3.1. Respon Sistem Order Satu

III
PEMODELAN & DINAMIKA
PROSES ORDER SATU
•
Tujuan: Mhs mampu menjelaskan respon dinamik sistem
order satu terhadap berbagai perubahan input (misalnya: step,
ramp, sinus).
•
Materi:
1. Respon Sistem Order Satu (respon-respon: step, ramp,
sinus, dead-time, lead-lag)
2. Fungsi Transfer dan Diagram Blok (Penyederhanaan
diagram blok)
3. Dinamika Proses Order Satu (proses termal pada
tangki, dinamika volume (liquid level), proses tangki
pencampur, dll.)
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / III / 1
3.1. Respon Sistem Order Satu
Pertimbangkan PD order satu linear berikut:
dy (t )
+ a0 y (t ) = bx(t ) + c
dt
a1
… (3.1.1)
Pada kondisi tunak (initial steady state):
dy (0 )
+ a0 y (0 ) = bx(0 ) + c
dt
a1
… (3.1.2)
=0
Pers. (3.1.1) – Pers. (1.1.2):
a1
dY (t )
+ a0Y (t ) = bX (t )
dt
… (3.1.3)
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / III / 2
3.1 Respon Sistem Order Satu
dimana: Y(t) = y(t) – y(0) dan X(t) = x(t) – x(0) adalah term deviasi
Pers (3.1.3) dibagi dengan a0 menghasilkan:
τ
dY (t )
+ Y (t ) = K X (t )
dt
… (3.1.4)
a1
adalah konstanta waktu (time constant)
a0
b
K=
adalah Gain kondisi tunak (steady state gain)
a0
dimana: τ =
Transformasi Laplace Pers (3.1.4) :
τ sY (s ) + Y (s ) = KX (s )
⎡ K ⎤
Y (s ) = ⎢
⎥ X (s )
⎣τ s + 1⎦
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
… (3.1.5)
… (3.1.6)
DINPRO / III / 3
3.1. Respon Sistem Order Satu
Step Response
Jika X(t) = ∆x u(t) ; dari Tabel 2.2.1 diperoleh X(s) = ∆x/s, dan
disubstitusikan ke pers. (3.1.6) lalu diekspansi parsial menghasilkan:
Y (s ) =
K ∆x
K∆x
K∆x
=−
+
τ s +1 s
s + (1 τ )
s
Kebalikan Laplace berdasarkan Tabel 2.2.1 menghasilkan:
[
Y (t ) = K∆x u (t ) − e −t τ
]
… (3.1.7)
dimana: u(t) adalah unity (=1)
∆x adalah besarnya perubahan input (magnitude)
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / III / 4
3.1 Respon Sistem Order Satu
Gambar 3.1.1 Respon sistem order satu terhadap perubahan input fungsi tahap
1.2
tτ
1
Y (t )
K∆x
Y (t )
K∆x
0.8
0
0
0.6
1.0
0.632
2.0
0.865
3.0
0.950
4.0
0.982
5.0
0.993
…
…
∞
1.000
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
tτ
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / III / 5
3.1 Respon Sistem Order Satu
Ramp Response
Ramp adalah kenaikan input secara linear dengan waktu mulai dari nol.
Fungsi input: X(t) = rt, dimana r adalah slope dari Ramp. Dari Tabel
2.2.1 diperoleh bentuk laplace X(s) = r/s2, disubstisusikan ke pers. (3.1.6)
lalu dengan ekspansi parsial menghasilkan:
Y (s ) =
A
A1
A
+ 2+ 3
s
s + (1 τ ) s 2
A1 dicari dengan pers. (2.3.9) dan A2, A3 berdasarkan per. (2.3.13)
1 ⎞ Kr
⎛
A1 = lim ⎜ s + ⎟
= Krτ
s → −1 τ ⎝
τ ⎠ (τs + 1)s 2
K
r
τ s +1 s2
A2 = lim s 2
s →0
A3 = lim
s →0
=
Kr
(τs + 1)s 2
= Kr
d ⎡ 2
Kr ⎤
⎢s
⎥ = − Krτ
ds ⎣ (τs + 1)s 2 ⎦
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
BAB III Respon Sistem Order Satu
DINPRO / III / 6
YDH - DINPRO - 2
3.1 Respon Sistem Order Satu
Jadi diperoleh ramp response:
Y (t ) = K rτ e−t τ + (K rt − K rτ )u(t ) = K rτ e−t τ + K r(t −τ )u(t )
… (3.1.8)
Gambar 3.1.2 Respon sistem order satu terhadap perubahan input fungsi ramp
8
7
6
Output
terlambat
(lag)
setelah
waktu τ
X (t ) τ
5
4
3
Y (t ) K
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / III / 7
3.1 Respon Sistem Order Satu
Sinusoidal Response
Pertimbangkan X(t) = A sin(ωt), dimana A adalah amplitude dan
ω adalah frekuensi (radian/waktu). Dari Tabel 2.2.1 diperoleh bentuk
laplace X(s) = Aω /(s2+ω2), disubstisusikan ke pers. (3.1.6) lalu dengan
ekspansi parsial menghasilkan:
⎛ K ⎞⎛ Aω ⎞
A3
A1
A2
⎟⎟⎜ 2
Y (s ) = ⎜⎜
+
+
⎟=
2
+
τ
1
s
+
(
1
τ
)
s
−
i
ω
s
+
iω
s
+
ω
s
⎝
⎠
⎝
⎠
Ingat (s2 + ω2)=(s – iω) (s + iω), dan A1, A2, A3 dicari dengan pers. (2.3.9)
1⎞
KAω
KAω
⎛
A1 = lim ⎜ s + ⎟
=
s → −1 τ ⎝
τ ⎠ (τs + 1) s 2 + ω 2 1 + τ 2ω 2
(
KAω
A2 = lim
s → iω
A3 = lim
(τs + 1)(s + iω )
s → − iω
=
)
KA(− τω − i )
(
2 1 + τ 2ω 2
)
KAω
KA(− τω + i )
=
(τs + 1)(s − iω ) 2 1 + τ 2ω 2
(
)
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / III / 8
3.1 Respon Sistem Order Satu
Dengan pers. (2.4.11) diperoleh sinusoidal response:
Y (t ) =
KAωτ
1 +τ ω
2 2
e−t τ +
KA
1 +τ ω
2 2
sin(ωt + θ )
… (3.1.9)
dimana: θ = arctan(–ωτ)
Gambar 3.1.3 Respon sistem order satu terhadap perubahan input fungsi sinus
1.5
X (t )
1
Y (t )
0.5
0
0
5
10
15
20
25
-0.5
-1
-1.5
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
BAB III Respon Sistem Order Satu
DINPRO / III / 9
YDH - DINPRO - 3
3.1 Respon Sistem Order Satu
Response with Time Delay
Pertimbangkan Proses dengan First Order Plus Dead-Time berikut:
⎡ Ke − st D
Y (s ) = ⎢
⎢⎣ τ s + 1
⎤
⎥ X (s )
⎥⎦
… (3.1.10)
FOPDT
Dimana tD adalah time delay atau dead time
Jika dikenai perubahan step input menghasilkan respon:
(
Y (t ) = K ∆x u (t − t D ) 1 − e − (t −t D )/τ
)
… (3.1.11)
Dimana u(t – tD) menunjukkan bahwa responnya nol untuk t < tD
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / III / 10
3.1 Respon Sistem Order Satu
Gambar 3.1.4 Respon sistem order satu dengan time delay
terhadap perubahan input fungsi tahap
2
1.8
∆x
X(t) 1.6
1.4
1.20
1
K∆x
0.8
Y(t) 0.6
0.4
0.20
0
0
t=
0 1 t =2 tD 2
1
tD
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
t8
Time delay atau dead-time
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / III / 11
3.1 Respon Sistem Order Satu
Respon FOPDT terhadap Ramp Input
[
]
Y (t ) = u (t − t D ) Krτe − (t −t D )/τ + Kr (t − t D − τ )
… (3.1.12)
Respon FOPDT terhadap Sinusoidal Input
⎫⎪
⎧⎪ KAωτ −(t −t )/τ
KA
D
Y (t ) = u (t − t D )⎨
e
sin[ω (t − t D ) + θ ]⎬ … (3.1.13)
+
2 2
⎪⎭
⎪⎩1 + τ ω
1 + τ 2ω 2
TUGAS 02
Buat grafik respon untuk pers. (3.1.12) dan pers. (3.1.13) !
Ambil nilai: K = 1, r = 1, tD = 3, τ = 1, ω = 1
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
BAB III Respon Sistem Order Satu
DINPRO / III / 12
YDH - DINPRO - 4
3.1 Respon Sistem Order Satu
Respon Untuk Unit Lead-Lag
Pertimbangkan FT Lead-Lag berikut:
⎡τ s +1⎤
Y (s ) = ⎢ ld
⎥ X (s )
⎣⎢τ s + 1 ⎦⎥
… (3.1.14)
Lead-Lag Unit
Dimana: τld adalah konstanta waktu untuk numerator (lead)
τlg adalah konstanta waktu untuk denominator (lag)
Lead-Lag diaplikasikan untuk kompensasi dinamik FFC (Feed
Forward Control) Æ dibahas pada pertemuan y.a.d.
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / III / 13
3.1 Respon Sistem Order Satu
Respon Lead-Lag Unit terhadap step input
⎛τ
⎞ −t / τ
Y (t ) = u (t ) + ⎜ ld − 1⎟e
⎜τ
⎟
⎝
⎠
… (3.1.15)
Gambar 3.1.5 Respon Lead-Lag Unit terhadap perubahan input fungsi tahap
2
τ ld τ
=2
Y(t)
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
t
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / III / 14
3.1 Respon Sistem Order Satu
Respon Lead-Lag Unit terhadap ramp input
Y (t ) = (τ
− τ ld )e
−t / τ
+ t +τ
−τ
… (3.1.16)
Gambar 3.1.6 Respon Lead-Lag Unit terhadap perubahan input fungsi ramp
10
(τld − τlg)
9
(a) Net Lead: τld > τlg
8
7
(b) Net Lag: τlg > τld
(a)
Y(t)
6
(τlg − τld)
X(t)
5
4
3
(b)
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
BAB III Respon Sistem Order Satu
DINPRO / III / 15
YDH - DINPRO - 5
3.2 Fungsi Transfer dan
Diagram Blok
Fungsi Transfer
G (s ) =
Y (s ) K (am s m + am −1s m −1 + L + a1s + 1)e −t D s
=
X (s )
(bn s n + bn −1s n −1 + L + b1s + 1)
… (3.2.1)
n≥m
Dimana:
G(s) = fungsi transfer (secara umum)
Y(s) = transformasi laplace variabel output
X(s) = transformasi laplace variabel input
K, a, b = konstanta
tD = deadtime
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / III / 16
3.2 Fungsi Transfer & Diagram Blok
Diagram Blok
Diagram blok dibentuk oleh kombinasi 4 elemen dasar:
1. panah (arrow) : informasi arah, yang menggambarkan variabel proses atau
sinyal kontrol
2. titik penjumlahan (summing point) : penjumlahan aljabar input panah
3. titik percabangan (branch point) : posisi dimana panah bercabang menuju
ke titik penjumlahan atau blok yang lain
4. blok (block) : operasi matematis dalam fungsi transfer
Block
Summing point
R(s)
E(s)
+
−
Arrow
M(s)
GC(s)
Arrow
C(s)
M(s)
Branch point
M(s) = Gc(s).E(s) = Gc(s).{R(s) – C(s)}
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / III / 17
3.2 Fungsi Transfer & Diagram Blok
Diagram Blok Sederhana
Satu-Input-Satu-Output (SISO)
X(s)
G(s)
Y(s)
n-Input-Satu-Output
X1(s)
X2(s)
Dua-Input-Satu-Output
X1(s)
G1(s)
+
Xn(s)
Y(s)
X2(s)
G2(s)
G2(s)
.
.
.
+
+
Y(s)
+
Gn(s)
+
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
BAB III Respon Sistem Order Satu
G1(s)
DINPRO / III / 18
YDH - DINPRO - 6
3.2 Fungsi Transfer & Diagram Blok
Y (s )
1
=
U (s ) τs + 1
Contoh 3.2.1: Gambarkan diagram blok untuk pers:
Y(s)
1
τs + 1
U(s)
Contoh 3.2.2: Gambarkan diagram blok untuk pers:
Γ(s ) =
Γi(s)
Γs(s)
K1
K
Γi (s ) + 2 ΓS (s )
τs + 1
τs + 1
K1
Γi(s)
τs + 1
+
K2
Γ(s)
K1
+
atau
Γs(s)
+
τs + 1
+
K2
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
1 Γ(s)
τs + 1
DINPRO / III / 19
3.2 Fungsi Transfer & Diagram Blok
Contoh 3.2.3: Tentukan Fungsi Transfer hubungan Y terhadap X1 dan X2
berdasarkan diagram blok berikut:
X1(s)
G1
+
−
G2
Y1
G3
Y3
+
Y(s)
X2(s)
G4
Y2 +
+
−
Y3
Penyelesaian dengan
manipulasi aljabar:
+
Y(s)
Y = Y3 + Y2
Y2 +
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / III / 20
3.2 Fungsi Transfer & Diagram Blok
Y1
dari
G3
Y3
diperoleh:
Y = Y1G3 + Y2
Mencari Y1
X1(s)
G2
Y1 = Z1 + Z2
Z1
G1
−
Y1 = X1G1 – X1G2
+
Y1
Y1 = X1 (G1 – G2)
Z2
Mencari Y2
X2(s)
Z3
G4
Y2
+
−
Y2 = Z3 – X2
Y2 = X2G4 – X2
Y2 = X2 (G4 – 1)
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
BAB III Respon Sistem Order Satu
DINPRO / III / 21
YDH - DINPRO - 7
3.2 Fungsi Transfer & Diagram Blok
Substitusi Y1 dan Y2 ke Y:
Y (s ) = (G1 − G2 )G3 X 1 (s ) + (G4 − 1)X 2 (s )
Diagram blok sederhana untuk soal 3.2.3:
X1(s)
(G1 – G2)G3
+
Y(s)
+
X2(s)
(G4 – 1)
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / III / 22
3.2 Fungsi Transfer & Diagram Blok
Contoh 3.2.4: Tentukan Fungsi Transfer hubungan C terhadap L dan C set
berdasarkan diagram blok berikut, dan sederhanakan diagram bloknya:
L(s)
C set(s)
E
+
G1
G5
+
Gc
G2
G3
C(s)
+
G4
X
−
G6
Penyelesaian dengan manipulasi aljabar:
E(s) = G1 C
set(s)
C(s) = G4 X(s)
– G6 C(s)
X(s) = GcG2G3 E(s) + G5 L(s)
X(s) = GcG2G3 [G1C set(s) – G6C(s)] + G5 L(s)
C(s) = G4 {GcG2G3 [G1C set(s) – G6C(s)] + G5 L(s)}
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / III / 23
3.2 Fungsi Transfer & Diagram Blok
Penyusunan persamaan untuk mendapatkan hubungan C terhadap
perubahan Cset dan L:
C (s ) = G1Gc G2G3G4C set (s ) − Gc G2G3G4G6C (s ) + G4G5 L(s )
C (s )(1 + Gc G2G3G4G6 ) = G1Gc G2G3G4C set (s ) + G4G5 L(s )
C (s ) =
G1Gc G2 G3G4
G4 G5
C set (s ) +
L(s )
1 + Gc G2 G3G4 G6
1 + Gc G2G3G4 G6
Jadi, diperoleh dua fungsi transfer:
Gsp (s ) =
C (s )
=
G1Gc G2 G3G4
1 + Gc G2 G3G4 G6
(s )
G4 G5
C (s )
Gload (s ) =
=
L(s ) 1 + Gc G2 G3G4G6
C
set
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
BAB III Respon Sistem Order Satu
DINPRO / III / 24
YDH - DINPRO - 8
3.2 Fungsi Transfer & Diagram Blok
Diagram blok sederhana (Contoh 3.2.4) hubungan dua input: Cset(s) dan
L(s), dengan satu output C(s) adalah:
C set(s)
G1Gc G2G3G4
1 + Gc G2 G3G4 G6
L(s)
+
G4G5
1 + Gc G2G3G4 G6
C(s)
+
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / III / 25
3.3 Dinamika Proses Order Satu
Pemodelan Untuk Proses-Proses Industri
Mengapa perlu pemodelan?
1) Pelatihan operator (Operator training)
2) Perancangan proses (Process design)
3) Keselamatan sistem (Safety system)
4) Pengendalian proses (Process control)
Untuk mempelajari karakteristik sistem proses (tangki, reaktor, menara
distilasi, penukar panas, dll) dan kelakuaannya, diperlukan:
1. variabel-variabel bebas (independent variables) dan tidak bebas (state
variables) dari sistem
2. persamaan-persamaan hubungan antara variabel proses yang dapat
menggambarkan kelakuan dinamik proses terhadap perubahan waktu
Tiga kuantitas fundamental dalam Proses Kimia: (1) MASA, (2) ENERGI,
dan (3) MOMENTUM
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / III / 26
3.3 Dinamika Proses Order Satu
PRINSIP KEKEKALAN DARI KUANTITAS S
⎡ Akumulasi S ⎤ ⎡ Laju aliran S ⎤ ⎡ Laju aliran S ⎤
⎢dalam sistem⎥ ⎢masuk sistem ⎥ ⎢keluar sistem ⎥
⎣
⎦=⎣
⎦−⎣
⎦
periode waktu
periode waktu
periode waktu
+
⎡ Sejumlah S yg ter ⎤
⎢bangkitkan dlm sistem⎥
⎣
⎦
periode waktu
⎡ Sejumlah S yg ter ⎤
⎢konsumsi dlm sistem⎥
⎦
−⎣
periode waktu
… (3.3.1)
Massa
S dapat berupa:
Energi
Massa Total
Massa Komponen
Momentum
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
BAB III Respon Sistem Order Satu
DINPRO / III / 27
YDH - DINPRO - 9
3.3 Dinamika Proses Order Satu
Contoh 3.3.1: Tentukan Fungsi Transfer hubungan input (f1 dan f2) dan
output (h) untuk sistem proses tangki cairan berikut:
f
f2(t), ρ
f1(t), ρ
: laju alir volumetrik, [m3/menit]
ρ : densitas cairan, [kg/m3]
h : ketinggian cairan di dalam tangki [m]
A : luas penampang tangki
h(t )
R
f 3 (t ) =
h(t), [m]
⎡ menit ⎤
⎥
⎣ m2 ⎦
R : tahanan aliran cairan ⎢
ρ
Asumsi: densitas cairan umpan, ρ
tetap dan suhu cairan tetap
Penyelesaian:
N.M. kondisi tidak tunak:
f1 (t )ρ + f 2 (t )ρ − f 3 (t )ρ =
d (ρV )
dh(t )
= ρA
dt
dt
… (3.3.2)
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / III / 28
3.3 Dinamika Proses Order Satu
f1 (t ) + f 2 (t ) −
dh(t )
h(t )
=A
dt
R
… (3.3.3)
N.M. kondisi tunak:
f1s + f 2 s −
dh
hs
=A s
dt
R
… (3.3.4)
Pers. (3.33) – pers. (3.3.4) menghasilkan:
[ f1 (t ) − f1s ] + [ f 2 (t ) − f 2s ] − [h(t ) − hs ] = A dh(t ) − hs
R
… (3.3.5)
dt
Persamaan keadaan (model matematik) dalam term deviasi adalah:
K p F1 (t ) + K p F2 (t ) = τ p
dH (t )
+ H (t )
dt
… (3.3.6)
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / III / 29
3.3 Dinamika Proses Order Satu
dimana: F1 (t ) = f1 (t ) − f1s
F2 (t ) = f 2 (t ) − f 2 s
Term deviasi
… (3.3.7)
H (t ) = h(t ) − hs
: Gain proses
… (3.3.8)
τ p = AR : Konstanta waktu proses
… (3.3.9)
Kp = R
Karena pers. (3.3.6) adalah linear, maka dapat dilakukan TL:
K p F1 (s ) + K p F2 (s ) = τ p sH (s ) + H (s )
H (s ) =
Kp
τ ps +1
F1 (s ) +
Kp
τ p s +1
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
BAB III Respon Sistem Order Satu
F2 (s )
… (3.3.10)
DINPRO / III / 30
YDH - DINPRO - 10
3.3 Dinamika Proses Order Satu
Jika laju volumetrik f1(t) berubah, dan f2(t) tetap, maka F2(s) = 0, sehingga
pers. (3.3.7) menjadi:
H (s ) =
Kp
τ ps +1
F1 (s )
… (3.3.11)
Fungsi transfer pengaruh f1(t) terhadap h(t):
G1 (s ) =
Kp
H (s )
=
F1 (s ) τ p s + 1
… (3.3.12)
Jika laju volumetrik f2(t) berubah, dan f1(t) tetap, maka F1(s) = 0, sehingga
pers. (3.3.7) menjadi:
H (s ) =
Kp
τ p s +1
F2 (s )
… (3.3.13)
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / III / 31
3.3 Dinamika Proses Order Satu
Fungsi transfer pengaruh f2(t) terhadap h(t):
G2 (s ) =
Kp
H (s )
=
F2 (s ) τ p s + 1
… (3.3.14)
Diagram blok proses tangki cairan (Contoh 3.3.1)
F1(s)
F2(s)
Kp
τ ps +1
+
Kp
+
H(s)
atau
τ ps +1
F1(s)
+
F2(s)
+
Kp
H(s)
τ ps +1
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / III / 32
3.3 Dinamika Proses Order Satu
Contoh 3.3.2: Linearisasi persamaan laju aliran tak-linear
Tinjau kembali Contoh 3.3.1, jika laju alir keluar tangki dinyatakan dengan
pers. tak-linear:
f 3 (t ) = β h(t )
Substitusi pers. (3.3.12) ke (3.3.2):
f1 (t ) + f 2 (t ) − β h(t ) = A
dh(t )
dt
… (3.3.15)
… (3.3.16)
tak-linear
Linearisasi pers. tak-linear:
f 3 (t ) = β h(0) + β
f 3 (t ) = β hs +
1
2 h(0)
[h(t ) − h(0)]
β
[h(t ) − hs ] = β h(t ) + β hs
2
2 hs
2 hs
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
BAB III Respon Sistem Order Satu
… (3.3.17)
DINPRO / III / 33
YDH - DINPRO - 11
3.3 Dinamika Proses Order Satu
Maka diperoleh persamaan linear:
f1 (t ) + f 2 (t ) −
β
h(t ) −
2 hs
β
=A
hs
2
dh(t )
dt
… (3.3.18)
N.M. pada kondisi tunak:
β
β
hs −
hs
2
2 hs
f1s + f 2 s −
=A
dhs
dt
… (3.3.19)
Pers. (3.3.14) – Pers. (3.3.15):
[ f1 (t ) − f1s ] + [ f 2 (t ) − f 2 s ] −
F1 (t ) + F2 (t ) = A
β
2 hs
[h(t ) − hs ]
=A
d [h(t ) − hs ]
dt
dH (t )
β
+
H (t )
dt
2 hs
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / III / 34
3.3 Dinamika Proses Order Satu
Persamaan keadaan dalam term deviasi:
K p F1 (t ) + K p F2 (t ) = τ p
dimana:
Kp =
2 hs
τp =
2 A hs
dH (t )
+ H (t )
dt
… (3.3.20)
… (3.3.21)
β
… (3.3.22)
β
Dengan cara yang sama diperoleh transformasi laplace:
H (s ) =
Kp
τ ps +1
F1 (s ) +
Kp
τ ps +1
F2 (s )
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / III / 35
3.3 Dinamika Proses Order Satu
Contoh 3.3.3: Respon dinamik tangki cairan terhadap perubahan step input
Tinjau kembali Contoh 3.3.1, jika diketahui data sebagai berikut:
Dimensi tangki: Luas alas: A = 1 [m2] ; Tinggi tangki = 2 [m]
m3
; Tinggi cairan: hs = 1 [m]
menit
menit
h(t )
, dengan R = 2
f3(t) dinyatakan dengan pers. linear: f 3 (t ) =
R
m2
f1s = 0.2
m3
menit
;
f 2 s = 0.3
Parameter kondisi tunak:
Kp = R = 2
[ ]
⎡ menit ⎤
(1) m 2 = 2 menit
2 ⎥
⎣ m ⎦
menit
τ p = RA = (2)⎢
m2
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
BAB III Respon Sistem Order Satu
DINPRO / III / 36
YDH - DINPRO - 12
3.3 Dinamika Proses Order Satu
Jika tiba-tiba laju alir volumetrik f1(t) berubah menjadi 0.6
m3
menit
sedangkan laju alir volumetrik f2(t) tetap, maka F2(s) = 0
magnitude : M = f1s − f1snew = 0.6
F1 (s ) =
m3
m3
m3
− 0.2
= 0.4
menit
menit
menit
M
s
Persamaan respon dinamik level cairan h(t):
H (s ) =
Kp
M
τ ps +1 s
… (3.3.23)
Laplace inverse pers. (3.3.23):
⎡ Kp τp ⎛ M
⎜
⎢⎣ s + 1 τ p ⎝ s
L −1[H (s )] = L −1⎢
⎡ P ⎤
⎞⎤
−1
−1 ⎡ Q ⎤
⎟⎥ = L ⎢
⎥+L ⎢ ⎥
⎠⎥⎦
⎣s⎦
⎢⎣ s + 1 τ p ⎥⎦
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / III / 37
3.3 Dinamika Proses Order Satu
Mencari P dan Q
⎡ Kp
⎢
τp
⎢
1
τ p ⎢s + τ
p
⎢⎣
⎡ Kp
τp
lim ⎢
⎢
Q=
s → 0⎢s + 1
τp
⎢⎣
lim
P=s→− 1
⎤ ⎡
⎛
⎞⎤
⎥ ⎢⎛ K p ⎞⎜ M ⎟⎥
M⎛
⎞
1
⎜
⎟
= −K p M
⎜ s + τ ⎟⎥ = ⎢
⎜
⎟⎜ 1 ⎟⎥
p ⎠⎥
s ⎝
⎢⎝ τ p ⎠⎜ − τ p ⎟⎥
⎝
⎠⎦
⎥⎦ ⎣
⎤ ⎡⎛ K p
⎞ ⎤
⎜
τ p ⎟⎟ ⎥
M ⎥ ⎢⎜
(s )⎥ = ⎢⎜ 1 ⎟M ⎥ = K p M
s
⎥
⎥ ⎢ 0+ τ
p ⎟
⎥⎦ ⎢⎣⎜⎝
⎠ ⎥⎦
maka:
⎡ Kp
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
− K pM ⎥
τ
⎡ K pM ⎤
M
p
−1
−1
−1 ⎢
⎥=L ⎢
L [H (s )] = L ⎢
+ L −1⎢
⎥
⎥
s+ 1 ⎥
⎢ s + 1τ s ⎥
⎣ s ⎦
⎢
τ
p
p⎦
⎣
⎢⎣
⎥⎦
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
DINPRO / III / 38
3.3 Dinamika Proses Order Satu
−
⎛
+ K p M = K p M ⎜1 − e
⎜
⎝
Karena H (t ) = h(t ) − hs
H (t ) = − K p M e
− t
τp
t
τp
⎞
⎟
⎟
⎠
… (3.3.24)
Jadi diperoleh respon dinamik level cairan terhadap perubahan input:
(
h(t ) = hs + K p M 1 − e
−t τ p
)
… (3.3.25)
⎡ m 3 ⎤⎛
−t ⎞
⎡ menit ⎤
h(t ) = (1 )[m] + (2) ⎢ 2 ⎥ (0,4) ⎢
⎥ ⎜1 − e 2 ⎟
⎠
⎣ m ⎦
⎢⎣ menit ⎥⎦⎝
−t ⎞
⎛
h(t ) = 1 + 0,8⎜1 − e 2 ⎟
⎠
⎝
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
BAB III Respon Sistem Order Satu
… (3.3.26)
DINPRO / III / 39
YDH - DINPRO - 13
3.3 Dinamika Proses Order Satu
Liquid Level (m )
3
f 1 (t ) [m /mnt]
Respon dinamik level cairan terhadap perubahan laju alir umpan dengan
step input
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
2
4
0
2
4
6
time (mnt)
8
10
12
6
8
10
12
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
time (mnt)
Dr. Eng. Y. D. Hermawan – Jur. Teknik Kimia – FTI - UPNVY
BAB III Respon Sistem Order Satu
DINPRO / III / 40
YDH - DINPRO - 14