SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO BILANGAN REAL Menerapkan Operasi pada Bilangan Real l SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO REAL NUMBERS Applying Operation in Real Numbers l SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Skema Bilangan Real : Bilangan Real Bilangan Rasional Bilangan Pecahan Bilangan Irrasional Bilangan Bulat Bilangan Bulat Positif Bilangan Prima Hal.: 3 (Bilangan Asli) 0 (Nol) 1 Bilangan Komposit BILANGAN REAL Bilangan Bulat Negatif Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Real Numbers Scheme Real Numbers Rational Numbers Fraction Numbers Integer Numbers Positive Integer Numbers Prime Numbers Hal.: 4 Irrational Numbers 1 0(Zero) Negative Integer Numbers Compose Numbers BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Macam- macam bilangan Macam- macam barisan angka 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1, 2, 3, 4, . . . 0, 1, 2, 3, . . . . . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . ½ , ¼ , ¾ , 6/2, 2/4 . . . , (0,21), . . . 2 , 2, 8, 10, 15, . . . 1. Dari barisan angka diatas dapat disimpulkan: 1. Bilangan . . . 2. Bilangan . . . 3. Bilangan . . . 4. Bilangan . . . 5. Bilangan . . . 6 .Bilangan . . . Hal.: 5 BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO KINDS OF NUMBERS Kinds of this sequence 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1, 2, 3, 4, . . . 0, 1, 2, 3, . . . . . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . ½ , ¼ , ¾ , 6/2, 2/4 . . . , (0,21), . . . 2 , 2, 8, 10, 15, . . . 1. From this sequence conclusion : 1. Numbers . . . 2. Numbers . . . 3. Numbers . . . 4. Numbers . . . 5. Numbers . . . 6. Numbers . . . Hal.: 6 BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Pengertian Bilangan Kesimpulan: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Bilangan Bilangan Bilangan Bilangan Bilangan Bilangan Hal.: 7 prima adalah . . . asli adalah. . . komposit adalah . . . Rasional adalah . . . Irrasional adalah . . . Real adalah . . . BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO The mean of Numbers Conclusion: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Prime Number is . . . Natural Number is. . . Compose Number is . . . Rational Number is . . . Irrational Number is . . . Real Number is . . . Hal.: 8 BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Pengertian Bilangan Rasional Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a , b dengan, a dan b, dan b 0. anggota bilangan bulat Contoh: 6, ½ dansebagainya. Hal.: 9 BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO The Definition of Rational Numbers Rational Number is number that can be a denoted by , b with, a and b, are the members of integer numbers and b 0. Example: 6, ½ etc. Hal.: 10 BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Pengertian Bilangan Irrasional Bilangan Irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a pecahan b dan biasanya banyak angka desimalnya tak hingga. Contoh: Hal.: 11 Bentuk akar, , desimal, BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO The Definition of Irrational Numbers Irrational number is numbers which cannot a be denoted by fraction and the decimal b number is unlimited. Example: Roots, Hal.: 12 ,decimal BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Pengertian Bilangan Prima Bilangan prima adalah bilangan yang hanya mempunyai dua faktor yaitu 1(satu) dan bilangan itu sendiri. Contoh: 2, 3, 5, 7, ...dansebagainya Hal.: 13 BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO The Definition of Prime Numbers Prime Numbers is number which only have two factors; 1 (one) and the number itself. Example: 2, 3, 5, 7, ...etc Hal.: 14 BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Pengertian Bilangan Komposit Bilangan komposit adalah bilangan yang mempunyai faktor lebih dari satu. Contoh: 4, 6, 8, 9… Hal.: 15 BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO The Definition of Compose Numbers Compose number is number which have more than one factors. Example: 4, 6, 8, 9… Hal.: 16 BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Operasi Bilangan Real A. Operasi Penjumlahan 1. Bilangan Bulat Sifat – sifat Hal.: 17 a. Komutatif: a +b = b + a Contoh: 2 + 3 = 3 + 2 b. Asosiatf: a +(b + c)= (a + b)+ c Contoh: 1 + (3 + 5) = (1 + 3) + 5 c. Memiliki elemen identitas penjumlahan yaitu 0: a+0=0+a Contoh : 1 + 0 = 0 + 1 BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO The Real Number Operation A. Addition Operation 1. Integer Number The Properties a. Commutative: a +b = b + a Example: 2 + 3 = 3 + 2 Hal.: 18 b. Associative: a +(b + c)= (a + b)+ c Example: 1 + (3 + 5) = (1 + 3) + 5 c. Have addition identity element, that are: a + 0 =0+a Example : 1 + 0 = 0 + 1 BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Operasi Bilangan Real Pengurangan Memiliki invers penjumlahan, Misal; inversnya a = - a, sehingga : Contoh a + (-a) = -a + a : 2 + (-2) = -2 + 2 =0 Hal.: 19 BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Real Numbers Operation Subtraction Has addition inverse, Example; inverse a = - a, Then : a + (-a) = -a + a Example : 2 + (-2) = -2 + 2 =0 Hal.: 20 BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Operasi Bilangan Real A. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan 2. Bilangan Pecahan Sifat – sifat 1. a b a +b + c c c a b a b , c c c atau dimana a, b, c B 2. c a ad bc atau , bd b d 3. Dimana a, b, c, d Hal.: 21 dan c ≠ 0 B c ad bc d b bd a dan BILANGAN REAL c≠ 0 Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Real Number Operation A. Addition and Subtraction Operation 2. Fraction Number Properties 1. a b a +b + c c c where a, b, c 2. B and c ≠ 0 c a ad bc atau , bd b d 3. Where a, b, c, d Hal.: 22 a b a b , c c c or B c ad bc d b bd a and BILANGAN REAL c≠ 0 Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Operasi Perkalian dan Pembagian Sifat- sifat yang berlaku: 1. Komutatif, yaitu: a x b = b x a Contoh: a. 4 x 3 = 3 x 4 ½x¾=¾x½ ½ : ¾ = ½ x 4/3 2. Asosiatif, yaitu: (a x b) x c = a x ( b x c) Contoh: { 5 x (-7)} x 2 = 5 x { (-7) x 2} 3. Memiliki unsur identitas yaitu 1, sehingga: a . 1 = 1 . a = a Contoh : 2 . 1 = 1 . 2 = 2 4. Memiliki invers perkalian untuk aR; a ≠ 0 ; sehingga a x 1/a = 1, maka invers 1/a invers perkalian dari a. Pada perkalian dan pembagian bilangan real berlaku: Hal.: 23 a. a . ( -b) = - (ab) d. ( -a) : b = -a : ( -b) b. ( -a) . b = - (ab) c. ( -a) :(-b) = a b e. ( -a) . b = - (ab) f. -a : (-b) = - a b BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Multiplication and Division Operation The properties: 1. Commutative: a x b = b x a Example: a. 4 x 3 = 3 x 4 ½x¾=¾x½ ½ : ¾ = ½ x 4/3 2. Asassociative: (a x b) x c = a x ( b x c) Example: { 5 x (-7)} x 2 = 5 x { (-7) x 2} 3. Have identity item 1, so: a . 1 = 1 . a = a Example: 2 . 1 = 1 . 2 = 2 4. Have multiplication inverse for aR; a ≠ 0 ; so a x 1/a = 1, then inverse 1/a is multiplication inverse of a. In multiplication and division of real numbers, we have: Hal.: 24 a. a . ( -b) = - (ab) d. ( -a) : b = -a : ( -b) b. ( -a) . b = - (ab) c. ( -a) :(-b) = a b e. ( -a) . b = - (ab) f. -a : (-b) = - a b BILANGAN REAL Adaptif 10 25 Mengkonversi bentuk persen, atau pecahan desimal 1. SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Konversi pecahan biasa kebentuk persen. Mengubah pecahan biasa ke bentuk persen yaitu dengan mengubah penyebutnya menjadi 100. Contoh: a. b. Hal.: 25 10 40 25 100 4 4 10 = 10 10 x 4 40 = 40% 25 25 4 100 = 44 10 440 x 10 10 100 BILANGAN REAL = 44% Adaptif 10 25 SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Conversing percentage, or decimal fraction 1. Fraction converse is usually in percentage. Change fraction into percentage by changing the denominator into 100. Example: a. b. Hal.: 26 10 10 4 40 10 40 x = 25 25 4 100 25 100 4 10 4 44 10 440 = x 10 10 100 BILANGAN REAL = 40% = 44% Adaptif Mengkonversi bentuk persen, atau pecahan desimal SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO 2. Konversi pecahan biasa ke bentuk desimal Mengubah penyebutnya menjadi 10 atau perpangkatan 10 lainnya. Contoh: a. 2 2 2 4 = x = 5 10 2 5 85 10 b. 3 = X 25 25 Hal.: 27 = 0,4 4 340 = = 3, 40 100 4 BILANGAN REAL Adaptif 10 25 SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Conversing percentage, or decimal fraction 1. Fraction converse is usually in percentage. Change fraction into percentage by changing the denominator into 100. Example: a. b. Hal.: 28 10 10 4 40 10 40 x = 25 25 4 100 25 100 4 10 4 44 10 440 = x 10 10 100 BILANGAN REAL = 40% = 44% Adaptif Mengkonversi bentuk persen, atau pecahan desimal SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO 3. Konversi persen ke bentuk pecahan biasa atau kedesimal. Contoh : a. 20% = b. 75% = Hal.: 29 20 = 0,2 = 20% 100 75 0,75 75% 100 BILANGAN REAL Adaptif Conversing percentage, or decimal fraction SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO 3. Conversing the percentage into fraction or into decimal. Example : a. 20% = b. 75% = Hal.: 30 20 = 0,2 = 20% 100 75 0,75 75% 100 BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Perbandingan senilai Lengkapilah ! Banyak ( Buah ) Harga ( Rupiah) 1 200 2 Hal.: 31 Perbandingan400 senilai 3 … 4 … … 1000 6 … 7 … X … BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Ratio Equivalent Complete the table ! Quantity Price 1 200 2 Hal.: 32 Perbandingan400 senilai 3 … 4 … … 1000 6 … 7 … X … BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Perbandingan Berbalik Nilai Pengalaman Belajar Suatu pekerjaan borongan jahitan, dengan 24 orang pekerja, direncanakan selesai dalam waktu 48 hari. Sesudah bekerja selama 12 hari dengan 24 pekerja, pekerjaan tersebut dihentikan selama 9 hari karena sesuatu hal. Berapa banyaknya pekerja yang harus ditambahkan agar pekerjaan tersebut dapat selesai tepat waktu? Hal.: 33 BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Ratio Unequivalent Learning Experience A project of sewing clothes with 24 tailor is planned to finish in 48 days. After working for 12 days, the job was delayed for 9 days. How many tailor should be added so that the job will be finished on time? Hal.: 34 BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Perbandingan Berbalik Nilai Penyelesaian soal : Perbandingannya berbalik nilai, sehingga : Sisa pekerjaan untuk 48–12 = 36 hari yang seharusnya dapat diselesaikan oleh 24 orang. Tetapi waktu yang tersisa hanya 48–12–9 = 27 hari. Jadi didapatkan: 24 orang 36 hari x orang 27 hari Maka: 24 27 864 27 x 24.36 27 x 864 x x 32 x 36 27 Jadi tambahan tenaga 8 orang Hal.: 35 BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Ratio Unequivalent Problem Solving: Its ratio is unequivalent, so: The rest of the job for 48–12 = 36 days, which should be finished by 24 tailors. But the remain time is only 48–12–9 = 27 days. so: 24 tailor 36 days x tailor 27 days Then: 24 27 864 27 x 24.36 27 x 864 x x 32 x 36 27 Then the additional tailor are 8 tailors Hal.: 36 BILANGAN REAL Adaptif a b SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Perbandingan Berbalik Nilai Perbandingan berbalik nilai jika dua perbandingan nilainya saling berkebalikan. Rumus = a b d atau a . c = b . d c Contoh: Seorang petani memiliki persediaan makanan untuk 80 ekor ternaknya selama 1 bulan. Jika petani menambah 20 ekor ternak lagi berapa hari persediaan makanan akan habis? Jawab: Banyak ternak Hari 80 = a 30 = c 80 + 20 = 100= b d Hal.: 37 Maka: d ↔ 80 x 30 = 100 x d ↔ 2400 80 = 30 = 100 100d↔ d = 24 BILANGAN REAL Adaptif a b SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Ratio Unequivalent The ratio is not equivalent if the values of two comparatives are unequivalent. Formula a= b d or a . c = b . d c Example: A farmer has food supply for 80 cattle for a month. If the farmer adds 20 cattle more, so how many days the food supply will be run out? Answer: Then: Cattle Quantity Days 80 = a 30 = c 80 + 20 = 100= b d Hal.: 38 80= d↔ 80 x 30 = 100 x d ↔ 2400 100 30 = 100d↔ d = 24 BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Perbandingan Berbalik Nilai Berbalik Nilai Hal.: 39 Kecep. ( km/jam ) Waktu ( jam ) 60 1 30 2 20 … … … … 5 … … … x … … BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO The Ratio Unequivalent Unequivalent Hal.: 40 Speed (km/hour ) Time ( hour) 60 1 30 2 20 … … … … 5 … … … x … … BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Perbandingan Senilai dan Berbalik Nilai Dengan cara lain : Apabila variabel x dari x1 menjadi x2 dan variabel y dari y1 menjadi y2 maka : x1 y1 Senilai ,jika : x2 y2 Berbalik nilai jika : Hal.: 41 BILANGAN REAL x y 1 2 x y 2 1 Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO The Ratio Equivalent and Unequivalent Dengan cara lain : Apabila variabel x dari x1 menjadi x2 dan variabel y dari y1 menjadi y2 maka : x1 y1 Senilai ,jika : x2 y2 Berbalik nilai jika : Hal.: 42 BILANGAN REAL x y 1 2 x y 2 1 Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Perbandingan Senilai dan Berbalik Nilai Soal 1. Dengan kecepatan tetap, sebuah mobil memerlukan bensin 5 liter untuk jarak 60 km. Berapa liter bensin yang diperlukan untuk menempuh jarak 150 km ? 2. Jarak antara dua kota dapat ditempuh kendaraan dengan kecepatan rata-rata 72 km/jam selama 5 jam. Berapa kecepatan rata-rata kendaraan untuk menempuh jarak tersebut jika lama perjalanan 8 jam ? Hal.: 43 BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO belum Hal.: 44 BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Perbandingan Senilai dan Berbalik Nilai Penyelesaian: Karena perbandingannya senilai maka : 60 5 x 150 Perbandingannya berbalik nilai, sehingga : 72 8 x 5 Hal.: 45 BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Ratio Equivalent and unequivalent Problem Solving: Because the ratio is equivalent, then: 60 5 x 150 The ratio is unequivalent, then: 72 8 x 5 Hal.: 46 BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Perbandingan Senilai dan Berbalik Nilai Latihan 1. Campuran cairan pembuatan kue terdiri dari minyak kelapa dan air dengan perbandingan 1 : 18. Berapa liter minyak kelapa diperlukan untuk memperoleh 9,5 liter campuran cairan? 2. Sebuah peta yang berbentuk persegi panjang digambar dengan skala : 1 : 120.000 dan mempunyai ukuran panjang : lebar adalah 4:3. Sedangkan keliling peta 112 cm. Tentukan luas sebenarnya yang digambarkan oleh peta tersebut? Hal.: 47 BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Ratio Equivalent and unequivalent Exercise 1. The mixture of liquid cake ingredient are palm oil and water with the scale 1 : 18. How many liters of palm oil needed to get 9.5 the mixture of liquid cake ingredient? 2. A map in rectangle shape is drawn in scale of : 1 : 120.000 and has length and width 4:3. while the map circumference is 112 cm. Determine the real area of the map? Hal.: 48 BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Skala Skala adalah perbandingan antara ukuran pada gambar dan ukuran sebenarnya. Skala 1 : n artinya, setiap 1 cm jarak pada peta atau gambar mewakili n cm jarak sebenarnya. Skala= Hal.: 49 Jarak pada peta (gambar) Jarak sebenarnya BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Scale Scale is ratio between the size in the drawing and the real size. Scale 1 : n means, every 1 cm in the map represents n cm in the real distance. Scale = Distance in Map (picture) Real Hal.: 50 Distance BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Skala Contoh: Pada sebuah peta dengan skala 1: 4.250.000, jarak antara Surabaya dan Malang adalah 2 cm. Berapa kilometer jarak sebenarnya? Jawab: Skala 1: 4.250.000 Jarak pada gambar=2 cm Jarak sebenarnya = 2 x 4,250.000 = 8.500.000 = 85 km Hal.: 51 BILANGAN REAL Adaptif SMK NEGERI 2 PROBOLINGGO Scale Example: In a map which has scale 1: 4.250.000, the distance between Surabaya and Malang is 2 cm. How many kilometer is the real distance? Answer: Scale 1: 4.250.000 The distance in map =2 cm The real distance = 2 x 4,250.000 = 8.500.000 = 85 km Hal.: 52 BILANGAN REAL Adaptif