nilai tengah - Situs Resmi Fakultas Peternakan Unram

NILAI TENGAH
• Nilai rata-rata (mean) adalah nilai yang
dianggap
cukup
representatif
untuk
menggambarkan nilai-nilai yang terdapat dalam
suatu data.
• Nilai rata-rata dapat meliputi:
1. rata-rata hitung (arithmetic mean),
2. rata-rata ukur (geometric mean),
3. rata-rata harmoni (harmonic mean),
4. Rata-rata pertumbuhan (growth mean)
5. median, kuartil, desil, persentil, modus.
1. Rata-rata hitung (arithmetic mean)
a. Untuk data yang tidak dikelompokkan
X  ( X 1  X 2  ......  X n ) / n  1
n
X

n
i n
i
Soal: bobot badan 5 ekor ternak sapi,
masing-masing adalah :200 kg, 250 kg,
300 kg, 400 kg, dan 500 kg. Berapa
rata-rata hitungnya?
Jawaban:
;
X  (200  250  300  400  500) / 5  1
n
X
n
i n
i
 1 (1650)  330
5
Jadi, bobot badan rata-rata sapi tersebut adalah 330 kg.
b. Rata-rata tertimbang
X1
k
k
nX

N
i 1
i
i
N   ni
Dimana: k = jumlah kelompok
N = n1+n2+ ….+nn.
i 1
Soal: Terdapat lima kandang ayam petelur masingmasing berisi, 20 ekor, 30 ekor, 15 ekor, 35
ekor, dan 25 ekor. Rata-rata produksi telur per
ekor per bulan untuk masing-masing
kandang berturut-turut 25 butir , 24 butir, 27
butir, 23 butir, dan 22 butir.
Pertanyaan:
Berapa rata-rata produksi telur per ekor per
bulan dari seluruh ayam pada lima kandang
tersebut?
Rata-rata produksi telur per ekor per bulan pada lima
kandang
Kandang
Jumlah ayam
(ekor)
Rata-rata produksi telur
(butir/ekor / bulan)
A
20
25
B
30
24
C
15
27
D
35
23
E
25
22
125

X 1
20(25)  30(24)  15(27)  35(23)  25(22)
125
= 1/125 (500+720+405+805+550)
= 2980/125 = 23,84.
Jadi, rata-rata produksi telur per ekor per bulan dari
seluruh ayam pada semua kandang tersebut adalah
23,84 ekor, dibulatkan menjadi 24 ekor.
c. Rata-rata hitung untuk data yang dikelompokkan
X 1 f1  X 2 f 2  .....  X k f k 1 k
X
  X i fi
f1  f 2  ......  f k
n i
k
Di mana: n = jumlah observasi =
f
i 1
i
Xi = titik tengah interval kelas
fi = frekuensi kelas
k = jumlah kelas.
Nilai hasil ujian Statistika 111 mahasiswa Fakultas Peternakan
Unram disajikan dalam tabel distribusi frekuensi sebagai berikut.
Nilai Ujian
Xi
fi
Xifi
20 - 29
30 - 39
40 - 49
50 - 59
60 - 69
70 - 79
Jumlah
24,5
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
4
9
25
48
20
5
111
98
311
1,113
2,616
1,290
373
5,800
X  5800 / 111  52,25
2. Rata-Rata Ukur (Geometric Mean)
Rata-rata ukur untuk menunjukkan rata-rata
pertambahan persentase dari satu waktu ke waktu
berikutnya dan atau menentukan rata-rata persentase,
indeks dan nisbah/relatif. Rumus perhitungan ratarata ukur adalah:
X  n ( X 1 )( X 2 )........( X n )
*
Contoh: Seorang pengusaha ayam petelur memiliki 4
perusahaan di tempat yang berbeda. Keempat
perusahaan tersebut masing-masing memberikan
keuntungan sebesar 2, 3, 4, dan 6% .
.
Rata-rata ukur dari data tersebut adalah:
X  (2 )(3)(4)(6)  144
*
4
4
Log X* = log 4
144
= ¼ log 144= ¼ (2,1584) = 0,5396
X* = 3,46 %
Jika data tersebut dihitung dengan menggunakan rata-rata
hitung akan diperoleh angka rata-rata hitung :
23 46
 3,75%
4
3. Rata-Rata Harmoni
Untuk menghitung rata-rata produksi,
pendapatan, dan penghasilan dari sekelompok
unsur yang masing-masing kelompok tersebut
dapat dibedakan dengan jelas.
a). Untuk data tidak berkelompok
xh 
n
1
i1 x
i
n
b). Data yang dikelompokkan
xh



n
f
i 1 i
fi
i 1
xi
n
fi = frekuensi pengamatan pada masingmasing yi
i = 1, 2, 3, ……., n
CONTOH: DATA TIDAK DIKELOMPOKKAN
Di dalam Sentra Peternakan Rakyat (SPR)
terdapat 4 orang karyawan, masing-masing
sebagai manajer, sekretaris, bendahara, dan
tenaga administrasi. Masing-masing
mendapatkan gaji minggu p. 250.000,-; Rp.
200.000,-; Rp. 150.000,-; dan Rp. 100.000,-.
Berapa rata-rata harmoni gaji karyawan di
SPR tersebut?
JAWABAN::
xh 
4
1
1
1
1



250000 200000 150000 100000
 155.844,16
Jika dihitung menggunakan rata-rata hitung
maka akan diperoleh rata-rata sebesar Rp.
175.000,-
Contoh: Data yang dikelompokkan
Jika di dalam Sentra Peternakan Rakyat (SPR) lain dengan
gaji seperti di atas, tetapi terdapat 1 manajer, 3 sekretaris, 6
bendahara, dan 15 orang tenaga administrasi, berapa ratarata harmoni gaji karyawan di SPR tersebut?
Jawaban:
xh 
25
1
3
6
15



250000 200000 150000 100000
 119.617,22
4). RATA-RATA PERTUMBUHAN
Digunakan untuk menghitung tingkat
pertumbuhan selama periode tertentu,
terutama dalam bidang ekonomi. Rumus
yang digunakan disebut “rumus bunga”.
xb 
n
xt
1
x0
Xo = data pada tahun awal
Xt = data pada tahun akhir
n = periode pertumbuhan
Contoh:
Pada Unit SPR di Lombok Timur
pada tahun 2016 jumlah sapi
sebanyak 2500 ekor dan pada tahun
2019 diperkirakan menjadi 5000
ekor. Berapa rata-rata pertumbuhan
populasi sapi per tahun di SPR
tersebut?
MEDIAN
• Median adalah angka pada titik tertentu yang
membagi seluruh jumlah observasi ke dalam
dua bagian yang sama.
Contoh:
a. Untuk data yang ganjil: 2, 7, 16, 19, 20, 25,
dan 27 maka nilai median = 19.
b. Untuk data yang genap: 2, 10, 17, 19, 28, 34,
36, dan 43 maka nilai median= (19+28)/2 =
33,5.
Tabel. Distribusi Frekuensi Kumulatif Nilai Statistika Mahasiswa
Nilai Ujian
fi
Tepi kelas
Frek Kumulatif
20 – 29
4
19.5
0
30 – 39
9
29,5
4
40 – 49
25
39.5
13
50 – 59
48
49.5
38
60 – 69
20
59.5
86
70 – 79
5
69.5
106
111
111
Md  B 
n
2
 f
fm  f
i
Di mana: B = tepi kelas bawah dari interval di mana terletak
median.
f = frekuensi kumulatif yang bersesuaian dengan B
fm= frekuensi kumulatif yang bersesuaian dengan tepi
kelas atas dari interval di mana terletak median
n = jumlah semua frekuensi
i = besar interval kelas.
111  38
2
M d  49,5 
(10)  49,5  3,645  53,15
86  38
KUARTIL
Kuartil adalah nilai pada suatu titik
yang membagi seluruh distribusi
frekuensi menjadi 4 (empat) bagian
yang sama. Dengan demikian,
terdapat 3 (tiga) kuartil, yaitu kuartil
pertama diberi notasi Q1, kuartil
kedua (Q2), dan kuartil ketiga (Q3)
n f
Md  B  2
i
fm  f
111 / 4  13
Q1  39,5 
(10)  45,4
38  13
Q2 = Md
3 (111)  38
Q3  49,5  4
(10)  58,93
86  38
MODUS
• Modus adalah nilai observasi yang paling
banyak muncul dalam suatu kelompok hasil
observasi.
• Jika suatu data memiliki satu modus
dinamakan uni-modal, jika memiliki dua
modus dinamakan dwi-modal, dan seterusnya.
Apabila tidak terdapat nilai observasi yang
sama berarti tidak memiliki modus.
DATA YANG BELUM DIKELOMPOKKAN
1. Berat Sapi pada kandang I: 150 kg, 160 kg, 165
kg, 170 kg, 170 kg, 170 kg, 175 kg, 180 kg, 185
kg, dan 190 kg, maka modusnya adalah 170 kg
(uni-modal).
2. Berat sapi pada kandang II: 150 kg, 160 kg, 165
kg, 170 kg, 170 kg, 175 kg, 175 kg, 180 kg, 185
kg, dan 190 kg, maka modusnya adalah 170 kg
dan 175 kg (dwi-modal).
3. Berat sapi pada kandang III: 150 kg, 160 kg, 165
kg, 170 kg, 175 kg, 180 kg, 185 kg, 190 kg, 193
kg, dan 195 kg, maka tidak memiliki modus.
DATA YANG DIKELOMPOKKAN
fb  f a
i
Mo  Xo 
2 2 fo  fb  f a
Di mana:
Xo= titik tengah kelas modus
i = interval kelas
fo= frekuensi dari kelas modus
fb= frekuensi dari kelas sesudah kelas modus
fa= frekuensi dari kelas sebelum kelas modus
Contoh: Modus Nilai Ujian Statistika
Kelas Interval
Xi
fi
20 – 29
24,5
4
30 – 39
34,5
9
40 – 49
44.5
25
50 – 59
54,5
48
60 – 69
64,5
20
70 – 79
74,5
5
Jumlah
10
20  25
M 0  54,5 
2 2(48)  20  25
= 54,5 – 0,49 = 54,01
111
NILAI KERAGAMAN
CONTOH: NILAI UJIAN 6 MAHASISWA PADA DUA KELAS
YANG BERBEDA
Nilai Ujian 6 mahasiswa
Kelas
1
2
3
4
5
6
A
60
65
50
60
65
60
B
30
90
50
70
60
60
X a  360 / 6  60
X b  360 / 6  60
Nilai keragaman/dispersi pada kelas B (30
s/d 90) jauh lebih besar dari pada nilai
keragaman pada kelas A (50 s/d 65).
MACAM NILAI KERAGAMAN
1. RANGE: SELISIH NILAI TERBESAR DAN
TERKECIL
2. DEVIASI RATA-RATA:
n
DX 
(X
i 1
i
n
n
 X)
DX 
X
i 1
i
n
X
NILAI UJIAN 10 MAHASISWA
No
Nilai ( Xi)
Xi  X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Jumlah
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
725
-22,5
-17,5
-12,5
-7,5
-2,5
2,5
7,5
12,5
17,5
22,5
0
X
Xi  X
22,5
17,5
12,5
7,5
2,5
2,5
7,5
12,5
175
22,5
282,5
n
X
1
i
 72
X  72,5
n
(X
i 1
i
 X)  0
i
X
n
X
i 1
n
282,5

 28,25
10
3. VARIANSI dan DEVIASI STANDAR
N
Variansi  populasi :  2 
(X
i 1
i
 )
N
2
N

 
Deviasi standar populasi :
x
i 1
Variansi  sampel : s 2 
Deviasi standar sampel :
i 1
n 1
N
2
n
(Xi  X )
i
n
2

s s
 xi
2
i 1
n 1
2
PRODUKSI TELUR PER EKOR PER BULAN
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
JML
RATA-RATA
Produksi telur
(butir/bulan)
21
23
26
19
25
26
22
28
18
24
232
23.2
Xi  X
-2.2
-0.2
2.8
-4.2
1.8
2.8
-1.2
4.8
-5.2
0.8
(X i  X )2
4.84
0.04
7.84
17.64
3.24
7.84
1.44
23.04
27.04
0.64
93.6
10
X
i 1
i
 232
X  23,2
10
2
(
X

X
)
 93,6
 i
i 1
93,6
s 
 10,4
9
2
s  10,4  3,225
VARIANSI DATA YANG DIKELOMPOKKAN
(X i  X )2
( X i  X )fi2
Nilai Ujian
Xi
fi
20 - 29
24,5
4
769.94
3079.75
30 - 39
34,5
9
314.98
2834.84
40 - 49
44,5
25
60.03
1500.69
50 - 59
54,5
48
5.07
243.49
60 - 69
64,5
20
150.12
3002.35
70 - 79
74,5
5
495.16
2475.81
Jumlah
111
13136.94
k
(
X

X
)
fi
 i
n
2
s 
2
i 1
n 1

x
fi
i
2
i 1
n 1