Квантовое распределение ключа: Хроматическая дисперсия и нелинейные эффекты

Национальный исследовательский университет ИТМО
(Университет ИТМО)
На правах рукописи
Киселев Федор Дмитриевич
Влияние хроматической дисперсии и нелинейных
эффектов на квантовое распределение ключа на
боковых частотах в оптической транспортной сети
Диссертация на соискание учёной степени
кандидата физико-математических наук
Санкт-Петербург 2021
Национальный исследовательский университет ИТМО
(Университет ИТМО)
На правах рукописи
Киселев Федор Дмитриевич
Влияние хроматической дисперсии и нелинейных
эффектов на квантовое распределение ключа на
боковых частотах в оптической транспортной
сети
Специальность 1.3.6.
«Оптика (физико-математические науки)»
Диссертация на соискание учёной степени
кандидата физико-математических наук
Научный руководитель:
кандидат физико-математических
наук, доцент
Егоров Владимир Ильич
Санкт-Петербург 2021
Диссертация подготовлена в: федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего образования «Национальный исследовательский университет ИТМО».
Научный руководитель:
кандидат физико-математических наук, доцент
Егоров Владимир Ильич
Официальные оппоненты:
Чайвонгкот Пумпонг, PhD, Университет Махидол,
Ученый исследователь, Физический факультет
Моисеев
Сергей
Андреевич,
доктор
физико-математических наук, Казанский национальный
исследовательский технический университет им. А. Н.
Туполева – КАИ, директор центра, заведующий
лабораторией квантовой памяти, Казанский квантовый
центр
Защита диссертации состоится в удаленном интерактивном режиме 22.12.2021 г. в 14:30 ссылка на
публичную трансляцию защиты: https://youtu.be/N4KOGaADoXY.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Университета ИТМО по адресу:
Санкт-Петербург, ул. Ломоносова, д. 9 и на сайте https://dissovet.itmo.ru.
Ученый секретарь диссертационного совета 05.19.00 Университета
физико-математических наук, доцент, Старовойтов Антон Андреевич.
ИТМО,
кандидат
ITMO University
As a manuscript
Kiselev Fedor Dmitrievich
Influence of chromatic dispersion and nonlinear
effects on the subcarrier wave quantum key
distribution in an optical transport network
Speciality 1.3.6.
Optics (Physics and Mathematics)
Academic dissertation сandidate of physics and mathematics
Supervisor:
candidate of physical and mathematical
sciences, assistant professor
Egorov Vladimir Ilyich
Saint-Petersburg 2021
The research was carried out at: ITMO University.
Supervisor:
candidate of physical and mathematical sciences, assistant professor
Egorov Vladimir Ilyich
Official opponents:
Chaiwongkhot Poompong, PhD, Mahidol University, Researcher,
Department of Physics
Moiseev Sergey Andreevich, Doctor of Physical and Mathematical
Sciences, Kazan National Research Technical University n.a.
A.N.Tupolev (KAI), Director Kazan Quantum Center
The defense will be held on 22.12.2021 at 14:30 at the meeting of the ITMO University Dissertation
Council 05.19.50, https://youtu.be/N4KOGaADoXY.
The thesis is available in the Library of ITMO University, Lomonosova St. 9, Saint-Petersburg, Russia and
on https://dissovet.itmo.ru website.
Science Secretary of the ITMO University Dissertation Council 05.19.00, PhD in physics and mathematics,
Starovoytov Anton A.
5
Оглавление
Реферат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Synopsis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
ГЛАВА 1. Определение мирового уровня технологии и выбор
направления исследования . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
1.1
Квантовые технологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
1.2
Квантовое распределение ключа . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
1.3
Квантовое распределение ключа на боковых частотах . . . . . . .
72
1.4
Основные характеристики системы квантового распределения
ключа на боковых частотах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
1.5
Волоконно-оптический канал связи . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
1.6
Спектральное уплотнение каналов . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
1.7
Хроматическая дисперсия оптического волокна . . . . . . . . . .
82
1.8
Комбинационное рассеяние . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
1.9
Четырехволновое смешение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
1.10 Совместная передача квантовых и информационных каналов в
волоконно-оптических линиях связи . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
ГЛАВА 2. Влияние хроматической дисперсии на работу
протокола квантового распределения ключа на
боковых частотах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
2.1
Фазовый эффект хроматической дисперсии в КРКБЧ . . . . . . .
91
2.2
Расчет параметров КРКБЧ с учетом фазового эффекта
хроматической дисперсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
95
Метод компенсации хроматической дисперсии для протокола
КРКБЧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
6
2.4
Временной эффект хроматической дисперсии в протоколе КРКБЧ104
ГЛАВА 3. Влияние шумов, связанных с присутствием
классических каналов системы DWDM в одном
волокне с сигналом КРКБЧ . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.1
Учет шумов канала при расчете параметров системы КРКБЧ . . 106
3.2
Влияние шума спонтанного комбинационного рассеяния . . . . . 108
3.3
Влияние шума ЧВС при включении квантового канала в
однородную частотную сетку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.4
Расчет для произвольных типов оптического волокна . . . . . . . 117
3.5
Расположение квантового канала в О-диапазоне . . . . . . . . . . 120
ГЛАВА 4. Методические рекомендации по построению и
настройке схем совместной передачи
информационных и квантовых каналов . . . . . . . . . 123
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Список литературы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Список иллюстративного материала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Список таблиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Приложение А. Публикации по теме диссертации . . . . . . . . . . 155
7
Реферат
Общая характеристика диссертации
Актуальность темы
Квантовое распределение ключа (КРК) является перспективным направлением
в области в квантовой информатики, позволяющее формировать симметричные
битовые последовательность у двух и более абонентов защищенные от злоумыш­
ленника фундаментальными законами квантовой механики [1–3]. Носителями
информации в таких системах являются фотоны, кодирование которых может
происходить, например, с помощью поляризации или фазы. Эти квантовые со­
стояния света подготавливаются отправителем (Алиса) в одном из случайно
выбранных базисов и затем отправляются по квантовому каналу на приемную
сторону (Боб). Каналом в данной ситуации может служить как оптическое во­
локно, активно применяющееся в современных линиях связи, так и свободное
пространство. На стороне Боба происходит измерение переданного состояния
в одном из базисов, выбираемых Бобом случайно и независимо от Алисы, по­
сле чего детектор одиночных фотонов регистрирует отсчет в случае совпадения
выбранных базисов. Защита информации в данном случае обеспечивается тем,
что согласно квантовой механике, нарушитель не может получить доступ к
квантовому состоянию не изменяя его, что в свою очередь может быть сразу
замечено абонентами [4; 5]. Возможность использования волоконно-оптических
линий связи (ВОЛС) делает данную технологию особенно привлекательной для
ее внедрения в существующую телекоммуникационную инфраструктуру.
Как и в случае классических оптических линий связи, квантовый сигнал
системы КРК будет претерпевать изменения, вносимые оптическим волокном,
вызванные такими эффектами как: затухание, хроматическая дисперсия, а так­
8
же шумы, вызванные нелинейными эффектами [6; 7]. Вопрос учета данных
эффектов встает особенно остро в случаях, когда рассматриваются большие
длины оптоволоконного канала или присутствие в одном волокне с сигналом
КРК информационных каналов ВОЛС с плотным мультиплексированием с
разделением по длине волны (DWDM). Обусловлено это тем, что квантовый
канал обладает очень низкой мощностью сигнала - среднее число фотонов на
состояние когерентного излучения, используемого в таких системах, меньше
единицы [8; 9].
Функционирование системы КРК в таких условиях достигается путем оп­
тимизации ее параметров, например среднего числа фотонов в импульсе для
протоколов, использующих когерентные состояния света, а также за счет
использования сверхпроводниковых детекторов, обладающих высокой эффек­
тивностью детектирования и низким уровнем шума темновых отсчетов [10–12].
Однако для обеспечения КРК на расстоянии больше 100 км необходимо тем­
ное волокно, другими словами, в оптоволокне должен присутствовать лишь
сигнал системы КРК. В условиях быстрого роста информационного трафи­
ка по всему миру выделение темных волокон под установку системы КРК
может быть экономически не выгодным, поэтому большой интерес вызывает
исследование возможности совместной передачи квантового канала с информа­
ционными каналами систем DWDM. Было показано [6; 13–15], что основными
источниками шума в таком случае являются нелинейные шумы спонтанного
комбинационного рассеяния (СКР) и четрехволнового смешения (ЧВС). Еще
одним источником шума являются перекрестные помехи информационных ка­
налов, вызванные неидеальностью экстинкции фильтров, используемых для
изоляции квантового канала от информационных.
Одним из перспективных видов систем КРК является квантовое распределе­
ние ключа на боковых частотах модулированного излучения (КРКБЧ) [16–18].
В данной системе кодирование происходит в фазе боковых частот фазомоду­
лированного ослабленного когерентного света. За счет этого обеспечивается
высокая устойчивость к воздействию внешних факторов и спектральная эф­
фективность. Данная система до сих пор не была исследована на предмет
9
возможности интегрирования с системами DWDM в существующих ВОЛС.
Поэтому в данной работе была поставлена задача об исследовании влиянии
нелинейных эффектов, возникающих в присутствии информационных каналов,
а также хроматической дисперсии оптического волокна на функционирование
системы КРКБЧ.
Цель
Теоретическое исследование функционирования системы квантового распре­
деления ключа на боковых частотах в оптической транспортной сети, в том
числе при одновременном распространении с классическими (информационны­
ми) каналами с частотным уплотнением в одном оптическом волокне.
Задачи
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи
1. Исследование влияния хроматической дисперсии оптического волокна на
распространение фазомодулированного излучения и функционирование
системы квантового распределения ключа на боковых частотах.
2. Исследование влияния шумов, вызванных такиими нелинейными эф­
фектами как спонтанное комбинационное рассеяние и четырех-волновое
смешение.
3. Вывод рекомендаций по подбору конфигураций системы квантового рас­
пределения ключа на боковых частотах и информационных каналов с
частотным уплотнением для достижения совместного функционирования
в условиях городских и магистральных сетей.
10
Основные положения, выносимые на защиту
1. Предложенный метод компенсации влияния хроматической дисперсии на
работу протокола квантового распределения ключа на боковых частотах,
основанный на введении дополнительной фильтрации в систему и переда­
че сигнала лишь на одной из боковых частот, позволяет реализовывать
протокол квантовой коммуникации на расстоянии больше 100км.
2. Разработана математическая модель, которая позволяет рассчитывать
характеристики системы квантового распределения ключа на боковых
частотах при совместном распространении квантового и классических
каналов сети DWDM в одном оптическом волокне, а также проводить
оптимизацию параметров их параметров для достижения большей даль­
ности действия или скорости генерации ключа.
3. Помещение квантового канала системы квантового распределения ключа
на боковых частотах на длину волны 1310 нм позволяет достичь дальности
действия свыше 50-ти км в присутствии 40 информационных каналов сети
DWDM расположенных в С-диапазоне.
4. Снижение мощности дуплексных каналов синхронизации, необходимых
для функционирования протокола квантового распределения ключа на
боковых частотах, до значений соответствующих чувствительности при­
емника в -32 dBm, позволяет передавать сигнал каналов синхронизации
в одном волокне с квантовым каналом и достигать дальности действия
системы более 60 км.
Научная новизна
В работе впервые исследуется влияние хроматической дисперсии и нели­
нейных эффектов на функционирования квантовых коммуникаций на боко­
вых частотах модулированного излучения при совместном распространении
11
с информационными каналами оптической транспортной сети. Представле­
но подробное описание модели видности интерференции боковых частот и
квантового коэффициента ошибок, учитывающей влияния хроматической дис­
персии. Предложена оригинальная схема, позволяющая избежать влияния
хроматической дисперсии на видность интерференции и скорость генерации
секретного ключа. Схема основана на включении дополнительных спектраль­
ных фильтров, позволяющих передавать сигнал на одной боковой частоте
модулированного излучения. Впервые рассмотрено влияние временного сдви­
га спектральных компонент фазомодулированного импульсного излучения на
видность интерференции в такой системе.
Впервые представлена модель квантового коэффициента ошибок системы
квантового распределения ключа на боковых частотах, учитывающая наличие
в волоконном канале шумов, вызванных нелинейными эффектами. Представ­
лено описание рассматриваемых конфигураций квантового и информационных
каналов, включающих в себя: расположение квантового канала в С-диапазоне
телекоммуникационного окна вне однородной сетки информационных каналов,
расположение квантового канала в С-диапазоне телекоммуникационного окна
на длине волны из набора информационных каналов однородной частотной сет­
ки, расположение квантового канала на длине волны 1310 нм в О-диапазоне
телекоммуникационного окна. Представлена оригинальная модель прямого и
обратного шумов спонтанного комбинационного рассеяния, учитывающая эф­
фективную площадь фундаментальной моды оптического волокна.
Впервые предложена оптическая схема приемника системы совместного рас­
пространения квантового канала квантового распределения ключа на боковых
частотах и информационных каналов оптической транспортной сети с частот­
ным уплотнением. Выведены методические рекомендации по построению таких
схем.
12
Практическая значимость
Исследования в обозначенной области позволят разработать технические
решения по совместной передаче квантового канала системы КРКБЧ и инфор­
мационных каналов систем DWDM в одном оптическом волокне. Численные
модели представленные в данной работе могут быть использованы для оптими­
зации данных сетей для достижения наилучших показателей работы.
Предложенный метод компенсации дисперсии позволит создать устройство
квантовых коммуникаций на боковых частотах без использования дорогостоя­
щих коммерчески доступных устройств компенсации.
Предложенные решения позволят снизить затраты на установку систем
КРК за счет более легкой интеграции с сетями ВОЛС. Предложенный метод
компенсации дисперсии позволяет передавать квантовый сигнал на большие
расстояния без необходимости использовать стандартные аналоговые подходы
к компенсации дисперсии, такие как брэгговские решетки или специализиро­
ванные волокна со смещенной дисперсией.
Предложенные рекомендации по внедрению системы КРКБЧ в оптические
транспортные сети с частотным уплотнением буду использованы при построе­
нии квантовых сетей.
Достоверность
Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается совпаде­
нием полученных теоретических данных с экспериментом. Результаты работы
неоднократно представлялись на международных научных конференциях и
публиковались в рецензируемых научных журналах, в том числе в журналах
первого квартиля.
Результаты использованы при выполнении работ по проекту Госзадание №
2019-0903 и по проекту Лидирующего Исследовательского Центра "Националь­
13
ный центр квантового интернета"Университета ИТМО при реализации про­
граммы государственной поддержки, при финансовой поддержке Министерство
цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации,
а также АО "РВК"; ID грантового соглашения: 0000000007119P190002, договор
№ 006-20 от 27.03.2020.
Апробация результатов работы
Основные результаты по теме диссертации докладывались на следующих
конференциях:
1. XLIX научная и учебно-методическая конференция Университета ИТМО,
29.01.2020 – 01.02.2020, Россия, Санкт-Петербург;
2. XI Международная конференция «Фундаментальные проблемы опти­
ки–2019», 21.10.2019 - 25.10.2019, Россия, Санкт-Петербург;
3. Пятидесятая научная и учебно-методическая конференция Университета
ИТМО, 01.02.2021 – 04.02.2021, Россия, Санкт-Петербург;
4. XII Международная конференция «Фундаментальные проблемы оптики»
(ФПО–2020), 19.10.2020 – 23.10.2020, Россия, Санкт-Петербург;
5. Международная конференция по электронике, телекоммуникациям и ин­
формационным технологиям (YETI-2020), 10.07.2020 – 11.07.2020, Россия,
Санкт-Петербург;
6. III Международная конференция "Фотоника и квантовые техноло­
гии 17.12.2020 - 18.12.2020, Россия, Казань;
7. IX Конгресс молодых ученых, 15.04.2020 – 18.04.2020, Россия, Санкт­
Петербург;
8. 6-я международная школа и конференция по оптоэлектронике, фотонике
и наноструктурам «Saint Petersburg OPEN 2019», 22.04.2019 - 25.04.2019,
Россия, Санкт-Петербург;
9. XVI Международная конференция по квантовой оптике и квантовой ин­
формации (ICQOQI 2019), 13.05.2019–17.05.2019, Беларусь, Минск;
14
10. Международная конференция по квантовым технологиям: квантовая ин­
форматика и квантовые измерения (QIM 2019), 04.04.2019 – 06.04.2019,
Италия, Рим;
Публикации
Основные результаты по теме диссертации изложены в 6 публикаци­
ях [19–24], опубликованных в изданиях, индексируемых в базах цитирования
Web of Science и/или Scopus.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и текстов пуб­
ликаций. Полный объём диссертации составляет 208 страницы с 60 рисунками
и 6 таблицами. Список литературы содержит 116 наименований.
Основное содержание работы
Во введении представлено обоснование актуальности исследований по теме
диссертационной работы, а также формулировки целей и задач работы. Далее
излагается научная новизна и практическая значимость полученных в работе
результатов.
В первой главе представлен литературный обзор по теме диссертационной
работы. В начале главы вводятся понятия квантовых технологий и, в частности,
квантовых коммуникаций. Раскрывается актуальность исследований по данной
тематике. После чего представлено описание протокола квантового распределе­
ния ключа на боковых частотах (КРКБЧ) фазомодулированного излучения и
15
основы устройства оптических транспортных сетей, включая описания воло­
конно-оптического канала связи, систем с частотным мультиплексированием
(DWDM) и источников нелинейных шумов. Наконец, представлены актуаль­
ные математические модели и известные в мире результаты по совместному
распространению информационных сигналов оптической транспортной сети и
различных систем КРК.
В разделе 1.1 представлен обзор квантовых технологий. Вводятся основные
понятия систем квантового распределения ключа и раскрывается актуальность
исследований в данном направлении.
В разделе 1.2 подробнее раскрывается понятие квантового распределения
ключа на примере протоколов - BB84 и B92. Объясняются основные принципы
их работы. Вводятся понятия состояний и базиса.
Затем в разделе 1.3 приводится описание принципов работы квантового
распределения ключа на боковых частотах фазомодулированного излучения.
Схема данного протокола представлена на рисунке 1.
Алиса
ЛАЗЕР
ФМ1
Квантовый
канал
Боб
ФМ2
ДОФ
СФ
Рисунок 1 — Принципиальная схема системы КРКБЧ
Для кодирования состояний в данном протоколе используется фаза боковых
частот фазомодулированного излучения. В разделе приводятся основные урав­
нения, концептуально показывающие, как Алиса формирует состояния, и как
Боб измеряет эти состояния, проводя повтороную модуляции со случайно вы­
бранной фазой.
16
В разделе 1.4 вводятся основные характеристики системы квантового рас­
пределения ключа на боковых частотах. В данном разделе приводятся формулы
для расчета квантового коэффициента ошибок и скорости генерации секретного
ключа, которые в далее, в рамках диссертационной работы, будут модифи­
цированы для учета влияния хроматической дисперсии и шумов, вызванных
нелинейными эффектами в результате присутствия информационных каналов
оптической транспортной сети. Уравнение для расчета квантового коэффици­
ента ошибок имеет следующий вид:
𝑄=
2µτη(1 − ϑ) (1 − cos(∆φ)) + τϑµ0 η + 𝑝𝑑𝑎𝑟𝑘
,
4µτη(1 − ϑ) + 2τϑµ0 η + 2𝑝𝑑𝑎𝑟𝑘
(1)
Где µ - среднее число фотонов на боковых частотах; η = η𝐵 η(𝐿)η𝐷 суммарный оптический коэффициент пропускания, состоящий из потерь на
модуле приемника 1 − η𝐵 , потерь в оптическом волокне 1 − η(𝐿) длины 𝐿 и
эффективности детектора одиночных фотонов η𝐷 ; ϑ - коэффициент показы­
вающий эффективность фильтрации несущей частоты (ϑ = 0 для идеальной
системы); σ - множитель, соответствующий несовпадению индексов модуляции
(σ = 0 для идеальной системы); µ0 - среднее число фотонов на несущей частоте;
𝑝𝑑𝑎𝑟𝑘 = γ𝑑𝑎𝑟𝑘 ∆𝑡 - вероятность темнового отсчета детектора одиночных фотонов.
Уравнение для расчета скорости генерации секретного ключа имеет вид:
𝐾 = 𝑣𝑆 𝑃𝐵
[︁
]︁
1 − leak𝐸𝐶 (𝑄) − max χ(𝐴 : 𝐸) ,
𝐸
(2)
Где 𝑣𝑆 - частота модуляции; 𝑃𝐵 = (1 − 𝐺)/𝑁 - вероятность срабатыва­
ния детектора, в случае если Боб угадывает базис (N- количество базисов);
leak𝐸𝐶 (𝑄) - количество информации раскрытого Алисой в ходе коррекции
ошибок; max𝐸 χ(𝐴 : 𝐸) - информация Холево ограниченная максимальным
количеством информации доступной Еве.
В разделе 1.5 рассматривается волоконно-оптический канал связи. Приво­
дятся последние достижения в области волоконно-оптических линиях связи.
Раскрываются основные свойства и характеристики стандартного одномодо­
вого оптического волокна, которое чаще всего используется при построении
17
оптических транспортных сетей. Также вводятся понятия диапазонов телеком­
муникационного окна с приведением соответсвующих диапазнонов длин волн.
В разделе 1.6 приводится описание технологий спектрального уплотне­
ния каналов в оптических сетях. Вводятся и раскрываются понятия грубого
спектрального уплотнения (CWDM) и плотного спектрального уплотнения
(DWDM). Приводятся актуальные технологические решения в данной сфере
В разделе 1.7 представлено описание хроматической дисперсии в оптиче­
ском волокне. Описывается разложение константы распространения оптиче­
ского сигнала в ряд Тэйлора и связь его коэффициентов с дисперсионным
параметром оптического волокна и групповой скоростью. Также приведены спо­
собы моделирования распространения оптического сигнала в волокне с учетом
этого феномена.
В разделe 1.8 описывается феномен спонтанного комбинационного рассе­
яния. Указана информация об истории открытия данного типа рассеяния, а
также физические причины его возникновения. Приводится характерный для
одномодового волокна спектр шума спонтанного комбинационного рассеяния.
В разделе 1.9 описывается феномен четырехволнового смешения. Описы­
вается его влияния на функционирования оптической транспортной сети.
Наконец, в разделе 1.10 приводится обзор актуальных работ по мульти­
плексированию квантовых и классических каналов. Вводятся основные методы,
используемые для моделирования влияния шумов, вызванных нелинейными
эффектами, на работу системы квантого распределения ключа. Приводится
формулы для расчета шумов спонтанного комбинационного рассеяния, че­
трех-волнового смешения, а также линейных перекрестных помех, вызванных
неидеальностью спектральных фильтров и его уровнем изоляции квантового
канала.
Вторая глава посвящена изучению работы системы КРКБЧ с учетом
хроматической дисперсии. Представлена аналитическая модель, качественно
показывающая неравномерность набега фаз в спектре боковых частот и его
влияние на видность интерференции боковых частот в системе. Аналитическая
модель основана на двух важных упрощениях. Первое упрощение предполага­
18
ет разложение константы распространения оптического волокна в ряд Тэйлора
вблизи длины волны несущей частоты системы КРКБЧ. Данное разложение
позволяет использовать технические параметры оптических волокон для моде­
лирования и упрощает дальнейшее рассмотрение проблемы. Второе упрощение
заключается в разложении фазомодулированного поля в ряд Тэйлора и рассмот­
рении лишь первых двух его членов, что по сути означает рассмотрение боковых
частот первого порядка. В результате проведенного анализа был выявлен фа­
зовый эффект хроматической дисперсии в протоколе КРКБЧ. Особенностью
данного эффекта дисперсии для данного протокола является тот факт, что
в случае когда разность набега фаз левой и правой ветвей боковых частот
составляет π, видность интерференции при повторной модуляции на стороне
приемника становится нулевой. При этом результат воздействия дисперсии
нельзя скомпенсировать добавкой к фазе одного из модуляторов. Основное урав­
нение 3, полученное в рамках данной модели показывает данную особенность.
⃒
⃒
𝑉 = ⃒𝑐𝑜𝑠(𝐿β2 Ω2 /2)⃒
(3)
Далее описывается численный подход к моделированию влияния хромати­
ческой дисперсии с помощью решения нелинейного уравнения Шрендингера
в Фурье пространстве и представляется результат сравнения аналитической и
численной моделей, а также экспериментальных данных, полученных в резуль­
тате эксперимента (Рис. 2). В эксперименте использовалась оптическая схема
с мощным источником излучения и измерителем мощности. Такая установка
не может быть использована для реализации квантового распределения ключа,
но подходит для подтверждения результатов моделирования, так как использу­
емые в КРКБЧ когерентные состояния являются классическим светом лазера,
ослабленным до определенной величины.
Затем следует описание модели квантового коэффициента ошибок и скоро­
сти генерации секретного ключа с учетом хроматической дисперсии. Модель
основывается на введении дополнительных факторов ∆1 и ∆2 в выражения
средних чисел фотонов квантового сигнала, появляющихся в результате изме­
нения максимума и минимума интерференции боковых частот:
19
Рисунок 2 — Видность интерференции боковых частот в системе КРКБЧ,
полученная различными методами
)︁
⃒ 𝑆 ′ ⃒2 )︁
µ0 1 − (1 − ϑ) ⃒𝑑00 (ε )⃒ + ∆1 ,
(︁ (︁
)︁
⃒ 𝑆 ′ ⃒2 )︁
′
⃒
⃒
𝑛𝑝ℎ (0, π + ∆φ) = η(𝐿)η𝐵 µ0 1 − (1 − ϑ) 𝑑00 (ε )
+ ∆2 ,
𝑛′𝑝ℎ (0, ∆φ) = η(𝐿)η𝐵
(︁
(︁
(4)
(5)
Скорректированные значения 𝑛′𝑝ℎ влияют на вероятность срабатывания де­
тектора одиночных фотонов, что в свое очередь приводит к перерасчету
квантового коэффициента ошибок и скорости генерации секретного ключа со­
гласно формулам 13 и 14.
𝑃𝑑𝑒𝑡 (φ𝐴 , φ𝐵 ) =
,
(︂
)︂
𝑛′𝑝ℎ (φ𝐴 , φ𝐵 )
η𝐷
+ γ𝑑𝑎𝑟𝑘 ∆𝑡,
∆𝑇
(6)
где η𝐷 - квантовая эффективность детектора; γ𝑑𝑎𝑟𝑘 - частота темновых от­
счетов детектора; ∆𝑇 - временное окно, а ∆𝑡 ⩽ ∆ T - время открытия гейта в
случае его наличия и ∆𝑡 = ∆𝑇 - в случае его отсутствия.
Моделирование показывает, что скорость генерации секретного ключа обра­
щается в 0 после 53км оптического волокна SMF-28.
Следом за этим, предлагается метод компенсации фазового эффекта хрома­
тической дисперсии. Метод заключается в установке дополнительного фильтра
20
в схему модуля приемника (Боба). За счет этого информация передается лишь
на одной ветке боковых частот, устраняя тем самым проблему с разностью
набега фаз. Приводится описание эксперимента, проходящего в "классиче­
ском"режиме. Это означает, что вместо слабого когерентного света, имеющего
среднее число фотонов на состояния в µ = 0.2, использовался источник мощно­
стью 3мВт. А вместо детектора одиночных фотонов использовался измеритель
мощности. Экспериментальная схема представлена на рисунке 4.
Рисунок 3 — Скорость генерации секретного ключа 𝐾 в зависимости от
длины оптического волокна в системы КРКБЧ, рассчитанная для двух
случаев: без учета дисперсии, с учетом дисперсии в изначальной схеме и с
учетом дисперсии в схеме с компенсацией дисперсии
Данный метод позволил качественно протестировать эффективность пред­
ложенного метода.
Любая модификация в системах КРК требует пересмотра модели секрет­
ности формируемого ключа. Поэтому для системы с предложенным методом
компенсации дисперсии была доработана модель квантового коэффициента
ошибок. Как и в случае модели учитывающей разность набега фаз, возника­
ющий за счет действия хроматической дисперсии, в данной модели основное
отличие идет за счет пересмотра выражения для среднего числа фотонов на
посылку в квантовом канале. На рисунке 3 представлено сравнение скоростей
генерации секретного ключа для случаев канала без влияние дисперсии, канала
21
Рисунок 4 — Оптическая схема КРКБЧ с компенсацией фазового эффекта
хроматической дисперсии №1. Л - лазер NeoPhotonics, ОИ - оптический
изолятор, ФМ - фазовые модуляторы, КП - контроллер поляризации, ИМ измеритель мощности оптический, СФ1, СФ2 и СФ3 - фильтры ВБР
с дисперсией и канала с дисперсией и передачей информации на одной ветви
поднесущих частот модулированного излучения.
(︃ 𝑆 ⃒ 𝑆
∑︁ ⃒⃒ ∑︁
′
′
𝑛𝑝ℎ (φ𝐴 , φ𝐵 ) = µ0 η(𝐿)η𝐵
𝑑𝑆0𝑛′ (ε1 )𝑑𝑆𝑛′ 𝑛 (ε1 )𝑒−𝑖𝑛 (φ𝐴 −φ𝐵 )
⃒
⃒
𝑛=1 𝑛′ =0
⃒2
−1
⃒
√ ∑︁
𝑆
𝑆
−𝑖𝑛′ (φ𝐴 −φ𝐵 ) ⃒
′
+ ϑ
𝑑0𝑛′ (ε1 )𝑑𝑛′ 𝑛 (ε1 )𝑒
⃒
⃒
′
𝑛 =−𝑆
⃒ 𝑆
−1 ⃒ ∑︁
∑︁
′
⃒
+ϑ′′
𝑑𝑆0𝑛′ (ε1 )𝑑𝑆𝑛′ 𝑛 (ε1 )𝑒−𝑖𝑛 (φ𝐴 −φ𝐵 )
⃒
⃒
𝑛=−𝑆 𝑛′ =0
⃒2
−1
⃒
√ ∑︁
′
𝑆
𝑆
−𝑖𝑛 (φ𝐴 −φ𝐵 ) ⃒
′
𝑑0𝑛′ (ε1 )𝑑𝑛′ 𝑛 (ε1 )𝑒
+ ϑ
⃒
⃒
′
𝑛 =−𝑆
⃒ 𝑆
⃒ ∑︁
′
′′′ ⃒
+ϑ ⃒
𝑑𝑆0𝑛′ (ε1 )𝑑𝑆𝑛′ 0 (ε1 )𝑒−𝑖𝑛 (φ𝐴 −φ𝐵 )
⃒ ′
𝑛 =0
⃒2 )︃
−1
⃒
√ ∑︁
𝑆
𝑆
−𝑖𝑛′ (φ𝐴 −φ𝐵 ) ⃒
′
𝑑0𝑛′ (ε1 )𝑑𝑛′ 0 (ε1 )𝑒
+ ϑ
⃒ ,
⃒
′
(7)
𝑛 =−𝑆
В результате было показано, что данный метод компенсации дисперсии не
компрометирует секретность протокола, а ключ может генерироваться на рас­
стояниях выше 100 км, что является показателем близким к использованию
квантового канала без дисперсии.
22
Наконец, в финальной части главы представлено влияние временно́го эффек­
та хроматической дисперсии на видность интерференции в протоколе КРКБЧ.
Показано, что спектральные составляющие сигнальных импульсов, имея раз­
ную групповую скорость, разъезжаются во времени относительно несущей
частоты модулированного излучения. Что в свою очередь также ведет к сниже­
нию видности интерференции. Проведено сравнение видности интерференции
боковых частот с учетом данного эффекта для импульсов трех различных
длительностей: 5.0 нс, 1.0 нс и 0.5 нс (длительность определяется по ширине
гауссовского импульса на половине высоты его пика). Показано, что значения
видности для данных импульсов различаются незначительно для расстояний
до 200 км (Рис. 5), что превышает максимально возможное расстояния, при ко­
тором скорость генерации секретного ключа остается положительной согласно
рисунку 3.
Рисунок 5 — Сравнение видимости боковых частот для гауссовских импульсов
различной ширины
В третьей главе представлен анализ влияния нелинейных шумов, вызван­
ных присутствием информационных каналов сети DWDM, а также перекрест­
ных помех на работу протокола КРКБЧ. Для проведения анализа используются
формулы представленные в разделе 1.10 литературного обзора, позволяющие
рассчитывать мощности рассматриваемых шумов. Перерасчет этих мощностей
в вероятность детектирования шумовых фотонов используется для расчета
23
квантового коэффициента ошибок и скорости генерации секретного ключа. По
данным параметрам ведется оценка функционирования системы квантового
распределения ключа на боковых частотах в присутствии информационных ка­
налов оптической транспортной сети.
В разделе 3.1 представлен учет шумов, рассмотренных в литературном об­
зоре, в формуле квантового коэффициента ошибок системы КРКБЧ. Любой
шум 𝑃𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒 , попадающий в полосу пропускания квантового канала и равномер­
но распределенный во времени, может быть представлен в виде вероятности
срабатывания детектора одиночных фотонов с временем гейта ∆𝑡.
𝑝𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒 =
𝑃𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒
∆𝑡η𝐷 η𝐵 ,
ℎ𝑐/λ𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒
(8)
где λ𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒 - длина волны светового шума, ℎ - постоянная планка, 𝑐 - скорость
света в вакууме, а η𝐵 - коэффициент пропускания модуля приемника.
Таким образом, выражение, описывающее полную вероятность срабатыва­
ния детектора в протоколе КРКБЧ имеет вид:
𝑃𝑑𝑒𝑡 (φ𝐴 ,φ𝐵 ) =
(︂
)︂
𝑛𝑝ℎ (φ𝐴 ,φ𝐵 )
+ γ𝑑𝑎𝑟𝑘 ∆𝑡 + 𝑝𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒
η𝐷
∆𝑇
(9)
Используя данное выражение, мы можем переписать формулу квантового
коэффициента ошибок 10 в виде:
𝑄=
2µτη(1 − ϑ) (1 − cos(∆φ)) + τϑµ0 η + 𝑝𝑑𝑎𝑟𝑘 + 𝑝𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒
,
4µτη(1 − ϑ) + 2τϑµ0 η + 2𝑝𝑑𝑎𝑟𝑘 + 2𝑝𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒
(10)
Где µ - среднее число фотонов на боковых частотах; η = η𝐵 η(𝐿)η𝐷 суммарный оптический коэффициент пропускания, состоящий из потерь на
модуле приемника 1 − η𝐵 , потерь в оптическом волокне 1 − η(𝐿) длины 𝐿 и
эффективности детектора одиночных фотонов η𝐷 ; ϑ - коэффициент показы­
вающий эффективность фильтрации несущей частоты (ϑ = 0 для идеальной
системы); σ - множитель, соответствующий несовпадению индексов модуляции
(σ = 0 для идеальной системы); µ0 - среднее число фотонов на несущей частоте;
𝑝𝑑𝑎𝑟𝑘 = γ𝑑𝑎𝑟𝑘 ∆𝑡 - вероятность темнового отсчета детектора одиночных фотонов.
24
Дополнительные члены, соответствующие наличию шума в оптоволоконном
канале, возникают в числителе и знаменателе этой формулы. В работе рас­
сматриваются три вида шума 𝑝𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒 = 𝑝𝑆𝑝𝑅𝑆 + 𝑝𝐹 𝑊 𝑀 + 𝑝𝐿𝐶𝑋𝑇 . 𝑝𝑆𝑝𝑅𝑆 - шум
от спонтанного комбинационного рассеяния, 𝑝𝐹 𝑊 𝑀 - шум от четырехволнового
смешения и 𝑝𝐿𝐶𝑋𝑇 - шум от перекрестных помех, вызванных неидеальностью
изоляции квантового канала от классических (информационных).
Вводится понятие дальности действия системы, которое определяется как
максимальная длина оптического волокна, при котором скорость генерации сек­
ретного ключа остается положительной. Определение данной характеристики
хорошо иллюстрируется рисунком 6.
Рисунок 6 — Скорость генерации секретного ключа в зависимости от длины
оптического волокна SMF-28, посчитанного для случая расположения
квантового канала системы КРКБЧ в однородной 100 ГГц сетке из 8 каналов.
Рисунок иллюстрирует определение значения дальности действия системы
В разделе 3.2 приводится оптическая схема (Рис. 7) системы совместного
распространения сигналов квантового распределения ключа и сети DWDM в од­
ном оптическом волокне. Для данной схемы приводятся расчеты влияния шума
от спонтанного комбинационного рассеяния. Учет влияния только этого вида
25
нелинейного шума обусловлен тем, что зачастую квантовый канал можно рас­
положить таким образом, что свет, являющийся продуктом четырех-волнового
смешения каналов однородной DWDM сети, не попадет в полосу пропуска­
ния квантового канала. Далее рассматривается функционирование двух типов
систем КРКБЧ: на постоянном излучении и на импульсном. Импульсное из­
лучение получается путем добавления в схему 7 амплитудного модулятора.
Управляя этим модулятором, система может создавать импульсы, которые по
своей длительности не будут превышать времени гейта детектора одиночных
фотонов. Таким образом, в отличие от системы с непрерывным излучением,
сигнал квантового канала будет целиком попадать в гейт детектора, что су­
щественно увеличит соотношение сигнал-шум. Показывается, что импульсный
режим существенно увеличивает дальность действия системы, в силу послед­
него.
Рисунок 7 — Рассматриваемая схема интегрирования системы КРКБЧ в сеть
DWDM (Обе системы работают в С-диапазоне). ИЗО - Оптический изолятор;
ФМ - Фазовый модулятор; АТТ - Аттеньюатор; MUX/DEMUX Мультиплексор/Демультиплексор
Наконец, приводится зависимость дальности действия системы в зависимо­
сти от чувствительности детекторов классических каналов. Демонстрируется,
что в присутствии 40 каналов с чувствительностью 𝑅𝑥 = −23дБм даль­
26
ность действия системы КРКБЧ не превышает 9 км. Существенное увеличение
дальности действия системы в таком случае может быть достигнуто за счет
использования систем с более высокой чувствительностью. Системы когерент­
ного приема обладают чувствительностью до −48дБм, что позволяет увеличить
дальность действия системы в рассматриваемой конфигурации до 90 км. Также
продемонстрировано, что добавления 40 каналов распространяющихся в обрат­
ном направлении с квантовым каналом сокращает дальность действия до 68 км
за счет обратного спонтанного комбинационного рассеяния.
Рисунок 8 — Дальность действия системы КРКБЧ в присутствии 40 каналов
DWDM в зависимости от чувствительности приемника классических каналов
В разделе 3.3, в добавок к спонтанному комбинационному рассеянию, рас­
сматривается влияние четырех-волнового смешения и линейных перекрестных
помех, вызванных неидеальностью изоляции квантового канала от информаци­
онных. Рассмотрение происходит в контексте расположения квантового канала
в однородной сетке стандарта ITU вместе с классическими. Рассматриваются
различные конфигурации сеток по общему числу каналов и расстоянию меж­
ду ними. Показано, что шум от четырех-волнового смешения несущественно
зависит от числа каналов, в то время как шум спонтанного комбинационного
27
рассеяния возрастает. В тоже самое время, шум от четырех-волнового смеше­
ния увеличивается с уменьшением расстояния между каналами сетки. Таким
образом было показано, что шум, возникающий в результате четырех-волнового
смешения, существенен для случаев с малым количеством классических кана­
лов и сеткой с малым расстоянием между каналами. Для магистральных сетей,
с большим количеством каналов в одном волокне, спонтанная комбинационное
рассеяние остается преобладающим источником шума. Наконец, приводятся за­
висимости дальности действия системы квантового распределения ключа на
боковых частотах от количества каналов и полосы пропускания спектрального
фильтра, разделяющего квантовый и информационные каналы. Зависимость
приводится для двух значений чувствительности приемников информационных
каналов 𝑅𝑥 = −23дБм и 𝑅𝑥 = −32дБм. Показано, что для конфигурации с 40
каналами можно добиться дальности действия системы в 32 км, если использо­
вать фильтр с полосой пропускания в 100 МГц.
В разделе 3.4 представлен расчет вышеописанных эффектов для раз­
ных типов оптических волокон. Особый интерес в контексте построения
схем совместного распространения квантового распределения ключа и ин­
формационных каналов оптической транспортной сети представляют волокна
с увеличенной эффективной площадью фундаментальной моды. Для учета
этого параметра, была модифицирована формула расчета мощности шума
спонтанного комбинационного рассеяния. Учитывая тот факт, что мощность
сонаправленного и обратного шума спонтанного комбинационного рассеяния
обратно пропорциональна эффективной площади основной моды волокна, урав­
нение для оптического волокна с произвольной площадью может быть записано
в следующем виде:
𝑃𝑟𝑎𝑚,𝑓 = 𝑃𝑜𝑢𝑡 𝐿
𝑁𝑐ℎ
∑︁
𝑐=1
ρ(λ𝑐 ,λ𝑞 )∆λ ×
𝐴𝑒𝑓 𝑓,𝑆𝑀 𝐹 −28
.
𝐴𝑒𝑓 𝑓
(11)
𝑁
𝑐ℎ
sinh(ξ𝐿) ∑︁
𝐴𝑒𝑓 𝑓,𝑆𝑀 𝐹 −28
𝑃𝑟𝑎𝑚,𝑏 = 𝑃𝑜𝑢𝑡
,
ρ(λ𝑐 ,λ𝑞 )∆λ ×
ξ
𝐴
𝑒𝑓
𝑓
𝑐=1
(12)
28
Формулы, используемые для расчета шума четырех-волнового смешения,
уже учитывали эффективную площадь основной моды волокна, поэтому для
них данной модификации не требовалось.
В расчете рассматривались оптические волокна компании Corning серии
Vascade. Данные волокна используются для построения подводных волоконно­
оптических линий связи и наземных линий связи большой протяженности. В
таких линиях влияние нелинейных эффектов на информационные каналы сети
с частотным уплотнением является существенным, в том числе за счет исполь­
зования рамановских усилителей. В данной работе продемонстрирован расчет
скорости генерации секретного ключа системы квантового распределения клю­
ча на боковых частотах от длины соответствующего типа оптического волокна
для конфигурации DWDM сети с сеткой 100ГГц и числом каналов 40. На ри­
сунке 9 представлены данные зависимости. Этот расчет демонстрирует, что
дальность действия системы можно увеличить на 56% при использовании во­
локна Corning Vascade EX3000, обладающим эффективной модовой площадью
в 153 мкм2 .
Наконец, в разделе 3.5 продемонстрирован анализ конфигурации систе­
мы совместного распространения сигнала системы квантового распределения
ключа на боковых частотах, помещенного на длину волны 1310 нм, с 40 класси­
ческими каналами сети DWDM с сеткой 100ГГц. Перенос квантового канала на
данную длину волны обусловлен существенно меньшим (примерно в 4000 раз)
значением шума спонтанного комбинационного рассеяния. В тоже самое время,
затухание оптического волокна на данной длине волны составляет 0.32 дБ/км,
вместо 0.18 дБ/км для длины волны 1550 нм. Показано, что увеличенное зату­
хание ведет к сокращению дальности действия системы, работающей в темном
волокне, в 2 раза. Однако при рассмотрении функционирования системы в при­
сутствии 40 информационных каналов с межканальным расстоянием в 100ГГц
расчет показывает (Рис. 10), что несмотря на увеличенное затухание оптическо­
го волокна на данной длине волны, дальность действия системы существенно
больше по сравнению с системой работающей на длине волны 1550 нм.
29
Рисунок 9 — Зависимость скорости генерации секретного ключа от длины
оптического волокна системы КРКБЧ в присутствии 40 каналов с сеткой 100
ГГц
В четвертой главе представлены технические рекомендации по созданию
схем совместной передачи квантового канала системы КРКБЧ с информаци­
онными каналами оптической транспортной сети. Рекомендации выведены на
основе проведенных в предыдущих главах исследований. В начале главы, с
помощью математического моделирования, определяется оптимальное среднее
число фотонов на квантовое состояние, полученное с точки зрения увеличения
дальности действия системы. Рисунок 11 показывает, что такое число находит­
ся в диапазоне µ ∈ [0.07, 0.10].
Далее описываются способы борьбы с шумами, вызванными нелинейными
эффектами. В частности, для борьбы с шумом спонтанного комбинационного
рассеяния предлагается использовать узкополосные спектральные фильтры и
уменьшать время гейта детектора одиночных фотонов. Рекомендуется, также,
использовать усилители только после вывода квантового канала из волокна,
используя Add/Drop мультиплексор.
30
Рисунок 10 — Зависимость скорости генерации секретного ключа для случаев
размещения квантового канала в О-диапазоне и С-диапазоне в темных
волокнах и в присутствии 40 каналов сети DWDM с сеткой 100 ГГц
Рисунок 11 — Зависимость дальности действия системы от среднего числа
фотонов на импульс в схеме совместной передачи квантового канала КРКБЧ
и информационных каналов сети DWDM
Для борьбы с шумом от четырех-волнового смешения рекомендуется поме­
щать квантовый канал вне однородной сетки информационных каналов. Для
этого возможно использования спектральных фильтров основанных на волокон­
ных брэговских решетках. Также шума от четырех-волнового смешения можно
31
избежать поместив квантовый канал в О-диапазон (например на длину волны
1310 нм).
При рассмотрении шума линейных перекрестных помех для системы КРКБЧ
работающей в О-диапазоне телекоммуникационного окна показывается, что
уровень экстинкции фильтра, разделяющего квантовый и информационные
каналы, должен превышать 120дБ, для достижения наибольшей дальности дей­
ствия системы. Данная рекомендация определяется из графика зависимость
дальности действия системы от экстинкции фильтра. Использование лишь од­
ного коммерчески доступного фильтра не позволяет добиться такого уровня
экстинкции, поэтому была предложена оптическая схема с каскадом оптических
фильтров (Рис. 12). На данной схеме используются два фильтра на волоконных
брэговских решетках (СФ1 и СФ2), а также тонкопленочный фильтр (DWDM
фильтр).
Наконец, приводится перечень методических рекомендаций по построению
схемы совместного распространения системы КРКБЧ и информационных ка­
налов оптической транспортной сети.
В заключении подведены итоги диссертационной работы, а также приведе­
ны основные результаты проведенных исследований.
Основные результаты диссертации и выводы
В работе представлено исследование на тему функционирования системы
квантового распределения ключа на боковых частотах в оптической транспорт­
ной сети, в том числе в присутствии информационных каналов с частотным
уплотнением.
В Главе 1 представлен литературный обзор по теме диссертационной работы.
В Главе 2 исследовано влияние хроматической дисперсии оптического волок­
на на функционирования системы квантового распределения ключа на боковых
частотах. Представлены оптическая и квантовая модели рассматриваемой си­
стемы с учетом хроматической дисперсии волоконного канала. Показано, что
32
Рисунок 12 — Схема приемника системы совместной передачи
квантовогоканала КРКБЧ и информационных каналов с
предусилениеминформационных каналов и каскадом спектральных фильтров.
DEMUX - демультиплексор, ФМ - фазовый модулятор, СФ1 и СФ2 спектральные фильтры, ДОФ - детектор одиночных фотонов, ПСД поляризационный светоделитель и УС - оптический волоконный усилитель
разность набега фаз боковых частот, возникающей в результате влияния дис­
персии, ведет снижению видность интерференции боковых частот на стороне
Боба. Данный эффект продемонстрирован с помощью аналитической модели,
численной модели, а также экспериментально. Выведена модель квантового ко­
эффициента ошибок и скорости генерации секретного ключа с учетом данного
эффекта. Расчет по данной модели продемонстрировал невозможность генера­
ции секретного ключа на расстояниях больше 53 км.
Был предложен метод компенсации данного эффекта, основанный на пе­
редаче квантового сигнала на одной боковой частоте фазомодулированного
излучения. Эффективность данного метода была подтверждена с помощью чис­
ленной модели и экспериментально.
33
Наконец, был изучен временной эффект хроматической дисперсии. Показа­
но, что разность групповых скоростей для боковых частот модулированного из­
лучения, ведет к временному сдвигу соответствующих спектральных компонент
сигнального импульса. Проведен расчет зависимости видности интерференции
от длины оптического волокна для трех разных длительностей импульса (5.0
нс, 1.0 нс и 0.5 нс). Показано, что до 200 км видность интерференции для этих
трех случаев различается несущественно.
В Главе 3 представлено исследование влияния шумов, вызванных при­
сутствием классических каналов оптической транспортной сети с плотным
частотным уплотнением. Представлена математическая модель коэффициен­
та квантовых ошибок, учитывающая наличие этих шумов. Показано, что шум
от спонтанного комбинационного рассеяния имеет наибольшее влияние, по
сравнению с остальными видами шумов для случая, когда квантовый канал
помещается в один диапазон с информационными. Также показано, что шум
от четырехволнового смешения является существенным для случаев, когда
квантовый канал находится в однородной сетке небольшого числа каналов. Про­
демонстрировано, что, в случае помещения квантового канала в С-диапазон, в
присутствии 40 информационных каналов 10G дальность действия системы не
превышает 10 км.
Представлена модель шума спонтанного комбинационного рассеяния для оп­
тических волокон с увеличенной площадью фундаментальной моды. На основе
модели проведен расчет зависимость скорости генерации секретного ключа от
длины волоконного канала для разных типов оптических волокон. Показано,
что в случае использования волокна с эффективной площадью моды в 153
мкм2 , 53%.
Наконец, в данной главе демонстрируется, что при помещении квантового
канала в О-диапазон, системы КРКБЧ обладает существенно большей даль­
ностью действия системы в присутствии 40 информационных каналов 10G с
чувствительностью приемников в -23дБм.
В Главе 4 представлены методические рекомендации по построению схемы
совместного распространения системы квантового распределения ключа на бо­
34
ковых частотах и информационных каналов оптической транспортной сети. В
частности продемонстрирована возможность оптимизации среднего числа фо­
тонов на посылку в квантовом канале для достижения большей дальности
действия системы. Приведены способы снижения мощностей шумов, вызван­
ных нелинейными эффектами. В частности, рекомендуется уменьшать время
гейта детектора одиночных фотонов и снижать полосу пропускания спектраль­
ного фильтра, разделяющего квантовый и информационные каналы. Выведен
необходимый уровень экстинкции для системы квантового распределения клю­
ча на боковых частотах, работающей в О-диапазоне. На основе рекомендаций
предложена оптическая схема приемника схемы совместного распространения
квантового канала системы квантового распределения ключа на боковых часто­
тах и информационных каналов оптической транспортной сети.
Публикации по теме диссертации
1. Kiselev F.D.., Goncharov R.K., Veselkova N.G., Samsonov E.O., Kiselev
A.D., Egorov V.I. Performance of subcarrier-wave quantum key distribution
in the presence of spontaneous Raman scattering noise generated by classical
DWDM channels // Journal of the Optical Society of America B: Optical
Physics - 2021, Vol. 38, No. 2, pp. 595-601
2. Kiselev F.D. , Samsonov E.O., Goncharov R.K, Chistiakov V.V, Halturinsky
A.K., Egorov V.I., Kozubov A.V., Gaidash A.A., Gleim A.V. Analysis of the
chromatic dispersion effect on the subcarrier wave QKD system // Optics
express - 2020, Vol. 28, No. 19, pp. 28696-28712.
3. Samsonov E.O., Kiselev F.D., Shmelev Y.O., Egorov V.I., Goncharov
R.K., Santev A.A., Pervushin B.E., Gleim A.V. Modeling two-qubit Grover’s
algorithm implementation in a linear optical chip // Physica Scripta - 2020,
Vol. 95, No. 4, pp. 045102
4. Kiselev F.D., Samsonov E.O., Gleim A.V. Modeling of linear optical
controlled-z quantum gate with dimensional errors of passive components
35
// Наносистемы: Физика, химия, математика = Nanosystems: Physics,
Chemistry, Mathematics - 2019, Vol. 10, No. 6, pp. 627-631
5. Gerasimenko V.S., Gerasimenko N.D., Kiselev F.D. Numerical modelling of
an error of manufacturing of ion-exchange waveguide for the tasks of quantum
computations // Journal of Physics: Conference Series - 2019, Vol. 1410, No.
1, pp. 012136
6. Kiselev F.D., Veselkova N.G., Goncharov R.K., Egorov V.I. A theoretical
study of subcarrier-wave quantum key distribution system integration with an
optical transport network utilizing dense wavelength division multiplexing //
Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics - 2021, Vol. 54,
No. 13, pp. 135502
36
Synopsis
General thesis summary
Relevance
Quantum key distribution (QKD) is a promising application in the field of quantum
informatics, which allows to form symmetric bit sequences for two or more parties
protected from an eavesdropper by the fundamental laws of quantum mechanics
[1–3]. Photons act as information carriers. Bits are encoded, for example, using
their polarization or phase states. These quantum states of light are prepared by
the sender (Alice) in one of the randomly selected bases and then sent through the
quantum channel to the receiving side (Bob). The channel in this situation can be
both optical fiber, which is actively used in modern communication lines, as well as
free space. On Bob’s side, the transferred state is measured in one of the bases chosen
by Bob randomly and independently of Alice, the single-photon detector clicks in
case of coincidence of the selected bases. Information security in this case is ensured
by the fact that according to quantum mechanics, an eavesdropper cannot access
the quantum state without changing it, which in turn can be immediately noticed
by the Alice and Bob [4; 5]. The possibility of using fiber-optic communication lines
(FOCL) makes this technology especially attractive for its implementation in the
existing infrastructure.
As in the case of classical networks utilizing FOCL, the quantum signal of the
QKD system will undergo changes introduced by the media of optical fiber, caused
by such effects as attenuation, chromatic dispersion, as well as noise caused by
nonlinear effects [6; 7]. The importance of taking these effects into account becomes
especially acute in cases of long fiber-optic channels or in the presence of classical
singal from systems with dense wavelength division multiplexing (DWDM) within
37
the same fiber, through which the QKD signal propagates. This is due to the fact,
that quantum channel has extremely low power - mean photon number per coherent
state, used in such systems, is less than unity [8; 9].
Functioning of QKD system in such circumstances are achieved by optimizing
its parameters, for example, the average number of photons per pulse for protocols
using coherent light states, as well as through the use of superconducting detectors
with high detection efficiency and low dark count noise [10–12]. However, to achieve
fiber-optic channel lengths for QKD systems greater than 100 km, dark fiber is
required, in other words, only the QKD system signal must be present in the fiber.
In the context of the rapid growth of traffic, the allocation of dark fibers for the
installation of a QKD system may not be economically viable, therefore, the study
of the possibility of integrating a quantum channel with information channels of
DWDM systems is also of great interest. It has been shown [6; 13–15] that the main
sources of noise in this case are nonlinear spontaneous Raman scattering (SpRS) and
four-wave mixing (FWM) noises. Another source of noise is linear channel cross-talk
caused by information channels due to imperfect extinction of filters used to isolate
the quantum channel from information channels.
One of the promising types of QKD systems is the subcarrier-wave quantum key
distribution (SCW QKD) [16–18]. In this system, bits are encoded in the phase
of sidebands of the phase-modulated attenuated coherent light. This ensures high
resistance to external factors and spectral efficiency. This system has not yet been
investigated for the possibility of integrating with DWDM systems in existing fiber­
optic communication lines. So the goal of this thesis is to study the influence of such
nonlinear effects, that appear in the presence of information channels, as well as the
influence of chromatic dispersion on SCW QKD protocol.
The goal
Theoretical study of subcarrier-wave quantum key distribution integrated into
an optical transport network, including simultaneous propagation with classical
38
(information) channels using wavelength division multiplexing within the same
optical fiber.
In order to achieve the goal in the framework of the thesis, the following objectives
have been established:
Objectives
1. Studying the influence of chromatic dispersion of an optical fiber on the
propagation of phase-modulated radiation and the operation of the subcarrier­
wave quantum key distribution system.
2. Studying the influence of noise caused by such nonlinear effects as spontaneous
Raman scattering and four-wave mixing.
3. Deriving recommendations on configurations of the subcarrier-wave quantum
key distribution system and information channels with frequency division to
achieve simultaneous functioning in metropolitan and backbone networks.
Assertions that are presented for defense
The proposed method for compensating for the effect of chromatic dispersion on
the operation of the subcarrier-wave quantum key distribution protocol, based on
the introduction of additional filtering into the system and signal transmission
at only one of the side frequencies, allows the implementation of the quantum
communication protocol at a distance of more than 100 km.
Mathematical model is developed, that makes it possible to calculate the
characteristics of the subcarrier-wave quantum key distribution protocol during
the simultaneous propagation of quantum and classical DWDM network channels
39
in one optical fiber, as well as to optimize their parameters to achieve a greater
range or key generation rate.
Placing the quantum channel of the subcarrier-wave quantum key distribution
system at a wavelength of 1310 nm allows to reach QKD range of more than 50
km in the presence of 40 information channels of the DWDM network located in
the C-band.
Reducing the power of the duplex synchronization channels required for the
operation of the subcarrier-wave quantum key distribution protocol to values
corresponding to the receiver sensitivity of -32 dBm, allows the signal of the
synchronization channels to be transmitted in the same fiber with the quantum
channel and to achieve QKD range of more than 60 km.
The novelty of research
This paper is the first study of the effects of chromatic dispersion and nonlinear
effects on the functioning of quantum communications that uses sideband frequencies
of modulated light propagating at the same time with the information channels
of the optical transport network. A detailed description of the model of sideband
interference visibility and quantum error rate that takes into account the effects
of chromatic dispersion is presented. An original scheme is proposed to avoid the
influence of chromatic dispersion on the interference visibility and the secret key
generation rate. The scheme is based on the inclusion of an additional spectral filters
that allow the signal to be transmitted at one subcarrier frequency of the modulated
light. For the first time the effect of the time shift of spectral components of the
phase-modulated pulsed light on the interference visibility in such a system was
considered.
For the first time, a model of the quantum error rate of a subcarrier wave quantum
key distribution system at side frequencies is presented that takes into account the
presence of noises caused by nonlinear effects in the fiber channel. A description of
40
quantum and information channel configurations under consideration is presented,
including: location of a quantum channel in the C-band of telecommunication
window outside the uniform information channel grid, location of a quantum channel
in the C-band of telecommunication window at a wavelength from the set of
information channels of the uniform frequency grid, location of a quantum channel
at 1310 nm in the O-band of telecommunication window. An original model of
forward and backward noise of spontaneous Raman scattering is presented, taking
into account the effective area of the fundamental mode of the optical fiber.
For the first time an optical scheme of a reciever side of the system simultaneous
propagation of SCW QKD quantum channel and information channels of optical
transport network with frequency division multiplexing is proposed. Methodological
recommendations for the construction of such schemes are derived.
The practical significance
Studies in this area will allow to develop technical solutions for simultaneous
transmission of the quantum channel of the SCW QKD system and information
channels of DWDM systems in a single optical fiber. The numerical models presented
in this paper can be used to optimize these networks to achieve the best performance.
The proposed method of dispersion compensation will make it possible to create
a SCW quantum communication device without using expensive commercially
available compensation devices.
The proposed solutions will reduce the cost of installing QKD systems through
easier integration with fiber optical communication systems. The proposed
dispersion compensation method allows the quantum signal to be transmitted over
long distances without the need to use standard analog approaches to dispersion
compensation, such as Bragg gratings or specialized biased dispersion fibers.
The proposed recommendations for the implementation of the SCW QKD system
in optical transport networks with wavelength division multiplexing will be used in
the construction of quantum networks.
41
The accuracy
The reliability of the results of the dissertation work is ensured by the coincidence
of the obtained theoretical data with the experiment. The results of the work
have been repeatedly presented at international scientific conferences and have
been published in peer-reviewed scientific journals, including first quartile Scopus
journals. The results were used in the implementation of work under the project State
Assignment No. 2019-0903 and under the project of the Leading Research Center
“National Center of Quantum Internet” of ITMO University during implementation
of the government support program, with financial support of the Ministry of Digital
Development, Communications and Mass Media of the Russian Federation and RVC
JSC; Grant Agreement ID: 0000000007119P190002, agreement No. 006-20 dated
27.03.2020.
Approbation of research results
The main results on the topic of the dissertation were reported at the following
conferences:
1. XLIX scientific and educational methodological conference of ITMO University,
29.01.2020 - 01.02.2020, Russia, St. Petersburg;
2. XI International Conference "Fundamental Problems of Optics-2019 21.10.2019 25.10.2019, Russia, St. Petersburg;
3. Fiftieth Scientific and Educational-Methodological Conference of ITMO
University, 02/01/2021 - 02/04/2021, Russia, St. Petersburg;
4. XII International Conference "Fundamental Problems of Optics"(FPO-2020),
19.10.2020 - 23.10.2020, Russia, St. Petersburg;
5. International Conference on Electronics, Telecommunications and Information
Technology (YETI-2020), 10.07.2020 - 07/11/2020, Russia, St. Petersburg;
42
6. III International Conference "Photonics and Quantum Technologies 17.12.2020 18.12.2020, Russia, Kazan;
7. IX Congress of Young Scientists, 15.04.2020 - 18.04.2020, Russia, St. Petersburg;
8. 6th International School and Conference on Optoelectronics, Photonics and
Nanostructures "Saint Petersburg OPEN 2019 22.04.2019 - 25.04.2019, Russia,
St. Petersburg;
9. XVI International Conference on Quantum Optics and Quantum Information
(ICQOQI 2019), 13.05.2019–17.05.2019, Belarus, Minsk;
10. International Conference on Quantum Technologies: Quantum Information and
Measurement (QIM 2019), 04/04/2019 - 04/06/2019, Italy, Rome;
Publications
The main results on the topic of the thesis are presented in 6 publications [19–24],
published in publications indexed in Web of Science and/or Scopus citation
databases.
Thesis structure and number of pages
The dissertation consists of an introduction, four chapters, a conclusion, and texts
of publications. The full volume of the dissertation is 208 pages with 60 figures and
6 tables. The list of references contains 116 titles.
Contents of work
The introduction provides a rationale for the relevance of presented research, as
well as the formulation of the goals and objectives of the work. Further, the scientific
43
novelty and practical significance of the results obtained in the work are introduced
to the reader.
The first chapter provides a literature overview on the topic of the dissertation.
At the beginning of this chapter, the concepts of quantum technologies and, in
particular, quantum communications are introduced. The relevance of research on
this topic is discussed. After that, a description of the protocol of subcarrier-wave
quantum key distribution (SCW QKD) that utilizes phase-modulated coherent
light and the fundamentals of optical transport networks are presented, including
description of a fiber-optic communication channel, systems wavelength division
multiplexing (DWDM) and sources of nonlinear noise. Finally, actual mathematical
models and results on the topic of co-propagation of quantum and classical signal
within an optical transport network for various QKD systems are presented.
section 1.1 provides an overview of quantum technologies. The basic concepts
of quantum key distribution systems are introduced and the relevance of research
on this topic is revealed.
section 1.2 details the concept of quantum key distribution using the example
of the protocols BB84 and B92. Principles of operation are explained. Definitions
of basis and states are presented.
Then, in section 1.3, we describe the principles of operation of the subcarrier­
wave quantum key distribution that utilizes coherent phase-modulated light. The
scheme of this protocol is shown in the figure 1.
This protocol uses the phase of the subcarrier frequencies of the phase-modulated
light to encode the states. The section provides basic equations and conceptually
shows how Alice generates states, and how Bob measures these states by performing
repetitive modulation with a randomly chosen phase.
Section 1.4 introduces the main characteristics of a subcarrier-wave quantum
key distribution system. This section provides formulas for calculating quantum
bit error rate (QBER) and the secret key generation rate, which further, within
the framework of the thesis, will be modified to take into account the influence of
chromatic dispersion and noise caused by nonlinear effects due to the presence of
44
Figure 1 — Optical scheme of SCW QKD system
information channels of the optical transport network. The equation for calculating
the quantum error rate is as follows:
𝑄=
2µτη(1 − ϑ) (1 − cos(∆φ)) + τϑµ0 η + 𝑝𝑑𝑎𝑟𝑘
,
4µτη(1 − ϑ) + 2τϑµ0 η + 2𝑝𝑑𝑎𝑟𝑘
(13)
Where µ is the average photon number at sideband frequencies; η = η𝐵 η( 𝐿)η𝐷 is
the total transmittance of the channel, which consists of losses at the receiver module
1 − η𝐵 , losses in the optical fiber 1 − η( 𝐿) of length 𝐿 and efficiency of the single
photon detector η𝐷 ; ϑ - coefficient showing the efficiency of carrier filtering (ϑ = 0
for an ideal system); σ - multiplier corresponding to the mismatch of modulation
indices (σ = 0 for an ideal system); µ0 - average number of photons at the carrier
frequency; 𝑝𝑑𝑎𝑟𝑘 = γ𝑑𝑎𝑟𝑘 ∆𝑡 - dark count probability of the single photon detector.
Equation for secret key generation rate has the following form:
𝐾 = 𝑣𝑆 𝑃𝐵
[︁
]︁
1 − leak𝐸𝐶 (𝑄) − max χ(𝐴 : 𝐸) ,
𝐸
(14)
Where 𝑣𝑆 is the modulation frequency; 𝑃𝐵 = (1 − 𝐺)/𝑁 - the probability of the
detector triggering if Bob guesses the basis (N is the number of bases); leak𝐸𝐶 (𝑄) -
amount of information disclosed by Alice during error correction; max𝐸 χ(𝐴 : 𝐸) Holevo information limited by the maximum amount of information available to Eve.
section 1.5 discusses fiber optic communication. The latest developments in
the field of fiber-optic communication lines are presented. The basic properties
45
and characteristics of standard single-mode optical fiber, which is most commonly
used in the construction of optical transport networks, are disclosed. The concepts
of telecommunication window ranges are also introduced, with the corresponding
wavelength ranges being given.
In section 1.6 a description of spectral multiplexing technologies in optical
networks is given. The concepts of coarse spectral multiplexing (CWDM) and dense
spectral multiplexing (DWDM) are introduced and disclosed. Current technological
solutions in this area are presented
In section 1.7 a description of the chromatic dispersion in an optical fiber is
presented. The decomposition of the optical signal propagation constant into a
Taylor series and the relationship of its coefficients with the dispersion parameter
of the optical fiber and the group velocity are described. Methods of modeling the
optical signal propagation in a fiber with this phenomenon in mind are also given.
In sections 1.8 describes the phenomenon of spontaneous Raman scattering.
Information about the history of the discovery of this type of scattering, as well as
the physical reasons for its occurrence is given. The characteristic noise spectrum of
spontaneous Raman scattering for a single-mode fiber is given.
In sections 1.9 the phenomenon of four-wave mixing is described. Its effect on
the functioning of the optical transport network is described.
Finally, in section 1.10 a review of current work on multiplexing of quantum
and classical channels is given. The basic methods used to model the effect of noise
caused by nonlinear effects on the performance of a quantum key distribution system
are introduced. Formulas for calculating noises of spontaneous Raman scattering,
four-wave mixing, and linear channel crosstalk caused by non-ideality of spectral
filters and its level of isolation of quantum channel are given.
The second chapter is devoted to the study of the operation of the SCW
QKD system, with chromatic dispersion taken into account. An analytical model
is presented that qualitatively shows the non-uniformity of the phase incursion in
the spectrum of side frequencies and its effect on the interference visibility in the
system. The analytical model is based on two important simplifications. The first
simplification involves the expansion of the propagation constant of the optical
46
fiber in a Taylor series near the carrier wavelength of the SCW QKD system.
This decomposition makes it possible to use the technical parameters of optical
fibers for modeling and simplifies further consideration of the problem. The second
simplification relies on expanding the phase-modulated field in a Taylor series and
considers only its first two terms, which essentially means consideration the sideband
frequencies of the first order. As a result of the conducted analytics, the so-called
phase effect of chromatic dispersion was revealed in the SCW QKD protocol. A
feature of this dispersion effect for this protocol is the fact that in the case when
the difference between the phase incursions of the left and right sidebands is π, the
interference visibility becomes zero after second modulation at the receiver side. In
this case, the effect of dispersion cannot be compensated for by tuning phase of
modulators at Alice’s or Bob’s sides. The basic equation 15, obtained within the
framework of this model, shows this feature.
⃒
⃒
𝑉 = ⃒𝑐𝑜𝑠(𝐿β2 Ω2 /2)⃒
(15)
Next, a numerical approach to modeling of the effect of chromatic dispersion
by solving the nonlinear Schrendinger equation in Fourier space is described and
the result of a comparison of analytical and numerical models, as well as the
experimental data obtained as a result of an experiment with classical fields, is
presented (Fig. 2). In this experiment, an optical scheme with a powerful radiation
source and a power meter was used. Such a setup cannot be used to implement a
quantum key distribution, but it is excellent for confirming the simulation results,
since the coherent states used in the QRCSC are, in fact, classical laser light,
attenuated to a certain value.
The following is a description of the model of the quantum bit error rate (QBER)
and the secret key generation rate, which also takes into account the effect of
chromatic dispersion. The model is based on the introduction of additional factors
∆1 and ∆2 into the expressions that describe the average numbers of photons of a
quantum signal that appear as a result of changes in the constructive and destructive
interference of side frequencies:
47
Figure 2 — Interference visibility in SCW QKD scheme versus the optical fiber
length
)︁
⃒ 𝑆 ′ ⃒2 )︁
⃒
⃒
+ ∆1 ,
µ0 1 − (1 − ϑ) 𝑑00 (ε )
(︁ (︁
)︁
⃒ 𝑆 ′ ⃒2 )︁
′
⃒
⃒
𝑛𝑝ℎ (0, π + ∆φ) = η(𝐿)η𝐵 µ0 1 − (1 − ϑ) 𝑑00 (ε )
+ ∆2 ,
𝑛′𝑝ℎ (0, ∆φ) = η(𝐿)η𝐵
(︁
(︁
(16)
(17)
Adjusted values of 𝑛′𝑝ℎ affect the click probability of the single photon detector,
which in turn leads to recalculation of the QBER and the secret key generation rate
according to the formulas 13 and 14.
(︂
)︂
𝑛′𝑝ℎ (φ𝐴 , φ𝐵 )
𝑃𝑑𝑒𝑡 (φ𝐴 , φ𝐵 ) = η𝐷
+ γ𝑑𝑎𝑟𝑘 ∆𝑡,
(18)
𝑇
where η𝐷 is the quantum efficiency of the detector; γ𝑑𝑎𝑟𝑘 is the dark count rate
of the detector; ∆𝑇 is the time window, and ∆𝑡 ⩽ ∆ T is the gate opening time
if present and ∆𝑡 = ∆𝑇 if not.
Simulations show that the secret key generation rate falls down to 0 after 53 km
of SMF-28 optical fiber.
Simulations show that the secret key is no longer generated after 53 km of SMF-28
optical fiber.
Following this, a compensation method for the phase effect of chromatic
dispersion is proposed. The method is based on the introduction of an additional
48
filter into the optical scheme of the receiver module (Bob). Due to this, information is
transmitted using only one sideband frequencies (left or right relative to the carrier),
thereby eliminating the problem with the phase incursion difference. A description
of the experiment taking place in the "classical"mode is given. This means that
instead of weak coherent light, which has an average number of photons per state
of µ = 0.2, a 3mW source was used. And instead of a detector of single photons a
power meter was used. The experimental scheme is shown in figure 4.
All sidebands (no dispersion)
All sidebands (with dispersion)
Right sidebands (with dispersion)
105
K, bit/s
104
1000
100
10
0
50
100
150
200
250
L, km
Figure 3 — Secret key generation rate 𝐾 versus optical fiber length for SCW QKD
system calculated for two cases: with the effecto of chromatic dispersion, without
the effect of chromatic dispersion
This approach allows to test proposed dispersion compensation method.
Any modification of QKD systems requires a revision of the secrecy model of the
generated key. Therefore, for the system with the proposed dispersion compensation
method, the quantum model was refined. As in the case of the model that takes into
account the phase incursion difference arising from the effect of chromatic dispersion,
in this model the main difference is due to the revision of the expression for the
average number of photons per state in the quantum channel.
49
Figure 4 — Optical scheme of SCW QKD system with chromatic dispersion
compensation. L - NeoPhotonics laser, ISO - optical isolator, PM1 and PM2 phase modulators, PC - polarization controller, PwM - optical power meter, SF1,
SF2 SF3 - FBG spectral filters
(︃ 𝑆 ⃒ 𝑆
∑︁ ⃒⃒ ∑︁
′
′
𝑛𝑝ℎ (φ𝐴 , φ𝐵 ) = µ0 η(𝐿)η𝐵
𝑑𝑆0𝑛′ (ε1 )𝑑𝑆𝑛′ 𝑛 (ε1 )𝑒−𝑖𝑛 (φ𝐴 −φ𝐵 )
⃒
⃒
𝑛=1 𝑛′ =0
⃒2
−1
⃒
√ ∑︁
𝑆
𝑆
−𝑖𝑛′ (φ𝐴 −φ𝐵 ) ⃒
′
𝑑0𝑛′ (ε1 )𝑑𝑛′ 𝑛 (ε1 )𝑒
+ ϑ
⃒
⃒
′
𝑛 =−𝑆
⃒
−1 ⃒ ∑︁
𝑆
∑︁
′
⃒
′′
+ϑ
𝑑𝑆0𝑛′ (ε1 )𝑑𝑆𝑛′ 𝑛 (ε1 )𝑒−𝑖𝑛 (φ𝐴 −φ𝐵 )
⃒
⃒
𝑛=−𝑆 𝑛′ =0
⃒2
−1
⃒
√ ∑︁
′
𝑆
𝑆
−𝑖𝑛 (φ𝐴 −φ𝐵 ) ⃒
′
𝑑0𝑛′ (ε1 )𝑑𝑛′ 𝑛 (ε1 )𝑒
+ ϑ
⃒
⃒
′
𝑛 =−𝑆
⃒ 𝑆
⃒ ∑︁
′
′′′ ⃒
+ϑ ⃒
𝑑𝑆0𝑛′ (ε1 )𝑑𝑆𝑛′ 0 (ε1 )𝑒−𝑖𝑛 (φ𝐴 −φ𝐵 )
⃒ ′
𝑛 =0
⃒2 )︃
−1
⃒
∑︁
√
𝑆
𝑆
−𝑖𝑛′ (φ𝐴 −φ𝐵 ) ⃒
′
𝑑0𝑛′ (ε1 )𝑑𝑛′ 0 (ε1 )𝑒
+ ϑ
⃒ ,
⃒
′
(19)
𝑛 =−𝑆
As a result, it was shown that this dispersion compensation method does not
compromise the secrecy of the protocol, and the key can be generated at distances
exceeding 100 km, which is an indicator close to using a dispersionless quantum
channel.
50
Finally, in the final part of the chapter, the effect of the temporal effect of
chromatic dispersion on the visibility of interference in the SCW QKD protocol
is presented. It is shown that the spectral components of the signal pulses, having
different group velocity, move apart in time relative to the carrier frequency of
the modulated radiation. This, in turn, also leads to a decrease in the visibility
of interference. We have compared the perceptibility of the interference of side
frequencies taking into account this effect for pulses of three different durations:
5.0 ns, 1.0 ns and 0.5 ns (the duration is determined by the width of the Gaussian
pulse at half the height of its peak). It is shown that the visibility values for these
pulses differ insignificantly for distances up to 200 km (Figure 5), which exceeds
the maximum possible distance at which the rate of generation of the secret key
remains positive according to the figure 3.
Figure 5 — Comparison of interference visibility for different pulse widths of the
quantum signal
Chapter 3 presents the analysis of the influence of noise due to nonlinear effects
in optical fiber caused by the presence of DWDM network traffic channels, as well
as crosstalk on the operation of the SCW QKD protocol. The formulas presented
in section 1.10 of the literature review, which allow calculating the power of the
considered noise, are used for the analysis. Recalculation of these powers in the
probability of detecting noise photons is used to calculate the quantum bit error
rate and the secret key generation rate. These parameters are used to evaluate the
51
functioning of subcarrier wave quantum key distribution system in the presence of
information channels of optical transport network.
In section 3.1, the noise considered in the literature review is taken into account
in the formula for the quantum error rate of the SCW QKD system. Any noise
uniformly distributed in time can be represented as the probability of a single photon
detector click with a given gate time ∆𝑡.
𝑃𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒
∆𝑡η𝐷 η𝐵 ,
ℎ𝑐/λ𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒
Where λ𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒 - wavelength of the noise photons.
𝑝𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒 =
(20)
Thus, the expression describing the total probability of the detector to produce
a click in the SCW QKD protocol is described by the form
(︂
)︂
𝑛𝑝ℎ (φ𝐴 ,φ𝐵 )
𝑃𝑑𝑒𝑡 (φ𝐴 ,φ𝐵 ) = η𝐷
+ γ𝑑𝑎𝑟𝑘 ∆𝑡 + 𝑝𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒
(21)
∆𝑇
Using this expression, we can rewrite the formula for the quantum bit error
rate 13 as:
2µτη(1 − ϑ) (1 − cos(∆φ)) + τϑµ0 η + 𝑝𝑑𝑎𝑟𝑘 + 𝑝𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒
,
(22)
4µτη(1 − ϑ) + 2τϑµ0 η + 2𝑝𝑑𝑎𝑟𝑘 + 2𝑝𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒
Where µ - mean photon number at subcarriers; η = η𝐵 η(𝐿)η𝐷 - total optical
𝑄=
transmittance, that accounts for losses at the receiver module 1 − η𝐵 , losses in the
optical fiber 1−η(𝐿) length 𝐿 and single photon detector efficiency η𝐷 ; ϑ - coefficient
showing carrier frequency filtering efficiency (ϑ = 0 for ideal system); σ - multiplier
corresponding to modulation index mismatch (σ = 0 for ideal system); µ0 - mean
photon number at carrier frequency; 𝑝𝑑𝑎𝑟𝑘 = γ𝑑𝑎𝑟𝑘 ∆𝑡 - probability of dark counting
of single photons detector.
Additional terms appear in the numerator and denominator of this formula. This
thesis considers three types of noise 𝑝𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒 = 𝑝𝑆𝑝𝑅𝑆 + 𝑝𝐹 𝑊 𝑀 + 𝑝𝐿𝐶𝑋𝑇 . 𝑝𝑆𝑝𝑅𝑆 - noise
from spontaneous Raman scattering, 𝑝𝐹 𝑊 𝑀 - noise from four-wave mixing and 𝑝𝐿𝐶𝑋𝑇
- noise from crosstalk caused by imperfect isolation of the quantum channel from
classical (information) ones.
The concept of the system’s maximum distance is introduced, which is defined as
the maximum length of an optical fiber at which the rate of secret key generation
52
remains positive. The definition of this characteristic is well illustrated in the figure
6. Finally, the parameters of the considered fiber optic link and the subcarrier wave
quantum key distribution system are given.
Figure 6 — Secret key generation rate vs optical fiber length calculated for 8
channel 100 GHz DWDM grid with one channel being quantum. Figure illustrates
the definition of maximum distance
In Section 3.2 one of the proposed optical schemes (Fig. 7) of a system of
joint distribution of QKD signal and a DWDM network within one optical fiber is
given. For this scheme, calculation of the effect of noise from spontaneous Raman
scattering is presented. Consideration of only this type of nonlinear noise can be
often justified by the fact that the quantum channel can be positioned in such a way
that the light, which is a product of four-wave mixing of channels of a homogeneous
DWDM network, does not fall into the quantum channel bandwidth. Further, the
operation of two types of SCW QKD systems is considered: continuous wave and
pulsed. Pulsed light is obtained by including an amplitude modulator to the circuit
7. Through control of this modulator, the system can produce pulses duration of
which are no longer than the gate time of the single photon detector. Thus, unlike
a system with continuous wave operation, the signal of the quantum channel will
53
be contained entirely within the detector gate, which will significantly increase the
signal-to-noise ratio. It is shown that the pulse regime significantly increases the
range of the system, due to the latter.
Figure 7 — Proposed optical scheme of SCW QKD system integrated with
classical DWDM network (Both operating in C-Band). ISO - Optical isolator; PM
- Phase modulator; ATT - attenuator; MUX/DEMUX - DWDM Multiplexer and
demultiplexer
Finally, the dependence of the range of the system on the sensitivity of the
detectors of information channels is given. It is demonstrated that in the presence
of 40 channels with sensitivity 𝑅𝑥 = −23dBm the range of the SCW QKD system
does not exceed 9 km. A significant increase in the range of the system in such a
case can be achieved by using systems with higher sensitivity. Coherent detection
systems have sensitivity up to −48dBm, which allows to increase the range of the
system in this configuration up to 90 km. It has also been demonstrated that adding
40 channels propagating backward with a quantum channel reduces the range to 68
km due to backward spontaneous Raman scattering.
Section 3.3 discusses the effects of FWM and crosstalk caused by the lack of
isolation of a quantum channel from a classical ones. The examination takes place
in the context of the quantum channel allocation within a uniform grid of the ITU
100
54
CW, Forward
CW, Forward + Backward
Pulsed, Forward
Pulsed, Forward + Backward
Maximum achievable distance
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
Receiver sensitivity, dBm
Figure 8 — Range of operation of the SCW QKD system in the presence of 40
DWDM channels as a function of the receiver sensitivity of the information
channels
standard together with the classical ones. Various frequency grids are considered in
terms of the total number of channels as well as the distance between them. It is
shown that the noise from four-wave mixing does not depend significantly on the
number of channels, while the noise from spontaneous Raman scattering increases.
At the same time, the noise from four-wave mixing increases as the distance between
the grid channels decreases. Thus, it has been shown that the noise resulting from
four-wave mixing is significant for cases with a small number of classical channels and
a grid with a small channel spacing. For backbone networks, with a large number of
channels in a single fiber, spontaneous Raman scattering remains the predominant
source of noise. Finally, the dependences of the range of the quantum key distribution
system at side frequencies on the number of channels and bandwidth of the spectral
filter separating the quantum and information channels are given. The dependence is
given for two values of sensitivity of receivers of information channels 𝑅𝑥 = −23dBm
and 𝑅𝑥 = −32dBm. It is shown that for a configuration with 40 channels a range
of 32 km can be achieved by using a filter with a bandwidth of 100 MHz.
In section 3.4 calculation of the above effects for different types of optical fibers
is presented. Of particular interest in the context of constructing schemes for the
joint propagation of the quantum distribution of the key and information channels
55
of the optical transport network are fibers with an increased effective area of the
fundamental mode. To account for this parameter, the formula for calculating the
noise power of spontaneous Raman scattering was modified. Taking into account
the fact that the power of the forward and backward spontaneous Raman scattering
noise is inversely proportional to the effective area of the fundamental mode of the
fiber, the equation for an optical fiber with an arbitrary area can be written in the
following form:
𝑃𝑟𝑎𝑚,𝑓 = 𝑃𝑜𝑢𝑡 𝐿
𝑁𝑐ℎ
∑︁
𝑐=1
ρ(λ𝑐 ,λ𝑞 )∆λ ×
𝐴𝑒𝑓 𝑓,𝑆𝑀 𝐹 −28
.
𝐴𝑒𝑓 𝑓
(23)
𝑁
𝑐ℎ
sinh(ξ𝐿) ∑︁
𝐴𝑒𝑓 𝑓,𝑆𝑀 𝐹 −28
𝑃𝑟𝑎𝑚,𝑏 = 𝑃𝑜𝑢𝑡
ρ(λ𝑐 ,λ𝑞 )∆λ ×
,
ξ
𝐴
𝑒𝑓
𝑓
𝑐=1
(24)
The formulas used to calculate four-wave mixing noise already accounted for the
effective area of the main mode of the fiber, so this modification was not required
for them.
The optical fibers of Corning Vascade series were considered in the calculation.
These fibers are used to build submarine fiber-optic communication lines and long­
haul terrestrial communication lines. In such lines, the influence of nonlinear effects
on the information channels of the DWDM network is significant. This also includes
the use of Raman amplifiers. In this paper we demonstrate the calculation of
the secret key generation rate of the subcarrier wave quantum key distribution
system on the length of the corresponding type of optical fiber for a 100 GHz grid
DWDM network configuration with 40 information channels. Figure 9 shows these
dependencies. This calculation demonstrates that the range of the system can be
increased by 56% using Corning Vascade EX3000 fiber, which has an effective mode
area of 153 µm2 .
Finally, in section 3.5 an analysis of the joint signal propagation system
configuration of the subcarrier wave quantum key distribution system, placed at
a wavelength of 1310 nm, with 40 classical DWDM network channels with a 100
GHz grid is demonstrated. The transfer of the quantum channel to this wavelength
is due to a significantly lower (by about 4000 times) value of the spontaneous Raman
56
Figure 9 — Dependence of the secret key generation rate on the length of the
optical fiber of the SCW QKD system in the presence of 40 channels with a 100
GHz grid.
scattering noise. At the same time, the optical fiber attenuation at this wavelength
is 0.32 dB/km, instead of 0.18 dB/km for a wavelength of 1550 nm. It is shown
that the increased attenuation leads to a 2-fold reduction in the range of the system
operating in the dark fiber. However, when considering the functioning of the system
in the presence of 40 information channels with an interchannel distance of 100 GHz,
the calculation shows (Fig. 10) that, despite the increased attenuation of the optical
fiber at this wavelength, the range of the system is significantly greater compared
to the system operating at a wavelength of 1550 nm.
The fourth chapter presents technical recommendations for the creation of a
SCW QKD system that can operate in the presence of classical channels of an optical
transport network. These recommendations are based on the research carried out
in the previous chapters.
In Section 4.1, using mathematical modeling, the optimal average number of
photons per quantum state, in terms of longest maximum distance possible. At the
57
Figure 10 — Dependence of the secret key generation rate for SCW QKD system
operating in the O-band and C-band, both in dark fibers and in the presence of 40
channels of a DWDM network with a 100 GHz frequency grid
beginning of the chapter, using mathematical modeling, the optimal average number
of photons per quantum state obtained in terms of increasing the range of the system
is determined. Figure 11 shows that such number is in the range µ ∈ [0.07, 0.10].
Figure 11 — Dependence of maximum distance versus mean photon number per
pulse in SCW QKD system
58
Further we describe ways to combat noise caused by nonlinear effects. In
particular, to combat the noise of spontaneous Raman scattering it is proposed
to use narrow-band spectral filters and to reduce the gate time of the single photon
detector. It is also recommended to use amplifiers only after the quantum channel
is out of the fiber, using an Add/Drop multiplexer.
To combat noise from four-wave mixing, it is recommended to place the quantum
channel outside the homogeneous grid of information channels. Spectral filters based
on fiber Bragg gratings can be used for this purpose. Also four-wave mixing noise
can be avoided by placing the quantum channel in the O-band (e.g., at 1310 nm).
When considering linear channel crosstalk noise for an SCW QKD system
operating in the O-band telecommunications window it is shown that the extinction
level of the filter separating the quantum and data channels should be greater
than 120 dB, to achieve the longest range of the system. This recommendation
is determined from a graph of the dependence of system range on filter extinction.
Using only one commercially available filter does not allow to achieve such level of
extinction, so an optical scheme with a cascade of optical filters was proposed (Fig.
12). This scheme uses two fiber Bragg grating filters (SF1 and SF2), as well as a
thin film filter (DWDM filter).
Finally, a list of methodological recommendations is given for the construction of
the scheme of joint propagation of the FDMDM system and information channels
of the optical transport network.
The conclusion summarizes the results of the thesis, and also presents the main
results of the research.
Mains results
The paper presents a study on the functioning of a quantum key distribution
system at side frequencies in an optical transport network, including in the presence
of information channels with frequency division multiplexing.
Chapter 1 provides a literature overview on the topic of the dissertation work.
59
Figure 12 — Optical scheme of a receiver of simultaneous propagation of QKD and
information channels with amplification and cascade of spectral filters. DEMUX de-multiplexer, PM - phase modulator, SF1 and SF2 - FBG spectral filters, SPD single-photon detector, PBS - polarization beamsplitter and AMP - optical fiber
amplifier
Chapter 2 investigates the effect of the chromatic dispersion of an optical fiber on
the functioning of the quantum key distribution system at side frequencies. Optical
and quantum models of the system under consideration are presented, taking into
account the chromatic dispersion of the fiber channel. It is shown that the difference
in the incidence of the phases of the side frequencies arising as a result of the
influence of dispersion leads to a decrease in the visibility of the interference of side
frequencies on the Bob side. This effect has been demonstrated using an analytical
model, a numerical model, and also experimentally. A model of the quantum error
rate and the rate of secret key generation is derived, taking into account this effect.
The calculation using this model demonstrated the impossibility of generating a
secret key at distances exceeding 53 km.
60
A method was proposed to compensate for this effect, based on the transmission
of a quantum signal at one side frequency of phase-modulated radiation. The
effectiveness of this method has been confirmed using a numerical model and
experimentally.
Finally, the temporal effect of chromatic dispersion was studied. It is shown that
the difference in group velocities for the side frequencies of the modulated radiation
leads to a time shift of the corresponding spectral components of the signal pulse.
The dependence of the interference visibility on the optical fiber length is calculated
for three different pulse durations (5.0 ns, 1.0 ns, and 0.5 ns). It is shown that up
to 200 km the interference visibility for these three cases differs insignificantly.
Chapter 3 presents a study of the influence of noise caused by the presence
of classical channels of a dense frequency division multiplexed optical transport
network. A mathematical model of the quantum error rate is presented, taking into
account the presence of these noises. It is shown that the noise from spontaneous
Raman scattering has the greatest influence compared to other types of noise for the
case when the quantum channel is placed in the same range with the information
channel. It is also shown that the noise from four-wave mixing is significant for cases
when the quantum channel is located in a homogeneous grid of a small number of
channels. It has been demonstrated that, in the case of placing a quantum channel
in the C-band, in the presence of 40 10G information channels, the range of the
system does not exceed 10 km.
A model of spontaneous Raman scattering noise for optical fibers with an
increased fundamental mode area is presented. The model is used to calculate the
dependence of the secret key generation rate on the length of the fiber channel for
different types of optical fibers. It is shown that in the case of using a fiber with an
effective mode area of 153 µ𝑚2 instead of a standard single-mode fiber, the range
of the system increases by 53%.
Finally, this chapter demonstrates that when the quantum channel is placed in
the O-band, the SCW QKD system has a significantly longer system range in the
presence of 40 10G data channels with a receiver sensitivity of -23dBm.
61
Chapter 4 presents methodological recommendations for constructing a scheme
for joint distribution of a quantum key distribution system at side frequencies and
information channels of an optical transport network. In particular, the possibility
of optimizing the average number of photons per transmission in a quantum
channel was demonstrated to achieve a greater range of the system. Methods
for reducing the power of noise caused by nonlinear effects are presented. In
particular, it is recommended to decrease the gate time of the single photon detector
and decrease the bandwidth of the spectral filter separating the quantum and
information channels. The required extinction level for the quantum key distribution
system at side frequencies operating in the O-band is derived. On the basis of
the recommendations, an optical scheme of the receiver of the scheme of joint
distribution of the quantum channel of the system of quantum key distribution
at side frequencies and information channels of the optical transport network is
proposed.
Author’s publications on related topics
1. Kiselev F.D.., Goncharov R.K., Veselkova N.G., Samsonov E.O., Kiselev A.D.,
Egorov V.I. Performance of subcarrier-wave quantum key distribution in the
presence of spontaneous Raman scattering noise generated by classical DWDM
channels // Journal of the Optical Society of America B: Optical Physics - 2021,
Vol. 38, No. 2, pp. 595-601
2. Kiselev F.D. , Samsonov E.O., Goncharov R.K, Chistiakov V.V, Halturinsky
A.K., Egorov V.I., Kozubov A.V., Gaidash A.A., Gleim A.V. Analysis of the
chromatic dispersion effect on the subcarrier wave QKD system // Optics express
- 2020, Vol. 28, No. 19, pp. 28696-28712.
3. Samsonov E.O., Kiselev F.D., Shmelev Y.O., Egorov V.I., Goncharov R.K.,
Santev A.A., Pervushin B.E., Gleim A.V. Modeling two-qubit Grover’s algorithm
implementation in a linear optical chip // Physica Scripta - 2020, Vol. 95, No. 4,
pp. 045102
62
4. Kiselev F.D., Samsonov E.O., Gleim A.V. Modeling of linear optical
controlled-z quantum gate with dimensional errors of passive components //
Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics - 2019, Vol. 10, No. 6, pp.
627-631
5. Gerasimenko V.S., Gerasimenko N.D., Kiselev F.D. Numerical modelling of
an error of manufacturing of ion-exchange waveguide for the tasks of quantum
computations // Journal of Physics: Conference Series - 2019, Vol. 1410, No. 1,
pp. 012136
6. Kiselev F.D., Veselkova N.G., Goncharov R.K., Egorov V.I. A theoretical study
of subcarrier-wave quantum key distribution system integration with an optical
transport network utilizing dense wavelength division multiplexing // Journal of
Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics - 2021, Vol. 54, No. 13, pp.
135502
63
Введение
Квантовое распределение ключа (КРК) является перспективным приложением
в области в квантовой информатики, позволяющее формировать симметричные
битовые последовательность у двух и более абонентов защищенные от злоумыш­
ленника фундаментальными законами квантовой механики [1–3]. Носителями
информации в таких системах являются фотоны, кодирование которых может
происходить, например, с помощью поляризации или фазы. Эти квантовые со­
стояния света подготавливаются отправителем (Алиса) в одном из случайно
выбранных базисов и затем отправляются по квантовому каналу на приемную
сторону (Боб). Каналом в данной ситуации может служить как оптическое во­
локно, активно применяющееся в современных линиях связи, так и свободное
пространство. На стороне Боба происходит измерение переданного состояния
в одном из базисов, выбираемых Бобом случайно и независимо от Алисы, по­
сле чего детектор одиночных фотонов регистрирует отсчет в случае совпадения
выбранных базисов. Защита информации в данном случае обеспечивается тем,
что согласно квантовой механике, нарушитель не может получить доступ к
квантовому состоянию не изменяя его, что в свою очередь может быть сразу
замечено абонентами [4; 5]. Возможность использования волоконно-оптических
линий связи ВОЛС делает данную технологию особенно привлекательной для
ее внедрения в существующую инфраструктуру.
Как и в случае классических сетей использующих ВОЛС, квантовый сигнал
системы КРК будет претерпевать изменения, вносимые оптическим волокном,
вызванные такими эффектами как: затухание, хроматическая дисперсия, а так­
же шумы вызванные нелинейными эффектами [6; 7]. Вопрос учета данных
эффектов встает особенно остро в случаях, когда рассматриваются большие
длины оптоволоконного канала или присутствие в одном волокне с сигналом
КРК сигналов классических систем с плотным мультиплексированием с раз­
делением по длине волны (DWDM). Большие дальности достигаются путем
оптимизации параметров системы КРК, например среднего числа фотонов в
64
импульсе для протоколов, использующих когерентные состояния света, а также
за счет использования сверхпроводниковых детекторов, обладающих высокой
эффективностью детектирования и низким уровнем шума темновых отсче­
тов [10–12]. Однако для достижения длин оптоволоконного канала больше 100
км необходимо темное волокно, другими словами, в оптоволокне должен при­
сутствовать лишь сигнал системы КРК. В условиях быстрого роста трафика
выделение темных волокон под установку системы КРК может быть экономи­
чески не выгодным, поэтому большой интерес также вызывает исследование
возможности интегрирования квантового канала с информационными канала­
ми систем DWDM. Было показано [6;13–15], что основными источниками шума
в таком случае являются нелинейные шумы спонтанного комбинационного рас­
сеяния (СКР) и четрех-волнового смешения (ЧВС). Еще одним источником
шума являются перекрестные помехи информационных каналов вызванные
неидеальностью экстинкции фильтров, используемых для изоляции квантового
канала от информационных. Одним из перспективных видов систем КРК яв­
ляется квантовое распределение ключа на боковых частотах (КРКБЧ) [16–18].
В данной системе кодирование происходит в фазе боковых частот фазомоду­
лированного ослабленного когерентного света. За счет этого обеспечивается
высокая устойчивость к воздействию внешних факторов и спектральная эф­
фективность. Данная система до сих пор не была исследована на предмет
возможности интегрирования с системами DWDM в существующих ВОЛС.
Целью данной работы является исследование влияния характеристик воло­
конно-оптической линии связи на работу системы квантового распределения
ключа на боковых частотах в присутствии информационных каналов системы
плотного мультиплексирования с частотным разделением. Для достижение
поставленной цели требовалось решить следующие задачи:
1. Исследование влияния хроматической дисперсии оптического волокна на ви­
димость интерференции боковых частот в системе КРКБЧ
2. Исследование и разработка метода компенсации эффекта хроматической дис­
персии на распространение сигнала КРКБЧ
65
3. Оценка величины шумов, связанных с распространением квантового канала
совместно с информационными каналами системы DWDM в одном оптиче­
ском волокне.
4. Исследование характеристик системы квантовой коммуникации с использо­
ванием ВОЛС в присутствии информационных каналов системы DWDM.
5. Вывод оптимальных параметров и конфигурации систем КРК и DWDM для
успешной реализации распространения квантового и информационных сиг­
налов в одном волокне.
Основные положения выносимые на защиту:
1. Предложенный метод компенсации влияния хроматической дисперсии на
работу протокола квантового распределения ключа на боковых частотах,
основанный на введении дополнительной фильтрации в систему и передаче
сигнала лишь на одной из боковых частот, позволяет реализовывать прото­
кол квантовой коммуникации на расстоянии больше 100км.
2. Разработанная математическая модель позволяет рассчитывать характе­
ристики системы квантового распределения ключа на боковых частотах
при совместном распространении квантового и классических каналов сети
DWDM в одном оптическом волокне, а также проводить оптимизацию па­
раметров их параметров для достижения большей дальности действия или
скорости генерации ключа.
3. Помещение квантового канала системы квантового распределения ключа на
боковых частотах на длину волны 1310 нм позволяет достичь дальности
действия свыше 50-ти км в присутствии 40 информационных каналов сети
DWDM расположенных в С-диапазоне.
4. Снижение мощности дуплексных каналов синхронизации, необходимых для
функционирования протокола квантового распределения ключа на боковых
частотах, до значений соответствующих чувствительности приемника в -32
dBm, позволяет передавать сигнал каналов синхронизации в одном волокне
с квантовым каналом и достигать дальности действия системы более 60 км.
Научная новизна:
66
1. Впервые исследовано влияние хроматической дисперсии оптического во­
локна на работу протокола квантового распределения ключа на боковых
частотах.
2. Впервые предложен и экспериментально продемонстрирован метод компен­
сации дисперсии для протокола квантового распределения ключа на боковых
частотах без использования классических устройств компенсации дисперсии.
3. Впервые проведено исследование возможности интеграции системы кван­
тового распределения ключа на боковых частотах с информационными
каналами системы плотного мультиплексирования с частотным разделени­
ем.
67
ГЛАВА 1. Определение мирового уровня технологии и выбор
направления исследования
1.1
Квантовые технологии
Квантовые технологии – область знаний и их практических применений,
направленная на создание систем и устройств, использующих принципы кван­
товой механики. Данная область возникла в результате «второй квантовой
революции» [25], в рамках которой появилось понимание и технологии управ­
ления сложными квантовыми системами на уровне отдельных частиц, таких
как фотоны или атомы. Квантовые технологии делятся на три основных суб­
технологии:
1. Квантовые вычисления – новый подход к решению сложных задач, исполь­
зующих принципы квантовой механики для ускорения расчетов, которого
невозможно достичь в рамках классических вычислений.
2. Квантовые коммуникации – технологии защиты и передачи информации,
основанные на кодировании ее в квантовые состояния частиц.
3. Квантовые сенсоры и метрология – совокупность измерительных приборов,
использующих квантовые эффекты для достижения сверхвысокой точности.
Первые две субтехнологии также объединены понятием квантовая информа­
тика. Это научная область, находящаяся на стыке теории информации и
квантовой механики. В рамках данной теории, в качестве базовой единицы ин­
формации используются кубиты (квантовые биты), - квантовые двухуровневые
системы. Обладая возможностью находиться в суперпозиции множества состо­
яний, вычислительная система, построенная на большом количестве кубитов,
позволяет решать задачи, неподвластные классическим компьютерам. Такая
система называется квантовым компьютером. Его исследование и разработка
ведется на большом числе физических систем таких как: атомы, ионы, электрон­
ные и ядерные спины, фотоны и сверхпроводниковые системы [26]. Последние
считаются наиболее перспективным для создания квантовых компьютеров,
68
например именно сверхпроводниковые квантовые системы исследуются и раз­
рабатываются в IBM, Google и Microsoft [27].
Интерес также вызывают оптические квантовые вычисления. Фотоны и их
поляризационные, пространственные или фазовые моды можно использовать
для создания кубитов, а квантовые операторы (или гейты) можно создавать с
помощью оптических схем на основе светоделителей и фазовращателей [28].
Фотоны обладают большим временем декогеренции, однако взаимодействия
между двумя фотонами очень слабо, из-за чего реализация многокубитных
квантовых операторов невозможно без добавления вспомогательных фотонов
и проведения проекционных измерений [29]. Особенно привлекательным в дан­
ной области выглядит использование схем интегральной фотоники, которые
обладают компактным форм фактором и позволяют интегрировать источники,
детекторы одиночных фотонов и квантовые операторы на одном чипе [30]. На
данной платформе были предложены множество схем, реализующих квантовые
вычисления, включающие в себя алгоритм Гровера [21], бозонный сэмплинг [31]
и алгоритм Шора [32].
В квантовых коммуникациях же, феномен суперпозиции в совокупности с
явлением запутанности и особенностями процесса измерения квантовых систем
(в частности теоремой о запрете клонирования [33]), дает возможность создать
канал связи, защищенный от незаметного присутствия злоумышленника (тра­
диционно называемого Евой). Это становится возможным в рамках протокола
квантового распределения ключа, впервые предложенного Ч. Беннетом и Ж.
Брассаром в 1984-м году [34]. Данная технология является особенно актуальной
в контексте квантовых вычислений. Согласно [35], она может позволить взла­
мывать существующие асимметричные алгоритмы шифрования, что ставит под
угрозу существующую сетевую инфраструктуру.
Физической платформой для квантовых коммуникаций служат оптические
системы. Так как фотоны обладают очень большим временем декогеренции по
сравнению с другими квантовыми системами, их можно передавать на большие
расстояния используя оптическое волокно или атмосферный канал. Помимо
этого, для создания оптических систем КРК можно использовать стандартные
69
телекоммуникационные комплектующие: лазеры, амплитудные и фазовые мо­
дуляторы, лавинные фотодиоды и другое [36].
Системы квантового распределения ключа активно разрабатываются по все­
му миру. Научные группы показывают лабораторные и полевые имплементации
данной технологии постоянно улучшая их характеристики. В тоже самое вре­
мя, появляется и спрос на подобные системы и соответствующие коммерческие
предложения [37]. В настоящий момент существенная часть исследований в
данной области направлены на поиск оптимальных технологических решений,
которые позволят разрабатывать и производить системы, соответствующие
текущим потребностям ее конечных потребителей, а также делать их эконо­
мически выгодными. Далее в этой главе будут описаны основные принципы
работы систем квантового распределения ключа и в частности будет описан
протокол квантового распределения ключа на боковых частотах, рассматрива­
емый в данной диссертационной работе.
1.2
Квантовое распределение ключа
Квантовое распределение ключа – метод формирования и передачи ключа
шифрования на расстоянии с помощью квантовых состояний света. В силу за­
конов квантовой механики, данный метод позволяет обнаружить присутствие
третьей стороны, пытающейся украсть информацию о ключе, и тем самым га­
рантирует безопасность установленной линии связи. Хорошим примером такого
метода является протокол BB84 [34]. В изначальной версии этого протокола
предполагается использование четырех квантовых состояний определённых в
двух образующих базисах, каждое состояние соответствует 0 или 1 внутри сво­
его базиса. Для этого можно использовать поляризацию света. Носителями
информации являются фотоны, поляризованные под углами 0°, 45°, 90° и 135°
(Рис 1.1). Передача ключа со стороны передатчика, традиционно именуемого
Алисой, на сторону приемника, именуемого Бобом, происходит согласно следу­
70
ющим этапам. Сначала Алиса случайным образом выбирает один из базисов, а
также состояние фотона внутри этого базиса.
Рис. 1.1 — 4 поляризационных состояния света используемых в протоколе
BB84 на экваторе сферы Пуанкаре
Фотоны затем передаются на сторону Боба, например по волоконно-оптиче­
ской линии связи (ВОЛС), где Боб также случайно и независимо от Алисы
выбирает базисы, в которых он производит измерение состояний фотона. Ин­
формация о выбранных базисах открыто передается обратно Алисе, при этом
результаты измерений остаются в секрете на стороне Боба. Алиса сообщает
Бобу какие базисы были выбраны в соответствии с ее исходными базисами.
После чего пользователи оставляют только те состояния, в которых базисы сов­
пали и образуют ключ из полученной битовой последовательности. Этот ключ
уже может быть использован для шифрования и передачи данных в схемах
классической симметричной криптографии. Еще одной разновидностью кванто­
вого распределения ключа является протокол B92 [38]. Основываясь на тех же
принципах, он отличается от BB84 использованием лишь двух неортогональных
квантовых состояний. В случае передачи информации по оптическому волокну,
поляризационное кодирование является непрактичным, так как в результате
поляризационной модовой дисперсии любое поляризационное состояния сильно
изменяется после прохождения через несколько километров волокна. Поэтому
для передачи по оптическому волокну чаще всего используют фазовое кодирова­
ние [39]. Первые экспериментальные реализации подобных схем были показаны
в [40; 41].
71
В изначально предложенном протоколе предполагалось использование оди­
ночных фотонов. Источники такого излучения сложны в исполнении и как
правило не обладают должными характеристиками по частоте генерации [42].
Помимо этого ими сложно управлять. Поэтому широкое распространения по­
лучили системы на когерентных состояниях света с малым средним числом
фотонов, которые получаются за счет ослабления лазерного излучении [43; 44].
Такие системы используют состояния ловушки для предотвращения утечки ин­
формации нарушителю (Еве) [45; 46].
На момент написания данной работы, системы квантового распределения
ключа активно разрабатываются научными группами по всему миру [47] и
постепенно внедряются в существующую телекоммуникационную инфраструк­
туру [48; 49].
Перспективным направлениями исследований в области квантовых комму­
никаций на данный момент являются:
1. Исследование и разработка квантовых повторителей
Теорема о запрете клонирования [33] не позволяет использовать стандартные
волоконно-оптические усилители для увеличения дальности действия систем
КРК. Поэтому для построения сетей произвольной протяженности необхо­
димо использовать квантовые повторители. В основе таких сетей лежат
источники запутанных состояний света и оптические схемы, реализующие
распределение запутанных состояний между удаленными абонентами, а так­
же обмен запутанностью между соседними участками такой сети [50; 51].
При этом, важнейшим компонентом для создания квантового повторителя
является квантовая память [52–54], которая позволяет синхронизовать вы­
шеуказанные процессы во времени.
2. Исследование и разработка систем квантового распределения клю­
ча работающих в атмосферном канале
Для ряда задач, использования оптического волокна для установления
квантового канала связи является невыгодным или технически сложным ме­
роприятием. Одной из таких задач является установление квантового канала
связи между абонентами находящимися в движении [55]. В добавок к этому,
72
системы КРК, работающие в атмосферном канале, упрощают развертыва­
ние, так как не требуют прямой интеграции с оптическими транспортными
сетями или прокладки оптического волокна [56]. Частным случаем такой
технологии является установления квантового канала между Землей и спут­
ником [57]. В совокупности с волоконно-оптическими квантовыми каналами
связи, данная технология даст существенный толчок развитию квантового
интернета [58] и квантового интернета вещей [59].
3. Достижение совместного распространения квантового канала КРК
и информационных каналов оптической транспортной сети
Выделение темного волокна (волокна в котором отсутствует излучения
информационных каналов) для установления квантового канала связи за­
частую невыгодно с экономической точки зрения. Однако присутствие
информационных каналов в одном волокне с квантовым усложняет функ­
ционирование системы КРК. Данная диссертационная работа посвящена
именно этому направлению в применении к системе квантового распреде­
ления ключа на боковых частотах и информационным каналам с частотным
разделением. Последующие разделы подробно раскрывают данную тему.
1.3
Квантовое распределение ключа на боковых частотах
Использование фазы боковых частот фазомодулированного света для ко­
дирования информации и квантового распределения ключа было предложено
в [16]. Предложенная система (Рис. 1.2) основана на использовании ослаб­
ленного источника когерентного излучения, а также фазовых модуляторов
на основе ниобата лития (LiNbO3). Предложенный метод обладает высокой
спектральной эффективностью и может быть использован для передачи ин­
формации через оптическое волокно. Помимо этого, в [60], была предложена
модификация схемы приемника системы, позволяющая добиться устойчивости
к поляризационным искажением, наводимым в оптическом волокне его дву­
73
лучепреломлением. Модификация основана на использовании двух фазовых
модуляторов и поляризационных делителей.
Алиса
ЛАЗЕР
Квантовый
канал
ФМ1
Боб
ФМ2
ДОФ
СФ
Рис. 1.2 — Оптическая схема системы КРКБЧ (упрощенная). ФМ1, ФМ2 фазовые модуляторы; СФ - спектральный фильтр, ДОФ - детектор
одиночных фотонов
В рамках такой схемы может быть реализован как протокол B92, используя
два неортогональных состояния φ𝐴 ∈ {0,π} для кодирования, так и протокол
BB84, используя два базиса и четыре состояния φ𝐴 ∈ {0,π} и φ𝐴 ∈ {π/2,3π/2}
[18]. Кодирование происходит с помощью фазового модулятора на стороне Али­
сы, который действует на монохроматическое излучение лазера с длиной волны
λ = 2π/ω0 согласно следующему уравнению
𝐸𝐴 (𝑡) = 𝐸0 𝑒𝑖ω0 𝑡 𝑒𝑖𝑚𝑐𝑜𝑠(Ω𝑡+φ𝐴 ) ,
(1.1)
где 𝑚 - индекс модуляции, Ω - угловая частота электрического сигнала
управляющего модулятором (порядка нескольких ГГц), φ𝐴 - фаза наведенная
модулятором Алисы. В результате модуляции, в спектре появляются боковые
частоты. В общем случае, количество этих частот бесконечно, однако если
рассматривать значения индекса модуляции 𝑚 < 1 , мы можем переписать
уравнение 1.1 в приближенной форме:
𝐸𝐴 (𝑡) = 𝐸0 𝑒𝑖ω0 𝑡 [1 + 𝑖𝑚𝑐𝑜𝑠(Ω𝑡 + φ𝐴 )] .
(1.2)
74
Таким образом мы получим в спектре присутствуют только две боковые ча­
стоты, которые схематично изображены на Рис. 1.2.
На стороне Боба происходит повторная модуляция с таким же индексом 𝑚
и угловой частотой Ω, однако Боб выбирает фазу φ𝐵 случайно и независимо
от Алисы согласно протоколам B92 или BB84. В результате чего, происходит
интерференция спектра боковых частота и выражение для поля в общем виде
приобретает следующий вид:
𝐸𝐴 (𝑡) = 𝐸0 𝑒𝑖ω0 𝑡 {1 + 2𝑖𝑚𝑐𝑜𝑠 [(φ𝐴 − φ𝐵 )/2]
× 𝑐𝑜𝑠 [Ω𝑡 + (φ𝐴 + φ𝐵 )/2] .
(1.3)
Спектр такого также представляет собой несущую на частоте ω0 , с интенсив­
⃒ ⃒
ностью 𝐼 ≈ ⃒𝐸02 ⃒ /2 , и две боковые на частотах ω0 + Ω и ω0 − Ω, интенсивность
которых дана следующим выражением
⃒ ⃒
𝑚2 ⃒𝐸02 ⃒ 2
𝐼=
𝑐𝑜𝑠 [(φ𝐴 − φ𝐵 )/2]
(1.4)
2
Выражение 1.3 показывает, что интенсивность спектра боковых частот за­
висит от разности фаз, выбранных Алисой и Бобом. Таким образом для
случая |φ𝐴 − φ𝐵 | = 0 мы получаем конструктивную интерференцию, а для
|φ𝐴 − φ𝐵 | = 𝑝𝑖 – деструктивную.
Несущая убирается из спектра за счет узкополосного фильтра, и резуль­
тат интерференции попадает на детектор одиночных фотонов. Боб записывает
при каких значениях фазы происходит срабатывание детектора одиночных
фотонов. В идеальной системе срабатывание будет происходит только при
совпадении фаз φ𝐴 и φ𝐵 . После накопления достаточного числа срабатыва­
ния происходит этап согласования бит, при котором Боб объявляет для каких
посылок не произошло срабатывания детектора и оба абонента отбрасывают со­
ответствующие посылки. Затем Алиса объявляет выбранный базис для каждой
из оставшихся посылок. Боб сравнивает их со своими выбранными базисами.
После чего оба абонента отбрасывает посылки, в которых базис не совпал.
75
Далее идет фаза определения параметров, при которой Алиса случайным
образом выбирает некоторое количество посылок и открывает для них бито­
вую информацию. Боб сравнивает полученные значения со своими и оценивает
квантовый коэффициент ошибок. Данные посылки уже не используются для
формирования конечного ключа.
Итоговый ключ получается после прохождения фаз исправления ошибок и
усиления секретности, описанных в [8]. Схема формирования ключа по прото­
колу BB84 представлена в Таблице 1. Экспериментально данный протокол был
продемонстрирован в [60; 61].
Таблица 1 — Схема протокола BB84 в применении к системе квантового
распределения ключа на боковых частотах.
Базис А
{0,π}
Фаза А
0
π
Базис Б
{0,π} {π/2,3π/2} {0,π} {π/2,3π/2}
Фаза Б
0 π π/2 3π/2 0 π π/2 3π/2
Вероятность детектирования µ 0 µ/2 µ/2 µ 0 µ/2 µ/2
Базис А
{π/2,3π/2}
Фаза А
π/2
3π/2
Базис Б
{0,π} {π/2,3π/2} {0,π} {π/2,3π/2}
Фаза Б
0 π π/2 3π/2 0 π π/2 3π/2
Вероятность детектирования µ 0 µ/2 µ/2 µ 0 µ/2 µ/2
1.4 Основные характеристики системы квантового распределения
ключа на боковых частотах
Основными характеристиками, определяющими качество работы системы
КРК являются коэффициент квантовых ошибок и скорость генерации секрет­
ного ключа.
Коэффициент квантовых ошибок (QBER) – безразмерная величина,
показывающая какая часть битовых последовательностей, сформированных
76
Алисой и Бобом в ходе протокола КРК, не совпадают. Данная величина поз­
воляет определить является ли защищенность канала приемлемой, а в случае
превышения ею некого порогового значения принимается решение по прекра­
щению связи. Теоретическое вычисление данной величины производится через
расчет вероятностей неопределенного измерения получателем 𝐺 и неверного
измерения бита 𝐸 [18]. Зная вероятность срабатывания детектора одиночных
фотонов 𝑃𝑑𝑒𝑡 (φ𝐴 ,φ𝐵 ) эти вероятности могут быть представлены как:
𝐸 = 𝑃𝑑𝑒𝑡 (0,π + ∆φ)
(1.5)
1 − 𝐺 − 𝐸 = 𝑃𝑑𝑒𝑡 (0,∆φ)
(1.6)
Где ∆φ- среднее отклонение фазы модулирующего сигнала вызванного
неидеальностью системы синхронизации. Далее, коэффициент квантовых оши­
бок Q может быть вычислен по формуле:
𝑃𝑑𝑒𝑡 (0,π + ∆φ)
1−𝑉
=
(1.7)
𝑃𝑑𝑒𝑡 (0,∆φ) + 𝑃𝑑𝑒𝑡 (0,π + ∆φ)
2
Где 𝑉 - видность интерференции боковых частот, характеристика по которой
𝑄=
можно определить ожидаемый уровень коэффициента квантовых ошибок в ре­
альной системе. Согласно теории Л. Манделя [62], вероятность детектирования
может быть представлена в виде:
𝑃𝑑𝑒𝑡 (φ𝐴 ,φ𝐵 ) =
(︂
)︂
𝑛𝑝ℎ (φ𝐴 ,φ𝐵 )
+ γ𝑑𝑎𝑟𝑘 ∆𝑡
η𝐷
∆𝑇
(1.8)
Где η𝐷 - квантовая эффективность детектора; γ𝑑𝑎𝑟𝑘 - частота темновых от­
счетов детектора; ∆𝑇 - временное окно, а ∆𝑡 ⩽ ∆ T - время открытия гейта в
случае его наличия и ∆𝑡 = ∆𝑇 - в случае его отсутствия; 𝑛𝑝ℎ (φ𝐴 ,φ𝐵 ) - сред­
нее число фотонов попадающее на детектор, которое может быть получено по
формуле из [18]:
𝑛𝑝ℎ (φ𝐴 , φ𝐵 ) = µ0 η(𝐿)η𝐵
(︁
⃒ 𝑆
⃒ )︁
′ ⃒2
⃒
1 − (1 − ϑ) 𝑑00 (β )
(1.9)
Наконец, выражение 1.7 может быть переписано в терминах реальных пара­
метров системы согласно [8]:
77
𝑄=
2µτη(1 − ϑ) (1 − cos(∆φ)) + τϑµ0 η + 𝑝𝑑𝑎𝑟𝑘
,
4µτη(1 − ϑ) + 2τϑµ0 η + 2𝑝𝑑𝑎𝑟𝑘
(1.10)
Где µ - среднее число фотонов на боковых частотах; η = η𝐵 η(𝐿)η𝐷 суммарный оптический коэффициент пропускания, состоящий из потерь на
модуле приемника 1 − η𝐵 , потерь в оптическом волокне 1 − η(𝐿) длины 𝐿 и
эффективности детектора одиночных фотонов η𝐷 ; ϑ - коэффициент показы­
вающий эффективность фильтрации несущей частоты (ϑ = 0 для идеальной
системы); σ - множитель, соответствующий несовпадению индексов модуляции
(σ = 0 для идеальной системы); µ0 - среднее число фотонов на несущей частоте;
𝑝𝑑𝑎𝑟𝑘 = γ𝑑𝑎𝑟𝑘 ∆𝑡 - вероятность темнового отсчета детектора одиночных фотонов.
Скорость генерации секретного ключа – величина в бит/c, показываю­
щая с какой скоростью система КРК может формировать ключ, защищенный
от злоумышленника. Обычно эта величина рассчитывается при рассмотрении
определенного вида атак на систему КРК. Согласно [63] скорость генерации
секретного ключа K в присутствии коллективных атак может быть рассчитана
следующим образом:
𝐾 = 𝑣𝑆 𝑃𝐵
[︁
]︁
1 − leak𝐸𝐶 (𝑄) − max χ(𝐴 : 𝐸) ,
𝐸
(1.11)
Где 𝑣𝑆 - частота модуляции; 𝑃𝐵 = (1 − 𝐺)/𝑁 - вероятность срабатыва­
ния детектора, в случае если Боб угадывает базис (N- количество базисов);
leak𝐸𝐶 (𝑄) - количество информации раскрытого Алисой в ходе коррекции
ошибок; max𝐸 χ(𝐴 : 𝐸) - информация Холево ограниченная максимальным
количеством информации доступной Еве. Согласно [18], выражение 1.11 может
быть переписано в виде:
[︃
(︃
)︃]︃
2
(1 − 𝐺)𝑣𝑆
1 − 𝑒−µ0 𝑚
𝐾=
1 − ℎ (𝑄) − ℎ
,
2
2
(1.12)
78
1.5
Волоконно-оптический канал связи
Оптическое волокно – разновидность оптического волновода, сделанная,
как правило из кварцевого стекла, позволяющего передавать информацию, за­
кодированную в электромагнитные волны, на далекие расстояния. Текущие
технологии волоконно-оптических линий связи (ВОЛС), такие как плотное
мультиплексирование с частотным разделением (DWDM) и системы когерент­
ного детектирования, позволяют передавать Терабиты информации в секунду
на расстояния свыше 1000 км [64]. В большинстве своем, оптические волокна
делятся на два типа: одномодовые и многомодовое. Одномодовые отличаются
малым размером сердцевины, позволяющей эффективно передавать по нему
лишь одну пространственную моду света. В наши дни, существенная часть
мировой инфраструктуры держится на сетях, использующих одномодовое опто­
волокно. Сюда входят как короткие городские сети и технология Fiber To The
Home (FFTH), так и транс-океанические подводные сети соединяющие разные
страны и континенты. Многомодовые волокна же в основном используются
в дата-центрах или в устаревших сетях. Основным параметром оптического
волокна, определяющего его эффективность в передаче информации, являет­
ся коэффициент затухания - величина, показывающая количество оптических
потерь в единицах дБ/км. Типичное значение коэффициента затухания для
стандартного одноподового волокна SMF-28 находится в районе 0.18 – 0.20
дБ/км. Оптические потери являются первым важным фактором, ограничи­
вающим скорость передачи данных и расстояние, в том числе и для систем
квантовых коммуникаций. В силу постоянного роста интернет трафика ис­
следователи и инженеры постоянно работают над увеличением количества
информации, передаваемой по одному волокну. В таких условиях хроматиче­
ская дисперсия оптического волокна, а также нелинейные эффекты начинают
давать существенный вклад в ограничение пропускной способности.
Помимо этого, большую роль играет длина волны, на которой передается сиг­
нал. Спектральный диапазон, в котором возможно передавать информацию по
79
Рис. 1.3 — Спектр затухания оптических волокон компании Corning – SMF-28
и SMF-28e
одномодовому оптическому волокну ограничен с одной стороны длиной волны
при которой оптическое волокно все еще является одномодовым, для SMF-28
эта длина обычно составляет 1260 нм, а с другой стороны длиной волны отсеч­
ки, выше которой распространение фундаментальной моды становится сильно
затруднено, так как большое количество излучения начинает вытекать через
оболочку (типичное значение для SMF-28 – 1675 нм). На рисунке 1.3 приведены
спектры затухания типичных представителей одномодовых волокон. Показан­
ный на рисунке диапазон называется телекоммуникационным окном, который,
в свою очередь, разделяется на шесть диапазонов (см. Таб. 1.2). Стандартный
диапазон (или C-диапазон) используется чаще всего, так как в нем оптический
сигнал претерпевает меньше всего потерь. Именно в нем как правило распро­
страняются сигналы системы квантовых коммуникаций.
В таблице 3 приведены основные параметры оптического волокна SMF-28.
80
Таблица 2 — Условные обозначения и названия диапазонов
телекоммуникационного окна оптического волокна.
Обозначение Диапазон, нм Наименование (рус)
Наименование (англ)
O
1260 - 1360
Основной
Original
E
1360 - 1460
Расширенный
Extended
S
1460 - 1530
Коротковолновый
Short wavelength
C
1530 - 1565
Стандартный
Conventional
L
1565 - 1625
Длинноволновый
Long wavelength
U
1625 - 1675
Сверхдлинноволновый Ultra-long wavelengh
Таблица 3 — Параметры одномодового волокна SMF-28.
Параметр волокна
Дисперсионный параметр (𝐷)
Затухание (ξ)
Эффективный групповой показатель преломления (𝑛𝑔 )
Дисперсия групповой скорости (β2 )
1.6
Значение
⩽ 18 [пс/нм/км]
⩽ 0.2 [дБ/км]
1.4682
-2.0407e-23 [сек2 /км]
Спектральное уплотнение каналов
Спектральное уплотнение каналов, или мультиплексирование с частотным
разделением (WDM – Wavelength Division Multiplexing), было предложено в
1977 году [65]. Идея заключается в передаче нескольких сигналов одновременно
на разных длинах волн, что может существенно увеличить объемы передавае­
мой информации. Экспериментально данный концепт был продемонстрирован
в [66–69].
На данный момент выделяют два основных вида систем WDM:
1. Грубые WDM (coarse WDM или CWDM) – системы с частотным рас­
стоянием между каналами более 2500 ГГц, как правило заполняющие все
телекоммуникационное окно согласно стандарту [70]
2. Плотные WDM (dense WDM или DWDM) – системы с частотным
расстоянием между каналами 𝑓𝑠𝑝𝑎𝑐 варьирующимся от 100 ГГц до 12.5 ГГц,
занимающие C-диапазон телекоммуникационного кона согласно стандарту
[71] по формуле:
81
𝑓𝑛 [𝑇 𝐻𝑧] = 193.1 + 𝑛 × 𝑓𝑠𝑝𝑎𝑐 ,
(1.13)
DWDM является более современной технологией, позволяющей передавать
существенно больший объём информации по сравнению с CWDM. Однако пре­
имущество CWDM – низкая стоимость оборудования, обусловленная менее
жесткими требованиями к ее компонентам.
На рисунке 1.4 приведена примерная схема системы DWDM. Основны­
ми устройствами, позволяющим производить частотной уплотнение, являются
мультиплексор и демультиплексор. Именно эти устройства производят обра­
ботку сигналов на разных длинах волн и позволяют вводить их в оптическое
волокно и выводить из него.
Рис. 1.4 — Примерная схема системы с плотным мультиплексированием с
частотным разделением
Основными компонентами DWDM систем являются:
– Перестраиваемые оптические фильтры.
– Мультиплексоры и демультиплексоры.
– Add/Drop мультиплексоры и фильтры.
Перестраиваемые оптические фильтры могу быть реализованы с
использованием нескольких различных технологий. Одними из первых появи­
лись фильтры Фабри-Перо [72]. В основе такого фильтра лежит резонатор
образованный зеркалами, расположенными на торцах оптических волокон. Пе­
рестройка такого фильтра производится за счет изменения длины резонатора
с помощью пьезоэлектрического преобразователя. Фильтры на основе интерфе­
рометров Маха-Цендера [73–75], перестройка которого осуществляется за счет
управления фазовым сдвигом в одном их двух его плеч. Одними из самых
82
распространенных видов перестраиваемых фильтров являются фильтры на ос­
нове волоконных брэгговских решеток [76; 77]. Данные фильтры используют
феномен дифракции Брэгга, где перестройка происходит либо за счет темпе­
ратурного контроля [78], либо за счет механической деформации решетки [79].
Такого рода фильтры широко распространены также и в системах квантового
распределения ключа [80]. В частности, данный тип фильтра используется в
системе КРКБЧ [60] для вырезания несущей частоты сигнала перед подачей
его на детектор одиночных фотонов.
Мультиплексоры и демультиплексоры - устройства отвечающие за объ­
единение и разведение информационных каналов в оптической транспортной
сети. Чаще всего одно и тоже устройство может играть роль и мультиплексора,
и демультиплексора. Одними из первых таких устройств стали мультиплексо­
ры на основе дифракционных решеток [81]. Дифракционная решетка разводит
и собирает различные компоненты за счет угловой дисперсии. Также возмож­
но использование системы интерферометров Маха-Цендера для создания таких
устройств [82] и волноводных структур, также известных как Arrayed Waveguide
Gratings (AWG) [83].
Add/Drop мультиплексоры и фильтры - отвечают за ввод и вывод од­
ного или части каналов в оптической транспортной сети. Данные устройства
могу быть основаны на технологии ВБР, зачастую в комбинации с оптически­
ми циркуляторами [84]. Также часто используются тонкопленочные фильтры.
1.7
Хроматическая дисперсия оптического волокна
Хроматическая дисперсия – феномен, заключающийся в зависимости фа­
зовой и групповой скоростей света в прозрачной среде от длины волны. В
оптическом волокне эта зависимость может быть представлена в виде зависимо­
сти константы распространения от угловой частоты света выраженной через
разложение в ряд Тэйлора вокруг некой центральной частоты ω0 [85]:
83
β(ω) = β0 +
𝜕β
1 𝜕 2β
1 𝜕 3β
2
(ω − ω0 ) +
(ω
−
ω
)
+
(ω − ω0 )3 + ..., (1.14)
0
2
3
𝜕ω
2 𝜕ω
6 𝜕ω
При этом первый порядок дисперсии может быть выражен через групповую
скорость 𝜕β/𝜕ω = β1 = 1/𝑣𝑔 , а второй порядок 𝜕 2 β/𝜕ω2 = β2 связан с пара­
метром дисперсии следующим выражением:
2π𝑐
β2 ,
(1.15)
λ2
Первый порядок описывает общую временную задержку лазерных импуль­
𝐷λ = −
сов, распространяющихся по волокну. Второй порядок же влияет на временное
уширение импульсов. Третий порядок 𝜕 3 β/𝜕ω3 = β3 связан с общим наклоном
кривой дисперсии в телекоммуникационном окне
)︂
(︂
𝑑𝐷λ
4π𝑐
1
= 3 β2 + β3 ,
𝑑λ
λ
λ
(1.16)
Распространение лазерного импульса через оптическое волокно с хромати­
ческой дисперсией может быть описано с помощью нелинейного уравнения
Шредингера с использованием приближения медленно изменяющейся ампли­
туды
𝜕𝐴 𝑖β2 𝜕 2 𝐴 β3 𝜕 3 𝐴
𝜕𝐴
+ β1
+
−
=0
(1.17)
𝜕𝑧
𝜕𝑡
2 𝜕𝑡2
6 𝜕𝑡3
Где 𝐴(𝑧,𝑡) - огибающая импульса. Данное уравнение может быть решено с
помощью замены переменных 𝑡′ = 𝑡 − β1 𝑧 и преобразования Фурье
1
𝐴(𝑧,𝑡) =
2π
)︂
𝑖β
𝑖β
2
3
˜
𝐴(0,ω)𝑒𝑥𝑝
𝑧ω2 +
𝑧ω3 − 𝑖ω𝑡 𝑑ω
2
6
−∞
∫︁ ∞
(︂
(1.18)
В волоконно-оптических линиях связи данный феномен приводит к уши­
рению импульсов сигналов, что в свою очередь приводить к межсимвольной
интерференции и увеличению количество ошибок при детектировании и оциф­
ровке оптического сигнала [86]. Для компенсации этого эффекта в оптической
транспортной сети используют следующие методы:
84
– Оптическое волокно компенсирующее дисперсию (DCF), имеет большое по
модулю отрицательное значение дисперсионного параметра. Главным недо­
статком его использования является сильное затухания (> 0.5дБ/км) [87].
– Компенсаторы дисперсии, основанные на ВБР [88].
– Установка волокна со смещенной дисперсией вместо стандартного одномодо­
вого волокна [89].
– Цифровые методы компенсации дисперсии, заключающиеся в установке раз­
ного рода электрических фильтров в схему приемника [90–92].
1.8
Комбинационное рассеяние
Комбинационное рассеяние - эффект возникающий в системе за счет нели­
нейного отклика системы третьего порядка χ3 . Эффект был предсказан Л. И.
Мандельштамом в 1918 г. и экспериментально продемонстрировано им с его кол­
легой Г. С. Ландсбергом 21-го февраля 1928 года. Параллельно с ними в Индии
данный эффект независимо был исследован и обнаружен физиками Раманом
и Сешагири Рао на неделю позже, чем их московские коллеги. По результа­
там исследования последних, Раману была присуждена нобелевская премия.
По этой причине в зарубежной литературе данный эффект известен как Рама­
новское рассеяние. Сам эффект заключается в неупругом рассеянии фотонов
света на молекулах вещества. В результате неупругого рассеяния происходит
обмен энергией поглощенных фотонов с фононами среды, в результате энергия
испущенного фотона уменьшается в случае стоксового рассеяния и увеличива­
ется в случае антистоксового (Рис. 1.7).
Комбинационное рассеяние разделяется на два вида – спонтанное (СКР) и
вынужденное или стимулированное (ВКР). Оба эффекта присутствуют в оп­
тическом волокне играют существенную роль в проектировании систем ВОЛС
[93]. ВКР возникает в присутствии излучения выше определенной пороговой
мощности и в системах DWDM часто является причиной перекрестных помех,
вызываемых перекачкой мощности между каналами в спектре [94;95]. Информа­
85
Рис. 1.5 — Диаграмма энергетических переходов при упругом (Рэлеевском)
рассеянии и неупругом (Комбинационное рассеяние)
ционные каналы имеющие меньшую длину волны (большую энергию фотонов)
играют роль накачки и отдают энергию каналам с большей длиной волны (мень­
шей энергией фотонов). В данном случае волокно играет роль усилителя. В
результате энергия неравномерно перераспределяется в частотной сетке кана­
лов DWDM, что приводит к снижению соотношения сигнал/шум для каналов с
меньшей длиной волны, а также к искажению сигнала каналов с большей дли­
ной волны. Подобных перекрестных помех можно избежать в ВОЛС за счет
контроля мощности каждого из информационных каналов, для того чтобы уси­
ление, вызванное ВКР было незначительным [96]. В то же самое время, данный
эффект полезен при создании усилителей сигнала. Усилители, работающие на
ВКР часто используются в подводных ВОЛС [97–99].
СКР же порождает широкополосный шум (Рис. 1.7) в оптоволоконном кана­
ле и присутствует как в прямом, так и в обратном направлении, что также
важно учитывать, так как спектрально уплотненные каналы могут распро­
страняться противонаправлено. В классических ВОЛС данный вид шума, как
правило, несущественно влияет на соотношение сигнал/шум информационных
каналов. Однако данный шум оказывает существенное влияние на работу си­
86
Рис. 1.6 — Измеренный спектр спонтанного комбинационного рассеяния на
выходе из 25 км волокна SMF-28 при длине волны накачки 1530 нм
стем КРК, в случае если квантовый канал распространяется в одном волокне
с информационными [6; 100; 101].
1.9
Четырехволновое смешение
Четырехволновое смешение (ЧВС) – еще один нелинейный процесс, происхо­
дящий в оптическом волокне, который вызывает различные помехи в системах
ВОЛС. Заключается он в том, что две или три волны накачки взаимодействуя
с нелинейной средой оптического волокна порождают еще одну волну, которая
распространяется в волокне на частоте являющейся алгебраической суммой ча­
стот участвующих в процессе волн:
𝑓4 = 𝑓1 ± 𝑓2 ± 𝑓3
(1.19)
При этом в случае участия двух волн (𝑖 = 𝑗) процесс называют вырожден­
ным ЧВС. На фундаментальном уровне ЧВС можно рассмотреть как процесс
рассеяния, где два фотона с энергиями ℎ𝑓1 и ℎ𝑓2 уничтожаются и порождают
87
два фотона с энергиями ℎ𝑓3 и ℎ𝑓4 . При этом, для выполнения закона о сохране­
нии момента, необходимо выполнение условия фазового синхронизма. Фазовое
расхождение для ЧВС можно записать как:
∆ = β(𝑓3 ) + β(𝑓4 ) − β(𝑓1 ) − β(𝑓2 )
(1.20)
Рис. 1.7 — Схематичное изображение спектра ЧВС
Данный процесс вызывает перекрестные помехи в системах DWDM. Рас­
полагаясь в однородной сетке, свет каналов участвующих в ЧВС, будут
неизбежно порождать волны, попадающие в спектральную полосу других ка­
налов [14; 102; 103]. Для борьбы с этим было предложено использовать сетки с
неоднородным расположением [104].
1.10 Совместная передача квантовых и информационных каналов
в волоконно-оптических линиях связи
Важнейшим этапом на пути развития квантовых телекоммуникаций явля­
ется поиск решений по внедрению соответствующих систем в существующие
ВОЛС. В силу очень слабой мощности сигнала, осуществляющего квантовое
распределение ключа, идеальным условием для его распространения является
темное волокно. Другими словами, волокно по которому не распространяет­
ся ничего кроме квантового сигнала. В условиях быстро растущего трафика
88
и высокой стоимости прокладки новых оптоволоконных линий, обеспечить вы­
деление темного волокна под систему КРК зачастую является экономически
не выгодным решением. Поэтому большой объем исследований в мире по­
священо тематике совместного распространения квантового и классического
информационного сигнала в одном волокне. Впервые подобное решение было
продемонстрировано в [40], где классический сигнал был помещен в С-диапазон,
а квантовый в О-диапазон используя технологию CWDM. Подобные решения
в дальнейшем были применены для совместного распространения квантового и
классических каналов на большие расстояния в присутствии классических кана­
лов с суммарным трафиком более 1 Тбит/сек [105; 106]. Успех данного подхода
объясняется низким влиянием нелинейных шумов, вызванных присутствием ин­
формационных каналов в С-диапазоне. Однако оптическое затухание в волокне
на данной длине волны почти в два раза больше. В силу распространенности
технологии DWDM в современных сетях и низких потерях оптического волок­
на на длине волны 1550 нм, особый интерес занимает изучение возможности
совместного распространения квантового и информационных каналов в С-диа­
пазоне [107; 108]. В такой конфигурации влияние вышеописанных нелинейных
эффектов является существенным. Влияние прямого и обратного шума СКР
может быть описано согласно [13; 14] следующими выражениями
𝑃𝑟𝑎𝑚,𝑓 = 𝑃𝑜𝑢𝑡 𝐿
𝑁𝑐ℎ
∑︁
ρ(λ𝑐 ,λ𝑞 )∆λ.
(1.21)
𝑐=1
𝑁
𝑐ℎ
sinh(ξ𝐿) ∑︁
𝑃𝑟𝑎𝑚,𝑏 = 𝑃𝑜𝑢𝑡
ρ(λ𝑐 ,λ𝑞 )∆λ,
ξ
𝑐=1
(1.22)
Где 𝑃𝑜𝑢𝑡 - мощность на выходе из оптического волокна, которая при этом
является достаточно высокой для безошибочной передачи данных согласно
стандарту; ξ - затухания в волокне; 𝐿 - длина оптического волокна; 𝑁𝑐ℎ - количе­
ство классических (информационных) каналов; λ𝑐 - длина волны классического
канала под номером 𝑐; λ𝑞 - длина волны квантового канала; ∆λ - полоса пропус­
кания фильтра, изолирующего квантовый канал от информационных; ρ(λ𝑐 ,λ𝑞 )
- нормированное сечение рассеяния для заданных длин волн информационного
89
и квантового каналов. Последнее определяется из экспериментальных данных
в [13] изображенных на Рис. 1.6. Выходную мощность удобнее использовать
в расчете, чем выходную, так как в таком случае мощность информационных
каналов становится автоматически оптимизированной с точки зрения генериру­
емого ими шума и безошибочной передачи данных. Выходная мощность может
быть найдена по формуле
𝑃𝑜𝑢𝑡 [dBm] = 𝑅𝑥 [dBm] + 𝐼𝐿[dB].
(1.23)
Где 𝑅𝑥 - чувствительность приемника информационного канала, а 𝐼𝐿 - по­
тери в модуле приемника.
Рис. 1.8 — Измеренный спектр эффективного сечения спонтанного
комбинационного рассеяния волокна SMF-28 при длине волны накачки 1550
нм
Рисунок 1.8 Измеренный спектр эффективного сечения спонтанного ком­
бинационного рассеяния волокна SMF-28 при длине волны накачки 1550 нм
Четырехволновое смешение возникает в случае, когда квантовый канал на­
ходится на длине волны, совпадающей с длинами волн продуктов данного
эффекта. Мощность возникшего света определяется согласно [14] по формуле
η𝐷2 γ2 𝑃𝑖 𝑃𝑗 𝑃𝑘 𝑒−ξ𝐿
𝑃𝑖𝑗𝑘 =
(1 − 𝑒−ξ𝐿 )2
2
9ξ
(1.24)
90
Где 𝑃𝑖 , 𝑃𝑗 and , 𝑃𝑘 - входные мощности информационных каналов играющих
роль накачки; γ = 2π𝑛2 / (λ𝐴𝑒𝑓 𝑓 )- нелинейный коэффициент, рассчитывающий­
ся через нелинейный параметр 𝑛2 и эффективную площадь фундаментальной
моды волокна 𝐴𝑒𝑓 𝑓 ; 𝐷 - фактор вырожденности, принимающий значение 6 для
случая 𝑖 ̸= 𝑗 ̸= 𝑘 и значение 3 для случая 𝑖 = 𝑗 ̸= 𝑘. η - эффективность
процесса, которая может быть получена из следующего выражения
ξ2
η= 2
ξ + ∆β2
(︃
1+
4𝑒−ξ𝐿 𝑠𝑖𝑛2 (∆β𝐿/2)
2
(1 − 𝑒−ξ𝐿 )
)︃
(1.25)
Которая во многом определяется фактором совпадения фаз , который может
быть вычислен следующим образом.
(︂
(︂ )︂
)︂
2πλ2
𝑑𝐷𝑐 λ2
∆β =
|𝑓𝑖 − 𝑓𝑘 | |𝑓𝑗 − 𝑓𝑘 | 𝐷𝑐 +
(|𝑓𝑖 − 𝑓𝑘 | + |𝑓𝑗 − 𝑓𝑘 |)
𝑐
𝑑λ
𝑐
(1.26)
Помимо нелинейных эффектов, перекрестные помехи, вызванные неидеаль­
ностью фильтров, отделяющих квантовый канал от классических, буду также
влиять на работу системы КРК. Мощность шума вызванного линейными пере­
крестными помехами может быть расчитана следующим образом.
𝑃𝐿𝐶𝑋𝑇 [dBm] = 𝑃𝑜𝑢𝑡 [dBm] − 𝐼𝑆𝑂𝐿[dB],
где 𝐼𝑆𝑂𝐿 - экстинкция изоляции квантового канала от классических.
(1.27)
91
ГЛАВА 2. Влияние хроматической дисперсии на работу протокола
квантового распределения ключа на боковых частотах
2.1
Фазовый эффект хроматической дисперсии в КРКБЧ
Рассмотрим непрерывное фазомодулированное излучение, распространяю­
щееся по оптическому волокну. Эффект дисперсии в таком случае будет
заключаться в том, что боковые частоты будут иметь разные по отношению
друг к другу фазовые скорости. Для качественного описания влияния это­
го процесса на систему КРКБЧ мы рассмотрим упрощенную аналитическую
модель, рассматривающую две боковые частоты классического фазомодулиро­
ванного света. Данное упрощение приемлемо, так как рассматриваемая системы
КРКБЧ оперирует когерентными состояниям света. Сдвиги фаз левой и правой
боковых первого порядка могут быть записаны с помощью следующих выра­
жений
Φ+ =
(︂
)︂
β2
β1 + Ω Ω𝐿
2
)︂
(︂
β2
Φ− = − β1 − Ω Ω𝐿
2
(2.1)
(2.2)
Где 𝐿 - длина оптического волокна. Зная эти сдвиги фаз, мы можем перепи­
сать выражение 1.1 для поля перед модулятором Боба в следующем виде
𝑖𝑎 𝑖[(ω+Ω)𝑡+φ𝐴 +Φ+ ] 𝑖𝑎 𝑖[(ω−Ω)𝑡−φ𝐴 +Φ− ]
𝑒
+ 𝑒
(2.3)
2
2
Тогда, после повторной модуляции и разложения в ряд Тэйлора мы получим
𝐸𝐴 = 𝐴𝑒𝑖ω𝑡 +
следующее выражения для поля
𝐸𝐵 = 𝐴′ 𝑒𝑖ω𝑡 +
𝑖𝑎
𝑖𝑎 𝑖(ω+Ω)𝑡 𝑖φ𝐵
𝑒
(𝑒 + 𝑒𝑖(φ𝐴 +Φ+ ) ) + 𝑒𝑖(ω−Ω)𝑡 (𝑒−𝑖φ𝐵 + 𝑒−𝑖(φ𝐴 −Φ− ) ), (2.4)
2
2
92
Где 𝐴′ - амплитуда поля несущей после повторной модуляции. Предполагая,
что левая и правая боковые интерферируют независимо друг от друга, мы мо­
жем рассмотреть следующие выражения полей
𝐸+ = 𝑏𝑒𝑖ω𝑡 (𝑒𝑖(Ω𝑡+φ𝐵 ) + 𝑒𝑖(Ω𝑡+φ𝐴 +Φ+ ) )
(2.5)
𝐸− = 𝑏𝑒𝑖ω𝑡 (𝑒−𝑖(Ω𝑡+φ𝐵 ) + 𝑒−𝑖(Ω𝑡+φ𝐴 −Φ− ) ),
(2.6)
Где 𝑏 = 𝑖𝑎/2 - амплидуа полей боковых частот. Теперь мы можем записать
выражения для интенсивностей этих полей:
𝐼+ = 𝐸+ 𝐸+* = 2 |𝑏|2 (1 + 𝑐𝑜𝑠(φ𝐵 − φ𝐴 − Φ+ ))
(2.7)
𝐼− = 𝐸− 𝐸−* = 2 |𝑏|2 (1 + 𝑐𝑜𝑠(φ𝐴 − φ𝐵 + Φ− ))
(2.8)
Предполагая некогерентное сложение этих интенсивностей, выражение для
интенсивности света на стороне Боба перед детектором одиночных фотонов
будет выглядеть следующим образом:
𝐼𝐵 = 𝐼− + 𝐼+ = 2 |𝑏|2 (2 + 𝑐𝑜𝑠(φ𝐵 − φ𝐴 − Φ+ ) + 𝑐𝑜𝑠(φ𝐵 − φ𝐴 + Φ− ))
(2.9)
Затем, используя формулу суммы косинусов, мы можем переписать это вы­
ражение в виде:
𝐼𝐵 = 4 |𝑏|2 (1 + 𝑐𝑜𝑠(φ𝑏 − φ𝑎 − 𝐿β1 Ω) · 𝑐𝑜𝑠(𝐿β2 Ω2 /2))
(2.10)
Можно заметить, что минимум и максимум интерференции в данном случае
соответсвует следующим фазовым условиям соответственно:
φ𝐵 − φ𝐴 − 𝐿β1 Ω = 0
(2.11)
φ𝐵 − φ𝐴 − 𝐿β1 Ω = π
(2.12)
93
В главе мы показали, что квантовый коэффициент ошибок связан с вид­
ностью интерференции. Используя выражение 2.10 и вышеуказанные фазовые
условия мы можем получить выражение для видимости следующим образом:
𝑉 =
⃒
𝐼𝑚𝑎𝑥 − 𝐼𝑚𝑖𝑛
(1 + 𝑐𝑜𝑠(𝐿β2 Ω2 /2)) − (1 − 𝑐𝑜𝑠(𝐿β2 Ω2 /2)) ⃒⃒
2
⃒
=
=
𝑐𝑜𝑠(𝐿β
Ω
/2)
2
2
2
𝐼𝑚𝑎𝑥 + 𝐼𝑚𝑖𝑛
(1 + 𝑐𝑜𝑠(𝐿β2 Ω /2)) + (1 − 𝑐𝑜𝑠(𝐿β2 Ω /2))
(2.13)
Стоит заметить, что когда разность набега фаз между боковыми соответ­
ствует условию 𝐿β2 Ω2 /2 = −π/2 видность интерференции уходит в ноль
независимо от фазы наведенной модулятором Боба. Таким образом, генерация
секретного ключа будет невозможной для определенных длин оптического во­
локна без использования компенсаторов дисперсии.
Вышеуказанная аналитическая модель, использующая только две боковые
частоты спектра фазомодулированного излучения, качественным образом по­
казывает негативное влияние хроматической дисперсии на работу протокола
КРКБЧ. Для количественной оценки этого влияния и расчета квантового ко­
эффициента ошибок и скорости генерации секретного ключа, нам необходимо
рассмотреть вклад всех боковых частот в спектре. Для этого мы применим
численную модель, построенную на основе решения нелинейного уравнения
Шредингера в Фурье пространстве (1.18). В данном уравнении мы занулим
коэффициент третьего порядка дисперсии β3 , отвечающего за наклон диспер­
сионной кривой. Это распространенный прием, применяемый для расчетов
распространения оптических сигналов вблизи одной длины волны [85].
В добавок к теоретическим расчетам, был проведен эксперимент на установ­
ке 2.1, моделирующей систему КРКБЧ, где мы использовали сильное лазерное
излучение, измеритель мощности и оптическое волокно разной длины.
На рисунке 2.2 приведено сравнение двух теоретических рассчетов, ис­
пользующих аналитическую модель и численную, а также экспериментально
полученные значения видности интерференции от длины оптоволоконного ка­
нала.
Наблюдается полное совпадение аналитической и численных моделей, что
говорит о том, что наибольший вклад делается именно боковыми первого поряд­
94
Рис. 2.1 — Оптическая схема для измерения видности интерференции боковых
частот. Л - лазер, И - изолятор, ФМ - фазовые модуляторы, КП - контроллер
поляризации, СФ - спектральный фильтр, ИМ -измеритель мощности
Рис. 2.2 — Зависимость видимости интерференции боковых частот
фазомодулированного излучения в протоколе КРК от длины оптического
волокна
ка. Таким образом аналитическая модель может быть использована для оценки
видимости интерференции реальной системы. В таблице 4 указаны параметры
системы КРКБЧ используемые для дальнейших расчетов в этой главе. Пара­
метры волокна для моделирования взяты из таблицы 4.
95
Таблица 4 — Описание и значения параметров модели.
Параметр
Описание
𝑁 =2
Количество базисов
µ0 = 4
Среднее число фотонов перед модуляцией
𝑚 = 0.319
Индекс модуляции
µ = 0.2
Среднее число фотонов на боковых частотах после модуляции
𝑇 = 10 ns
Окно модуляции
−3
ϑ = 10
Изоляция несущей
∆φ = 5∘
Среднее значение фазового несовпадения
η𝐵 = 6.4 dB
Потери в модуле приемника
η𝐷 = 25%
Квантовая эффективность детектора
γ𝑑𝑎𝑟𝑘 = 25 Hz
Частота темновых отсчетов
Ω = 4.8 GHz
Частота модуляции
2.2 Расчет параметров КРКБЧ с учетом фазового эффекта хрома­
тической дисперсии
Для расчета квантового коэффициента ошибок и скорости генерации секрет­
ного ключа нам необходимо обратиться к квантовой модели распространения
света через оптическую схему КРКБЧ. В рамках этой модели, монохроматиче­
ский свет лазера может быть записан в виде:
√
|ψ⟩ = | µ0 ⟩0 ⊗ |vac⟩𝑆𝐵 ,
Где |vac⟩𝑆𝐵 - вакуумное состояние спектра боковых частот, а
(2.14)
√
µ0 0 - коге­
рентное состояние моды несущей частоты со средним числом фотонов µ0 . Фаза
несущей выбрана равной нулю. Тогда состояние света после фазового модуля­
тора на стороне Алисы может быть записано в виде:
|ψ0 (φ𝐴 )⟩ =
𝑆
⨂︁
𝑘=−𝑆
|α𝑘 (φ𝐴 )⟩𝑘 .
С когерентными амплитудами определяемыми соотношениями
(2.15)
96
√
µ0 𝑑𝑆0𝑘 (ε)𝑒−𝑖(θ1 +φ𝐴 )𝑘 ,
(︂
)︂2
1
𝑚
cos (ε) = 1 −
,
2 𝑆 + 0.5
α𝑘 (φ𝐴 ) =
(2.16)
где θ1 - постоянная фаза, 𝑑𝑆0𝑘 - d-функции Вигнера [109], а 𝑘 - порядковый
номер соответствующей боковой частоты. После прохождения через квантовый
канал происходит повторная модуляция с той же частотой, но другим сдвигом
фазы φ. Итоговое состояние является многомодовым когерентным состоянием.
|ψ𝐵 (φ𝐴 , φ)⟩ =
с амплитудами
α𝑘 (φ𝐴 , φ𝐵 ) =
√︀
𝑆
⨂︁
𝑘=−𝑆
|α𝑘 (φ𝐴 , φ)⟩𝑘
µ0 η(𝐿)η𝐵 exp (−𝑖θ2 𝑘) 𝑑𝑆0𝑘 (ε′ ) ,
cos ε′ = cos2 ε − sin2 ε cos (φ𝐴 − φ + φ0 ) ,
(2.17)
(2.18)
где θ2 и φ0 - фазы определенные фазовым модулятором. Причем φ0 ском­
пенсирована Бобом согласно соотношению φ𝐵 = φ − φ0 . Коэффициент
пропускания квантового канала - η(𝐿) = 10−ξ𝐿/10 , и оптические потери в модуле
приемника η𝐵 определяются экспериментально.
Среднее число фотонов попадающее на детектор на стороне Боба во времен­
ном окне 𝑇 определяется
𝑛𝑝ℎ (φ𝐴 , φ𝐵 ) = µ0 η(𝐿)η𝐵
(︁
⃒ 𝑆 ′ ⃒2 )︁
1 − (1 − ϑ) ⃒𝑑00 (ε )⃒ ,
(2.19)
где ϑ ≪ 1 затухание несущей частоты.
Теперь для определения влияния дисперсии, мы определим доли ∆1 и ∆2
соответствующие изменению среднего числа фотонов 𝑛𝑝ℎ в результате фазового
сдвига между боковыми частотам для случаев конструктивной и деструктивной
интерференции соответственно.
)︁
⃒ 𝑆 ′ ⃒2 )︁
⃒
⃒
µ0 1 − (1 − ϑ) 𝑑00 (ε )
+ ∆1 ,
(︁ (︁
)︁
⃒ 𝑆 ′ ⃒2 )︁
′
⃒
⃒
𝑛𝑝ℎ (0, π + ∆φ) = η(𝐿)η𝐵 µ0 1 − (1 − ϑ) 𝑑00 (ε )
+ ∆2 ,
𝑛′𝑝ℎ (0, ∆φ) = η(𝐿)η𝐵
(︁
(︁
(2.20)
(2.21)
97
Непосредственно для рассчета использовалось асимптотическое поведения
функций Вигнера [110]
(2.22)
𝑑𝑆𝑛𝑘 (ε) −→ 𝐽𝑛−𝑘 (𝑚).
𝑆→∞
В такой форме количество боковых частот - бесконечно, что приближает
модель к конвенциональному подходу [111; 112]. Теперь, используя следующие
соотношения для долей средних чисел фотонов
∆1 =µ𝑐𝑜𝑛𝑠 (𝐿) − µ𝑐𝑜𝑛𝑠 (0),
(2.23)
∆2 =µ𝑑𝑒𝑠𝑡 (𝐿),
мы можем вычислить вероятность детектирования для заданных фаз исполь­
зуя следующее выражение:
𝑃𝑑𝑒𝑡 (φ𝐴 , φ𝐵 ) =
(︂
)︂
𝑛′𝑝ℎ (φ𝐴 , φ𝐵 )
η𝐷
+ γ𝑑𝑎𝑟𝑘 ∆𝑡,
𝑇
(2.24)
После чего, следуя выражениям 1.5, 1.6 и 1.7 мы получим значение для кван­
тового коэффициента ошибок 𝑄 с учетом влияния хроматической дисперсии
волокна (Рис. 2.3).
0.8
Q, c.u.
0.6
0.4
0.2
50
100
150
L, km
200
250
300
Рис. 2.3 — Квантовый коэффициент ошибок 𝑄 в зависимости от длины
оптического волокна с системе КРКБЧ с учетом влияния хроматической
дисперсии канала
98
Затем, используя выражение 1.12 мы можем получить зависимость скорости
генерации секретного ключа от расстояния (Рис. 2.4). Мы можем наблюдать,
что скорость генерации падает в ноль после 53 км без возможности подняться
за счет увеличения видимости, наблюдаемой на Рис. 2.2.
5 × 105
K, bit/s
1 × 105
5 × 104
1 × 104
5000
10
20
30
L, km
40
50
Рис. 2.4 — Зависимость скорости генерации секретного ключа 𝐾 от длины
оптического волокна в системе КРКБЧ с учетом хроматической дисперсии
канала
2.3 Метод компенсации хроматической дисперсии для протокола
КРКБЧ
В предыдущих секциях диссертации было показано, что квантовый сигнал,
закодированный в боковые частоты фазомодулированного излучения, быстро
деградирует за счет разностного набега фаз левого и правого набора частот.
Типичные методы, использующиеся для компенсации хроматической диспер­
сии, заключаются в использовании устройств характеризуемых отрицательным
дисперсионным параметром. В основном это либо волоконные брэгговские ре­
шетки [88], либо специальные оптические волокна [89]. В протокола КРКБЧ,
для избежания действия фазового эффекта, было предложено передавать кван­
товый сигнал лишь на одной боковой частоте фазомодулированного излучения.
99
Была исследована оптическая схема 2.5, реализующая данный подход. Пе­
редача одной боковой частоты в данной схеме осуществляется с помощью
спектральных фильтров, основанных на волоконных брэгговских решетках
(ВБР). Фильтры ВБР имеют достаточно узкую полосу пропускания, положе­
ние которой по частоте можно подстраивать с помощью температуры. Данные
фильтры могут быть настроены для "на проход что подразумевает прохожде­
ние полезного сигнала через ВБР, а также "на отражение что подразумевает
обратный ход (отражение) полезного сигнала от ВБР. В представленной схеме,
СФ1 был установлен на отражение, дабы избежать попадания в оптоволокон­
ный канал боковых частот высших порядков. В свою очередь, СФ2 и СФ3 были
установлены на проход. Эксперимент проводился с использованием "классиче­
ского"излучения. Мощность лазерного излучения, имело значение на выходе
из модуля Алисы в 3мВт, что существенно превышает типичную для КРКБЧ
мощность излучения. Это позволяет использовать измеритель мощности вместо
детектора одиночных фотонов, что упрощает эксперимент. При этом резуль­
тат остается достоверным и для "квантового"излучения, поскольку в КРКБЧ
используются слабые когерентные состояния света, получаемые ослаблением
лазера за счет установки оптических аттенюаторов. В ходе эксперимента были
измерены максимумы и минимумы интерференции боковых частот для разных
длин оптического волокна, получаемые за счет соответствующей подстройки
фазы φ𝐵 ., , .
Результаты, представленные на рисунке 2.6, показывают зависимость вид­
ности от длины оптического волокна для полученных с помощью численной
модели и в ходе вышеописанного эксперимента. Видно, что модель хорошо со­
гласуется с экспериментом, а эффект дисперсии полностью скомпенсирован.
Стоит уточнить, что данный подход позволяет избежать влияние только
фазового эффекта. Временное уширение импульса, вызывающее понижение эф­
фективности детектирования за счет выхода части мощности за пределы гейта,
может быть скомпенсировано лишь традиционными аналоговыми методами,
представленными в начале этого раздела. Однако, данный эффект не оказывает
существенного влияния на систему, рассматриваемую в данной работе в после­
100
Рис. 2.5 — Оптическая схема КРКБЧ с компенсацией фазового эффекта
хроматической дисперсии №1. Л - лазер NeoPhotonics, ОИ - оптический
изолятор, ФМ - фазовые модуляторы, КП - контроллер поляризации, ИМ измеритель мощности оптический, СФ1, СФ2 и СФ3 - фильтры ВБР
дующих разделах. Для используемого времени гейта в 1 нс и соответствующей
ему ширины импульса сигнала, временное уширение не превысит нескольких
пикосекунд, при длине оптического волокна в 100 км.
Рис. 2.6 — Сравнение численной модели и экспериментальных значений
видимости интерференции боковых частот в системы КРКБЧ с компенсацией
дисперсии
Вводя подобные модификации в оптическую схему системы КРК, мы обя­
заны подтвердить, что ее устойчивость к взлому не была скомпрометирована.
101
Для этого необходимо произвести перерасчет коэффициента квантовых оши­
бок и скорости генерации секретного ключа с учетом измененного спектра, в
котором теперь содержится квантовый сигнал. В случае если мы фильтруем
правую ветку боковых частот, мы можем записать многомодовое когерентное
состояние на входе в модулятор Боба как
|ψ0 (φ𝐴 )⟩ =
(︃ 𝑆
⨂︁
𝑘=0
|α𝑘 (φ𝐴 )⟩𝑘
)︃
с когерентными амплитудами
α𝑘 (φ𝐴 ) =
√
(︃ −1
)︃
⨂︁ √
| ϑ′ α𝑘 (φ𝐴 )⟩𝑘 ,
⊗
(2.25)
𝑘=−𝑆
µ0 𝑑𝑆0𝑘 (ε)𝑒−𝑖(θ1 +φ𝐴 )𝑘 .
(2.26)
Используя обобщенное определение оператора эволюции для оператора уни­
чтожения 𝑎𝑛 (φ𝐴 ,φ,𝑡) представленное в [113], мы можем записать среднее число
фотонов на стороне Боба перед детектированием как
𝑛𝑝ℎ (φ𝐴 , φ𝐵 ) = µ0 η(𝐿)η𝐵
𝑆 ∑︁
𝑆
∑︁
2
′
𝑑𝑆0𝑛′ (ε1 )𝑑𝑆𝑛′ 𝑛 (ε1 )𝑒−𝑖𝑛 (φ𝐴 −φ𝐵 ) ,
(2.27)
𝑛=1 𝑛′ =0
Где η′𝐵 - новый коэффициент пропускания в модуле приемника, возникший
за счет добавления новых фильтров в оптическую схему. Внутренняя сумма
выражения относится к состоянию, переданному по квантовому каналу, в то
время как внешняя сумма относится к измеряемым модам.
При использовании данного подхода важно понимать бюджет потерь прием­
ника. Бюджет потерь потерь приемника - максимально допустимая величина
потерь в Дб, при которой параметры функционирования системы остаются при­
емлемыми. Он определяется под конкретную задачу, стоящую перед системой.
Каждый дополнительный спектральный фильтр может вводить до 1дБ потерь.
В общем виде, с учетом всех факторов затухания, среднее число фотонов на
стороне Боба может быть записано как
102
(︃ 𝑆 ⃒ 𝑆
∑︁ ⃒⃒ ∑︁
′
′
𝑑𝑆0𝑛′ (ε1 )𝑑𝑆𝑛′ 𝑛 (ε1 )𝑒−𝑖𝑛 (φ𝐴 −φ𝐵 )
𝑛𝑝ℎ (φ𝐴 , φ𝐵 ) = µ0 η(𝐿)η𝐵
⃒
⃒
𝑛=1 𝑛′ =0
⃒2
−1
⃒
√ ∑︁
𝑆
𝑆
−𝑖𝑛′ (φ𝐴 −φ𝐵 ) ⃒
′
+ ϑ
𝑑0𝑛′ (ε1 )𝑑𝑛′ 𝑛 (ε1 )𝑒
⃒
⃒
𝑛′ =−𝑆
⃒ 𝑆
−1 ⃒ ∑︁
∑︁
′
⃒
𝑑𝑆0𝑛′ (ε1 )𝑑𝑆𝑛′ 𝑛 (ε1 )𝑒−𝑖𝑛 (φ𝐴 −φ𝐵 )
+ϑ′′
⃒
⃒
𝑛=−𝑆 𝑛′ =0
⃒2
−1
⃒
√ ∑︁
𝑆
𝑆
−𝑖𝑛′ (φ𝐴 −φ𝐵 ) ⃒
′
+ ϑ
𝑑0𝑛′ (ε1 )𝑑𝑛′ 𝑛 (ε1 )𝑒
⃒
⃒
𝑛′ =−𝑆
⃒
𝑆
⃒ ∑︁
′
′′′ ⃒
𝑑𝑆0𝑛′ (ε1 )𝑑𝑆𝑛′ 0 (ε1 )𝑒−𝑖𝑛 (φ𝐴 −φ𝐵 )
+ϑ ⃒
⃒ ′
𝑛 =0
⃒2 )︃
−1
⃒
√ ∑︁
𝑆
𝑆
−𝑖𝑛′ (φ𝐴 −φ𝐵 ) ⃒
′
+ ϑ
𝑑0𝑛′ (ε1 )𝑑𝑛′ 0 (ε1 )𝑒
⃒ ,
⃒
′
(2.28)
𝑛 =−𝑆
Где ϑ′ ≪ 1 и ϑ′′ ≪ 1 - факторы затухания левой ветки боковых частот на
стороне Алисы и Боба соответственно, а ϑ′′′ ≪ 1 - фактор затухания несущей ча­
стоты. В предложенной схеме используется фильтрация левых боковых вместе
с несущей частотой, а потому ϑ′′ = ϑ′′′ . Эксперимент показывает, что после­
довательное применение фильтров не удваивает экстинкцию, но увеличивает.
Примерное значение изоляции, вносимой фильтром было оценено как 40 дБ.
Сравнение двух подходов, представленных выражениями 2.27 и 2.28, показа­
но на рисунке 2.7. Мы можем видеть полное совпадение полученных кривых, а
значит для расчетов можно использовать упрощенную модель 2.27.
Наконец, на рисунке , мы можем увидеть расчет скорости генерации секрет­
ного ключа для трех случаев: без учета дисперсии, с учетом дисперсии в старой
схеме и с учетом дисперсии в новой схеме. Можно заметить, что показатели сек­
ретности в случае новой схемы близки к показателям старой схемы без учета
влияния дисперсии.
103
.
Approximate calculation
Accurate calculation
105
K, bit/s
104
1000
100
10
0
50
100
150
L, km
200
250
Рис. 2.7 — Скорость генерации секретного ключа 𝐾 в зависимости от длины
оптического волокна в системы КРКБЧ, рассчитанная для двух случаев:
точный расчет с учетом всех факторов затухения, и упрощенный расчет, где
все факторы приравнены к нулю
Рис. 2.8 — Скорость генерации секретного ключа 𝐾 в зависимости от длины
оптического волокна в системы КРКБЧ, рассчитанная для двух случаев: без
учета дисперсии, с учетом дисперсии в старой схеме и с учетом дисперсии в
новой схеме
104
2.4 Временной эффект хроматической дисперсии в протоколе
КРКБЧ
В случае использования импульсного излучения, помимо фазового эффекта,
возникает также и временной эффект. В классических сетях, это проявляется
во временном уширении импульсов и их возможное перекрытие с соседними,
что в свою очередь вызывает интерференцию между символами информации,
закодированными в эти импульсы. В случае систем КРК, такое уширение может
привести к выпаданию части излучения импульсов за рамки гейта детектора
одиночных фотонов. Данное явление приводит к уменьшению вероятности де­
тектирования и ухудшению характеристик системы.
Помимо этого в КРКБЧ присутствует еще один эффект, связанный с особен­
ностью спектра, содержащего квантовый сигнал. Так как спектр излучения в
протоколе КРКБЧ состоит из множества частотных мод, в результате диспер­
сии, каждая мода распространяется со своей групповой скоростью.
Рис. 2.9 — Численное моделирование фазомодулированного гауссовского
импульса (шириной 0.5 ns) после прохождения через оптическое волокно.
Различные частотные моды разделены и показны на одной временной шкале
105
Численные расчеты показывают (Рис. 2.9), что фазомодулированный гаус­
совский импульс пройдя через оптическое волокно сильно изменяется, а его
спектральные компоненты разъезжаются в разные стороны временной оси от
импульса несущей частоты. Такое поведение спектральных компонент приводит
к тому, что при повторной модуляции, излучение попадающее на боковые часто­
ты не идеально перекрывается со старыми компонентами, что в свою очередь
приводит к падению видимости интерференции. На рисунке 2.10 показан чис­
ленный расчет видимости интерференции боковых частот в протоколе КРКБЧ
для импульсов различной ширины. Мы можем видеть, что данный эффект ста­
новится актуален лишь на для расстояний свыше 100 км и для импульсов короче
1 нс. Таким образом, для рассматриваемой системы, данный эффект не явля­
ется существенным.
Рис. 2.10 — Сравнение видимости боковых частот для гауссовских импульсов
различной ширины
106
ГЛАВА 3. Влияние шумов, связанных с присутствием классических
каналов системы DWDM в одном волокне с сигналом КРКБЧ
3.1
Учет шумов канала при расчете параметров системы КРКБЧ
Любой шум 𝑃𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒 , присутствующий в оптоволоконном канале будет, увели­
чивать вероятность ошибочного срабатывания детектора одиночных фотонов,
которая в общем виде вычисляется по формуле
𝑃𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒
∆𝑡η𝐷 η𝐵 ,
ℎ𝑐/λ𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒
где λ𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒 - длина волны светового шума.
𝑝𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒 =
(3.1)
Таким образом, выражение, описывающее полную вероятность срабатыва­
ния детектора в протоколе КРКБЧ, описывается в виде:
𝑃𝑑𝑒𝑡 (φ𝐴 ,φ𝐵 ) =
(︂
)︂
𝑛𝑝ℎ (φ𝐴 ,φ𝐵 )
+ γ𝑑𝑎𝑟𝑘 ∆𝑡 + 𝑝𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒 .
η𝐷
∆𝑇
(3.2)
Зная полную вероятность, мы можем по аналогии с уравнениями 1.9 и 1.10
получить выражения для квантового коэффициента ошибок.
2µτη(1 − ϑ) (1 − cos(∆φ)) + τϑµ0 η + 𝑝𝑑𝑎𝑟𝑘 + 𝑝𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒
,
(3.3)
4µτη(1 − ϑ) + 2τϑµ0 η + 2𝑝𝑑𝑎𝑟𝑘 + 2𝑝𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒
После чего мы можем посчитать скорость генерации секретного ключа со­
𝑄=
гласно выражению 1.12.
Важный параметр, который мы будем отслеживать при дальнейших рас­
четах - дальность действия системы. Она определяется как максимально
возможное расстояние, при котором будет осуществляться генерация секрет­
ного ключа согласно 1.12.
В таблице 5 указаны параметры системы КРКБЧ, которые использовались
для расчетов представленных в данной работе.
В данной части работы используются параметры стандартного одномодо­
вого волокна SMF-28. Данное волокно является самым распространенным и
107
Рис. 3.1 — Скорость генерации секретного ключа в зависимости от длины
оптического волокна SMF-28, посчитанного для случая расположения
квантового канала в однородной 100 ГГц сетке из 8 каналов. Рисунок
иллюстрирует определение значения дальности действия системы
Параметр
Значение
Параметр Значение
ξ
0.18 дБ/км
µ0
3.93
𝐷λ
16.0 пс/(нм×)
𝑚
0.316
2
𝑑𝐷λ /𝑑λ 0.09 пс/(нм × )
𝑝𝑑𝑎𝑟𝑘
4 × 10−6
𝑅𝑥
-23 дБм
∆φ
5∘
∆λ
15 ГГц
Ω
4.8 ГГц
η𝐷
0.1
ϑ
10−3
𝐼𝐿
8 дБ
𝑣𝑆
100 МГц
−1−1
γ
0.78 Вт
∆𝑡
1 нс
Таблица 5 — Параметры ВОЛС и системы КРКБЧ.
доступным вариантов для построения волоконно-оптических линий связи и
большинство оптических транспортных сетей построены с его использованием.
Таким образом, учет влияния вышеупомянутых эффектов является наиболее
актуальным для данного типа волокна. Однако, специализированные типы
волокон тоже внедряются в ВОЛС. В частности, волокна с увеличенной эф­
фективной площадью моды используются для построения подводных сетей.
108
Расширенная модель шума СКР и расчет параметров системы КРКБЧ для
таких волокон представлен в разделе 3.4.
3.2
Влияние шума спонтанного комбинационного рассеяния
Существует два способа построения системы КРКБЧ с точки зрения исполь­
зуемого излучения. Первый способ предполагает использование непрерывно
излучающего лазерного источника τ = ∆𝑡/∆𝑇 = 0.1, второй предполагает ис­
пользование импульсного источника τ = 1, создаваемого за счет амплитудного
модулятора. В данной секции работы мы рассмотрим функционирование обоих
вариантов в присутствии шума от спонтанного комбинационного рассеяния.
Важным параметром в расчете влияния данного нелинейного шума является
чувствительность детектора SFP модуля классического канала 𝑅𝑥 . Мощность
шумов, возникающих из-за нелинейных эффектов в оптическом волоке, на­
прямую зависит от мощности информационных каналов (уравнения 1.21, 1.22
и 1.24). Поэтому для наиболее эффективной работы КРК необходимо макси­
мально снизить их мощности. Минимально возможная мощность на выходе
оптического волокна определяется уравнением 1.23.
На рисунке 3.3 изображена зависимость квантового коэффициента ошибок и
вероятностей детектирования в присутствии прямого и совокупного спонтанно­
го комбинационного рассеяния, для версии КРК с непрерывным источником.
На рисунке 3.4 изображена зависимость квантового коэффициента ошибок
и вероятностей детектирования в присутствии прямого и совокупного спонтан­
ного комбинационного рассеяния, для версии КРК с амплитудной модуляцией
непрерывного излучения.
Мы можем видеть, что значения квантового коэффициента ошибок суще­
ственно ниже, чем для случая с непрерывным источником.
Рамановский шум равномерно распределен во времени, а потому системы
с более короткими импульсами с тем же количеством фотонов на период
модуляции, что и в непрерывном случае, будут иметь лучшее соотношения
109
Рис. 3.2 — Рассматриваемая схема интегрирования системы КРКБЧ в сеть
DWDM (Обе системы работают в С-диапазоне). ИЗО - Оптический изолятор;
ФМ - Фазовый модулятор; АТТ - Аттеньюатор; MUX/DEMUX Мультиплексор/Демультиплексор
сигнал/шум. Это в свою очередь улучшает видность интерференции боковых
частот, а значит мы получим меньший квантовый коэффициент ошибок.
Как следствие, согласно рисункам 3.5, скорость генерации секретного клю­
ча для импульсного режима будет сохраняться на большие расстояния. Таким
образом мы можем заключить, что дальность действия системы существенно
лучше для КРКБЧ с амплитудным модулятором.
Теперь определим дальность действия системы в зависимости от чувстви­
тельности приемника SFP модуля классического канала. Рассматриваемый
диапазон составляет 𝑅𝑥 = −23... − 48 дБм. В него укладываются как стандарт­
ные модули, использующиеся для 1G и 10G сетях, так и более чувствительные
когерентные приемники, использующиеся для дальнепролетных высокоскорост­
ных сетей. На рисунке 3.6 мы можем наблюдать четыре кривые, показывающие
вышеуказанную зависимость для различных конфигураций сети DWDM и
КРКБЧ. Видно, что наилучшая дальность получается для импульсного ва­
110
Рис. 3.3 — Квантовый коэффициент ошибок и вероятность детектирования
сигнала и шума спонтанного комбинационного рассеяния в присутствии 40
классических каналов с чувствительностью приемников 𝑅𝑥 = −28 дБм
рианта КРКБЧ в сочетании с 40 каналами распространяющимися в одном
направлении с квантовым каналом.
3.3 Влияние шума ЧВС при включении квантового канала в одно­
родную частотную сетку
Как уже было показано ранее, влияние ЧВС возникает в рассматриваемой си­
стеме только в случае совпадения длины волны продукта ЧВС с длиной волны
квантового канала. Этот случай возникает при помещении квантового канала
в однородную сетку DWDM.
При таких условиях, интересно рассмотреть зависимость величины рас­
сматриваемых шумов в зависимости от расположения квантового канала в
однородной сетке. А также зависимость уровня шумов от длины оптическо­
111
Рис. 3.4 — Квантовый коэффициент ошибок и вероятность детектирования
сигнала и шума спонтанного комбинационного рассеяния для системы
КРКБЧ с амлпитудным модулятором в присутствии 40 классических каналов
с чувствительностью приемников 𝑅𝑥 = −28 дБм
го волокна по которому распространяется квантовый сигнал. На рисунке 3.7
видно что на коротких дистанциях шум СКР существенно преобладает над
шумом связанным с ЧВС, однако кривая шума ЧВС расет существенно быст­
рее, что меняет ситуацию после определенного расстояния пройденного светом.
Тем не менее, квантовый сигнал падает до уровня шума довольно быстро, по­
этому дальность действия системы в рассматриваемом на рисунке 3.7 случае
составляет лишь 32 км. На таком расстоянии шум СКР все еще существенно
преобладает над шумом ЧВС. Теперь если мы рассмотрим зависимость уровня
различных источников шумов от расположения квантового канала в сетке 8
каналов с промежуточным расстоянием в 100 ГГц (Рис. 3.8), мы заметим, что
шум от ЧВС находится по уровню ниже даже чем шум от линейных перекрест­
ных помех. При этом наименьшее значение совокупного шума приходится на
5-й и 6-й каналы. Данный поход к моделированию влияния шума в зависимо­
112
10
w/o Raman noise
Forward
6
Key rate, bps
Forward + Backward
104
10
2
10
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Fiber length (km)
а)
w/o Raman noise
10
Forward
6
Key rate, bps
Forward + Backward
104
102
100
0
20
40
60
80
100
120
140
Fiber length (km)
б)
Рис. 3.5 — Скорость генерации секретного ключа в зависимости от длины
оптического волокна для непрерывного a) и импульсного б) режимов
излучения лазера. Чувствительность модулей приемника классических
каналов −28 дБм
сти от расположения квантового канала можно использовать для оптимизации
интегрированной системы КРК и DWDM.
Также были рассмотрены общие зависимости величин шумов СКР и ЧВС
от параметров сети DWDM. Для получения этих зависимостей были исполь­
зованы уравнения 1.21 для шума СКР и 1.24, 1.25, 1.26 для ЧВС. На рисунке
3.9 представлены зависимости мощностей соответствующих шумов от расстоя­
ния между каналами в сетке DWDM и числа каналов. Показано, что шум СКР
незначительно зависит от расстояния между информационными каналами в
113
Рис. 3.6 — Дальность действия системы КРКБЧ в присутствии 40 каналов
DWDM в зависимости от чувствительности приемника классических каналов
Рис. 3.7 — Зависимость шумов ЧВС и СКР, а также квантового сигнала
представленных в виде среднего числа фотонов на длине волны квантового
канала от длины оптического волокна
сетке, в то время как шум ЧВС существенно возрастает при его уменьшении.
Обратная ситуация наблюдается в зависимости от числа каналов. Рисунок 3.9а
получен для конфигурации с 20-ю каналами при 𝑅𝑥 = −23дБм, а рисунок 3.9б
получен для расстояния между каналами в 100ГГц, также при 𝑅𝑥 = −23дБм.
114
Рис. 3.8 — Зависимость шумов ЧВС, СКР и линейных перекрестных помех
(ПМ) в зависимости от расположения квантового канала в сетке из 8 каналов
с промежуточным расстоянием в 100 ГГц
Также были рассмотрены зависимости дальности действия системы от чис­
ла каналов 3.10а и полосы пропускания спектрального фильтра, разделяющего
квантовый канал от информационных 3.10б. Показано, что дальность действия
системы существенно возрастает с уменьшением полосы пропускания спек­
трального фильтра.
Для организации коммуникации с помощью КРКБЧ необходимы каналы син­
хронизации. Обычно, они организованы за счет дуплексного подключения SFP
модулей, обладающих скоростью передачи - 1Гбит/c и чувствительностью де­
текторов - -32дБм, в отдельном от КРК оптическом волокне. В данной части
раздела мы рассмотрим распространение каналов синхронизации и квантового
канала системы КРКБЧ в одном оптическом волокне. Каналы синхронизации
помещены на длину волны 1590 нм, в то время как квантовый канал поме­
щен на длину волны 1550 нм. В такой конфигурации будет присутствовать
прямой и обратный шум СКР, а также шум от линейных перекрестных по­
мех. При этом шум от ЧВС не будет попадать на квантовый канал. Используя
представленную в данной главе модель, была рассчитана зависимость скорости
генерации секретного ключа от длины оптического волокна. На рисунке 3.11
показано, что генерация ключа в данном случае возможна на расстояниях свы­
115
а)
б)
Рис. 3.9 — Среднее число фотонов шумов ЧВС и СКР в зависимости от
расстояния между информационными каналми сетки DWDM a) и числа
каналов б). Чувствительность модулей приемника классических каналов
−23 дБм
ше 60 км. Однако, дальность действия системы снижается вдвое по сравнению
с работой КРКБЧ в темном волокне. Одним из возможных способ избежать
возникновение нелинейного шума, вызванного присутствием каналов синхро­
низации является временное разделение этих каналов. Импульсы связанные с
квантовым каналом и каналом синхронизации можно посылать пакетами по­
очередно. В результате весь нелинейный шум будет также разделен во времени
с квантовым каналом, что позволит сохранить дальность действия системы, но
116
а)
б)
Рис. 3.10 — Дальность действия системы КРКБЧ в зависимости от числа
информационных каналов а) и полосы пропускания спектрального фильтра б)
для двух чувствительность модулей приемника информационных каналов
(−28 дБм и −32 дБм)
снизит скорость генерации ключа, так как часть времени квантовые состояния
просто не будут передаваться.
117
Рис. 3.11 — Зависимость скорости генерации секретного ключа системы
КРКБЧ при одновременном распространении с каналами синхронизации в
одном оптическом волокне
3.4
Расчет для произвольных типов оптического волокна
До сих пор мы рассматривали влияние нелинейных эффектов исключитель­
но в стандартном волокне SMF-28. Однако помимо данного стандарта есть
еще много других видов одномодовых оптических волокон, в частности, име­
ющих уменьшенную нелинейность или смещенную дисперсию. В классических
оптических транспортных сетях, такие волокна применяются как правило для
достижения очень больших расстояний при большой скорости передачи дан­
ных. Уменьшенная нелинейность как правило достигается за счет увеличенной
сердцевины, что делает эффективную площадь фундаментальной моды больше.
Данный факт означает, что удельная величина мощности излучения приходя­
щаяся на единицу площади сечения волокна будет меньше чем в стандартном,
таким образом эффективность нелинейных эффектов будет ниже. Данные та­
ких волокон описываются стандартом G.654. Компания Корнинг производит
целую линейку таких волокон, часть которых предназначены для подводных
линий и имеют особенно низкие потери и нелинейность. Мы рассмотрим эти
волокна в сравнении со стандартным SMF-28. Данные оптических волокон пред­
ставлены в таблице 6.
118
Таблица 6 — Параметры оптических волокон компании Корнинг
Fiber
ξ[dB/km]
𝐷 [ps/nm×𝑘𝑚]
𝑑𝐷/𝑑λ [ps/nm2 × 𝑘𝑚]
𝐴𝑒𝑓 𝑓 µ𝑚2
𝑛2 ×1020 (𝑚2 /𝑊 )
Corning EX3000
0.154
+21.0
+0.06
153
2.1
Corning EX2000
0.152
+20.2
+0.06
115
2.1
Corning LEAF
0.198
-4.0
+0.12
65
2.2
Corning L1000
0.182
+18.5
+0.06
100
2.2
SMF-28
0.18
+16.0
85
2.3
Уравнения 1.24, 1.25 и 1.26 описывающие шум ЧВС в квантовом канале пред­
полагают зависимость от вышеуказанных параметров. Однако уравнения 1.22
и 1.21 выведены из расчета на наличие конкретных значений сечения рассеяния
для волокна. Такие значения как правило доступны для волокна SMF-28, так
как оно является самым распространенным. В данном разделе мы предлагаем
приближенное обобщение этих формул, основанное на том факте, что мощность
шума СКР обратно пропорционально эффективной площади сечения. Рассмат­
ривая выражение, представленное в [114], для мощности сонаправленного шума
СКР
𝑃𝑟𝑎𝑚,𝑓 = ℎν𝑠 𝑔𝑟 𝑃𝑜𝑢𝑡 ∆ν(1 + 𝑁𝑝ℎ )/𝐴𝑒𝑓 𝑓 .
(3.4)
и аналогичное уравнение 1.21 для одного канала накачки из литературного
обзора, мы можем выразить сечение спонтанного комбинационного рассеяния
через такие параметры оптического волокна как коэффициент усиления СКР
𝑔𝑟 , населенность фононов среды 𝑁𝑝ℎ и эффективную площадь фундаменталь­
ной моды 𝐴𝑒𝑓 𝑓 :
𝑐2
ρ(λ𝑐 ,λ𝑞 ) = ℎ 3 𝑔𝑟 (1 + 𝑁𝑝ℎ )/𝐴𝑒𝑓 𝑓 .
(3.5)
λ
Считая параметры 𝑔𝑟 и 𝑁𝑝ℎ незначительно различающимися для оптических
волокон изготовленных из 𝑆𝑖𝑂2 [115], мы можем производить рассчет мощности
шума СКР для волокон с отличной от SMF-28 модовой площадью используя
следующую формулу:
𝑃𝑟𝑎𝑚,𝑓 = 𝑃𝑜𝑢𝑡 𝐿
𝑁𝑐ℎ
∑︁
𝑐=1
ρ(λ𝑐 ,λ𝑞 )∆λ ×
𝐴𝑒𝑓 𝑓,𝑆𝑀 𝐹 −28
.
𝐴𝑒𝑓 𝑓
(3.6)
119
𝑁
𝑐ℎ
𝐴𝑒𝑓 𝑓,𝑆𝑀 𝐹 −28
sinh(ξ𝐿) ∑︁
𝑃𝑟𝑎𝑚,𝑏 = 𝑃𝑜𝑢𝑡
ρ(λ𝑐 ,λ𝑞 )∆λ ×
,
ξ
𝐴
𝑒𝑓
𝑓
𝑐=1
(3.7)
Задав данные формулы мы теперь можем произвести расчет скорости гене­
рации секретного ключа системы КРКБЧ в присутствии классических каналов
DWDM сети и сравнить представленные оптические волокна. На рисунке 3.12
представлен расчет для сети из 40 каналов с сеткой 100ГГц. Мы можем заме­
тить, что лучше всего работают волокна имеющие большую площадь моды.
Самым лучшим вариантов при этом является волокно Vascade EX3000, так как
оно обладает самой большой площадью и очень низкими потерями. Самым худ­
шим волокном оказалось LEAF, это связано с наименьшей площадью моды.
Основое преимущество LEAF заключается в смещенной дисперсии, однако в
рассматриваемой конфигурации влияние ЧВС существенно меньше чем СКР.
Рис. 3.12 — Зависимость скорости генерации секретного ключа от длины
оптического волокна системы КРКБЧ в присутствии 40 каналов с сеткой 100
ГГц
120
Таким образом мы можем видеть, что используя передовые оптические
волокна с пониженой нелинейностью можно добиться увеличение дальности
действия системы КРКБЧ до 55%. При этом основной решающей характери­
стикой при выборе волокна является эффективная площадь моды, так именно
она влияет на величину шума СКР, который является преобладающим над дру­
гими источниками нелинейного шума.
3.5
Расположение квантового канала в О-диапазоне
Еще одной важной конфигурацией системы распространения квантового и
информационных сигналов в одном оптическом волокне является конфигура­
ция с расположением квантового канала в О-диапазоне. Как было упомянуто в
секции 1.10 величина шума СКР от лазера накачкой в 1550 нм примерно в 4000
раз меньше чем в С-диапазоне. Данное решение было исследовано для коге­
рентных однопролетных протоколов КРК [105]. В данном разделе мы провели
расчет для системы КРКБЧ. На рисунке 3.14 изображена оптическая схема
такой конфигурации с одним квантовым каналом помещенным на длину вол­
ны 1310 нм. В этой схеме мы соединяем излучения в двух разных диапазонах с
помощью CWDM мультиплексора на стороне Алисы и разделяем с помощью со­
ответствующего фильтра на стороне Боба. Используя модель, представленную
в предыдущих разделах, мы произвели расчет зависимости скорости генерации
секретного ключа системы КРКБЧ, работающей на длине волны 1310 нм, от
длины оптического волокна в случае использования темного волокна и в при­
сутствии 40 каналов сети DWDM с частотной сеткой 100ГГц.
Недостатком такой конфигурации является тот факт, что потери в оптиче­
ском волокне на длине волны 1310 нм примерно в два раза больше, чем на длине
волны 1550 нм. В данном расчете мы рассматривали стандартное одномодовое
волокно SMF-28, которое обладает затуханием в 0.18дБ/км для длины волны
1550 нм и 0.32дБ/км для длины волны 1310 нм. В результате, система КРКБЧ
работающая на длине волны 1310 нм в темном волокне имеет вдвое меньшую
121
Рис. 3.13 — Оптическая схема сети DWDM c системой КРКБЧ работающей в
О-диапазоне на длине волны 1310 нм. ИЗО - оптический изолятор; ФМ фазовый модулятор; АМ - амплитудный модулятор; АТТ - аттенюатор; ПСД поляризационный светоделитель; ДОФ - детектор одиночных фотонов
дальность действия системы, чем аналог, работающий на длине волны 1550 нм.
Однако, в присутствии 40 информационных каналов, система на 1310 нм испы­
тывает незначительное сокращение дальности действия системы по сравнению
со случаем на 1550 нм. Рисунок 3.14 показывает, что дальность действия систе­
мы для КРКБЧ, работающего на длине волны 1310 нм, превышает 60 км, в то
время как системы на 1550 нм показывает не больше 10 км.
Построение такой схемы может оказаться дороже, чем схемы, работающей
на длине волны 1550 нм. Связано это с тем, что современная телекомму­
никационная индустрия работает исключительно в C-диапазоне, а потому
комплектующие вроде фазовых модуляторов, амплитудных модуляторов, спек­
122
Рис. 3.14 — Зависимость скорости генерации секретного ключа для случаев
размещения квантового канала в О-диапазоне и С-диапазоне в темных
волокнах и в присутствии 40 каналов сети DWDM с сеткой 100 ГГц
тральных фильтров и световых делителей производятся в большом количестве
именно для этого диапазона. В результате, для О-диапазона данные комплек­
тующие имеют большую цену, а некоторые из них разрабатываются только
под заказ.
123
ГЛАВА 4. Методические рекомендации по построению и настройке
схем совместной передачи информационных и квантовых каналов
Одним из важных параметров любой системы КРК использующей когерент­
ные состояния света является среднее число фотонов на импульс. Как правило
данный параметр оптимизируется для достижения наибольшей скорости гене­
рации секретного ключа при заданной длине волоконного канала. Для КРКБЧ
и других протоколов, использующих когерентные источники, значение этого
параметра колеблется в диапазоне 0.2 - 0.25 [18].
Рис. 4.1 — Зависимость оптимального числа фотонов при заданных потерях в
канале для достижение наибольшей скорости генерации секретного ключа,
представленная в [18]
Интересно будет также рассмотреть оптимальное среднее число фотонов,
необходимое для достижение максимальной дальности действия системы, в
том числе в присутствии шумов описанных в предыдущей главе. Используя
124
численную модель, представленную в разделе 3.1, была получена зависимость
дальности действия системы от среднего числа фотонов на состояние µ. Значе­
ния дальности действия системы были получены в ходе расчета зависимости
скорости генерации секретного ключа от длины оптического волокна для
каждого µ по формулам 1.11 и 3.3. В ходе расчета было рассмотрено 3 кон­
фигурации системы: система работающая в темном волокне, в присутствии 10
каналов с чувствительностью приемников в -32дБм и в присутствии 40 каналов
с чувствительностью приемников в -23дБм.
Рис. 4.2 — Зависимость дальности действия системы от среднего числа
фотонов на импульс в системе КРКБЧ
На рисунке 4.2 мы можем наблюдать, что оптимальное среднее число
фотонов примерно равняется 0.08. При этом ширина пика представленной за­
висимости, как можно наблюдать из графика, сужается при увеличении числа
каналов (или уровня шума в квантовом канале). Видно, что если использовать
125
значение µ = 0.08, вместо предложенного в [18] значения µ = 0.2, можно полу­
чить увеличить дальность действия системы на 15%.
Рассмотрим задачу внедрения системы КРКБЧ в уже установленную оптиче­
скую транспортную сеть с частотным уплотнением информационных каналов.
Как показано в разделе 3.1, шум, вызванный спонтанным комбинационным
рассеянием, может быть снижен за счет уменьшения полосы пропускания
квантового канала. Также шум СКР (как и другие шумы представленные в дан­
ной работе) может быть снижен за счет уменьшения времени гейта, при условия
снижения длительности квантовых посылок (импульсов). Данный факт следует
из линейной зависимости вероятности срабатывания детектора от фотона СКР
𝑝𝑛𝑜𝑖𝑠𝑒 от времени гейта ∆𝑡, показанной в уравнении 3.2, а также в работе [14].
Шума от четырех-волнового смешения можно полностью избежать, по­
мещая канал вне однородной сетки информационных каналов. Это достижимо
за счет использования фильтров на основе ВБР, или с помощью CWDM филь­
тров при помещении квантового канала в О-диапазоне. При использовании
стандартных DWDM комплектующих шум от ЧВС возможно снизить, также
как и шум СКР, за счет уменьшения времени гейта детектора одиночных фо­
тонов.
Шум от линейных перекрестных помех может быть снижен только
за счет увеличения уровня экстинкции спектральных фильтров, использу­
емых для демультиплексирования квантового канала от информационных.
Используя представленную в разделе 3.1 модель, мы определили зависимость
дальности действия системы от экстинкции фильтра для системы КРКБЧ с
квантовым каналом расположенным в О-диапазоне. График показывает, что
для достижения максимально возможной дальности действия системы необхо­
димо использовать фильтр с экстинкцией больше 120дБ.
Коммерчески доступные комплектующие в сфере частотного уплотнения на
данный момент не обладают подобными уровнями экстинкции. Поэтому для
экспериментальной реализации таких систем на стороне приемника необходи­
мо ставить несколько фильтров каскадом. Для системы КРКБЧ предлагается
оптическая схема, изображенная на рисунке 4.4. Здесь используется каскад из
126
Рис. 4.3 — Зависимость дальности действия системы от экстинкции
спектрального фильтра
трех фильтров, один DWDM фильтр (или CWDM в случае расположения кван­
тового канала в О-диапазоне) и два фильтра на основе ВБР. При этом для
увеличения уровня экстинкции возможно ставить несколько DWDM (CWDM)
фильтров подряд при условии, что бюджет потерь системы это позволяет.
Предложенная схема также учитывает зависимость влияния шума от поло­
сы пропускания фильтра и содержит метод компенсации фазового эффекта
хроматической дисперсии, описанный в разделе 2.3. Это достигается за счет ис­
пользования спектрального фильтра [116] с очень узкой полосой пропускания
(<1ГГц), установленного на вырезания одной боковой частоты перед детекто­
ром одиночных фотонов.
На основе проведенного анализа приводятся следующие рекомендации по
построению схем совместного распространения квантового канала системы
КРКБЧ и информационных каналов оптической транспортной сети с частот­
ным уплотнением.
– Необходимо снижения мощностей информационных каналов до уровня чув­
ствительности приемников, используемых SFP модулей. При этом, для
127
Рис. 4.4 — Схема приемника системы совместной передачи квантового канала
КРКБЧ и информационных каналов с предусилением информационных
каналов и каскадом спектральных фильтров
дополнительного снижения мощностей можно использовать оптические уси­
лители, располагая их после вывода из волокна квантового канала.
– Необходимо использование каскадов оптических фильтров для достижения
требуемой полосы пропускания и уровня экстинкции.
– Рекомендуется располагать квантовый канал на длине волны 1310 нм в
О-диапазоне телекоммуникационного окна, при этом необходимо обеспечить
суммарную экстинкцию фильтров системы КРКБЧ более 120дБ, для дости­
жения оптимального функционирования.
– Для системы КРКБЧ с квантовым каналом, расположенным в С-диапазоне
телекоммуникационного окна рекомендуется:
– Установка фильтров согласно схеме, изображенной на Рис. 2.5, для ком­
пенсации фазового эффекта хроматической дисперсии.
128
– Расположение квантового канала вне однородной сетки информационных
каналов для избежания шума ЧВС.
– В случае необходимости использования однородной сетки, использовать
математическую модель для определения оптимального расположения
квантового канала.
129
Заключение
В работе представлено исследование на тему функционирования системы
квантового распределения ключа на боковых частотах в оптической транспорт­
ной сети, в том числе в присутствии информационных каналов с частотным
уплотнением.
В Главе 1 представлен литературный обзор по теме диссертационной работы.
В Главе 2 исследовано влияние хроматической дисперсии оптического волок­
на на функционирования системы квантового распределения ключа на боковых
частотах. Представлены оптическая и квантовая модели рассматриваемой си­
стемы с учетом хроматической дисперсии волоконного канала. Показано, что
разность набега фаз боковых частот, возникающей в результате влияния дис­
персии, ведет снижению видность интерференции боковых частот на стороне
Боба. Данный эффект продемонстрирован с помощью аналитической модели,
численной модели, а также экспериментально. Выведена модель квантового ко­
эффициента ошибок и скорости генерации секретного ключа с учетом данного
эффекта. Расчет по данной модели продемонстрировал невозможность генера­
ции секретного ключа на расстояниях больше 53 км.
Был предложен метод компенсации данного эффекта, основанный на пе­
редаче квантового сигнала на одной боковой частоте фазомодулированного
излучения. Эффективность данного метода была подтверждена с помощью чис­
ленной модели и экспериментально.
Наконец, был изучен временной эффект хроматической дисперсии. Показа­
но, что разность групповых скоростей для боковых частот модулированного из­
лучения, ведет к временному сдвигу соответствующих спектральных компонент
сигнального импульса. Проведен расчет зависимости видности интерференции
от длины оптического волокна для трех разных длительностей импульса (5.0
нс, 1.0 нс и 0.5 нс). Показано, что до 200 км видность интерференции для этих
трех случаев различается несущественно.
130
В Главе 3 представлено исследование влияния шумов, вызванных при­
сутствием классических каналов оптической транспортной сети с плотным
частотным уплотнением. Представлена математическая модель коэффициен­
та квантовых ошибок, учитывающая наличие этих шумов. Показано, что шум
от спонтанного комбинационного рассеяния имеет наибольшее влияние, по
сравнению с остальными видами шумов для случая, когда квантовый канал
помещается в один диапазон с информационными. Также показано, что шум
от четырехволнового смешения является существенным для случаев, когда
квантовый канал находится в однородной сетке небольшого числа каналов. Про­
демонстрировано, что, в случае помещения квантового канала в С-диапазон, в
присутствии 40 информационных каналов 10G дальность действия системы не
превышает 10 км.
Представлена модель шума спонтанного комбинационного рассеяния для оп­
тических волокон с увеличенной площадью фундаментальной моды. На основе
модели проведен расчет зависимость скорости генерации секретного ключа от
длины волоконного канала для разных типов оптических волокон. Показано,
что в случае использования волокна с эффективной площадью моды в 153
мкм2 , 53%.
Наконец, в данной главе демонстрируется, что при помещении квантового
канала в О-диапазон, системы КРКБЧ обладает существенно большей даль­
ностью действия системы в присутствии 40 информационных каналов 10G с
чувствительностью приемников в -23дБм.
В Главе 4 представлены методические рекомендации по построению схемы
совместного распространения системы квантового распределения ключа на бо­
ковых частотах и информационных каналов оптической транспортной сети. В
частности продемонстрирована возможность оптимизации среднего числа фо­
тонов на посылку в квантовом канале для достижения большей дальности
действия системы. Приведены способы снижения мощностей шумов, вызван­
ных нелинейными эффектами. В частности, рекомендуется уменьшать время
гейта детектора одиночных фотонов и снижать полосу пропускания спектраль­
ного фильтра, разделяющего квантовый и информационные каналы. Выведен
131
необходимый уровень экстинкции для системы квантового распределения клю­
ча на боковых частотах, работающей в О-диапазоне. На основе рекомендаций
предложена оптическая схема приемника схемы совместного распространения
квантового канала системы квантового распределения ключа на боковых часто­
тах и информационных каналов оптической транспортной сети.
132
Список литературы
1. Nielsen Michael A. Chuang Isaac L. Quantum Computation and Quantum
Information: 10th Anniversary Edition. — 10th edition. — New York, NY,
USA: Cambridge University Press, 2011. — 704 pp.
2. Renato Renner. Security of Quantum Key Distribution. —
arX­
iv:quant-ph/0512258. — 2006. — 1. — URL: https://arxiv.org/abs/quant-ph/
0512258v1.
3. The security of practical quantum key distribution / Valerio Scarani,
Helle Bechmann-Pasquinucci, Nicolas J. Cerf et al. // Rev. Mod. Phys. —
2009. — Sep. — Vol. 81. — Pp. 1301–1350.
4. Dominic Mayers. Unconditional Security in Quantum Cryptography // J.
ACM. — 2001. — Vol. 48. — Pp. 351–406.
5. Lo Hoi-Kwong, Chau H. F. Unconditional Security of Quantum Key Distribu­
tion over Arbitrarily Long Distances // Science. — 1999. — Vol. 283, no. 5410.
— Pp. 2050–2056. — URL: https://science.sciencemag.org/content/283/5410/
2050.
6. Mlejnek Michal, Kaliteevskiy Nikolay A., Nolan Dan A. Reducing spontaneous
Raman scattering noise in high quantum bit rate QKD systems over optical
fiber. — arXiv:1712.05891. — 2017. — 12. — URL: http://arxiv.org/abs/1712.
05891.
7. Townsend P.D. Simultaneous quantum cryptographic key distribution and
conventional data transmission over installed fibre using wavelength-division
multiplexing // Electronics Letters. — 1997. — Vol. 33, no. 3. — P. 188. — URL:
https://digital-library.theiet.org/content/journals/10.1049/el_19970147.
133
8. Gaidash A. A. Unambiguous discrimination of phase-modulated states in com­
munication by optical channels: Ph.D. thesis / ITMO University. — 2019. —
P. 222.
9. Continuous high speed coherent one-way quantum key distribution /
Damien Stucki, Claudio Barreiro, Sylvain Fasel et al. // Opt. Express. —
2009. — Aug. —
Vol. 17, no. 16. —
Pp. 13326–13334. —
URL: http:
//www.osapublishing.org/oe/abstract.cfm?URI=oe-17-16-13326.
10. Measurement-Device-Independent Quantum Key Distribution Over a 404 km
Optical Fiber / Hua-Lei Yin, Teng-Yun Chen, Zong-Wen Yu et al. // Physical
Review Letters. — 2016. — 11. — Vol. 117, no. 19. — P. 190501. — URL:
https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.117.190501.
11. High rate, long-distance quantum key distribution over 250 km of ultra low loss
fibres / D Stucki, N Walenta, F Vannel et al. // New Journal of Physics. —
2009. — jul. — Vol. 11, no. 7. — P. 075003. — URL: https://doi.org/10.1088/
1367-2630/11/7/075003.
12. High-fidelity transmission of polarization encoded qubits from an entangled
source over 100 km of fiber / Hannes Hübel, Michael R. Vanner, Thomas Led­
erer et al. // Opt. Express. — 2007. — Jun. — Vol. 15, no. 12. — Pp. 7853–7862.
— URL: http://www.opticsexpress.org/abstract.cfm?URI=oe-15-12-7853.
13. Quantum key distribution and 1 Gbps data encryption over a single fibre /
P Eraerds, N Walenta, M Legré et al. // New Journal of Physics. — 2010.
— jun. — Vol. 12, no. 6. — P. 063027. — URL: https://doi.org/10.1088/
1367-2630/12/6/063027.
14. Optimized channel allocation scheme for jointly reducing four-wave mixing and
Raman scattering in the DWDM-QKD system / Jia-Ning Niu, Yong-Mei Sun,
Chun Cai, Yue-Feng Ji // Appl. Opt. — 2018. — Sep. — Vol. 57, no. 27. —
Pp. 7987–7996. — URL: http://ao.osa.org/abstract.cfm?URI=ao-57-27-7987.
134
15. Kumar Rupesh, Qin Hao, Alléaume Romain. Coexistence of continuous vari­
able QKD with intense DWDM classical channels // New Journal of Physics.
— 2015. — apr. — Vol. 17, no. 4. — P. 043027. — URL: https://doi.org/10.
1088/1367-2630/17/4/043027.
16. Phase-modulation transmission system for quantum cryptography / Jean­
Marc Mérolla, Yuri Mazurenko, Jean-Pierre Goedgebuer et al. // Opt. Lett.
—
1999. — Jan. —
Vol. 24, no. 2. —
Pp. 104–106. —
URL: http:
//ol.osa.org/abstract.cfm?URI=ol-24-2-104.
17. Oleg Bannik Vladimir Chistyakov Lenar Gilyazov. Multinode subcarrier wave
quantum communication network. — presentation at International conference
on quantum cryptography QCrypt 2017, Cambridge, UK. — 2017. — 18-22
September. — An optional note.
18. Security of subcarrier wave quantum key distribution against the collective
beam-splitting attack / G. P. Miroshnichenko, A. V. Kozubov, A. A. Gaidash
et al. // Opt. Express. — 2018. — Apr. — Vol. 26, no. 9. — Pp. 11292–11308.
— URL: http://www.opticsexpress.org/abstract.cfm?URI=oe-26-9-11292.
19. Analysis of the chromatic dispersion effect on the subcarrier wave QKD sys­
tem / F. Kiselev, E. Samsonov, R. Goncharov et al. // Opt. Express. —
2020. — Sep. —
Vol. 28, no. 19. —
Pp. 28696–28712. —
URL: http:
//www.osapublishing.org/oe/abstract.cfm?URI=oe-28-19-28696.
20. Performance of subcarrier-wave quantum key distribution in the presence of
spontaneous Raman scattering noise generated by classical DWDM channels /
F. Kiselev, R. Goncharov, N. Veselkova et al. // J. Opt. Soc. Am. B. — 2021.
— Feb. — Vol. 38, no. 2. — Pp. 595–601. — URL: http://www.osapublishing.
org/josab/abstract.cfm?URI=josab-38-2-595.
21. Modeling two-qubit Grover’s algorithm implementation in a linear optical
chip / E Samsonov, F Kiselev, Y Shmelev et al. — 2020. — feb. — Vol. 95,
no. 4. — P. 045102. — URL: https://doi.org/10.1088/1402-4896/ab6523.
135
22. Gerasimenko V S, Gerasimenko N D, Kiselev F D. Numerical modelling of
an error of manufacturing of ion-exchange waveguide for the tasks of quantum
computations. — 2019. — dec. — Vol. 1410. — P. 012136. — URL: https:
//doi.org/10.1088/1742-6596/1410/1/012136.
23. A theoretical study of subcarrier-wave quantum key distribution system inte­
gration with an optical transport network utilizing dense wavelength division
multiplexing / F Kiselev, N Veselkova, R Goncharov, V Egorov. — 2021. — jul.
— Vol. 54, no. 13. — P. 135502. — URL: https://doi.org/10.1088/1361-6455/
ac076a.
24. F. D. Kiselev E. O. Samsonov A. V. Gleim. Modeling of linear optical
controlled-z quantum gate with dimensional errors of passive compo­
nents // Наносистемы: физика, химия, математика = Nanosystems:
Physics,Chemistry, Mathematics. — 2019. — Vol. 10. — Pp. 627–631. —
URL: https://doi.org/10.17586/2220-8054-2019-10-6-627-631.
25. MacFarlane A. G. J., Dowling Jonathan P., Milburn Gerard J. Quantum
technology: the second quantum revolution // Philosophical Transactions of
the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineer­
ing Sciences. — 2003. — Vol. 361, no. 1809. — Pp. 1655–1674. — URL:
https://royalsocietypublishing.org/doi/abs/10.1098/rsta.2003.1227.
26. Quantum technologies with hybrid systems / Gershon Kurizki, Patrice Bertet,
Yuimaru Kubo et al. // Proceedings of the National Academy of Sciences. —
2015. — Vol. 112, no. 13. — Pp. 3866–3873. — URL: https://www.pnas.org/
content/112/13/3866.
27. Experimental comparison of two quantum computing architectures / Nor­
bert M. Linke, Dmitri Maslov, Martin Roetteler et al. // Proceedings of the
National Academy of Sciences. — 2017. — Vol. 114, no. 13. — Pp. 3305–3310.
— URL: https://www.pnas.org/content/114/13/3305.
28. Experimental realization of any discrete unitary operator / Michael Reck, An­
ton Zeilinger, Herbert J. Bernstein, Philip Bertani // Phys. Rev. Lett. — 1994.
136
— Jul. — Vol. 73. — Pp. 58–61. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/
PhysRevLett.73.58.
29. Knill E., Laflamme R., Milburn G. J. A scheme for efficient quantum compu­
tation with linear optics // Nature. — 2001. — Jan. — Vol. 409, no. 6816. —
Pp. 46–52. — URL: https://doi.org/10.1038/35051009.
30. Silicon Quantum Photonics / Joshua W. Silverstone, Damien Bonneau, Jere­
my L. O’Brien, Mark G. Thompson // IEEE Journal of Selected Topics in
Quantum Electronics. — 2016. — Vol. 22, no. 6. — Pp. 390–402.
31. Ralph T. C. Boson sampling on a chip // Nature Photonics. — 2013. — Jul. —
Vol. 7, no. 7. — Pp. 514–515. — URL: https://doi.org/10.1038/nphoton.2013.
175.
32. Politi A., Matthews J. C., O’Brien J. L. Shor’s quantum factoring algorithm
on a photonic chip // Science. — 2009. — Sep. — Vol. 325, no. 5945. — P. 1221.
33. Wootters W. K., Zurek W. H. A single quantum cannot be cloned // Nature.
— 1982. — Oct. — Vol. 299, no. 5886. — Pp. 802–803. — URL: https:
//doi.org/10.1038/299802a0.
34. Bennett C. H., Brassard G. Quantum cryptography: Public key distribution
and coin tossing // Proceedings of IEEE International Conference on Comput­
ers, Systems, and Signal Processing. — India: 1984. — P. 175.
35. Mermin N. David. Iii. Breaking Rsa Encryption with a Quantum Computer:
Shor’s Factoring Algorithm.
36. The security of practical quantum key distribution / Valerio Scarani,
Helle Bechmann-Pasquinucci, Nicolas J. Cerf et al. // Rev. Mod. Phys. —
2009. — Sep. — Vol. 81. — Pp. 1301–1350. — URL: https://link.aps.org/doi/
10.1103/RevModPhys.81.1301.
37. id Quantique. — URL: http://www.kit-e.ru/articles/elcomp/2006_12_124.
php (online; accessed: 24.02.2021).
137
38. Bennett Charles H. Quantum cryptography using any two nonorthogonal
states // Phys. Rev. Lett. — 1992. — May. — Vol. 68. — Pp. 3121–3124.
— URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.68.3121.
39. Hughes Richard J., Morgan George L., Peterson C. Glen. Quantum key dis­
tribution over a 48 km optical fibre network // Journal of Modern Optics. —
2000. — Vol. 47, no. 2-3. — Pp. 533–547. — URL: https://doi.org/10.1080/
09500340008244058.
40. Townsend PD Rarity JG Tapster PR. Single photon interference in 10 km
long optical fibre interferometer // Electronics Letters. — 1993. — Vol. 29. —
Pp. 634–635.
41. PD Townsend SJD Phoenix KJ Blow SM Barnett. Design of quantum cryptog­
raphy systems for passive optical networks // Electronics Letters. — 1994. —
Vol. 30. — Pp. 1875–1877.
42. Invited Review Article: Single-photon sources and detectors / M. D. Eisaman,
J. Fan, A. Migdall, S. V. Polyakov // Review of Scientific Instruments. — 2011.
— Vol. 82, no. 7. — P. 071101. — URL: https://doi.org/10.1063/1.3610677.
43. Experimental Demonstration of Free-Space Decoy-State Quantum Key Dis­
tribution over 144 km / Tobias Schmitt-Manderbach, Henning Weier,
Martin Fürst et al. // Phys. Rev. Lett. — 2007. — Jan. — Vol. 98. — P. 010504.
— URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.98.010504.
44. Lo Hoi-Kwong, Ma Xiongfeng, Chen Kai. Decoy State Quantum Key Distri­
bution // Phys. Rev. Lett. — 2005. — Jun. — Vol. 94. — P. 230504. — URL:
https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.94.230504.
45. Security of the decoy state method for quantum key distribution /
A S Trushechkin, E O Kiktenko, D A Kronberg, A K Fedorov // Physic­
s-Uspekhi. —
2021. — Jan. —
Vol. 64, no. 1. —
http://dx.doi.org/10.3367/UFNe.2020.11.038882.
P. 88–102. —
URL:
138
46. Tight security bounds for decoy-state quantum key distribution / Hua-Lei Yin,
Min-Gang Zhou, Jie Gu et al. // Scientific Reports. — 2020. — Aug. — Vol. 10,
no. 1. — P. 14312. — URL: https://doi.org/10.1038/s41598-020-71107-6.
47. Secure quantum key distribution with realistic devices / Feihu Xu,
Xiongfeng Ma, Qiang Zhang et al. // Rev. Mod. Phys. — 2020. — May. —
Vol. 92. — P. 025002. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.
92.025002.
48. Pljonkin Anton, Singh Pradeep Kumar. The Review of the Commercial Quan­
tum Key Distribution System // 2018 Fifth International Conference on
Parallel, Distributed and Grid Computing (PDGC). — 2018. — Pp. 795–799.
49. Первая в РФ линия квантовой связи запущена между Москвой и
Петербургом // Интерфакс. — 2021. — Jun. — URL: https://www.interfax.
ru/russia/798826.
50. Jing Yumang, Razavi Mohsen. Simple Efficient Decoders for Quantum Key
Distribution Over Quantum Repeaters with Encoding // Physical Review Ap­
plied. — 2021. — Apr. — Vol. 15, no. 4. — URL: http://dx.doi.org/10.1103/
PhysRevApplied.15.044027.
51. Quantum repeaters and quantum key distribution: Analysis of secret-key
rates / Silvestre Abruzzo, Sylvia Bratzik, Nadja K. Bernardes et al. // Physical
Review A. — 2012. — 08. — Vol. 87.
52. Moiseev E S, Moiseev S A. All-optical photon echo on a chip. — 2016. — dec.
— Vol. 14, no. 1. — P. 015202. — URL: https://doi.org/10.1088/1612-202x/
aa4fc2.
53. Broadband multiresonator quantum memory-interface / S. A. Moiseev,
K. I. Gerasimov, R. R. Latypov et al. // Scientific Reports. — 2018. — Mar. —
Vol. 8, no. 1. — P. 3982. — URL: https://doi.org/10.1038/s41598-018-21941-6.
139
54. Multiresonator quantum memory / S. A. Moiseev, F. F. Gubaidullin, R. S. Kir­
illov et al. // Phys. Rev. A. — 2017. — Jan. — Vol. 95. — P. 012338. — URL:
https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.95.012338.
55. Handheld free space quantum key distribution with dynamic motion com­
pensation / Hyunchae Chun, Iris Choi, Grahame Faulkner et al. // Opt.
Express. — 2017. — Mar. — Vol. 25, no. 6. — Pp. 6784–6795. — URL:
http://www.osapublishing.org/oe/abstract.cfm?URI=oe-25-6-6784.
56. Free space continuous-variable quantum key distribution with practical links /
Ming Li, Tianyi Wang, Jiawei Han et al. // J. Opt. Soc. Am. B. — 2020. —
Dec. — Vol. 37, no. 12. — Pp. 3690–3697. — URL: http://www.osapublishing.
org/josab/abstract.cfm?URI=josab-37-12-3690.
57. Satellite-to-ground quantum key distribution / Sheng-Kai Liao, Wen-Qi Cai,
Wei-Yue Liu et al. // Nature. — 2017. — Sep. — Vol. 549, no. 7670. — Pp. 43–47.
— URL: https://doi.org/10.1038/nature23655.
58. Dür Wolfgang, Lamprecht Raphael, Heusler Stefan. Towards a quantum in­
ternet. —
2017. — may. —
Vol. 38, no. 4. —
P. 043001. —
URL:
https://doi.org/10.1088/1361-6404/aa6df7.
59. Rahman Md Samin, Hossam-E-Haider Md. Quantum IoT: A Quantum Ap­
proach in IoT Security Maintenance // 2019 International Conference on
Robotics,Electrical and Signal Processing Techniques (ICREST). — 2019. —
Pp. 269–272.
60. Secure polarization-independent subcarrier quantum key distribution in optical
fiber channel using BB84 protocol with a strong reference / A. V. Gleim,
V. I. Egorov, Yu. V. Nazarov et al. // Opt. Express. — 2016. — Feb. — Vol. 24,
no. 3. — Pp. 2619–2633. — URL: http://www.opticsexpress.org/abstract.cfm?
URI=oe-24-3-2619.
61. Sideband quantum communication at 1 Mbit/s on a metropolitan area net­
work / A. V. Gleı̆m, V. V. Chistyakov, O. I. Bannik et al. // J. Opt.
140
Technol. — 2017. — Jun. — Vol. 84, no. 6. — Pp. 362–367. — URL:
http://jot.osa.org/abstract.cfm?URI=jot-84-6-362.
62. Mandel Leonard, Wolf Emil. Optical Coherence and Quantum Optics. — Cam­
bridge University Press, 1995. — 9. — URL: https://www.cambridge.org/core/
product/identifier/9781139644105/type/book.
63. Devetak Igor, Winter Andreas. Distillation of secret key and entanglement from
quantum states // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical
and Engineering Sciences. — 2005. — 1. — Vol. 461, no. 2053. — Pp. 207–235.
— URL: https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspa.2004.1372.
64. 159 Tbit/s C+L Band Transmission over 1045 km 3-Mode Graded-Index
Few-Mode Fiber / Georg Rademacher, Ruben S. Luís, Benjamin J. Puttnam
et al. // Optical Fiber Communication Conference Postdeadline Papers. —
Optical Society of America, 2018. —
P. Th4C.4. —
URL: http://www.
osapublishing.org/abstract.cfm?URI=OFC-2018-Th4C.4.
65. Tomlinson W. J. Wavelength multiplexing in multimode optical fibers // Appl.
Opt. — 1977. — Aug. — Vol. 16, no. 8. — Pp. 2180–2194. — URL: http:
//ao.osa.org/abstract.cfm?URI=ao-16-8-2180.
66. Ishio H., Miki T. A preliminary experiment on wavelength division multiplex­
itlg transmission using LED // Proc. ZOOC’77. — Vol. C7-3. — 1977.
67. et al. S. Sugimoto. High speed digital signal transmission experiments by opti­
cal wavelength division multiplexing // Proc. IOOC’77. — Vol. C7-4. — 1977.
68. Sano Koichi, Watanabe Ryuichi. A design of optical wavelength-division-mul­
tiplexing transmission systems // Electronics and Communications in Japan
(Part I: Communications). — 1986. — Vol. 69, no. 6. — Pp. 42–53. — URL:
https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/ecja.4410690606.
69. Ishio H., Minowa J., Nosu K. Review and status of wavelength-division-mul­
tiplexing technology and its application // Journal of Lightwave Technology.
— 1984. — Vol. 2, no. 4. — Pp. 448–463.
141
70. ITU-T. G.694.2 : Spectral grids for WDM applications: CWDM wavelength
grid: Recommendation G.694.2: International Telecommunication Union.
71. ITU-T. G.694.1 : Spectral grids for WDM applications: DWDM frequency grid:
Recommendation G.694.1: International Telecommunication Union.
72. Fornier André, Richier R., Pelletier E. Realization Of Fabry-Per­
ot Filters For Wavelength Demultiplexing // Thin Film Technologies
II. —
Vol. 0652. —
SPIE, 1986. — October. —
Pp. 27–32. —
https://proceedings.spiedigitallibrary.org/proceeding.aspx?articleid=1242977
;
https://www.spiedigitallibrary.org/conference-proceedings-of-spie/0652/1/
Realization-Of-Fabry-Perot-Filters-For-Wavelength-Demultiplexing/10.1117/
12.938354.full. URL: https://lens.org/031-471-318-379-782.
73. Fast tunable optical filter using cascaded Mach-Zehnder Interferometers with
apodized sampled gratings / T. Segawa, S. Matsuo, Y. Ohiso et al. // IEEE
Photonics Technology Letters. — 2005. — Vol. 17, no. 1. — Pp. 139–141.
74. Takiguchi K., Takahashi H., Shibata T. Tunable chromatic dispersion and dis­
persion slope compensator using a planar lightwave circuit lattice-form filter //
Opt. Lett. — 2008. — Jun. — Vol. 33, no. 11. — Pp. 1243–1245. — URL:
http://www.osapublishing.org/ol/abstract.cfm?URI=ol-33-11-1243.
75. Mach-Zehnder interferometer exactly aligned with ITU grid frequencies /
T. Mizuno, M. Oguma, T. Kitoh et al. // IEEE Photonics Technology Let­
ters. — 2006. — Vol. 18, no. 2. — Pp. 325–327.
76. Agrawal G.P., Radic S. Phase-shifted fiber Bragg gratings and their application
for wavelength demultiplexing // IEEE Photonics Technology Letters. — 1994.
— Vol. 6, no. 8. — Pp. 995–997.
77. Zhao Yong, Song Ting-Ting, Huo Zhu-Wei. Tunable Optical Fiber Filter Based
on a Fiber Bragg Grating Loop Mirror // J. Lightwave Technol. — 2011. —
Dec. — Vol. 29, no. 24. — Pp. 3672–3675. — URL: http://www.osapublishing.
org/jlt/abstract.cfm?URI=jlt-29-24-3672.
142
78. Sadot D., Boimovich E. Tunable optical filters for dense WDM networks //
IEEE Communications Magazine. — 1998. — Vol. 36, no. 12. — Pp. 50–55.
79. Fabrication of a widely tunable fiber Bragg grating filter using fused depo­
sition modeling 3D printing / Chunxin Liu, Xiong Yang, Fredrik Laurell,
Michael Fokine // Opt. Mater. Express. — 2019. — Nov. — Vol. 9, no. 11.
— Pp. 4409–4417. — URL: http://www.osapublishing.org/ome/abstract.cfm?
URI=ome-9-11-4409.
80. Djordjevic Ivan B. FBG-Based Weak Coherent State and Entanglement-As­
sisted Multidimensional QKD // IEEE Photonics Journal. — 2018. — Vol. 10,
no. 4. — Pp. 1–12.
81. McGreer K.A. Tunable planar concave grating demultiplexer // IEEE Photon­
ics Technology Letters. — 1996. — Vol. 8, no. 4. — Pp. 551–553.
82. Integrated four-channel Mach-Zehnder multi/demultiplexer fabricated with
phosphorous doped SiO/sub 2/ waveguides on Si / B.H. Verbeek, C.H. Henry,
N.A. Olsson et al. // Journal of Lightwave Technology. — 1988. — Vol. 6,
no. 6. — Pp. 1011–1015.
83. Compact Dense Wavelength-Division (De)multiplexer Utilizing a Bidirectional
Arrayed-Waveguide Grating Integrated With a Mach–Zehnder Interferometer /
Sitao Chen, Xin Fu, Jian Wang et al. // J. Lightwave Technol. — 2015. — Jun.
— Vol. 33, no. 11. — Pp. 2279–2285. — URL: http://www.osapublishing.org/
jlt/abstract.cfm?URI=jlt-33-11-2279.
84. Optical add-drop multiplexers based on the antisymmetric waveguide Bragg
grating / Jose M. Castro, David F. Geraghty, Seppo Honkanen et al. // Appl.
Opt. — 2006. — Feb. — Vol. 45, no. 6. — Pp. 1236–1243. — URL: http:
//www.osapublishing.org/ao/abstract.cfm?URI=ao-45-6-1236.
85. Optical Fibers // Fiber-Optic Communication Systems. — John Wiley Sons,
Ltd, 2010. — Pp. 24–78. — URL: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.
1002/9780470918524.ch2.
143
86. ELREFAIE A. F., WAGNER R. E., ATLAS D. A. Chromatic dispersion
limitations in coherent lightwave transmission systems // Optical Fiber Com­
munication. — Optical Society of America, 1988. — P. WQ42. — URL:
http://www.osapublishing.org/abstract.cfm?URI=OFC-1988-WQ42.
87. Secure Quantum Key Distribution over 421 km of Optical Fiber / Alber­
to Boaron, Gianluca Boso, Davide Rusca et al. // Phys. Rev. Lett. — 2018.
— Nov. — Vol. 121. — P. 190502. — URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/
PhysRevLett.121.190502.
88. Stability of high bit rate quantum key distribution on installed fiber /
J. F. Dynes, I. Choi, A. W. Sharpe et al. // Opt. Express. — 2012. — Jul.
— Vol. 20, no. 15. — Pp. 16339–16347. — URL: http://www.osapublishing.
org/oe/abstract.cfm?URI=oe-20-15-16339.
89. Megabits secure key rate quantum key distribution / Q Zhang, H Takesue,
T Honjo et al. // New Journal of Physics. — 2009. — apr. — Vol. 11, no. 4. —
P. 045010. — URL: https://doi.org/10.1088/1367-2630/11/4/045010.
90. Chromatic dispersion compensation in coherent transmission system using
digital filters / Tianhua Xu, Gunnar Jacobsen, Sergei Popov et al. // Opt.
Express. — 2010. — Jul. — Vol. 18, no. 15. — Pp. 16243–16257. — URL:
http://www.osapublishing.org/oe/abstract.cfm?URI=oe-18-15-16243.
91. Winters J.H. Equalization in coherent lightwave systems using a fractionally
spaced equalizer // Journal of Lightwave Technology. — 1990. — Vol. 8, no. 10.
— Pp. 1487–1491.
92. Iwashita K., Takachio N. Chromatic dispersion compensation in coherent op­
tical communications // Journal of Lightwave Technology. — 1990. — Vol. 8,
no. 3. — Pp. 367–375.
93. Control of Nonlinear Effects // Fiber-Optic Communication Systems. — John
Wiley Sons, Ltd, 2010. — Pp. 407–458. — URL: https://onlinelibrary.wiley.
com/doi/abs/10.1002/9780470918524.ch9.
144
94. Zhou X., Martin B. Raman Crosstalk in a WDM System with Multi­
ple-Wavelength Bidirectional-Pumped Raman Fiber Amplifier // Optical Fiber
Communication Conference. — Optical Society of America, 2003. — P. ThB7.
— URL: http://www.osapublishing.org/abstract.cfm?URI=OFC-2003-ThB7.
95. Christodoulides D.N., Jander R.B. Evolution of stimulated Raman crosstalk
in wavelength division multiplexed systems // IEEE Photonics Technology
Letters. — 1996. — Vol. 8, no. 12. — Pp. 1722–1724.
96. Stimulated Raman Scattering Induced Power Penalty Analysis for Optical
WDM Network / Manoj Kumar Dutta, B. S. N. Karthik, R. Srinivas,
V. K. Chaubey // 2011 International Conference on Devices and Communi­
cations (ICDeCom). — 2011. — Pp. 1–5.
97. Islam M.N. Raman amplifiers for telecommunications // IEEE Journal of Se­
lected Topics in Quantum Electronics. — 2002. — Vol. 8, no. 3. — Pp. 548–559.
98. Stolen R. H., Ippen E. P. Raman gain in glass optical waveguides // Applied
Physics Letters. — 1973. — Vol. 22, no. 6. — Pp. 276–278. — URL: https:
//doi.org/10.1063/1.1654637.
99. Stentz Andrew J. Applications of Raman lasers and amplifiers in fiber commu­
nication systems // Nonlinear Optical Engineering / Ed. by Metin S. Mangir;
International Society for Optics and Photonics. — Vol. 3263. — SPIE, 1998.
— Pp. 91 – 94. — URL: https://doi.org/10.1117/12.308357.
100. Lin Rui, Chen Jiajia. Minimizing Spontaneous Raman Scattering Noise for
Quantum Key Distribution in WDM Networks // 2021 Optical Fiber Commu­
nications Conference and Exhibition (OFC). — 2021. — Pp. 1–3.
101. Cai Chun, Sun Yongmei, Ji Yuefeng. Intercore spontaneous Raman scattering
impact on quantum key distribution in multicore fiber. — 2020. — aug. —
Vol. 22, no. 8. — P. 083020. — URL: https://doi.org/10.1088/1367-2630/
aba023.
145
102. Four-wave mixing instabilities in telecom fibers / J. Fatome, C. Finot, G. Millot
et al. // Advanced Photonics Congress. — Optical Society of America, 2012.
— P. JM5A.39. — URL: http://www.osapublishing.org/abstract.cfm?URI=
SOF-2012-JM5A.39.
103. Four-wave
mixing
in
dispersion-managed
return-to-zero
systems
/
Mark J. Ablowitz, Gino Biondini, Sarbarish Chakravarty, Rudy L. Horne // J.
Opt. Soc. Am. B. — 2003. — May. — Vol. 20, no. 5. — Pp. 831–845. — URL:
http://www.osapublishing.org/josab/abstract.cfm?URI=josab-20-5-831.
104. Reduction of four-wave mixing crosstalk in WDM systems using unequally
spaced channels / F. Forghieri, R.W. Tkach, A.R. Chraplyvy, D. Marcuse //
IEEE Photonics Technology Letters. — 1994. — Vol. 6, no. 6. — Pp. 754–756.
105. Integrating quantum key distribution with classical communications in back­
bone fiber network / Yingqiu Mao, Bi-Xiao Wang, Chunxu Zhao et al. // Opt.
Express. — 2018. — Mar. — Vol. 26, no. 5. — Pp. 6010–6020. — URL:
http://www.osapublishing.org/oe/abstract.cfm?URI=oe-26-5-6010.
106. Long-distance copropagation of quantum key distribution and terabit classical
optical data channels / Liu-Jun Wang, Kai-Heng Zou, Wei Sun et al. // Phys.
Rev. A. — 2017. — Jan. — Vol. 95. — P. 012301. — URL: https://link.aps.
org/doi/10.1103/PhysRevA.95.012301.
107. Dynes James F. Tam Winci W-S. Plews Alan Fröhlich Bernd Sharpe An­
drew W. Lucamarini Marco Yuan Zhiliang Radig Christian Straw Andrew
Edwards Tim, Shields Andrew J. Ultra-high bandwidth quantum secured data
transmission // Scientific Reports. — 2016. — Oct. — Vol. 6, no. 1. — P. 35149.
— URL: https://doi.org/10.1038/srep35149.
108. Coexistence of Continuous Variable Quantum Key Distribution and 7×12.5
Gbit/s Classical Channels / Tobias A. Eriksson, Takuya Hirano, Motoharu Ono
et al. // 2018 IEEE Photonics Society Summer Topical Meeting Series (SUM).
— 2018. — Pp. 71–72.
146
109. Varshalovich D A, Moskalev A N, Khersonskii V K. Quantum Theory of An­
gular Momentum. — WORLD SCIENTIFIC, 1988. — URL: https://www.
worldscientific.com/doi/abs/10.1142/0270.
110. Varshalovich Dmitriı̆ Aleksandrovich, Moskalev Anatolı̈ Nikolaevitch, Kherson­
skii Valerii Kel’manovich. Quantum theory of angular momentum. — World
Scientific, 1988.
111. Capmany José, Fernández-Pousa Carlos R. Quantum model for electro-optical
phase modulation // JOSA B. — 2010. — Vol. 27, no. 6. — Pp. A119–A129.
112. Horoshko DB, Eskandary MM, Kilin S Ya. Quantum model for traveling-wave
electro-optical phase modulator // JOSA B. — 2018. — Vol. 35, no. 11. —
Pp. 2744–2753.
113. Algebraic approach to electro-optic modulation of light: exactly solvable
multimode quantum model / George P Miroshnichenko, Alexei D Kiselev,
Alexander I Trifanov, Artur V Gleim // JOSA B. — 2017. — Vol. 34, no. 6.
— Pp. 1177–1190.
114. Stolen Roger H. Relation between the effective area of a single-mode fiber
and the capture fraction of spontaneous Raman scattering // J. Opt. Soc.
Am. B. — 2002. — Mar. — Vol. 19, no. 3. — Pp. 498–501. — URL: http:
//www.osapublishing.org/josab/abstract.cfm?URI=josab-19-3-498.
115. Syuaib Ibrahim, Asvial Muhamad, Rahardjo Eko Tjipto. Modeling of Ultra­
-Long Span Bidirectional Raman Transmission Link Using Three-Segment
Hybrid Fiber Core Structure // Photonics. — 2019. — Vol. 6, no. 1. — URL:
https://www.mdpi.com/2304-6732/6/1/2.
116. Teraxion. Ultra-Narrow Band Tunable Optical Filter TFN. — 2019. — URL:
https://teraxion.blob.core.windows.net/media/1355/teraxion-tfn-specsheet.
pdf.
147
Список иллюстративного материала
1
Принципиальная схема системы КРКБЧ . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Видность интерференции боковых частот в системе КРКБЧ,
полученная различными методами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
15
19
Скорость генерации секретного ключа 𝐾 в зависимости от длины
оптического волокна в системы КРКБЧ, рассчитанная для двух
случаев: без учета дисперсии, с учетом дисперсии в изначальной
схеме и с учетом дисперсии в схеме с компенсацией дисперсии . . . .
4
20
Оптическая схема КРКБЧ с компенсацией фазового эффекта
хроматической дисперсии №1. Л - лазер NeoPhotonics, ОИ оптический изолятор, ФМ - фазовые модуляторы, КП - контроллер
поляризации, ИМ - измеритель мощности оптический, СФ1, СФ2 и
СФ3 - фильтры ВБР . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Сравнение видимости боковых частот для гауссовских импульсов
различной ширины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
21
22
Скорость генерации секретного ключа в зависимости от длины
оптического волокна SMF-28, посчитанного для случая
расположения квантового канала системы КРКБЧ в однородной
100 ГГц сетке из 8 каналов. Рисунок иллюстрирует определение
значения дальности действия системы . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
24
Рассматриваемая схема интегрирования системы КРКБЧ в сеть
DWDM (Обе системы работают в С-диапазоне). ИЗО - Оптический
изолятор; ФМ - Фазовый модулятор; АТТ - Аттеньюатор;
MUX/DEMUX - Мультиплексор/Демультиплексор . . . . . . . . . .
8
25
Дальность действия системы КРКБЧ в присутствии 40 каналов
DWDM в зависимости от чувствительности приемника
классических каналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
148
9
Зависимость скорости генерации секретного ключа от длины
оптического волокна системы КРКБЧ в присутствии 40 каналов с
сеткой 100 ГГц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
29
Зависимость скорости генерации секретного ключа для случаев
размещения квантового канала в О-диапазоне и С-диапазоне в
темных волокнах и в присутствии 40 каналов сети DWDM с сеткой
100 ГГц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
30
Зависимость дальности действия системы от среднего числа
фотонов на импульс в схеме совместной передачи квантового
канала КРКБЧ и информационных каналов сети DWDM . . . . . . .
12
30
Схема приемника системы совместной передачи квантовогоканала
КРКБЧ и информационных каналов с
предусилениеминформационных каналов и каскадом спектральных
фильтров. DEMUX - демультиплексор, ФМ - фазовый модулятор,
СФ1 и СФ2 - спектральные фильтры, ДОФ - детектор одиночных
фотонов, ПСД - поляризационный светоделитель и УС оптический волоконный усилитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1
Optical scheme of SCW QKD system . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2
Interference visibility in SCW QKD scheme versus the optical fiber length 47
3
Secret key generation rate 𝐾 versus optical fiber length for SCW QKD
system calculated for two cases: with the effecto of chromatic
dispersion, without the effect of chromatic dispersion . . . . . . . . . . .
4
48
Optical scheme of SCW QKD system with chromatic dispersion
compensation. L - NeoPhotonics laser, ISO - optical isolator, PM1 and
PM2 - phase modulators, PC - polarization controller, PwM - optical
power meter, SF1, SF2 и SF3 - FBG spectral filters . . . . . . . . . . .
5
Comparison of interference visibility for different pulse widths of the
quantum signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
49
50
Secret key generation rate vs optical fiber length calculated for 8
channel 100 GHz DWDM grid with one channel being quantum. Figure
illustrates the definition of maximum distance . . . . . . . . . . . . . .
52
149
7
Proposed optical scheme of SCW QKD system integrated with classical
DWDM network (Both operating in C-Band). ISO - Optical isolator;
PM - Phase modulator; ATT - attenuator; MUX/DEMUX - DWDM
Multiplexer and demultiplexer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
53
Range of operation of the SCW QKD system in the presence of 40
DWDM channels as a function of the receiver sensitivity of the
information channels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
54
Dependence of the secret key generation rate on the length of the
optical fiber of the SCW QKD system in the presence of 40 channels
with a 100 GHz grid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
56
Dependence of the secret key generation rate for SCW QKD system
operating in the O-band and C-band, both in dark fibers and in the
presence of 40 channels of a DWDM network with a 100 GHz frequency
grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Dependence of maximum distance versus mean photon number per
pulse in SCW QKD system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
57
57
Optical scheme of a receiver of simultaneous propagation of QKD and
information channels with amplification and cascade of spectral filters.
DEMUX - de-multiplexer, PM - phase modulator, SF1 and SF2 - FBG
spectral filters, SPD - single-photon detector, PBS - polarization
beamsplitter and AMP - optical fiber amplifier . . . . . . . . . . . . . .
1.1
4 поляризационных состояния света используемых в протоколе
BB84 на экваторе сферы Пуанкаре
1.2
59
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Оптическая схема системы КРКБЧ (упрощенная). ФМ1, ФМ2 фазовые модуляторы; СФ - спектральный фильтр, ДОФ - детектор
одиночных фотонов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Спектр затухания оптических волокон компании Corning – SMF-28
и SMF-28e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4
73
79
Примерная схема системы с плотным мультиплексированием с
частотным разделением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
150
1.5
Диаграмма энергетических переходов при упругом (Рэлеевском)
рассеянии и неупругом (Комбинационное рассеяние) . . . . . . . . .
1.6
85
Измеренный спектр спонтанного комбинационного рассеяния на
выходе из 25 км волокна SMF-28 при длине волны накачки 1530 нм .
86
1.7
Схематичное изображение спектра ЧВС . . . . . . . . . . . . . . . .
87
1.8
Измеренный спектр эффективного сечения спонтанного
комбинационного рассеяния волокна SMF-28 при длине волны
накачки 1550 нм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
89
Оптическая схема для измерения видности интерференции боковых
частот. Л - лазер, И - изолятор, ФМ - фазовые модуляторы, КП контроллер поляризации, СФ - спектральный фильтр, ИМ
-измеритель мощности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
94
Зависимость видимости интерференции боковых частот
фазомодулированного излучения в протоколе КРК от длины
оптического волокна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
94
Квантовый коэффициент ошибок 𝑄 в зависимости от длины
оптического волокна с системе КРКБЧ с учетом влияния
хроматической дисперсии канала
2.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
Зависимость скорости генерации секретного ключа 𝐾 от длины
оптического волокна в системе КРКБЧ с учетом хроматической
дисперсии канала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5
98
Оптическая схема КРКБЧ с компенсацией фазового эффекта
хроматической дисперсии №1. Л - лазер NeoPhotonics, ОИ оптический изолятор, ФМ - фазовые модуляторы, КП - контроллер
поляризации, ИМ - измеритель мощности оптический, СФ1, СФ2 и
СФ3 - фильтры ВБР . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.6
Сравнение численной модели и экспериментальных значений
видимости интерференции боковых частот в системы КРКБЧ с
компенсацией дисперсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
151
2.7
Скорость генерации секретного ключа 𝐾 в зависимости от длины
оптического волокна в системы КРКБЧ, рассчитанная для двух
случаев: точный расчет с учетом всех факторов затухения, и
упрощенный расчет, где все факторы приравнены к нулю . . . . . . 103
2.8
Скорость генерации секретного ключа 𝐾 в зависимости от длины
оптического волокна в системы КРКБЧ, рассчитанная для двух
случаев: без учета дисперсии, с учетом дисперсии в старой схеме и с
учетом дисперсии в новой схеме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.9
Численное моделирование фазомодулированного гауссовского
импульса (шириной 0.5 ns) после прохождения через оптическое
волокно. Различные частотные моды разделены и показны на
одной временной шкале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.10 Сравнение видимости боковых частот для гауссовских импульсов
различной ширины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.1
Скорость генерации секретного ключа в зависимости от длины
оптического волокна SMF-28, посчитанного для случая
расположения квантового канала в однородной 100 ГГц сетке из 8
каналов. Рисунок иллюстрирует определение значения дальности
действия системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2
Рассматриваемая схема интегрирования системы КРКБЧ в сеть
DWDM (Обе системы работают в С-диапазоне). ИЗО - Оптический
изолятор; ФМ - Фазовый модулятор; АТТ - Аттеньюатор;
MUX/DEMUX - Мультиплексор/Демультиплексор . . . . . . . . . . 109
3.3
Квантовый коэффициент ошибок и вероятность детектирования
сигнала и шума спонтанного комбинационного рассеяния в
присутствии 40 классических каналов с чувствительностью
приемников 𝑅𝑥 = −28 дБм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
152
3.4
Квантовый коэффициент ошибок и вероятность детектирования
сигнала и шума спонтанного комбинационного рассеяния для
системы КРКБЧ с амлпитудным модулятором в присутствии 40
классических каналов с чувствительностью приемников
3.5
𝑅𝑥 = −28 дБм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Скорость генерации секретного ключа в зависимости от длины
оптического волокна для непрерывного a) и импульсного б)
режимов излучения лазера. Чувствительность модулей приемника
3.6
классических каналов −28 дБм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Дальность действия системы КРКБЧ в присутствии 40 каналов
DWDM в зависимости от чувствительности приемника
классических каналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.7
Зависимость шумов ЧВС и СКР, а также квантового сигнала
представленных в виде среднего числа фотонов на длине волны
квантового канала от длины оптического волокна . . . . . . . . . . . 113
3.8
Зависимость шумов ЧВС, СКР и линейных перекрестных помех
(ПМ) в зависимости от расположения квантового канала в сетке из
8 каналов с промежуточным расстоянием в 100 ГГц . . . . . . . . . . 114
3.9
Среднее число фотонов шумов ЧВС и СКР в зависимости от
расстояния между информационными каналми сетки DWDM a) и
числа каналов б). Чувствительность модулей приемника
классических каналов −23 дБм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.10 Дальность действия системы КРКБЧ в зависимости от числа
информационных каналов а) и полосы пропускания спектрального
фильтра б) для двух чувствительность модулей приемника
информационных каналов (−28 дБм и −32 дБм) . . . . . . . . . . . 116
3.11 Зависимость скорости генерации секретного ключа системы
КРКБЧ при одновременном распространении с каналами
синхронизации в одном оптическом волокне . . . . . . . . . . . . . . 117
153
3.12 Зависимость скорости генерации секретного ключа от длины
оптического волокна системы КРКБЧ в присутствии 40 каналов с
сеткой 100 ГГц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.13 Оптическая схема сети DWDM c системой КРКБЧ работающей в
О-диапазоне на длине волны 1310 нм. ИЗО - оптический изолятор;
ФМ - фазовый модулятор; АМ - амплитудный модулятор; АТТ аттенюатор; ПСД - поляризационный светоделитель; ДОФ детектор одиночных фотонов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.14 Зависимость скорости генерации секретного ключа для случаев
размещения квантового канала в О-диапазоне и С-диапазоне в
темных волокнах и в присутствии 40 каналов сети DWDM с сеткой
100 ГГц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.1
Зависимость оптимального числа фотонов при заданных потерях в
канале для достижение наибольшей скорости генерации секретного
ключа, представленная в [18] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.2
Зависимость дальности действия системы от среднего числа
фотонов на импульс в системе КРКБЧ . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.3
Зависимость дальности действия системы от экстинкции
спектрального фильтра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.4
Схема приемника системы совместной передачи квантового канала
КРКБЧ и информационных каналов с предусилением
информационных каналов и каскадом спектральных фильтров . . . 127
154
Список таблиц
1
Схема протокола BB84 в применении к системе квантового
распределения ключа на боковых частотах.
2
. . . . . . . . . . . . . .
75
Условные обозначения и названия диапазонов
телекоммуникационного окна оптического волокна. . . . . . . . . . .
80
3
Параметры одномодового волокна SMF-28. . . . . . . . . . . . . . . .
80
4
Описание и значения параметров модели. . . . . . . . . . . . . . . . .
95
5
Параметры ВОЛС и системы КРКБЧ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6
Параметры оптических волокон компании Корнинг . . . . . . . . . . 118
155
Приложение А
Публикации по теме диссертации
Research Article
Vol. 38, No. 2 / February 2021 / Journal of the Optical Society of America B
156
595
Performance of subcarrier-wave quantum key
distribution in the presence of spontaneous
Raman scattering noise generated by classical
DWDM channels
F. Kiselev,1, * R. Goncharov,1
V. Egorov1,2
N. Veselkova,1 E. Samsonov,1,2
A. D. Kiselev,1 AND
1
ITMO University, Kronverkskiy, 49, St. Petersburg, 197101, Russian Federation
Quanttelecom LLC., 6 Line, 59, St. Petersburg, 199178, Russian Federation
*Corresponding author: [email protected]
2
Received 19 October 2020; revised 18 December 2020; accepted 18 December 2020; posted 21 December 2020 (Doc. ID 412289);
published 29 January 2021
In this paper, we study the performance of the subcarrier-wave quantum key distribution system (SCW QKD) in
the presence of spontaneous Raman scattering (SpRS) noise generated by classical channels of the dense wavelength
division multiplexing (DWDM) network within a single-mode optical fiber. We present the mathematical model
for evaluation of the quantum bit error rate and secure key generation rate with the SpRS noise taken into account.
We consider two regimes of the SCW QKD system: the continuous wave regime, which uses a continuous wave laser,
and the pulsed regime. For these regimes, performance of the system is analyzed depending on receiver sensitivity of
classical DWDM. It is found that the pulsed regime outperforms the continuous wave regime in both the secure key
generation rate and maximum achievable distance. © 2021 Optical Society of America
https://doi.org/10.1364/JOSAB.412289
1. INTRODUCTION
Quantum key distribution (QKD) has become one of the most
attractive communication technologies in which security is
guaranteed by the fundamental principles of quantum mechanics [1,2]. In the last few decades, many attempts have been made
to improve upon the communication range and secure key
generation rate of QKD. These include advanced single-photon
detection technology [3,4], remarkable QKD protocols [5,6],
and so on. Considerable progress has been made to date: the
transmission distance of measurement-device-independent
QKD in an ultra-low-loss optical fiber can be as long as 404 km
[7], and therewith a quantum network can cover more than
a 200-square-kilometer metropolitan area [8]. A high-speed
QKD system with Mbit/s secure key generation rate has been
also achieved [9].
The next step towards larger availability of QKD links is
to integrate QKD with existing fiber infrastructures [10].
Common public dense wavelength division multiplexing
(DWDM) telecom networks can multiplex up to 50 different
wavelength channels in a single fiber. However, such multiplexing is a challenging task, as the quantum signal is much weaker
than the classical one. The launching power of 1 Gbps on–off
keying (OOK) modulation classical signal is typically 0 dBm,
which is equivalent to 8 × 106 photons per pulse [11], whereas
0740-3224/21/020595-07 Journal © 2021 Optical Society of America
for the quantum signal, it is usually a few tenths of photons per
pulse. Due to the large power gap between the two kinds of signals, the operation of QKD would be severely degraded by noise
impairments when using the same fiber together with conventional data. So if the quantum channel is launched into a fiber
accompanied by other classical signals, several effects, such as
channel crosstalk, Raman scattering, four-wave mixing (FWM),
or amplified spontaneous emission (in the case of amplification
of classical channels), can severely degrade the QKD system performance. A variety of methods suggested to suppress the noise
in DWDM-QKD systems include using narrow-band filters
(NBFs) [9,12–17], reducing the launching powers of classical
signals [9,13–15,17], and the temporal filtering technology
[9,15,17].
The first multiplexing scheme of QKD with classical signals
was implemented by Townsend in 1997 [18]. In this scheme,
classical signals are localized in the C-band and quantum signals
are placed in the O-band through coarse WDM (CWDM)
components. The quantum signals experience less disturbances
in this scheme, as they are far away from the classical band at
1550 nm. This CWDM-QKD scheme being widely accepted as
a viable solution has been the subject of intense studies [19–23].
However, the transmission loss in the O-band is much higher
than that in the C-band. DWDM components may thus be
596
Research Article
Vol. 38, No. 2 / February 2021 / Journal of the Optical Society of America B
more advantageous. It is also more compatible with commercial
optical network facilities, so the DWDM-QKD scheme has
been attracting an increasingly large amount of attention in
recent years [12,13,15,24–26].
In this paper, we carry out a theoretical analysis and numerical simulation of the effect of spontaneous Raman scattering
(SpRS) on the QKD channel in modern DWDM-QKD
systems caused by the presence of forward and backward propagating classical signals within a standard single-mode fiber. In
our analysis, all the channels are assumed to be located in the
narrow spectral C-band.
The impact of various impairment sources (in particular,
SpRS) in DWDM-QKD systems was previously investigated
in [11,13,25–29]. According to [11,12], SpRS is the dominant source of noise for QKD in a DWDM environment as
long as the fiber length is beyond a few kilometers. The performance of DWDM-QKD systems with different channel
allocation schemes has been analyzed for a variety of sifting
protocols, such as BB84 [11,13,27,28], Scarani-Acín-RibordyGisin (SARG) [13,28], coherent one-way (COW) [28], and
Gaussian-modulated coherent state (GMCS) [25]. QKD
systems utilizing decoy states [27] and “plug and play” phase
encoding [13] have also been considered in the context of
WDM.
The important parameters characterizing the quality of the
QKD channel are the quantum bit error rate (QBER), giving
the number of errors present in the key obtained after the sifting
procedure, and the secure key generation rate, which is the
rate at which the secret key is delivered to the recipient. The
expressions for these parameters depend on the QKD protocol.
In previous works [11,13,25,27,28], QBER and the secure key
rate have been studied for various channel allocation schemes
at different system parameters such as fiber attenuation, fiber
length, launch power, number of classical channels, quantum
receiver bandwidth, and classical channel modulation parameters. Analytical results for parameters that take into account
SpRS have been reported in [13,25,27,28].
We examine how the SpRS noise from classical DWDM
channels affects the subcarrier-wave (SCW) quantum cryptography system [30–32] where, in accordance with the quantum
theory of electro-optic phase modulation [33], each quantum
channel can be regarded as a pair of subcarrier waves (or a single
subcarrier [32]) resulting from the phase modulation induced
transformation of monochromatic coherent light. Performance
of a QKD system based on the SCW QKD system in the presence of such noise generated by classical channels of a DWDM
network operating within the same optical fiber as the QKD
system has not been studied in any detail.
We consider two different regimes of the laser source: the
continuous wave (CW) regime and the pulsed regime. We begin
with a discussion of the impact of SpRS on QBER computed
using the approach developed in [34] for a given channel allocation scheme. Then we apply the Devetak–Winter approach
to evaluate the secure key generation rate in the asymptotic
limit of infinitely long keys. By using the results for QBER and
the secure key generation rate, we numerically calculate the
maximum achievable distance of the QKD system (maximum
distance at which the secret key rate is positive) for different values of the receiver sensitivity of classical channels. The latter is
157
defined as the minimum output power of the classical signal per
channel required to meet BER requirements. Finally, we make
a comparison between the two regimes of the QKD system
and show that QBER, the secure key generation rate, and the
maximum achievable distance are significantly improved when
the CW regime is changed to the pulsed regime.
2. RAMAN NOISE IN FIBER QUANTUM
CHANNEL
In this work, we consider a DWDM system with channels that
reside in the C-band of the telecommunication window and
analyze its performance depending on a number of different
parameters of the DWDM system. We use the model of SpRS
presented in [13,28], where the power of the forward Raman
scattering noise induced by the presence of classical channels can
be written in the form
Pram, f = Pout L
Nch
X
ρ(λc , λq )1λ.
(1)
c =1
This is the case where the signals in quantum and classical
channels propagate in optical fiber along the same direction. In
the opposite case of backward Raman scattering noise where the
signals counter-propagate, the power is given by
N
Pram,b = Pout
ch
sinh(ξ L) X
ρ(λc , λq )1λ,
ξ
c =1
(2)
where Pout is the output from the fiber power of a single classical
channel, ξ is the attenuation of the fiber, L is the length of the
optical fiber, Nch is the number of classical channels present in
DWDM system, ρ(λc , λq ) is the normalized scattering crosssection for the wavelengths of classical (λc ) and quantum (λq )
channels (using the data presented in Fig. 1 of [13]), and 1λ is
the bandwidth of the quantum channel filtering system.
The output power is chosen so as to meet the BER conditions for classical communications [28]. It is determined by the
receiver sensitivity R x and insertion losses IL of the system as
follows:
Pout [dBm] = R x [dBm] + IL[dB].
(3)
In this paper, we consider the classical receiver sensitivity,
which is the minimum power required at the receiver of the
classical channel to detect the signal reliably, varying from
−23 dBm, which is typical for OOK modulation formats and
thus 1 Gbps networks, to −48 dBm, which corresponds to a
more modern 40G or 100G networks with binary phase-shift
keying (BPSK) formats and coherent detection [28,35]. In
addition, according to [28], for higher data rate optical systems,
the receiver sensitivity can be even higher.
Given the power of Raman noise in the quantum channel, we
can calculate the probability of noise induced photon detection
for both forward and backward Raman scattering. By assuming
that SpRS noise is evenly distributed in time, the total energy of
SpRS light within the detector gating time 1t can be computed
as a product of 1t and the power calculated either in Eq. (1) or
in Eq. (2). Then the result divided by the energy of a single photon at the wavelength of the quantum channel gives the mean
Research Article
Vol. 38, No. 2 / February 2021 / Journal of the Optical Society of America B
597
158
Fig. 1. Schematic of the subcarrier-wave quantum key distribution system. Insets (in circles) show the simplified intensity spectra. An optical isolator is required to prevent reflection of the beam light, and an attenuator is required to achieve the needed mean photon number in the quantum
channel.
Table 1. Parameters of DWDM System and Allocation
of Quantum Channel
Parameter
Value
ξ
1λ
Nch
Rx
IL
λq
λc
0.18 dB/km
15 GHz
40
from −23 dBm to −48 dBm
8 dB
1535 nm
from 1548.5 nm to 1564.3 nm
photon number. The detection probability of the SpRS photon
can now be calculated by multiplying the mean photon number
by the detector efficiency η D and the transmission coefficient
associated with insertion losses η B = 10−0.1IL of the detection
system. The final result reads
p ram, f /b =
Pram, f /b
1tη D η B ,
hc /λq
Bob’s module, where it is modulated again with the same modulator setup, except for a different random phase shift ϕ B , so the
final signal depends on the phase difference 1ϕ = ϕ A − ϕ B .
Further, only the sidebands are collected by the detector. The
carrier mode is pre-cut with a spectral filter with the attenuation
coefficient ϑ. The experimental setup of the SCW QKD system
is shown in Fig. 1. A detailed description of the protocol can be
found in [37,39]. Here we briefly describe equations needed for
subsequent calculations.
The mean number of photons arriving on the single-photon
detector over the transmission window T can be written in the
following form [37]:
2
S
n ph (ϕ A , ϕ B ) = µ0 η(L)η B (1 − (1 − ϑ)|d00
(β 0 )| ),
(5)
with the relations
2
1
m0
cos β ≡ 1 −
2 S + 0.5
0
(4)
where h is the Planck constant, and c is the speed of light. This
probability can now be used to estimate the impact of SpRS
noise on the performance of the QKD system. Parameters of the
DWDM system are summarized in Table 1.
3. SCW QKD PROTOCOL AND SETUP
In the SCW version of BB84 protocol [36,37] (number of bases
N = 2) in Alice’s block, a coherent monochromatic light beam
at optical frequency ω is modulated in a single-tone travelingwave phase modulator with modulation frequency  and phase
ϕ A ∈ {{0, π}, {π/2, 3π/2}}. During the modulation process,
the energy transfers from central mode to 2S vacuum sideband
modes forming a resultant signal at frequencies ω j = ω + j 
(−S ≤ j ≤ S). Signal amplitudes can be expressed in terms
of Wigner d-functions dnjS (β) [33,38]. In the transmission
window T (which in the CW case is the duration of the signal
per bit, and in the pulsed case, the duration of the pulse), the
average number of photons µ0 and the modulation index m
are chosen so as to maximize the secure key generation rate, and
the phase ϕ A encodes a random bit value. The signal passes the
−ξ L
quantum channel suffering losses η(L) = 10 10 , and enters
= cos2 β − sin2 β cos(ϕ A − ϕ B ),
2
1
m
cos β = 1 −
,
2 S + 0.5
(6)
which determine the angle β 0 . Note that in the limit of a large S
and small modulation index, we can use the approximate expresS
sion for d00
(β 0 ):
S
d00
(β 0 ) ≈ J 0 (m 0 ) ≈ 1 − (m 0 )2 /4,
(7)
where (m 0 )2 = 2m 2 (1 + cos(ϕ A − ϕ B )), and J 0 (m 0 ) is the
zero-order Bessel function of the first kind.
4. RAMAN NOISE IN SCW QKD
A. Quantum Bit Error Rate
Since the average photon number in sidebands is small (much
less than unity), one can use the theory of L. Mandel [40], which
describes the probability of a single photon detector click in the
linear approximation. The contribution of Raman scattering
in the fiber channel is described by the average photon fractions
that can be taken into account as an additional term in the
598
Vol. 38, No. 2 / February 2021 / Journal of the Optical Society of America B
159
expression for the probability of the detector to produce a click
during the gating time 1t:
n ph (ϕ A , ϕ B )
Pdet (ϕ A , ϕ B ) = η D
+ γdark 1t + p ram
T
= p cl (ϕ A , ϕ B ) + p dark + p ram ,
(8)
where γdark is the dark count rate, p dark ≡ γdark 1t, and the additional probability term p ram depends on the type of scattering as
follows:
forward : p ram = p ram, f ,
forward + backward (full) : p ram = p ram, f + p ram,b .
(9)
(10)
Let Alice choose ϕ A = 0. Assuming that Bob guesses the correct basis (results with wrong bases will be discarded at the sifting
stage), the probability of error is the probability to obtain a click
at ϕ B = π . Then, following [37], we can define the parameters
of the binary symmetric error and erasure (BSEE) channel [41]
between Alice and Bob as follows:
E = Pdet (0, π + δϕ),
(11)
1 − G − E = Pdet (0, δϕ),
(12)
where G is the conditional probability of receiving an inconclusive measurement result; E is the conditional probability of an
incorrect bit measurement; and δϕ is the apparatus related phase
mismatch. These parameters determine QBER:
Q=
Pdet (0, π + δϕ)
E
=
,
1−G
Pdet (0, δϕ) + Pdet (0, π + δϕ)
(13)
which gives the probability for Bob to accept an erroneous bit.
In our calculations, we use the approximation (7) giving an
approximate version of the above expression:
2µτ η(1 − ϑ)(1 − cos(δϕ)) + τ ϑµ0 η + p dark + p ram
,
4µτ η(1 − ϑ) + 2τ ϑµ0 η + 2 p dark + 2 p ram
(14)
where η ≡ η B η(L)η D , µ = µ0 m 2 , and τ ≡ 1t/T.
Q=
Research Article
In what follows, we consider two possible regimes of radiation
source: the pulsed regime and the CW regime. The latter corresponds to the experimental model implemented so far in which
the continuous radiation is modulated at the given repetition
rate. In this regime, the coherent state that corresponds to one
bit of information, similar to SpRS noise, is evenly distributed in
time along the phase modulation period. As a result, in this case,
the signal-to-noise ratio is governed solely by the average photon
number of this state. For a short gating time, it additionally
results in reduction of the ratio τ = 1t/T < 1. In contrast, in
the pulsed regime, the pulse width can be changed so as to have
the transmission window equal to the gating time with τ = 1. As
a consequence, the signal-to-noise ratio will increase. Note that
in both regimes, the repetition rate of random phase shifts is the
same.
In our calculations, we use the following parameters:
 = 4.8 GHz, µ0 = 3.93, m = 0.319, ξ = 0.18 dB/km,
ϑ= 10−3 , 1t = 1 ns, η D = 0.1, p dark = 4 × 10−6 , δφ= 5◦ .
Bob’s module losses are 8 dB. For the pulsed and continuous
regimes, T = 1 ns and T = 10 ns, respectively.
Figure 2 shows the dependence of QBER on the fiber length
computed for the three cases: the case without SpRS noise with
p ram = 0, and the two cases of Raman scattering with p ram
described in Eqs. (9) and (10). For comparison, we demonstrate
the results of operation in the (a) CW and (b) pulsed regimes.
It can be seen that in the presence of SpRS noise, QBER grows
quickly, reaching the critical value (≈ 0.07) at which the secret
key cannot be generated (see Section 4.2). Clearly, the fastest
growth occurs in the case of full scattering. An important point
is that there is a considerable difference between the CW and
pulsed modes of operation. In particular, in the CW regime, the
increase in the number of errors is so fast that the convex parts
of the curves disappear. There also is a noticeable difference
between the curves for these modes representing the results
without SpRS noise.
Referring to Fig. 2, the click probability of detection,
p cl ≡ p cl (ϕ A , ϕ A ) [see Eq. (8)], for the pulsed regime is 10
times larger than this probability in the continuous regime.
Obviously, the reason that the pulsed regime shows much better
results is that the signal fits entirely into the gate.
Fig. 2. QBER and contributions to the probability of detection Pdet [see Eq. (8)] versus optical fiber length for (a) continuous wave and (b) pulsed
laser regimes. The sensitivity of the classical channel receiver is −28 dBm.
Research Article
Vol. 38, No. 2 / February 2021 / Journal of the Optical Society of America B
599
160
B. Secret Key Generation Rate
In assessing the security under the influence of SpRS noise, we
restrict our analysis to the asymptotic case of the keys of infinite
length. Then, for one-way QKD protocols with independent
identically distributed information carriers, the secure generation rate in the presence of collective attacks is lower bounded by
the Devetak–Winter bound [42]
K = v S P B [1 − leakEC (Q) − max χ(A : E )],
E
(15)
where v S is the repetition rate (in our system, v S = 100 MHz);
P B = (1 − G)/N is the probability of successful state
detection in the guessed basis (N is the number of bases);
the amount of information disclosed by Alice during error
correction, leakEC (Q), is limited by the Shannon bound:
leakEC (Q) ≥ h(Q), where h(x ) is the binary entropy; and the
last term is the Holevo information.
We shall assume that Eve is not affected by Raman scattering
and calculate the Holevo bound using the results in [37] derived
for collective beam-splitting attacks. According to [37], the
secure key generation rate (15) can be estimated as follows:
(1 − G)v S
K=
2
"
1 − h(Q) − h
1 − e −µ0 m
2
2
!#
,
(16)
where we have used the approximation Eq. (7) to simplify the
S
expression for the d function: d00
(2β) ≈ 1 − m 2 .
The SpRS noise is found to have a profound effect on QBER,
so it will also affect the secret key rate (16). Figure 3 presents the
results for the key rate computed as a function of fiber length. As
compared to the case without SpRS noise, the curves with SpRS
noise taken into account indicate a pronounced drop in maximum achievable distance. This distance decreases dramatically
at forward scattering and is further reduced at full scattering.
Importantly, in the pulsed regime, the rate and distance are both
much higher than those in the continuous regime.
Figure 4 shows what happen to the fiber length dependence
of the key generation rates when the receiver sensitivity of the
classical channel is lowered to −48 dBm. It can be seen that such
a change in sensitivity value leads to an increase in the maximum
distance. In this case, effects of the Raman scattering on the
SCW system are less pronounced. It is noteworthy to note that
the pulsed regime still provides the best performance.
Effects of the receiver sensitivity on achievable maximum
distance are summarized in Fig. 5. The distance is shown to be
Fig. 3. Secure key generation rate versus optical fiber length for (a) continuous and (b) pulsed laser regimes. The sensitivity of the classical channel
receiver is −28 dBm.
Fig. 4. Secure key generation rate versus optical fiber length for (a) continuous and (b) pulsed laser regimes. The sensitivity of the classical channel
receiver is −48 dBm.
600
Vol. 38, No. 2 / February 2021 / Journal of the Optical Society of America B
Fig. 5. Maximum possible distance at which the SCW QKD system
can operate versus classical channel receiver sensitivity.
a decreasing function of the sensitivity, and the best results are
obtained in the case of the pulsed regime.
5. CONCLUSION
In this paper, we have studied how the SpRS noise generated
by classical traffic affects the performance of the SCW QKD
system. We have considered two different types of SCW QKD
setups that operate using either CW laser radiation or the pulsed
regime of radiation. Both types are modulated at the same frequency of 100 MHz. In the presence of SpRS noise, the pulsed
version of the setup is shown to perform much better than CW
laser radiation in terms of both maximum achievable distance
and secure key generation rate. In particular, we have found that
for a receiver sensitivity of −28 dBm, the maximum distance
is about 4 km when the CW version of the setup is used. This
distance is a typical high-end value for the 1 Gbps network with
OOK modulation. At the same time, for the same parameters of
the classical DWDM network, using the pulsed regime allows
to achieve a maximum distance of about 20 km. We have also
shown that further improvements can be made by reducing
the receiver sensitivity to −48 dBm. In this case, the maximum distance for the pulsed SCW QKD increases to 90 km
in the presence of SpRS noise from classical DWDM traffic.
This result is typical for 40G–100G networks with coherent
detection.
Funding. Ministry of Digital Development, Communications and
Mass Media of the Russian Federation and Russian Venture Company
(0000000007119P190002).
Acknowledgment. The work was done by the Leading Research
Center “National Center of Quantum Internet” of ITMO University during implementation of the government support program, with financial
support of the Ministry of Digital Development, Communications and
Mass Media of the Russian Federation and RVC JSC; Grant Agreement ID:
0000000007119P190002, agreement No. 006-20 dated 27.03.2020.
Disclosures. The authors declare no conflicts of interest.
REFERENCES
1. C. H. Bennett and G. Brassard, “Quantum cryptography: public key
distribution and coin tossing,” Theor. Comput. Sci. 560, 7–11 (2014).
161
Research Article
2. N. Gisin, G. Ribordy, W. Tittel, and H. Zbinden, “Quantum cryptography,” Rev. Mod. Phys. 74, 145–195 (2002).
3. D.-Y. He, S. Wang, W. Chen, Z.-Q. Yin, Y.-J. Qian, Z. Zhou, G.-C. Guo,
and Z.-F. Han, “Sine-wave gating InGaAs/InP single photon detector
with ultralow afterpulse,” Appl. Phys. Lett. 110, 111104 (2017).
4. J. Ma, B. Bai, L.-J. Wang, C.-Z. Tong, G. Jin, J. Zhang, and J.-W.
Pan, “Design considerations of high-performance InGaAs/InP singlephoton avalanche diodes for quantum key distribution,” Appl. Opt.
55, 7497–7502 (2016).
5. Z.-Q. Yin, S. Wang, W. Chen, Y.-G. Han, R. Wang, G.-C. Guo, and
Z.-F. Han, “Improved security bound for the round-robin-differentialphase-shift quantum key distribution,” Nat. Commun. 9, 457
(2018).
6. Q. Li, C. Zhu, S. Ma, K. Wei, and C. Pei, “Reference-frameindependent and measurement-device-independent quantum
key distribution using one single source,” Int. J. Theor. Phys. 57,
2192–2202 (2018).
7. H.-L. Yin, T.-Y. Chen, Z.-W. Yu, H. Liu, L.-X. You, Y.-H. Zhou, S.-J.
Chen, Y. Mao, M.-Q. Huang, W.-J. Zhang, H. Chen, M. J. Li, D. Nolan,
F. Zhou, X. Jiang, Z. Wang, Q. Zhang, X.-B. Wang, and J.-W. Pan,
“Measurement-device-independent quantum key distribution over a
404 km optical fiber,” Phys. Rev. Lett. 117, 190501 (2016).
8. H.-L. Yin, W.-L. Wang, Y.-L. Tang, Q. Zhao, H. Liu, X.-X. Sun, W.-J.
Zhang, H. Li, I. V. Puthoor, L.-X. You, E. Andersson, Z. Wang, Y.
Liu, X. Jiang, X. Ma, Q. Zhang, M. Curty, T.-Y. Chen, and J.-W. Pan,
“Experimental measurement-device-independent quantum digital
signatures over a metropolitan network,” Phys. Rev. A 95, 042338
(2017).
9. J. F. Dynes, W. W.-S. Tam, A. Plews, B. Fröhlich, A. W. Sharpe,
M. Lucamarini, Z. Yuan, C. Radig, A. Straw, T. Edwards, and A. J.
Shields, “Ultra-high bandwidth quantum secured data transmission,”
Sci. Rep. 6, 35149 (2016).
10. R. J. Runser, T. Chapuran, P. Toliver, N. A. Peters, M. S. Goodman, J.
T. Kosloski, N. Nweke, S. R. McNown, R. J. Hughes, D. Rosenberg, C.
G. Peterson, K. P. McCabe, J. E. Nordholt, K. Tyagi, P. A. Hiskett, and
N. Dallmann, “Progress toward quantum communications networks:
opportunities and challenges,” Proc. SPIE 6476, 64760I (2007).
11. J.-N. Niu, Y.-M. Sun, C. Cai, and Y.-F. Ji, “Optimized channel allocation scheme for jointly reducing four-wave mixing and Raman scattering in the DWDM-QKD system,” Appl. Opt. 57, 7987–7996 (2018).
12. N. A. Peters, P. Toliver, T. E. Chapuran, R. J. Runser, S. R. McNown,
C. G. Peterson, D. Rosenberg, N. Dallmann, R. J. Hughes, K.
P. McCabe, J. E. Nordholt, and K. T. Tyagi, “Dense wavelength
multiplexing of 1550 nm QKD with strong classical channels in
reconfigurable networking environments,” New J. Phys. 11, 045012
(2009).
13. P. Eraerds, N. Walenta, M. Legré, N. Gisin, and H. Zbinden, “Quantum
key distribution and 1 Gbps data encryption over a single fibre,” New
J. Phys. 12, 063027 (2010).
14. G. B. Xavier, G. V. de Faria, T. F. da Silva, G. P. Temporão, and J. P. von
der Weid, “Active polarization control for quantum communication in
long-distance optical fibers with shared telecom traffic,” Microw. Opt.
Technol. Lett. 53, 2661–2665 (2011).
15. K. A. Patel, J. F. Dynes, M. Lucamarini, I. Choi, A. W. Sharpe, Z. L.
Yuan, R. V. Penty, and A. J. Shields, “Quantum key distribution for
10 Gb/s dense wavelength division multiplexing networks,” Appl.
Phys. Lett. 104, 051123 (2014).
16. L.-J. Wang, L.-K. Chen, L. Ju, M.-L. Xu, Y. Zhao, K. Chen, Z.-B. Chen,
T.-Y. Chen, and J.-W. Pan, “Experimental multiplexing of quantum
key distribution with classical optical communication,” Appl. Phys.
Lett. 106, 081108 (2015).
17. B. Fröhlich, M. Lucamarini, J. F. Dynes, L. C. Comandar, W. W.-S.
Tam, A. Plews, A. W. Sharpe, Z. Yuan, and A. J. Shields, “Longdistance quantum key distribution secure against coherent attacks,”
Optica 4, 163–167 (2017).
18. P. Townsend, “Simultaneous quantum cryptographic key distribution and conventional data transmission over installed fibre using
wavelength-division multiplexing,” Electron. Lett. 33, 188–190
(1997).
19. T. E. Chapuran, P. Toliver, N. A. Peters, J. Jackel, M. S. Goodman, R.
J. Runser, S. R. McNown, N. Dallmann, R. J. Hughes, K. P. McCabe,
J. E. Nordholt, C. G. Peterson, K. T. Tyagi, L. Mercer, and H. Dardy,
Research Article
Vol. 38, No. 2 / February 2021 / Journal of the Optical Society of America B
“Optical networking for quantum key distribution and quantum communications,” New J. Phys. 11, 105001 (2009).
20. S. Aleksic, F. Hipp, D. Winkler, A. Poppe, B. Schrenk, and G. Franzl,
“Impairment evaluation toward QKD integration in a conventional 20channel metro network,” in Optical Fiber Communication Conference
(OSA, 2015), paper W4F.2.
21. I. Choi, R. J. Young, and P. D. Townsend, “Quantum information to the
home,” New J. Phys. 13, 063039 (2011).
22. L.-J. Wang, K.-H. Zou, W. Sun, Y. Mao, Y.-X. Zhu, H.-L. Yin, Q. Chen,
Y. Zhao, F. Zhang, T.-Y. Chen, and J.-W. Pan, “Long-distance copropagation of quantum key distribution and terabit classical optical data
channels,” Phys. Rev. A 95, 012301 (2017).
23. Y. Mao, B.-X. Wang, C. Zhao, G. Wang, R. Wang, H. Wang, F. Zhou, J.
Nie, Q. Chen, Y. Zhao, Q. Zhang, J. Zhang, T.-Y. Chen, and J.-W. Pan,
“Integrating quantum key distribution with classical communications
in backbone fiber network,” Opt. Express 26, 6010–6020 (2018).
24. J. Mora, W. Amaya, A. Ruiz-Alba, A. Martinez, D. Calvo, V. G. Muñoz,
and J. Capmany, “Simultaneous transmission of 20x2 WDM/SCMQKD and 4 bidirectional classical channels over a PON,” Opt.
Express 20, 16358–16365 (2012).
25. R. Kumar, H. Qin, and R. Alléaume, “Coexistence of continuous variable QKD with intense DWDM classical channels,” New J. Phys. 17,
043027 (2015).
26. S. Bahrani, M. Razavi, and J. A. Salehi, “Wavelength assignment in
hybrid quantum-classical networks,” Sci. Rep. 8, 3456 (2018).
27. T. Ferreira da Silva, G. B. Xavier, G. P. Temporao, and J. P. von der
Weid, “Impact of Raman scattered noise from multiple telecom channels on fiber-optic quantum key distribution systems,” J. Lightwave
Technol. 32, 2332–2339 (2014).
28. M. Mlejnek, N. A. Kaliteevskiy, and D. A. Nolan, “Reducing spontaneous Raman scattering noise in high quantum bit rate QKD systems
over optical fiber,” arXiv:1712.05891 (2017).
29. Y. Sun, Y. Lu, J. Niu, and Y. Ji, “Reduction of FWM noise in WDMbased QKD systems using interleaved and unequally spaced
channels,” Chin. Opt. Lett. 14, 060602 (2016).
30. A. V. Gleı̆m, V. V. Chistyakov, O. I. Bannik, V. I. Egorov, N. V. Buldakov,
A. B. Vasilev, A. A. Gaı̆dash, A. V. Kozubov, S. V. Smirnov, S.
M. Kynev, S. E. Khoruzhnikov, S. A. Kozlov, and V. N. Vasil’ev,
“Sideband quantum communication at 1 Mbit/s on a metropolitan
area network,” J. Opt. Technol. 84, 362–367 (2017).
162
601
31. A. Gaidash, A. Kozubov, and G. Miroshnichenko, “Methods of
decreasing the unambiguous state discrimination probability for
subcarrier wave quantum key distribution systems,” J. Opt. Soc. Am.
B 36, B16–B19 (2019).
32. F. Kiselev, E. Samsonov, R. Goncharov, V. Chistyakov, A. Halturinsky,
V. Egorov, A. Kozubov, A. Gaidash, and A. Gleı̆m, “Analysis of the
chromatic dispersion effect on the subcarrier wave QKD system,”
Opt. Express 28, 28696–28712 (2020).
33. G. P. Miroshnichenko, A. D. Kiselev, A. I. Trifanov, and A. V. Gleim,
“Algebraic approach to electro-optic modulation of light: exactly
solvable multimode quantum model,” J. Opt. Soc. Am. B 34,
1177–1190 (2017).
34. A. A. Gaidash, “Unambiguous discrimination of phase-modulated
states in communication by optical channels,” Ph.D. thesis (ITMO
University, 2019).
35. K. Kikuchi and S. Tsukamoto, “Evaluation of sensitivity of the digital
coherent receiver,” J. Lightwave Technol. 26, 1817–1822 (2008).
36. A. V. Gleim, V. I. Egorov, Y. V. Nazarov, S. V. Smirnov, V. V. Chistyakov,
O. I. Bannik, A. A. Anisimov, S. M. Kynev, A. E. Ivanova, R. J. Collins,
S. A. Kozlov, and G. S. Buller, “Secure polarization-independent
subcarrier quantum key distribution in optical fiber channel using
BB84 protocol with a strong reference,” Opt. Express 24, 2619–2633
(2016).
37. G. P. Miroshnichenko, A. V. Kozubov, A. A. Gaidash, A. V. Gleim, and
D. B. Horoshko, “Security of subcarrier wave quantum key distribution against the collective beam-splitting attack,” Opt. Express 26,
11292–11308 (2018).
38. D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, and V. K. Khersonskii, Quantum
Theory of Angular Momentum (World Scientific, 1988).
39. A. Kozubov, A. Gaidash, and G. Miroshnichenko, “Finite-key security
for quantum key distribution systems utilizing weak coherent states,”
arXiv preprint arXiv:1903.04371 (2019).
40. L. Mandel and E. Wolf, Optical Coherence and Quantum Optics
(Cambridge University Press, 1995).
41. T. M. Cover and J. A. Thomas, Elements of Information Theory
(Wiley Series in Telecommunications and Signal Processing)
(Wiley-Interscience, 2006).
42. I. Devetak and A. Winter, “Distillation of secret key and entanglement
from quantum states,” Proc. R. Soc. London Ser. A Math. Phys. Eng.
Sci. 461, 207–235 (2005).
163
Vol. 28, No. 19 / 14 September 2020 / Optics Express 28696
Research Article
Analysis of the chromatic dispersion effect on
the subcarrier wave QKD system
F. K ISELEV, 1,* E. S AMSONOV, 1,2 R. G ONCHAROV, 1 V.
C HISTYAKOV, 1,2 A. H ALTURINSKY, 2 V. E GOROV, 1,2 A.
K OZUBOV, 1,2,3 A. G AIDASH , 1,2,3 AND A. G LEIM 4
1 ITMO University, Kronverkskiy, 49, St. Petersburg 197101, Russia
2 Quanttelecom LLC., 6 Line, 59, St. Petersburg 199178, Russia
3 Department of Mathematical Methods for Quantum Technologies, Steklov Mathematical Institute of
Russian Academy of Sciences, Moscow 119991, Russia
4 JSCo Russian Railways, Department of Quantum Communications, Novaya Basmannaya, 2, Moscow
107174, Russia
* [email protected]
Abstract: In this paper we investigate the chromatic dispersion impact on the quantum key
distribution system based on multi-mode weak coherent phase-coded states. We provide an
asymptotic secure key rate estimation, taking into account error detection probability due
to chromatic dispersion. We demonstrate numerically and experimentally that the effect of
chromatic dispersion in an optical fiber without any compensation hinders the secret key
distribution at a distance more than 53 km. Finally, we propose a modification to the considered
quantum communication system in order to mitigate the influence of chromatic dispersion on its
performance.
© 2020 Optical Society of America under the terms of the OSA Open Access Publishing Agreement
1.
Introduction
Fiber-based quantum key distribution (QKD) systems have been under an intense study over the
past two decades, with multiple in-lab and field implementations reported [1–11]. One of the
main challenges for experimental QKD systems is to maximize secure key rate and propagation
distances over the optical fiber. Record transmission distances over 300 km [2] and over 400
km [3] have been achieved recently. Secure key rates over 1 Mbps were reported in [5,7]. Such
impressive results can be obtained as a result of analyzing different parameters of the real QKD
system and minimizing the influence of various distortions on the quantum channel. These signal
impairments can be caused by such factors as spontaneous Raman scattering, channel crosstalk,
fiber losses, and chromatic dispersion [12]. The latter is a particularly acute problem for the
protocol described in this paper, since it leads to intersymbol interference and a dramatic increase
in quantum bit error rate (QBER).
Digital dispersion compensation, which is commonly applied in classical communication
[11,12], cannot be used in QKD systems due to the low value of mean photon number per
pulse, therefore using fully analog approaches is required. Known analog methods for chromatic
dispersion compensation in fiber-based telecommunication systems are described in [12,13].
These include:
• Using dispersion compensating fiber (DCF) as a complement to a regular fiber. This
method leads to a substantial attenuation and cumbersomeness of the overall system.
Nevertheless, this approach is involved, for example, in [3] with reported DCF attenuation
of 0.5 dB/km;
#403293
Journal © 2020
https://doi.org/10.1364/OE.403293
Received 21 Jul 2020; revised 25 Aug 2020; accepted 1 Sep 2020; published 11 Sep 2020
164
Research Article
Vol. 28, No. 19 / 14 September 2020 / Optics Express 28697
• Compensation by applying regular or chirped fiber Bragg gratings (FBG), that results
in much lower attenuation compared to the previous method. For instance, FBGs for
chromatic dispersion compensation are used in [8];
• Dispersion shifted fiber (DSF) with zero dispersion at the signal wavelength is used to
mitigate the effect of chromatic dispersion [5];
• Reduction of the chromatic dispersion effect by calculating the optimal initial pulse duration
at which its broadening caused by chromatic dispersion is minimal [12].
In this paper we consider the subcarrier wave (SCW) QKD system presented in [14–16] which,
due to its peculiarity, was found to be especially susceptible to chromatic dispersion. Generally,
in SCW QKD signal photons are not emitted directly by the laser source but are generated at the
subcarrier frequencies of the classical electromagnetic field modulated by means of electro-optic
modulation of light on the central frequency (carrier wave) [14–18]. This approach has many
advantages, such as simplification of phase matching between Alice and Bob, using the carrier
wave as a reference signal, and the ability to generate several secret keys on different sidebands at
once [18,19], hence demonstrating unsurpassed spectral efficiency. Another benefit of the SCW
method is its versatility. For instance, a free space quantum communication scheme invariant to
telescopic rotation [20], a continuous variable quantum key distribution with carrier wave as
local oscillator [21], and a twin-field setup [22] have been presented using the SCW method.
Altogether, the protocol is reasonably well-resistant to external conditions affecting the channel
and is prospective for integrating into existing telecommunication infrastructure.
The effect of chromatic dispersion was previously studied for Coherent One-Way QKD protocol
[11] and for the SCW QKD scheme with a pair of phase modulators (PM-PM) [23]. However,
a similar study for the SCW setup covered in this paper has not been performed yet. Our
analysis includes analytical and numerical studies of the classical field propagation in the fiber as
well as the security estimation based on a quantum model. Current security models of SCW
QKD [24] are relatively simple and do not take into account various real-life effects, such as
chromatic dispersion. This problem is quite nontrivial due to the peculiarities of the mathematical
description of the protocol which uses multi-mode weak coherent states and a complex algebraic
apparatus for describing the signal evolution in the electro-optical modulator taking into account
different group velocities for various spectral components. Therefore, the scope of this work is to
develop and substantiate an approach combining the quantum-mechanical description of SCW
quantum states generation, transmission and detection with the classical description of chromatic
dispersion in optical fiber.
This paper is organized as follows. Section 2. describes general principles of the SCW QKD
protocol and contains the parameters of the experimental SCW QKD device that are used in
subsequent calculations. In Section 3. we describe the classical chromatic dispersion model
and its effects on the SCW QKD system. We demonstrate two models: one to illustrate the
principles in simplified but clear form, and another, suitable for precise numerical calculations.
We also compare the signal visibility for different durations of the pulse and find an optimal
one for the described protocol. In Section 4. the mathematical models of the proposed system
and the dispersion model are combined to calculate the quantum bit error rate and the secret
key generation rate. In Section 5. we demonstrate and discuss the feasibility of the method of
mitigating chromatic dispersion without using dispersion compensation devices described above.
The performed analysis is experimentally proven. Section 6. concludes the paper.
2.
SCW QKD principles and setup
SCW QKD experimental setup [14,24] is shown in Fig. 1. A coherent monochromatic light beam
at optical frequency ω is modulated in an electro-optical phase modulator by a running wave
165
Research Article
Vol. 28, No. 19 / 14 September 2020 / Optics Express 28698
with frequency Ω and phase ϕA . The output signal is obtained in course of energy transfer from
the carrier wave to the 2S sidebands at frequencies ωk = ω + kΩ, where integer k is limited by
±S. The modulation index and beam intensity are chosen to provide an optimal mean photon
number. The randomly chosen phase shift ϕA encodes Alice’s bit at a transmission window T. In
the receiver module, Bob performs similar operations. The carrier wave is cut by an optical filter,
which lets the sidebands pass. The resulting quantum signal amplitude depends on the phase
difference ϕA − ϕB . A detailed mathematical model is described in Appendix A.
Fig. 1. Schematic of the subcarrier wave quantum key distribution system. Insets (in circles)
show the simplified intensity spectra.
In this work we consider a phase-coded version of BB84 protocol which allows the receiver to
decode only a half of the states in each basis. Implementation of this protocol via SCW method
had been presented in [14], and security analysis against collective attacks was provided later in
[24].
Table 1 summarizes the SCW QKD system parameters.
Table 1. Description of model parameters.
Parameter
Description
N=2
Number of quantum state signal pairs
µ0 = 4
Average number of photons in the central mode before modulation
m = 0.319
Modulation index
µ = 0.2
Mean number of photons in side modes after modulation
T = 10 ns
Duration of the transmission window
ϑ = 10−3
Central mode transmission
∆ϕ = 5◦
Average value of phase mismatch
ηB = 6.4 dB
Losses in the receiver module
ηD = 25%
Detector quantum efficiency
γdark = 25 Hz
Dark count frequency
Ω = 4.8 GHz
Modulation frequency
The fiber parameters used in calculations are shown in Table 2.
166
Vol. 28, No. 19 / 14 September 2020 / Optics Express 28699
Research Article
Table 2. Fiber properties of SMF-28e.
Fiber parameter
Value
Dispersion
≤ 18 [ps/nm/km]
Attenuation
≤ 0.2 [dB/km]
Effective group index of refraction
Group velocity dispersion
3.
1.4682
−2.0407e-23 [sec2 /km]
Chromatic dispersion in the SCW QKD system
Initial study of the effect of chromatic dispersion on SCW QKD was performed in [23]. Here
we perform a similar analysis applying it to the developed SCW QKD system and also taking
into consideration the effect of temporal deviation of sidebands due to second order dispersion.
It is known that wavelength dependence on propagation constant of the fundamental mode
in single-mode optical fibers can be represented as Tailor series within the vicinity of some
wavelength [25].
β2
β3
β(ω) ≈ β0 + β1 ∆ω + ∆ω2 + ∆ω3 ,
(1)
2
6
where ∆ω = ω − ω0 . Our case of SCW QKD perfectly fits into this chromatic dispersion
description since the carrier wavelength can be taken as ω0 and the sidebands will be close
enough to the carrier on a scale of whole telecommunication window to justify the Tailor series
expansion. Using such representation we can consider the phases of two subcarriers shifting
in the opposite directions in relation to the carrier. The phase shifts for fiber length L can be
derived using the first and the second order dispersion coefficients of the Tailor expansion Eq. (1)
as follows:
β2
Φ+ = β1 + Ω ΩL
(2)
2
β2
Φ− = − β1 − Ω ΩL
2
(3)
IB = 4 |b| 2 (1 + cos(ϕb − ϕa − Lβ1 Ω) · cos(Lβ2 Ω2 /2)),
(4)
for the "right" subcarrier, and
for the "left" subcarrier. Due to the difference in group velocities the phase mismatch between
the interfering subcarriers will occur after phase modulation at Bob’s side. The same derivation
may be applied to each pair of higher order subcarriers, although the group velocities will be
multiplied by the order of the respective pair. For simplicity, in the analytical model we only
consider the first order subcarriers. However, if we compare the results with the numerical model
which takes into account multiple subcarriers we get a reasonable agreement. The intensity
measured by Bob can be found as
where b is the electromagnetic field amplitude, ϕa and ϕb are phase shifts induced by the
modulators at Alice’s and Bob’s sides, respectively.
We consider the case when maximum visibility at a given fiber length L can be achieved. One
can see that the maximum and minimum intensities, respectively, correspond to following phase
matching conditions:
ϕb − ϕa − Lβ1 Ω = 0
(5)
ϕb − ϕa − Lβ1 Ω = π
(6)
V = cos(Lβ2 Ω2 /2)
(7)
Thus, the interference visibility can be derived as
167
Research Article
Vol. 28, No. 19 / 14 September 2020 / Optics Express 28700
One can notice from Eq. (4) that when Lβ2 Ω2 /2 = −π/2, intensity will not depend on the
induced phases, and visibility will always be zero. This means that at certain fiber lengths secure
key generation is fundamentally impossible without any compensation for this dispersion effect.
It can be seen that this analytical derivation considers only the two first-order sidebands. We use
this simple model to show principles behind this effect and to describe phase-matching conditions
required to achieve constructive and destructive interference in the second modulator.
However, due to the fact that full spectrum of sideband frequencies is taken into account
in subsequent security analysis in Section 4, the analytical model cannot be used any further.
Hence we shall utilize the numerical approach and use the same modulator model without any
simplifications in the protocol model. This approach is based on the split-step Fourier transform
method of solving nonlinear Schrödinger equation, where phase modulation is represented in
its general form and therefore full spectrum of sideband frequencies within the computational
window is considered. This form can be written as follows
Eout = Ein ei cos(Ωt+ϕa )
(8)
After we apply this to a Gaussian pulse, we use nonlinear Schrödinger equation of the following
form to calculate propagation of this field through an optical fiber with chromatic dispersion
which we solve, as was mentioned above, in a Fourier domain using split-step method
∫ ∞
1
2
1
A(z, t) =
(9)
Ã(0, t)ei 2 β2 zw −iωt dω
2π −∞
Where A(z, t) is the slowly varying amplitude of the pulse envelope
E(z, t) = A(z, t)ei(β0 z−ωt)
(10)
Eq. (8) is a general classical form of the phase modulator model that can be further developed via
Jacobi-Anger expansion as shown in [26,27]
Eout = Ein eim cos (Ωt+ϕa ) = Ein
∞
Õ
k=−∞
ik Jk (ma )eik(Ωt+ϕa ) ,
(11)
This form will be used later in the paper to calculate quantum bit error rate and secure key rate.
One can see from Fig. 2 that the results of the analytical model match well with the numerical
calculations for Gaussian carrier pulses with FWHM (full width at half maximum) of 5 ns. This
indicates that analytical model is appropriate to use for estimation of phase-matching conditions
and visibility.
Having obtained the intensities, we can now calculate the mean photon number using the
following relation
Epulse λ
µ=
(12)
2π~c
where Epulse is the pulse energy, λ is the carrier wavelength and c is the speed of light in vacuum.
This value will be used in the next section to calculate the performance parameters of the QKD
link.
An experiment was conducted to assess the effect of chromatic dispersion on the visibility.
High power continuous wave signal was launched into the SCW QKD scheme connected by
Corning SMF-28e+ single-mode fiber (with known attenuation). The output power was measured
at different distances while the modulator at Bob’s side was tuned to zero phase shift in order to
observe the interference visibility. We compared the experimental results with the ones predicted
by the analytical and numerical models (Fig. 2). The main difference in the results is that in the
experimentally achieved visibility does not reach zero. This could be caused by multiple factors:
168
Research Article
Vol. 28, No. 19 / 14 September 2020 / Optics Express 28701
Fig. 2. Dependence of interference visibility at the sidebands on the fiber length obtained
using the analytical model and the numerical simulations, compared with experimental
results.
Fig. 3. Comparison sideband intereference visibility for pulses with different temporal
FWHM.
Fig. 4. Numerical simulation of a Gaussian pulse (FWHM = 0.5 ns) after propagating
through 340 km of optical fiber. Different frequency terms are separated and displayed on
the same time line.
169
Vol. 28, No. 19 / 14 September 2020 / Optics Express 28702
Research Article
nonlinear response of the detectors to low power signals (optical power attenuates to the level of
nanowatts at 150 km and longer fiber lengths), fiber attenuation can be slightly different for the
right and left sidebands, or the signal can exhibit nonlinear noise from the phase modulator. Still,
we observed the expected trend of the visibility reaching its minimum at the distance between
150 and 200 km, and then rising again as phase difference between the sidebands becomes closer
to 2π.
Another effect to consider is temporal pulse broadening caused by the second order dispersion.
When the pulse temporal width becomes much lower than 5 ns the effect is significant enough
to impact the interference. Since different sidebands propagate at different group velocities,
they temporally deviate from the carrier pulse. After the second modulation at Bob’s side, the
new sideband pulses do not completely overlap with the ones that originated from Alice, thus
disrupting the interference and reducing the visibility. In Fig. 3 we can see visibility curves for
three different FWHM of the incoming pulse. To determine the cause of this effect, we consider
the propagation of the modulated 0.5 ns pulse through 340 km fiber by separating the carrier and
the sideband components and plotting them together on a time line (Fig. 4). It can be seen that the
left and right sideband pulses deviate from the central one by the value of ∆t = β2 ΩL ≈ 0.2 ns.
4.
Quantum bit error rate and secure key rate
To estimate the effect of fiber chromatic dispersion on SCW QKD protocol security we combine
the quantum model of the discussed system (described in Appendix A) along with the dispersion
model. We introduce corrections to Eq. (31) determining the change in photon number due
to dispersion impact and to obtain its dependence on the relative phase shift for the cases of
constructive and destructive interference. Thus, we define a negative photon fraction decrement
∆1 for the case of constructive interference and a positive increment ∆2 for the case of destructive
interference. These parameters essentially change the interference visibility in accordance with
the model described in the previous section.
Then, depending on the selected phase ϕB with a correctly chosen basis, we observe
2
0
S
(0, ∆ϕ) = η(L)ηB µ0 1 − (1 − ϑ) d00
(ε 0) + ∆1 ,
nph
(13)
2
0
S
(0, π + ∆ϕ) = η(L)ηB µ0 1 − (1 − ϑ) d00
(ε 0) + ∆2 ,
nph
(14)
S
dnk
(ε) −→ Jn−k (m).
(15)
where ∆ϕ is an average phase deviation of the modulating signal due to non-ideal QKD
S (ε) is the Wigner d-function [28] whose argument ε is determined
synchronization system and dnk
by Alice’s modulation index m.
For a well-founded combination of the two models and for subsequent calculations, we use the
remarkable asymptotic property of a Wigner d-function [28]
S→∞
In this asymptotic form, the number of sideband frequencies is infinite, which brings the used
model closer to the conventional approaches [26,29]. As noted in Ref. [26], within the framework
of the quantum model, the result of such transition remains physically correct.
The dispersion parameters obtained from the numerical model are calculated as follows
∆1 = µcons (L) − µcons (0),
∆2 = µdest (L),
where µcons (l) and µdest (l) at a fiber length l.
(16)
170
Vol. 28, No. 19 / 14 September 2020 / Optics Express 28703
Research Article
The probability for a single photon detector to produce a click beyond a time window T is
!
0 (ϕ , ϕ )
nph
A B
Pdet (ϕA , ϕB ) = ηD
+ γdark ∆t,
(17)
T
where ∆t = T for continuous operation of the detector.
Detection probability (1 − G) and error probability E are expressed through Eq. (17) as follows
E = Pdet (0, π + ∆ϕ),
1 − G = Pdet (0, ∆ϕ) + Pdet (0, π + ∆ϕ),
(18)
Thus, the quantum bit error rate Q is
Q=
E
Pdet (0, π + ∆ϕ)
=
1 − G Pdet (0, ∆ϕ) + Pdet (0, π + ∆ϕ)
(19)
As one can see in Fig. 5, quantum bit error rate Q demonstrates a rapid increase from 0 km to the
distance between 150 and 200 km and then has a noticeable fluctuation which is associated with
the increased visibility at greater distances that can clearly be seen in Fig. 2. Likewise, with the
increase of visibility, the errors in the channel decrease faster than the common noise rises in
SCW QKD system. However, around 250 km, the growth rate of the visibility function slows
down, and QBER increases again.
Fig. 5. Quantum bit error rate Q dependence on distance in SCW QKD system adjusted for
chromatic dispersion.
To evaluate the chromatic dispersion effect on the protocol security we consider a collective
attack in the asymptotic limit on infinitely long keys and compute the corresponding asymptotic
key rate using the Devetak-Winter approach [30]. We also estimate an upper bound for Eve’s
knowledge about the data using Holevo bound [31] for weak coherent states considering collective
attacks.
171
Research Article
Vol. 28, No. 19 / 14 September 2020 / Optics Express 28704
The dependencies of average secret key rate K on losses in the channel is
K = vS PB 1 − leakEC (Q) − max χ(A : E) ,
E
(20)
where ν = T −1 is the repetition rate, PB = (1 − G)/N is the probability of successful decoding
and accepting of a bit in a single transmission window including only the data with guessed basis
out of N possible, leakEC (Q) ≥ h(Q) is the amount of information revealed by Alice during the
error correction limited by the Shannon bound (h(x) is binary Shannon entropy function), the last
term is the Holevo bound.
Since Eve is not subject to additional effects due to the dispersion, the Holevo bound in the
case of the CBS attack remains the same as in Ref. [24]. So the key rate can be rewritten as
follows
"
!#
S
1 − e−µ0 (1−d00 (2ε))
1−G
1 − h (Q) − h
.
(21)
K=
NT
2
It is important to note that one must increase the number of bases to provide a full security proof
as described in [32].
Figure 6 shows asympotic secure key rate of SCW QKD system with the effect of chromatic
dispersion taken into account. Without dispersion compensation the secure key generation rate
drops dramatically to zero after 53 km, and there is no way to even observe its increase due to
visibility rising at longer distances.
Fig. 6. Asymptotic secure key rate K dependence on distance in SCW QKD system
considering the chromatic dispersion.
5.
Method to reduce the impact of chromatic dispersion
We have shown how the quantum signal encoded into two sidebands degrades due to different
phase rotation rates caused by chromatic dispersion. A common way to mitigate this sort of
effects is to use dispersion compensation devices such as dispersion-shifted fiber or chirped
Bragg gratings. Here we propose a new method for the SCW QKD systems which consists in
using optical filters that cut off one side of sideband spectrum. By doing so we mitigate the
172
Research Article
Vol. 28, No. 19 / 14 September 2020 / Optics Express 28705
problem related to different phase rotation speeds: the only negative effect that is left is pulse
broadening which was found to be negligible for nanosecond pulses.
We conducted an experiment (see Fig. 7) using off-the-shelf spectral filters for the updated
scheme. Similarly to the original setup, we launched continuous wave signal with high power
and observed the visibility at different fiber distances. The scheme contained a passive cascade
filtering system. On the Alice’s side we set the spectral filter SF1 to prevent the propagation
of one of the sidebands into the quantum channel. At Bob’s side, the two filters, SF2 and SF3,
reflected the idle sideband (appeared after Bob’s modulation at the "empty" side of the spectrum)
and the central mode, respectively.
Fig. 7. Schematic of the proposed "one-sideband" subcarrier wave quantum key distribution
setup.
Figure 8 shows the comparison of numerically calculated and experimentally measured
sideband interference visibility versus fiber length in case one of the sidebands is filtered out. It
is clear that both the calculated and the measured visibilities remain close to unity.
Fig. 8. Comparison of numerically calculated and experimentally measured sideband
interference visibility versus fiber length in case one of the sidebands is filtered out.
In order to calculate the secure key rate for the case of only one sideband we use addition
formulas for Wigner d-function [33]. Appendix C contains the detailed mathematical description.
As described above, we introduce corrections determining the lost and gained fractions of photons
due to the influence of dispersion on destructive and constructive interference. Then, depending
on the relative phase with a correctly chosen basis, and taking attenuation factors as negligible,
we obtain
!
2
S Õ
S
Õ
0
S
S
in0 ∆ϕ
0
(22)
nph (0, ∆ϕ) = µ0 η(L)ηB
d0n0 (ε1 )dn0 n (ε1 )e
+ ∆1 ,
n=1 n0 =0
nph (0, π + ∆ϕ) = µ0 η(L)ηB0
S Õ
S
Õ
n=1 n0 =0
2
S
S
in0 (π+∆ϕ)
d0n
0 (ε1 )dn0 n (ε1 )e
+ ∆20
!
,
(23)
173
Vol. 28, No. 19 / 14 September 2020 / Optics Express 28706
Research Article
where ∆10 and ∆20 are the new dispersion parameters.
For this case, a recalculation of the Holevo information is also required, and the result is as
follows
"
S
Õ
1
2
S
d0k
(ε1 ) 1 − eiπk
1 − exp −µ0
χ(A : E) = h
2
k=0
(24)
!#!!
−1
Õ
2
S
(ε1 ) 1 − eiπk
,
+
ϑ 0 d0k
k=−S
A detailed description of Holevo information is presented in the Appendix D.
Then the secret key generation rate is as follows
1−G
[1 − h (Q) − χ(A : E)] ,
(25)
NT
As can be seen from Fig. 9, in case of only right sideband remaining the secure key rate
dependence is almost equivalent to the case when chromatic dispersion is not taken into account.
Hence our method has allowed to compensate for the chromatic dispersion effect was sufficiently
enough to increased the secure key distribution distance up to 196 km (i.e. roughly four times).
It should be noted that a work analyzing the similar protocol shows that the probability of
the USD attack increases when the same information is kept in two halves of the spectrum
simultaneously (i.e. both in the lower and higher sidebands) [34]. Thus, filtering out one half of
the spectrum also helps to strengthen the security against such attacks.
K=
Fig. 9. Asymptotic secure key rate K dependence on the distance in SCW QKD system
in three case: with both sidenabds (higher and lower) transmitted and detected without
dispersion, with both sidebands transmitted and detected considering the dispersion effect,
and with only one sideband (in our case, the "right" one) remaining and dispersion taken
into account.
6.
Conclusion
In this paper we analyzed the performance of SCW QKD link with chromatic dispersion taken
into account. We developed an analytical model that shows how chromatic dispersion results
174
Vol. 28, No. 19 / 14 September 2020 / Optics Express 28707
Research Article
in different phase rotations of the sidebands with respect to the carrier wave. We also used a
numerical model based on split step Fourier method solving the classical pulse propagation by a
nonlinear Schrödinger equation. Our experimental results coincide with the trends predicted by
the classical model. We integrated the results of more complete numerical simulations into the
quantum model and calculated secure key rate in SCW QKD with dispersion against the CBS
attack. Finally, we proposed a method to mitigate the impact of chromatic dispersion by filtering
out one of the sidebands and developed an adjusted quantum model which has proven the validity
of such approach in terms of security and reach. Our approach has allowed to increase SCW
QKD distance in realistic fiber channels with dispersion almost four times.
Appendix A: SCW QKD mathematical model
The initial state of the field produced by a laser source is
√
|ψi = | µ0 i0 ⊗ |vaciSB ,
(26)
S
Ì
(27)
√
where |vaciSB is the sidebands vacuum state and | µ0 i0 is the carrier wave coherent state with a
given average number of photons µ0 . The phase of the carrier wave is taken as zero. The state
after the Alice’s modulation is
|ψ0 (ϕA )i =
with coherent amplitudes
k=−S
|αk (ϕA )ik ,
√
S
µ0 d0k
(ε)e−i(θ1 +ϕA )k ,
(28)
1 m 2
cos (ε) = 1 −
,
2 S + 0.5
where θ 1 is a constant phase. After the quantum channel a similar modulation with the same
modulation index but different phase ϕ is applied. The resulting state after the second (Bob’s)
modulation is also a multimode coherent state
αk (ϕA ) =
|ψB (ϕA , ϕ)i =
with overall amplitudes
αk (ϕA , ϕB ) =
p
S
Ì
k=−S
|αk (ϕA , ϕ)i k
S
(ε 0) ,
µ0 η(L)ηB exp (−iθ 2 k) d0k
cos ε 0 = cos2 ε − sin2 ε cos (ϕA − ϕ + ϕ0 ) ,
(29)
(30)
where θ 2 and ϕ0 are some phases determined by the construction of the phase modulator [24,33].
The ϕ0 is compensated by Bob with ϕB = ϕ − ϕ0 . Transmission coefficient of the quantum
channel is η(L) = 10−ξL/10 and optical losses in Bob’s module can be described by the coefficient
ηB obtained experimentally.
The average photon number arriving at the detector on Bob’s side in the transmission window
T is given by
2
S
(ε 0) ,
nph (ϕA , ϕB ) = µ0 η(L)ηB 1 − (1 − ϑ) d00
(31)
where ϑ 1 is the carrier wave attenuation factor.
175
Vol. 28, No. 19 / 14 September 2020 / Optics Express 28708
Research Article
Appendix B: Analytical dispersion model
A wave formed by the modulator at the Alice’s side can be written as:
EA = Aeiωt +
ia i[(ω+Ω)t+ϕa ] ia i[(ω−Ω)t−ϕa ]
e
+ e
,
2
2
(32)
where A and a are complex amplitudes of the carrier and the sideband electric fields, respectively,
ω is the carrier frequency, Ω is the modulation frequency and ϕa is the phase shift induced by the
modulator. Chromatic dispersion impacts the propagation of such wave by rotating the phase of
the "left" and "right" sidebands by the following values:
β2
Φ+ = β1 + Ω ΩL
(33)
2
and
β2
Φ− = − β1 − Ω ΩL,
2
(34)
ia i[(ω+Ω)t+ϕa +Φ+ ] ia i[(ω−Ω)t−ϕa +Φ− ]
e
+ e
2
2
(35)
where β1 and β2 are the first and the second order coefficients of the propagation constant Tailor
expansion, and L is the fiber length. The resulting wave can be written as:
EA = Aeiωt +
After modulation at Bob’s side applied to the carrier term the wave takes the following form:
EB = A0eiωt +
ia i(ω+Ω)t iϕb
ia
e
(e + ei(ϕa +Φ+ ) ) + ei(ω−Ω)t (e−iϕb + e−i(ϕa −Φ− ) ),
2
2
(36)
where A0 is a complex amplutide of the carrier field after the second modulation. Since the
"right" and "left" sidebands interfere independently, we can consider the following field relations
E+ = beiωt (ei(Ωt+ϕb ) + ei(Ωt+ϕa +Φ+ ) )
(37)
E− = beiωt (e−i(Ωt+ϕb ) + e−i(Ωt+ϕa −Φ− ) ),
(38)
I+ = E+ E+∗ = 2 |b| 2 (1 + cos(ϕb − ϕa − Φ+ ))
(39)
where b = ia/2. The intensities are then derived as
I− = E− E−∗ = 2 |b| 2 (1 + cos(ϕb − ϕa + Φ− ))
(40)
Assuming an incoherent sum of intensities we can write the overall intensity measured at Bob’s
side as
IB = I− + I+ = 2 |b| 2 (2 + cos(ϕb − ϕa − Φ+ ) + cos(ϕb − ϕa + Φ− ))
(41)
Using the cosine sum formula and relations (33, 34) we get following relation
IB = 4 |b| 2 (1 + cos(ϕb − ϕa − Lβ1 Ω) · cos(Lβ2 Ω2 /2))
(42)
ϕb − ϕa − Lβ1 Ω = π
(44)
Imax − Imin (1 + cos(Lβ2 Ω2 /2)) − (1 − cos(Lβ2 Ω2 /2))
= cos(Lβ2 Ω2 /2)
=
Imax + Imin (1 + cos(Lβ2 Ω2 /2)) + (1 − cos(Lβ2 Ω2 /2))
(45)
We consider that the maximum and minimum intensities correspond to a phase matching
condition of
ϕb − ϕa − Lβ1 Ω = 0
(43)
Respectively,
Thus, the interference visibility can be derived as
V=
176
Vol. 28, No. 19 / 14 September 2020 / Optics Express 28709
Research Article
Appendix C: SCW QKD with one sideband: mathematical model
In case of the one-side sideband SCW QKD, the "right" sideband and the carrier are filtered by
Alice and sent through the quantum channel, while the "left" sideband remains attenuated by the
factor of ϑ 0. Then the input state at the Bob’s modulator is
!
!
S
−1 √
Ì
Ì
|ψ0 (ϕA )i =
|αk (ϕA )ik ⊗
| ϑ 0 αk (ϕA )ik
(46)
k=0
k=−S
with coherent amplitudes
√
αk (ϕA ) =
S
µ0 d0k
(ε)e−i(θ1 +ϕA )k .
(47)
Two-modulator case was considered in Ref. [33], where a general definition of the temporal
evolution operator of the photon annihilation operator an (ϕA , ϕ, t) is given as
an (ϕA , ϕ, t) =
S
Õ
Mnν aν ,
v=−S
S
Mnν = e−i(ω+nΩ)t e−i(n−v)ϕ0 Unν
(ϕA , ϕ),
S
Õ
S
S
S
−in0 (ϕA −ϕ)
Unv
(ϕA , ϕ) =
dnn
,
0 (ε)dvn0 (ε)e
n0 =−S
(48)
where v is the carrier mode number (we consider only the case of v = 0).
Hence, taking all the attenuation factors as negligible, the average number of photons arriving
at the detector on Bob’s side in the transmission window is
nph (ϕA , ϕB ) = µ0 η(L)ηB
S Õ
S
Õ
n=1 n0 =0
2
S
S
−in0 (ϕA −ϕB )
d0n
0 (ε1 )dn0 n (ε1 )e
,
(49)
where ηB0 is a new transmittance coefficient describing optical losses in Bob’s module changed
due to additional filtering (losses are estimated as 8 dB), the inner sum refers to a state transmitted
over the quantum channel, and the outer one to detectable modes.
In the generalized case with all the attenuation factors, the average number of photons is
S Õ
S
Õ
nph (ϕA , ϕB ) = µ0 η(L)ηB0
n=1 n0 =0
S
S
−in (ϕA −ϕB )
d0n
0 (ε1 )dn0 n (ε1 )e
0
−1
√ Õ
S
S
−in0 (ϕA −ϕB )
+ ϑ0
d0n
0 (ε1 )dn0 n (ε1 )e
2
n0 =−S
+ϑ 00
−1 Õ
S
Õ
n=−S n0 =0
S
S
−in (ϕA −ϕB )
d0n
0 (ε1 )dn0 n (ε1 )e
0
−1
√ Õ
S
S
−in0 (ϕA −ϕB )
+ ϑ0
d0n
0 (ε1 )dn0 n (ε1 )e
+ϑ
n0 =−S
S
Õ
000
n0 =0
(50)
S
S
−in (ϕA −ϕB )
d0n
0 (ε1 )dn0 0 (ε1 )e
0
−1
√ Õ
S
S
−in0 (ϕA −ϕB )
d0n
+ ϑ0
0 (ε1 )dn0 0 (ε1 )e
n0 =−S
2
2!
,
where ϑ 0 1 and ϑ 00 1 are attenuation factors of all lower sideband frequencies on Alice’s
and Bob’s sides, respectively, ϑ 000 1 is the attenuation factor of the carrier wave. In the
177
Vol. 28, No. 19 / 14 September 2020 / Optics Express 28710
Research Article
experimental scheme, double cascade filtering of the "left" sidebands along with the carrier is
used, therefore ϑ 00 = ϑ 000. Experiment shows that sequential filtering with the same spectral
filters does not double the attenuation, but increases it, so isolation is estimated to be at 40 dB.
Figure 10 shows the dependencies obtained from expressions (49) and (50). The error in
approximate calculation is extremely low, so we can use the simplified mathematical model to
further calculate the chromatic dispersion influence.
Fig. 10. Asymptotic secure key rate K dependence on distance in SCW QKD system in two
variations: the accurate case with all the attenuation factors included, and the simplified
case with in which all the factors are equal to zero.
Appendix D: Holevo bound
Holevo information is given by the von Neumann entropy of a density operator
ρ=
1
1
|ψE (0)i hψE (0)| + |ψE (π)i hψE (π)| .
2
2
(51)
The von Neumann entropy of a density operator is the Shannon entropy of its eigenvalues, so
the eigenvalues of ρ are as follows
λ1,2 =
1
(1 ± |I(0, π)|),
2
where I(ϕ1 , ϕ2 ) is a state overlap and
I (ϕ1 , ϕ2 ) = hψE (ϕ1 ) |ψE (ϕ2 )i =
S
Ö
k=0
khαk (ϕ1 ) |αk (ϕ2 )i k
−1 D√
E
Ö
√
·
k ϑ 0 αk (ϕ1 ) | ϑ 0 αk (ϕ2 )
k=−S
(52)
k
!
!
.
(53)
178
Vol. 28, No. 19 / 14 September 2020 / Optics Express 28711
Research Article
2
2
We substitute the well-known scalar product of two coherent states [35] hα| βi = e−0.5( |α | + |β | )+α β
in Eq. (53) and then obtain
"
S
1Õ
|αk (ϕ1 )| 2 + |αk (ϕ2 )| 2 − 2αk∗ (ϕ1 ) αk (ϕ2 )
I (ϕ1 , ϕ2 ) = exp −
2 k=0
#
−1
1 Õ 0
−
ϑ |αk (ϕ1 )| 2 + |αk (ϕ2 )| 2 − 2αk∗ (ϕ1 ) αk (ϕ2 )
2 k=−S
(54)
"
S
Õ
2
i(ϕ1 −ϕ2 )k
S
d0k (ε1 ) 1 − e
= exp −µ0
+
−1
Õ
k=−S
k=0
S
ϑ 0 d0k
(ε1 )
2
i(ϕ1 −ϕ2 )k
1−e
Therefore, for our protocol we obtain the Holevo information defined by
"
S
Õ
1
2
S
χ(A : E) = h
1 − exp −µ0
d0k
(ε1 ) 1 − eiπk
2
k=0
!#!!
−1
Õ
2
0 S
iπk
+
ϑ d0k (ε1 ) 1 − e
.
!#
∗
.
(55)
k=−S
Funding
Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Passport No. 2019-0903).
Disclosures
The authors declare no conflicts of interest.
References
1. H. Takesue, S. W. Nam, Q. Zhang, R. H. Hadfield, T. Honjo, K. Tamaki, and Y. Yamamoto, “Quantum key distribution
over a 40-db channel loss using superconducting single-photon detectors,” Nat. Photonics 1(6), 343–348 (2007).
2. B. Korzh, C. C. W. Lim, R. Houlmann, N. Gisin, M. J. Li, D. Nolan, B. Sanguinetti, R. Thew, and H. Zbinden,
“Provably secure and practical quantum key distribution over 307 km of optical fibre,” Nat. Photonics 9(3), 163–168
(2015).
3. A. Boaron, G. Boso, D. Rusca, C. Vulliez, C. Autebert, M. Caloz, M. Perrenoud, G. Gras, F. Bussières, M.-J. Li, D.
Nolan, A. Martin, and H. Zbinden, “Secure quantum key distribution over 421 km of optical fiber,” Phys. Rev. Lett.
121(19), 190502 (2018).
4. H.-L. Yin and Z.-B. Chen, “Coherent-state-based twin-field quantum key distribution,” Sci. Rep. 9(1), 14918 (2019).
5. Q. Zhang, H. Takesue, T. Honjo, K. Wen, T. Hirohata, M. Suyama, Y. Takiguchi, H. Kamada, Y. Tokura, O. Tadanaga,
Y. Nishida, M. Asobe, and Y. Yamamoto, “Megabits secure key rate quantum key distribution,” New J. Phys. 11(4),
045010 (2009).
6. P. Eraerds, N. Walenta, M. Legré, N. Gisin, and H. Zbinden, “Quantum key distribution and 1 gbps data encryption
over a single fibre,” New J. Phys. 12(6), 063027 (2010).
7. A. R. Dixon, Z. Yuan, J. Dynes, A. Sharpe, and A. Shields, “Continuous operation of high bit rate quantum key
distribution,” Appl. Phys. Lett. 96(16), 161102 (2010).
8. J. Dynes, I. Choi, A. Sharpe, A. Dixon, Z. Yuan, M. Fujiwara, M. Sasaki, and A. Shields, “Stability of high bit rate
quantum key distribution on installed fiber,” Opt. Express 20(15), 16339–16347 (2012).
9. K. Patel, J. Dynes, I. Choi, A. Sharpe, A. Dixon, Z. Yuan, R. Penty, and A. Shields, “Coexistence of high-bit-rate
quantum key distribution and data on optical fiber,” Phys. Rev. X 2(4), 041010 (2012).
10. I. Choi, Y. R. Zhou, J. F. Dynes, Z. Yuan, A. Klar, A. Sharpe, A. Plews, M. Lucamarini, C. Radig, J. Neubert, H.
Griesser, M. Eiselt, C. Chunnilall, G. Lepert, A. Sinclair, J.-P. Elbers, A. Lord, and A. Shields, “Field trial of a
quantum secured 10 gb/s dwdm transmission system over a single installed fiber,” Opt. Express 22(19), 23121–23128
(2014).
179
Research Article
Vol. 28, No. 19 / 14 September 2020 / Optics Express 28712
11. M. Mlejnek, N. A. Kaliteevskiy, and D. A. Nolan, “Modeling high quantum bit rate qkd systems over optical fiber,”
in Quantum Technologies 2018, vol. 10674 (International Society for Optics and Photonics, 2018), p. 1067416.
12. M. Mlejnek, N. A. Kaliteevskiy, and D. A. Nolan, “Reducing spontaneous raman scattering noise in high quantum bit
rate qkd systems over optical fiber,” arXiv preprint arXiv:1712.05891 (2017).
13. S. K. Juma, “Chirped bragg gratings compensate for dispersion,” Laser Focus World 33, 125–130 (1997).
14. A. V. Gleim, V. I. Egorov, Y. V. Nazarov, S. V. Smirnov, V. V. Chistyakov, O. I. Bannik, A. A. Anisimov, S. M. Kynev,
A. E. Ivanova, R. J. Collins, S. A. Kozlov, and G. S. Buller, “Secure polarization-independent subcarrier quantum key
distribution in optical fiber channel using bb84 protocol with a strong reference,” Opt. Express 24(3), 2619–2633
(2016).
15. A. V. Glejm, A. A. Anisimov, L. N. Asnis, Y. B. Vakhtomin, A. V. Divochiy, V. I. Egorov, V. V. Kovalyuk, A. A.
Korneev, S. M. Kynev, Y. V. Nazarov, R. V. Ozhegov, A. V. Rupasov, K. V. Smirnov, M. A. Smirnov, G. N. Goltsman,
and S. A. Kozlov, “Quantum key distribution in an optical fiber at distances of up to 200 km and a bit rate of 180
bit/s,” Bull. Russ. Acad. Sci.: Phys. 78(3), 171–175 (2014).
16. A. V. Gleim, V. V. Chistyakov, O. I. Bannik, V. I. Egorov, N. V. Buldakov, A. B. Vasilev, A. A. Gaidash, A. V.
Kozubov, S. V. Smirnov, S. M. Kynev, S. E. Khoruzhnikov, S. A. Kozlov, and V. N. Vasil’ev, “Sideband quantum
communication at 1 mbit/s on a metropolitan area network,” J. Opt. Technol. 84(6), 362–367 (2017).
17. J.-M. Merolla, Y. Mazurenko, J.-P. Goedgebuer, H. Porte, and W. T. Rhodes, “Phase-modulation transmission system
for quantum cryptography,” Opt. Lett. 24(2), 104–106 (1999).
18. J. Mora, A. Ruiz-Alba, W. Amaya, A. Martínez, V. García-Mu noz, D. Calvo, and J. Capmany, “Experimental
demonstration of subcarrier multiplexed quantum key distribution system,” Opt. Lett. 37(11), 2031–2033 (2012).
19. A. Ortigosa-Blanch and J. Capmany, “Subcarrier multiplexing optical quantum key distribution,” Phys. Rev. A 73(2),
024305 (2006).
20. S. Kynev, V. Chistyakov, S. Smirnov, K. Volkova, V. Egorov, and A. Gleim, “Free-space subcarrier wave quantum
communication,” in Journal of Physics: Conference Series, (2017), 5.
21. E. Samsonov, R. Goncharov, A. Gaidash, A. Kozubov, V. Egorov, and A. Gleim, “Subcarrier wave continuous
variable quantum key distribution with discrete modulation: mathematical model and finite-key analysis,” Sci. Rep.
10(1), 10034 (2020).
22. V. Chistiakov, A. Kozubov, A. Gaidash, A. Gleim, and G. Miroshnichenko, “Feasibility of twin-field quantum key
distribution based on multi-mode coherent phase-coded states,” Opt. Express 27(25), 36551–36561 (2019).
23. J. Mora, A. Ruiz-Alba, W. Amaya, and J. Capmany, “Dispersion supported bb84 quantum key distribution using
phase modulated light,” IEEE Photonics J. 3(3), 433–440 (2011).
24. G. Miroshnichenko, A. Kozubov, A. Gaidash, A. Gleim, and D. Horoshko, “Security of subcarrier wave quantum key
distribution against the collective beam-splitting attack,” Opt. Express 26(9), 11292–11308 (2018).
25. G. P. Agrawal, Fiber-optic communication systems, vol. 222 (John Wiley & Sons, 2012).
26. J. Capmany and C. R. Fernández-Pousa, “Quantum model for electro-optical phase modulation,” J. Opt. Soc. Am. B
27(6), A119–A129 (2010).
27. P. Y. Amnon Yariv, Optical Waves in Crystals (John Wiley & Sons, 2002).
28. D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, and V. K. Khersonskii, Quantum theory of angular momentum (World Scientific,
1988).
29. D. Horoshko, M. Eskandary, and S. Y. Kilin, “Quantum model for traveling-wave electro-optical phase modulator,” J.
Opt. Soc. Am. B 35(11), 2744–2753 (2018).
30. I. Devetak and A. Winter, “Distillation of secret key and entanglement from quantum states,” Proc. R. Soc. A
461(2053), 207–235 (2005).
31. A. S. Holevo, “Bounds for the quantity of information transmitted by a quantum communication channel,” Problemy
Peredachi Informatsii 9, 3–11 (1973).
32. A. Kozubov, A. Gaidash, and G. Miroshnichenko, “Finite-key security for quantum key distribution systems utilizing
weak coherent states,” arXiv preprint arXiv:1903.04371 (2019).
33. G. P. Miroshnichenko, A. D. Kiselev, A. I. Trifanov, and A. V. Gleim, “Algebraic approach to electro-optic modulation
of light: exactly solvable multimode quantum model,” J. Opt. Soc. Am. B 34(6), 1177–1190 (2017).
34. D. Horoshko, M. Eskandari, and S. Y. Kilin, “Equiprobable unambiguous discrimination of quantum states by
symmetric orthogonalisation,” Phys. Lett. A 383(15), 1728–1732 (2019).
35. M. O. Scully and M. S. Zubairy, “Quantum optics,” (1999).
Physica Scripta
180
You may also like
PAPER
Modeling two-qubit Grover’s algorithm
implementation in a linear optical chip
To cite this article: E Samsonov et al 2020 Phys. Scr. 95 045102
- Large gradients via correlation in random
parameterized quantum circuits
Tyler Volkoff and Patrick J Coles
- Theoretical research of the distortion of
quantum circuit in Grover's algorithm
K V Gubaidullina and S A Chivilikhin
- How fast can quantum annealers count?
Itay Hen
View the article online for updates and enhancements.
This content was downloaded from IP address 77.234.216.45 on 24/10/2021 at 23:01
Physica Scripta
181
Phys. Scr. 95 (2020) 045102 (7pp)
https://doi.org/10.1088/1402-4896/ab6523
Modeling two-qubit Grover’s algorithm
implementation in a linear optical chip
E Samsonov1, F Kiselev1,2, Y Shmelev1, V Egorov1, R Goncharov1 ,
A Santev1, B Pervushin1 and A Gleim1
1
2
ITMO University, Kronverkskiy, 49, St.Petersburg, 197101, Russia
Corning Research & Development Corporation, Corning, NY, United States of America
E-mail: [email protected]
Received 17 July 2019, revised 7 December 2019
Accepted for publication 23 December 2019
Published 14 February 2020
Abstract
This paper introduces a model of Grover’s algorithm suitable for implementation in a linear
photonic chip. We compare two known realizations of its main components, two-qubit CZ gates,
in order to define optimal chip architecture. The algorithm operation is simulated considering
directional coupler imperfection influence on the scheme parameters. We also determined
tolerance boundaries for distortions of the coupler dimensions.
Keywords: quantum computing, Grovers algorithm, optical chip, linear optical quantum
computing
(Some figures may appear in colour only in the online journal)
1. Introduction
overcomplicates the scheme leading to increasing number of
errors and lower fidelity. For example, Mach–Zehnder interferometer—key element of universal optical quantum computation—increases optical length of the chip and makes it
more expensive in comparison with regular DC that could be
used instead if universality is not required. An alternative lies
in development of a specific quantum circuits for solving
certain problems. A specially designed chip will have significantly fewer distortions than the universal system making
such implementation more efficient. For example, Grover’s
algorithm single chip implementation can be useful in
quantum networking for the purposes of calculating optimal
signal routing [7–9]. The Grover’s algorithm based on bulk
optics has been offered to date [10]. However, an algorithm
model suitable for realization in an optical chip has not been
proposed yet.
Both bulk and on-chip implementations have several
common limitations. The bottleneck of any quantum computing system is a two-qubit gate. For instance, Grover’s algorithm implementation requires at least two of them. Optical
two-qubit gate implementation is limited because of weak
photon-photon interaction [11]. In order to to solve this problem, linear optical quantum computation (LOQC) protocols
were developed. Today it is possible to create a full set of
universal unitary gates using linear optical elements [12]. Knill,
Laflamme, and Milburn (KLM) showed that a two-qubit gate
Optical systems that use photonic degrees of freedom play a
key role in quantum information science and communication.
During the ultimate decade scientists proposed optical
implementations of all basic quantum computing operations,
including Grover’s search and Shor’s quantum factoring
algorithms [1, 2]. Another actively studied direction in optical
quantum computing is boson sampling [3].
Until recently photonic quantum computing demonstrations have been realized using bulk optical elements [4].
Because of their large size and inherent instability this
approach hinders the development of scalable quantum
computing systems. A promising way of solving this problem
is using integrated photonic schemes composed of linear
optical elements (directional couplers (DCs) and phase shifters). Recently the authors of [5] demonstrated the possibility
of creating large-scale quantum photonic chip using various
materials. Paper [6] describes a six-mode universal system
integrated into a single photonic chip that is sufficient to
implement all possible linear optical protocols up to the size
of that circuit.
Universal quantum computing system is an optical
circuit that would allow to reconstruct any quantum algorithm
using unitary transformations of the quantum information
carriers. Unfortunately, in a realistic scenario such approach
0031-8949/20/045102+07$33.00
1
© 2020 IOP Publishing Ltd Printed in the UK
Phys. Scr. 95 (2020) 045102
E Samsonov et al
182
Table 1. Quantum gates and their linear optical implementations.
Figure 1. Grover’s algorithm scheme. When II (two-qubit identity
gate) is applied in the dashed box, state ∣ 11ñ is marked. Similarly one
can apply XI for marking ∣ 01ñ, IX for ∣ 10ñ, XX for ∣ 00ñ.
Quantum gates
Linear optical implementations
⎛
⎞
Z=⎜ 1 0 ⎟
⎝ 0 - 1⎠
⎛
⎞
X = ⎜ 0 1⎟
⎝1 0 ⎠
⎛
⎞
I = ⎜1 0 ⎟
⎝ 0 1⎠
1
1 1
H= 2
1 -1
⎛ cos f 2 sin f 2 ⎞
U=⎜
⎟
⎝ sin f 2 cos f 2 ⎠
⎛ 1 0 0 0 ⎞
⎟
⎜
CZ = ⎜ 0 1 0 0 ⎟
⎜ 0 0 1 0 ⎟
⎝ 0 0 0 - 1⎠
Phase delay f=π
(
can be constructed using linear optical elements, auxiliary
photons, and measurement [13]. In their paper, KLM proposed
a probabilistic CNOT with success probability P=1/16. This
probability can be increased further if its gates generate
entangled states used as a resource for the implementation of a
controlled unitary operation based on quantum teleportation
[13]. Later an alternative CNOT gate implementation with
P=1/9 was presented in [14]. It uses two photons and two
auxiliary modes (a two-photon CZ gate). Theoretical study of
correlations between perturbations of two-photon CNOT circuit parameters and its performance was given in [15]. Both of
these gates have been demonstrated experimentally on optical
chips [6, 16, 17]. Other limiting factors of optical realizations
of quantum algorithms include propagation and coupling losses, photon generation and detection efficiency and imperfections of the optical scheme. The latter include fabrication
inaccuracy of DCs and phase shifters and dark counts of
photon detectors.
In this work we propose a Grover’s algorithm model that
can be implemented in an integrated optical waveguide circuit. We consider using two above mentioned CNOT realizations and choose the optimal one. We also simulate the
algorithm taking DC imperfections into consideration. To
determine the tolerance for direction coupler technological
parameters, we simulate algorithm operation with DC distortions in length and separation of the central coupling
region. In the end we investigate how the proposed circuit
scales with a larger number of qubits.
DC with transmission coefficient T=1
)
DC with transmission coefficient T=0
DC with transmission coefficient
T=0.5 (up to phase factors), figure 2
Mach–Zehnder interferometer, f is
phase shift 0 or π
Two-qubit in accordance with LOQC
protocols
box) are applied. Thus, if the marked state is ∣ 10ñ after oracle
we get (I Ä X) CZ∣ fñ = ∣ 00ñ + ∣ 01ñ - ∣ 10ñ + ∣ 11ñ = ∣ yñ
(omitting the normalization). The next part of the scheme is
equivalent to the inversion operator (H Ä H)(Z Ä Z) CZ
(H Ä H)∣ yñ = ∣ 10ñ, hence we find the marked state ∣ 10ñ.
Abovementioned limitations allow for efficiently creating
only two-qubit algorithm implementations. Currently only
two-qubit LOQC gates have been demonstrated [16, 17]. In
the work we study two-qubit Grover’s algorithm, thereby
restricting the search space to N=4 states.
To represent a qubit we use spatial mode separation
approach (dual-rail encoding). Such schemes consist of several conventional optical elements, i.e. phase shifters and
DCs. The Hamiltonian of a phase shifter is:
H phi = faˆ in† aˆ in ,
†
aˆ out
= eifaˆ in aˆ in aˆ in† e-ifaˆ in aˆ in = eifaˆ in† ,
(1 )
†
HBS = q eifaˆ in† bˆin + q e-ifaˆ in bˆin ,
(2 )
†
†
where aˆ†, aˆ are creation and annihilation operators [aˆ†, aˆ ] =
1, [aˆ , aˆ ] = 0, [aˆ†, aˆ†] = 0 . ∣ nñ = (n!)-1 2 (aˆ†)n ∣ 0ñ is a Fock
state with n photons. ∣ 0ñ is a vacuum state, and ∣ 1ñ is a singlephoton state. DC Hamiltonian is:
2. The Grover’s algorithm in LOQC
The Grover’s algorithm identifies one of N elements, marked
by an oracle, with order N uses of the oracle [18]. The
search problem can be represented by function f (x)=1 if x is
a solution, otherwise f (x)=0. The quantum oracle, represented by unitary operator O, recognizes solutions to the
problem. Detailed algorithm description can be found in [11].
Here we consider a simplified quantum circuit of the algorithm (figure 1) which allows us to reduce the number of
errors sources. The scheme consists of the following unitary
operators: X, Z are Pauli gates, I is identity gate, CZ is
controlled Pauli Z, and H is Hadamard gate. Here we substitute CNOT with CZ, using CNOT=(I⊗H)(CZ)
(I⊗H) and reducing the Hadamard gates. In the classical
Grover’s circuit [11] the oracle uses an auxiliary qubit, while
in this proposed circuit the oracle is performed by a combination of CZ and X. The marked state is specified inside the
oracle, it is defined by whether the X gates (in the dashed
DC input and output ratio in the operator form are given as:
†
aˆ out
= cosqaˆ in† + ie-if sinqbˆin
†
†
†
bˆout = ieif sinqaˆ in† + cosqbˆin.
(3 )
Here reflection and transmission coefficients are R = sin2 q,
T = 1 - R = cos2 q , respectively. One-qubit gates used for
modeling the scheme and their implementations in dual-rail
encoding LOQC are given in table 1. The phase factor provides a unitary transformation.
Using these elements we can construct an optical
implementation of the circuit in figure 1. The resulting circuit
is shown in figure 2. A detailed scheme of Hadamard gate is
in figure 3. In order to prepare a superposition, the input state
is set to ∣ 00ñ, which is equivalent to ∣ 1010ñ in dual-rail
encoding Fock state. Optimal CZ gate will be chosen in the
following section.
2
Phys. Scr. 95 (2020) 045102
E Samsonov et al
183
Figure 2. Optical realization of Grover’s algorithm. The numbers indicate the reflection coefficients R, the dashed line denotes phase sign
change. Directional couplers at the end of the Mach–Zehnder interferometers can be omitted, since (HH=I).
(equation (4)) successively according to the linear algebra
laws. Superposition state before a first CZ gate is:
∣ y1ñ =
Figure 3. Detailed scheme of a linear optical Hadamard gate.
∣ y 2ñ =
The scheme in figure 2 contains two CZ gates, their matrix
form is given in table 1. It is possible to use one of the two
existing LOQC implementations, two-phonon CZ and KLM
CZ (see section 1).
Let us first consider a two-photon CZ gate, which has relatively high probability (P=1/9). LOQC Grover’s algorithm
possible implementation with a two-photon CZ gate is given
in figure 4.
In this paper we show that the two-photon CZ gate is not
valid option for performing the algorithm. Let us prove this
statement by calculating a state at the scheme output if for
example a state ∣ 01ñ is marked. Let the input state be:
∣ yout ñ =
(4 )
target modes consistently. According to (equation (3)), the
equations for CZ gate relating the control (C) and the target
(T) input modes to their corresponding outputs are:
2 vc) ,
(5 )
C2out =
1
( - C2 +
3
2 T1) ,
(6 )
T1out =
1
( 2 C2 + T1) ,
3
(7 )
T2out =
1
(T2 +
3
(8 )
2 vt ).
(10)
1
( - 2∣ 1010ñ - 2∣ 1001ñ
9
+ ∣ 0110ñ + 2∣ 0101ñ + ext).
(11)
We can see that the Grover’s algorithm with 1/9probability CZ gate does not allow to identifies the marked
state because of the two-photon gate error. We find from the
calculations that even if we change the Grover’s circuit
design the two-photon CZ gate will contribute the critical
error in the algorithm work.
where c1† and t1† are creation operators for the first control and
1
(C1 +
3
1 † †
(c1 t1 + c1† t2† + c2† t1† - c2† t2† + 2 c2† c2†
6
+ 2 t1† t1† + 2 c1† c2† + 2 t1† t2† + ext)∣ 0000ñ.
After post-selection we can neglect some external states
when there is photon in auxiliary mode. But the other
external states will contribute to the error because we do not
perform a measurement right after the first CZ gate. As a
result, the output state after a second part of the algorithm is
given by:
3.1. Two-photon CZ gate
C1out =
(9 )
Then the state after the first CZ gate is:
3. Optimal implementation of a two-qubit CZ gate
∣ fñ = c1† t1†,
1 † †
(c1 t1 + c1† t2† + c2† t1† + c2† t2†)∣ 0000ñ.
2
3.2. KLM CZ gate
Now we shall analyze the KLM CZ gate, which allows to
avoid the errors of the previous one. The reason for this is that
in KLM gate a successful operation is heralded by two of the
four detectors, and the gate flips the sign of the ∣ 11ñ state
probability amplitude [12]. Hence we know exactly when the
operation was successful and can use two gates consequentially. The only practical limitation of this operator is
low probability (P=1/16). Even though there are methods
of increasing it, here we consider the simplest implementation
of the protocol. KLM gate significantly reduces Grover’s
algorithm efficiency but allows it to proceed without mistakes. There already exist implementations of two-qubit gates
Relating equation for one-qubit gates are described by
(equations (1), (2)). The operators are applied to the state in
3
Phys. Scr. 95 (2020) 045102
184
E Samsonov et al
Figure 4. LOQC Grover’s algorithm implementation with two-photon CZ gate.
Figure 5. LOQC Grover’s algorithm implementation with two-cubit KLM gate.
Figure 7. Splitting coefficient variation depending on separation and
coupling length errors. Center of the figure corresponds to an ideal
case with splitting coefficient of 0.5.
Figure 6. Simulating result of the Grover’s algorithm with coupler
splitting coefficients randomly tilted in range (0.5±0.034).
4. Algorithm simulation in presence of DC
distortions
with projections measurements and post-selection in bulk
with polarization qubits [19] and on an optical chip [20].
Authors achieved fidelities close to unity. In this paper we
propose to use KLM CZ gate in optical implementation of
Grover’s algorithm. This approach is similar to one shown in
[20], however we do not aim to make the chip universal and
fully re-configurable. We suggest that such simplified chips
can be used to perform sub-routines of more complex problems. The final version of proposed scheme for algorithm
implementation with KLM CZ gates is given in figure 5.
Now let us consider errors in the algorithm that appear due to
DC dimensional inaccuracy that always remains an issue
during fabrication process. A DC is a key element of LOQC,
and its imperfections make a significant contribution to error
rate in one-qubit linear optical gates [21, 22]. We present
simulation results of the algorithm implementation given in
figure 2 with errors introduced by direction coupler parameter
deviations. Here we consider only errors from single-qubit
4
Phys. Scr. 95 (2020) 045102
E Samsonov et al
185
Figure 8. State identification probability during N runs of Grover’s algorithm, the marked state is ∣ 00ñ. Commentary is given in the text.
Figure 10. Mean success probabilities of Grover’s algorithm with
Figure 9. Minimum (blue), maximum (orange) and mean (green)
different qubit count.
success probabilities obtained from Monte-Carlo simulations for
different splitting coefficient errors.
coefficient C can be written as:
C (Dl , Ds) = sin2 (a (L int + l0 + Dl) e(-(s +Ds) t )) ,
gates, assuming that KLM gate works perfectly when the
photons are detected in respective ancillary channels.
In order to fully estimate algorithm errors one should also
consider single-photon sources and detectors. It is known that
the output success probability of a source above 0.7 and the
total system (optics and detectors) efficiency above 0.9 will
allow to achieve performing simple KLM gate without postselection [23]. Current LOQC experiments require extensive
post-selection and long measurement times and involve only
about six photons. Full description of the algorithm work
should include simulating single-photon devices, which will
be done in future works.
For our simulations we used the parameters of existing
silica-on-silicon DCs [21]. Modeling was performed using
QuTiP library [24] in Python. Figure 6 presents and example
of simulation results for a splitting coefficient error±0.034,
showing the output states for each marked state. It can be seen
that error probability does not exceed 0.011.
Coupler dimensions that contribute the most to error rate
are its length and waveguide separation in the coupling region
[25]. To determine the conditions under which the algorithm
operates stably we performed a simulation varying both
parameters.
We began with calculating silica-on-silicon DC splitting
coefficient for different values of length and separation distortions using finite element method (FEM) in Matlab mode
solver [26]. We used exponential approximation to describe
coupling length as a function of separation. The splitting
(12)
where Lint is the coupling region length, l0 is effective coupling length of the transition region, s is separation between
two waveguides in the coupling region, Δl and Δs are distortions of coupling length and separation, respectively.
Symbols a and τ denote approximation parameters obtained
from FEM simulation, their values are 1.05×10−3 and
129.15, respectively. Values of coupling region length and
separation were chosen so that C is equal to 0.5 in zero errors.
For silica-on-silicon waveguides these values are Lint+l0=
7650 nm and s=300 nm. Equation (12) gives us a map of
splitting coefficient values depending on dimensional errors
(figure 7). In order to observe the effect of distortions on in
the Grover’s algorithm, we applied the splitting deviations
calculated for different values of Δl and Δs into Hadamard
matrices.
According to (equation (3)), unitary operator for Hadamard gate with an arbitrary DC can be calculated as:
(
)
( )
⎛ 1-C
i C ⎞ i 0
⎟
H (C ) = - i 0 ⎜
0 -1 ⎝ i C
1 - C⎠ 0 1
⎛ 1-C
⎞
C
⎟.
=⎜
⎝
C
- 1 - C⎠
(13)
By replacing the ideal splitting coefficient with a distorted one
we get a Hadamard gate with distortions. To simulate these
distortions we used Monte-Carlo approach, randomly choosing
5
Phys. Scr. 95 (2020) 045102
E Samsonov et al
186
for the case of 10% error rate however if we move to higher
rates (30% and 50%) we can see the trend more clear. This
approximation can be used to estimate decrease of success
probabilities for Grover’s algorithm with qubit count much
larger than classical computer could simulate. For example if
we consider 50-qubit Grover’s algorithm with the 10% error
rate we get the estimate value of success probability equal to
0.17. We want to note that 10% error rate could correspond to
dimensional errors of DCs based on Si3N4 calculated in [25].
Figure 11. n-qubit Grover’s algorithm circuit.
5. Conclusion
We proposed two-qubit Grover’s algorithm optical scheme
which can be integrated into a chip. Our analysis shows that it is
necessary to use KLM CZ gates instead of two-photon CZ gates
with higher success probability, due to mode matching errors of
the latter. Also, in general it is more preferable to use gates with
projection measurements as it allows for post-selection of the
output and thus allows for mitigation of two-qubit gate errors
that come from probabilistic nature of LOQC. We modeled the
algorithm performance taking into consideration DC distortions
in Hadamard gates. Finally we determined algorithm tolerances
against distortions in technological parameters of DCs. Our
analysis shows that mean success probability scales slowly with
error splitting ratio and does not fall below 0.8 for two-qubit
algorithm. However, mean probability begin to drop much faster
if we consider higher number of qubits. We calculated mean
success probabilities of 3, 4 and 5-qubit Grover’s algorithm. Our
analysis shows that success probabilities attenuate exponentially.
This trend can be considered as a scalability problem with
respect to dimensional errors of DCs in LOQC.
Figure 12. Relative probabilities of Grover’s algorithm versus its
qubit count plotted for different rates of splitting coefficient error and
fitted by an exponential function.
splitting coefficient for every Hadamard gate in a single step
within boundaries which correspond to a certain set of distortion values.
Figure 8 illustrates the algorithm success probability for
N=1000 Monte-Carlo steps for two different levels of
splitting coefficient distortion. The marked state is ∣ 00ñ. On
the left graph splitting coefficient error is±16% corresponding to Δl=±100 nm and Δs=±10 nm. On the right
graph the error is±50%, Δl=±350 nm and Δs=±30 nm.
For other marked states the results show similar behavior.
This model gives us performance estimation for the proposed Grover’s algorithm realization on a photonic chip. We
performed simple statistical analysis of data obtained from
Monte-Carlo simulations for different values of splitting coefficient error. Note that for every point of splitting coefficient
error in this data has a form shown in figure 8. Figure 9 shows
minimum, mean and maximum values of algorithm success
probabilities obtained from these simulations as functions of
splitting coefficient error. One can see that while minimal
success probability drops fast, the mean value declines much
slower and does not fall below 0.95. Similar performance was
achieved for two-qubit quantum processor in [20]. This indicates that in a lot of cases the algorithm works even for very
large errors. Situation changes if we consider higher number of
qubits. In this paper we also consider Grover’s algorithm
schemes with larger qubit count—3, 4 and 5 qubits. It is known
that scalability is one of the main challenges for LOQC as
well as for other physical implementations. We can construct
n-qubit Grover’s algorithm according to figure 11. We simulated these schemes using the same approach and looked at the
mean success probabilities of each (figure 10). As one can see
mean probabilities drop much faster with the increase of qubit
count. During the calculation we found that success probabilities for some cases are not exactly equal to 1. To create a
fair comparison we considered probabilities relative to the ideal
case of respective qubit count. We also plotted success probabilities versus the qubit count and fitted it with the decreasing
exponential (figure 12). It is hard to see the exponential decay
Acknowledgments
This work was financially supported by the Russian Ministry
of Education (Grant No. 2020-0903).
ORCID iDs
R Goncharov
https://orcid.org/0000-0002-9081-8900
References
[1] Politi A, Matthews J C F and O’Brien J L 2009 Shor’s
quantum factoring algorithm on a photonic chip Science
325 1221
[2] Kwiat P, Mitchell J, Schwindt P and White A 2002 Optical
implementation of Grover’s algorithm: it’s all done with
mirrors Quantum Communication Computing and
Measurement 2 (Boston: Springer)
[3] Gard B T, Motes K R, Olson J P, Rohde P P and Dowling J P
2015 An introduction to Boson-sampling From Atomic to
Mesoscale: The Role of Quantum Coherence in Systems of
Various Complexities (Singapore: World Scientific) ch 8
6
Phys. Scr. 95 (2020) 045102
187
E Samsonov et al
[16] Okamoto R, O’Brien J L, Hofmann H F and Takeuchi S 2011
Realization of a Knill–Laflamme–Milburn controlled-NOT
photonic quantum circuit combining effective optical
nonlinearities Proc. Natl Acad. Sci. 25 10067–71
[17] O’Brien J L, Pryde G J, White A G, Ralph T C and Branning D
2003 Demonstration of an all-optical quantum controlledNOT gate Nature 426 264–7
[18] Grover L K 1996 Quantum mechanics helps in searching for a
needle in a haystack Phys. Rev. Lett. 79 212–9
[19] Barz S, Kassal I, Ringbauer M, Lipp Y O, Dakic B,
Aspuru-Guzik A and Walther P 1996 A two-qubit photonic
quantum processor and its application to solving systems of
linear equations Sci. Rep. 4 6115
[20] Qiang X et al 2018 Large-scale silicon quantum photonics
implementing arbitrary two-qubit processing Nat. Photon.
12 534
[21] Politi A, Matthews J, Thompson M J and O’Brien J L 2009
Integrated quantum photonics IEEE J. Sel. Top. Quantum
Electron. 15 1673–84
[22] Vasilev A, Kozubov A, Gaidash A and Chivilikhin S 2016 Onchip realization of quantum circuits by using waveguides on
Si3N4 J. Phys.: Conf. Ser. 741 012104
[23] Jennewein T, Barbieri M and White A G 2011 Single-photon
device requirements for operating linear optics quantum
computing outside the post-selection basis J. Mod. Opt. 58
276–87
[24] Johansson J R, Nation P D and Nori F 2013 QuTiP 2: a Python
framework for the dynamics of open quantum systems
Comput. Phys. Commun. 184 1234
[25] Poot M, Schuck C, Ma X, Guo X and Tang H 2016 Design and
characterization of integrated components for SiN photonic
quantum circuits Opt. Express 24 6843–60
[26] Murphy T 2019 Waveguide Mode Solver MATLAB Central
File Exchange (https://mathworks.com/matlabcentral/
fileexchange/12734-waveguide-mode-solver)
[4] Thompson M G, Politi A, Matthews J C F and O’Brien J L
2011 Circuits for optical quantum computing IET circuits
Devices Syst. 5 94–102
[5] Harris N C, Bunandar D, Pant M, Steinbrecher G R, Mower J,
Prabhu M, Baehr-Jones T, Hochberg M and Englund D
2016 Large-scale quantum photonic circuits in silicon
Nanophotonics 5 456–68
[6] Carolan J et al 2015 Universal linear optics Science 349 711–6
[7] Meng L and Song W 2013 Routing protocol based on Grover’s
searching algorithm for Mobile Ad-hoc Netw. China
Commun. 10 145–56
[8] Mariappan H, Kaliappan M and Vimal S 2016 Energy efficient
routing protocol using Grover’s searching algorithm for
MANET Asian J. Inf. Technol. 15 4986–94
[9] Reza M, Aghaei S, Zukarnain A, Mamat A and Zainuddin H
2013 A hybrid algorithm for finding shortest path in network
Routing Int. J. Multimedia Ubiquitous Eng. 8 360–5
[10] Dodd J L, Ralph T C and Milburn G J 2003 Experimental
requirements for Grover’s algorithm in optical quantum
computation Phys. Rev. A 68 042328
[11] Nielsen M A and Chuang L I 2000 Quantum Computation and
Quantum Information (Cambridge: Cambridge University
Press)
[12] Kok P, Munro W J, Nemoto K, Ralph T C, Dowling J P and
Milburn G J 2007 Linear optical quantum computing with
photonic qubits Rev. Mod. Phys. 79 135
[13] Knill E, Laflamme R and Milburn G J 2001 A scheme for efficient
quantum computation with linear optics Nature 409 46–52
[14] Ralph T C, Langford N K, Bell T B and White A G 2002
Linear optical controlled-NOT gate in the coincidence basis
Phys. Rev. A 65 062324
[15] Kozubov A V and Chivilikhin S A 2015 Theoretical
investigation of the correlation between perturbations of
quantum optical circuit parameters and its performance
J. Phys.: Conf. Ser. 643 012060
7
188
Math-Net.Ru
All Russian mathematical portal
F. D. Kiselev, E. O. Samsonov, A. V. Gleim, Modeling of linear optical controlled-z
quantum gate with dimensional errors of passive components, Nanosystems: Physics,
Chemistry, Mathematics, 2019, Volume 10, Issue 6, 627–631
DOI: https://doi.org/10.17586/2220-8054-2019-10-6-627-631
Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms
of use
http://www.mathnet.ru/eng/agreement
Download details:
IP: 77.234.216.45
October 25, 2021, 01:02:23
189
NANOSYSTEMS: PHYSICS, CHEMISTRY, MATHEMATICS, 2019, 10 (6), P. 627–631
Modeling of linear optical controlled-z quantum gate
with dimensional errors of passive components
F. D. Kiselev1,2 , E. Y. Samsonov1 , A. V. Gleim1
1
ITMO University, Kronverkskiy, 49, St. Petersburg, 197101, Russia
2
Corning Research & Development Corporation, Corning, NY
[email protected], [email protected], [email protected]
PACS 42.00.00, 42.82.Gw
DOI 10.17586/2220-8054-2019-10-6-627-631
Linear optical quantum computing can be realized using photonic integrate circuits (PICs). It is advantageous in comparison to other physical
implementations of quantum computing due to simplicity of qubit encoding using photons and low decoherence times. Passive components like
beamsplitters and phaseshifters are key elements for such PICs. In this article, we present modeling of linear optical controlled-Z gate with
imperfections of beamsplitters and phaseshifters taken into account. Results showed that errors occur which cannot be detected by projection
measurements and post-selection proposed by Knill, Laflamme and Milburn. We studied how these errors and success probability changes with
the increase of dimensional errors using Monte-Carlo simulation. The obtained results can be used for design and calibration stages of chip
manufacturing.
Keywords: quantum computing, linear optics.
Received: 2 April 2019
Revised: 6 November 2019
Final revision: 12 November 2019
1.
Introduction
Quantum computing is a paradigm which considers usage of quantum mechanical effects in computation allowing
massive parallelism and overall superiority relative toclassical computing for many important problems [1]. Quantum computing operates with unitary operations, called gates, which are building blocks of any quantum algorithm.
Controlled-Z gate (or CZ-gate in short) is one of the basic 2-qubit gates which are considered to be a part of a universal
set [2]. This is thus required for a quantum computer to be able to perform any unitary operation. For example, it is
presented in Grover’s [3] and Shor’s [4] algorithms. There are several physical platforms for implementation of quantum computing. The most popular one being evaluated by IBM thatuses qubits based on superconductivity [5]. In this
paper, we consider linear optical quantum computing (LOQC). Linear optical implementation of quantum computing
has many advantages over superconducting alternatives, including: significantly longer decoherence times, simplicity
of qubit encoding, as well as the benefits of using integrated photonic circuits as a physical platform. Typical LOQC
chip is constructed from beamsplitters (or directional couplers) and phaseshifters. It was shown in [6] that any unitary
operation can be constructed only with certain amount of these elements. Such simplicity might be attractive, however
there are many issues in LOQC that need to be addressed. One of the main issues with linear optical quantum computing is probabilistic behavior of many-qubit gates [7]. It appears that every linear optical gate that has been proposed is
capable of performing supposed operation only with certain probability due to the variation of basis states in the system which do not correspond to the right operation. Knill, Laflamme and Milburn [7] proposed using ancilla channels
and projection measurements on them to force the system of the gate to collapse into a specific set of basis states, one
of them corresponding to a desired operation. Such an approach does not solve the problem of non-determinacy, but at
least gives us an ability to monitor whether the operation was performed correctly or not. Another featurewas proposed
by the same authors to make near-deterministic operations by using multiple gates acting on the entangled set of qubits
and using a teleportation protocol to extract the successfully applied gate and feed it forward to the computation. One
can note that both approaches make the system more complex, introducing a significant numberof optical elements
and increasing number of channels. Other issues include: probabilistic generation of single-photons, coupling losses,
inefficiency of single-photon detectors, and different optical losses occurring inside the scheme. Most popular designs
for LOQC systems use photonic integrated circuits (PIC’s), as theyenablegood dimensional stability, compact sizes
and integrability [8]. These circuits could be manufactured using ion exchange technology as was shown in [9]. But
the most popular approach is to use silicon nanowires, as they have much more compact nanoscale sizes and also more
components can be integrated in such chip [10]. However, there are manufacturing tolerances of such systems which
190
628
F. D. Kiselev, E. Y. Samsonov, A. V. Gleim
need to be taken into account before designing any practical system. Even if a controllable Mach-Zehnder interferometer is used to mitigate these issues, it is important to know to what point MZIsneed to be calibrated [11].The topic of a
quantum algorithm’s performance on areal device was studied in [12], where the authors used IBM’s superconducting
quantum processor. In this paper, we present a modeling approach and resultsfor simulation of linear optical CZ-gate
with dimensional imperfections of its passive components – beamsplitters and phaseshifters.
2.
Modeling approach
A conventional approach to qubit encoding with photons is called dual-rail encoding. Thismeans that a qubit’s
state depends on the superposition of photon being in two optical modes. These modes can be spatial, polarization or
even temporal. The KLM protocol considers spatial optical modes, and thus, our CZ-gate uses two optical channels to
represent each of the 2 qubits. This correspondence can be written as
|0i = |1i1 ⊗ |0i2 = |11 02 i,
|1i = |0i1 ⊗ |1i2 = |01 12 i,
where left part represents qubit states, but the middle and right parts represent two different notations of a single
photon existing in one of the two optical modes. The optical scheme of CZ-gate is taken from [7] and presented in
Fig. 1. It consists of 4 logical optical modes, two of which are coupled to 4 ancilla modes. A single logical mode
coupled to two ancilla ones with additional single-photon source and detectors form the so called nonlinear-sign (NS)
gate (Fig. 2) which performs the following operation on Fock basis states:
|Ψin i = α|0i + β|1i + γ|2i → |Ψout i = α|0i + β|1i − γ|2i.
F IG . 1. Schematic of a KLM CZ-gate with 4 ancilla channels (right) and its representative matrix
calculated using our modeling approach (left)
F IG . 2. Schematic of the nonlinear sign-flip gate consisting of one logical and two ancilla channels
The NS gate applies successfully when single photon is measured in the respective ancilla channel. Probability
of that happening in the ideal case is 1/4, which makes success probability of CZ gate equal to 1/16. In our model,
we divide the gate into parts each of which can be described by a single time-independent Hamiltonian. Passive
components within these parts are described by following Hamiltonians:
ĤBS = â†i âj + â†j âi ,
ĤP S = â†i âi ,
where i, j are numbers of optical modes and b
ai are mode operators which act as annihilation operator on the channel
with respective number. Transformation operators are then calculated via matrix exponential:
U = exp(iĤBS/P S z),
where propagation length z represents the effective interaction length of the directional coupler or the phase shift of the
phaseshifter. Thus, dimensional errors can be introduced directly into equation shown above as random displacement
∆z. We used Quantum Toolbox in Python (QuTiP) to setup and calculate our model.
191
Modeling of linear optical controlled-z quantum gate with dimensional errors of passive components
629
In order to compute our model efficiently, we decided to split it into two steps. The first step is solving NS gate,
which consists of 3 channels and operates with 3 photons. The two-photon state is taken as an input for the logical
channel and an additional photon is taken as an input for the first ancilla channel. The important thing in this part is
application of projection measurement operator, which corresponds to a successful performance of this gate:
P10 = (I ⊗ |1ih1| ⊗ |0ih0|).
The success probability of the NS gate can thenbe calculated as a norm of the output wave function. Second
step is to solve CZ-gate itself. Here, we use matrices of NS-gates extracted from the previous calculation using partial
trace.Two matrices are then included into a tensor multiplication, forming a transformation operator acting on 4 logical
channels of CZ gate:
1
1
UB = (I ⊗ UN
S ⊗ UN S ⊗ I).
The calculated CZ-gate is then applied to an input state of two photons being launched into second and third
logical channels which logically correspond to |11i state. Here, we lay out the correspondence between optical basis
states and computational once. Subsequently, we will only use computational notations:
|00i = |11 02 03 14 i,
|10i = |01 12 03 14 i,
|01i = |11 02 13 04 i,
|11i = |01 12 13 04 i.
The success probability of this gate is calculated as multiplication of success probabilities of NS gates. Dimensions of these two problems are 3 channels, 3 photons and 4 channels, 2 photons, respectively. Such an approach
appears to be significantly more efficient in comparison with the more straightforward approach that does not separate
the problem and deals with 8 channels and 5 photons. One should note that we were able to divide the problem due
to the presence of projection measurements in the NS gate. Projection measurement destroys entanglement between
logical and ancilla channels. Thus, we can apply operation of partial trace without losing any important information.
As it was stated before, we can apply dimensional error of the phaseshifter or a beamsplitter as a random displacement of the propagation length. It is pretty straightforward for the characterization of phase shift. For the beamsplitter,
however, it is more convenient to use value of splitting coefficient. Splitting coefficient of a beamsplitter is a ratio
between input power and output power of the opposite channel. It can be calculated as:
π Lint
2
,
C = sin
2 lc
where, Lint is an effective interaction length which in our case correspond to the value of z, lc is the coupling length
which corresponds to a values of interaction length required to fully couple light form one channel to another. The
coupling length can be calculated for a given waveguide structure using overlap integrals and finite element method.
In the initial simulation, we randomly choose errors for each component within boundaries of ±0.05 for splitting
coefficient and ±π/40 for phase shift. These errors correspond to various dimensional errors which can occur in the
manufacturing process of the component. For example silicon nitride-based directional couplers have such errors if
the 400 nm separation between waveguides in the interaction region is displaced by 25 nm [13]. Other imperfections
may occur in a value of interaction length and in a cross-section geometry of the waveguide. To observe the impact
of these imperfections on the gate performance and to understand what it means, we considered diagonal elements of
output wavefunction partial traces which basically gives us photon number distribution at given channels. In an ideal
case, we should measure exactly one photon in the second and third channels for the input state |11i. One can see
in Fig. 3 that in the case of a dimensionally imperfect chip we are getting non-zero probabilities of 0 and 2 photons
being measured at the output of respective logical modes. We want to point out that these errors occur if the projection
measurement in both NS gates were successful thus they are not detectable by KLM-protocol and cannot be separated
from the computation without some additional measures. In the next section of this article we investigate how this
error depends on the amplitude of these imperfections.
3.
Monte-Carlo simulations
Since dimensional errors of passive components are random in nature, we use the Monte-Carlo approach to study
its effect on the performance of CZ-gate. At each step, we choose boundaries for splitting coefficient and phase errors.
These boundaries are called dimensional error rate and defined by the relative change of splitting coefficient and phase
shift with 0.5 and π/2 as references respectively. Then we run 1000 iterations randomly choosing errors of passive
192
630
F. D. Kiselev, E. Y. Samsonov, A. V. Gleim
F IG . 3. Photon number probability distribution at the output of 2nd and 3rd logical optical modes.
Probabilities at 0 and 2 photons correspond to the error caused by dimensional imperfections within
±0.05 for splitting coefficient and ±π/40 phase shift
components within defined boundaries. At the output we observe mean and maximum probability of error which is
calculated as
1
h11|ρout |11i,
Perr = 1 −
Psucc
where ρout is the density matrix of the output state and Psucc is the success probability of CZ gate calculated as
multiplication of success probabilities of two NS gates. This is basically probability of not measuring |11i state at
the output even if both projection measurements were successful. It also corresponds to an imperfect photon number
distribution showed in Fig. 3. Fig. 4 shows how probability of error grows with dimensional error rate being increased.
One can readily see that the growth is nonlinear. Maximum error represents worst case scenario and it grows much
faster than the mean error. This indicates that statistics of error probabilities spreads with the increase of error rate.
From that, we conclude that larger dimensional errors not only introduce larger possibility of false computation, but
also make performance of the chip less predictable. This also means that large enough dimensional errors won’t allow
us to separate its impact from other possible flaws in the experiment, unless dimensions of the device will be rigorously
measured to calculate its exact impact with respect to our model, which could be complicated.
F IG . 4. Mean and maximum error probabilities obtained from Monte-Carlo simulation for different
rates of dimensional errors
Another interesting thing to determine is the success probability of the gate (Fig. 5). Unlike the error probability,
its mean value doesn’t show a continuous decrease. However, maximum and minimum values spread around the ideal
1/16. This again impacts the performance predictability of the device.
4.
Conclusion
We proposed a modeling approach for KLM CZ-gate simulation with random dimensional imperfections of passive components taken into account. As a result, we observed errors – non-zero probabilities of 0 and 2 photons being
measured at the output of optical modes which correspond to the basis state of |11i. These errors cannot be detected
by projection measurements. We used Monte-Carlo simulations to calculate mean and maximum error probabilities
depending on the rate of dimensional errors. Our results show that maximum probability, which represents the worst
case scenario for a given error rate, grows much faster than the mean one. Additionally, the success probability, which
corresponds to a certain result of projection measurement, can significantly deviate from the ideal case in the presence
193
Modeling of linear optical controlled-z quantum gate with dimensional errors of passive components
631
F IG . 5. Mean, minimum and maximum success probabilities of CZ-gate obtained from MonteCarlo simulation for different rates of dimensional errors
of imperfections.These effects should be taken into account in the design stage of schemes with a large number of
such gates. The proposed model can be used for calculation of gate matrix and then applied to performance simulation
of quantum computational schemes based on LOQC.
References
[1] DiVincenzo D.P. Quantum computation. Science, 1995, 270 5234), P. 255–261.
[2] Barenco A., Bennett C.H., et al. Elementary gates for quantum computation. Phys. Rev. A, 1995, 52, P. 3457–3467
[3] Grover L.K. A fast quantum mechanical algorithm for database search. Proceedings of Annual ACM symposium on Theory of Computing,
Philadelphia, Pennsylvania, USA, ACM, 1996, P. 212–219.
[4] Politi A., Matthews C.J., OBrien J. Shor’s Quantum Factoring Algorithm on a Photonic Chip. Science, 2009, 325 (5945), P. 255–261.
[5] Devoret M.H., Schoelkopf R.J. Superconducting Circuits for Quantum Information: An Outlook. Science, 2013, 339 (6124), P. 1169–1174.
[6] Reck M., Zeilinger A., Bernsteim H.J., Bertani P. Experimental realization of any discrete unitary operator. Phys. Rev. Lett., 1994, 73 (1)
P. 58–61.
[7] Knill E., Laflamme R., Milburn G.J. A scheme for efficient quantum computation with linear optics. Nature, 2001, 409, P. 46–52.
[8] Silverstone J.W., Bonneau D., OBrien J., Thompson M.G., Silicon Quantum Photonics. IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics, 2016, 22 (6), P. 390–402.
[9] Gerasimenko V., Gerasimenko N., et al. Numerical modeling of ion exchange waveguide for the tasks of quantum computations. Nanosystems:
Physics, Chemistry, Mathematics, 2019. 10 (2), P. 147–153.
[10] Sun J., Timurdogan E., et al. Large-scale nanophotonic phased array. Nature, 2013, 493, P. 195–199.
[11] Miller D.A. Perfect optics with imperfect components. Optica, 2015, 2 (8), P. 747–750.
[12] Gubaidullina K.V., Chivilikhin S.A. Stability of Grovers algorithm in respect to perturbations in quantum circuit. Nanosystems: Physics,
Chemistry, Mathematics, 2017, 8 (2), P. 243–246.
[13] Poot M., Schuck C., et al. Design and characterization of integrated components for SiN photonic quantum circuits. Optics Express, 2016,
24 (7), P. 6843–6860.
Journal of Physics: Conference Series
194
You may also like
PAPER • OPEN ACCESS
Numerical modelling of an error of manufacturing
of ion-exchange waveguide for the tasks of
quantum computations
To cite this article: V S Gerasimenko et al 2019 J. Phys.: Conf. Ser. 1410 012136
View the article online for updates and enhancements.
- Pressure difference receiving ears
Axel Michelsen and Ole Næsbye Larsen
- An Ultra Compact GaN 3x3 Matrix
Converter
Shuichi Nagai, Yasuhiro Yamada,
Yasufumi Kawai et al.
- Coherent Coupling in High-Mesa
Semiconductor Directional Coupler
Hiroshi Kamiya, Tomohiro Nagata, Yuta
Ueyama et al.
Recent citations
- Active and Quantum Integrated Photonic
Elements by Ion Exchange in Glass
Giancarlo C. Righini and Jesús Liñares
This content was downloaded from IP address 77.234.216.45 on 24/10/2021 at 23:03
SPbOPEN 2019
Journal of Physics: Conference Series
195
1410 (2019) 012136
IOP Publishing
doi:10.1088/1742-6596/1410/1/012136
Numerical modelling of an error of manufacturing of ionexchange waveguide for the tasks of quantum computations
V S Gerasimenko1, N D Gerasimenko1, F D Kiselev1
1
Saint Petersburg National Research University of Information Technologies,
Mechanics, and Optics, Kronverkskiy 49, St. Petersburg, 197101, Russia
Abstract. This paper describes modeling of single-mode waveguide and 3dB
directional coupler for integrated optical quantum circuits manufactured by ionexchange process. We present results of diffusion ion exchange simulation for Na + ↔
K+ in the R2O-Sn2O-SiO2 glass and optical elements modeling performed by the beam
propagation method. There was demonstrated that the refractive index profile in the
overlapping area of directional coupler can be calculated by summing two separate
profiles, and error would not exceed 3%. We were able to minimize light propagation
looses in the device with about 20 mm length. It was done by reducing interaction
length to zero and adjusting width of the bend. After that fabrication tolerance of the
device was looked. The overall transmittance of the proposed directional coupler was
evaluated as 0.96
1. Introduction
It is well known that quantum information processing can be implemented on linear optics.
Distribution of a photon between two modes, that can be spatial, polarization or temporal, is suitable
to encode a qubit. Photonic integrated circuits are primary physical platform for quantum
computations due to dimensional stability over time and compact form factor in comparison with bulk
optics. Modern devices of integrated quantum optics are manufactured commonly by growing on a
crystal surface or using lithography [1-5]. Both these methods are expensive and complicated. In
addition, grown waveguides are often unsuitable for thermal or electric control because of the
requirement of optical insulation. In this research we consider ion-exchanged waveguides in glass.
This process provides a relatively easy way to get quantum chip with buried waveguide [6]. In
addition light effective mode area in such device is similar to one in a single-mode optical fiber, so it
is suitable for fiber-to-chip coupling with no additional device.
2. Method
In the process of ion exchange, the longest stages are the diffusion of substituting ions into glass and
the substituted ones from it [7].
The first task was to simulate these processes at the stages of forming (first stage) and burying (second
one) of a waveguide. It was done by solving diffusion equation for concentration (C) of substituting
ions for only in-glass area near the surface (Fig. 1a) with constant diffusion coefficient (D) due to high
ions similarity:
Content from this work may be used under the terms of the Creative Commons Attribution 3.0 licence. Any further distribution
of this work must maintain attribution to the author(s) and the title of the work, journal citation and DOI.
Published under licence by IOP Publishing Ltd
1
SPbOPEN 2019
Journal of Physics: Conference Series
196
1410 (2019) 012136
C
 D2C
t
IOP Publishing
doi:10.1088/1742-6596/1410/1/012136
.
Sources was simulated by boundary conditions. For first stage they were:

C  1, for non-masked area

 C
 0, for masked area

 t
 C
 t  DC , for inner boundaries
,
and for second one:
C  0, for melt-glass boundary

 C
 t  DC , for inner boundaries
.
After it concentration distribution was converted to refractive index profile (n) [8,9]:
n  n0  nmax C
,
where Δnmax is the change in the refractive index at C = 1 (and Δn = Δnmax C ), n0 is refractive
index of the glass before ion exchange (at C = 0).
We achieved desired refractive index profile with 2 µm wide mask (Fig. 1b).
(a)
(b)
Figure 1(a, b). (a) Simulated area. Space only inside white rectangle was modelled. 1 is a mark for
non-masked area, 2 for masked one when waveguide is manufacturing. When it is burying both of
the marks denote melt-glass boundary. 3 is a mark for inner boundaries (regardless of
manufacturing stage); (b) The result of modeling the profile of refraction. The step of counts on the
axes is 0.1 μm.
We also showed that modelling of the overlapped region can be performed by directly summing two
separate refractive index profiles (Fig. 2 a,b).
2
SPbOPEN 2019
Journal of Physics: Conference Series
(a)
197
1410 (2019) 012136
IOP Publishing
doi:10.1088/1742-6596/1410/1/012136
(b)
Figure 2(a, b). (a) The result of diffusion simulation for interaction area; (b) The comparison of
diffusion simulation and single profiles summing. The steps of counts on the axes is 0.1 μm.
Since refractive index difference between the core of the waveguide and the substrate is quite small we
used beam propagation method [10] to simulate the performance of our device.
At the beginning a linear waveguide was modelled. Single-mode regime was observed for the whole
infrared telecommunication range. Important result about fundamental mode in an ion-exchanged
waveguide is that this mode has a profile duplicates the refraction index gradient (Fig. 3).
Figure 3. Calculated fundamental mode of the ion-exchange glass waveguide with refractive index
profile shown on Fig. 1b.
After waveguide, the directional coupler was simulated. Geometry of the mask in general represents
geometry of the device (Fig. 4). To reach correct coupling coefficient we need to overlap two
waveguides, but refractive index profile complexity in interaction area might cause high order modes
excitation. This process occur with light leaking from the device. We optimized our structure by
adjusting width of the s-bends and reducing interaction length between the waveguides to zero for
looses prevention (Fig. 5).
3
SPbOPEN 2019
Journal of Physics: Conference Series
198
1410 (2019) 012136
IOP Publishing
doi:10.1088/1742-6596/1410/1/012136
Figure 4. Geometry of the mask for the 3dB directional coupler. Sinp/out is initial and Sint is the
interaction region separations, w is a width of slits in the mask which is 2 μm. Each of the two slits
correspond to left and right optical channels of the device.
Figure 5. Simulation of the optimized 3dB directional coupler. Initial separation - 160 µm,
separation in the interaction region – 15.82 µm, interaction length – 0 µm. Left is the field contour
map along the device and right picture shows power in the left channel (blue), power in the right
channel (green) and overall power in the region (red).
4
SPbOPEN 2019
Journal of Physics: Conference Series
199
1410 (2019) 012136
IOP Publishing
doi:10.1088/1742-6596/1410/1/012136
As a final stage we performed simulations of the directional coupler with some errors in
manufacturing process to determine scheme fabrication tolerance (Table 1).
Table 1. Effect of manufacturing errors on splitting coefficient.
Type of error
Separation
Separation
Mask thickness
Mask thickness
Exposure time (first stage)
Exposure time (first stage)
Exposure time (second stage)
Exposure time (second stage)
Value
Splitting coefficient difference
+5%
-5%
+5%
-5%
+5%
-5%
+5%
-5%
-0.140
+0.125
-0.057
-0.057
-0.042
-0.025
-0.018
-0.060
3. Results and conclusion
We performed diffusion, optical and fabrication tolerance modeling of the 3dB directional coupler
based on ion-exchanged waveguides in glass. It was shown that the refractive index profile in the
regions where two waveguides overlap can be simulated by summing two separately calculated
profiles which gave us a significant speed up in the optimization process. One of important ideas was
to reduce coupler interaction length to zero to prevent light leaking from device. The only drawback is
high sensitivity of the coupler to separation width error. Proposed optimized device has length of
20mm with maximum and minimum separation distances of 160 µm and 15.82 µm respectively. Its
overall transmittance was evaluated as 0.96.
References
[1] Matthews J C F, Politi A, Stefanov A, O'Brien J L 2009 Nat. Photonics 3(6) 346-350
[2] Crespi A, Ramponi R, Osellame R, Sansoni L, Bongioanni I, Sciarrino F, Vallone G, Mataloni P
2011 Nat. Commun 2 566
[3] Politi A, Matthews J C F, Thompson M G, O'Brien J L 2009 IEEE J. Sel. Top. Quantum Electron.
15(6) 1673-1684
[4] Politi A, Cryan M J, Rarity J G, Yu S, O'Brien J L 2008 Science 320(5876) 646-649
[5] Zhang Y, McKnight L, Engin E, Watson I M, Cryan M J, Gu E, Thompson M G, Calvez S,
O’Brien J L, Dawson M D 2011 Appl. Phys. Lett. 99(16) 161119
[6] Hallett D, Foster A P, Hurst D L, Royall B, Kok P, Clarke E, Itskevich I E, Fox A M, Skolnick M
S, Wilson L R 2018 Optica 5 644-650
[7] Nikonorov N V, Aseev V A, Zhukov S N, Ignatiev A I, Kiselev S S, Rokhmin A S 2008
WAVEGUIDE PHOTONICS (St. Petersburg: SPSU ITMO)
[8] West B R, Madasamy P, Peyghambarian N, Honkanen S 2004 J. Non-Cryst. Solids Nov 1 347(13): 18-26.
[9] Zhabrev V A 1987 Obtaining and applying protective coatings: proceedings of the 12th All-Union
Conference on Heat-Resistant Coatings, Leningrad April 16-18, 1985 (Leningrad: Science) p 14-18
[10] Yevick D, Hermansson B 1990 J. Quantum Electron. 26 109
5
Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics
200
You may also like
PAPER
A theoretical study of subcarrier-wave quantum
key distribution system integration with an optical
transport network utilizing dense wavelength
division multiplexing
To cite this article: F Kiselev et al 2021 J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 54 135502
- Influence of two-stream relativistic electron
beam parameters on the space-charge
wave with broad frequency spectrum
formation
Alexander LYSENKO and Iurii VOLK
- Synthesis of Spinel LiMn2 O 4 by a
Hydrothermal Process in Supercritical
Water with Heat-Treatment
Kiyoshi Kanamura, Kaoru Dokko and
Takahiro Kaizawa
- Plural interactions of space charge wave
harmonics during the development of twostream instability
Victor Kulish, Alexander Lysenko, Michael
Rombovsky et al.
View the article online for updates and enhancements.
This content was downloaded from IP address 77.234.216.45 on 24/10/2021 at 23:03
Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics
201
J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 54 (2021) 135502 (8pp)
https://doi.org/10.1088/1361-6455/ac076a
A theoretical study of subcarrier-wave
quantum key distribution system
integration with an optical transport
network utilizing dense wavelength division
multiplexing
F Kiselev1,2,∗ , N Veselkova1 , R Goncharov1 and V Egorov1,2
1
Leading Research Center ‘National Center of Quantum Internet’, ITMO University, Birzhevaya Line,
16, St. Petersburg, 199034, Russia
2
Quanttelecom LLC., 6 Line, 59, St. Petersburg, 199178, Russia
E-mail: [email protected]
Received 2 March 2021, revised 30 May 2021
Accepted for publication 1 June 2021
Published 5 August 2021
Abstract
In this paper we study the performance of subcarrier-wave quantum key distribution (SCW
QKD) in the presence of classical channels of optical transport network utilizing dense
wavelength division multiplexing (DWDM). We consider the impact of spontaneous Raman
scattering noise as well as the four-wave mixing and channel isolation efficiency. We calculate
quantum bit error rate as well as the secure key generation rate of SCW-QKD protocol for
different parameters of DWDM system and quantum channel allocations. Our calculations
show, that quantum channel allocation at the wavelength of 1310 nm is preferable to allocation
at C-band due to lower nonlinear noise, despite fiber’s larger attenuation at this wavelength.
Keywords: quantum communications, quantum key distribution, Raman scattering, four-wave
mixing
(Some figures may appear in colour only in the online journal)
a way that would allow for quantum and classical information channels to propagate within the same optical fiber. As it
was shown in [8, 21], it is possible with wavelength-division
multiplexing technology.
In recent years, dense wavelength division multiplexing
(DWDM) has become widely adapted as a main transport
method for high-capacity optical fiber communication systems [2, 11, 17, 27]. Multiplexing QKD with classical optical
channels over DWDM systems is challenging owing to the
dense frequency grid and the large number of classical channels shared. Multiple noise suppression techniques have been
suggested, such as the use of narrow-band filters [8, 9, 11, 26,
28, 32], temporal filtering technology [8, 28, 32], as well as
reducing the launch powers of classical optical signals [9, 11,
26, 28]. Since quantum signals are very weak compared to
1. Introduction
Quantum key distribution (QKD) has become one of the
most attractive communication technologies as it provides key
distribution between two remote parties via open channel,
security of which is guaranteed by the principles of quantum mechanics [13]. Usually, QKD requires dedicated optical fiber (or dark fiber), free of any other optical signals, to
transmit quantum states without significant excess noise. This
approach is often not feasible, due to continuously growing
traffic demand and large costs of fiber deployment. In these
circumstances, natural solution would be to integrate QKD
system with currently deployed optical transport networks in
∗
Author to whom any correspondence should be addressed.
0953-4075/21/135502+8$33.00
1
© 2021 IOP Publishing Ltd
Printed in the UK
J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 54 (2021) 135502
F Kiselev et al
202
signals of classical optical channels, they are easily affected
by impairments from classical light. The degradation of the
quantum signals in DWDM-QKD system are caused mainly
by two effects namely the four-wave mixing (FWM) noise
[10, 27, 30], and the spontaneous Raman scattering (SpRS)
noise [2, 10, 27]. Such nonlinear effects are comparatively
small in optical fibers transmitting a single optical channel.
They become much more significant when multiple channels
are packed into one fiber by wavelength division multiplexing.
For the first time, multiplexing of QKD channel with classical signals was presented by Townsend in 1997 [31]. In the proposed scheme the classical signals were located at the telecom
C-band (1530–1565 nm), whereas the quantum signals were
placed within the O-band (1260–1360 nm) through coarse
wavelength-division multiplexing (CWDM) components. In
this case, quantum signals experience less disturbances compared to the DWDM-QKD scheme since they are far from
the classical signals spectral band. Later this CWDM-QKD
scheme has been considered as a feasible solution and widely
explored [1, 3, 5, 33]. However, in terms of deployment it
could be more convenient to place both quantum and classical channels in the C-band using the DWDM technology due
to the compatibility of such system with commercial optical
network facilities and low fiber transmission loss in this spectral band. In the last decade, it is the DWDM-QKD scheme that
has attracted more and more research [2, 8–11, 17, 26, 28–30,
32, 34]. In addition, an optimized channel allocation scheme
was proposed [27] for a DWDM-QKD system with multiple
classical and quantum channels, which takes into account both
FWM and Raman noise and is able to decrease the influence
of these noises on the quantum signals.
In this paper, we have performed a theoretical research
and numerical simulation of the noise influence caused by of
SpRS, FWM and linear channel crosstalk on the performance
of subcarrier-wave quantum key distribution (SCW QKD) system [15, 23, 26] integrated with classical DWDM channels. In
SCW QKD system, the quantum signal is not directly emitted
by the light source, but generated at the sideband frequencies
via phase modulation of a strong monochromatic wave at the
central frequency by use of an electro-optic modulator [24];
each quantum channel can be considered as a pair of subcarrier waves (or a single subcarrier [14]). The advantages of these
QKD systems are the absence of complex distributed interferometry schemes and the simplicity of phase shift matching in the transmitting and receiving modules. Besides that,
SCW QKD systems demonstrate extensive capabilities of signal multiplexing. For example, the actual most advanced QKD
systems demonstrate only 2%–4% spectral efficiency, while
SCW systems can potentially enhance the spectral efficiency
up to about 50% [26].
The efficiency of the DWDM-QKD systems with different
schemes of the channel allocation has been investigated for a
multiplicity of sifting protocols, such as BB84 [9, 10, 25, 27],
COW [25], SARG [9, 25], and Gaussian-modulated coherent
state protocol [17]. The QKD protocols utilizing the decoystates [10], and ‘plug and play’ phase encoding [9] were also
explored in the context of the WDM. In these works, such characteristics of the QKD channel as the quantum bit error rate
(QBER) and the secure key generation rate have been obtained
for multiple channel allocation schemes at different parameters
of the system, namely the fiber length, the fiber attenuation,
the launch power and the number of the classical channels,
the receiver bandwidth, and the classical channel modulation
parameters.
We analyze the impact of noise associated with the presence of classical DWDM channels in the same fiber with quantum channel of SCW QKD system supplementing our earlier
work [15], which did not take into account FWM noise or linear channel cross-talk. We calculate secret key generation rate
for systems of various configurations including placement of
quantum channel in a uniform DWDM grid that occupies Cband of a telecommunication window and also configuration
with allocation of quantum channel in O-band at 1310 nm. In
general, in the case when the quantum channel is located in the
C-band, we can conclude that FWM noise is mostly dependent on the channel spacing of the grid, while SpRS mainly
depends on the number of channels and that for most configurations of DWDM grid SpRS is the dominant noise source
for SCW QKD. Impact of FWM noise becomes significant for
configurations with small number of channels and low spacing
values.
Finally, we compare secret key generation rate of O-band
configuration with C-band. With O-band configuration SCW
QKD system shows significant improvement in terms of maximum achievable distance as compared to the C-band channel
allocation. It was also shown that in order to achieve performance close to one shown in dark fiber at 1310 nm the extinction of quantum channel filtering system should be higher than
110 dB.
2. Noise sources in DWDM
2.1. Spontaneous Raman scattering noise
It is known that there are two types of SpRS noise depending
on whether the signal is co-propagating with the pump light
or counter-propagating with it. The first case is called forward
SpRS noise and can be written as follows [9, 25]:
Nch
ρ(λc , λq )Δλ.
Pram,f = Pout L
(1)
c=1
The second case is called backward SpRS noise and can be
written as:
N
Pram,b = Pout
ch
sinh(ξL) ρ(λc , λq )Δλ,
ξ
c=1
(2)
where Pout is the output power from the optical fiber for a single channel; ξ is the attenuation of the fiber; L is the length of
the fiber; N ch is the number of classical channels; ρ(λc , λq ) is
the normalized scattering cross-section defined for the wavelengths of classical (λc ) and quantum (λq ) channels and is
taken from [9]; and Δλ is the bandwidth of the filter used for
isolation of quantum channel from the classical ones.
Channel wavelength in the DWDM grid can be calculated
from its frequency which is described by ITU standard as
2
J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 54 (2021) 135502
F Kiselev et al
203
where Δβ is the phase matching factor which can be expressed
as
follows:
νn (THz) = 191.6 + Nνspacing ,
(3)
where N is the channel number and ν spacing is the grid spacing.
We use output power in these formulas here, instead of
the input ones, to account for the sensitivity of the receiver
(Rx ) and the insertion losses of the system (IL). Using following relation for the output power we can automatically assign
optimal channel power that will meet bit error rate (BER)
requirements for the DWDM system
Pout (dBm) = Rx (dBm) + IL (dB).
Δβ =
c
where λ is the wavelength of the FWM light; Dc and dD
dλ are the
dispersion coefficient and slope respectively. Given that, the
noise power coming from FWM can found as the sum of FWM
products, frequency of which coincides with the frequency of
a quantum channel
(4)
With SpRS noise power calculated we can now transform
it to a photon detection probability to use in our QBER and
secure key generation rate calculations
Pram,f/b
pram,f/b =
ΔtηD ηB ,
hc/λq
PFWM =
(5)
(9)
2.3. Linear channel crosstalk
Since quantum signal is very weak with respect to the classical
signals and extremely sensitive to every source of noise we
should also account for inefficiency of the filter that isolates
quantum channel from the classical ones. We can calculate the
power that leaks from the filter into quantum channel using the
formula
FWM is a type of optical Kerr effect which occurs when two or
more light fields are co-propagating within the fiber. Nonlinear interaction between these fields result in the rise of a new
field at a new frequency. In classical optical fiber communication systems with DWDM it results in a channel cross-talk.
For the purpose of integrating QKD with DWDM infrastructure it is reasonable to place quantum channel at a wavelength
which does not intersect with FWM products. However, if one
decides to put a quantum channel in a uniform grid, noise coming from FWM products needs to be evaluated because it may
enter into the QKD channel as an in-band noise and cannot be
eliminated by filters. Let us assume that we have three pump
channels with frequencies f i , f j, f k , and that they generate a
new frequency f i + f j − fk . Peak power of (this new field) the
FWM noise is provided by the expression [22, 27]:
PLCXT (dBm) = Pout (dBm) − ISOL (dB).
(11)
Similarly to equations (5) and (10) we can calculate photon
detection probability pLCXT at the single-photon detector of the
QKD system
PLCXT
pLCXT =
ΔtηD ηB .
(12)
hc/λc
In section 4.2 we will show that the dominant source of
noise in O-band configuration is the channel crosstalk and
that the extinction must be higher than 110 dB in order to
achieve performance close to one demonstrated in dark fiber at
1310 nm.
(6)
where Pi , P j, and Pk are input power values of the pump channels; γ is the nonlinearity coefficient; D is the degeneracy factor which is set to six for the degenerate case when all three
pump frequencies are different, and set to three when two of
three frequencies are equal; η is the efficiency of the FWM
process which can be found as
4 e−ξL sin2 ΔβL/2
ξ2
1+
,
(7)
η= 2
2
ξ + Δβ 2
1 − e−ξL
Pi jk , (i f f i + f j − f k = f q ).
As will be demonstrated in section 4.1, the effect of FWM
becomes significant for configurations with a small number of
channels and low spacing values if quantum channel is inserted
in a standard DWDM grid.
2.2. Four-wave mixing
ηD2 γ 2 Pi P jPk e−ξL
(1 − e−ξL )2 ,
9ξ 2
Finally, the photon count probability caused by this noise can
be found as
PFWM
ΔtηD ηB .
(10)
pFWM =
hc/λq
where η D is the detector quantum efficiency; Δt is the detector
gating time; η B = 10−0.1IL describes the optical losses in the
receiver’s module; h is the Planck constant; and c is the speed
of light.
The numerical simulations given in section 4.1 show that
the Raman scattering noise is a dominant source noise for
SCW QKD system if the quantum channel is located in a uniform DWDM grid. On the contrary, the impact of this noise
on the quantum signal becomes negligible when the quantum
channel is located in O-band at 1310 nm (see section 4.2).
Pi jk =
2πλ2
| fi − fk | | fj − fk |
c
dDc λ2 | fi − fk | + | fj − fk | , (8)
× Dc +
dλ
c
3. SCW QKD security
3.1. Quantum bit error rate
As described above, the contribution of different noise sources
of the fiber channel is described by the average photon fractions. In accordance with the theory of Mandel and Wolf
[20] these can be taken into account in the expression of
3
J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 54 (2021) 135502
F Kiselev et al
204
Figure 1. Simulation results for eight channel DWDM grid with 100 GHz spacing (a) mean photon number of different noise sources and
quantum signal versus the fiber length; (b) mean photon number of different noise sources depending on the number of classical channel that
is being replaced.
spectral filter efficiency, and τ is the power fraction of quantum signal that fits within gating time of the detector and is
assumed to be equal to 1 in this paper.
detector click probability as additional terms in the linear
approximation [23]
nph (ϕA , ϕB )
+ γdark Δt
Pdet (ϕA , ϕB ) = ηD
T
+ pram + pFWM + pLCXT ,
3.2. Secret key generation rate
(13)
To analyze the impact of various noise sources on security of
the protocol, we consider the asymptotic case of the keys of
infinite length. It is acceptable for this study, as the described
optical effects do not play role in the finite-key analysis. This
also assumes that the sent states are independent and identically distributed. Moreover, it slightly expands the security
proof by adding constraints in the form of additional terms (see
[16]). According to [7], for one-way QKD protocols with independent identically distributed information carriers the secure
key generation rate in the presence of collective attacks is
lower bounded by the Devetak–Winter bound
where nph is the mean photon number depending on users’
modulation indices and phases, γ dark is the dark count rate.
According to [23], the parameters of the binary symmetric error and erasure channel [6] between Alice and Bob are
described as
E = Pdet (0, π + Δϕ),
(14)
1 − G − E = Pdet (0, Δϕ),
(15)
where G is the conditional probability of receiving an inconclusive measurement result; and E is the conditional probability of an incorrect bit measurement, Δϕ is the phase offset due
to imperfect synchronization system. This gives us the QBER,
that provides the probability for Bob to receive an erroneous
bit, as follows
Q=
E
Pdet (0, π + Δϕ)
=
.
1−G
Pdet (0, Δφ) + Pdet (0, π + Δϕ)
K = vS PB 1 − leakEC (Q) − max χ(A : E) ,
E
where v S is the repetition rate, which is 100 MHz for system
considered in this paper, PB = (1 − G)/N is the probability of
successful state detection if basis is guessed correctly by Bob
(N is the number of bases), the amount of information disclosed by Alice during error correction is leakEC (Q) ⩾ h(Q)
is limited by the Shannon bound, where h(x) is the binary
entropy, and the last term is the Holevo information.
Further we assume that Eve is not affected by described
channel noises and calculate the Holevo bound using the result
of reference [23] derived for collective beam-splitting attack.
According to [23], the secure key generation rate (18) can be
estimated as follows
2
1 − e−μ0m
(1 − G)vS
1 − h (Q) − h
.
(19)
K=
2
2
(16)
In our calculations, we shall use an approximate version of this
expression from reference [12]
Q=
(18)
2μτ η(1 − ϑ) (1 − cos(Δϕ)) + τ ϑμ0 η + pdark + pram + pFWM + pLCXT
,
4μτ η(1 − ϑ) + 2τ ϑμ0 η + 2pdark + 2pram + 2pFWM + 2pLCXT
(17)
where losses are consolidated into η = η B η(L)η D with η(L) =
10−0.1ξL, μ0 is the mean photon number in carrier mode
before the modulation, and μ is the mean photon number in
sidebands depending on the modulation index m, ϑ is the
4
J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 54 (2021) 135502
F Kiselev et al
205
Figure 2. (a) Dependence of SpRS and FWM noise on channel spacing for 20 DWDM channels; (b) dependence of SpRS and FWM noise
on number of channels for 100 GHz spacing.
Figure 3. Simulation results for eight channel DWDM grid with 50 GHz spacing (a) photon detection probability due to noise and signal
versus the fiber length; (b) photon detection probability due to different noise sources depending on the number of classical channel that is
being replaced.
Finally, we introduce maximum achievable distance, which
is a metric, that shows maximum distance at which secret key
can still be generated and is derived from secret key generation
rate dependence on fiber length as shown in [15].
at the dependence of nonlinear noise mean photon number on
the fiber length (figure 1(a)).
One can notice, that FWM noise grows much faster with
the fiber length, completely overwhelming the SpRS noise
at large distances. However, we are interested in the balance
of noise components at the maximum achievable distance.
Figure 1 depicts the simulation results for the case of eight
DWDM channels with 100 GHz spacing with one of the channels replaced with the quantum one. Maximum achievable distance for this case was calculated as 32 km. Figure 1(b) shows
the balance between different noise sources depending on a
channel number that is being replaced. One can see that at this
distance noise from FWM has negligible impact in comparison
with SpRS and even channel cross-talk.
If we consider same amount of channels but mesh with
lower spacing of 50 GHz, the maximum achievable distance
will be decreased to 26 km due to increased power of FWM
noise which can be seen on figure 6(b). Increasing the amount
of channels to 40 will greatly increase noise levels due to SpRS
and effect of FWM will again become negligible at the maximum achievable distance of 8 km (see figure 7 in appendix).
In general, it can be seen (figure 2) that FWM noise is mostly
4. Modeling results
4.1. Quantum channel replacing a single DWDM channel
First, we are going to take a look at the case, when we are
replacing one of the channels in DWDM grid that occupies
C-band of a telecommunication window. All fixed parameters of the system for our calculations can be found in
table 1 in the appendix. This case was also considered in [28]
and is interesting to us, as it explores a possibility of a plugand-play QKD-DWDM solution, where one does not have to
make complex adjustments to DWDM optical scheme and can
integrate QKD system by simply replacing the SFP modules
dedicated to a single channel with an Alice and Bob modules
of QKD system. Since in real life we are mostly dealing with
equally spaced DWDM grids, FWM will become one of the
noise sources that should be considered. First, let us take a look
5
J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 54 (2021) 135502
F Kiselev et al
206
Figure 4. Secure key generation rate versus optical fiber length for O-band and C-band QKD-DWDM configurations compared to cases
with dark fiber. Fiber attenuation at 1310 nm is ξ = 0.35 dB/km. Receiver sensitivity of information channels is Rx = −23 dBm.
dependent on the channel spacing of the grid, while SpRS
mostly depends on number of channels. It also can be seen that
for most configurations of DWDM grid SpRS noise is much
larger than FWM. FWM becomes significant for smaller numbers of channels and grids with low spacing values. Finally,
we can observe dependencies of maximum achievable distance
versus filter bandwidth and number of channels. We can see
figure 3, that to achieve distances higher than 50 km one has
to use smaller bandwidth and integrate QKD with low amount
of classical channels.
4.2. Quantum channel in O-band
Another solution that seems to be get more success in recent
years [33] is the placement of quantum channel in the Oband of telecommunication window. By doing so we reduce
the noise power of SpRS approximately by 4000 times [9].
However, light experiences optical losses that almost twice as
large in comparison with light at 1550 nm. This results in the
fact that maximum achievable distance is approximately twice
as smaller in comparison with the case when quantum channel is put in the C-band if we use dark fiber (meaning that
there is no light present in the fiber other than from quantum
channel). We calculated secret key generation rate versus optical fiber length for 40 channel DWDM grid with spacing of
100 GHz for four cases (figure 4): placement of quantum channel at 1532.7 nm wavelength in dark fiber and with DWDM,
placement of quantum channel at 1310 nm wavelength in dark
fiber and with DWDM.
As one can see, despite higher attenuation, QKD system
performs much better at 1310 nm in the presence of 40 classical channels. We found, that in this case largest noise contribution comes from LCXT, which was identified in [9]. Figure 5
depicts the dependence of maximum achievable distance versus filter’s extinction in dB. One can see that in order to achieve
performance close to one shown in dark fiber the extinction
of filtering system of quantum channel should be higher than
110 dB.
Figure 5. Maximum achievable distance at which the SCW QKD
system can operate versus extinction of filters of quantum channel.
Table 1. Parameters of optical transport network and QKD
system.
Parameter
Value
Parameter
Value
ξ
Dλ
dDλ /dλ
Rx
Δλ
ηD
IL
γ
0.18 dB/km
16.0 ps (nm × km)−1
0.09 ps (nm2 × km)−1
−23 dBm
15 GHz
0.1
8 dB
0.78 W−1 km−1
μ0
m
pdark
Δϕ
Ω
ϑ
vS
Δt
3.93
0.316
4 × 10−6
5◦
4.8 GHz
10−3
100 MHz
1 ns
We would like to note that presented analysis can be done
for various QKD systems, including continuous-variable QKD
schemes [4, 18, 19]. In order to do so, noise calculations
must be performed in the form of excess noise so it could
be incorporated into the respective expression of covariance
matrix.
6
J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 54 (2021) 135502
F Kiselev et al
207
Figure 6. Simulation results for eight channel DWDM grid with 50 GHz spacing (a) mean photon number of different noise sources and
quantum signal versus the fiber length; (b) mean photon number of different noise sources depending on the number of classical channel that
is being replaced.
Figure 7. Simulation results for 40 channel DWDM grid with 50 GHz spacing (a) mean photon number of different noise sources and
quantum signal versus the fiber length; (b) mean photon number of different noise sources depending on the number of classical channel that
is being replaced.
5. Conclusion
dominant source of noise in O-band configuration is LCXT
and that it is required to have extinction higher than 110 dB in
order to achieve performance close to one shown in dark fiber
at 1310 nm.
We analyzed the impact of noise associated with the presence
of classical DWDM channels in the same fiber with quantum channel of SCW QKD system. We calculated secret key
rate generation for systems of various configurations including
placement of quantum channel in a uniform DWDM grid and
placement of quantum channel in O-band at 1310 nm. It was
shown that SpRS is the dominant source noise for SCW QKD
if quantum channel positioned in C-band. Impact of FWM
becomes significant for configurations with low number of
channels and spacing. Finally, we compared secret key generation rate of O-band configuration with C-band. O-band configuration shows significant improvement in terms of maximum
achievable distance over C-band one. It was also shown that
Acknowledgments
The work was done by Leading Research Center ‘National
Center of Quantum Internet’ of ITMO University during the
implementation of the government support program, with the
financial support of Ministry of Digital Development, Communications and Mass Media of the Russian Federation and
RVC JSC; Grant Agreement ID: 0000000007119P190002,
Agreement No. 006–20 dated 27.03.2020.
7
J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 54 (2021) 135502
F Kiselev et al
208
Data availability statement
[16] Kozubov A, Gaidash A and George M 2019 Finite-key security
for quantum key distribution systems utilizing weak coherent
states (arXiv:1903.04371 [quant-ph])
[17] Kumar R, Qin H and Alléaume R 2015 Coexistence of continuous variable QKD with intense DWDM classical channels
New J. Phys. 17 043027
[18] Laudenbach F, Pacher C, Fung C-H F, Poppe A, Peev M,
Schrenk B, Hentschel M, Walther P and Hübel H 2018
Continuous-variable quantum key distribution with Gaussian modulation-the theory of practical implementations Adv.
Quantum Technol. 1 1870011
[19] Lupo C et al 2018 Continuous-variable measurement-deviceindependent quantum key distribution: composable security
against coherent attacks Phys. Rev. A 97 052327
[20] Mandel L and Wolf E 1995 Optical Coherence and Quantum
Optics (Cambridge: Cambridge University Press)
[21] Mao Y et al 2018 Integrating quantum key distribution with
classical communications in backbone fiber network Opt.
Express 26 6010
[22] Markowski K, Chorchos Ł and Turkiewicz J P 2016 Influence
of four-wave mixing in short- and medium-range 1310 nm
dense wavelength division multiplexing systems Appl. Opt.
55 3051–7
[23] Miroshnichenko G P, Kozubov A V, Gaidash A A, Gleim A V
and Horoshko D B 2018 Security of subcarrier wave quantum
key distribution against the collective beam-splitting attack
Opt. Express 26 11292
[24] Miroshnichenko G P, Kiselev A D, Trifanov A I and Gleim A V
2017 Algebraic approach to electro-optic modulation of light:
exactly solvable multimode quantum model J. Opt. Soc. Am.
B 34 1177
[25] Mlejnek M, Kaliteevskiy N A and Nolan D A 2017 Reducing
spontaneous Raman scattering noise in high quantum bit rate
QKD systems over optical fiber (arXiv:1712.05891)
[26] Mora J, Amaya W, Ruiz-Alba A, Martinez A, Calvo D, Muñoz
V G and Capmany J 2012 Simultaneous transmission of
20 × 2 WDM/SCM-QKD and four bidirectional classical
channels over a PON Opt. Express 20 16358
[27] Niu J-N, Sun Y-M, Cai C and Ji Y-F 2018 Optimized channel
allocation scheme for jointly reducing four-wave mixing and
Raman scattering in the DWDM-QKD system Appl. Opt. 57
7987
[28] Patel K A, Dynes J F, Lucamarini M, Choi I, Sharpe A W,
Yuan Z L, Penty R V and Shields A J 2014 Quantum key
distribution for 10 Gb s−1 dense wavelength division multiplexing networks Appl. Phys. Lett. 104 051123
[29] Peters N A et al 2009 Dense wavelength multiplexing of
1550 nm QKD with strong classical channels in reconfigurable networking environments New J. Phys. 11
045012
[30] Sun Y, Lu Y, Niu J and Ji Y 2016 Reduction of FWM noise in
WDM-based QKD systems using interleaved and unequally
spaced channels Chin. Opt. Lett. 14 060602
[31] Townsend P D 1997 Simultaneous quantum cryptographic key
distribution and conventional data transmission over installed
fibre using wavelength-division multiplexing Electron. Lett.
33 188
[32] Wang L-J, Chen L-K, Ju L, Xu M-L, Zhao Y, Chen K,
Chen Z-B, Chen T-Y and Pan J-W 2015 Experimental multiplexing of quantum key distribution with classical optical
communication Appl. Phys. Lett. 106 081108
[33] Wang L-J et al 2017 Long-distance copropagation of quantum
key distribution and terabit classical optical data channels
Phys. Rev. A 95 012301
[34] Xavier G B, de Faria G V, da Silva T F, Temporão G P
and von der Weid J P 2011 Active polarization control
for quantum communication in long-distance optical fibers
with shared telecom traffic Microw. Opt. Technol. Lett. 53
2661–5
All data that support the findings of this study are included
within the article (and any supplementary files).
Appendix
(See table 1, figures 6 and 7).
ORCID iDs
F Kiselev
https://orcid.org/0000-0002-3894-511X
References
[1] Aleksic S et al 2015 Impairment evaluation toward QKD integration in a conventional 20-channel detro network Optical Fiber Communication Conf. (Washington, DC: OSA
Publishing)
[2] Bahrani S, Razavi M and Salehi J A 2018 Wavelength assignment in hybrid quantum-classical networks Sci. Rep. 8
3456
[3] Chapuran T E et al 2009 Optical networking for quantum key
distribution and quantum communications New J. Phys. 11
105001
[4] Chen Z et al 2018 Composable security analysis of continuousvariable measurement-device-independent quantum key distribution with squeezed states for coherent attacks Phys. Rev.
A 98 012314
[5] Choi I, Young R J and Townsend P D 2011 Quantum information
to the home New J. Phys. 13 063039
[6] Cover T M and Thomas J A 2006 Elements of Information Theory (Wiley Series in Telecommunications and Signal
Processing) (New York: Wiley)
[7] Devetak I and Winter A 2005 Distillation of secret key and
entanglement from quantum states Proc. R. Soc. A 461
207–35
[8] Dynes J F et al 2016 Ultra-high bandwidth quantum secured
data transmission Sci. Rep. 6 35149
[9] Eraerds P, Walenta N, Legré M, Gisin N and Zbinden H 2010
Quantum key distribution and 1 Gbps data encryption over a
single fibre New J. Phys. 12 063027
[10] da Silva T F, Xavier G B, Temporao G P and von der Weid J P
2014 Impact of Raman scattered noise from multiple telecom
channels on fiber-optic quantum key distribution systems J.
Lightwave Technol. 32 2332–9
[11] Fröhlich B, Lucamarini M, Dynes J F, Comandar L C,
Tam W W-S, Plews A, Sharpe A W, Yuan Z and Shields A J
2017 Long-distance quantum key distribution secure against
coherent attacks Optica 4 163
[12] Gaidash A A 2019 Unambiguous discrimination of phasemodulated states in communication by optical channels PhD
Thesis ITMO Universityp 222
[13] Gisin N, Ribordy G, Tittel W and Zbinden H 2002 Quantum
cryptography Rev. Mod. Phys. 74 145–95
[14] Kiselev F, Samsonov E, Goncharov R, Chistyakov V,
Halturinsky A, Egorov V, Kozubov A, Gaidash A and
Gleim A 2020 Analysis of the chromatic dispersion effect
on the subcarrier wave QKD system Opt. Express 28 28696
[15] Kiselev F, Goncharov R, Veselkova N, Samsonov E,
Kiselev A D and Egorov V 2021 Performance of
subcarrier-wave quantum key distribution in the presence of spontaneous Raman scattering noise generated by
classical DWDM channels J. Opt. Soc. Am. B 38 595–601
8