Model Kontinu Harga Saham

IKG4O3 / Komputasi Finansial
Tim E-Learning Komputasi Finansial
Model Binomial Lanjut dan Model Kontinu
Model Harga Aset
Model Diskrit tanpa faktor acak
D(t  t )  D(t )  rD (t )t
r : Suku Bunga
Asumsi
– Jika ada perubahan pada nilai harga aset, disebabkan oleh
informasi baru yang mempengaruhinya.
– Faktor acak dalam pergerakan nilai aset, sifatnya
independen untuk setiap interval yang bebeda.
Tim E-Learning Komputasi Finansial
Model harga saham diskrit dengan faktor acak Z :
𝑆(𝑡𝑖+1 ) = 𝑆(𝑡𝑖 ) + 𝜇∆𝑡𝑆(𝑡𝑖 ) + 𝜎 ∆𝑡𝑆(𝑡𝑖 )𝑍(𝑡𝑖 )
dengan
•
𝜇 adalah suku bunga r
•
𝜎 adalah fluktuasi faktor acak
•
𝑍0 , 𝑍1 , … adalah bilangan acak N(0,1) i.i.d
Tim E-Learning Komputasi Finansial
Perhatikan untuk suatu selang (t i-1 , t i ), karena :

S(t i ) 
1 2
1 2


2
 t



tZ



Z
t



t


E

E log

i 
i


2
2
)
S(t

 
i -1 

dan,
1

2
var  t   t Z i   2 tZ i    2 t
2


maka,
S(t i )
1


~ N  (    2 )t ,  2 t ,
2
S(t i-1 )


untuk setiap i  1,2,  M.
log
(1)
(2)
(3)
Tim E-Learning Komputasi Finansial
Sifat log
S(t)
S(0)
  S(t M ) S(t M -1 ) S(t 1 ) 
 S(t M ) 

E log

E

log 

S(0)
S(t
)
S(t
)
S(0)


M -2

  M -1
  S(t M ) 
 S(t ) 
 S(t ) 
  log  M -1    log  1 
 E log 
 S(0) 
 S(t M -2 ) 
  S(t M -1 ) 
  S(t i ) 

  E log 
S(t
)
i 1
  i-1 
M
1
1
1
  t   2 t  (    2 ) Mt  (    2 )t
2
2
2
i 1
M
  S(t M ) 
 S(t M -1 ) 
 S(t M ) 
 S(t 1 ) 





,
var log

var
log

log


log
 


 S(t ) 
S(0)
S(t
)
S(0)




 M -2 
  M -1 
  S(t i ) 
   2 tM   2 t
  var log 
i 1
  S(t i-1 ) 
dari (1)
 S(t i ) 
 iid untuk setiap i,
karena log 
S(t
)
 i-1 
M
 S (t )  S 0 e
(   2 ) t  t Z
, dengan Z ~ N (0,1)
, dari (2)
Model Kontinu Harga Saham
Tim E-Learning Komputasi Finansial
S(t)/S0 Berdistribusi Lognormal
S (t )
merupakan suatu vari abel acak berdistrib usi lognormal, karena log - nya berdistrib usi normal.
S0
karena S 0  0, maka S(t) dijamin positif untuk setiap t (eksponens ial), atau P(S(t)  0)  1  t  0.
fungsi kepadatan peluang untuk S(t) adalah :
2
 

x
2
   log
    / 2 t 
 
S0

exp 
2
2 t



f ( x) 
x 2t








,
 ES t   S 0 e t


 E S t   S 0 e ( 2  
2
2

2
)t

 var S (t )   S 0 e 2 t e t  1
2
2
untuk x  0
Tim E-Learning Komputasi Finansial
Model Diskrit Binomial
Ada 2 kemungkinan perubahan
nilai, yaitu Naik atau Turun.
…
S2,2 =Su2
SM,M =SuM
SM-1,M =SuM-1 d
Dengan diketahui harga
saham saat ini, model diskrit
binomial memberikan
sebanyak (M+1) kemungkinan
harga saham di periode
T=ΔtM.
S1,1 =Su
So =S0,0
S1,2 =Sud
…
S0,1 S=Sd
S0,2 =Sd2
Pohon Binomial Harga Saham
…
S1,M =SudM-1
S0,M =SdM
t0
t1
t2
…
T=tM
Tim E-Learning Komputasi Finansial
Pergerakan Harga Saham Diskrit Binomial
t 
•
•
•
•
•
•
•
T
M
S j ,i  S 0 u j d i  j
S0 : Harga saham di awal
i : periode waktu , i=0,1,2,…,M
j : jumlah kenaikan, j=0,1,2,M
Sj,i :Harga saham di selang ke-i yang mengalami naik sebanyak j kali
u : faktor kenaikan
d : faktor penurunan
p : peluang harga saham akan naik
Ekspektasi dan Variansi
E[Si 1 ]  pSi u  (1  p) Si d
E[Si 1 ]  p(Siu)2  (1  p)( Si d )2
2
Var(Si 1 )  E[Si 1 ]  E[Si 1 ]2  Si ( pu 2  (1  p)d 2  ( pu  (1  p)d )2
2
2
Tim E-Learning Komputasi Finansial
Penentuan Parameter (u,d,p)
Asumsi dalam model pergerakan harga saham diskrit:
1. Harga saham hanya dapat naik atau turun berturut-turut
menjadi , SSu atau SSd dengan 0<d<1<u
2. Peluang harga saham naik =p
3. Ekspektasi return harga saham besarnya sama dengan riskfree interest rate r . Ekspektasi dan variansi model kontinu
adalah :
E[ Si 1 ]  Si e rt
Var ( Si 1 )  Si e
2 rt
 2 t
(e
 1)
Tim E-Learning Komputasi Finansial
Penentuan parameter (u,d,p)
Dari asumsi 3 maka :
E[ S i 1 ]  pS i u  (1  p ) Si d  Si e rt
e rt  d
 p
(1)
ud
dalam hal ini, agar dipenuhi 0  p  1, maka :
e rt  d
0
 1  d  e rt  u
ud
( 2)
Sementara dari model kontinu diperoleh hubungan :
E[S i 1 ]  Si e
2
( 2 r  2 ) t
 Var ( S i 1 )  E[Si 1 ]  E[ Si 1 ]2
2
 Si e
( 2 r  2 ) t
 Si e 2 rt (e
2
 Si e 2 rt
2
t
 1)
(3)
Tim E-Learning Komputasi Finansial
Penentuan parameter u,d,p (lanjut)
e rt  d
p
ud
dan e
( 2 r  2 ) t
 pu 2  (1  p)d 2
Untuk mendapatkan solusi, kita dapat menggunakan asumsi tambahan,
yaitu,
𝑢𝑑 = 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑝 =
1
2
Tim E-Learning Komputasi Finansial
Penentuan Parameter u,d,p
untuk ud  1, diperoleh :
1
d      2  1,
u
u      1,
2
e rt  d
p
ud
dengan
1
2
  (e  rt  e ( r 
2
) t
)
1
Sedangkan untuk p  , diperoleh :
2
2
1
p ,
u  e rt (1  e t  1),
2
d  e rt (1  e
2
t
 1),
Tim E-Learning Komputasi Finansial
Penaksiran Parameter σ2 dan μ
Ekspektasi return sama dengan riskfree interest rate, maka dalam hal ini μ≡r.
Salah satu cara untuk menentukan Parameter volatility σ2 adalah dengan
estimasi dari data historis.
– Kita percaya bahwa volatilitas relatif konstan atau variasi perubahannya
rendah.
– Tentukan interval data (apakah harian. Mingguan, bulanan ?)
– Misal (N+1) adalah banyaknya observasi, Sj harga saham di akhir interval
ke-j (closing price). σ2 dapat diestimasi dengan mean statistik.
1 N
2
   Ri  R 
N i 1
2
dengan
Si  Si 1
Ri 
Si
Tim E-Learning Komputasi Finansial
Grafik Simulasi Harga Saham Binomial
Tim E-Learning Komputasi Finansial
Referensi
Higham D.J, “An Introduction to Financial Option
Valuation”, Cambridge University Press, 2004
Tim E-Learning Komputasi Finansial
You Understand, Prove It!
Buat akun di kontan.co.id
Cobalah bertransaksi dengan modal dummy
250juta
Buat Laporan perkembangan per 3 hari, (return).
/ Create di Google Doc.
Tanggal
Tindakan
(Jual/Beli)
Nama
Saham
Harga
Besaran
Total
Current
Capital
Tim E-Learning Komputasi Finansial
You Understand, Prove It!
Simulasikan Model harga aset Binomial dengan
parameter berikut.
–So=30; T=1; r=0.05; sigma=0.3;
u=6.18%; d=-5.82%; M=100, 200, 500, 1000;
Plot nilai aset terhadap waktu.
Hitung expected return harga aset satu langkah
Bandingkan Expected return satu langkah untuk
masing-masing nilai M.
Tim E-Learning Komputasi Finansial
THANK YOU