kode linear atas field

KODE LINEAR ATAS FIELD
M. Nurullah
Jurusan Matematika, F. MIPA, Universitas Brawijaya
Email: [email protected]
Abstrak. Konsep ruang vektor atas field
mengalami berbagai macam perkembangan. Berdasarkan ruang vektor atas field
ini, muncul sebuah teori tentang kode. Contoh perkembangan teori kode adalah teori kode linear. Kode linear merupakan
suatu subruang dari ruang vektor atas field berhingga. Kode linear ini secara umum menggunakan kode biner, yang
merupakan suatu kode atas field
dengan elemen yaitu satu dan nol. Dalam artikel ini dibahas mengenai definisi, lemma,
dan teorema yang berkaitan dengan kode linear atas field
yang meliputi berat Hamming dan penentuan basis yang dapat
direpresentasikan dalam bentuk matriks generator.
Kata kunci: Berat Hamming, Kode Linear atas Field
, Matriks Generator.
1. PENDAHULUAN
Field didefinisikan sebagai himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan operasi biner
penjumlahan dan pergandaan, serta memenuhi aksioma tertentu. Teori lain yang berkaitan dengan
field yaitu ruang vektor atas field berhingga yang didefinisikan sebagai suatu himpunan tak kosong
dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar (elemen dari field) serta memenuhi aksiomaaksioma tertentu. Konsep ruang vektor atas field berhingga mengalami berbagai macam
perkembangan. Pada tahun 2004 Ling dan Xing dalam bukunya membahas konsep kode linear atas
field berhingga.
Kode linear merupakan suatu subruang dari ruang vektor atas field berhingga. Kode linear ini
secara umum menggunakan kode biner, yang merupakan suatu kode atas field
dengan elemen yaitu
satu dan nol. Teori kode linear ini kemudian dikaji lagi oleh Cameron (2008) dalam bukunya
“Introduction to Algebra 2nd Edition” sehingga muncul aplikasi kode linear dalam pengiriman pesan.
Oleh karena itu, dalam artikel ini membahas definisi, lemma, dan teorema yang berkaitan dengan kode
linear atas field
yang meliputi berat Hamming dan penentuan basis yang dapat direpresentasikan
dalam bentuk matriks generator.
2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Kode linear merupakan subruang dari ruang vektor atas field berhingga. Definisi, contoh, dan
teorema yang terkait dengan kode linear diberikan sebagai berikut.
Definisi 1. Suatu kode linear dengan panjang n atas
adalah subruang dari
linear adalah dimensi dari sebagai ruang vektor atas
yang dinotasikan
Contoh 1. Diberikan ruang vektor
linear.
Definisi 2. Misalkan
sebagai
dan
dan
adalah suatu kode linear
{
disebut sebagai kode dual dari . Jika
{
}
. Dimensi dari kode
. Maka
. Komplemen ortogonal
merupakan kode
dari
didefinisikan
}
maka didefinisikan
Teorema 1. Misalkan adalah suatu kode linear dengan panjang
a.
, dimana
.
b.
adalah suatu kode linear dan
.
c.
atas
.
. Maka,
Bukti:
a. Diketahui adalah suatu kode linear. Berdasarkan sifat ruang vektor jelas bahwa
elemen. Dengan kata lain,
atau
.
b. Ambil sebarang
,
, dan
, misalkan
,
dan
. Akan ditunjukkan
merupakan suatu kode linear.
memiliki
,
216
i.
[
]
.
Terbukti bahwa
[
]
tertutup.
ii.
.
Karena
dan
, maka
sehingga
.
Jadi terbukti bahwa
.
Berdasarkan i dan ii maka
merupakan suatu kode linear. Selanjutnya karena
dan
merupakan suatu kode linear dan berdasarkan Teorema dimensi maka
c. Misalkan
. Untuk menunjukkan
, perlu ditunjukkan
untuk setiap
.
Karena
dan
, berdasarkan definisi dari
, sehingga
. Oleh karena itu
terbukti.
Contoh 2. Diberikan suatu ruang vektor
dari ruang vektor . Maka
{
dan
dan
} merupakan subruang
.
Definisi 3. Misalkan adalah kode linear
i.
adalah self-ortogonal jika
.
ii.
adalah self-dual jika
.
Berikut ini dibahas mengenai berat Hamming serta kaitannya dengan jarak Hamming. Definisi,
contoh, dan teorema yang berkaitan dengan berat Hamming diberikan sebagai berikut.
Definisi 4. Misalkan dan adalah word dengan panjang atas kode alfabet . Jarak Hamming dari
ke , dinotasikan dengan
, didefinisikan sebagai banyaknya posisi dimana dan berbeda.
Jika
dan
maka
dapat ditulis dalam notasi sebagai
berikut:
,
dimana dan diasumsikan sebagai word dengan panjang 1, dan
{
Definisi 5. Misalkan adalah word pada
. Berat Hamming dari
didefinisikan sebagai banyaknya koordinat taknol di , yaitu
nol.
Definisi 6. Jarak minimum dari
ditulis dalam bentuk
Lemma 1. Jika
, dinotasikan dengan
,
dimana adalah word
adalah jarak terkecil dari semua jarak Hamming di
{
, maka
dan dapat
}.
.
Definisi 7. Misalkan
adalah suatu kode (tidak harus linear). Berat Hamming minimum dari
dinotasikan
adalah berat terkecil dari codeword taknol di .
Teorema 2. Misalkan
adalah suatu kode linear atas field
. Maka
Bukti: Sesuai dengan Lemma 1 untuk setiap words
maka
7, terdapat
sehingga
dan karena
Sebaliknya,
terdapat
Contoh 3. Diberikan himpunan
{ } sehingga
, Jadi
{
.
. Menurut Definisi
, maka
,
berdasarkan
Definisi
6
maka
.
}. Maka berat Hamming minimum dari
217
Dalam ilmu aljabar linear sudah diketahui tentang operasi baris elementer yang sangat
diperlukan untuk menentukan basis pada ruang vektor. Dalam hal ini dibahas secara ekuivalen untuk
kode linear dalam bentuk beberapa algoritma.
Algoritma 1.
Input
: Suatu subset tak kosong dari .
Output
: Suatu basis untuk
, kode linear yang dibangun oleh .
Description : Bentuk matriks
yang baris-barisnya adalah word di . Gunakan operasi baris
elementer untuk menemukan bentuk eselon baris dari . Kemudian baris taknol dari
eselon baris membentuk suatu basis untuk .
Algoritma 2.
Input
: Suatu subset tak kosong dari .
Output
: Suatu basis untuk
, kode linear yang dibangun oleh .
Description :Bentuk matriks
yang kolom-kolomnya adalah word di
Gunakan operasi baris
elementer untuk menempatkan dan menemukan dalam bentuk eselon baris. Kemudian
kolom asli dari berkorespondensi dengan kolom utama (leading column) membentuk
suatu basis untuk .
Algoritma 3.
Input
: Suatu subset tak kosong dari .
Output
: Suatu basis untuk kode dual , dimana
.
Description : Bentuk matriks
yang baris-barisnya adalah word di
Gunakan operasi baris
elementer untuk menempatkan
menjadi eselon baris tereduksi. Misalkan
adalah
suatu matriks berukuran
yang terdiri dari semua baris taknol dari eselon baris
tereduksi yaitu
( )
dimana
Matriks
menotasikan matriks nol.
mengandung kolom utama . Ubah urutan kolom
dimana
merupakan matriks identitas
. Bentuk matriks
ke dalam bentuk berikut
sebagai berikut:
dimana
merupakan transpose .
Selanjutnya urutkan kembali kolom-kolom sedemikian sehingga pada matriks
sehingga membentuk matriks . Maka baris-baris dari mebentuk suatu basis untuk
.
Definisi 8. Misalkan suatu kode linear maka :
i. Matriks generator untuk adalah suatu matriks yang barisnya terbentuk dari basis untuk .
ii. Matriks parity-check untuk adalah matriks generator untuk kode dual .
] atas , dengan matriks generator dan matriks
Lemma 2. Misalkan adalah kode linear-[
parity-check maka :
i.
jika dan hanya jika ortogonal terhadap setiap baris , yaitu
ii. Suatu matriks
berukuran
, jika dan hanya jika baris-baris
bebas linear dan
Teorema 3. Misalkan
Maka :
i.
memiliki jarak
ii.
memiliki jarak
adalah suatu kode linear dan
jika dan hanya jika
jika dan hanya jika
adalah suatu matriks parity-check untuk .
kolom dari bebas linear.
memiliki kolom tidak bebas linear.
Bukti:
i. Misalkan
adalah word dengan berat
. Anggap koordinat
taknol dalam posisi
, maka
jika
{
}. Misalkan
dimana
merupakan kolom ke- dari . Berdasarkan ekuivalen Lemma 2 bagian (i), memuat suatu word
taknol
dengan berat (yang koordinat taknolnya adalah
jika dan hanya jika
218
,
yang bernilai benar jika dan hanya jika terdapat kolom dari (dinamakan,
yang
bebas linear. Jika jarak dari
maka tidak memuat word taknol dengan berat
, atau
sebarang
kolom dari bebas linear.
ii. Dengan cara yang sama dengan (i), jika jarak dari
maka memuat word taknol dengan
berat
, atau
memiliki
kolom (dan sehingga
memiliki kolom) yang tidak bebas
linear.
Contoh 4. Misalkan
jarak dari
adalah kode linear-[
adalah
] dengan matriks parity-check
(
) maka
.
Teorema 4. Jika
matriks parity-check untuk
adalah bentuk standar matriks generator dari kode linear -[
adalah
.
], maka
Bukti. Karena
maka
( ) sehingga jelas persamaan
terpenuhi. Dengan
melihat baris terakhir dalam
yaitu
jelas bahwa baris-baris dari
bebas linear. Karena
baris-baris dari
bebas linear, maka menurut Lemma 2 bagian (i)
adalah matriks parity-check
untuk .
Contoh .
Misalkan
adalah
kode
linear-[ ]
dan
,
dimana
{11110111, 0111000, 11010100, 11100110}. Maka bentuk standar matriks generator
(
) dan matriks parity-check
(
).
3. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan yang telah disajikan, dapat diberikan beberapa kesimpulan.
1. Kode linear merupakan subruang dari ruang vektor atas suatu field berhingga. Pada kode linear,
dapat ditentukan basis dari kode linear. Banyaknya basis pada kode linier dinamakan dimensi.
Selanjutnya, order kode linear dapat diperoleh dari banyaknya elemen field yang dipangkatkan
dimensi kode linear tersebut. Komplemen ortoganal dari suatu kode linear juga merupakan kode
linear.
2. Berat Hamming merupakan banyaknya koordinat taknol dari word. Berat Hamming sama dengan
jarak Hamming suatu word dengan vektor nol. Jarak Hamming minimum sama dengan berat
Hamming minimum.
3. Basis untuk kode linier dapat ditentukan dengan menggunakan operasi baris elementer pada
matriks yang baris-barisnya merupakan word pada subset tak kosong dari suatu kode linier. Suatu
basis untuk kode linear dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks yang disebut matriks
generator. Suatu matriks yang merupakan basis untuk kode dual disebut matriks parity-check.
4. UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis berterima kasih kepada ibu Vira Hari Krisnawati, ibu Ari Andari, dan bapak Abdul Rouf
Alghofari atas segala bimbingan, saran, dan kesabaran yang telah diberikan selama penulisan artikel
ini.
5. DAFTAR PUSTAKA
Cameron, P. J., (2008), Introduction to Algebra 2nd Edition, Oxford University Press, United States of
America.
Ling, S., dan Xing, C., (2004), Coding Theory, Cambrigde University Press, New York.
Kythe, K. D., dan Kythe, K. P., (2012), Algebraic and Stochastic Coding Theory, CRC Press Taylor &
Francis Group, Francis.
219