncul dari data yang ada)
Mean (nilai rata-rata)
Rumus dari mean adalah:
1. Dari data yg belum dikelompokkan:
i=N

Xi
i= 1
1.  =
(jika data dianggap populasi)
N

Xi = sigma Xi = jumlah dari seluruh data (X1 + X2 + .....+ Xn, untuk i = n)
N = jumlah seluruh data
i=n
 xi
i = 1
2. x =
(jika data dianggap contoh/sampel)
n
n = jumlah data
Contoh 1 :
Dikatakan sejumlah data sebagai berikut : 3 ; 5 ; 6 ; 4 ; dan 6.
Hitunglah nilai tengah data tersebut ! (populasi dan contoh).
1
Jawab:
* Jika data dianggap populasi, maka :
i=N

Xi
i= 1
 =
N
3+ 5+6+4+6
 =
5
 = 4.8
2. Data yang dikelompokkan:
∑ ( x. f )
nilai rata-rata = X =
∑ f
∑ f = n = jumlah data
contoh 2.:
Selang kelas
Titik tengah
(x)
7
12
17
22
∑=
5–9
10 – 14
15 - 19
20 – 24
frekuensi
(f)
3
5
4
1
13
x.f
21
60
68
22
171
∑ ( x. f )
nilai rata-rata =
∑ f
171
=
13
= 13.15
2
Median (Nilai yang berada ditengah-tengah data, setelah data tersebut diurutkan)
1. Untuk data yang belum dikelompokkan:
Contoh 3:
Tentukan median dari sejumlah data berikut ini :
a).
82 ; 93 ; 86 ; 92 ; dan 79 (data dianggap sebagai populasi)
b). 23 ; 27 ; 25 ; 29 ; 31 ; 19 (data dianggap sebagai sampel)
Jawab :
a). Setelah menyusun dari yang terkecil sampai terbesar, kita peroleh :
79
82
86
92
93
oleh karena itu median  = 86.
b). Setelah menyusun dari yang terkecil sampai terbesar kita peroleh :
19
23
25
27
29
31
untuk data berjumlah genap, maka mediannya adalah rata-rata dari 2 nilai yg ada di
tengah, untuk contoh ini adalah 25 dan 27, maka mediannya adalah:
25 + 27
x
=
2
=
26
2. Untuk data yang dikelompokkan:
Md = L + [i ( n/2 – F) / f]
contoh (dari contoh 2):
Jumlah data (n) = 13 jadi median adalah nilai data ke -7
L = tepi bawah kelas median = 10
i = lebar selang kelas = 5
F = f kumulatif dari seluruh kelas di bawah kelas median = 3
f = frekuensi kelas median = 5
3
Jadi Md = 10 + [ 5 ( 13/2 – 3 ) / 5 ]
= 10 + 3.5 = 13.5
Modus (ukuran/nilai yang paling sering muncul dalam sebuah kelompok data)
1. Untuk data tidak dikelompokkan:
Contoh 3 :
Diketahui data sebagai berikut : 9 ; 10 ; 5 ; 9 ; 9 ; 7 ; 8 ; 4 ; 6 .
Maka modusnya :
9
Data yang lain sebagai berikut :
Modusnya :
2;2;3;5;8;2;9;4;9;4;2;4;4;2;6;4
2 dan 4 (Bi-Modus)
2. Untuk data dikelompokkan:
Mo = L + [ d1 / (d1+d2)] i
Contoh (dari contoh 2) :
Mo = modus
L = tepi bawah kelas modus = 10
d1 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya = 2
d2 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya = 1
i = lebar selang kelas = 5
Jadi Mo = 10 + [( 2 / (2+1) ] 5
= 10 + 3.33
= 13.33
Latihan 1. Dari data berikut ini hitunglah mean, median dan modusnya.
a. 45, 35, 33, 19, 50, 42, 27, 38
b. 9,10,12,16,15,13,12,14,12
4
2.1 Nilai Tengah Terboboti (w)
Nilai tengah terboboti adalah nilai tengah yang muncul akibat bobot dari setiap
data tidak sama (berbeda) satu sama lain.
Rumusnya adalah:
i= k
 wi . xi
i= 1
w =
 wi
 wi
= jumlah bobot data
 wi . xi
= jumlah bobot ke-i dikali data ke-i
Contoh 4 :
Berapa nilai rata-rata seorang mahasiswa yang mendapat nilai
85 ; 76 ; dan 82 pada
tiga kali quiz dan 79 pada ujian akhir, bila ujian akhir dianggap tiga kali lebih penting
dari masing-masing quiz tersebut ?
Jawab :
i= K
 wi . xi
i= 1
w =
 wi
(1 x 85) + (1 x 76) + (1 x 82) + (3 x 79)
w =
(1 + 1 + 1 + 3)
= 80
5
2.2 Nilai Tengah Gabungan
Nilai tengah gabungan adalah nilai tengah dari lebih dari satu kelompok data.
Rumusnya:
 Ni . i
c =
untuk populasi, atau

Ni
 ni . xi
xc =
untuk sampel.
 ni
Contoh 5 :
Tiga kelas statitika yang masing-masing mempunyai
ujian akhir mencapai rata-rata
28 ; 32 ; dan 35 mahasiswa pada
83 ; 80 ; dan 76 . Berapa nilai tengah populasi
gabungan untuk ketiga kelas tersebut ?
Jawab :
c =
 Ni . i

Ni
(28 x 83) + (32 x 80) + (35 x 76)
c =
(28 + 32 + 35)
=
79,4
2.3 Ukuran Keragaman
Statistik paling penting untuk mengukur keragaman data adalah wilayah dan ragam.
Wilayah adalah beda antara pengamatan terkecil dan terbesar dalam kumpulan
tersebut. Adapun ragam (variance) memperhatikan posisi relatif setiap pengamatan
terhadap nilai tengah gugus data tersebut.
6
Contoh 6 :

Dari 5 nilai test IQ diketahui : 108; 112; 127; 118; dan 125
Maka wilayah data (range) = 127 - 108
= 19

Diketahui dari dua gugus data sebagai berikut :
A
3
4
5
6
8
9
10
12
15
B
3
7
7
7
8
8
8
9
15
Range A = 15 - 3 = 12
B = 15 - 3 = 12
Terlihat dari data, A memiliki jangkauan (wilayah data) yang sama dengan B yaitu = 12.
Padahal terlihat dari tabel, data A lebih menyebar dari data B. Oleh karena itu wilayah
data (range) kurang bagus jika digunakan untuk menggambarkan keragaman data.
Metode yang baik adalah menggunakan Variance ( 2) dan/atau Deviasi standart ().
Variance untuk populasi :
i=N
 (xi - )2
i=1
2 =
N
Dan simpangan bakunya :
 = √ 2
Contoh 7 :
Diketahui 6 buah nilai sebagai berikut :
9 ; 5 ; 7 ; 8 ; 7 ; 6 . Hitunglah variance dan
simpangan bakunya !
Jawab :
9+5+7+8+7+6
 =
= 7
6
7
i=N
i=6
 ( xi -  )2
 ( xi - 7 )2
2 =
=
N
6
(2)2 + (-2)2+ (0)2+ (1)2+ (0)2+ (-1)2
=
6
=
5/3
 = √5/3
=
1,33
Jika data dianggap sebagai contoh, maka ragam (variance)-nya adalah :
i=n
(xi - x)2
i=1
s2 =
n - 1
= 10/ (6-1)
s2 = 2
2.3 Quartile, Quintile, Decile, dan Percentile
Jika sekelompok data dibagi atas 4, 5, 10 dan 100 bagian yg sama besar disebut berturutturut :
1. Quartile: Q1;
Q2;
Q3.

Q1 = 25 % data berada dibawah Q1

Q3 = 75 % data berada di bawah Q3
8
2. Quantile : N1;
N2;
N3
; N4

N1 = 20% data berada di bawah N1

N4 = 80 % data berada di bawah N4
3. Decile : D1;
D2;
D3; ..............; D8;

D1 = 10 % data berada di bawah D1

D9 = 90 % data berada di bawah D9
D9.
4. Percentile: P1; P2; P3; P4; P5........P50;...................P99.

P5 = 5 % data berada di bawah P5

P50 = 50 % data berada di bawah P50

P99 = 99 % data berada di bawah P99
Rumus-rumus;
Quartile: Qi = T + c (d/f)
Qi = quartile ke i
T = tepi bawah kelas quartile ke i
c = ukuran/lebar kelas interval
d = selisih frekuensi quartile ke i dengan frekuensi dibawahnya
f = frekuensi quartile ke i
Contoh (dari contoh 2)

Q2 = 50% data berada di bawah Q2. Jadi untuk contoh 2, Q2 terletak pada:
2(13/4) = 6.5 pengamatan.

Frekuensi kelas 1 = 3 pengamatan, maka diperlukan d = (6.5 – 3) = 3.5
pengamatan lagi dari f = 5 pengamatan (kelas 2)

T = 10 (nilai tepi bawah kelas quartile 2)

c = lebar kelas = 5

Jadi Q2 = 10 + 5 ( 3.5/5)
= 13.5
{Untuk rumus lainnya dan contoh perhitungan ada pada modul berikutnya.}
9