Jobsheet Praktek Sistem Kendali: Fungsi Alih dan Ruang Status

FAKULTAS TEKNIK UNP
JURUSAN
: TEKNIK ELEKTRO
PRODI
: T. ELEKTRO INDUSTRI
MK/KODE
: Praktek Sistem Kendali
I.
JOBSHEET/LABSHEET
NOMOR
: 3
WAKTU
: 4 x 50 menit
TOPIK
: Fungsi Alih&Ruang Status
TUJUAN
1. Menentukan ekspansi fraksi parsial dari fungsi transfer dan fungsi inversnya
dengan menggunakan Matlab.
2. Menurunkan model matematis sistem melalui pendekatan fungsi alih.
3. Menurunkan model matematis sistem melalui pendekatan ruang status.
4. Memperoleh
fungsi alih dari persamaan-persamaan ruang status dan
sebaliknya.
II. BAHAN DAN ALAT
Komputer dan Perangkat Lunak Matlab
III. TEORI
Hal pertama yang harus dilakukan untuk mempelajari sistem kendali adalah
dengan memodelkan sistem dinamiknya, baru kemudian dapat dianalisis karakteristik
dinamiknya. Sistem dinamik dimodelkan dengan suatu model matematis, yaitu
sekumpulan persamaan yang menyatakan dinamika sistem tersebut secara memadai
jika tidak mungkin secara akurat. Tetapi jika memerlukan analisis yang teliti, model
matematis sistem dapat ditingkatkan akurasinya dengan memodelkan sistem tersebut
secara lebih lengkap. Umumnya dinamika sistem, seperti : sistem mekanik, elektrik,
termal, ekonomi, biologi, dll, dapat dinyatakan dalam suatu persamaan differensial.
Model matematis tersebut diperoleh atau diturunkan dari hukum-hukum fisis yang
berlaku pada sistem tersebut, misalnya Hukum Newton untuk sistem mekanis,
Hukum Kirchoff untuk sistem listrik, dst. Meskipun demikian, perlu Anda ketahui
bahwa dua sistem fisis yang berbeda bisa saja memiliki model matematis sama, misal
: analogi sistem mekanis dengan sistem elektrik, sehingga suatu sistem yang memiliki
model matematis sama tidak selalu menggambarkan model fisis yang sama.
~ 26 ~
FAKULTAS TEKNIK UNP
JURUSAN
: TEKNIK ELEKTRO
PRODI
: T. ELEKTRO INDUSTRI
MK/KODE
: Praktek Sistem Kendali
JOBSHEET/LABSHEET
NOMOR
: 3
WAKTU
: 4 x 50 menit
TOPIK
: Fungsi Alih&Ruang Status
Dua model matematis yang sering digunakan dalam sistem kendali adalah
fungsi alih (transfer function) dan ruang waktu (state space representation). Fungsi
alih digunakan untuk menganalisis sistem bermasukan tunggal-berkeluaran tunggal
(SISO), linier, invariant waktu; sedangkan model ruang waktu lebih sesuai untuk
sistem yang lebih kompleks, sistem bermasukan banyak-berkeluaran banyak
(MIMO), nonlinier, time-varying.
3.1. Fungsi Alih
Beberapa hal tentang fungsi alih :
• Digunakan untuk memudahkan melihat karakteristik suatu sistem.
• Karakterisitik suatu sistem tak dipengaruhi oleh jenis input.
• Hanya berlaku untuk sistem linear, invariant waktu.
• Definisi: Perbandingan fungsi Laplace output dengan fungsi Laplace input
dengan semua kondisi mula dianggap nol.
Fungsi transfer (fungsi alih) (untuk input = X(s), output = Y(s)):
G ( s) =
Y ( s) b0 s m + b1s m −1 + ... + bm −1s + bm
=
X ( s) a0 s n + a1s n −1 + ... + am −1s + an
Latihan 1 :
Diberikan fungsi transfer berikut:
H (s ) =
B(s ) 2s 3 + 5s 2 + 3s + 6
=
A(s ) s 3 + 6s 2 + 11s + 6
Dalam Matlab dapat dituliskan sebagai berikut:
>> num = [2 5 3 6];
>> den = [1 6 11 6];
>> [r,p,k] = residue(num,den)
r =
-6.0000
~ 27 ~
FAKULTAS TEKNIK UNP
JURUSAN
: TEKNIK ELEKTRO
PRODI
: T. ELEKTRO INDUSTRI
MK/KODE
: Praktek Sistem Kendali
JOBSHEET/LABSHEET
NOMOR
: 3
WAKTU
: 4 x 50 menit
TOPIK
: Fungsi Alih&Ruang Status
-4.0000
3.0000
p =
-3.0000
-2.0000
-1.0000
k =
2
Hasil diatas secara analitis dapat dituliskan sebagai berikut:
B(s ) − 6
−4
3
=
+
+
+2
A(s ) s + 3 s + 2 s + 1
Untuk mengembalikan ke bentuk semula ketikkan:
>> [num,den] = residue(r,p,k)
num =
2.0000 5.0000 3.0000 6.0000
den =
1.0000 6.0000 11.0000 6.0000
atau :
printsys(num,den,'s')
num/den =
2 s^3 + 5 s^2 + 3 s + 6
----------------------s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6
Latihan 2:
Diberikan fungsi transfer berikut
F ( s) =
32
s(s + 4)( s + 8)
Dalam matlab dapat dituliskan sebagai berikut:
num=32;
den=poly([0
-4
-8])
[r,p,k]=residue(num,den)
~ 28 ~
FAKULTAS TEKNIK UNP
JURUSAN
: TEKNIK ELEKTRO
PRODI
: T. ELEKTRO INDUSTRI
MK/KODE
: Praktek Sistem Kendali
JOBSHEET/LABSHEET
NOMOR
: 3
WAKTU
: 4 x 50 menit
TOPIK
: Fungsi Alih&Ruang Status
r =
1
-2
1
p =
-8
-4
0
k =
[]
Untuk mengembalikan ke bentuk semula ketikkan:
>> [num,den] = residue(r,p,k)
num =
0
0
32
12
32
den =
1
0
Mencari invers transformasi laplacenya dengan menggunakan matlab:
>> syms s a
>> ilaplace(32/(s*(s+4)*(s+8)))
ans =
1-2*exp(-4*t)+exp(-8*t)
Untuk mengembalikan ke bentuk fungsi transfer kita ketikkan
>> sys=tf(num,den)
ans
Transfer function:
32
------------------s^3 + 12 s^2 + 32 s
~ 29 ~
FAKULTAS TEKNIK UNP
JURUSAN
: TEKNIK ELEKTRO
PRODI
: T. ELEKTRO INDUSTRI
MK/KODE
: Praktek Sistem Kendali
JOBSHEET/LABSHEET
NOMOR
: 3
WAKTU
: 4 x 50 menit
TOPIK
: Fungsi Alih&Ruang Status
Latihan 3:
Diketahui H (s ) =
10
. Dengan Matlab, fungsi alihnya diperoleh dengan
s + 2s + 5
2
mengetikkan perintah-perintah berikut :
>> num1=[10];den1=[1 2 5];
>> sys1=tf(num1,den1)
ans
Transfer function:
10
------------s^2 + 2 s + 5
Berikut ini akan diberikan beberapa contoh penurunan model matematis dari
rangkaian listrik. Persamaan-persamaan differensial rangkaian yang menggambarkan
dinamiknya mula-mula diperoleh dengan menerapkan hukum Kirchoff, baik untuk
arus maupun tegangan. Selanjutnya dengan menerapkan Transformasi Laplace, akan
diperoleh persamaan matematis sederhana dalam variabel kompleks s yang
menghubungkan antara variabel masukan dengan variabel keluaran.
Untuk memperoleh fungsi alih rangkaian maka rangkaian harus dianggap
memiliki semua kondisi mula nol, sehingga fungsi alih diperoleh dengan
membandingkan variabel keluaran terhadap variabel masukan.
Contoh 1. Berikut ini diturunkan persamaan fungsi alih dari rangkaian RLC.
~ 30 ~
FAKULTAS TEKNIK UNP
JURUSAN
: TEKNIK ELEKTRO
PRODI
: T. ELEKTRO INDUSTRI
MK/KODE
: Praktek Sistem Kendali
JOBSHEET/LABSHEET
NOMOR
: 3
WAKTU
: 4 x 50 menit
TOPIK
: Fungsi Alih&Ruang Status
Dalam bentuk Laplace : (anggap kondisi mula = 0)
Diperoleh Fungsi alih :
E0 ( s )
=
Ei ( s )
I (s)
C
1
 2
 s L + Rs +  I ( s)
C

E0 ( s)
1
=
2
Ei ( s) LCs + RCs + 1
Dari persamaan rangkaian RLC diatas,
E0 ( s)
1
=
2
Ei ( s) LCs + RCs + 1
3.4. Persamaan Ruang Status (State-Space)
Perlu 3 jenis variabel dalam analisis:
1. Variabel-variabel input
2. Variabel-variabel output
3. Variabel-variabel state.
~ 31 ~
FAKULTAS TEKNIK UNP
JURUSAN
: TEKNIK ELEKTRO
PRODI
: T. ELEKTRO INDUSTRI
MK/KODE
: Praktek Sistem Kendali
JOBSHEET/LABSHEET
NOMOR
: 3
WAKTU
: 4 x 50 menit
TOPIK
: Fungsi Alih&Ruang Status
Persamaan state space:
x = Ax + Bu
y = Cx + Du
Contoh 2. Berikut diturunkan persamaan ruang status dari rangkaian RLC.
Dalam bentuk Laplace : (anggap kondisi mula = 0)
Diperoleh fungsi alih :
E0 ( s )
=
Ei ( s )
I (s)
C
1
 2
 s L + Rs +  I ( s)
C

E0 ( s)
1
=
Ei ( s) LCs 2 + RCs + 1
~ 32 ~
FAKULTAS TEKNIK UNP
JURUSAN
: TEKNIK ELEKTRO
PRODI
: T. ELEKTRO INDUSTRI
MK/KODE
: Praktek Sistem Kendali
JOBSHEET/LABSHEET
NOMOR
: 3
WAKTU
: 4 x 50 menit
TOPIK
: Fungsi Alih&Ruang Status
Dari model matematis semula diperoleh :
Definisikan variabel state :
Variabel input dan output :
Diperoleh
dan,
Latihan 4 :
Menentukan persamaan ruang status dari persamaan fungsi alihnya.
Diketahui fungsi alih persamaan rangkaian RLC adalah :
E0 ( s)
1
=
Ei ( s) LCs 2 + RCs + 1
Dengan R= 16 Ω, L= 0.02 H, C= 2x10-4, bisa ditentukan persamaan ruang statusnya
sebagai berikut :
~ 33 ~
FAKULTAS TEKNIK UNP
JURUSAN
: TEKNIK ELEKTRO
PRODI
: T. ELEKTRO INDUSTRI
MK/KODE
: Praktek Sistem Kendali
JOBSHEET/LABSHEET
NOMOR
: 3
WAKTU
: 4 x 50 menit
TOPIK
: Fungsi Alih&Ruang Status
>> R=16;
>> L=0.02;
>> C=2*10^-4;
>> num=1;
>> den=[L*C
R*C
1];
>> [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
A =
1.0e+005 *
-0.0080
-2.5000
0.0000
0
B =
1
0
C =
1.0e+005 *
0
2.5000
D =
0
Latihan 5 :
% convert T(s)=(24.542)/(s^2+4s^2+4.542)
% to a state space representation
>> num1=[ 24.542];
>> den1=[1 4 24.542]
>> sys=tf(num1,den1)
>> [A B C D]=tf2ss(num1,den1)
Transfer function:
24.54
----------------s^2 + 4 s + 24.54
A =
-4.0000
-24.5420
1.0000
0
~ 34 ~
FAKULTAS TEKNIK UNP
JURUSAN
: TEKNIK ELEKTRO
PRODI
: T. ELEKTRO INDUSTRI
MK/KODE
: Praktek Sistem Kendali
JOBSHEET/LABSHEET
NOMOR
: 3
WAKTU
: 4 x 50 menit
TOPIK
: Fungsi Alih&Ruang Status
B =
1
0
C =
0
24.5420
D =
0
Latihan 6 :
Program Matlab untuk memperoleh
fungsi alih dari persamaan-persamaan state
space.
>> A=[ -8
-16
-6;1
>> B =[ 1;
0;
0];
>> C =[
2
>> D =
0;
8
0
0;0
1
0];
6];
>> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
>> sys = tf(num,den)
ans
num =
0
2
8
8
16
6
6
den =
1
Transfer function:
2 s^2 + 8 s + 6
---------------------s^3 + 8 s^2 + 16 s + 6
IV. TUGAS PRAKTIKUM
Carilah ekspansi fraksi parsial dan fungsi inversnya dengan menggunakan matlab dari
persamaan berikut:
~ 35 ~
FAKULTAS TEKNIK UNP
JURUSAN
: TEKNIK ELEKTRO
PRODI
: T. ELEKTRO INDUSTRI
MK/KODE
: Praktek Sistem Kendali
JOBSHEET/LABSHEET
NOMOR
: 3
WAKTU
: 4 x 50 menit
TOPIK
: Fungsi Alih&Ruang Status
s 3 + 5s 2 + 9 s + 7
( s + 1)( s + 2)
1. G( s) =
5s 3 + 3s 2 − 2s + 7
− 4 s 3 + 8s + 3
2. G( s) =
3. F ( s) =
s+3
( s + 1)( s + 2)
s 4 + 2s 3 + 3s 2 + 4s + 5
4. G( s) =
s( s + 1)
5.
B( s )
s 2 + 2s + 3
= 3
A( s) s + 3s 2 + 3s + 1
6. Carilah fungsi alih dari persamaan-persamaan state space rangkaian RLC dengan
R= 16 Ω, L= 0.02 H, C=0.03 F.
A =[ 0
1
-1/L*C -R/L ];
B = [
0
1/(L*C];
C =[1
0];
D =[0];
7. Carilah fungsi alih dari dari persamaan state space model sistem mekanik dengan
k=10;
m1=0.02;
m2=0.01;
b1=500.e-03;b2=50.1e-02;
A=[0
0
1
0
0
0
0
1
-k/m1
k/m1
-b1/m1
0
k/m2
-k/m2
0
-b2/m2];
~ 36 ~
FAKULTAS TEKNIK UNP
JURUSAN
: TEKNIK ELEKTRO
PRODI
: T. ELEKTRO INDUSTRI
MK/KODE
: Praktek Sistem Kendali
JOBSHEET/LABSHEET
NOMOR
: 3
WAKTU
: 4 x 50 menit
TOPIK
: Fungsi Alih&Ruang Status
B=[0
0
1/m1
0];
C=[0
0
0 1]
D=[0];
Carilah persamaan ruang status dari persamaan fungsi alih sistem berikut :
8. G1 ( s) =
1
s + 3s + 3s + 1
9. G2 ( s) =
5
s + 2s + 5
10. G3 ( s) =
s+5
s( s + 1)( s + 4)
3
2
2
~ 37 ~
FAKULTAS TEKNIK UNP
JURUSAN
: TEKNIK ELEKTRO
PRODI
: T. ELEKTRO INDUSTRI
MK/KODE
: Praktek Sistem Kendali
JOBSHEET/LABSHEET
NOMOR
: 3
WAKTU
: 4 x 50 menit
TOPIK
: Fungsi Alih&Ruang Status
~ 38 ~