Sistem Bilangan Real: Sifat, Urutan, Desimal, dan Nilai Mutlak

II. SISTEM BILANGAN REAL
2.1 Sifat Lapangan Bilangan Real
2.2 Sifat Urutan Bilangan Real
2.3 Desimal dan Interval
2.4 Nilai Mutlak
MATDAS, FPMIPA, UPI [CK, ECS]
1
2.1 Sifat Lapangan Bilangan Real
Bilangan real mempunyai sifat-sifat berikut ini:
A1. Komutatif jumlah
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎, ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ
A2. Assosiatif jumlah
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐, ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ
A3. Identitas jumlah
ada elemen identitas jumlah yaitu 0 sehingga
𝑎 + 0 = 𝑎, ∀ 𝑎 ∈ ℝ
A4. Ada invers jumlah yaitu elemen negatif
∀ 𝑎 ∈ ℝ, ada − 𝑎 ∈ 𝑅 sehingga 𝑎 + (−𝑎) = 0
MATDAS, FPMIPA, UPI [CK, ECS]
2
M1. Komutatif kali
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎, ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ
M2. Assosiatif kali
𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐, ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ
M3. Elemen identitas kali
ada elemen identitas kali yaitu 1 sehingga 𝑎 ∙
1 = 𝑎, ∀ 𝑎 ∈ ℝ
M4 Untuk setiap bilangan real yang tidak nol ada
invers kali yaitu elemen kebalikan, ∀ 𝑎 ∈ 𝑅, 𝑎 ≠ 0,
ada (1/𝑎) ∈ ℝ sehingga 𝑎 ∙ (1/𝑎) = 1
D. Distributif
𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐 , ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ
𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑏 ∙ 𝑐 , ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ
MATDAS, FPMIPA, UPI [CK, ECS]
3
Contoh
• Tentukan himpunan penyelesaian dari
persamaan 2𝑥 + 3 = 6.
Tentunya anda akan menjawab 𝑥 = 3Τ2.
Tanpa disadari bahwa anda sudah
menggunakan beberapa sifat lapangan
bilangan real di atas.
Coba sebutkan sifat-sifat yang mana yang
sudah digunakan !
Back to Menu
MATDAS, FPMIPA, UPI [CK, ECS]
4
Sifat Kepositifan Bilangan real ℝ
Misalkan p ⊂ ℝ adalah himpunan tidak kosong yang memuat semua bilangan real
positif, yaitu p = { 𝑎 𝜖 ℝ ∶ 𝑎 > 0}.
Definisi 1. Jika 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑷 sebarang, maka berlaku
(1) 𝑎. 𝑏 ∈ 𝑷
(2) 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝑷
Definisi 2. Diketahui 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ sebarang
(1) Jika 𝑎 − 𝑏 ∈ 𝑃, maka diltulis 𝑎 > 𝑏 atau 𝑏 < 𝑎
(2) Jika 𝑎 − 𝑏 ∈ 𝑃 ∪ {0}, maka ditulis 𝑎 ≥ 𝑏 atau 𝑏 ≤ 𝑎
Catatan
1. Jika 𝑎 < 0, maka −𝑎 > 0
2. Jika 𝑎 . 𝑏 = 𝑜, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎 = 𝑜 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝑏 = 0
3. Jika a. b >0 maka (i) 𝑎 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑏 > 0 atau (ii) -a > 0 dan -b > 0
HP = HP1 ∪ HP2
MATDAS, FPMIPA, UPI [CK, ECS]
5
Contoh.
Bagaimana menentukan himpunan penyelesaian dari soal-soal
berikut
a. (x-1)(x+2) = 0
Solusi:
x – 1 = 0 atau x + 2 = 0⇔ x = 1 atau x = -2.
HP = { 1, -2}
b. (x+1)(x-2) > 0
Solusi:
(i) x + 1 > 0 dan (x-2) >0 atau
(ii) –(x+1) > 0 dan –(x-2) >0
untuk (i) x > -1 dan x > 2, berarti HP1 = (2,∞)
Untuk (ii) x + 1 < 0 ⇔ x < -1 dan x – 2 <0 ⇔ x < 2, berarti HP2
= (-∞, −1).
HP = Hp1 ∪ HP2 = (2,∞) ∪ (-∞, −1).
MATDAS, FPMIPA, UPI [CK, ECS]
6
Sifat-sifat lain dari system bilangan real ℝ
1. − −𝑎 = 𝑎,
2. −1 . 𝑎 = −𝑎,
3. −1 . −1 = 1,
4. − 𝑎 + 𝑏 − 𝑎 + −𝑏 ,
5. −𝑎 . −𝑏 = 𝑎. 𝑏,
1
1
=
−
,
−𝑎
𝑎
𝑎
7. − 𝑏 = (−𝑎)/𝑏
6.
MATDAS, FPMIPA, UPI [CK, ECS]
7
2.2 Sifat Urutan Bilangan Real
Diketahui 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ
a) Transitif
Jika 𝑎 > 𝑏 dan 𝑏 > 𝑐, maka 𝑎 > 𝑐
b) Aditif
Jika 𝑎 > 𝑏, maka 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐
c) Multiplikatif
Jika 𝑎 > 𝑏 dan 𝑐 > 0, maka 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐
Jika 𝑎 > 𝑏 dan 𝑐 < 0, maka 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐
d) Sifat trikotomi
Jika 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, maka salah satu dari yang berikut
berlaku;
𝑎 < 𝑏 atau 𝑎 = 𝑏 atau 𝑎 > 𝑏
MATDAS, FPMIPA, UPI [CK, ECS]
8
Contoh
• Jika 𝑎 < 5, maka 2𝑎 < 10
(kedua ruas dikalikan 2)
• Jika 𝑎 < 5, maka −2𝑎 > −10
(kedua ruas dikalikan −2)
MATDAS, FPMIPA, UPI [CK, ECS]
9
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari soalsoal berikut dengan menyebutkan sifat-sifat
yang mana yang sudah digunakan.
1) 3𝑥 − 3 ≤ 9
2) 𝑥2 + 𝑥 > 2
3)
(2𝑥+1)
<1
(𝑥+2)
Back to Menu
MATDAS, FPMIPA, UPI [CK, ECS]
10
2.3 Desimal dan Interval
• Setiap bilangan real (baik rasional maupun
irrasional) dapat ditulis dalam bentuk desimal.
Contoh bilangan rasional
• ¼ = 0,25
•
3
= 0,375
8
Contoh bilangan irrasional
• 2 = 1,4142 ⋯
• 𝜋 = 3,1415 ⋯
MATDAS, FPMIPA, UPI [CK, ECS]
11
Desimal berulang adalah rasional
Contoh
• Tunjukkan bahwa 𝑥 = 0,123123 ⋯ dan
𝑦 = 2,5656 ⋯ merupakan bilangan rasional.
Sedangkan bilangan rasional merupakan
desimal berulang.
contoh
• ½ = 0,5 = 0,5000 ⋯
• ¾ = 0,75 = 0,75000 ⋯
MATDAS, FPMIPA, UPI [CK, ECS]
12
Kepadatan Bilangan Real
• Diantara dua bilangan real yang berbeda 𝑎
dan 𝑏 selalu ada bilangan real lain, khususnya
𝑥1 = (𝑎 + 𝑏)/2.
• Begitu juga diantara 𝑎 dan 𝑥1 ada bilangan
real lain, khususnya 𝑥2 = (𝑎 + 𝑥1 )/2.
• Jadi ada tak hingga banyaknya bilangan real
(baik rasional maupun irrasional) antara 𝑎 dan
𝑏.
MATDAS, FPMIPA, UPI [CK, ECS]
13
Interval atau Selang
• Ketaksamaan ganda 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 menyatakan
selang terbuka yang terdiri dari semua
bilangan antara 𝑎 dan 𝑏, tidak termasuk titik
ujung 𝑎 dan 𝑏. Ditulis dengan lambang (𝑎, 𝑏).
• Sedangkan ketaksamaan 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
menyatakan selang tertutup yang terdiri dari
semua bilangan antara 𝑎 dan 𝑏 termasuk titik
ujung 𝑎 dan 𝑏. Ditulis dengan lambang [𝑎, 𝑏].
MATDAS, FPMIPA, UPI [CK, ECS]
14
Beberapa Kemungkinan Interval / Selang
Penulisan Himpunan
{𝑥 ∶ 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}
{𝑥 ∶ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
{𝑥 ∶ 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}
{𝑥 ∶ 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}
{𝑥 ∶ 𝑥 ≤ 𝑏}
{𝑥 ∶ 𝑥 < 𝑏}
{𝑥 ∶ 𝑥 ≥ 𝑎}
{𝑥 ∶ 𝑥 > 𝑎}
𝑅
Penulisan Selang
(𝑎, 𝑏)
[𝑎, 𝑏]
[𝑎, 𝑏)
(𝑎, 𝑏]
(−, 𝑏]
(−, 𝑏)
[𝑎, ∞)
(𝑎, ∞)
(−, )
MATDAS, FPMIPA, UPI [CK, ECS]
Back to Menu
15
2.4 Nilai Mutlak
• Nilai mutlak secara geometri diartikan sebagai jarak
• Nilai mutlak dari 𝑥 ditulis dengan notasi 𝑥 dan
didefinisikan sbb ;
𝑥, jika 𝑥 ≥ 0,
𝑥 =ቊ
−𝑥, jika 𝑥 < 0
• Ketaksamaan yang Melibatkan Nilai Mutlak
𝑥 < 𝑎 ⟺ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎
𝑥 > 𝑎 ⟺ 𝑥 > 𝑎 atau 𝑥 < −𝑎
MATDAS, FPMIPA, UPI [CK, ECS]
16
Sifat-sifat Nilai Mutlak
1) 𝑎𝑏 = 𝑎 𝑏
2) −𝑎 = 𝑎
3)
𝑎
𝑏
𝑎
=
𝑏
4) 𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏 , (ketaksamaan segitiga)
5) 𝑎 − 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏
6) 𝑎 − 𝑏 ≤ 𝑎 − 𝑏
MATDAS, FPMIPA, UPI [CK, ECS]
17
Catatan
•
𝑥2 = 𝑥
• 𝑥 < 𝑦 ⟺ 𝑥2 < 𝑦2
MATDAS, FPMIPA, UPI [CK, ECS
18
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
1.
𝑥+2 <1
2.
2𝑥 − 1 < 3
3.
𝑥 2 − 3𝑥 − 2 < 2
4.
𝑥 + 1 < 2𝑥 − 1
5.
𝑥−1 <2 𝑥−3
MATDAS, FPMIPA, UPI [CK, ECS
Back to Menu
19